Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng 62 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRUỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ
HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SI TOÁN HỌC

Hà Nội-2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRUỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

PHẠM THẾ ANH
ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ
HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số:
01 06

62 46

LUẬN ÁN TIẾN SI TOÁN HỌC
NGUỜI HUỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG
Hà Nội - 2015

L˝I CAM OAN
Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cia tæi. C¡c k‚t qu£
n¶u
trong lu“n ¡n l ho n to n trung thüc v ch÷a tlng ÷æc ai cæng bL
trong
b§t cø mºt cæng tr…nh n okh¡c.
NCS. Ph/m Th‚ Anh


Möc löc
Líi cam oan
Möc löc
1
Danh möc c¡c kþ hi»u v chœ vi‚t t›t
3
Mð ƒu
4
1. Ki‚n thøc chu'n bà v tŒng quan
9
1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 i”m b§t ºng cia to¡n tß ng¤u nhi¶n . . . . . . . . . . . 13
1.3 i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ng¤u nhi¶n . . . . . . . . 18
2. i”m b§t ºng v i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ho n
to n ng¤u nhi¶n
21
2.1
To¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . .21
2.2
i”m b§t ºng cia to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n. . . . .27
2.3

i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n . .47
3. Ùng döng v oph÷ìng tr…nh to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n 60
3.1
Ùng döng cia c¡c ành lþ i”m tròng nhau . . . . . . . . .60
3.2
Ùng döng cia c¡c ành lþ i”m b§t ºng. . . . . . . . . .66
1


K‚t lu“n v ki‚n nghà
73
C¡c k‚t qu£ ch‰nh cia lu“n ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
H÷îng nghi¶n cøu ti‚p theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Danh möc cæng tr…nh khoa håc cia t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n
¡n
74
T i li»u tham kh£o
75
2


DANH MệC CC Kị HIU V CH VIT TT
N
Tp hổp cĂc sL tỹ nhiản
R
Tp hổp cĂc sL thỹc
R+
Tp hổp cĂc sL thỹc dữỡng
C[a; b]
Khổng gian cĂc h m sL liản tửc trản [a; b]

L(X)
Khổng gian cĂc toĂn tò tuyn tnh liản tửc tl X v oX
LX
0()
Khổng gian cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ tr
LX
p()
Khổng gian cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ tr khÊ tch cĐp p
A;F
-/i sL
B(X)
-/i sL Borel cia X
A F
-/i sL tch cia cĂc -/i sL A v F
2X
Hồ cĂc tp hổp con khĂc rỉng cia X
C(X)
Hồ cĂc tp hổp con õng khĂc rỉng cia X
H(A; B)
KhoÊng cĂch Hausdorff gia hai tp hổp õng A; B
Graph(T)ỗ th cia toĂn tò ngÔu nhiản T
P
o xĂc suĐt
p-lim
Giợi h/n cia sỹ hi tử theo xĂc suĐt
h.c.c.
Hu chc chn
[x]
Phn nguyản cia sL thỹc x
k:k

Chu'n
3


M U
Trong toĂn hồc, im bĐt ng (ổi khi cặn ữổc gồi l im cL nh,
hay im bĐt bin) cia mt Ănh x/, l im m Ănh x/ bin im õ
th nh chnh nõ. Tl nhng nôm u th k 20, cĂc nguyản lỵ im bĐt
ng ln lữổt ra ới trong õ Ăng nõi n nhĐt l : nguyản lỵ im bĐt
ng Brouwer (1912), nguyản lỵ Ănh x/ co Banach [7] (1922) v nh
lỵ
im bĐt ng Schauder [51] (1930). CĂc kt quÊ n y  ữổc m rng
Li vợi cĂc lợp Ănh x/ khĂc nhau, trong cĂc khổng gian khĂc nhau v Â
ữổc ứng dửng trong nhiu lắnh vỹc cia toĂn hồc. Ta cõ th thĐy
ứng
dửng cia cĂc nguyản lỵ im bĐt ng trong viằc giÊi quyt vĐn tỗn
t/i lới giÊi cia phữỡng trnh (toĂn tò, vi phƠn, tch phƠn, ...), trong
cĂc
b i toĂn xĐp x nghiằm, ...
Tip theo cĂc kt quÊ trong trữớng hổp khổng ngÔu nhiản, rĐt nhiu
kt quÊ v b i toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản  ữổc nghiản cứu. V o
gia thp niản 1950, O. Hans v A. Spacek trữớng /i hồc Tng
hổp
Prague  khi xữợng nhng nghiản cứu u tiản v im bĐt ng cia
toĂn tò ngÔu nhiản v cĂc vĐn liản quan (xem [28, 53]). CĂc tĂc giÊ
Â
ữa ra cĂc iu kiằn i ban u toĂn tò ngÔu nhiản cõ im bĐt ng
ngÔu nhiản. Sau cĂc cổng trnh cia O. Hans v A. Spacek, mt sL
d/ng
tữỡng tỹ cia cĂc nh lỵ im bĐt ng tĐt nh ni ting khĂc cho trữớng

hổp ngÔu nhiản cụng  ữổc chứng minh. Cũng vợi viằc nghiản
cứu cĂc
vĐn v im bĐt ng ngÔu nhiản, cĂc vĐn v phữỡng trnh toĂn
tò ngÔu nhiản cụng  ữổc quan tƠm n. CĂc nghiản cứu v phữỡng
trnh toĂn tò ngÔu nhiản l sỹ m rng, ngÔu nhiản hõa lỵ thuyt
phữỡng
trnh toĂn tò tĐt nh. Tuy nhiản, phn lợn cĂc kt quÊ /t ữổc cia lỵ
4


