Một số tính chất của không gian lorentz và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Bùi Hồi Nhân

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ
ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Bùi Hồi Nhân

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ
ỨNG DỤNG
Chun ngành : Tốn Giải Tích
Mã số: 846 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa
học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham
khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham
khảo.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 1 năm 2020

Bùi Hoài Nhân


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy TS. NGUYỄN
THÀNH NHÂN, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ để tơi có thể hồn
thành luận văn này.
Tơi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ý
giúp cho luận văn được hồn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn q thầy cơ Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư
phạm thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tơi những kiến thức quý báu
trong suốt những năm học vừa qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để thực
hiện luận văn.
Cuối cùng, tơi cũng gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Tốn Giải
tích K28 đã hết lịng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tơi trong quá trình học tập
cũng như trong quá trình thực hiện luận văn này.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế và khơng
tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của q thầy cơ và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cám ơn.
Tp.HCM, ngày 30 tháng 1 năm 2020
Tác giả

Bùi Hoài Nhân


Mục lục
Lời nói đầu

1

Bảng ký hiệu

3

1 Khơng gian Marcinkiewicz

4

1.1

Khơng gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Không gian Lp yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Khơng gian Lorentz

20

2.1

Hàm hốn vị giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Hàm cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3

Không gian Lorentz Lp,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3 Ứng dụng sự tồn tại nghiệm của phương trình p-Laplace

45

3.1

Xây dựng ánh xạ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2

Sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình (3.1) . . . . .

50

Tài liệu tham khảo

52


1

Lời nói đầu
Khơng gian Lorentz được đưa ra từ năm 1950 bởi nhà tốn học George
Lorentz và có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, đặc
biệt là các bài tốn về sự tồn tại và tính chính quy nghiệm. Gần đây, nhiều
kết quả về đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic dạng divergence
thu được trên không gian Lorentz, hoặc trên không gian Lp yếu (không gian
Marcinkiewicz), thường được xem như một trường hợp đặc biệt của không gian
Lorentz. Nhờ vào các đánh giá này, sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương
trình đạo hàm riêng như phương trình p-Laplace, phương trình dạng Ricatti, . . .
cũng được chứng minh.

Nội dung luận văn tập trung khảo sát một số tính chất trong khơng gian
Lorentz, các định nghĩa về chuẩn và nửa chuẩn trong không gian này. Ngoài
ra luận văn khảo sát mối liên hệ về sự tương đương giữa chuẩn và nửa chuẩn
trong không gian Lorentz. Các kết quả này là cơng cụ hữu ích để chứng minh sự
tồn tại nghiệm của phương trình dạng Riccati trên không gian Lorentz. Cụ thể,
trong luận văn này chúng tôi xét sự tồn tại nghiệm renormalized (tham khảo
trong [8]) của phương trình dạng p-Laplace

 −∆ u = |∇u|q + µ trong X,
p
 u = 0 trên ∂X,

(1)

trong khơng gian Lorentz Ls,t . Các kết quả tham khảo chủ yếu trong các bài
báo [14], [16], [17].
Nội dung chính của luận văn “Một số tính chất của khơng gian Lorentz
1


2

và ứng dụng ” là tìm hiểu về một số tính chất quan trọng của khơng gian
Lorentz và chỉ ra được sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình pLaplace trong không gian Lorentz.
Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:
Chương 1: Khơng gian Marcinkiewicz.
Nội dung chính của phần này là hệ thống lại một số kiến thức liên quan
đến không gian Lp và không gian Lp yếu được tham khảo trong 2 quyển
sách của L. Grafakos là [4] và [3].
Chương 2: Không gian Lorentz.

Nội dung của chương gồm định nghĩa không gian Lorentz và chuẩn của
không gian Lorentz với tài liệu tham khảo chính của là [7] và quyển sách
[13] của F. L. Santos. Chúng tơi sẽ trình bày lại khái niệm không gian
Lorentz như một trường hợp khái quát hơn của không gian Lp và không
gian Lp yếu. Đồng thời cũng trình bày hai chuẩn tương đương trong không
gian Lorentz để thuận tiện hơn trong chương 3.
Chương 3: Ứng dụng sự tồn tại nghiệm của phương trình p- Laplace.
Nội dung chính của chương là trình bày lại kết quả tồn tại nghiệm của
phương trình dạng p- Laplace trong không gian Lorentz. Chúng tôi đã chứng
minh kết quả này bằng cách áp dụng định lý điểm bất động Schauder của
một toán tử liên tục xác định trên một tập lồi, đóng và có ảnh là một
tập compact. Nội dung của chương được tham khảo trong các bài báo
[14],[16],[15] và [17] của các tác giả M.-P. Tran và T.-N. Nguyen.


