Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận qui nạp và ngoại suy của học sinh trong quá trình khám phá toán học

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE

Vol. 56, No. 5, pp. 109-116

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN ĐỘNG
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUI NẠP VÀ NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH
TRONG QUÁ TRÌNH KHÁM PHÁ TOÁN HỌC

Trương Thị Khánh Phương

Trường Đại học Y Dược, Đại học Huế
E-mail:
Tóm tắt. Những biểu diễn trực quan không chỉ mang tính minh họa mà
còn đóng vai trò công cụ cho quá trình suy luận toán học. Bài báo này cho
thấy biểu diễn trực quan động với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin có thể
giúp học sinh đưa ra dự đoán và tìm kiếm các lý giải hợp lý khi tiến hành
suy luận quy nạp và ngoại suy. Từ kết quả này, chúng tôi đề xuất quy trình
sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực
quan động để khám phá toán học.

1.

Mở đầu

Suy luận là sự kết nối những kinh nghiệm và kiến thức đã có của một cá nhân
với việc sử dụng các quy tắc, các bằng chứng để đi đến kết luận, đưa ra các dự đoán
hay để giải thích, đánh giá một lời giải. Theo Peirce [1;24], trong toán học có ba
loại suy luận cơ bản: suy diễn, quy nạp và ngoại suy. Trong khi suy luận suy diễn
giúp học sinh rèn luyện tư duy logic thì suy luận quy nạp và ngoại suy là tiến trình
làm nền tảng cho sự thăm dò và khám phá các ý tưởng mới.
Nghiên cứu con đường tiếp cận tri thức mới của học sinh là một trong những

chủ đề chính của giáo dục toán học trong những năm gần đây. Đặc biệt, người ta
thường xem xét nó trong bối cảnh sử dụng biểu diễn trực quan với sự hỗ trợ của
công nghệ thông tin đã và đang có những tác động tích cực rõ nét đến quá trình
khám phá toán học của học sinh. Trong bài báo này tác giả sẽ làm rõ hai vấn đề
sau: Thứ nhất, suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy có quan hệ như thế nào với
việc khám phá tri thức mới?; Thứ hai, các biểu diễn trực quan động có ảnh hưởng
như thế nào đến quá trình khám phá toán học của học sinh bằng suy luận quy nạp
và suy luận ngoại suy?

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Suy luận quy nạp
Suy luận quy nạp được giới thiệu đầu tiên bởi Francis Bacon (1561-1626), là
109


Trương Thị Khánh Phương

quá trình suy luận nhằm đưa ra một kết quả tổng quát từ hữu hạn các kết quả
tương tự có được với các trường hợp đặc biệt. Không có gì đảm bảo giả thuyết quy
nạp là chắc chắn đúng nhưng giả thuyết sẽ được củng cố hơn khi có thêm nhiều kết
quả thực nghiệm được khẳng định và lập tức bị bác bỏ khi có một phản ví dụ được
chỉ ra.
Reid ([2,3]) mô tả quá trình suy luận quy nạp gồm năm bước theo thứ tự sau:
- Thực hành với các trường hợp đặc biệt;
- Quan sát quy luật;
- Dự đoán rằng quy luật đó có thể áp dụng cho trường hợp tổng quát;
- Kiểm tra dự đoán;

- Tổng quát hóa dự đoán.
Suy luận quy nạp trái ngược với suy luận suy diễn. Trong khi suy diễn sử dụng
quy tắc tổng quát đã được khẳng định từ trước để áp dụng cho một trường hợp cụ
thể thì quy nạp lại kiểm chứng sự đúng đắn với một số trường hợp cụ thể rồi dự
đoán rằng có thể áp dụng kết quả này cho một nhóm đối tượng lớn hơn. Do đó kết
luận của suy luận quy nạp mang tính mở rộng. Dự đoán về một hiện tượng phát
triển theo quy luật, tổng quát hóa một sự kiện dựa trên các trường hợp đặc biệt,
hay đề xuất các giả thuyết khoa học từ những kết quả thực nghiệm đều là những
khám phá mang lại tri thức mới cho con người dựa trên suy luận quy nạp.
Ví dụ 1. Với các kết quả tính toán cụ thể: 1+3 = 4, 1+3+5 = 9, 1+3+5+7 =
16, ... và sử dụng suy luận quy nạp, học sinh có thể dự đoán công thức tính tổng n
số tự nhiên lẻ đầu tiên là: Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2 .

