Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông 13

TR×˝NG

I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N
I H¯C QU¨C GIA H N¸I

LU NV NTH CS

PH N LO I C C H PH×ÌNG TR NH TRONG TO N H¯C PH˚
TH˘NG

H¯CVI N:L
V NL×U
CHUY N NG NH: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p
M S¨: 60460113
C N B¸ HײNG D N: PGS. TS. Nguy„n Minh Tu§n

H

N¸I - 2015


Lới cÊm ỡn
Lun vôn ữổc ho n th nh dữợi sỹ ch bÊo v hữợng dÔn ca PGS. TS. Nguyn Minh
TuĐn. Thy  d nh nhiu thới gian hữợng dÔn v giÊi Ăp cĂc thc mc ca tổi trong sut quĂ
trnh l m lun vôn. T tn Ăy lặng em xin cÊm b y tọ sỹ bit ỡn sƠu sc n thy.
Tổi xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi: cĂc thy cổ khoa ToĂn-Cỡ-Tin hồc; Phặng
sau i hồc Trữớng i Hồc Khoa Hồc Tỹ Nhiản, i Hồc Quc Gia H Ni; CĂc thy cổ giĂo Â
tham gia giÊng dy khõa cao hồc chuyản ng nh phữỡng phĂp toĂn cỡ cĐp khõa 20132015; Ban giĂm hiằu v cĂc ỗng nghiằp trữớng THPT Nguyn Siảu Hững Yản  to iu
kiằn thun lổi cho tổi ho n th nh lun vôn ca mnh.
Mc dũ Â c gng rĐt nhiu v rĐt nghiảm túc trong quĂ trnh tm tặi, nghiản cứu
những do thới gian v trnh cặn hn ch nản nhng ni dửng ữổc trnh b y trong

lun vôn cặn rĐt khiảm tn v khổng trĂnh khọi nhng thiu sõt. V vy tĂc giÊ rĐt
mong nhn ữổc sỹ õng gõp ca quỵ thy cổ v cĂc bn ỗng nghiằp lun vôn ữổc ho n
thiằn hỡn.
H Ni, thĂng 9 nôm 2015
TĂc giÊ

Lả Vôn Lữu

i


Möc löc
Mð ƒu
1 Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v
1.1 Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c bŁn . . . . . . . . . . . .
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
2 H» ph÷ìng tr…nh th÷íng g°p

2.1 H» ph÷ìng tr…nh b“c nh§t hai 'n . . . . . . . .
2.2 H» ph÷ìng tr…nh Łi xøng . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
2.2.2
2.3 H» ph÷ìng tr…nh flng c§p . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
2.3.2

2.4 H» ph÷ìng tr…nh b“c hai tŒng qu¡t . . . . . .
2.5 H» ph÷ìng tr…nh b“c cao nhi•u 'n sŁ . . . . .
2.5.1
2.5.2
2.6 H» ph÷ìng tr…nh chøa c«n, h» ph÷ìng tr…n
2.6.1
2.6.2
3 H» ph÷ìng tr…nh khæng m¤u müc

3.1 Ph÷ìng ph¡p bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng . . . . . . . . .
3.1.1
3.1.2
3.1.3
ii


MÖC LÖC
3.2
3.3
3.4

Ph÷ìng ph¡p °t 'n phö .
Ph÷ìng ph¡p h m sŁ . . .
Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ . .

