Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2013–2014 - Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Bình

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2013 – 2014
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1 (4.0 điểm)
Giải phương trình 
Câu 2 (4.0 điểm)

Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số  được xác định như sau:
 (tử số có n dấu căn); 
Tính giới hạn của dãy số .
Câu 3 (4.0 điểm)
Tìm các hàm số  thỏa mãn:
.
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho tam giác  và  là hai điểm di động trên đường thẳng  sao cho . Đường thẳng  đi qua  
và vuông góc với , đường thẳng  đi qua  và vuông góc với . Gọi  là giao điểm của  và . 
Chứng minh rằng trung điểm  của đoạn  luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5 (4.0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng 
các chữ số chia hết cho 11.
Câu 6 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình:

Câu 7 (5,0 điểm).


Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
.
Câu 8 (5,0 điểm).
Cho hai đường tròn  và  cắt nhau tại  và  sao cho . Đường thẳng  cắt hai đường tròn tại 
sao cho các điểm  nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó.  cắt đường tròn  tại điểm thứ 

hai  và cắt  tại .  cắt đường tròn  tại điểm thứ hai  và  tại .
a) Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh rằng: .
Câu 9 (5,0 điểm).
Cho các số nguyên dương  với  và . Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường 
thẳng. Tô n điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tô đúng một màu). Tìm số 
cách tô màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
1) Có đúng k điểm được tô bởi màu xanh.
2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất p điểm được tô 
màu đỏ.
3) Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối cùng có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
(Hai cách tô màu được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tô màu khác 
nhau trong hai cách đó).