Không gian cận mêtric sober

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hàn Thị Thanh Lan

KHƠNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hàn Thị Thanh Lan

KHƠNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER
Chun ngành: Hình học và tơpơ
Mã số: 8460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự

hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Hà Thanh. Nội dung của luận văn có sự
tham khảo, trình bày lại và phát triển các khái niệm, định lý trong bài báo Wei
Li, Dexue Zhang (2017), “Sober metric approach spaces”, Topology and its
Applications. Tôi cam đoan những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác
và trung thực.
Học viên thực hiện luận văn

Hàn Thị Thanh Lan


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ về
chuyên môn từ các Giảng viên trong khoa Toán, các giáo viên đồng nghiệp và
các bạn trong lớp Hình học và tơpơ khóa 28 cùng các anh chị khóa trên.
Đầu tiên, em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Hà Thanh Người hướng dẫn khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh. Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn em trong nghiên cứu về chuyên môn,
truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận
văn để có một luận văn tốt nhất.
Em xin gửi lời cám ơn đến các Thầy, Cô đang cơng tác tại Phịng Sau
đại học đã quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn các thủ tục để em có thể hoàn thành
luận văn đúng yêu cầu và đúng tiến độ. Em xin chân thành cảm ơn các Giảng
viên đang công tác tại khoa Toán đã giảng dạy em trong suốt quá trình học tập
tại lớp cao học này.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Lý Thường
Kiệt – Hóc Mơn và các đồng nghiệp đã quan tâm giúp đỡ để em có thời gian
nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong gia đình đã động
viên, tạo điều kiện để em yên tâm nghiên cứu.
Cảm ơn bạn Dư Ngọc Minh Anh (email ) đã
giúp đỡ tìm tài liệu và chia sẻ kinh nghiệm trong quá trình làm luận văn.
Cảm ơn anh Trần Vũ An và bạn Lê Ngơ Ngọc Nam trong lớp cao học

Hình học và tơpơ khóa 28 đã cùng nhau học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ
lẫn nhau, để hồn thành khóa học này.
Xin chân thành cảm ơn.
Hàn Thị Thanh Lan


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................4
1.1. Một số định nghĩa về hàm tử..................................................................4
1.1.1. Hàm tử bao hàm..............................................................................4
1.1.2. Hàm tử đơn ánh, toàn ánh, song ánh...............................................4
1.2. Một số định nghĩa về phạm trù...............................................................4
1.2.1. Phạm trù nhỏ...................................................................................4
1.2.2. Phạm trù đầy đủ.............................................................................. 4
1.2.3. Phạm trù đóng.................................................................................4
1.2.4. Phạm trù con................................................................................... 4
1.2.5. Phạm trù con đầy đủ........................................................................5
1.2.6. Phạm trù con đầy đủ phản đối xứng............................................... 5
1.3. Nửa phạm trù..........................................................................................5
1.4. Tập hợp sắp thứ tự..................................................................................7
1.5. Một số định nghĩa trong không gian tôpô.............................................. 7
1.5.1. Tập bất khả quy...............................................................................7
1.5.2. Không gian tôpô Sober................................................................... 7
1.5.3. Ánh xạ c trên tốn tử đóng..............................................................8
1.6. Một số định nghĩa trong khơng gian mêtric...........................................8

1.6.1. Không gian mêtric...........................................................................8
1.6.2. Không gian mêtric đối xứng; tách; hữu hạn....................................8
1.6.3. Đối của d ; Đối xứng của d .............................................................9
1.6.4. Ánh xạ co; Phép đẳng cự và phạm trù không gian Mêtric..............9


1.6.5. Khoảng cách Lawvere (Mêtric Lawvere)....................................... 9
1.6.6. Trọng và đối trọng của không gian mêtric...................................... 9
1.6.7. Ánh xạ f  .................................................................................10
1.6.8. Tập hợp tất cả các trọng của không gian mêtric........................... 10
1.6.9. Mêtric tách trên P  X ..................................................................11
1.6.10. Tích tenxơ của trọng và đối trọng...............................................11
1.6.11. Liên hợp phải, liên hợp trái của trọng và đối trọng.....................11
1.6.12. Lưới Cauchy, Lưới song Cauchy................................................12
1.6.13. Giới hạn Yoneda..........................................................................12
1.6.14. Ánh xạ liên tục Yoneda...............................................................12
1.6.15. Trọng Cauchy, trọng phẳng.........................................................13
1.7. Một số định nghĩa trong không gian cận..............................................13
1.7.1. Không gian cận............................................................................. 13
1.7.3. Phép co và phạm trù khơng gian cận............................................ 15
1.7.4. Hàm chính quy và các tính chất....................................................15
Chương 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC KHƠNG GIAN: KHÔNG
GIAN TÔPÔ, KHÔNG GIAN MÊTRIC, KHÔNG
GIAN CẬN VÀ THÀNH PHẦN SOBER CỦA
KHƠNG GIAN CẬN