T i li»u tham kh£o

iii

M

u

Hằ phữỡng trnh l mt trong nhng ni dung trồng tƠm, ph bin cõ v tr
c biằt quan trồng trong chữỡng trnh toĂn hồc ph thổng. Nõ xuĐt hiằn nhiu
trong cĂc ký thi hồc sinh giọi cụng nhữ ký thi tuyn sinh v o i hồc v cao flng. Hồc
sinh phÊi i mt vợi rĐt nhiu nhng dng toĂn v hằ phữỡng trnh m viằc phƠn
loi chúng chữa ữổc liằt kả y trong sĂch giĂo khoa. õ l cĂc hằ phữỡng trnh
bc nhĐt, hằ phữỡng trnh i xứng loi mt, hằ phữỡng trnh i xứng loi hai, hằ
phữỡng trnh flng cĐp, hằ phữỡng trnh bc hai tng quĂt,...
Viằc phƠn loi cĂc hằ phữỡng trnh cụng nhữ viằc tm lới giÊi cĂc hằ v viằc xƠy
dỹng cĂc hằ l nim am mả ca khổng t ngữới, c biằt nhng ngữới trỹc tip
giÊng dy. Chnh v vy Ăp ứng nhu cu giÊng dy v hồc tp, tĂc giÊ Â chồn t
i "PhƠn loi cĂc hằ phữỡng trnh trong toĂn hồc ph thổng" l m t i nghiản cứu
ca lun vôn. t i nhm mt phn n o õ Ăp ứng mong muĐn ca bÊn thƠn v mt t
i phũ hổp m sau n y cõ th phửc vử thit thỹc cho viằc giÊng dy ca mnh
trong nh trữớng ph thổng.
Lun vôn n y

cp

n viằc phƠn loi cĂc hằ phữỡng trnh trong chữỡng trnh

toĂn ph thổng, t õ giúp hồc sinh cõ cĂch nhn nhn sƠu sc hỡn v cĂc b i
toĂn liản quan n hằ phữỡng trnh. Lun vôn ữổc chia th nh ba chữỡng. Chữỡng
1 cp n hữỡng trnh bc ba v phữỡng trnh bc bn. Chữỡng 2 phƠn loi cõ hằ
thng mt s hằ phữỡng trnh thữớng gp. Chữỡng 3 nảu mt s phữỡng phĂp
giÊi in hnh cho hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc. Hy vồng Ơy s l mt t i
liằu hu ch trong giÊng dy cụng nhữ hồc tp ca thy, cổ v cĂc em hồc sinh.

3


Ch֓ng 1
Ph÷ìng tr…nh

⁄i sŁ b“c ba v bŁn

Ch÷ìng n y ta s‡ n¶u c¡ch gi£i cho ph÷ìng tr…nh b“c ba v ph÷ìng tr…nh b“c
bŁn tŒng qu¡t.

1.1

Ph÷ìng tr…nh

⁄i sŁ b“c ba

Trong phƒn n y ta s‡ n¶u ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr…nh b“c ba vîi h» sŁ
thüc tòy þ:
3

2

ax + bx + cx + d = 0; a 6= 0:

B

i to¡n 1.1. Gi£i ph÷ìng tr…nh (1.1) khi bi‚t mºt nghi»m: x = x0:

Líi gi£i. Theo gi£ thi‚t
3

2

ax 0 + bx 0 + cx0 + d = 0:

Ph÷ìng tr…nh (1.1) t÷ìng ÷ìng vîi c¡c ph÷ìng tr…nh sau
3

2

3

2

ax + bx + cx + d = ax 0 + bx 0 + cx0 + d;
ax

X†t = (ax0 + b)

2

3

(x x0)(
4a

1) N‚u < 0 th… ph÷ìng tr…nh (1) câ
4

Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v bŁn

2) N‚u

0 th… ph÷ìng tr…nh câ nghi»m l

x1 = x0; x2 =

Nh“n x†t 1.1. 1) N‚u x0 l nghi»m cıa (1.1) th… i•u ki»n cƒn v ı ” (1.1) câ ba
nghi»m ph¥n bi»t l :
2

2

ax 0 + (ax0 + b)x0 + ax 0 + bx0 + c 6= 0
> 0:
3

2

2) N‚u x0 l nghi»m cıa (1.1) th… câ th” ph¥n t‰ch ax + bx + cx + d = f (x) (x x0) ;
trong â f (x) l tam thøc b“c hai.
3) N‚u x1; x2; x3 l
3