thuyt phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản tp trung v oviằc ữa v b i
toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản ch ra sỹ tỗn t/i v duy nhĐt nghiằm
ngÔu nhiản.
Lỵ thuyt phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản v im bĐt ng ngÔu
nhiản thỹc sỹ ữổc quan tƠm nghiản cứu sau sỹ ra ới cuLn sĂch
Random
integral equations (1972) v b i bĂo tng kt Fixed point
theorems in
probabilistic analysis(1976) cia A. T. Bharucha-Reid (xem [15,
16]).
Trong b i bĂo cia mnh, A. T. Bharucha-Reid  chứng minh nh lỵ
im bĐt ng cho Ănh x/ co ngÔu nhiản, õ chnh l d/ng ngÔu nhiản
cia nguyản lỵ Ănh x/ co Banach v nh lỵ im bĐt ng
Schauder
d/ng ngÔu nhiản. Tl õ, nhiu tĂc giÊ Â th nh cổng trong viằc m rng
cĂc kt quÊ v im bĐt ng ngÔu nhiản  cõ hoc chứng minh d/ng
ngÔu nhiản cia cĂc nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò tĐt nh
(xem
[11, 21, 32, 37, 60]). V onhng nôm 1990, mt sL tĂc giÊ nhữ H. K.
Xu,

K. K. Tan, X. Z. Yuan,... Â chứng minh cĂc nh lỵ im bĐt ng ngÔu
nhiản tng quĂt, trong õ cĂc tĂc giÊ ch ra rng vợi mt sL iu kiằn
nhĐt
nh, nu cĂc qu /o cia toĂn tò ngÔu nhiản cõ im bĐt ng tĐt nh
th toĂn tò ngÔu nhiản cõ im bĐt ng ngÔu nhiản (xem [14, 54,
60]).
Gn Ơy, mt sL tĂc giÊ nhữ N. Shahzad, D. ORegan, R. P.
Agarwal
 ữa ra mt sL nh lỵ im bĐt ng ngÔu nhiản tng quĂt m rng
cĂc kt quÊ cia cĂc tĂc giÊ trữợc v trản cỡ s õ d/ng ngÔu nhiản cia
nhiu nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò tĐt nh  ữổc chứng minh
(xem [47, 50]). c biằt, trong b i bĂo [57] cĂc tĂc giÊ D. H. Thang v
T.
N. Anh  chứng minh cĂc kt quÊ tng quĂt v sỹ tữỡng ữỡng tỗn t/i
nghiằm cia phữỡng trnh tĐt nh vợi phữỡng trnh ngÔu nhiản, sỹ
tỗn
t/i im bĐt ng cia toĂn tò tĐt nh v toĂn tò ngÔu nhiản.
5


Tip theo b i toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản, b i toĂn im bĐt ng
ngÔu nhiản chung cia nhiu toĂn tò ngÔu nhiản cụng  ữổc nghiản
cứu
mt cĂch k lữùng. Tuy nhiản, iu kiằn nhiu toĂn tò cõ im bĐt ng
chung thữớng l phức t/p, do õ b i toĂn im trũng nhau ngÔu nhiản Â
ữổc quan tƠm nghiản cứu. B i toĂn im trũng nhau ngÔu nhiản ữổc
nghiản cứu nhiu Li vợi cĂc toĂn tò a tr, gia cp toĂn tò ỡn tr v
toĂn tò a tr (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49,
52]).

Mt cĂch tng quĂt, cõ th xem toĂn tò ngÔu nhiản nhữ mt Ănh x/
bin mỉi phn tò cia khổng gian metric th nh mt bin ngÔu nhiản.
Bản
c/nh õ, ta coi mỉi phn tò cia khổng gian metric nhữ l mt bin
ngÔu
nhiản suy bin nhn giĂ tr l phn tò õ vợi xĂc suĐt 1. Vợi cĂch quan
niằm nhữ vy, ta cõ th ỗng nhĐt khổng gian metric X nhữ
tp con
(gỗm cĂc bin ngÔu nhiản suy bin) cia khổng gian L X
0() cĂc bin ngÔu
nhiản X-giĂ tr. Tl õ, vợi mỉi toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc f tl X v o
Y ta xƠy dỹng ữổc mt Ănh x/ tl LX
Y
0() v oL 0() m h/n ch cia
trản X trũng vợi f. Ngo i ra mLi liản hằ gia sỹ tỗn t/i im bĐt ng
ngÔu nhiản cia f v cụng ữổc thit lp. Vợi mửc ch m rng min
xĂc nh cia toĂn tò ngÔu nhiản, trong [1, 5, 58] cĂc tĂc giÊ Â ữa ra
khĂi niằm toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, trong õ Ănh x/ bin mỉi bin
ngÔu nhiản nhn giĂ tr trong khổng gian metric th nh bin ngÔu
nhiản
nhn giĂ tr trong khổng gian metric. Sò dửng cĂc tnh toĂn thun
túy
xĂc suĐt, cĂc tĂc giÊ Â chứng minh ữổc mt sL kt quÊ ban u tữỡng
tỹ nhữ cia O. Hadzic v E. Pap v im bĐt ng cia toĂn tò ho n to n
ngÔu nhiản.
Ni dung cia lun Ăn bao gỗm nh lỵ v sỹ thĂc trin toĂn tò ngÔu
nhiản th nh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, l cỡ s xt n cĂc b i
6

