Đáp án đề thi truyển sinh Cao đẳng năm 2010 môn Toán khối D

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO



ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2010

Môn: TOÁN; Khối D

(Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)


ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu

Đáp án

Điểm

I

1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị …

(2,0 điểm)

•
Tập xác định: D = .
•
Chiều biến thiên: y ' = 3x

2
+ 6x; y ' = 0  
x=0
0,25
x = −
2.

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (− ∞;− 2) và (0; + ∞). - Hàm
số nghịch biến trên khoảng (− 2; 0).

•
Cực trị:

- Hàm số đạt cực đại tại x = −2 và y
C§
= y(− 2) = 3.

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và y
CT
= y(0) = −1.

•
Giới hạn: lim y = −∞; lim y = +∞.
0,25
x→−∞

•
Bảng biến thiên:
x→+∞

x −∞

y'


y



+


−2

0

3



−

0

0+


+∞

+∞



0,25



•
Đồ thị:

−∞



y
−1




3



0,25

O

−2

x

−1




2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến …
Tung độ tiếp điểm là: y(−1) = 1.

Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y '(−1) = −3

Phương trình tiếp tuyến là: y −1 = k(x +1)

 y = −3x − 2.
0,25

0,25
0,25

0,25
II

1. (1,0 điểm) Giải phương trình…

(2,0 điểm)

Phương trình đã cho tương đương với: 2cos 4x + 8sin 2x − 5 = 0

0,25
4sin
2
2x − 8sin 2x + 3 = 0

0,25
•
sin 2x =
3
: vô nghiệm.

0,25

2


π
•
sin 2x =
1

x = 12 + kπ (k ∈ ). 
0,25
2
x = 5π + kπ


12

Trang 1/3
Câu


2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2
Đáp án Điểm
2 2x + y = 3 − 2x − y (1)

x − 2xy − y
2
= 2
( 2)
Điều kiện: 2x + y ≥ 0. Đặt t = 2x + y , t ≥ 0. Phương trình (1) trở thành: t
2
+ 2t − 3 = 0

0,25


 t =1

t
= −3 (lo¹i).


Với t = 1, ta có y = 1 − 2x. Thay vào (2) ta được x
2

+ 2x − 3 = 0



x =1
0,25




III

(1,0 điểm)

Với x = 1 ta được y = −1, với x = −3 ta được y = 7. Vậy hệ
có hai nghiệm (x; y) là (1; −1) và (−3;7).

(1,0 điểm) Tính tích phân…

x
= −
3.
0,25



0,25
1

1

1
I
=

2
− 3 
dx
= 2 dx − 3 dx
∫

0



x +
1


∫

0
∫

0
x +1
0,25

= 2x
1

− 3ln x +1
1
0

= 2 − 3ln 2.
0
0,50

0,25
IV

(1,0 điểm) Tính thể tích khối chóp…

(1,0 điểm)

S





A

D


I

45
o

B

C

Gọi I là trung điểm AB. Ta có SA = SB  SI  AB. Mà (SAB)  ( ABCD), suy ra SI  ( ABCD).

0,25

Góc giữa SC và (ABCD) bằng SCI và bằng 45
O
, suy ra SI = IC = IB
2
+ BC
2
= a 5 ·

2
0,25

Thể tích khối chóp S.ABCD là V = 1 SI.S
ABCD

3

3
0,25


V

= a
5
(đơn vị thể tích).

6

(1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức …
0,25
(1,0 điểm)

Ta có A = 1 + 1 ≥ 1 + 2

0,25
x
xy x x + y

≥ 2. 1 · 2 =
4

≥
8

= 8 ≥ 8.

0,50
x x+ y

2 x( x + y ) 2 x + ( x + y ) 3 x + y

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8.


VI.a

(2,0 điểm)

4

1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc …

Hình chiếu vuông góc A' của A trên (P) thuộc đường thẳng đi qua A và nhận u = (1; 1; 1) làm

vectơ chỉ phương.

T
ọ
a

đ
ộ

A
'

c
ó

d
ạ

n
g

A
'
(
1

+

t
;
−

2

+

t
;

3

+

t
)
.

T
a

c
ó
:

A
'
∈

(
P
)

 3t + 6 = 0  t = −2.

Vậy A'(−1;− 4;1).


Trang 2/3
0,25




0,25


0,25

0,25

0,25
Câu

Đáp án

Điểm

2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt cầu…

Ta có AB = (− 2; 2;− 2) = −2(1;−1; 1). Bán kính mặt cầu là R = AB = 3 ·

0,25
6

3
Tâm I của mặt cầu thuộc đường thẳng AB nên tọa độ I có dạng I (1 + t;−2 − t;3 + t).

0,25

Ta có: d (I ,(P)) = AB 
t+6

= 3 

t = −5

0,25
6 3 3


t = −7. 

•
t = −5  I (− 4;3;− 2). Mặt cầu (S) có phương trình là (x + 4)
2
+ ( y − 3)
2
+ (z + 2)
2
= 1 ·

3
0,25
•
t = −7  I (− 6;5;− 4). Mặt cầu (S) có phương trình là (x + 6)
2
+ ( y − 5)
2
+ (z + 4)
2
= 1 ·

3
VII.a

(1,0 điểm)
(1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo …

Gọi z = a + bi (a ∈ , b ∈ ). Đẳng thức đã cho trở thành 6a + 4b − 2(a + b)i = 8 − 6i

0,50


a = −2

6a + 4b = 8

2a + 2b = 6 

b = 5.

0,25




Vậy z có phần thực bằng - 2, phần ảo bằng 5.

VI.b

(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng …

d có vectơ chỉ phương a = (− 2; 1; 1), (P) có vectơ pháp tuyến n = (2;−1;2).

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). Ta có A(0;1;0)∈d nên (Q) đi qua A và [a , n ]

là vectơ pháp tuyến của (Q).

 1 1 1 −2 −2 1 
0,25



0,25


0,25
Ta có [a , n ] = 

−1 2 ; 2 2 ; 2 −1

= 3(1; 2; 0). 
0,25
 
Phương trình mặt phẳng (Q) là x + 2 y − 2 = 0.

2. (1,0 điểm)Tìm tọa độ điểm M …

M ∈ d nên tọa độ điểm M có dạng M (−2t;1+ t;t).


Ta có MO = d (M ,(P))  4t
2
+ (t +1)
2
+ t
2

= t +1

 5t
2
= 0  t = 0.

Do đó M (0;1;0).
0,25



0,25

0,25

0,25

0,25
VII.b

(1,0 điểm)
(1,0 điểm) Giải phương trình …

Phương trình có biệt thức Δ = (1 + i)
2
− 4(6 + 3i) = −24 −10i

= (1− 5i)
2

Phương trình có hai nghiệm là z = 1− 2i và z = 3i.


------------- Hết -------------
0,25

0,50

0,25