2

ax + bx + cx + d = a (x x1) (x x2) (x x3) ;

v cæng thøc Vi†t l

x1 + x2 + x3 =

B i to¡n 1.2. Gi£i ph÷ìng tr…nh 4x

3

Líi gi£i. °t m = cos = cos ( 2 ) : Khi â

Do v“y ph÷ìng tr…nh câ ba nghi»m: x1

B i to¡n 1.3. a) °t x =

b) Gi£i ph÷ìng tr…nh 4x
Líi gi£i. a) Ta câ
x=

1

3


5


°t a = x +

p

4x

b) Ta chøng minh ph÷ìng tr…nh câ nghi»m duy nh§t. Th“t v“y, ph÷ìng tr…nh khæng

câ nghi»m x0 2 [

Gi£ sß ph÷ìng tr…nh

Ta câ

V“y x = x1 l nghi»m duy nh§t. °t m =

ph÷ìng tr…nh câ nghi»m duy nh§t

B

3

i to¡n 1.4. Gi£i ph÷ìng tr…nh: 4x + 3x = m:

Líi gi£i. Nh“n x†t r‹ng x = x0 l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh th…
3

nh§t. Th“t v“y, x†t x > x0, khi â 4x + 3x > 4x
3

3

1 + 3x1 = m:

â l nghi»m duy

T÷ìng tü, vîi x < x0 th…

3

4x + 3x < 4x 1 + 3x1 = m:

x=

°t

Suy ra c¡ch gi£i ph÷ìng tr…nh, °t

1

2

a


Khi â ph÷ìng tr…nh câ nghi»m duy nh§t

6


Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v bŁn

B

3

Líi gi£i. °t t = y

Ta câ c¡c tr÷íng hæp sau:

p

1) N‚u p = 0 th… ph÷ìng tr…nh câ nghi»m duy nh§t y = 3 q:
2) N‚u p > 0 th… °t y = 2

pp

3 x.

Khi

â ta ÷æc ph÷ìng tr…nh
p
3 3q

3

4x

a) jmj

1, °t m = cos

3x = m; m = 2ppp:

th… ph÷ìng tr…nh câ ba nghi»m

x1 = cos

b) jmj > 1,

°t

Khi â ph÷ìng tr…nh câ nghi»m duy nh§t

x=

3) N‚u p < 0, °t y = 2

°t

2

i to¡n 1.5. (xem [3]) Gi£i v bi»n lu“n ph÷ìng tr…nh t + at + bt + c = 0:

q


Khi â ph÷ìng tr…nh câ nghi»m duy nh§t
d

x=2

1

7


Phữỡng trnh i s bc ba v bn

1.2

Phữỡng trnh

i s bc bn

Trong phn s nảu phữỡng phĂp chung phƠn tch a thức bc bn tng
quĂt th nh tch hai tam thức bc hai. i vợi mt s dng a thức bc bn c biằt cõ
nhng php bin i phũ hổp v ỡn giÊn hỡn, khổng ặi họi phÊi vn dửng to n
b thut toĂn tng quĂt.

1.2.1

4

Phữỡng trnh dng (x

a) + (x

4

b) = c:

t x = t +

Ơy l phữỡng trnh

 bit cĂch giÊi.
4

B i toĂn 1.6. GiÊi phữỡng trnh (x
Lới giÊi.

3) + (x

4

5) = 82:

t x = y + 4. Khi õ phữỡng trnh  cho tr th nh cĂc phữỡng trnh sau
4

(y + 1) + (y

GiÊi phữỡng trnh tm

4

1) = 82;

ữổc y = 2 v y = 2

Do vy phữỡng trnh  cho cõ hai nghiằm x = 2; x = 6:

1.2.2

Phữỡng trnh dng

(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m; a + d = b + c:

t u = (x + a) (x + d) suy ra (x + b) (x + c) = u + bc

ad: Khi

2

õ phữỡng trnh tr

th nh u (u + bc ad) = m hay u + (bc ad) u m = 0: Ơy l phữỡng trnh  bit cĂch giÊi.