toĂn v im bĐt ng, im trũng nhau v b i toĂn v phữỡng trnh toĂn
tò ho n to n ngÔu nhiản. Ngo i ra lun Ăn cp n cĂc kt quÊ nghiản
cứu v im bĐt ng, im trũng nhau cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu
nhiản, tl õ Ăp dửng cĂc nh lỵ im bĐt ng v nh lỵ im trũng
nhau tm nghiằm cia phữỡng trnh toĂn tò ho n to n ngÔu
nhiản.
Lun Ăn gỗm 3 chữỡng.
Chữỡng 1 trnh b y tng quan v cĂc khĂi niằm v kt quÊ Â bit
cia cĂc tĂc giÊ khĂc liản quan n nh lỵ im bĐt ng v im trũng
nhau ngÔu nhiản cia cĂc toĂn tò ngÔu nhiản. CĂc kt quÊ cia chữỡng
n y ữổc trch dÔn v bọ qua chứng minh chi tit.
Chữỡng 2 trnh b y khĂi niằm toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, nh
lỵ thĂc trin toĂn tò ngÔu nhiản th nh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản,
tnh liản tửc theo xĂc suĐt cia toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản. Tip
theo,
chữỡng n y trnh b y cĂc kt quÊ nghiản cứu v im bĐt ng cia mt
sL d/ng toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản. CuLi cũng, mt sL kt
quÊ v
im trũng nhau cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản ữổc cp n.
Ni dung chnh cia chữỡng n y cĂc nh lỵ v sỹ tỗn t/i im bĐt ng
v im trũng nhau cia toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản.
Chữỡng 3 trnh b y kt quÊ nghiản cứu v ứng dửng cĂc nh lỵ im
bĐt ng, im trũng nhau cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản. CĂc
ứng dửng õ l chứng minh sỹ tỗn t/i nghiằm cia phữỡng trnh toĂn
tò
ho n to n ngÔu nhiản v sò dửng nh lỵ im trũng nhau ngÔu nhiản
chứng minh sỹ tỗn t/i im bĐt ng ngÔu nhiản. Ni dung chnh cia
chữỡng n y l cĂc nh lỵ v sỹ tỗn t/i nghiằm phữỡng trnh toĂn tò ho
n
to n ngÔu nhiản.

CĂc kt quÊ cia lun Ăn  ữổc trnh b y t/i Seminar cia B mổn
7


XĂc suĐt - ThLng kả, Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Trữớng /i hồc KHTN
- HQGHN, t/i Hi thÊo XĂc suĐt ThLng kả mlng thồ GS. Nguyn Duy
Tin 70 tui (H Ni, 18/08/2012), t/i /i hi ToĂn hồc Viằt Nam ln
thứ 8 (Nha Trang, 10-14/08/2013), v ữổc cổng bL trong cĂc b i
bĂo
[1, 2, 3] trang 77 cia lun Ăn.
Lun Ăn ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn cia GS. TSKH. ng
Hũng Thng. TĂc giÊ xin b y tọ lặng knh trồng v bit ỡn sƠu sc v
chƠn th nh tợi GS. TSKH. ng Hũng Thng, Thy  quan tƠm hữợng
dÔn v ch bÊo tĂc giÊ trong suLt nhng nôm cuLi /i hồc, quĂ tr
nh hồc
cao hồc v trong quĂ trnh nghiản cứu sinh.
TĂc giÊ xin b y tọ lặng bit ỡn cĂc thy cổ trong Khoa ToĂn - Cỡ Tin hồc  cung cĐp nhiu b i giÊng v giợi thiằu cho tĂc giÊ nhiu t i
liằu b ch.
TĂc giÊ xin cÊm ỡn cĂc th nh viản tham dỹ Seminar ToĂn tò ngÔu
nhiản cia b mổn XĂc suĐt - ThLng kả Â t/o iu kiằn cho tĂc giÊ ữổc
trnh b y v giúp ù tĂc giÊ kim tra cĂc kt quÊ nghiản cứu.
TĂc giÊ xin cÊm ỡn cĂc cĐp lÂnh /o, cĂc ỗng nghiằp trong cỡ quan
Hồc viằn K thut QuƠn sỹ v o n 871 B QuLc Phặng  t/o iu
kiằn cho tĂc giÊ ữổc hồc tp v nghiản cứu.
CuLi cũng, tĂc giÊ xin b y tọ lặng bit ỡn gia nh, b/n b  luổn
ng viản, chia sã giúp ù tĂc giÊ cõ th ho n th nh ữổc quĂ trnh
hồc tp cia mnh.
H Ni, ng y 10 thĂng 03 nôm 2015
Nghiản cứu sinh
Ph/m Th Anh

8


Chữỡng 1
KIN THC CHUN B V TNG QUAN
Trong chữỡng n y, chúng tổi nhc l/i cĂc khĂi niằm cỡ bÊn v trnh
b y mt cĂch tng quan cĂc kt quÊ v im bĐt ng, im trũng nhau
cia cĂc toĂn tò ngÔu nhiản m chúng tổi s sò dửng l m tin xƠy
dỹng cĂc kt quÊ trong cĂc phn sau cia lun Ăn. CĂc kt quÊ ữổc tr
ch
dÔn v khổng ữổc chứng minh chi tit.

1.1 CĂc khĂi niằm cỡ bÊn
Cho l tp khĂc ;, ữổc gồi l khổng gian mÔu. Hồ F cĂc tp con cia
ữổc gồi l mt -/i sLnu thọa mÂn cĂc tnh chĐt ; 2 F, nA 2 F
vợi mồi A 2 F v
1
S

n=1

An 2 F vợi mồi An 2 F, n = 1;2; ::: Mỉi phn
tò cia -/i sL F ữổc gồi l mt tp o ữổc. Cp (; F) gồi l mt
khổng gian o ữổc. nh x/ P : F ! [0; 1] ữổc gồi l o xĂc suĐt
nu thọa mÂn P(;) = 0, P() = 1 v P
1
S

n=1

An
=
1
P

n=1

P (An) vợi mồi
An 2 F sao cho Am \ An = ;; m 6
= n. Vợi mỉi A 2 F; P(A) gồi l o
xĂc suĐt cia tp A. -/i sL F gồi l y i vợi o xĂc suĐt P nu
mồi tp con cia tp cõ xĂc suĐt 0 l tp o ữổc. B ba (; F; P) gồi
l khổng gian xĂc suĐt. Mt khổng gian xĂc suĐt gồi l y i nu F l
-/i sL y i. Khổng gian metric khÊ ly v y i ữổc gồi l khổng
gian Polish (xem [29]).
Cho X l mt khổng gian metric, -/i sL Borel B(X) cia X l -/i
sL nhọ nhĐt chứa tĐt cÊ cĂc tp m cia X. Trong to n b lun Ăn, khi
nõi n -/i sL cĂc tp con cia khổng gian metric ta hiu õ l -/i sL
Borel.
9


