Sóng mặt rayleigh với điều kiện biên trở kháng vật chất 604401

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ
NHIÊN -----------

Nguyễn Quỳnh Xuân

SÓNG MẶT RAYLEIGH VỚI ĐIỀU KIỆN
BIÊN TRỞ KHÁNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2017



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA
HỌC TỰ NHIÊN ------------

Nguyễn Quỳnh Xuân

Sóng mặt Rayleigh với điều kiện biên trở kháng

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. Phạm Chí Vĩnh

Hà Nội - 2017

Mục lục
1 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG RAYLEIGH VỚI ĐIỀU
KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG
1.1

Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Phương trình đặc trưng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Điều kiện biên trở kháng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 CÔNG THỨC VẬN TỐC SÓNG

2.1 Điều kiện biên trở kháng chỉ ả

2.2 Điều kiện biên trở kháng chỉ ả

2.3 Sự tồn tại và duy nhất của són
Kết luận

2

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong luận văn này cho phép em được gửi lời cảm ơn chân
thành, sâu sắc tới thầy Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình chỉ bảo, hướng
dẫn, giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Em cũng xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo đã dạy dỗ em trong
suốt 6 năm học đại học và sau đại học, đặc biệt là các thầy, cô trong bộ
môn Cơ học, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội. Nhân
dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và
các anh chị trong nhóm semina đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ
em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.

Hà Nội, ngày

tháng

năm 2017

Học viên Cao học

Nguyễn Quỳnh Xuân

3


LỜI MỞ ĐẦU
Trong phần lớn các nghiên cứu về sóng Rayleigh, bán không gian đàn hồi
được giả thiết là tự do đối với ứng suất, tức là ứng suất bằng không trên mặt
biên của nó. Sóng mặt tương ứng được gọi là "Sóng Rayleigh tự do ứng suất".

Mặc dù vậy, trong nhiều bài toán thực tế của âm học, điện từ học,..., điều
kiện biên trở kháng (impedance boundary conditions), liên hệ tuyến tính các
hàm cần tìm và các đạo hàm của chúng trên biên, xuất hiện thường xuyên,
tham khảo chẳng hạn các bài báo [4]-[16] đối với lĩnh vực âm học, [17]-[8]
đối với lĩnh vực điện-từ học, và các tài liệu tham khảo trong đó.
Mặt khác, khi nghiên cứu sóng Rayleigh truyền trong các bán không gian
đàn hồi phủ các lớp mỏng, các tác giả thường thay thế (một cách gần đúng)
toàn bộ ảnh hưởng của lớp mỏng lên bán không gian bằng các điều kiện
trên biên phân chia của chúng, được gọi là "các điều kiện biên hiệu dụng"
(effective boundary conditions), tham khảo chẳng hạn [1]-[24]. Các điều kiện
biên hiệu dụng có dạng điều kiện biên trở kháng. Sau đó, sóng Rayleigh
được xem xét như truyền trong bán không gian đàn hồi, không bị phủ (lớp
mỏng), nhưng chịu các điều kiện biên trở kháng. Sóng mặt tương ứng được
gọi là sóng Rayleigh với (chịu) điều kiện biên trở kháng.
Ngày nay, cấu trúc lớp mỏng gắn với một lớp dày, mô hình hóa như một
bán không gian phủ lớp mỏng, đang được sử dụng rất rộng rãi trong công
nghệ hiện đại, như đã nhấn mạnh trong các tài liệu tham khảo [9, 14]. Do
vậy, việc nghiên cứu sóng Rayleigh với điều kiện biên trở kháng là đòi hỏi
của thực tế.
Bài toán truyền sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng
chịu điều kiện biên trở kháng được Godoy và cộng sự [7] nghiên cứu gần đây.
Các tác giả đã tìm ra phương trình tán sắc và chứng minh được sự tồn tại và
duy nhất của sóng. Mặc dù vậy, công thức của vận tốc sóng vẫn chưa được
4


tìm ra.
Đối với sóng mặt Rayleigh, vận tốc của nó là một đại lượng vật lý cơ
bản, được các nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học khác nhau quan
tâm. Nó được nói đến trong hầu hết các sách chuyên khảo về sóng trong

