Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, hệ phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ NHÀI

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI- 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ NHÀI

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

TS. Phạm Văn Quốc

HÀ NỘI- 2015


Mục lục
Mở đầu
1 Kiến thức cơ sở

1.1 Hàm số đồng biến, nghịch b

1.2 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
1.2.2
1.2.3

1.3 Định lí Rolle . . . . . . . . . . . .
1.4 Định lí Lagrange . . . . . . . .

1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4

1.6 Giá trị lớn nhất và giá trị nh
1.6.1
1.6.2

2 Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương
trình

11

2.1 Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K . . . . . . . .

11

2.2 Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v) . . .

16

2.3 Hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1


2.4

Áp dụng định lí Rolle . . . . .

2.5

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức
3.1

Sử dụng tính đơn điệu của h

3.2

Áp dụng định lí Lagrange v

3.3

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận
Tài liệu tham khảo

2


Mở đầu
Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn, xuyên suốt chương
trình phổ thông. Nhiều bài tập nếu giải bằng phương pháp thông thường sẽ
gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên nếu biết sử dụng phương pháp hàm số thì các
bài tập đó sẽ được giải quyết dễ dàng hơn
Hơn nữa một số năm gần đây trong các đề thi đại học cao đẳng; thi học
sinh giỏi thường xuyên gặp các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất
đẳng thức vận dụng phương pháp hàm số. Chính vì vậy việc trang bị cho học
sinh kỹ năng ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất
đẳng thức là rất cần thiết, giúp các em tự tin hơn trong các kỳ
thi, nên tôi đã chọn đề tài "Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng
thức và giải phương trình, hệ phương trình " với mục đích
- Trang bị cho học sinh về phương pháp giải phương trình, hệ phương trình
, chứng minh bất đẳng thức bằng ứng dụng hàm số.

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó, học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
Do quá trình nghiên cứu, biên tập còn nhiều hạn chế nên nội dung cũng
như cách trình bày trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong các
thầy cô và bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện.
Nội dung chính của khóa luận bao gồm:
⋄ Chương 1: Kiến thức cơ sở
⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương trình
⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

3


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình
chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2015.
Học viên
Nguyễn Thị Nhài

4

Chương 1

Kiến thức cơ sở
1.1

Hàm số đồng biến, nghịch biến

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số y=f(x) xác định trên K ⊂ R(K là khoảng, đoạn
hoặc nửa khoảng)
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc
K mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2):
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc
K
mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2):

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số
đơn điệu trên K.
(Trích SGK 12 – Nhà XBGD - 2007)

1.2
1.2.1

Đạo hàm
Định nghĩa

Định nghĩa 1.2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và xo ∈ (a;
b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo và kí hiệu

′
′
là f (xo) (hoặc y (xo)), tức là
′

f (xo) = lim
x→xo

Định nghĩa 1.3. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
xo ∈ (a; b).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

5


thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x o và
′ +
kí hiệu là f (x o).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x o
′ −
và kí hiệu là f (x o).
Định nghĩa 1.4. Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b)
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a;b] nếu nó có đạo
hàm tại mọi điểm x trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a, có đạo
hàm bên trái tại b.
1.2.2

Tính chất

Định lí 1.1. Giả sử u = u(x); v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x
thuộc khoảng xác định. Ta có
′

′

′

(u ± v) = u ± v :
′

′

′

(u:v) = u v + uv :

(

);

′

′

u = u v − uv (v = v(x) ≠ 0):

v v2

′
Định lí 1.2. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u x và hàm số y = f(u) có
′
đạo hàm tại u là y u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại
x
1.2.3

′

′

′

là y x = y u:u x.
Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí 1.3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
′
Nếu f (x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
′
Nếu f (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Định lí 1.4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
′
′
Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì
hàm số f(x) đồng biến trên K.
′
′
Nếu f (x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì
hàm số f(x) nghịch biến trên K.

6


1.3

Định lí Rolle

Định lí 1.5. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm tại
mọi x thuộc khoảng (a;b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;
b) sao cho f’(c)=0.
Hệ quả
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng
(a;b). Khi đó, nếu phương trình f’(x) = 0 có không quá n-1 nghiệm phân biệt
trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá n nghiệm phân biệt
trên khoảng đó.