Cho (X; A) v (Y; B) l cĂc khổng gian o ữổc. Khi õ -/i sL trản
X Ykỵ hiằu bi A B ữổc xĂc nh l -/i sL nhọ nhĐt chứa cĂc
tp A B, trong õ A 2 A, B 2 B. Vợi hai khổng gian tổpổ X; Y bĐt ký
ta cõ B(X Y ) chứa B(X) B(Y ). Tuy nhiản nu X v Y l cĂc khổng
gian Polish th B(X Y ) = B(X) B(Y ) (xem [54]).
Cho (; F) l khổng gian o ữổc v X l khổng gian metric. nh x/
: ! X gồi l F-o ữổc nu
1

(B) = f! 2 j(!) 2 Bg 2 F
(1.1)
vợi mồi B 2 B(X). Nu (; F; P) l khổng gian xĂc suĐt, : ! X
l Ănh x/ F-o ữổc th ữổc gồi l mt bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr
trong X hay bin ngÔu nhiản X-giĂ tr. Tp hổp tĐt cÊ cĂc lợp tữỡng
ữỡng cia cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ tr ữổc kỵ hiằu l L X
0() v ữổc
trang b tổ pổ hi tử theo xĂc suĐt.
nh nghắa 1.1.1. nh x/ f : X ! Y ữổc gồi l toĂn tò ngÔu
nhiản tl X v oY nu vợi mỉi phn tò x 2 X Ănh x/ ! 7!f(!; x) l mt
bin ngÔu nhiản Y -giĂ tr. ToĂn tò ngÔu nhiản tl X v oX ữổc gồi l
toĂn tò ngÔu nhiản trản X. ToĂn tò ngÔu nhiản tl X v oR ữổc gồi l
phim h m ngÔu nhiản.
Vợi mỉi x cL nh, f(!; x) l mt bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr trong
Y . Do õ ta cõ th coi toĂn tò ngÔu nhiản tl X v oY nhữ mt quy tc
cho tữỡng ứng mỉi phn tò x 2 X mt bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr
trong
Y . Nõi cĂch khĂc, toĂn tò ngÔu nhiản tl X v oY chnh l Ănh x/ tl X
v oLY0().
Nhn xt 1.1.2. CĂc v dử v toĂn tò ngÔu nhiản cõ th ữổc tm
thĐy
trong cĂc t i liằu [1, 55, 56] v nhiu t i liằu khĂc.
10


nh nghắa 1.1.3. Cho f; g : X ! Y l hai toĂn tò ngÔu nhiản.
ToĂn tò ngÔu nhiản f gồi l mt bÊn sao cia toĂn tò ngÔu nhiản g nu
vợi mồi x 2 X
f(!; x) = g(!; x)h.c.c.:
(1.2)

Ta thĐy tp cĂc ! m f(!; x) 6
= g(!; x) nõi chung phử thuc v ox.
Theo quan im xĂc suĐt, nu hai bin ngÔu nhiản bng nhau h.c.c.
th
cõ th coi l trũng nhau. V cÊ toĂn tò ngÔu nhiản v bÊn sao cia nõ
xĂc
nh cũng mt Ănh x/ tl X v oLY0() nản trong nhiu trữớng hổp cõ
th ỗng nhĐt toĂn tò ngÔu nhiản vợi bÊn sao cia nõ.
nh nghắa 1.1.4.1. ToĂn tò ngÔu nhiản f : X ! Y ữổc gồi l
o ữổc nu Ănh x/ f : X ! Y l F B(X)-o ữổc.
2. ToĂn tò ngÔu nhiản f : X ! Y ữổc gồi l liản tửc nu vợi mỉi
! qu /o f(!; :) cia f l Ănh x/ liản tửc tl X v oY .
3. ToĂn tò ngÔu nhiản f: X ! Yữổc gồi l Lipschitz (ngÔu
nhiản) nu tỗn t/i bin ngÔu nhiản khổng Ơm k(!) sao cho vợi mồi
x; y 2 X
d(f(!; x); f(!; y)) k(!)d(x; y):
(1.3)
4. ToĂn tò ngÔu nhiản f : X ! Y ữổc gồi l co (ngÔu nhiản) nu
f l toĂn tò Lipschitz vợi k(!) 2 [0; 1); 8! 2 .
nh lỵ 1.1.5 ([29, nh lỵ 6.1]). Cho X; Y l cĂc khổng gian Polish v
f : X ! Y l toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc. Khi õ f l toĂn tò ngÔu
nhiản o ữổc. Hỡn na nu : ! X l bin ngÔu nhiản th Ănh x/
! 7!f(!; (!)) l mt bin ngÔu nhiản Y -giĂ tr.
11


Nhn xt 1.1.6. Tl nh lỵ 1.1.5 ta thĐy vợi toĂn tò ngÔu nhiản, tnh
Lipschitz suy ra tnh liản tửc, tnh liản tửc suy ra tnh o ữổc.
nh nghắa 1.1.7 (im bĐt ng ngÔu nhiản). Bin ngÔu nhiản :
! X gồi l im bĐt ng (ngÔu nhiản) cia toĂn tò ngÔu nhiản f :