2.2.

Suy luận ngoại suy

Suy luận ngoại suy được giới thiệu đầu tiên bởi triết gia người Mỹ Charles
Saunders Peirce (1839 - 1914), là quá trình suy luận nhằm tìm kiếm hoặc xây dựng
một giả thuyết phù hợp nhất để giải thích cho những gì quan sát được. Theo Magnani
[4;19], có hai loại suy luận ngoại suy cơ bản. Ngoại suy “chọn lựa” nhằm chọn ra
một quy tắc phù hợp nhất trong số các quy tắc có sẵn để giải thích cho trường hợp
đang có. Khi không có quy tắc nào trong vốn kiến thức hiện tại của con người có
thể giải thích được, một quy tắc mới được hình thành là sản phẩm của ngoại suy
“sáng tạo”. Như vậy, ngoại suy tạo ra các ý tưởng mới và giúp mở rộng tri thức. J.
Josephson và S. Josephson tổng kết mô hình về phép ngoại suy như sau [3,5]:
- D là một tập các dữ liệu (sự kiện, quan sát, cái đã cho);
- H giải thích D (nếu H đúng, sẽ giải thích D);
- Không có giả thuyết khác có thể giải thích D tốt hơn H;
- Như vậy, H có lẽ là đúng.

Cần phân biệt phép ngoại suy và phép quy nạp. Ngoại suy giống với quy nạp
ở chỗ cả hai đều liên quan đến việc khám phá các kết quả mới. Tuy nhiên trong lúc
quy nạp phát hiện ra những quy luật, khuynh hướng và thu được các dự đoán thì
110


Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận qui nạp và ngoại suy...

ngoại suy khám phá ra những sự kiện mới và thu được các giải thích hơn là các dự
đoán, bởi vì kết luận của nó là không thể biết được một cách trực tiếp. Cần lưu ý
rằng, khi chúng ta mở rộng kết luận của quy nạp vượt quá xa so với giới hạn những
gì quan sát được thì kết luận đó có phần nào mang bản chất của ngoại suy.
Suy luận ngoại suy của học sinh trong lớp học toán gắn liền với các hoạt động
như: khảo sát toán, làm việc với các bài toán kết thúc mở, tổng quát hóa, phát biểu
các bài toán mở rộng hay giải quyết các vấn đề thực tế. Trong quá trình dạy toán,
giáo viên đôi khi không để ý rằng những suy luận xảy ra khi học sinh khảo sát trên
các mô hình toán học động nhằm phát hiện ra các định lý và công thức mới, dự
đoán về quỹ tích hay điểm cố định, thậm chí đưa ra các lý thuyết để giải thích cho
sự xuất hiện một khái niệm mới không phải là suy luận suy diễn, mà chủ yếu là
ngoại suy. Đặc biệt, suy luận ngoại suy được sử dụng một cách thường xuyên trong
các hoạt động hằng ngày của con người khi cần tìm kiếm nguyên nhân, lý giải các
sự kiện, hiện tượng. Sau đây là một nhiệm vụ thực tế cần sự trợ giúp của suy luận
ngoại suy.
Ví dụ 2. Một tên cướp
biển muốn chôn kho báu trên một
hòn đảo. Trên hòn đảo có một tảng đá
lớn, một cây cọ và một cây sồi. Tên
cướp biển đếm số bước chân khi đi
thẳng từ tảng đá đến cây cọ. Ngay ở
vị trí cây cọ, tên cướp đi theo hướng

tạo với hướng nhìn về phía tảng đá
một góc 900 quay về phía phải, với số
bước chân đúng bằng số bước chân
Hình 1. Sơ đồ chôn kho báu
đã đếm thì dừng lại và cắm một cột
mốc thứ nhất ở vị trí này. Tên cướp quay trở lại chỗ tảng đá và đếm số bước chân
đi thẳng từ đó đến cây sồi, sau đó từ vị trí cây sồi đi theo hướng tạo với hướng
nhìn về phía tảng đá một góc 900 quay về phía trái, với số bước chân đúng bằng
số bước chân vừa đếm thì dừng lại và cắm cột mốc thứ hai để đánh dấu. Kho báu
được chôn ngay chính giữa vị trí của hai cột mốc (Hình 1). Một thời gian sau, một
nhóm nghiên cứu tìm đến nơi chôn kho báu. Cây cọ và cây sồi vẫn còn, nhưng tảng
đá và các cột mốc đã biến mất và không để lại dấu vết. Dù vậy họ vẫn tìm ra kho
báu. Họ đã làm thế nào?