1.4

Định lí Lagrange

Định lí 1.6. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên
khoảng (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho
′

f(b) − f(a) = f (c):(b − a):
1.5
1.5.1

Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai

Định nghĩa

Ta ký hiệu I(a; b) ⊂ R là một tập hợp có một trong bốn dạng tập hợp
sau: (a; b), [a; b), (a; b] và [a; b].
Định nghĩa 1.5. Hàm số f(x) được gọi là lồi trên tập I(a; b) nếu với mọi x1; x2
∈ I(a; b) và với mọi cặp số dương ; có tổng + = 1; ta đều có

f( x1 + x2) ≤ f(x1) + f(x2):
Nếu dấu đẳng thức trong (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm số
f(x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên I(a; b).
Hàm số f(x) được gọi là lõm trên tập I(a; b) nếu với mọi x1; x2 ∈ I(a; b) và
với mọi cặp số dương ; có tổng + = 1; ta đều có
f( x1 + x2) ≥ f(x1) + f(x2):
Nếu dấu đẳng thức trong (1.2) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm
số f(x) là hàm lõm thực sự (chặt) trên I(a; b).

7


1.5.2

Định lí

Định lí 1.7.
Nếu f(x) là hàm số khả vi trên I(a;b) thì f(x) là hàm lồi trên I(a;b) khi và
chỉ khi f’(x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a;b).
Định lí 1.8. Nếu f(x) khả vi bậc hai trên I(a; b) thì f(x) lồi (lõm) trên
′′

′′

I(a; b) khi và chỉ khi f (x) ≥ 0(f (x) ≤ 0) trên I(a; b):
1.5.3

có

Biểu diễn hàm lồi và lõm

Nếu f(x) lồi khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp x0; x ∈ I(a; b); ta đều
′

f(x) ≥ f(x0) + f (x0)(x − x0):
Dễ nhận thấy rằng (1.3) xảy ra đẳng thức khi x0 = x: Vậy ta có thể viết
′
(1.3) dưới dạng f(x) = min [f(u) + f (u)(x
u I(a;b)

∈

có

Nếu f(x) lõm khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp x0; x ∈ I(a; b); ta đều
′

f(x) ≤ f(x0) + f (x0)(x − x0)
Dễ nhận thấy rằng (1.4) xảy ra đẳng thức khi x0 = x: Vậy ta có thể viết
′

(1.4) dưới dạng f(x) = max [f(u) + f (u)(x − u)] :
u∈I(a;b)

1.5.4

Định lí Karamata

Định lí 1.9. (Bất đẳng thức Karamata).
Cho hai dãy số {xk; yk ∈ I(a; b); k = 1; 2; :::; n} ; thỏa mãn các điều kiện
x1 ≥ x2 ≥ ::: ≥ xn; y1 ≥ y2 ≥ ::: ≥ yn và

Khi đó, ứng
có

f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn) ≥ f(y1) + f(y2) + · · · + f(yn):
Ta cũng có phát biểu tương tự đối với hàm lõm bằng cách đổi chiều dấu
bất đẳng thức.
Chứng minh


Sử dụng biểu diễn đối với hàm lồi
8


fx

f

x

(

( 1)+

(1.7)
Không mất tính tổng quát, ta giả thiết bộ số
t1; :::; tn ∈ I(a; b)
cũng là một bộ số giảm, tức là

t1 ≥ t2 ≥ ::: ≥ tn:
Khi đó, để chứng minh (1.7), ta chỉ cần chứng minh rằng
′

′

′

′

′

′

x1f (t1)+x2f (t2)+:::+xnf (tn) ≥ y1f (t1)+y2f (t2)+:::+ynf (tn): (1.8) Sử dụng biến
đổi Abel
′

′

′

x1f (t1) + x2f (t2) + ::: + xnf (tn)

′
′
′
′
= S1[f (t1) − f (t2)]+S2[f (t2) − f (t3)]+:::
′

′

′

+Sn−1[f (tn−1) − f (tn)]+Snf (tn)

