ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------
VÀNG VĂN HÀ
VỀ TOÁN TỬ CHIẾU METRIC
LÊN TẬP LỒI ĐÓNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------
VÀNG VĂN HÀ
VỀ TOÁN TỬ CHIẾU METRIC
LÊN TẬP LỒI ĐÓNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. Lê Dũng Mưu
THÁI NGUYÊN - 2020
▼ö❝ ❧ö❝
❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✐
✐✐
✶
✸
✶✳✶
❚➟♣ ❧ç✐ ✈➔ ❤➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸
✶✳✷
❚♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✺
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✷✷
✷✳✶
❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷
▼ët t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥
♣❤➙♥ ♣❛r❛✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
✷✷
✷✺
✸✼
✐
❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
R
t➟♣ sè t❤ü❝
Rn
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡
∅
t➟♣ ré♥❣
∀x
✈î✐ ♠å✐
∃x
tç♥ t↕✐
n✲❝❤✐➲✉
x
x
x
❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì
x
x, y
t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✈➨❝✲tì
x
❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈➨❝✲tì
x
✈➔
y
x
V IP (F ; C)
❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
S(F ; C)
t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
V IP (F ; C)
ớ ỡ
ữủ t t rữớ ồ ồ ồ
ữợ sỹ ữợ ừ ụ ữ
tọ ỏ t ỡ s s tợ ữớ tớ
t t ữợ ú ù t tr sốt q tr ự
t ụ tọ ỏ t ỡ t
tợ ổ tr trữớ ồ ồ ồ
ú ù t tr sốt tớ
ồ t t rữớ
ỗ tớ tổ ụ ỷ ớ ỡ tợ ỗ
t t ủ t tổ tr tớ ồ t
tr q tr t
t ỡ
t
ớ õ
r ữỡ tr t ờ tổ ú t q ợ
ổ õ ố ởt t tr t
ồ ữủ ữủ rở ổ
t ổ ũ ợ t t ởt t
ỗ õ ợ ởt tr ổ t tt
ỡt ởt t ý trữợ tr ổ
ởt tr ởt t trữợ ợ ọ t ữủ
ồ t tỷ t õ ữớ t r r tr ổ
rt tỹ t tỷ ởt t ỗ õ ữủ t
tỷ t ỗ õ õ trữ tú õ
õ õ trỏ q trồ tr ừ t ồ tỹ t ữ
tr ỵ tt tố ữ õ t tự
ỹ
ở ừ ỗ tự ỡ t
t ỗ tr ổ ỡt
Rn
t q t tỷ
t ỗ õ ở t t q ử t
tỷ t t tự rỡ
tr ổ
Rn
t t t t q
✷
❝ù✉ tr♦♥❣ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ ✈î✐ t✐➯✉ ✤➲✿
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✶✱ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➟♣ ❧ç✐✱ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì
❜↔♥ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐✱ ❤➔♠ ❧ç✐✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ❧þ t→❝❤ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐✳
▼ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉✱ ♠ët sè t➼♥❤
❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ♠❡tr✐❝
❧➯♥ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❧➔ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤
ù♥❣ ❞ö♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ q✉②
❤♦↕❝❤ ❧ç✐❀ ❤ì♥ ♥ú❛ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ✤↕♦ ❤➔♠
r✐➯♥❣ ✤➲✉ ❝â t❤➸ ♠æ t↔ ❞÷î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳
ữỡ ởt số tự
ở ừ ữỡ tr ởt số t t ỡ
ỵ ờ q t ỗ ỗ ởt ừ
ữỡ tr ự sỹ tỗ t t
t ừ ởt t ỗ õ st ởt số t t
ỡ ừ t tỷ ở ừ ữỡ ữủ t
ừ tứ t
ỗ ỗ
rữợ t ú tổ ợ t t ỗ ởt số t
t tt
r ởt
Rn
ữớ t
t ủ tt tỡ
ố tỡ
x Rn
a, b
tr
õ
{x Rn |x = a + b, , Rn , + = 1}.
t ố a b tr Rn t ủ tỡ x õ
{x Rn |x = a + b, 0, 0, + = 1}.