B i toĂn 1.7. GiÊi phữỡng trnh x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8:
8


Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v bŁn

Líi gi£i. °t u = x (x + 3) suy ra (x + 1) (x + 2) = u + 2. Khi â ph÷ìng tr…nh trð th nh
2

u + 2u

8 = 0;

gi£i ph÷ìng tr…nh ta ÷æc u = 2 v u =
ph÷ìng tr…nh sau câ nghi»m

Ta t…m ÷æc x =
2

1.2.3 Ph÷ìng tr…nh vîi h» sŁ ph£n hçi.

d

°t

b

sau

2

Nh“n x†t x = 0 khæng thäa m¢n ph÷ìng tr…nh. Chia hai v‚ ph÷ìng tr…nh cho x
ta ÷a ph÷ìng tr…nh ¢ cho v• h» ph÷ìng tr…nh

Hay h» ph÷ìng tr…nh
x2

Nh“n x†t 1.2. °c bi»t khi a = e; b = d ph÷ìng tr…nh ban ƒu trð th nh ph÷ìng tr…
4

3

2

nh Łi xøng ax + bx + cx + bx + a = 0: Khi a = e; b = d ph÷ìng tr…nh ban ƒu trð
4

3

2

th nh ph÷ìng tr…nh nßa Łi xøng ax + bx + cx bx + a = 0:


4

B i to¡n 1.8. Gi£i ph÷ìng tr…nh: x + 3x
9

3

2

6x + 6x + 4 = 0:


Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v bŁn

Líi gi£i. D„ th§y x = 0 khæng l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh. X†t x 6= 0 chia hai
2

v‚ ph÷ìng tr…nh cho x ta ÷æc

2

°t t = x +

x

Gi£i ph÷ìng tr…nh vîi chó þ i•u ki»n ta chån t = 5;

Tł â t…m ÷æc x =
Do v“y ph÷ìng tr…nh ¢ cho câ hai nghi»m x =
4

2

1.2.4 Ph÷ìng tr…nh d⁄ng t = t + t + :
Tr÷íng hæp: =
hæp: 6= 0. Ta sß döng

Suy ra ph÷ìng tr…nh ban ƒu t÷ìng ÷ìng vîi

Ta cƒn chån m sao cho v‚ ph£i cıa (1.2) câ bi»t thøc
cho

m = 0,

tøc l

Ta th§y (1.3) l ph÷ìng tr…nh b“c ba theo m m ta bi‚t ph÷ìng tr…nh b“c ba lu¥n
gi£i ÷æc n¶n ph†p gi£i n y lu¥n i ‚n k‚t qu£ cuŁi còng.

10


Ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ b“c ba v bŁn

B

4

2

i to¡n 1.9. Gi£i ph÷ìng tr…nh x = 3x + 10x + 4:

Líi gi£i. Vi‚t ph÷ìng tr…nh d÷îi d⁄ng
2

x +

Chån

2

2

= (3 + 2 ) x + 10x + 4 +

”
=25 (3+2 ) 4+
3

2

:

=0;

2

2 +3 +8

Ta th§y

2

13=0:

= 1 thäa m¢n, v“y câ th” vi‚t ph÷ìng tr…nh d÷îi d⁄ng

Ta câ hai tr÷íng hæp:
p

2

Tr÷íng hæp 1. x

2

Tr÷íng hæp 2. x +

p

Do v“y ph÷ìng tr…nh câ hai nghi»m x =

4

3

2

1.2.5 Ph÷ìng tr…nh d⁄ng ax + bx + cx + dx + e = 0 ; a 6= 0
°t x =
tr…nh ¢ bi‚t c¡ch gi£i.
B i to¡n 1.10. Gi£i ph÷ìng tr…nh: x
Líi gi£i.