2.3.

Biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động

Theo Arcavi [2;217], trực quan hóa là khả năng, quá trình và sản phẩm của
sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, sơ đồ
trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ, với mục
đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước
đó để đi đến việc hiểu. Các biểu diễn trực quan như hình vẽ, đồ thị, sơ đồ, biểu
111


Trương Thị Khánh Phương

bảng được xem là công cụ để trực quan hóa nhằm giúp học sinh hiểu được các đối
tượng toán học trừu tượng. Biểu diễn trực quan ngày nay không còn được xem như

chỉ dành cho mục đích minh họa mà còn được thừa nhận như là một thành phần
chính của suy luận, đặc biệt là những suy luận có lý như quy nạp và ngoại suy. Tuy
không thay thế được cho chuỗi suy luận suy diễn dẫn đến các chứng minh toán học
nhưng nó định hướng và hỗ trợ tích cực cho quá trình giải quyết vấn đề. Đặc biệt,
biểu diễn trực quan động là biểu diễn trực quan cho phép thực hiện các thao tác
động lên các đối tượng được biểu diễn. Biểu diễn trực quan động với sự hỗ trợ của
máy tính và các phần mềm hình học động đã và đang có nhiều đóng góp trong việc
giúp học sinh khám phá tri thức toán.
Ví dụ minh họa biểu diễn trực quan động cũng như vai trò của nó đối với quá
trình khám phá toán của học sinh sẽ được giới thiệu trong phần tiếp theo dưới đây.

2.4.

Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp
và ngoại suy của học sinh trong quá trình khám phá toán

Trong môi trường học tập với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động, học
sinh có điều kiện để tiến hành các thử nghiệm toán học thông qua thao tác trên
các đối tượng được biểu diễn. Với những kết quả quan sát được cho các trường hợp
riêng, học sinh vận dụng suy luận quy nạp và ngoại suy để đưa ra các phỏng đoán,
đề xuất các giả thuyết, khám phá các quy luật và mối quan hệ mới, hay xây dựng
các lý giải. Ở đây chúng tôi minh họa biểu diễn trực quan động được thiết kế trên
phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP) (Hình 2) nhằm hỗ trợ học sinh tìm kiếm
quy tắc tổng quát cho bài toán đưa ra ở Ví dụ 1.

S2 = 1 + 3

S3 = 1 + 3 + 5

S4 = 1 + 3 + 5 + 7

Hình 2. Minh họa biểu diễn trực quan động trên phần mềm GSP
Mỗi khi kéo rê thanh trượt tham số n để giá trị của n tăng thêm một đơn vị,
số các chấm mới xuất hiện trên các đường nối hình chữ L (ngược) là một số lẻ bằng
2n − 1. Với mô hình này, học sinh dễ dàng nhận ra tổng Sn là số các chấm có trong
mảng hình vuông cạnh n và dự đoán Sn = n2 .
Như vậy, từ một bài toán được phát biểu dưới dạng đại số với các kí hiệu toán
học trừu tượng khi chuyển sang sử dụng biểu diễn trực quan động, các dữ liệu đã
được tổ chức lại thành các cấu trúc trực quan đơn giản và có ý nghĩa không chỉ cho
quá trình suy luận quy nạp mà còn mang đến một lý giải “không từ ngữ” cho một
112


Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận qui nạp và ngoại suy...

chứng minh đại số.
Biểu diễn trực quan động dưới đây được thiết kế trên GSP nhằm giúp học
sinh giải quyết nhiệm vụ đưa ra ở Ví dụ 2 (Hình 3).
Gọi vị trí cây sồi là A, vị trí
cây cọ là B, vị trí tảng đá là C, vị trí
hai cột mốc là D và E, vị trí chôn kho
báu là G. Vì không cần có tảng đá mà
kho báu vẫn được tìm thấy nên học
sinh đề xuất giả thuyết ngoại suy: vị
trí chôn kho báu chỉ phụ thuộc vào
vị trí cây cọ và cây sồi mà không phụ
thuộc vào vị trí tảng đá.
Hình 3
Việc kiểm nghiệm giả thuyết
với biểu diễn trực quan động là dễ dàng khi học sinh chỉ cần kéo rê điểm C tùy ý

trên mặt phẳng và nhận thấy trung điểm G của đoạn DE vẫn không di chuyển. Vị
trí chôn kho báu là điểm cố định G mà đường thẳng DE luôn đi qua.
Học sinh tiếp tục thao tác trên máy tính với việc kéo rê điểm C đến các vị
trí đặc biệt để thu thập dữ liệu cho suy luận quy nạp. Quan sát biểu diễn trong
trường hợp C trùng với A (Hình 4), C trùng với B, hay C trùng với trung điểm H
của đoạn AB (Hình 5), các em đưa ra giả thuyết: G nằm trên trung trực của AB
và HG = HA = HB.