ởt t
C Rn
ữủ ồ ởt
ồ t q t ý ừ õ ự
t ỗ C ự
C
ỗ
✹
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳
❛✮ ❚➟♣
∅
✈➔
✣♦↕♥ t❤➥♥❣
Rn
❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ❝õ❛
AB
Rn ✳
❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✳
❍➻♥❤ trá♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝↔ ❜✐➯♥ ♠➔✉ ♥➙✉ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✱ ✈➻ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐
❤❛✐ ✤✐➸♠
X, Y
tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ ♥➡♠ trå♥ ✈➭♥ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥✳
❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❚➟♣ ❧ç✐
❜✮ ❍➻♥❤ ❞÷î✐ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐✱ ✈➻ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ♥➨t ✤ùt ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉
✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➟♣ ✤â✳
❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ❚➟♣ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳
❚❛ ♥â✐
x
❧➔
tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ x1, . . . , xk ♥➳✉
k
k
j
λj x , λj > 0 ∀j = 1, . . . , k,
x=
j=1
λj = 1.
j=1
✺
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ C ❧➔ ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝❤ù❛ ♠å✐ tê ❤ñ♣ ❧ç✐
❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♥â✳ ❚ù❝ ❧➔✿ C ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
k
k
1
∀k ∈ N, ∀λ1 , . . . , λk > 0 :
k
λj = 1, ∀x , . . . , x ∈ C ⇒
j=1
λj xj ∈ C.
j=1
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ sè ✤✐➸♠✳ ❱î✐
k = 2✱
✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ s✉② r❛ ♥❣❛② tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐ ✈➔ tê ❤ñ♣ ❧ç✐✳ ●✐↔ sû ♠➺♥❤
✤➲ ✤ó♥❣ ✈î✐
●✐↔ sû
x
k−1
✤✐➸♠✳ ❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐
❧➔ tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝õ❛
k
✤✐➸♠
k
✤✐➸♠✳
x1 , . . . , x k ∈ C ✳
k
k
j
λj x , λj > 0 ∀j = 1, . . . , k,
x=
❚ù❝ ❧➔
j=1
λj = 1.
j=1
✣➦t
k−1
λj .
ξ=
j=1
❑❤✐ ✤â
0<ξ<1
✈➔
k−1
λj xj + λk xk
x=
j=1
k−1
=ξ
j=1
λj j
x + λk xk .
ξ
✭✶✳✶✮
❉♦
k−1
j=1
✈➔
λj
ξ
>0
✈î✐ ♠å✐
λj
=1
ξ
j = 1, . . . , k − 1✱
k−1
y :=
j=1
♥➯♥ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣✱ ✤✐➸♠
λj j
x ∈ C.
ξ
✻
❚❛ ❝â
x = ξy + λxk .
❉♦
ξ > 0, λk > 0
✈➔
k
ξ + λk =
λj = 1,
j=1
♥➯♥
x ❧➔ ♠ët tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ y ✈➔ xk
✤➲✉ t❤✉ë❝
C ✳ ❱➟② x ∈ C ✳
▲î♣ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐ ❧➔ ✤â♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦✱ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✤↕✐ sè ✈➔ ♣❤➨♣
♥❤➙♥ t➼❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s✳ ❈ö t❤➸✱ t❛ ❝â ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✿
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ◆➳✉ A, B ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❧ç✐ tr♦♥❣ R ✱ C ❧➔ ❧ç✐ tr♦♥❣ R ✱ t❤➻
n
m
❝→❝ t➟♣ s❛✉ ❧➔ ❧ç✐✿
✭✐✮
✭✐✐✮
✭✐✐✐✮
A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B},
λA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R},
A × C := {x ∈ Rn+m |x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ✤÷ñ❝ s✉② r❛ trü❝ t✐➳♣ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳
x1 , . . . , xk
❚❛ ♥â✐
x
❧➔
tê ❤ñ♣ ❛✲♣❤✐♥
❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✭✈➨❝✲tì✮
♥➳✉
k
k
j
x=
λj x ,
j=1
❚➟♣ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❝→❝ tê ❤ñ♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝õ❛
λj = 1.