X ! X nu
f(!; (!)) = (!)h.c.c.
(1.4)
Nu : ! X l Ănh x/ n oõ (khổng o ữổc) thọa mÂn (1.4),
th cặn ữổc gồi l im bĐt ng tĐt nh cia f. Ta nhn thĐy nu
f : X ! X cõ im bĐt ng ngÔu nhiản th f cõ im bĐt ng
tĐt nh. Ngữổc l/i khổng úng. ỡn giÊn, trong cĂc phn sau ta hiu
im bĐt ng l im bĐt ng ngÔu nhiản, trl trong cĂc kt quÊ cõ nõi
rê v im bĐt ng ngÔu nhiản v tĐt nh.
nh nghắa 1.1.8. Phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản ỡn tr l phữỡng
trnh cõ d/ng
f(!; x) = g(!; x)
(1.5)
vợi f; g : X ! Y l cĂc toĂn tò ngÔu nhiản tl X v oY .
nh nghắa 1.1.9.1. Phữỡng trnh (1.5) ữổc gồi l cõ nghiằm
tĐt
nh vợi hu ht nu tỗn t/i tp D cõ xĂc suĐt 1 sao cho vợi mỉi
! 2 D tỗn t/i phn tò u(!) 2 X sao cho
f(!; u(!)) = g(!; u(!)):
(1.6)
Khi õ u(!) gồi l nghiằm tĐt nh cia phữỡng trnh (1.5).
2. Phữỡng trnh (1.5) ữổc gồi l cõ nghiằm ngÔu nhiản nu tỗn t/i
bin
ngÔu nhiản : ! X sao cho
f(!; (!)) = g(!; (!))
h.c.c.
(1.7)
12

Khi õ gồi l nghiằm ngÔu nhiản cia phữỡng trnh (1.5).

1.2 im bĐt ng cia toĂn tò ngÔu nhiản
Lch sò phĂt trin cia b i toĂn im bĐt ng bt u tl cĂc nh lỵ
im bĐt ng cia L. E. J. Brouwer, S. Banach v J. Shauder. u tiản,
ta xem xt b i toĂn im bĐt ng cia toĂn tò liản tửc tng quĂt v cia
toĂn tò thọa mÂn cĂc iu kiằn co. V ou th k 20, L. E. J. Browder
 ghi dĐu Đn u tiản bng viằc ữa ra nh lỵ im bĐt ng cho h m
liản tửc tl hnh cu õng v ochnh nõ. Sau õ l nguyản lỵ Ănh x/ co
cia S. Banach ữổc chứng minh nôm 1922 ([7]) v nh lỵ im bĐt
ng
J. Shauder nôm 1930 ([51]).
Li vợi im bĐt ng ngÔu nhiản, nôm 1957 trong b i bĂo cia mnh
O. Hans ([28]) Â bữợc u ữa ra cĂc iu kiằn Êm bÊo mt Ănh x/
ngÔu nhiản cõ im bĐt ng ngÔu nhiản dữợi d/ng xĐp x n nghiằm
cia phữỡng trnh ngÔu nhiản.
Cũng vợi sỹ phĂt trin cia cĂc nh lỵ im bĐt ng trong trữớng
hổp tĐt nh, cĂc nh lỵ im bĐt ng ngÔu nhiản cụng  bt u ữổc
nghiản cứu nhiu sau b i bĂo cia O. Hans. Nôm 1976 trong b i bĂo
tng
quan cia mnh, tĂc giÊ A. T. Bharucha-Reid ([16]) Â chứng minh
nh
lỵ im bĐt ng cho toĂn tò co ngÔu nhiản.
nh lỵ 1.2.1 ([16, nh lỵ 7]). Cho T : X ! X l toĂn tò co ngÔu
nhiản, X l khổng gian Banach khÊ ly. Khi õ T cõ im bĐt ng duy
nhĐt.
Cụng trong b i bĂo [16], tĂc giÊ A. T. Bharucha-Reid  xt n
phữỡng trnh giĂ tr riảng ngÔu nhiản d/ng (T(!)
I)x = y(!) (tĂc
13

giÊ kỵ hiằu T(!; x) bi T(!)x) v ữa ra iu kiằn phữỡng trnh cõ
nghiằm.
nh lỵ 1.2.2 ([16, nh lỵ 8]). Cho T(!) l toĂn tò co tl khổng gian
Banach khÊ ly X v ochnh nõ, k(!) l bin ngÔu nhiản khổng Ơm
nhn
giĂ tr thỹc b chn h.c.c. Khi õ vợi mỉi sL thỹc 6
= 0 sao cho k(!) < jj
h.c.c u tỗn t/i toĂn tò ngÔu nhiản S(!) l nghch Êo cia T(!)
I,
vợi I l toĂn tò ỗng nhĐt trản X.
Ngo i ra trong b i bĂo [16], tĂc giÊ A. T. Bharucha-Reid chứng minh
d/ng ngÔu nhiản cia nh lỵ im bĐt ng Schauder, tức l ữa ra iu
kiằn mt toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc cõ im bĐt ng.
nh lỵ 1.2.3 ([16, nh lỵ 10]). Cho E l tp compact, lỗi trong khổng
gian Banach khÊ ly X v T(!; x) l toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc trản E.
Khi õ tỗn t/i bin ngÔu nhiản E-giĂ tr (!) l im bĐt ng cia T.
Nôm 1979 trong b i bĂo [31], tĂc giÊ S. Itoh  chứng minh hằ quÊ
v im bĐt ng cho toĂn tò ngÔu nhiản compact.
Hằ quÊ 1.2.4 ([31, Hằ quÊ 2.2]). Cho E l tp compact (hoc khÊ ly
v
õng) trong khổng gian Banach X, T : E ! E l toĂn tò ngÔu nhiản
compact theo nghắa T(!; :) l compact vợi mồi ! 2 . Khi õ T cõ im
bĐt ng.
n nôm 1993 trong b i bĂo [54], cĂc tĂc giÊ K. K.Tan v X. Z. Yuan
 cõ nhng chứng minh u tiản v mLi liản hằ gia im bĐt ng tĐt
nh v im bĐt ng ngÔu nhiản. Khổng gian Suslin l khổng gian
tổpổ
Hausdorff v l Ênh liản tửc cia khổng gian Polish. Tp con Suslin

cia
khổng gian tổpổ l khổng gian con cia khổng gian tổpổ v cụng l
khổng

14


gian Suslin. Kỵ hiằu I v J ln lữổt l tp cĂc dÂy con vổ h/n v hu
h/n
cia tp sL nguyản dữỡng. Gồi G l hồ cĂc tp hổp n oõ v F : J ! G l
mt Ănh x/. Vợi mỉi = (i)1
i=12 I v n 2 N, ta kỵ hiằu (1; :::; n) bi
=n, th
S