3

Bảng ký hiệu
Lp

Khơng gian Lebesgue.

Lp,∞

Khơng gian Marcinkiewicz.

Lp,q

Khơng gian Lorentz.

.

Lp (X,µ)

|||.|||Lp,∞
.

Lp,q

Tựa chuẩn trong khơng gian Lp (X, µ) với 0 < p ≤ ∞.
Chuẩn của không gian Lp yếu với p > 1.
Tựa chuẩn trong không gian Lorentz Lp,q ,
là chuẩn trong trường hợp 1 ≤ q ≤ p hoặc p = q = ∞.

µ(E )

Độ đo µ của tập E.

|||.|||Lp,q

Chuẩn tương đương trong không gian Lorentz Lp,q
với 1 < p < ∞ và 1 ≤ q ≤ ∞.

df

Hàm phân phối của hàm f với độ đo µ.

mf

Hàm phân phối của hàm f với độ đo m.

f∗

Hàm hoán vị giảm của hàm f .

f ∗∗

Hàm cực đại của hàm f .

∇u

Gradient của hàm u.

∆p

Tốn tử p-Laplace.

M0 (X )

Khơng gian độ đo có biến phân bị chặn và liên tục tuyệt đối.

3


4

Chương 1

Không gian Marcinkiewicz
1.1

Không gian Lebesgue

Định nghĩa 1.1.1. ([3]) Cho X là một khơng gian độ đo, µ là một độ đo dương
và không nhất thiết phải hữu hạn trên X. Cho 0 < p < ∞, Lp (X, µ) là một tập
các hàm đo được trên X được định nghĩa
Lp (X, µ) =

p

|f | dµ < ∞ .

f đo được trên X :
X

Tập L∞ (X, µ) là tập tất cả các hàm f đo được trên X sao cho tồn tại B > 0
để tập {x : f (x) > B} có độ đo bằng 0. Hai hàm được gọi là bằng nhau trong
Lp (X, µ) nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên X, nghĩa là hai hàm bằng
nhau trên X, ngoại trừ tập có độ đo bằng 0.
Kí hiệu Lp (Rn ) nghĩa là khơng gian Lp (Rn , |·|), trong đó |·| là độ đo Lebesgue
n chiều. Độ đo Lebesgue trong Rn cũng được kí hiệu là dx. Nếu khơng có sự
nhầm lẫn, ta có thể viết Lp (X, µ) đơn giản là Lp . Khơng gian Lp (Z) được trang
bị độ đo kí hiệu là

p(

Z) hoặc đơn giản là

p

.

Cho 0 < p < ∞, ta định nghĩa tựa chuẩn của một hàm f trong Lp bởi

 p1
f

Lp (X,µ)

=

p
|f (x)| dµ (x) ,

X

4

(1.1)


5

và nếu p = ∞
f

L∞ (X,µ)

= ess.sup|f | = inf {B > 0 : µ({x : f (x) > B}) = 0}.

Sau đây là một số tính chất của ·

Lp (X,µ)

(1.2)

với 0 < p ≤ ∞.

Mệnh đề 1.1.2. (Bất đẳng thc Hăolder [3]) Cho 0 < p, p1 , p2 , ..., pk ≤ ∞ với
k ≥ 2, và fj ∈ Lpj = Lpj (X, µ). Giả sử
1

p

=

1

p1

+ ... +

1

pk

.

(i) Với f1 , f2 , ..., fk ∈ LP thì
f1 ...fk

≤ f1

Lp

Lp1 ...

fk

Lpk .

(1.3)

(ii) Nếu pj là hữu hạn, với j = 1, k thì dấu đẳng thức trong (i) xảy ra trong
p1

pk

trường hợp c1 |f1 |

= ... = ck |fk |

hầu khắp nơi với mỗi cj ≥ 0.

(iii) Cho 0 < q < 1. Với r < 0 và g > 0 hầu khắp nơi, g

Lr

= g −1

−1
.
L|r|

Khi

đó với f ≥ 0, g > 0 hầu khắp nơi ta cú
fg
vi q =

L1

f

Lq

g

Lq

,

(1.4)

q
l liờn hp Hăolder ca q.
q1

Chng minh. Ta chứng minh (i) bằng phương pháp quy nạp. Trước hết ta sẽ
chứng minh bất đẳng thức đúng với trường hợp k = 2. Nghĩa là với

1

p

=

1

p1

+

1

p2

thì f1 f2

Lp

≤ f1

Lp1

f2

Lp2 .

Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử p = 1, khi đó ta sẽ chứng minh
1

p1
Vì f1 f2

L1

≤ f1

+

Lp1

1

p2
f2

= 1 thì f1 f2
L∞

và f1 f2

L1

L1

≤ f1

≤ f1

Lp1

L∞

f2

f2

Lp2 .

Lp2

với mọi x nên trường

hợp p1 = 1, p2 = ∞ và p1 = ∞, p2 = 1 đã dược chứng minh.


6

Do đó ta có thể giả sử 1 < p1 , p2 < ∞. Nếu f1

Lp1

= 0 hoặc f2

Lp2

= 0 thì

f1 = 0 hầu khắp nơi hoặc f2 = 0 hầu khắp nơi . Suy ra f1 f2 = 0 hkn. Do đó

f1 f2

L1

= 0 hkn nên f1 f2

≤ f1

L1

f2

Lp1

Lp2 .

Từ đó ta có thể giả sử rằng f1 Lp1 > 0, f2 Lp2 > 0. Bằng cách thay thế
f2
f1
f1 bời
, f2 bởi
ta có thể giả sử f1 Lp1 = f2 Lp2 = 1. Đặt
f1 Lp1
f2 Lp2
cp1
1
f (c) =
+
− c với c ≥ 0. Ta có f (c) = cp−1 − 1. Khi đó:
p1

p2
c

0

+∞

1
− 0 +

f (c)

Ta thấy min f (c) = 0 khi c = 1. Cho a, b > 0, lấy c = ab−p2 /p1 thì
[0,+∞)

ap1
1
− ab−p2 /p1
+
p1 bp2 p2

0 ≤ f (c) =

1
ap1 bp2
+
≥ abp2 −p2 /p1 = ab vì p2 1 −
p1
p2
p1

xảy ra nếu và chỉ nếu

= p2

Suy ra

(1.5)
1

p2

= 1 . Dấu đẳng thức

1 = c = ab−p2 /p1 ⇔ ap1 = bp2 .

Sử dụng bất đẳng thức (1.5) với a = f1
f1 f2

L1

1

≤

=

Vậy f1 f2

L1

≤ f1

Lp1

f2

b = f2

Lp2

ta có:

|f1 (x) f2 (x)| dµ (x)

=

=

Lp1 ,

p1
1

f1

p1
1

p1

[f1 (x)]p1 +

+

Lp2 .

Lp1

1

p2

+

1

p2

1

p2

f2

[f2 (x)]p2 dµ (x)

Lp2

= 1.

Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với k − 1,

nghĩa là
f1 ...fk−1

Lp

≤ f1

Lp1 ...

f2

Lpk−1 ,

(1.6)


7

với

1

=

p

1

p1

+ ...

1

pk−1

. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với k bằng

k−1

cách đặt g =

fj . Khi đó
j=1

f1 ...fk−1 fk

= gfk

Lp

Lp

≤ g

fk

Lp

Lpk .

Áp dụng (1.6) thì bất đẳng thức đã được chứng minh.
Từ cách chứng minh ở trên ta thấy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
|f1 |p1
|fk |pk
= ... =
hkn.
fk Lp1
fk Lpk
Áp dụng (i) ta có
|f |

q

q

L1

= |f g| |g|

−q

≤ |f g|

L1

q

|g|

1
Lq

−q
1

L 1−q

.

(1.7)

Mặt khác, ta lại có
q

|f |

L1

q

|f | dµ =

=

|f | dµ

|f g|

g −q

1
Lq

1
L 1−q

q

= f

Lq

X

X
q

1
q .q

q

|f g|

=

q

q

1
q

dµ

q

|f g| dµ

=

X

= fg

X

|g|

=

,

−q

1
1−q

1−q

dµ

q
1−q

g −1

=
X

X

Thay vào (1.7) ta được:
f

q
Lq

f

q
Lq

≤ fg

q
L1

g −1

q
q

L 1−q

,

dẫn đến bất đẳng thức sau
−q

g −1

q
L 1−q

≤ fg

q
L1

Từ đánh giá này, ta suy ra
f
Từ đây ta suy ra đpcm.

q
Lq

g

q
q
L q−1

≤ fg

q
L1

.

.

q
L1

,

1−q
q .q

dµ

= g −1

q
q

L 1−q

.


8
N

Mệnh đề 1.1.3. ([3]) Cho {fj }j=1 là một dãy hàm trong Lp (X, µ).
(i) (Bất đẳng thức Minkowski) Với 1 ≤ p ≤ ∞, thì:
N

N

≤

fj
j=1

fj

Lp .