j=1
x1 , . . . , xk
t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜❛♦
❛✲♣❤✐♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥➔②✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳
▼ët t➟♣
C
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ♥➳✉ ♥â ❝❤ù❛ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ♥â✱ tù❝ ❧➔
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
✼
❱➟② t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐✳
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ M = ∅ ❧➔ t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝â ❞↕♥❣ M = L+a
▼ët ✈➼ ❞ö ✤✐➸♥ ❤➻♥❤ ❝õ❛ t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳
✈î✐ L ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✈➔ a ∈ M ✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ L ♥➔② ✤÷ñ❝ ①→❝
✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t✳
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥
s♦♥❣ ✈î✐
L
M ✱ ❤♦➦❝ ♥â✐ ♥❣➢♥ ❣å♥ ❤ì♥ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❈❤✐➲✉ ❝õ❛
♠ët t➟♣ ❛✲♣❤✐♥
✈î✐
M
tr♦♥❣ ♠➺♥❤ ✤➲ tr➯♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s♦♥❣
M
✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ s♦♥❣ s♦♥❣
✈➔ ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ ❞✐♠M ✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳ ❇➜t ❦ý ♠ët t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ M ⊂ R
n
❝â sè ❝❤✐➲✉ r ✤➲✉ ❝â ❞↕♥❣
M = {x ∈ Rn : Ax = b},
✭✶✳✷✮
tr♦♥❣ ✤â A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣ (m × n), b ∈ Rm ✈➔ r❛♥❦A = n − r✳ ◆❣÷ñ❝
❧↕✐✱ ♠å✐ t➟♣ ❤ñ♣ ❝â ❞↕♥❣ ✭✶✳✷✮ ✈î✐ r❛♥❦A = n − r ✤➲✉ ❧➔ t➟♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝â sè
❝❤✐➲✉ ❧➔ r✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳
▼ët t➟♣
C
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
♥â♥ ♥➳✉
∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C.
▼ët ♥â♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❱➼ ❞ö ✶✳✸✳
♥â♥ ❧ç✐ ♥➳✉ ♥â ✤ç♥❣ t❤í✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✳
❛✮ ❚➟♣
Rn+ = {x ∈ Rn : x ≥ 0}
❜✮ ❈❤♦
bα ∈ Rn (α ∈ I)
✈î✐
I
❧➔ ♠ët ♥â♥ ❧ç✐✳
❧➔ t➟♣ ❝❤➾ sè ♥➔♦ ✤â✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣
K = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0, ∀α ∈ I}
✽
❧➔ ♠ët ♥â♥ ❧ç✐ ✈➻
Kα ✱ ✈î✐ Kα = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0} ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐✳
K=
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳ ▼ët t➟♣ C ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
α∈I
✭✐✮
✭✐✐✮
λC ⊆ C ✱ ∀λ > 0❀
C + C ⊆ C.
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ❧ç✐ ✈➔ ✤à♥❤ ❧➼ t→❝❤ ❝→❝
t➟♣ ❧ç✐✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳
✭✐✮ ❈❤♦ ❤➔♠
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
f :C →R
①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ❧ç✐
C ⊆ Rn ✳
❑❤✐ ✤â
f
❤➔♠ ❧ç✐ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ C ✈➔ ♠å✐ λ ∈ (0, 1) t❛ ❝â
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
❍➻♥❤ ❞÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐✳
❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ❍➔♠ ❧ç✐
✭✐✐✮ ❍➔♠
f
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✈➔ ♠å✐ sè t❤ü❝
❤➔♠ ❧ç✐ ❝❤➦t tr➯♥ C ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ C ✱ x = y
λ ∈ (0, 1)
t❛ ❝â
f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y).
✭✐✐✐✮ ❍➔♠
f
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❤➔♠ ❧ç✐ ♠↕♥❤
tr➯♥
C
✈î✐ ❤➺ sè
η >0
♥➳✉ ✈î✐
✾
♠å✐
x, y ∈ C ✱ x = y
✈➔ ♠å✐ sè t❤ü❝
λ ∈ (0, 1)
t❛ ❝â
1
f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x − y 2 .