các môi trường đàn hồi. Nó liên quan đến hàm Green trong nhiều bài toán
động lực học của bán không gian, và là một công cụ tiện lợi để đánh giá
không phá hủy các đặc trưng cơ học của các kết cấu trước và trong khi chịu
tải. Do vậy, công thức giải tích của vận tốc sóng Rayleigh có ý nghĩa đặc
biệt quan trọng về cả phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn.
Mục đích chính của luận văn là tìm ra công thức vận tốc sóng Rayleigh
chịu điều kiện biên trở kháng. Để tìm ra công thức này, phương pháp hàm
biến phức được sử dụng.
Nội dung của luận văn được trình bầy trong hai chương:
Chương 1: Phương trình tán sắc của sóng Rayleigh với điều kiện
biên trở kháng.
Trình bày tổng quan về sóng mặt Rayleigh: các phương trình cơ bản,
phương trình đặc trưng. Điều kiện biên trở kháng, quá trình tìm ra
phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong bán không gian đàn
hồi chịu điều kiện biên trở kháng. Cách rút ra phương trình này được
trình bày vắn tắt trong nghiên cứu của Godoy và các công sự [7].
Chương 2: Công thức vận tóc sóng Rayleigh
2.1. Công thức vận tốc sóng Rayleigh cho trường hợp điều kiện biên
trở kháng chỉ ảnh hưởng đến ứng suất tiếp.
2.2. Công thức vận tốc sóng Rayleigh cho trường hợp điều kiện biên
trở kháng chỉ ảnh hưởng đến ứng suất pháp.
Những kết quả chính của chương 2.1 đã được đăng trên tạp chí European
Journal of MechanicsA/Solids
Link: />
5


Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA
SÓNG RAYLEIGH VỚI ĐIỀU KIỆN

BIÊN TRỞ KHÁNG
1.1 Phương trình cơ bản
Xét bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được x2 0 (Hình 1.1).
Giả sử bán không gian đàn hồi chịu trạng thái biến dạng phẳng:

Hình 1.1

ui = ui(x1, x2, t), i = 1, 2, u3

0,

trong đó ui là các thành phần chuyển dịch của vecto chuyển dịch, t là thời gian.
Các thành phần ứng suất sij liên hệ với các thành phần chuyển dịch bởi

6


hệ thức:

s
s
s

11

= (l + 2m)u1,1 + lu2,2 ,

22

= lu1,1 + (l + 2m)u2,2 ,

12

= m(u1,2 + u2,1) ,

trong đó dấu phẩy chỉ đạo hàm theo các biến không gian x k, l, m là các
hằng số Lame. Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng [2]:

s

11,1

s

12,1

+s

12,2

+s

22,2

= ru¨ ,
1

= ru¨ ,

(1.3)

2

dấu chấm chỉ đạo hàm theo biến thời gian t, r là mật độ khối lượng.
Quy ước: Trong các phần tiếp theo, dấu phẩy chỉ đạo hàm theo các biến
không gian, dấu chấm (trên) chỉ đạo hàm theo biến thời gian. Thay (1.2) vào
(1.3) ta có:
8
<
:

hay:

(l + 2m)u1,11 + mu1,22 + (l + m)u2,12 = ru¨1 ,
(l + m)u1,12 + mu2,11 + (l + 2m)u2,22 = ru¨2 ,


trong đó: cL =
sóng ngang.
trở kháng (xem Chương 2), điều kiện tắt dần ở vô cùng phải được thỏa
mãn, tức là:
ui = 0 (i = 1, 2) khi x2 ! +¥ .
7


1.2 Phương trình đặc trưng.
Giả sử sóng Rayleigh truyền với vận tốc c (> 0), số sóng k (> 0), theo
hướng x1 và tắt dần theo hướng x2. Khi đó, các thành phần chuyển dịch u1,
u2 của sóng được tìm dưới dạng:

u1 = Ae

kbx

2

ik(x ct)

e

, u2 = Be

1

kbx

2

ik(x ct)

e

1

,

trong đó k = w/c > 0 là số sóng, A, B (không đồng thời triệt tiêu) và b là các
hằng số cần tìm, trong đó b phải có phần thực dương để đảm bảo điều kiện
tắt dần của sóng (1.6).
Từ (1.7) ta có:

u

1,1 =

Ae

1,11 =

Ae

1,12 =

(

1,2 =

(

1,22 =

(

2,1 =

Be

u
u

u
u

u
u
u
u
u

2,2 =kbBe

2,11 =

Be

2,12 =

(

2,22 =

(

= Ae

u˙

1

u¨

1

u˙

2

u¨

= Ae
= Be
= Be

2

Thay các kết quả trên vào (1.5) dẫn đến một hệ hai phương trình tuyến tính
thuần nhất đối với hai ẩn số A, B:
8
<
:
8

kbx

2

e

ik(x

1


Do A, B không đồng thời bằng không nên định thức của (1.8) phải bằng
không, tức là :
2