17

2.1. Mối liên hệ giữa các khơng gian: Không gian tôpô, không gian
mêtric và không gian cận....................................................................17

2.1.1. Thứ tự đặc biệt của không gian tôpô.............................................17
2.1.2. Mêtric đặc biệt trên không gian cận..............................................17
2.1.3. Sơ đồ liên hệ giữa các không gian: Không gian tôpô, Không gian
mêtric và Không gian cận

18

2.2. Thành phần sober của không gian cận................................................. 20
2.2.1. Không gian cận Sober...................................................................20


2.2.1.2. Không gian cận Sober................................................................20
2.2.2. Tập X và ánh xạ .........................................................................20

 

2.2.3. Không gian X , ....................................................................... 22
2.2.4. Ánh xạ X...................................................................................... 22
2.2.5. Định lý...........................................................................................22
2.2.6. Phạm trù con SobApp của phạm trù App.......................................26
Chương 3. KHƠNG GIAN CẬN MÊTRIC SOBER................................. 28
3.1. Tính đầy đủ Yoneda của không gian mêtric......................................... 28
3.1.1. Không gian mêtric đầy đủ Yoneda................................................28
3.1.2. Tính chất........................................................................................29
3.1.3. Bổ đề............................................................................................. 30
3.1.4. Tính chất........................................................................................32
3.1.5. Tính chất........................................................................................33
3.1.6. Tính chất........................................................................................34
3.1.7. Định lý...........................................................................................35
3.2. Tính đầy đủ Smyth của không gian mêtric...........................................35

3.2.1. Không gian mêtric đầy đủ Smyth................................................. 36
3.2.2. Bổ đề về mối liên hệ giữa lưới Cauchy và song Cauchy..............36
3.2.3. Tính chất........................................................................................37
3.2.4. Tính chất........................................................................................38
3.3. Các tính chất của khơng gian cận mêtric..............................................39
3.3.1. Tính chất........................................................................................39
3.3.3. Tính chất........................................................................................40
3.3.4. Bổ đề............................................................................................. 41
3.3.5. Định lý...........................................................................................42
3.3.6. Định lý...........................................................................................43


3.4. Mối liên hệ giữa tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth đến không
gian cận mêtric Sober..........................................................................45
3.4.1. Định lý...........................................................................................45
3.4.2. Định lý...........................................................................................47
KẾT LUẬN....................................................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................50


1

MỞ ĐẦU
1. Giới thiệu đề tài
Vào năm 1906, Maurice Frechet lần đầu tiên giới thiệu về không gian
mêtric trong quyển sách “Sur quelques points du calcul fonctionnel”. Từ đó,
các nhà khoa học đã tìm hiểu sâu hơn về khơng gian này và đưa ra nhiều ứng
dụng của nó. Khơng gian mêtric được xây dựng dựa trên lý thuyết về khoảng
cách giữa hai điểm trong tập hợp. Có nhiều mở rộng của khơng gian mêtric,
trong đó có khơng gian cận mêtric Sober được W. Li, D. Zhang giới thiệu

trong bài báo “Topology and its Applications” vào năm 2017.
Trong tôpô, không gian cận là một mở rộng chung của không gian tôpô
và không gian mêtric, dựa trên khoảng cách từ một điểm đến tập hợp, thay vì
khoảng cách giữa hai điểm như trong không gian mêtric. “Không gian cận”
được giới thiệu lần đầu tiên bởi Robert Lowen trong tài liệu “Approach
spaces: a common supercategory of TOP and MET, Mathematische
Nachrichten, 141” vào năm 1989. Đến năm 1997, Lowen một lần nữa đề cập
về không gian cận trong bài báo “Approach Spaces: The Missing Link in the
Topology – Uniformity - Metric Triad”. Lowen đã đưa ra những tính chất cơ
bản của khơng gian cận rằng một không gian cận là một không gian tôpô nếu
được cảm sinh trên không gian tôpô và là không gian mêtric nếu được cảm
sinh trên không gian mêtric.
Luận văn này nhằm giới thiệu không gian cận Sober – Một bản sao của
khơng gian tơpơ Sober dưới góc nhìn của mêtric, được giới thiệu bởi B.
Banaschewski, R. Lowen và C. Van Olmen trong quyển “Sober approach
spaces, Topology and its Applications” được viết năm 2006. Một vấn đề cần
quan tâm là khi nào thì khơng gian tơpơ Sober là khơng gian cận Sober?
Không gian như thế nào gọi là không gian cận mêtric, khi nào không gian cận
mêtric là không gian cận mêtric Sober? Trong [4], “Cho d là một mêtric


