Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Luyện tập về hàm số liên tục

 

TT GDTX­ HN Thanh S ¬n
 


Hệthố ng kiếnthứ c vềhàms ố liêntụ c
1)Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm s ố f(x)xác địnhtrê nkho ảng K
f(x)liê ntụ c tạix 0 K

lim
f (x) f (x0 )
x x
0

2) Hàm số liên tục trên một khoảng
*)Địnhng hĩa:
- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục
trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy
*)Địnhlý1:
Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục trên
tập xác định của chúng
*)Địnhlý2:
Tổng, hiệu, tích, thương ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục
điểm là liên tục tại điểm đó
tại một


3) Chứng minh phương trình f(x) =0 có

nghiệm
*)Địnhlý :
f(x) liên tục trên [a ;b]

c (a;
f(c) =0
f(a).f(b) <0
b):
Phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(a; b)
Bài tập hàm số liên
tục



f(x) liên tục

f(x) liên tục

tại một
điểm

trên một
khoảng


f(x) =0
có
nghiệm

Tiết 92 :Luyệntậpvềhàms ố liêntụ c

Vấnđề Xéttínhliêntụ c c ủahàms ố tạiđiểmx 0
*)Phương
1:p háp : XỏcnhTXD,kimtrax thucD.
0
Tớnhf(x0)v xlimx f ( x)
0

lim f ( x)
Sosỏnhf(x0)vR
iinktlun
x x
0

Bài1(S GKư140) Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số
3
f ( x ) = x + 2 x 1 tại x0 = 3
Bàig iải
Tập xác định của hàm số x0 = 3 R
là 3R,

f (3) = 3 + 2.3 1 = 32

lim f ( x) = f (3)

x 3
lim( x3 + 2 x 1) = 33 + 2.3 1 = 32
x

3

Vậy
hàm sốf

( x) = x + 2 x 1
3

liên tục tại

x0 = 3


Tiết 92 :Luyệntậpvềhàms ố liêntụ c

*)Phương p háp : XỏcnhTXD,kimtrax0thucD.

f ( x)
Tớnhf(x0)v xlim
x
0

lim f ( x ) iinktlun
Sosỏnhf(x0)vR
x
x0
*)Bài2(141):

x3 8

nếu x
x2



Cho hàm
g(x) =
2
số:
nếu x =2
a,
Xét tính liên tục của hàm số g(x) tại điểm x0 = 5
2 Trong biểu thức trên cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại
b,
x
x0 = 2 R
Bài
TXĐ: R
0 =2
3
g
iải:
x
2
Tớnh lim g ( x ) = lim 8
lim
x
+ 2 x + 4 ) =12
(
=x 2

x 2
x 2 x2
=> lim g ( x) g (2)
g (2) =
x 2
5 x =2
Kết
Hàm số đã cho không liên tục tại điểm
0
luận:
b, hàm số liên tục tạix0 = 2 lim g ( x) = g (2)
x 2


=>g(2) =12 =>Thay số 5 bằng số 12 thìg(x) liên tục x = 2


Tiết 92 :Luyệntậpvềhàms ố liêntụ c
Vấnđề2:Xéttínhliêntụ c c ủahàms ố trênmộ tkho ảng
*)Phương p háp :
áp dụng định lý 1, các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ,
2:
hàm số lượng giác, liên tục trên tập xác định của
chúng
x +1
x +1
= 2
=
Bài4(S GKư141)
a, Hàm số

x + x 6 ( x 2)( x + 3)
f(x)
Cho hàm số
có tập xác định
x +1
f ( x) = 2
là:

x (; 3) ( 3; 2) (2; +)

x + x6

=>hàm số f(x) liên tục trên các khoảng
Với mỗi hàm số, hãy xác
định các khoảng trên
đó hàm số liên tục


(; 3) (3; 2) (2; +)



Tiết 92 :Luyệntậpvềhàms ố liêntụ c
Vấnđề3 Chứng minh phương trình f(x) =0 có
*)Phươngpháp nghiệm
S ử dụ ng địnhlý
f(x) liên tục3trên [a ;b]

c

(a; b): f(c) =0

f(a).f(b) <0
Phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
Víd ụ áp(a;
d ụb)
ng
Cho phương trình: x3 - 3 x +1
=0 minh rằng phương trình có nghiệm ( 1;
Chứng
2)
Bài
f(x)=x3 - 3 x +1
g iải: số f(x) liên tục trên R hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1 ;2]
Hàm
f(1) = -1
f(1).f(2) =- 3 <0
f(2) = 3
x0 ( 1; 2) : f(x0) =0
nghiệm ( 1; 2 )
Kết luận: phương trình có