2I
1
T

n=1

F (=n) ữổc gồi l nhn ữổc tl G bng toĂn tò Suslin.
Tl õ, nu mồi tp con nhn ữổc tl G theo cĂch nhữ trản cụng thuc
G, th G gồi l hồ Suslin. Sò dửng phữỡng phĂp h m chồn, cĂc tĂc
giÊ Â
thu ữổc cĂc kt quÊ sau.
nh lỵ 1.2.5 ([54, nh lỵ 2.3]). Cho (; ) l khổng gian o, l
hồ Suslin, X l khổng gian tổpổ v X0 l tp con Suslin cia X. GiÊ
sò
T : X0 ! 2X cõ ỗ th Graph(T) 2 B(X0 X). Khi õ T cõ

im bĐt ng ngÔu nhiản khi v ch khi T cõ im bĐt ng tĐt nh, tức
l T(!; :) cõ im bĐt ng trong X0 vợi mỉi ! 2 .
nh lỵ 1.2.6 ([54, nh lỵ 2.5]). Cho (; ) l khổng gian o, l hồ
Suslin v X0 l tp con Suslin cia khổng gian metric khÊ ly X. GiÊ
sò
T : X0 ! C(X) l toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc. Khi õ T cõ im bĐt
ng ngÔu nhiản khi v ch khi T cõ im bĐt ng tĐt nh, tức l vợi
mỉi ! 2 , T(!; :) cõ im bĐt ng trong X0.
Nôm 1995, tĂc giÊ B. S. Choudhury trong [18] Â sò dửng dÂy lp
Ishikawa ch ra sỹ tỗn t/i im bĐt ng cia toĂn tò ngÔu nhiản nu
dÂy lp hi tử trong khổng gian Hilbert.
nh lỵ 1.2.7 ([18, nh lỵ 1]). Cho X l khổng gian Hilbert khÊ ly,
T : X ! X l toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc sao cho tỗn t/i Ănh x/ u :
! X (khổng yảu cu o ữổc) thọa mÂn jjT(!; x)u(!)jj 6 jjxu(!)jj
vợi mồi ! 2 v x 2 X. Khi õ vợi mồi bin ngÔu nhiản 0 : ! X v
15


dÂy bin ngÔu nhiản (n(!)) xĂc nh bi dÂy lp Ishikawa
n+1 (!) = nT (!; n (!)) + (1
n) n (!) ;
n (!) = nT (!; n (!)) + (1
n) n (!)
nu hi tử th hi tử tợi im bĐt ng cia T, trong õ cĂc dÂy sL thỹc
(n), (n) thọa mÂn
0 < n; n < 1; lim sup
n
n

= M < 1;

1
X

n=1

= +1:
Trong b i bĂo [12] nôm 2006, cĂc tĂc giÊ I. Beg v M. Abbas sò dửng
phữỡng phĂp lp chứng minh sỹ tỗn t/i im bĐt ng cia toĂn tò
ngÔu nhiản co yu.
nh lỵ 1.2.8 ([12, nh lỵ 5.2]). Cho F l tp con lỗi, õng cia khổng
gian Banach khÊ ly X, v T : F ! F l toĂn tò ngÔu nhiản co yu
theo nghắa vợi bĐt ký x; y 2 F
kT (!; x)T (!; y)k 6 kxykf (kxyk) 8! 2
(1.8)
trong õ f : [0; +1) ! [0; +1) l h m liản tửc, khổng giÊm, f(t) = 0
khi v ch khi t = 0, limt!+1 f(t) = +1. Khi õ T cõ im bĐt ng.
Cụng trong b i bĂo [12], cĂc tĂc giÊ I. Beg v M. Abbas  chứng
minh nh lỵ v quĂ trnh lp n im bĐt ng cia toĂn tò ngÔu nhiản
co yu.
nh lỵ 1.2.9 ([12, nh lỵ 5.3]). Cho F l tp con lỗi, õng cia khổng
gian Banach khÊ ly X, v T : F ! F l toĂn tò ngÔu nhiản co yu.
GiÊ sò dÂy bin ngÔu nhiản (n(!)) tl v oF, ữổc gồi l dÂy lp Mann
(xem [38]), xĂc nh bi cổng thức
n+1 (!) = (1
n) n (!) + nT (!; n (!))vợi mỉi ! 2 ;
(1.9)
16
nn

n = 0; 1; 2; :::, trong õ 0 6 n 6 1,
1
P

n=1

= +1, 0(!) : ! F l bin
ngÔu nhiản bĐt ký. Khi õ dÂy lp (n(!)) hi tử v im bĐt ng cia T.
Nôm 2010 trong b i bĂo [57], cĂc tĂc giÊ D. H. Thang v T. N. Anh
bng phữỡng phĂp h m chồn  chứng minh kt quÊ sau Li vợi phữỡng
trnh toĂn tò ngÔu nhiản.
nh lỵ 1.2.10 ([57, nh lỵ 2.3]). Cho X; Y l cĂc khổng gian Polish
v f; g : X ! Yl cĂc toĂn tò ngÔu nhiản o ữổc. Khi õ phữỡng
trnh ngÔu nhiản f(!; x) = g(!; x) cõ nghiằm ngÔu nhiản khi v
ch khi
phữỡng trnh cõ nghiằm tĐt nh vợi hu ht ! 2 .
Hỡn na nu vợi hu ht ! 2 phữỡng trnh f(!; :) = g(!; :) cõ
duy nhĐt nghiằm tĐt nh, th phữỡng trnh f(!; x) = g(!; x) cõ duy
nhĐt
nghiằm ngÔu nhiản.
Tl nh lỵ n y, cĂc tĂc giÊ Â thu ữổc kt quÊ sau ch ra mLi liản hằ
gia sỹ tỗn t/i im bĐt ng tĐt nh v im bĐt ng ngÔu nhiản.
nh lỵ 1.2.11 ([57, nh lỵ 3.1]). Cho X l cĂc khổng gian Polish,
f : C ! X l toĂn tò ngÔu nhiản o ữổc. Khi õ f cõ im bĐt ng
ngÔu nhiản khi v ch khi vợi hu ht ! 2 , Ănh x/ f(!; :) cõ im bĐt
ng tĐt nh.
nh lỵ 1.2.11 cho thĐy Li vợi trữớng hổp toĂn tò ngÔu nhiản
o
ữổc, vĐn tỗn t/i im bĐt ng ngÔu nhiản tữỡng ữỡng vợi sỹ tỗn