(1.8)

j=1

Lp

(ii) (Bất đẳng thức Minkowski) Với 0 < p < 1 và fj ≥ 0, j = 1, 2, ..., N , thì:
N

N

fj

≤

Lp

fj

.

j=1

j=1

(1.9)

Lp

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (i) bằng quy nạp. Bất đẳng thức đúng với
N = 2. Thật vậy, với p = 1 hoặc p = ∞ thì áp dụng bất đẳng thức tam giác ta
có điều phải chứng minh. Với 1 < p < ∞ ta có
p

p−1

|f1 + f2 | ≤ |f1 | |f1 + f2 |

+ |f2 | |f1 + f2 |

p1

.

p dng bt ng thc Hăolder ta cú
p1

|f1 | |f1 + f2 |
|f2 | |f1 + f2 |
với q =

p
p−1 .

p−1

≤
≤

|f1 |

p

|f2 |

p

1

p

(p−1)q

1
q

|f1 + f2 |
1
p

(p−1)q

,
1
q

|f1 + f2 |

,

Từ hai đánh giá trên ta có

p

p

|f1 + f2 | ≤

f1

p

Lp

Lp

1
q

(p−1)q

|f1 + f2 |

|f1 |

≤ f1
≤

1
p

|f1 + f2 |
+ f2

|f1 + f2 | .

|f1 + f2 |
p

|f1 + f2 |

|f1 + f2 |
p

1
q

1
q

|f1 + f2 |

Chia hai vế của bất đẳng thức cho
p

|f1 + f2 |

Lp
p

Lp

|f2 |

+

1
q

+ f2

1
p

p

.
p

1
q

khác 0 ta được

− 1q

≤ f1

Lp

+ f2

Lp .

(p−1)q

1
q

9

Suy ra f1 + f2

Lp

≤ f1

+ f2

Lp

Lp

1

(vì

+

p

1

= 1). Bây giờ giả sử bất đẳng

q

thức đúng với N , nghĩa là:

N

N

≤

fj
j=1

Lp

fj

Lp .

j=1

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với N + 1. Thật vậy:
N

N

N +1

fj
Lp

≤

fj + fN +1

=

j=1

j=1

fj
j=1

Lp

+ fN +1

Lp

+ fN +1

Lp

Lp

N

≤

fj

Lp

fj

Lp .

j=1
N +1

≤
j=1

Để chứng minh (ii) trước hết ta chứng minh bất đẳng thức đúng với trường hợp
N = 2. Thật vậy, nếu f1 = 0 hoặc f2 = 0 thì bất đẳng thức đúng. Nếu f1 > 0 và
f2 > 0, ta có:
p

|f1 + f2 | = f1 (f1 + f2 )p−1 + f2 (f1 + f2 )p−1 .
Áp dụng (1.4) ta được
p−1

f1 (f1 + f2 )

p−1

f1 (f1 + f2 )
với p =

≥

f1p

≥

f2p

1
p

(p−1)p

1
p

(f1 + f2 )
1
p

(p−1)p

= f1

p

(f1 + f2 )

Lp

1
p

(f1 + f2 )

= f2

p

(f1 + f2 )

Lp

p
. Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta được
p−1
(f1 + f2 )p ≥

Chia hai vế cho

(f1 + f2 )p

f1
1
p

f1 + f2

Lp

+ f2

Lp

(f1 + f2 )p

khác 0 ta được
Lp

≥ f1

Lp

+ f2

Lp .

1
p

1
p

,

,
1
p

,


10

Tiếp theo giả sử bất đẳng thức đúng với N , nghĩa là:
N

N

fj

Lp

≤
j=1

j=1

.

fj
Lp

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với N + 1. Thật vậy, ta có:
N +1

fj

Lp

1.2

fj

=

j=1

N +1

N

N
Lp

+ fN +1

Lp

≤

fj
j=1

j=1

+ fN +1

Lp

≤

fj
j=1

Lp

Lp

Hàm phân phối

Để tìm hiểu khơng gian Marcinkiewicz, còn gọi là Lp yếu, trước hết ta phải
thông qua định nghĩa hàm phân phối sau đây.
Định nghĩa 1.2.1. ([3]) Cho f là một hàm đo được trên X, hàm phân phối
của f là hàm df xác định trên [0; +∞) như sau:
df (α) = µ ({x ∈ X : |f (x)| > α}) ,

α ≥ 0.

(1.10)

Các mệnh đề dưới đây sẽ nêu ra một số tính chất cơ bản của hàm phân phối.
Mệnh đề 1.2.2. ([3],[7]) Cho f và g là các hàm đo được trong (X, µ). Với mọi
α, β > 0, các mệnh đề sau đây đúng:
(i) Nếu |g| ≤ |f | hầu khắp nơi thì dg ≤ df .
(ii) dcf (α) = df

α
|c|

với mọi c ∈ C\ {0}.