4

°t x = t + 2. Khi â ph÷ìng tr…nh ¢ cho trð th nh c¡c ph÷ìng tr…nh sau
(t + 2)
t
t
t

4
4
2

4
2

= 4t

= (2t
= 2t

p


Gi£i ph÷ìng tr…nh t…m

־c t = 1 v t =

Do v“y ph÷ìng tr…nh ¢ cho câ ba nghi»m x = 3; x = 1
11

p

1
2:

2:


Ch֓ng 2
H» ph÷ìng tr…nh th÷íng g°p
2.1

H» ph÷ìng tr…nh b“c nh§t hai 'n

ành ngh¾a 2.1. H» ph÷ìng tr…nh b“c nh§t hai 'n câ d⁄ng
ax + by = c
0

0

a x+b y=c

Vi»c gi£i v bi»n lu“n h» tr¶n

0

÷æc ti‚n h nh nh÷ sau:

B÷îc 1. T‰nh c¡c ành thøc
D = a0

Dy =

B÷îc 2. + N‚u D 6= 0 h» câ nghi»m duy nh§t: x =

D

Dx

;

D

y = Dy :

+
N‚u D = 0, Dx 6= 0 ho°c Dy 6= 0 th… h» væ
nghi»m.
thäa m¢n: ax + by = c:
+
N‚u D = Dx = Dy = 0 th… h» câ væ sŁ nghi»m (x;
y)

B

i to¡n 2.1. Gi£i v bi»n lu“n h» ph÷ìng tr…nh


ax + 2y = 4
2x + ay = a:
12

a


H» ph÷ìng tr…nh th÷íng g°p

Líi gi£i. Ta t‰nh c¡c ành thøc sau:
4;
a(a

2);

+

N‚u a = 2 suy ra: D = 0; Dx 6= 0 h» væ nghi»m.

+

N‚u a = 2 suy ra D = Dx = Dy = 0 h» câ væ sŁ nghi»m (x; y) thäa m¢n x + y = 1:

B

i to¡n 2.2. T…m m ” 2 ph÷ìng tr…nh sau câ nghi»m chung
2

x + (2m

Líi gi£i.

2

°t y = x , y

1) x + m

2

2 = 0; x

2

(2m + 1) x

m

2 = 0:

0; ta x†t h» ph÷ìng tr…nh
2

(2m 1)x + y = 2 m
(2m + 1)x + y = 2 + m:

Ta t‰nh c¡c ành thøc sau:
D=

2m

Dx =

Dy =

+ N‚u m 6= 0 ) D 6= 0 h» câ nghi»m duy nh§t
Dx


x=

2

Ta câ y = x suy ra
2

2

2m + m + 7 = m + 2m + 1:

4

13

16


Tł â
Ta t…m ÷æc m =
+ N‚u m = 0 suy ra D = Dx = Dy = 0 h» ph÷ìng tr…nh câ væ sŁ (x; y) thäa m¢n y x
= 2, v h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m chung l
2

x

x

2 = 0:

Ta t…m ÷æc x = 1 v x = 2:
V“y c¡c gi¡ trà t…m ÷æc cıa m l m = 0, m =
9

B

i to¡n 2.3. Bi»n lu“n theo m gi¡ trà nhä nh§t cıa bi”u thøc

2

2

A = (x 2y + 1) + (2x + my + 5) :

Líi gi£i. Ta câ
(x

2y + 1)

2

(2x + my + 5)

0
2

0:

Ta x†t h» ph÷ìng tr…nh
x 2y = 1
2x + my = 5:

Ta t‰nh c¡c ành thøc:

+ N‚u D 6= 0 hay m 6= 4 h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m duy nh§t. Suy ra A 0 v
minA=0.
+ N‚u m =

4 th…

2

A =(x 2y + 1) + (2x 4y + 5)

2


2

2

=u + (2u + 3) = 5 u +

14