2
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳
❤➔♠ ❧ã♠ tr➯♥ C ♥➳✉ −f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ C ✳
✭✐✐✮ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❛✲♣❤✐♥ ✭❤❛② ❤➔♠ ❛✲♣❤✐♥ ✮ tr➯♥ C
✭✐✮ ❍➔♠
♥➳✉
f
f
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ✈ø❛ ❧ç✐✱ ✈ø❛ ❧ã♠ tr➯♥
❱➼ ❞ö ✶✳✹✳
❛✮ ▼å✐ ❤➔♠ ❝❤✉➞♥ ✤➲✉ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥
p
|xi |p
=
Rn ✿
1/p
n
x
C✳
✈î✐
p≥1
x
✈➔
∞
= max |xi |.
i=1
❜✮ ❍➔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ✤✐➸♠
inf y∈C x − y
x ∈ Rn
tî✐
C
1≤i≤n
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
dC (x) =
❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳
❈❤♦
f : Rn → R ∪ {+∞}✳
❚❛ ♥â✐
x∗ ∈ Rn
❤➔♠ ❝õ❛ f t↕✐ x ♥➳✉
❧➔
❞÷î✐ ✤↕♦
x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z), ∀z ∈ Rn .
❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞÷î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛
❝õ❛
f
t↕✐
x
✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔
f
t↕✐
x
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥
∂f (x).
❇ê ✤➲ ✶✳✶✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ❝õ❛ R ✳ ▼ët ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ f : C → R
n
❧➔ ❧ç✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
f (x) − f (y) ≥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣
f (y), x − y , ∀x, y ∈ C.
tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✤✐➸♠ ❝â ❞↕♥❣
{x ∈ Rn : aT x = α},
Rn
❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝
tr õ
tỡ
a Rn
a
ởt tỡ
tữớ ữủ ồ
0
R
tỡ t
ừ s ởt
s s ổ r ỷ ổ ỷ ổ
ữủ ữ s
ỷ ổ
ởt t ủ õ
{x Rn : aT x },
tr õ
a=0
R
aT x =
t
C
D
rộ t õ
t C D
aT x aT y,
õ s
aT x =
t t C D
aT x < < aT y,
ỵ
x C, y D.
s
x C, y D.
ỵ t
C D t ỗ rộ tr Rn s C D =
õ õ ởt s t C D
ỵ t ứ õ t s r tứ ờ ữợ
ỵ t ởt t ỗ ởt tỷ ổ tở õ
ờ
C
ờ tở
ởt t ỗ rộ sỷ x0 C õ tỗ t
t Rn , t = 0 t
Rn
t, x t, x0 x C.
ự ỵ C D ỗ C D ụ ỗ ỡ ỳ
0
/ (C D)
tỡ
ợ
C D =
t Rn , t = 0
x C, y D
ờ tr ử ợ
t, z 0
s
ợ ồ
x0 = 0
z C D
tỗ t
z =xy
t õ
t, x t, y x C, y D.
:= sup t, y ,
yD
õ s
ỵ
t, x
t
C
D
ỵ t
C D t ỗ õ rộ s C D = sỷ
õ t t ởt t t õ t õ t t ữủ
ởt s
ụ ữ tr ỵ t ữủ s r tứ ờ s õ
sỹ t ỳ ởt t ỗ õ ởt t
ờ C R
ởt t ỗ õ rộ s 0 / C
õ tỗ t ởt tỡ t Rn, t = 0 > 0 s
n
t, x > 0, x C.
ờ t
s
t, x =
C
ố t ở õ t t ử
2
ự ờ C õ 0 C tỗ t q B t
ố
r>0
s
C B =
ử ỵ t
t
C
B
t õ
t Rn \ {0}
R
s
t, x t, y x C, y B.
õ t õ t
ố s t t
t =1
r
õ tứ
t
t, x r > 0.
ự ỵ sỷ C t t r t C D
õ t sỷ
ợ
xk C, y k D
C
ự tọ
C D
t = 0
s
t õ
ú ỵ
D
0
/ C D
t, x y > 0
xC
C
zk z
õ
z k = xk y k
t õ ởt
inf t, x
ự tọ
y kj = z kj xkj z x D
j +
t
zk C D
ợ ồ
xkj x
z = x y C D
t ờ tr tỗ
x C, y D
sup t, y + .