(iii) df +g (α + β ) ≤ df (α) + dg (β ).
(iv) df g (αβ ) ≤ df (α) + dg (β ).

Chứng minh. Đầu tiên ta sẽ chứng minh (i). Với α > 0 tùy ý, vì |g| ≤ |f | hầu
khắp nơi nên:
{x ∈ X : |g (x)| > α} ⊂ {x ∈ X : |f (x)| > α} .


11

Do đó µ ({x ∈ X : |g (x)| > α}) ≤ µ ({x ∈ X : |f (x)| > α}). Vậy dg ≤ df .
Để chứng minh (ii) ta lấy tùy ý c ∈ C\ {0}, α > 0, khi đó
dcf (α) = µ ({x ∈ X : |cf (x)| > α})
= µ ({x ∈ X : |c| |f (x)| > α})
=µ

x ∈ X : |f (x)| >

= df

α
.
|c|

α
|c|

Để chứng minh (iii) ta lấy tùy ý α, β > 0, thì
{x ∈ X : |f (x) + g (x)| > α + β} ⊂ {x ∈ X : |f (x)| > α}∪{x ∈ X : |g (x)| > β} .
Từ đây ta suy ra
µ ({x ∈ X : |f (x) + g (x)| > α + β}) ≤ µ ({x ∈ X : |f (x)| > α}) +
+ µ ({x ∈ X : |g (x)| > β}) .

Từ định nghĩa của hàm phân phối ta kết luận được
df +g (α + β ) ≤ df (α) + dg (β ) .
Cuối cùng ta sẽ chứng minh (iv), với mọi α, β > 0, ta có :
{x ∈ X : |f (x) g (x)| > αβ} ⊂ {x ∈ X : |f (x)| > α} ∪ {x ∈ X : |g (x) > β|} .
Do đó df g (αβ ) ≤ df (α) + dg (β ).
Mệnh đề 1.2.3. ([3],[7]) Giả sử f và fn là những hàm đo được trong (X, µ).
Các mệnh đề sau đây đúng:
(i) df là hàm giảm và liên tục phải trên [0, ∞).
(ii) Nếu |f | ≤ lim inf |fn | hầu khắp nơi thì df ≤ lim inf |dfn |.
n→∞

(iii) Nếu |fn | ↑ |f | thì dfn ↑ df .

n→∞


12

Chứng minh. Ta chứng minh df là hàm giảm. Thật vậy, lấy tùy ý 0 ≥ α ≥ β
thì ta có
{x ∈ X : |f (x)| > β} ⊂ {x ∈ X : |f (x)| > α}.
Suy ra df (β ) ≤ df (α) (do tính đơn điệu của độ đo). Tiếp theo, ta chứng minh
df liên tục phải trên [0, ∞). Đặt Aα = {x ∈ X : |f (x)| > α}. Lấy α0 là một số
dương tùy ý, do Aα ⊃ Aα+1/n với ∀n ∈ N∗ , ∀α > 0, nên ta có
∞

Aα0 =

Aα0 +1/n .
n=1

Suy ra: df α0 +

1
n

= µ Aα0 +1/n → µ (Aα0 ) = df (α0 ) khi n → ∞. Điều này

chứng tỏ df lên tục phải trên [0, ∞). Tiếp theo, với mỗi α > 0, đặt
A = {x ∈ X : |f (x)| > α}, An = {x ∈ X : |fn (x) > α}, n ∈ N∗ .
∞

∞

∗

Khi đó An+1 ⊂ An với ∀n ∈ N nên

An

là dãy giảm. Theo giả thiết

n=m

m=1

|f (x)| ≤ lim inf |fn (x)| = sup inf |f (x)| .
n→∞

m∈N n≥m

Điều này có nghĩa với mọi x ∈ X thỏa |f (x)| > α tồn tại một số nguyên m sao
∞

∞

An , và với mỗi m ≥ 1, ta có:

cho ∀n ≥ m thì |f (x)| > α. Do đó A ⊂
m=1 n=m
∞

µ

An

≤ inf µ (An ) ≤ sup inf µ (An ) = lim inf µ (An ) .

n=m

n≥m

m

n→∞

n≥m

Từ đó suy ra
∞

∞

df (α) = µ (A) ≤ µ

∞

An
m=1 n=m

= lim µ
m→∞

An
n=m

≤ lim inf df (α) .
n→∞

Vì |fn | ↑ |f | nên suy ra |fn | < |f | , ∀n ∈ N. Do đó theo Mệnh đề 1.2.2 ta có
dfn < df . Ta sẽ chứng minh lim dfn (α) = df (α) , ∀α > 0. Với mỗi α > 0, đặt
n→∞

A = {x ∈ X : |f (x)| > α} và An = {x ∈ X : |fn (x)| > α} .