t/i im bĐt ng tĐt nh cho hu ht !. Mt khĂc vĐn im bĐt
ng tĐt nh  ữổc nghiản cứu gn nhữ y i, vợi sL lữổng rĐt lợn
cĂc cổng trnh. Nhữ vy trữợc khi cõ b i bĂo [57], viằc chứng minh
sỹ
tỗn t/i im bĐt ng ngÔu nhiản cia toĂn tò ngÔu nhiản o ữổc m
17
n


sò dửng kt quÊ trong trữớng hổp tĐt nh kt hổp vợi nh lỵ h m
chồn
n Ơy khổng cặn nhn ữổc nhiu sỹ quan tƠm na. V th, ữa
ra cĂc kt quÊ v im bĐt ng cho toĂn tò ngÔu nhiản o ữổc, cĂc
tĂc giÊ thữớng chứng minh trỹc tip thổng qua phữỡng phĂp dÂy lp
m
khổng sò dửng cĂch chứng minh dỹa trản nh lỵ h m chồn nhữ
trữợc.
n bƠy giớ nhiu d/ng dÂy lp  ữổc sò dửng, in hnh l cĂc dÂy
lp Picard, dÂy lp Mann, dÂy lp Ishikawa, dÂy lp ba bữợc, dÂy lp
'n,
... Sò dửng phữỡng phĂp lp, sL cĂc kt quÊ v im bĐt ng ngÔu
nhiản
ữổc chứng minh phong phú hỡn rĐt nhiu so vợi sò dửng phữỡng
phĂp
h m chồn.

1.3 im trũng nhau cia cĂc toĂn tò ngÔu
nhiản
Tip theo sỹ xuĐt hiằn b i toĂn im bĐt ng cia toĂn tò ngÔu nhiản,
b i toĂn im trũng nhau cia cĂc toĂn tò ngÔu nhiản cụng  ữổc quan

tƠm n. Ln lữổt cĂc cổng trnh [11] nôm 1994, [17] nôm 1995, [45]
nôm
2000, [46] nôm 2000, [40] nôm 2003, [47] nôm 2004, [33] nôm 2004 ,
[41]
nôm 2005, [48] nôm 2005, [49] nôm 2006, [34] nôm 2006, [22] nôm
2006,
[35] 2007, [36] nôm 2008, [42] nôm 2010, [20] nôm 2010, [57] nôm
2010,
[25] nôm 2011 ... Â ữa ra nhiu kt quÊ quan trồng v im trũng nhau
cia cĂc toĂn tò ngÔu nhiản.
nh nghắa 1.3.1. Cho T1; T2; :::; Tn : X ! X l cĂc toĂn tò ngÔu
nhiản. Bin ngÔu nhiản : ! X gồi l im trũng nhau (ngÔu nhiản)
cia cĂc toĂn tò ngÔu nhiản T1; T2; :::; Tn nu
T1(!; (!)) = T2(!; (!)) = ::: = Tn(!; (!))h.c.c.
(1.10)
18


nh nghắa 1.3.2. nh x/ o ữổc : ! X ữổc gồi l im trũng
nhau (ngÔu nhiản) cia toĂn tò ngÔu nhiản f: X! X v toĂn
tò ngÔu nhiản a tr T: X ! CB(X) nu vợi mồi ! 2 ta cõ
f(!; (!)) 2 T(!; (!)).
Cho Ănh x/ 0 : ! X. Nu tỗn t/i dÂy (n(!)) sao cho f(!; 2n+1(!)) 2
S(!; 2n(!)), f(!; 2n+2(!)) 2 T(!; 2n+1(!)), n = 0; 1; 2; :::, th Of(0(!)) =
ff(!; n(!)) : n = 1; 2; 3; ::: vợi mỉi ! 2 g gồi l qu /o cia (S; T; f)
t/i 0(!). Nu Of(0(!)) hi tử trong X th X gồi l (S; T; f; 0(!))-qu
/o i (xem [40]).
nh lỵ 1.3.3 ([40, nh lỵ 3.1]). Cho X l khổng gian Banach khÊ ly,
S; T : X ! CB(X) l hai toĂn tò ngÔu nhiản a tr liản tửc, f :
X ! X l toĂn tò ngÔu nhiản sao cho S(!; X) [ T(!; X) f(!; X),

vợi T (!; X) =
S

x2X

T (!; x), f (!; X) = ff (!; x) : x 2 Xg. GiÊ sò vợi
mỉi Ănh x/ o ữổc 0 : ! X, f(!; X) l (S; T; f; 0(!))-qu /o i
vợi mồi ! v
H (S (!; x) ; T (!; x))6 (!) maxfd(f (!; x); f (!; y));
d (f (!; x) ; S (!; x)) ; d (f (!; y) ; S (!; y)) ;
[d (f (!; x) ; T (!; y)) + d (f (!; y) ; T (!; x))] =2g (1.11)
vợi mồi x; y 2 X, mồi ! 2 v : ! (0; 1) l Ănh x/ o ữổc. Khi õ
tỗn t/i duy nhĐt im trũng nhau cia S; T v f.
Dỹa trản phữỡng phĂp lp, nôm 1994 cĂc tĂc giÊ I. Beg, N. Shahzad
 chứng minh nh lỵ v im trũng nhau cia mt toĂn tò ngÔu nhiản
v mt toĂn tò ngÔu nhiản a tr.
Cho (X; d) l khổng gian Polish. nh x/ T: X ! CB(X) v f :
X ! X gồi l tữỡng thch nu vợi bĐt ký dÂy (xn) thuc X thọa mÂn
19


limn f xn 2 limn T xn (nu cĂc giợi h/n tỗn t/i) th limn H(f T xn; T f xn) =
0. ToĂn tò ngÔu nhiản f : X ! X v T : X ! CB(X) gồi l
tữỡng thch nu f(!; :) v T(!; :) l tữỡng thch vợi mồi ! 2 (xem [8],
[9]).
nh lỵ 1.3.4 ([11, nh lỵ 5.1]). Cho T : X ! CB(X) l toĂn tò
ngÔu nhiản a tr v f : X ! X l toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc sao
cho T(; X) f(!; X) vợi mồi ! 2 . Nu f, T l tữỡng thch v vợi
mồi x; y 2 X, ! 2 ,
H (T (!; x) ; T (!; y)) 6 (!) d (f (!; x) ; f (!; y))