2

2

2

2 2

( c L + c Tb + c )(c Lb
2

2

2

2

2

, c Lc Lb + c Lc T
2 2

2

2

2

+ c c Lb
hay:
2 2

c Lc Tb

4

2

2

2

[c L(c T c ) + c T(c L

Phương trình (1.9) được gọi là phương trình đặc trưng của sóng. Đó là một
phương trình trùng phương đối với b. Biệt thức D của (1.9) là :
2

22 4

D = (c L c ) c
0.
Ta chứng minh rằng: nếu sóng Rayleigh tồn tại thì vận tốc của chúng phải

thỏa mãn:
2

2

0 < c < c T.
Thật vậy, giả sử sóng Rayleigh tồn tại, suy ra b 1, b2 phải có phần thực
dương để đảm bảo điều kiện tắt dần (1.6). Do D 0 và các hệ số của phương
2

2

trình (1.9) là thực nên hai nghiệm b1 , b2 của nó đều phải dương để đảm
bảo các phần thực của b1, b2 là dương. Do vậy, từ (1.9):
2
(c
L

T

T L

2

2

2

2

2

2

2

2

Từ (1.12) suy ra hoặc: c > c L > c T hoặc: c < c T < c L. Nếu c > c L >
2
2
2
2
2 2
c T, suy ra (c L + c T)c > 2c Lc T, cho nên từ (1.9) ta có:
b

2

1

2

2

nhưng điều này mâu thuẫn với: b1 , b2 đều là các số dương. Bất đẳng
thức (1.11) được chứng minh.
Từ (1.11) và (1.10) hai nghiệm dương của (1.9) là :
b1 =

s

(1.14)


9


Chú ý rằng: 0 < g < 1. Thay b2 vào (1.8-1), b1 vào (1.8-2) ta có hệ thức sau :

B1
A
1

1.3 Điều kiện biên trở kháng
Giả sử mặt x2 = 0 của bán không gian chịu điều kiện biên trở kháng [7,
10] ta có:
s12 + wZ1u1 = 0, s22 + wZ2u2 = 0, khi x2 = 0,
trong đó w > 0 là vận tốc góc của sóng, Z là tham số trở kháng có đơn vị
của ứng suất/vận tốc (xem [7, 10]).

1.4 Phương trình tán sắc
Trường chuyển dịch của sóng Rayleigh thỏa mãn điều kiện tắt dần (1.6)
là [2]:

u

1

u2

= (A1e
=

trong đó A1, A2 là các hằng số cần xác định. Thay (1.17) vào các thành
phần ứng suất(1.2) và điều kiện biên trở kháng (1.16) dẫn đến một hệ hai
phương trình tuyến tính thuần nhất đối với hai ẩn số A1, A2.
kb x
2mkb1 + wZ1)e 1 2 + A2
8
>

A
1(
>
>

<
>
>

A1

>

:
Cho định thức của hệ này bằng không dẫn đến:

kb x

1 2


10

chia hai v
mk
, ( 2b1 + d1 )( 2i + d2 b2 )

, ( 2b1 + d1 )(2
thay b1, b2, cL, cT từ (1.14) ta thu được:

,( 2

p

1 gx

,( 2 1 gx
p

p1 x

,( 2

p

p
quy đồng

1 gx
1 x

p
4

p

( 1

x 1 + d1

,

4
,

2
p

+ [(

4

+ (2

p
x)2

,

(2 x)

1

px

2

)


,
2

1

+d

p

xp

d

p

Với di = di
2

f (x) :=(2 x)

+ d1d2x(
11


trong đó: di =

cT Zi

, i = 1, 2 là một đại lượng không thứ nguyên, được gọi

m

là tham số trở kháng. Phương trình (1.17) là phương trình tán sắc của sóng
Rayleigh chịu điều kiện biên trở kháng (1.16). Do 0 < c < cT nên:
0 < x < 1.
Như vậy, vận tốc sóng không thứ nguyên x là nghiệm (thực) của phương
trình (1.17) thỏa mãn điều kiện (1.18).