13
∞

∞

Rõ ràng {An }n=1 là dãy giảm và A ⊆

An (do |fn | ↑ |f |). Suy ra
n=1

∞

Ak

lim µ

n→∞

= lim µ (An ) = µ (A) .
n→∞

k=1

Vậy lim dfn (α) = df (α). Do đó dfn ↑ df .
n→∞

Mệnh đề 1.2.4. ([3]) Cho f ∈ Lp (X, µ) với 0 < p < ∞. Khi đó ta có:
f

p
Lp

∞

αp−1 df (α) dα.

=p
0

Chứng minh. Mệnh đề này được suy ra từ định lý Fubini, như sau:
∞

∞

αp−1 df (α) dα = p

p

α

0

0

χ{x:|f (x)>α|} dµ (x) d (α)

X
|f (x)|

pαp−1 dαdµ (x)

=
X

0
p

|f (x)| dµ (x)

=
X

= f

p
Lp

.

Qua định nghĩa và các tính chất của hàm phân phối, chúng ta tiếp tục định
nghĩa không gian Lp yếu như sau.

1.3

Không gian Lp yếu

Định nghĩa 1.3.1. ([3]) Cho 0 < p < ∞, khơng gian Lp (X, µ) yếu (cịn được
gọi là khơng gian Marcinkiewicz) được định nghĩa là tập hợp tất cả các hàm đo
được f sao cho:
f

Lp,∞

= inf

C > 0 : df ( α ) ≤
1
p

Cp
, ∀α > 0
αp

= sup γdf (γ ) : γ > 0 .

(1.11)


14

là hữu hạn.
Khơng gian L∞ (X, µ) yếu được định nghĩa bởi L∞ (X, µ). Khơng gian Lp yếu
được kí hiệu là Lp,∞ (X, µ). Hai hàm trong Lp,∞ (X, µ) được gọi là bằng nhau
nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi. Lp,∞ (Rn , | · |) được kí hiệu là Lp,∞ (Rn ) .

Mệnh đề 1.3.2. ([3])
(i) Cho f ∈ Lp,∞ (Rn ) và k là một hằng số phức khác 0 bất kì, ta có:
kf

Lp,∞

= |k| f
1

(ii) Cho f, g ∈ Lp,∞ (Rn ), cp = max 2, 2 p
f +g

Lp,∞

≤ cp

Lp,∞ .

(1.12)

ta có:
f

Lp,∞

+ g

Lp,∞

.

(1.13)

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh (i). Theo Định nghĩa 1.3.1 thì ta có
kf

Lp,∞

Cp

, ∀α > 0
αp
p
C p |k|
α
≤
, ∀α > 0
|k|
αp

= inf

C > 0 : dkf (α) ≤

= inf

|k| C > 0 : df

= |k| f

Lp,∞ .

Tiếp theo ta chứng minh (ii) bằng cách xét hai trường hợp sau. Trường hợp 1,
nếu 1 ≤ p < ∞, với mọi α dương thì ta có:
df +g (α) ≤ df

α
2

+ dg

α
2

.

Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 (ii) ta được df +g (α) ≤ d2f (α) + d2g (α). Suy ra:
1

df +g (α) p ≤ d2f (α) + d2g (α)

1
p

1

1

≤ d2f (α) p + d2g (α) p .

Nhân cả hai vế với α khác 0 ta được:
1

1

1

αdf +g (α) p ≤ αd2f (α) p + αd2g (α) p .
Do (1.11) ta có:

15

f +g

≤2

Lp,∞

f

+ g

Lp,∞

Lp,∞

.

Trường hợp 2, nếu 0 < p < ∞, với mọi α dương thì ta có:
df +g (α)

1
p

df (α/2) + dg (α/2)

≤

2

1
p

.

2

Hơn nữa ta có đánh giá
1
p

df (α/2) + dg (α/2)

1

≤

2

1

df (α/2) p + dg (α/2) p
2

.

Kết hợp hai kết quả trên dẫn đến:
1

1
1
1
1
df (α/2) p + dg (α/2) p
2
2

1

df +g (α) p ≤ 2 p

.

Nhân 2 vế của bất đẳng thức với α > 0
1

α

1

αdf +g (α) p ≤ 2 p

2

1

df (α/2) p +

α

2

1

dg (α/2) p .