2
2
yD
õ t t
ởt tr t t tr ỵ
ổ t ọ ữủ t ử tr õ
C := {(x, t) R2 : x 0, t = 0}, D := {(x, t) R2 : t
1
, t > 0, x > 0}.
x
ó r t ỗ õ ổ õ ữ ú ổ
t t ữủ
ứ t t r t tr ũ ởt s
t ú t ữủ ử s õ
ọ trữớ ủ ỹ ữớ t ữ r t
ú s
ữ ổ t
t
õ t
C
D
ữủ
t ú
s
aT x =
tọ t ổ ũ trồ tr s
t
ú ỵ r
A B
t ỗ
õ t t ữủ ử
A
B
riAriB = t t
ữớ ừ ởt ỳ
t tr t ú ổ t t ú
ởt q rt q trồ ừ ỵ t ờ ồ t
t ồ rs ữớ r ữủ ự tứ ữợ
ởt ỵ ồ ờ rt trỹ q ử tr
ỹ ữ tố ữ ỵ tt t tỷ
q A ởt tr tỹ m ì n a R õ
n
tr ữợ õ ởt t ởt õ
Ax 0, aT x < 0
AT y = a, y 0
ợ ởt x Rn,
ợ ởt y Rm.
ởt t tữỡ ữỡ ữợ ổ ỳ ồ ừ ờ
rs
ỷ ổ
tỡ
a
{x|aT x 0}
{x|Ax 0}
ự õ
tr õ s ừ tr
A T x 0 aT x 0
A
ự
AT y = a, y 0.
t ồ ừ ờ rt ró õ õ r õ ỗ õ
{x|Ax 0}
tr ỷ ổ
tỡ t
a
{x|aT x 0}
tr õ s ừ tr
A
ờ rs
ự ờ rs sỷ õ ởt y
ữ
Ax 0
0, y 0
t õ
t tứ
AT y = a
t ổ ữợ ợ
aT x = y T Ax 0
C
t ỗ õ
ổ õ
Ax
ổ t õ
ớ t sỷ ổ õ t
AT y = x}
x
õ
C = {x|y 0 :
0 C
a
/ C ỵ t tỗ t
p = 0 ởt số R s pT a < < pT x ợ ồ x C 0 C
< 0
x = AT y
ợ
y 0
t t ữủ
pT AT y = y T Ap
ú ỵ r
x = AT y
x C
p
x C
t ở ừ
pT AT y = y T Ap
tỡ
t
s
s r
Ap 0
y
ợ ồ
0
tứ
x = AT y
õ
õ t ợ tý ỵ tứ t tự
Ap 0
t r sỹ tỗ t ừ ởt
aT p < 0
ự tọ õ
tỷ
t t ởt t ỗ õ trỏ q trồ õ rt
ự ử tr tố ữ t tự
ử t t s ự sỹ tỗ t t t ừ
ởt t ỗ õ st ởt số t t ỡ ừ t tỷ
C=
ổ t tt ỗ
y
ởt tỡ
t ý t
dC (y) := inf x y .
xC
õ
dC (y)
tứ y C tỗ t C s
dC (y) = y ,
t t õ
ú ỵ
C
ừ y tr C
t t
pC (y)
ừ
y
tr
s ừ t tố ữ
min{
x
1
xy
2
õ t ừ
ừ t ữỡ
ỵ
xy
2
y
2
tr
tr
: x C}.
C
õ t ữ t ỹ t
C
= PC (y) ỡ ỡ P (y) ổ
t
C
✶✻
✭❛✮ ❚➟♣
C ❧ç✐
✭❜✮ ❚➟♣
C ❦❤æ♥❣ ❧ç✐
❍➻♥❤ ✶✳✻✿ ❍➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ✈✉æ♥❣ ❣â❝
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸✳
Rn ✱
→♥❤ ①↕
❈❤♦
PC : R n → C
C
❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿
x − PC (x) = min x − y
y∈C
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ tr➯♥ C ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✹✳
t➟♣
C
t↕✐
x0
❈❤♦
C ⊆ Rn , x0 ∈ C ✳
◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥
✭♥❣♦➔✐✮ ❝õ❛
❧➔ t➟♣ ❤ñ♣
NC (x0 ) := {w : wT (x − x0 ) ≤ 0 ∀x ∈ C}.