Hình 4. C trùng A

Hình 5. C trùng H

Việc kiểm nghiệm giả thuyết được thực hiện dễ dàng với các công cụ đo độ
dài của GSP.
Có thể thấy, với các bài toán hình học sử dụng biểu diễn trực quan động thao
tác được trên máy tính, chỉ bằng một vài thao tác kéo rê đơn giản học sinh đã có
thể tiến hành một số lượng lớn các thử nghiệm toán học và thu được các phản hồi
nhanh chóng và chính xác, nên việc đoán nhận quy luật hay đưa ra các giả thuyết
trở nên dễ dàng và có cơ sở hơn nhiều so với việc chỉ kiểm tra được một số lượng
hạn chế các trường hợp trên giấy bút. Cùng với chuyển động liên tục của các đối
tượng trên màn hình, các công cụ hỗ trợ được tích hợp trong các phần mềm hình
học động cho phép học sinh thực hiện các phép đo đạc, tính toán và nhận được
113


Trương Thị Khánh Phương

nhiều hơn các dữ liệu bằng số, qua đó phát hiện được tính bất biến của các đại
lượng có thể không được chú ý đến khi làm việc trong môi trường giấy bút. Những
phát hiện này là quan trọng và làm cơ sở để học sinh thực hiện quá trình suy luận

quy nạp và ngoại suy. Không những thế, các biểu diễn trực quan động còn hỗ trợ
học sinh đưa ra các phản ví dụ, cung cấp các ý tưởng chứng minh, kiểm chứng các
giả thuyết không có căn cứ hay khám phá các kết luận có lý xem thử nó có đáng giá
cho các chứng minh, để cuối cùng đi đến việc kiến tạo tri thức toán mới cho riêng
mình. Thử và sai, dự đoán hay các phản chứng minh, phản ví dụ là các yếu tố của
khám phá toán học. Gần đây, chúng ta đã sử dụng quá trình này như một cách tư
duy không suy diễn mà liên quan nhiều hơn đến phép ngoại suy và quy nạp.
Một điều quan trọng là ngoại suy và quy nạp không tách rời nhau mà hỗ trợ
lẫn nhau trong quá trình khám phá toán học. Ngoại suy đề xuất một giả thuyết.
Quy nạp kiểm tra giả thuyết được ngoại suy thông qua các thực nghiệm và tăng
mức độ thành công trong các phép thử, nghĩa là tăng mức độ tin cậy của giả thuyết.

Hình 6. Quy trình sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy
với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động để khám phá toán học

Sơ đồ trên minh họa cho quy trình sử dụng kết hợp suy luận quy nạp và ngoại
suy để khám phá toán học với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động.
Quy trình trên sẽ được minh họa cụ thể hơn trong một ví dụ sau đây
Ví dụ 3. Trên các cạnh của một tam giác ABC bất kì, về phía ngoài ta dựng
các hình vuông ABF G, BCDE, ACKH. Có những nhận xét gì về diện tích của
các tam giác BEF, CDK, AGH? Xác minh nhận xét đó? (Hình 7)
Làm việc trên mô hình biểu diễn trực quan của bài toán với phần mềm trợ
giúp GSP, học sinh đã luân phiên sử dụng suy luận ngoại suy và quy nạp để khám
phá những mối quan hệ về diện tích các tam giác BEF, CDK, AGH. Cụ thể:
- Giai đoạn 1:
Ngoại suy 1: Diện tích các tam giác BEF, CDK, AGH bằng nhau.
Quy nạp 1: Giả thuyết trên đúng trong những trường hợp kiểm chứng khi học
sinh dịch chuyển các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC đều. Kiểm tra lại dự đoán
114

Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận qui nạp và ngoại suy...