Theo (1.11) ta có
f +g
Vậy f + g

Lp.∞

≤ cp

f

1

Lp,∞

Lp,∞

≤ 2p

+ g

f

+ g

Lp,∞

.
1

Lp,∞

Từ mệnh đề trên và (1.11) ta có f
khi f = 0 hầu khắp nơi. Do đó .

Lp,∞

Lp,∞

, với cp = max 2, 2 p .

Lp,∞

≥ 0 với ∀f ∈ Lp,∞ và f

Lp,∞

=0

là một tựa chuẩn, nên Lp,∞ là một khơng

gian tựa chuẩn tuyến tính với 0 < p < ∞.
Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu quan hệ giữa khơng gian Lp và không gian Lp yếu,
được thể hiện qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3.3. ([3]) Với mọi 0 < p < ∞, f ∈ Lp , ta có f

đó
Lp (X, µ) ⊆ Lp,∞ (X, µ).

Lp,∞

≤ f

Lp ,

do


16

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev’s, ta có:
p

αp df (α) ≤

|f (x)| dµ (x).

(1.14)

{x:|f (x)|>α}

Từ đó suy ra
1
p

1

p

p

αdf (α) ≤

|f (x)| dµ (x)

.

{x:|f (x)|>α}

Từ bất đẳng thức này, ta có thể kết luận f

Lp,∞

≤ f

Lp .

Sau đây chúng ta tiếp tục tìm hiểu một số tính chất của ·

Lp,∞ .

Mệnh đề 1.3.4. ([1]) Cho 0 < p < q ≤ ∞ và hàm f ∈ Lp,∞ (X, µ) ∩ Lq,∞ (X, µ)
thì f ∈ Lr (X, µ) với mọi p < r < q và khi đó
f

với h =

1
r
1
p

−
−

1
q
1,
q

Lr
1
p
1
p

k=

−
−

≤
1
r
1.
q

r
r
+
r−p r−q

1
r

h
Lp,∞

f

k
Lq,∞

f

,

(1.15)

Bất đẳng thức cũng đúng trong trường hợp q = ∞.

Chứng minh. Trong trường hợp q < ∞, áp dụng (1.14) ta có:
|f (x)| dµ (x) ≤
{x∈X:|f (x)|>α}

Suy ra df (α) ≤

p

p

α p df ( α ) ≤
f

p
Lp,∞
.
αp

|f (x)| dµ (x) = f
X

Biến đổi tương tự ta cũng có df (α) ≤

Từ hai đánh giá trên ta suy ra
f

df (α) ≤ min

p
Lp,∞
,
αp

f

q

Lq,∞
αq

Bằng cách tách tích phân tại số
A=

f
f

khi đó theo (1.2.4) thì
f

r
Lr (X,µ)

∞

αr−1 df (α) dα

=r
0

q
Lq,∞
p
Lp,∞

1
q−p

,

.

f

p
Lp,∞

q
Lq,∞
.
αq

.


17
∞

≤r

α

r−1

f

min

0
A

αr−1−p f

≤r
0

p
Lp,∞
,
αp

p
Lp,∞

f

q
Lq,∞
αq

dα

∞

αr−1−q f

dα + r
A

r
r
p
f Lp,∞ Ar−p +
f
r−p
q−r
q−r
r
r
p
=
+
f Lp,∞ q−p
r−p q−r
=

q
Lq,∞

Trong trường hợp q = ∞, vì df (α) = 0 khi α > f
p
Lp,∞

bất đẳng thức df (α) ≤ α−p . f
r
Lr (X,µ)

f

khi α ≤ f
A
0

≤

r
f
r−p

p
Lp,∞

f

r−p
q−p

.

Khi đó từ (1.16) dẫn đến

p
Lp,∞

αr−1−p f

≤r

(1.16)

nên ta chỉ cần sử dụng

L∞

L∞ .

dα

Aq−r
q
Lq,∞

f

q
Lq,∞

dα

r−p
L∞

(1.17)

Mà từ (1.15) khi cho q → ∞ ta sẽ thu được (1.17).
Mệnh đề 1.3.5. ([1]) Cho (X, µ) là khơng gian độ đo. Nếu E là một tập con
của X thỏa mãn µ(E ) < ∞, f ∈ Lp,∞ (X, µ) với 0 < q < p < ∞ thì
q

|f (x)| dµ ≤
E

q
p
µ(E )1− p f
p−q

q
Lp,∞

.