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✿
❱î✐ ♠å✐ y ∈ Rn✱ π ∈ C ❤❛✐ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
❛✮ π = pC (y)✱
❜✮ y − π ∈ NC (π)✳
n
✭✐✐✮ ❱î✐ ♠å✐ y ∈ R ✱ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ pC (y) ❝õ❛ y tr➯♥ C ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉②
♥❤➜t✳
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ y ∈
/ C ✱ t❤➻ pC (y) − y, x − pC (y) = 0 ❧➔ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tü❛ ❝õ❛ C
✭✐✮
✶✼
t↕✐ pC (y) ✈➔ t→❝❤ ❤➥♥ y ❦❤ä✐ C ✭❤➻♥❤ ✶✳✼✮✱ tù❝ ❧➔
pC (y) − y, x − pC (y) ≥ 0, ∀x ∈ C,
✈➔
pC (y) − y, y − pC (y) < 0.
❍➻♥❤ ✶✳✼✿
✭✐✈✮
⑩♥❤ ①↕ y → pC (y) ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿
❛✮ ❚➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✿ pC (x) − pC (y) ≤ x − y ∀x, ∀y.
❜✮ ❚➼♥❤ ✤ç♥❣ ❜ù❝✿ pC (x) − pC (y), x − y ≥ pC (x) − pC (y)
2
.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ●✐↔ sû ❝â π = pC (y)✳ ▲➜② x ∈ C ✈➔ λ ∈ (0, 1)✳ ✣➦t
xλ := λx + (1 − λ)π.
❱➻
x, π ∈ C
♥➯♥
✈➔
C
❧ç✐✱ ♥➯♥
π − y ≤ y − xλ
xλ ∈ C ✳
▼➦t ❦❤→❝ ✈➻
2
≤ λ(x − π) + (π − y)
⇔ π−y
2
≤ λ2 x − π
2
❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛
✳ ❑❤✐ ✤â
π−y
⇔λ x − π
π
2
2
+ 2λ x − π, π − y + π − y
+ 2 x − π, π − y ≥ 0.
2
y✱
✶✽
x∈C
✣✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐
✈➔
λ ∈ (0, 1)✳
❉♦ ✤â ❦❤✐ ❝❤♦
λ
t✐➳♥ ✤➳♥
0✱
t❛ ✤÷ñ❝
π − y, x − π ≥ 0 ∀x ∈ C.
❱➟②
y − π ∈ NC (π)✳
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû ❝â
y − π ∈ NC (π)✳
❱î✐ ♠å✐
x ∈ C✱
t❛ ❝â
0 ≥ (y − π)T (x − π) = (y − π)T (x − y + y − π)
= y−π
2
+ (y − π)T (x − y).
❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ ❣✐↔ sû ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③ t❛ ❝â
y−π
2
≤ (y − π)T (y − x) ≤ y − π
y − π ≤ y − x , ∀x ∈ C
❙✉② r❛
✭✐✐✮ ❱➻
dC (y) = inf x∈c x − y
tç♥ t↕✐ ♠ët ❞➣②
{xk } ∈ C
✈➔ ❞♦ ✤â
y−x .
π = p(y)✳
✱ ♥➯♥ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❝➟♥ ❞÷î✐ ✤ó♥❣✱
s❛♦ ❝❤♦
lim xk − y = dC (y) < +∞.
k
❱➟② ❞➣②
π
xk
❜à ❝❤➦♥✱ ❞♦ ✤â ♥â ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥
♥➔♦ ✤â✳ ❱➻
C
✤â♥❣✱ ♥➯♥
π ∈ C✳
{xkj } ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♠ët ✤✐➸♠
❱➟②
π − y = lim xkj − y = lim xk − y = dC (y).
j
❱➟②
π
❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛
k
y
tr➯♥
C✳
❚❛ ✤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐
❤❛✐ ✤✐➸♠
π
✈➔
π1
✤➲✉ ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛
y
tr➯♥
C✱
t❤➻
y − π ∈ NC (π), y − π 1 ∈ NC (π).
❚ù❝ ❧➔
π − y, π 1 − π ≥ 0
✭✶✳✼✮
✶✾
✈➔
π 1 − y, π − π 1 ≥ 0.