2

thông thường (đối xứng, tách và hữu hạn) trên tập X, thành phần Sober của
không gian cận mà là tạo thành không gian mêtric  X , d  khi và chỉ khi  X ,
d

 là không gian mêtric đầy đủ”. Bài luận văn này nhằm mô tả chi tiết kết quả

trên bằng sự tổng quát được phát biểu như sau: “Cho  X , d  là không gian

mêtric, thành phần Sober của khơng gian cận có dạng tạo thành của không gian
mêtric X , d  là không gian cận mêtric khi và chỉ khi  X , d  là không gian
mêtric đầy đủ Smyth”. Không gian mêtric đầy đủ Smyth lần đầu được tìm ra bởi
nhà tốn học Smyth, được trình bày trong quyển “Quasi-uniformities:
Reconciling domains with metric spaces, Lecture Notes in Computer Science và
Completeness of quasi-uniform and syntopological spaces, Journal of London
Mathematical Society”. Không gian mêtric  X , d  được gọi là đầy đủ Smyth
nếu nó tách và mọi lưới Cauchy trong không gian

 X , d  đều hội tụ trong X , d sym .
Mối quan hệ giữa không gian cận và không gian mêtric tương tự như
mối quan hệ giữa không gian tôpô và tập sắp thứ tự. Ta có mối liên hệ giữa
tập sắp thứ tự, khơng gian tôpô, không gian mêtric và không gian cận được
thể hiện qua sơ đồ sau:
Ord

Met

Nội dung luận văn còn quan tâm đến:
-

Tính đầy đủ Yoneda, đầy đủ Smyth của khơng gian mêtric và các tính

chất liên quan của nó.
- Tính đầy đủ Yoneda và đầy đủ Smyth liên quan đến không gian cận
mêtric Sober như thế nào?


3

2. Phương pháp nghiên cứu
Trình bày các lý thuyết về tính chất khơng gian cận, khơng gian cận
Sober và khơng gian cận mêtric Sober, trình bày các kết quả qua lập luận và
chứng minh chi tiết. Tổng hợp, bổ sung, hoàn thiện và sắp xếp hệ thống
những bài báo đã có, tài liệu khoa học có liên quan đến đề tài, vấn đề cần
nghiên cứu.
3. Cấu trúc của luận văn
Luận văn được trình bày như sau:
Mở đầu: Gồm có giới thiệu đề tài, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc
của luận văn.
Chương 1: Kiến thức tổng quan. Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho
luận văn gồm các định nghĩa, tính chất cơ bản trong khơng gian tơpơ, khơng
gian mêtric và khơng gian cận.
Chương 2: Trình bày mối liên hệ giữa các không gian: Không gian tôpô,
không gian mêtric và khơng gian cận. Định nghĩa và các tính chất của thành
phần Sober trong khơng gian cận.
Chương 3: Trình bày các tính chất của khơng gian đầy đủ Yoneda,
khơng gian đầy đủ Smyth, không gian cận mêtric và mối liên hệ giữa tính đầy
đủ Yoneda, tính đầy đủ Smyth đến khơng gian cận mêtric Sober.
Kết luận: Hệ thống các kết quả trình bày trong chương 2 và chương 3.
Tài liệu tham khảo.


4

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số định nghĩa về hàm tử
1.1.1. Hàm tử bao hàm
Cho C là phạm trù con của phạm trù D. Hàm tử I : C  D được gọi là
hàm tử bao hàm nếu I biến mỗi vật trong phạm trù C đến chính nó.

1.1.2. Hàm tử đơn ánh, tồn ánh, song ánh
: C  D . Hàm tử F cảm sinh một ,

Cho hai phạm trù C, D và hàm tử F
hàm FX ,Y : HomC X , Y   HomD F X , F

với mọi vật X, Y trong C.