12


Chương 2
CÔNG THỨC VẬN TỐC SÓNG
2.1 Điều kiện biên trở kháng chỉ ảnh hưởng đến ứng
suất tiếp
Phương trình tán sắc tổng quát (1.17) chịu điều kiện biên trở kháng chỉ
ảnh hưởng đến ứng suất tiếp (d1 6= 0, d2 = 0) là :
p

fa(x) = (2
Bằng phép đổi biến:

x)

2

4 1

pp

p

x 1

gx + d1x x 1

x = 0.

(2.1)

(2.2)

x=
phương trình (2.1) trở thành:
(2.3)

trong đó:

p

2

Fa(w) : = (3w

q

1) 8w w 1 (2 g)w g p p

(2.4)

+ d1(w + 1) w + 1 w 1.
Chú ý rằng, phép đổi biến (2.2) là ánh xạ 1-1 giữa hai miền 0 < x < 1 và jwj
> 1.
Phương trình (2.4) là một phương trình thực. Xét phương trình phức có
dạng:
a

F

(z) := (3z 1)

2

13


trong đó các căn bậc hai là căn phức giá trị chính. Khi z 2 R, jzj > 1 thì (2.5)
trở thành phương trình (2.3). Do vậy phương trình (2.5) là dạng phức của

phương trình tán sắc (2.3). Để tìm vận tốc sóng không thứ nguyên x ta sẽ
tìm w là nghiệm thực của phương trình (2.3) thỏa mãn jwj > 1. Muốn vậy, ta
đi tìm nghiệm của phương trình phức (2.5).

Ký hiệu L = L1 [ L2, L1 =
N(z0) = fz 2 S : jz z0j < #g, # là một số dương đủ nhỏ, z0 là một điểm nào đó
thuộc mặt phẳng phức C. Nếu j(z) là một hàm chỉnh hình trong miền
W C chúng ta viết j(z) 2 H(W). Từ (2.5) hàm Fa(z) có những tính chất sau:

Mệnh đề 1:

( f1) Fa( 1) = 0.
( f2) Fa(z) 2 H(S).

( f3) Fa(z) bị chặn trong N( 1) và N(1).
2
( f4) Fa(z) = O(z ) khi jzj ! ¥.
( f5) Fa(z) liên tục từ bên trên và từ bên dưới của L (xem [13]) với các giá trị

+

Fa (t) (giá trị biên trên của Fa(z)), Fa (t) (giá trị biên dưới của Fa(z)) được
xác định như sau:

với:
+

Fa 1(t) = (3t
Fa1(t) = (3t

+

Fa 2(t) = (3t
Fa2(t) = (3t
Chứng minh mệnh đề 1:


14


( f1) Thay z=-1 vào phương trình (2.5) ta được:
2

F( 1)=(3( 1) 1)

( f2) Ta có:
2

(3z 1) , 8z, (z + 1) là các hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng C nên
chỉnh hình trên S.

p

z

r

1

z

)p
Đặt: h1 =

>

z 1

p

p
8
r
h1+(t) = i 1 t i

>

>

>

>

2

(t ) = ( i
>h
<

>

1

p


g

2 g

,1 =


p
Chứng minh tương tự: h2 = z + 1
Từ (2.5) và các kết quả trên suy ra: F(z) 2 H(S).
( f3) Ta có: lim Fa(z) = 4 = F(1),
z!1

chặn tại N(1), N(-1).


2

O(z ).

( f5) Ta có:

x1 (z) = (3z

2

1) ) x1 (t) = (3t

1)

2

, 8t 2 L

x2 (z) = z ) x2 (t) = t , 8t 2 L

p

x3 (z) = z 1 )

x (z

4

:

x5 (z) = (z + 1) ) x5 (t) = (t + 1) , 8t 2 L

x6 (z) = z + 1 ) x6 (t) = t + 1, 8t 2 L
Theo (2.5):
p
Fa (z) = x1(z)

8x2(z) x3(z)

x4(z)

2

x3(z).

g + dx5(z) x6(z)
(2.9)