(1.9)

với Sk(x) := x1 + x2 + ::: + xk:
′′
′
′
Vì rằng f (x) > 0 nên f (xk) ≤ f (xk−1):
Mặt khác, do Sk(x) ≥ Sk(y)(k = 1; 2; :::; n − 1) và Sn(x) = Sn(y); ta thu được
ngay (1.8).
(Bất đẳng thức định lí và áp dụng
– GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu - 2006)

1.6
1.6.1

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D ⊂ R.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu
f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại xo ∈ D sao cho f(xo) = M. Kí hiệu M =
max f(x).
[a;b]

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu
f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại xo ∈ D sao cho f(xo) = m. Kí hiệu m =
min f(x).
[a;b]

9


1.6.2

Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a;b] bằng đạo hàm

Bước 1. Tìm các điểm x1; x2; :::; xn trên khoảng (a;b), tại đó f’(x)=0 hoặc
f’(x) không xác định.
Bước 2. Tính f(a),f(x1); f(x2); :::; f(xn); f(b).
Bước 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
M = max f(x); m = min f(x).
[a;b]

[a;b]

10

Chương 2

Ứng dụng đạo hàm trong giải phương
trình và hệ phương trình
2.1

Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K
+ Nhẩm được một nghiệm x = x0
+ Chỉ ra được f(x) đơn điệu trên K
+ Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = x0.

Bài tập 2.1. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện x ≥ −1√
Phương trình ⇔

Xét hàm số f(x) =
f’(x) =

√

2
suy ra f(x) đồng biến trên [1; +∞).
Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Nhận xét:
Kinh nghiệm khi nhẩm nghiệm ta thường nhẩm các nghiệm trong tập xác
định và làm cho các căn thức có thể khai căn được hoặc triệt tiêu.

Bài này có thể làm theo phương pháp bình phương hai vế , nhưng sẽ dài
hơn. Ta cũng có thể làm bằng phương pháp nhân liên hợp.
Bài tập 2.2. Giải phương trình

√
Lời giải
11


Điều kiện −2 ≤ x ≤ 4
Khi đó phương trình (1) ⇔

Xét hàm số f(x) =
[-2;4].

√
2

3(x + x + 1)
3

2

2x + 3x + 6x +

√

f’(x) =

Suy ra f(x) đồng biến trên [-2;4].

√
Mặt khác f(1) = 2
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Nhận xét:
Biểu thức trong căn cồng kềnh, nếu sử dụng các phương pháp khác sẽ
phức tạp trong việc biến đổi, bằng cách loại trừ ta sẽ nghĩ đến phương pháp
hàm số.

Bài tập 2.3. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện x ≥ 5

Nhận thấy x = 9 là một nghiệm của phương trình.

Xét hàm số f(x) =
1

f’(x) =

2

√
x

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [5; +∞).
Do đó phương trình (2.3) ⇔ f(x) = 14 có nghiệm duy nhất x = 9.
Bài tập 2.4. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện x ≥

Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (2.4)

Xét hàm số f(x) =

15x
f’(x) = √
2 5x

2


do đó f(x) đồng biến trên
Vậy phương trình (2.4) có nghiệm duy nhất x =1.
12


Bài tập 2.5. Giải phương trình
√

(x + 2)(2x − 1) − 3

√

x+6=4−

√

(x + 6)(2x − 1) + 3

√

x + 2 (2.5)

Lời giải

Điều kiện x ≥
Khi đó phương trình (2.5)
√

⇔ x + 2( 2x − 1 − 3) = x + 6( 2x − 1 − 3) = 4

√

⇔ ( 2x − 1 − 3)(
√
⇔ ( 2x − 1 − 3) =
√

⇔ 2x − 1 − 3 = x + 6 − x + 2

⇔

√

x+6−

x+2−

2x − 1 = −3
6

2

f’(x) = 21x + 2x

Xét hàm số f(x) =

suy ra f(x) đồng b

f’(x) =
1

;+

Suy ra f(x) nghịch biến trên
∞ .
2
Mặt khác f(7) = - 3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.
Bài tập 2.6. Giải phương trình
7

√

3x − 5 − 4x = 3 − x
Lời giải

5
Điều kiện : x ≤
Phương trình tương đương

7

3

Xét hàm số f(x) = 3x + x −
2

√

3


[

1

)

2; +∞
(2.6.1)
]

(2.6)
13

Nhận thấy x =1 là một nghiệm của phương trình (2.6.1)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập 2.7.