Y

- Hàm tử F được gọi là đơn ánh F đơn ánh.
X ,Y
nếu
FX , toàn ánh.
- Hàm tử F được gọi là toàn ánh Y
song ánh.
nếu
FX ,
Y

- Hàm tử F được gọi là song ánh
nếu
1.2. Một số định nghĩa về phạm trù
1.2.1. Phạm trù nhỏ
Một tập hợp được gọi là tập hợp nhỏ nếu nó là một tập con thực sự và
khơng thuộc lớp cực lớn.
Một phạm trù được gọi là phạm trù nhỏ nếu nó có vật là các tập hợp nhỏ
và có tập các xạ từ A đến B, với A và B là hai vật trong phạm trù, kí hiệu
Hom A, B cũng là tập hợp nhỏ.

1.2.2. Phạm trù đầy đủ
Một phạm trù C được gọi là đầy đủ nếu mọi hàm tử F : J  C từ một
phạm trù nhỏ đến C có một giới hạn trong C.
1.2.3. Phạm trù đóng
Một phạm trù được gọi là phạm trù đóng nếu với mọi cặp vật a, b thì cấu
xạ đi từ a đến b cũng là vật trong phạm trù đó.


1.2.4. Phạm trù con
Một phạm trù C được gọi là phạm trù con của phạm trù D nếu:


5

i  Vật của C cũng là vật của D C  D.
ii  Với cặp vật A, B trong C, tập các xạ từ A đến B trong C nằm trong tập
các xạ từ A đến B trong D.

iii  Phép hợp thành trong C cũng là phép hợp thành trong D.
1.2.5. Phạm trù con đầy đủ
Một phạm trù con C của phạm trù D được gọi là đầy đủ nếu với mọi vật
x, y của C, cấu xạ f đi từ x đến y trong C cũng nằm trong D.
1.2.6. Phạm trù con đầy đủ phản đối xứng
Cho C là phạm trù con của phạm trù D. Phạm trù C được gọi là phạm trù
con phản đối xứng của D nếu nó là phạm trù con đầy đủ mà hàm tử bao hàm
của nó có một liên hợp phải.
1.3. Nửa phạm trù
Nửa phạm trù B  B,
: B  B  B , một vật e  B

những điều kiện sau:

i  Với ba vật bất kì a, b, c B ,
ii  Với vật bất kì a  B
iii  Với bốn vật bất kì

Hàm tử hai ngôi trong định nghĩa nửa phạm trù B được gọi là phép nhân
của B và vật e được gọi là vật đơn vị của phép nhân của B.
Ví dụ về nửa phạm trù
- Đầu tiên nói về định nghĩa nửa dàn: Nửa dàn là một cấu trúc đại số


6

S, , bao gồm một tập hợp S, được trang bị một tốn tử hai ngơi gọi

 , được

là phép giao, thỏa mãn các điều kiện sau:

i  Kết hợp: x   y  z    x  y   z , x, y , z S .
ii  Giao hoán: x  y  y  x , x, y S .
iii  Tính lũy đẳng: x  x  x , x S .
Một nửa dàn S,  được gọi là bị chặn nếu tồn tại một phần tử đơn vị
e
S

sao cho e  x  x  e  x , x S .
là một ví dụ của nửa phạm trù được xây dựng dựa trên lý

thuyết nửa dàn.
Từ tập hợp S  0,1 , ta có thể xây dựng cấu trúc nửa dàn như sau: Định
nghĩa tốn tử hai ngơi  : S  S  S bởi những điều kiện sau:
i   0,0   0 .
 ii


 0,1 
1,0

 0.

iii  1,1 1.

Ta có thể kiểm tra những điều kiện trong định nghĩa nửa dàn để kết luận

0,1,

là

0  0  0  1  1  0  0 , suy ra rằng 0 là một phần tử đơn vị của

Cho
mọi phần

S, là một tập
tử

 : S  S  S bởi x  y

một nửa dàn, cảm sinh từ một tập hợp được sắp bộ phận S,.
Ta có thể xây dựng được nửa phạm trù từ một nửa dàn bị chặn S, 
cảm sinh từ một tập hợp được sắp bộ phận S,. Lạm dụng kí hiệu, ta kí hiệu


7

S,  cho nửa phạm trù được xây dựng từ nửa dàn như
sau:



,
được xây
S, dựng

i  Vật của S là những phần tử trong tập hợp S.
ii  Với x, y là hai phần tử của S: Nếu x  y , ta định nghĩa cấu xạ đi từ x
đến y là cấu xạ duy nhất. Do đó Hom x, y  bao gồm duy nhất một cấu xạ. Nếu
x  y thì Hom x, y  .