❈ë♥❣ ✭✶✳✼✮ ✈➔ ✭✶✳✽✮✱ t❛ s✉② r❛
✭✐✐✐✮ ❱➻
π − y, π
C
✈➻
π − π 1 ≤ 0✱
✈➔ ❞♦ ✤â
π = π1✳
y − π ∈ NC (π) ♥➯♥ π − y, x − π ≥ 0 ∀x ∈ C ✳ ❱➟② π − y, x =
❧➔ ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ tü❛ ❝õ❛
y=π
C
t↕✐
π ✳ ❙✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ♥➔② t→❝❤ y
❦❤ä✐
♥➯♥
π − y, y − π = − π − y
✭✐✈✮ ❚❤❡♦ ✭✐✐✮ →♥❤ ①↕
NC (p(z))
✭✶✳✽✮
✈î✐ ♠å✐
z
x → p(x)
♥➯♥ →♣ ❞ö♥❣ ✈î✐
2
< 0.
①→❝ ✤à♥❤ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳ ❱➻
z=x
✈➔
z = y✱
z − p(z) ∈
t❛ ❝â
x − p(x), p(y) − p(x) ≤ 0
✭✶✳✾✮
y − p(y), p(x) − p(y) ≤ 0.
✭✶✳✶✵✮
✈➔
❈ë♥❣ ✭✶✳✾✮ ✈➔ ✭✶✳✶✵✮ t❛ ✤÷ñ❝
p(y) − p(x), p(y) − p(x) + x − y ≤ 0.
❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③✱ s✉② r❛
p(x) − p(y) ≤ x − y .
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ✤ç♥❣ ❜ù❝✱ →♣ ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❜✮ ❝õ❛ ✭✐✮ ❧➛♥ ❧÷ñt ✈î✐
p(x)
✈➔
p(y)✱
t❛ ❝â✿
p(x) − x, p(x) − p(y) ≤ 0.
✭✶✳✶✶✮
y − p(y), p(x) − p(y) ≤ 0.
✭✶✳✶✷✮
✷✵
❈ë♥❣ ✭✶✳✶✶✮ ✈➔ ✭✶✳✶✷✮✱ t❛ ✤÷ñ❝
p(x) − p(y) + y − x, p(x) − p(y)
= p(x) − p(y), y − x + p(x) − p(y)
2
≤0
⇔ p(x) − p(y), y − x ≥ p(x) − p(y) 2 .
❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❈❤ó þ ✶✳✸✳
❚♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ ♠❡tr✐❝ ❝á♥ ❝â ♠ët t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❤ ❤ì♥ t➼♥❤
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♥➯✉ ð tr➯♥✳ ❈ö t❤➸✱ t❛ ❝â
p(x) − p(y)
2
≤ x−y
2
− p(x) − p(y) − x + y
2
∀x, y.
❚r♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✱ t➟♣ ❝❤✐➳✉ ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝
❜✐➺t✿ ✈➼ ❞ö ♥â ❧➔ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✱ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ ❤❛② s✐➯✉ ❤ë♣ t❤➻ ✤✐➸♠
❝❤✐➳✉ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ♠ët ❝→❝❤ t÷í♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉✿
❱➼ ❞ö ✶✳✺✳
❈❤♦
C
✭❈❤✐➳✉ ❧➯♥ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✮
❧➔ ♠ët ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐
C = {x ∈ R : aT x ≤ α}
tr♦♥❣ ✤â
a=0
❧➔ ♠ët ✈➨❝✲tì ♥➡♠ tr♦♥❣
❑❤✐ ✤â✱ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛
a
✈➨❝✲tì
u ∈ Rn
PC (u) := u − max{0;
❱➼ ❞ö ✶✳✻✳
❈❤♦
C
Rn
✈➔
❧➯♥
α
C
❧➔ ♠ët sè t❤ü❝✳
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿
a, u − α
}a.
a 2
✭❈❤✐➳✉ ❧➯♥ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣✮
❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ t➙♠
a
❜→♥ ❦➼♥❤
r
✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐
C := {x : x − a ≤ r}.
❑❤✐ ✤â✱ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛
u
❧➯♥
C
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