(1.12)
vợi : ! (0; 1) l Ănh x/ o ữổc th tỗn t/i duy nhĐt im trũng nhau
cia f v T.
Kt lun: Trong chữỡng n y, chúng tổi  trnh b y mt cĂch tõm
lữổc cĂc khĂi niằm liản quan n b i toĂn im bĐt ng v im trũng
nhau cia cĂc toĂn tò ngÔu nhiản. Ngo i ra, chúng tổi cụng  trnh
by
mt cĂch tng quan cĂc kt quÊ Â nhn ữổc trong quĂ trnh hnh
th nh
v phĂt trin cia b i toĂn im bĐt ng v im trũng nhau cia cĂc
toĂn tò ngÔu nhiản.
20


Chữỡng 2 IM BT áNG V IM TRềNG NHAU
CếA CC TON T HON TON NGU NHIN
ToĂn tò ngÔu nhiản f : X ! Ycõ th coi l mt tĂc ng bin
phn tò x trong X th nh u ra ngÔu nhiản f(!; x) nhn giĂ tr trong
Y . Trong mt sL trữớng hổp, ngay cÊ u v ocụng b Ênh hững bi
mổi
trữớng ngÔu nhiản, mt tĂc ng bin cĂc phn tò ngÔu nhiản nhn giĂ
tr trong X th nh u ra ngÔu nhiản nhn giĂ tr trong Yữổc gồi l
toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản tl X v oY .
Chữỡng n y trnh b y kt quÊ v sỹ thĂc trin toĂn tò ngÔu nhiản
th nh toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản. Tip theo õ, cĂc kt quÊ v im
bĐt ng v im trũng nhau cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản ữổc
xt n. Chú ỵ rng nh lỵ im bĐt ng v im trũng nhau cia cĂc
toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản khổng ữổc suy ra mt cĂch trỹc tip tl
cĂc nh lỵ tữỡng ứng trong trữớng hổp tĐt nh, hay trong trữớng hổp
ngÔu nhiản.

Ni dung chữỡng n y bao gỗm cĂc mửc: 2.1 ToĂn tò ho n to n ngÔu
nhiản, 2.2 im bĐt ng cia toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, 2.2 im
trũng nhau cia cĂc toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản. CĂc kt quÊ
trong
chữỡng n y ữổc cổng bL trong cĂc b i bĂo [1, 2, 3] trang 76 cia lun
Ăn.

2.1ToĂn tò ho n to n ngÔu nhiản
Trong cĂc chữỡng tip theo, chúng tổi xt X l khổng gian Banach
khÊ ly
v (; F; P) l khổng gian xĂc suĐt y i. GiÊ sò f : X ! X l toĂn
tò ngÔu nhiản liản tửc. Theo nh lỵ 1.1.5, nu f l toĂn tò ngÔu
nhiản
21


liản tửc th vợi mồi bin ngÔu nhiản u : ! X, Ănh x/ ! 7!f(!; u(!))
o ữổc v cụng l bin ngÔu nhiản. Do õ ta cõ th xt
: LX
X
0() ! L
0()
(2.13)
xĂc nh bi u(!) = f(!; u(!)) vợi mồi u 2 LX
0().
Khi õ cõ th coi X l tp con cĂc bin ngÔu nhiản suy bin (bin
ngÔu nhiản nhn mt giĂ tr cử th cL nh vợi xĂc suĐt 1) cia tp cĂc
bin ngÔu nhiản LX
0(). Hỡn na, h/n ch cia trản X trũng vợi toĂn
tò ngÔu nhiản f. Tl õ, ta nhn ữổc l sỹ m rng cia f lản to n b

LX
X
0() v ta gồi : L
X
0() ! L
0() l toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản.
Khổng gian LX
0() cĂc bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr trong X vợi tổ pổ
hi tử theo xĂc suĐt l khổng gian y i theo nghắa mỉi dÂy (u n)
trong
LX
X
0() hi tử n phn tò u 2 L
0() khi v ch khi dÂy õ l cỡ bÊn
theo xĂc suĐt. Khổng gian LX
0() cụng l khổng gian metric hõa ữổc
vợi nhiu metric khĂc nhau (sỹ hi tử theo cĂc metric õ tữỡng ữỡng
vợi sỹ hi tử theo xĂc suĐt). Khi õ ta cõ th coi nhữ l mt Ănh x/
gia hai khổng gian metric. Tuy nhiản Ơy chúng tổi xt n gõc
xĂc suĐt cia toĂn tò , vợi cĂc giÊ thit dỹa trản cĂc biu thức xĂc suĐt
chứ khổng dỹa trản cĂc metric cia LX
0().
Sau Ơy l nh nghắa toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản.
nh nghắa 2.1.1 ([1, nh nghắa 3.3.1]). Cho X; Y l cĂc khổng
gian
Banach khÊ ly.
1. nh x/ : LX
Y
0() ! L 0() ữổc gồi l toĂn tò ho n to n ngÔu
nhiản.

2. ToĂn tò ho n to n ngÔu nhiản ữổc gồi l liản tửc nu vợi mỉi dÂy
22