G

Lời giải
Điều kiện x ≥ 1

Từ điều kiện suy ra vế phải >0 nên vế trái >0, mà
Do đó x > 2.
Phương trình (1) tương đương

Ta thấy (2.7.1) có nghiệm x=3.
√3
Xét hàm số f (x) =
4

1

′

f (x) =
suy ra f(x) đồng biến trên (2; +∞).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3.

3

Bài tập 2.8. Giải phương trình:

Lời giải
1

3

Điều kiện 2 < x ≤ 2

Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (2.8)
Xét hàm số f (x) = 3

′

f (x) =

√


Hàm số f(x) nghịch biến trên
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

14


Bài tập 2.9. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện x ∈ [2; +∞)

Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình (2.9)

Xét hàm số: f(x) = 3
′

Đạo hàm :f (x) =

2 x+1
2 x+6
2 x−2
Do đó hàm số f(x) đồng biến trên [2; +∞).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài tập 2.10. Giải phương trình :

Lời giải
Điều kiện x ∈ [2 ; 4]

Nhận thấy x =3 là một nghiệm của phương trình (2.10)

Xét hàm số: f(x) =
f’(x)=

√
2 x+6 2 x−2 2 4−x

suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên [2 ; 4].
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài tập 2.11. Giải phương trình sau:

Lời giải
Nhận xét: Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống như hai câu trên

mà ta phải biến đổi để tìm được hàm số mà ta muốn xét.

2

log2(x −

(2.11)

⇔
Đặt t = x

log2t

Xét hàm số: f(t) =

1 − ln t

′

Ta có f (t) =

với t > e

< 0 ∀t > e

2


15

Từ đó, f(t) là hàm nghịch biến trên (e; +∞).
Mà f(8) =

Với t = 8 ta có x

2

x+5=8

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x =
Bài tập 2.12. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện x > 0

√
(2.12)⇔ log6 ( x +

√

Đặt t = log6 ( x +

√

x) = log4

4

t

t

Thế (2) vào (1) ta có 4 + 2 = 6

t

(

Xét hàm số f (t) =
mà f(1) =1 nên t=1 là nghiệm ,thay vào (2) ta có x=16 Vậy
phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 16.

2.2

Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v)

trong đó u = u(x),v = v(x), u, v cùng thuộc K’ với mọi x ∈ K
+
+

Chỉ ra f(t) đơn điệu trên K’ (Khoảng, đoạn, nửa khoảng).
Phương trình tương đương u = v.

Bài tập 2.13. Giải phương trình


Lời giải
Phương trình

(2.13) ⇔ x
16


3

Xét hàm số f(t) = t + 2t liên tục trên R
2
f’(t) = 2t + 2 > 0 ∀t ∈ R suy ra

Phương trình ( 2.13.1) ⇔ f(x) = f(

⇔x =

√
3

2x − 1

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x=1; x =
Bài tập 2.14. Giải phương trình

Lời giải
Phương trình ⇔ (x + 1) −

⇔ (x +

3

Xét hàm số f(t) = t + 3t liên tục trên R

2
f’(t) = 3t + 3 > 0 ∀t ∈ R

suy ra f(t) đồng biến trên R
(2.14.1) ⇔ f(x + 1) = f(
⇔x+1=

√3

3x + 5 ⇔ x3 + 3x2 − 4 = 0 ⇔

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x = -2.
3

2

Nhận xét:Từ đặc điểm phương trình có biểu thức x + 3x + 3x − 1 ta nghĩ
3
đến việc phân tích thành tổng trong đó có số hạng dạng (ax + b) .
Bài tập 2.15. Giải phương trình

Lời giải
Phương trình (2.15)

⇔ 8x