Hình 7

Hình 8

bằng cách dịch chuyển các điểm A, B, C tùy ý và sử dụng công cụ tính diện tích
tam giác của GSP với các tam giác BEF, CDK, AGH.
- Giai đoạn 2:
Ngoại suy 2: Diện tích tam giác BEF bằng diện tích tam giác ABC.
Quy nạp 2: Giả thuyết trên rõ ràng đúng khi dịch chuyển các điểm A, B, C
sao cho tam giác ABC vuông tại B. Kiểm tra lại dự đoán bằng công cụ tính diện
tích tam giác của GSP.
- Giai đoạn 3:
Ngoại suy 3: Diện tích các tam giác BEF, CDK, AGH không chỉ bằng nhau
mà còn bằng diện tích tam giác ABC.
Quy nạp 3: Kích hoạt cho các điểm A, B, C chạy tự do trong mặt phẳng và
tính diện tích các tam giác ABC, BEF, CDK, AGH để có các số liệu minh chứng.
- Giai đoạn 4:
Ngoại suy 4: Để xác minh nhận xét trên chỉ cần so sánh diện tích của hai tam
giác ABC và BEF (tương tự cho các trường hợp còn lại). Do đáy BC và BE của
hai tam giác này bằng nhau nên có thể nghĩ đến việc chứng minh chiều cao hạ từ
A và F của chúng cũng bằng nhau (Hình 8). Nhận thấy rằng các tam giác BF J và
BAI dựng trên các đường cao tương ứng bằng nhau có thể là một phương án hợp
lý, điều này thúc đẩy học sinh huy động kiến thức đã học về các tiêu chuẩn bằng
nhau của hai tam giác và chọn lựa một tiêu chuẩn phù hợp để giải quyết.

3.

Kết luận

Kiến thức toán học được học sinh tiếp nhận theo con đường từ trực quan sinh
động đến tư duy trừu tượng. Sử dụng biểu diễn trực quan làm cầu nối cho các biểu
diễn thực tế quen thuộc và các biểu diễn kí hiệu trừu tượng đã được thừa nhận là
một cách làm mang lại hiệu quả trong dạy và học môn Toán. Đặc biệt, một biểu
diễn trực quan động tốt cho học sinh nhiều cơ hội hơn để quan sát, phỏng đoán,
115


Trương Thị Khánh Phương

đặt giả thuyết và kiểm chứng, hỗ trợ tích cực cho quá trình suy luận quy nạp và
ngoại suy. Chương trình toán bậc trung học phổ thông của chúng ta hiện nay đang
đặt trọng tâm vào kiến thức toán dựa trên những biểu diễn ký hiệu, gắn liền với
suy luận suy diễn. Người giáo viên cần tích cực tìm kiếm những biểu diễn trực quan
động tốt để thúc đẩy học sinh sử dụng và phát triển có hiệu quả năng lực suy luận
quy nạp và ngoại suy trong quá trình học toán.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Atocha, A., 1997. Seeking Explanations: Abduction in Logic, Philosophy of Science and Artifical Intelligence. ILLC Dissertations Series, Vol. 4, Mexico.
[2] Arcavi, A., 2003. The role of visual representations in the learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, Kluwer Academic Publishers.
[3] Canadas, M.C. & Castro, E., 2007. A proposal of categorisation for anlysing
inductive reasoning. PNA 1(2).
[4] Magnani, L., 2001. Abduction, Reason and Science, Processes of Discovery and
Explanation. Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York.
[5] Rivera, F. & Becker, J., 2007. Abduction in pattern generalization. Proceedings
of the 31st conference of the IME, Vol. 4, Seoul, Korea.
[6] Trương Thị Khánh Phương, 2009. Sử dụng bài toán tìm kiếm qui luật có biểu
diễn hình học để nâng cao năng lực suy luận qui nạp và ngoại suy của học sinh
Trung học phổ thông. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Đại học Huế, số 2(10), tr. 108-116.

ABSTRACT
Using dynamic visual representations to support abductive
and inductive reasoning of students in the process
of exploring Mathematics
Visual representations are not used only for the purpose of illustration, but
also play an important role as tools for mathematical reasoning processes. This paper
shows that the dynamic visual representations with the power of information technology have significantly supported students in generating conjectures and finding
out reasonable explanations when using inductive and abductive reasoning. From
these results, we propose A procedure of using inductive and abductive reasoning
with the aid of dynamic visual presentations to explore mathematics.

116