(1.18)

Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.4 ta có
∞

q

λq−1 df (λ) dλ

|f | dµ = q
E

0

∞

α

λq−1 df (λ) dλ + q

=q

λq−1 df (λ) dλ

0

α
∞

α

≤q

λ

q−1

µ (E ) dλ + q

λ

0

α

= αq µ (E ) +

1

Chọn α = µ− p (E ) f

Lp,∞ ,
q

q

q
αq−p f
p−q

=

p
Lp,∞

f

p
Lp,∞
dλ
λp

.

khi đó ta có:

|f | dµ ≤ µ1− p (E ) f

E

q−1

q
Lp,∞

q
p
µ1− p (E ) f
p−q

+

q
q
µ1− p (E ) f
p−q

q
Lp,∞

.

q
Lp,∞


18

Từ đây ta có kết luận rằng nếu µ (X ) < ∞ và 0 < q < p thì
Lp (X, µ) ⊆ Lp,∞ (X, µ) ⊆ Lq (X, µ) .
Thật vậy, từ Mệnh đề 1.3.3, ta có Lp (X, µ) ⊆ Lp,∞ (X, µ). Lấy f ∈ Lp,∞ (X, µ),
q

áp dụng Mệnh đề 1.3.5 ta có

X

Như đã trình bày ở trên, .

|f | dµ < ∞. Do đó f ∈ Lq (X, µ).

Lp,∞

chỉ là tựa chuẩn trong khơng gian Lp yếu,

do đó ta cần định nghĩa một chuẩn của không gian Lp yếu như sau.
Định nghĩa 1.3.6. ([1]) Cho khơng gian độ đo (X, µ) và 0 < p < ∞, với
0 < r < p ta định nghĩa chuẩn của không gian Lp yếu với p > 1 là:

|||f |||Lp,∞ =

− r1 + p1

|f | dµ

µ(E )

sup

1
r

r

0<µ(E)<∞

,

(1.19)

E

với E là tập có độ đo hữu hạn.
Mệnh đề 1.3.7. ([1],[4]) Cho 0 < r < p < ∞, f ∈ Lp,∞ thì:
f

Lp,∞

≤ |||f |||Lp,∞ ≤

1
r

p
p−r

f

Lp.∞ .

Chứng minh. Áp dụng mệnh đề 1.3.5 với q = r ta có:
|||f |||Lp,∞ =

sup

− r1 + p1

≤

sup

E

µ(E )

− r1 + p1

0<µ(E)<∞

=

sup

− r1 + p1

µ(E )

0<µ(E)<∞

=

p
p−r

|f | dµ

µ(E )

0<µ(E)<∞

1
r

r

r
p
µ(E )1− p f
p−r

p
p−r

1
r

1

Lp,∞ .

Mặt khác do (1.19) ta có:
− r1 + p1

r

|||f |||Lp,∞ ≥ µ(E )

|f | dµ
E

1
r

,

1
r

1

µ(E ) r − p f

1
r

f

r

Lp,∞

Lp,∞


19

với mọi tập E ⊂ X thỏa µ(E ) < ∞. Đặt A = {x ∈ X : |f (x)| > α} với f ∈ Lp,∞ .
Rõ ràng µ(A) < ∞ nên
|||f |||pLp,∞ ≥

µ(A)

− r1 + p1

1
r

r

|f | dµ
A

≥ df ( α )

− pr +1

αr

p

r

A

= df (α)

− pr +1 p

= αp df (α) .

Từ (??) ta suy ra |||f |||Lp,∞ ≥ f

Lp,∞ .

α df (α)

p
r

p


20

Chương 2

Khơng gian Lorentz
2.1

Hàm hốn vị giảm

Định nghĩa 2.1.1. ([7]) Hàm hoán vị giảm của hàm f là hàm
f ∗ : [0, ∞) → [0, ∞)
được định nghĩa bởi
f ∗ (t) = inf {α ≥ 0 : df (α) ≤ t} .

(2.1)

Thông qua quy ước inf ∅ = ∞ ta có f ∗ (t) = ∞ khi df (α) > t với mọi α ≥ 0.
Ví dụ 2.1.2. ([7]) Cho hàm f : [0, ∞) → [0, ∞) xác định như sau

 1 − (x − 1)2 , 0 ≤ x ≤ 2,
f (x) =
 0,
x ≥ 2.
Khi đó ta xác định được hàm phân phối của f là
 √
 2 1 − s, 0 ≤ s ≤ 1,
df (s) =
 0,
s > 1,
và hàm hoán vị giảm của f là

 1−
f ∗ (t) =
 0,

t2
4,

Ta có đồ thị của 3 hàm số trên như sau
20

0 ≤ t ≤ 2,

t > 2.