Tiết 92 :Luyệntậpvềhàms ố liêntụ c
Vấnđề3 Chứng minh phương trình f(x) =0 có
*)Phươngpháp nghiệm
S ử dụ ng địnhlý
f(x) liên tục3trên [a ;b]

c

(a; b): f(c) =0

f(a).f(b) <0
Phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(a; b)
Bài6b,(S
GKư Chứng minh rằng phương
cosx=x có nghiệm
141) Ta có: cosxtrì
Giải:
=nh
x <=>cosx x =0 Đặt f(x) =cosx x. Khi đó


;

2 2

Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục tại
đoạn


f ( ) = cos = < 0

2
2 2
2

=>f ( ). f ( ) < 0


2
2
f ( ) = cos( ) + = > 0
2
2
2 2


x0 ( ; ) :
2 2


f ( x) = 0



Vậy phương trình có nghiệm ( ; )
2 2


Tiết 92 :Luyệntậpvềhàms ố liêntụ c
Bài6a(S GKư
Chứng minh rằng phương
141) 2 x 3 6 x +trì
1 =nh0 Có ít nhất hai nghiệm

Giải:

Đặt f(x) = 2 x

3

6x +1 = 0

[

]

Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục tại [ 2;0] và 0;1
đoạn
Xét đoạn:[ 2;0]
f(-2) = -9 <0
f ( 2). f (0) < 0 x0 ( 2;0 ) : f ( x0 ) = 0
f(0) = 1 <0
Phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(-2; 0)
0;1
Xét
f(0) = 1 <0
đoạn:


x

0;1
:
f

(
x
)
=
0
f (0). f (1) < 0
(
)
0
0
f(1) = -3 <0
Phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0; 1)
Vậy phươ
ng trình đã chocó ít nhất hai nghiệm thuộc
2;1

khoảng

[

]

(

)


BàItập
Đ3hàms ố liêntụ c

Xét tính liên tục của hàm số tại một
điểm
Xét tính liên tục của hàm số trên một
khoảng
Chứng minh phương trình có nghiệm trên
khoảng
Bàitậpvềnhà:
Bài số: 3, 5, 6(SGK-Trang 141)
Bài số: 6, 7, 8 (SBT -Trang 118)





 

 


Tiết 92 :Luyệntậpvềhàms ố liêntụ c
Cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x =0

Bàito án:

x2

x2 2x
a) f (x)
b) f (x)
x

x2
Có thể gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành
liên tục tại x =0 ? Bàig iải:
a) Ta có:lim f (x)
x

0

2x

lim
x

x2

2x
x

0

x(x 2)
lim
x 0
x

lim (x
x

0

2)

-2

Vậy: có thể gán f(0 ) =- 2 thìhàm số f(x) liên tục tại x =0
b) Ta
có:

lim f (x)
x

0

lim
x

0

x2

x(x 2)
lim
x 0
x2

2x
x2

x 2
lim

x 0
x

Vậy không thể gán cho f(0) bất cứ giá trị nào để f(x) liên tục tại x =0.





Tiết 92 :Luyệntậpvềhàms ố liêntụ c
2
( a là hằng số )
ax
nếu
x
Bàis ố 3(tr137):Cho f(x)
2
=
3
nếu x >2
Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với mọi x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số
y =f(x)
Bài
Khi x <2: f(x) = ax2
nên hàm số liên
g iải:
tục.
Khi x >2: f(x) = 3 nên hàm số liên tục.

Khi x =2: Lim f x

x 2

Lim f x
x

2

lim ax 2
x

4a

2

lim 3 3

x

2

Để f(x) liên tục tại x =2 cần có 3 =4a
Vậy a


3
4

Khi đó f( x)

f 2

thìf(x) liên tục với mọi x.

3 2
x nếu x
4


2

nếu x >2

a

3
4


TiÕt 92 : LuyÖn tËp vÒ hµm s è  liªn tô c
3 2
x nÕu x 2
f( x) = 4
nÕu x >2
3

VÏ ®å thÞ hµm
sè

y
3

3/4
-2
 

 

-1 O

1

2

x