Ta định nghĩa hàm tử hai ngôi (phép nhân của S) là
định bởi

: S  S  S xác

x,yxyS,x,yS. Cho,,là những đẳng cấu đồng

nhất và vật đơn vị của phép nhân là phần tử đơn vị e của nửa dàn S, . Ta
có thể chứng minh rằng phạm trù S, được trang bị với

, e,  ,  như trên là

một nửa phạm trù.
1.4. Tập hợp sắp thứ tự

0,1, là nửa phạm trù đóng, nhỏ, đầy đủ. Một tập hợp sắp thứ tự là
tập hợp X với thứ tự trong X được định nghĩa p : X  X  0,1,  sao cho:
x, y , z  X :

 p x, x 1.
i
p x, y   p  y , z  

p x,



z.



ii 

Ta có: x 
y

khi và chỉ khi p x, y   1 .

1.5. Một số định nghĩa trong không gian tôpô

1.5.1. Tập bất khả quy
Trong không gian tơpơ X, tập con A đóng, khác rỗng được gọi là bất khả
quy nếu với mọi tập con B, C đóng và A   B C , ta có A  B hoặc A  C .
1.5.2. Khơng gian tôpô Sober


Một không gian tôpô X được gọi là Sober nếu với mọi tập con A đóng,


8

sao cho A  x .

bất khả quy, tồn tại duy nhất x 
X

1.5.3. Ánh xạ c trên toán tử đóng
Cho khơng gian tơpơ X, tốn tử đóng trên X cảm sinh ra ánh xạ
c:X2X 

xác định bởi:



xA

.



c x , A 

1,



x
A



Ánh xạ này thỏa các điều kiện:

C1

c x, x 1

C2

c x,    0

C3 c x, A  B   c x, A  c x, B.
C4

c x, A   c x

Điều kiện C4 biểu thị cho tính lũy đẳng của tốn tử đóng. Tơpơ trên
tập X tương ứng 1-1 với ánh xạ c : X  2
đến C4 .

1.6. Một số định nghĩa trong không gian mêtric
1.6.1. Không gian mêtric
Không gian mêtric là khái niệm được trình bày trong [18], được mở rộng
thơng qua nửa dàn đóng Lawvere

0,   , . Khơng gian mêtric  X , d 

một tập hợp X cùng với ánh
d x, y   d  y , z   d x, z  với mọi

giá trị

d

 được gọi là khoảng cách từ x đến y.

x,y

1.6.2. Không gian mêtric đối xứng; tách; hữu hạn
Cho không gian mêtric  X , d .


-  X , d  được gọi là đối xứng nếu x, y  X : d x, y   d  y , x.
-  X , d  được gọi là tách nếu x, y  X : d x, y   d  y , x  0 , ta có x  y .


9

-  X , d  được gọi là hữu hạn nếu d x, y   , x, y  X .
Nhận xét: Không gian mêtric theo nghĩa thông thường có ba tính chất

đối xứng, tách và hữu hạn.
1.6.3. Đối của d ; Đối xứng của
Cho d là mêtric trên khơng gian X.
d

- Đối của d , kí hiệu là d



- Đối xứng của d , kí hiệu là d
d

 dy
,

x.



định:
y ,  y , x .

d

max

1.6.4. Ánh xạ co; Phép đẳng cự và phạm trù không gian Mêtric
Cho  X , d , Y , p là các không gian mêtric.
- Ánh xạ f : X , d   Y , p được gọi là ánh xạ co nếu:
d x, y   p  f x , f  y , x, y  X .

- Ánh xạ f : X , d   Y , p được gọi là phép đẳng cự nếu:
d x, y   p  f x , f  y , x, y  X .

Phạm trù không gian mêtric, kí hiệu là Met, được định nghĩa: Vật là các
không gian mêtric, cấu xạ là các ánh xạ co.
1.6.5. Khoảng cách Lawvere (Mêtric Lawvere)
Lấy a , b   0;. Khoảng cách Lawvere từ a đến b, kí hiệu là d L a , b
được xác định như sau: d L a, b   b a  max 0;b  a. Ta quy ước  0
và  a  , a . Khi đó, 0; , dL  là không gian mêtric tách, không
đối xứng và không hữu hạn. Đối của mêtric Lawvere, kí hiệu là
định:

d

y.
R


1.6.6. Trọng và đối trọng của không gian mêtric
Cho  X , d  là không gian mêtric.


10

- Hàm
  x     y   d x, y ,



- Hàm
  y    x   d x, y ,

nếu

Hay nói cách khác: Trọng của
Đối trọng của
Thật vậy:

 là

- Vì




d

d

x, y
   x     y   d x, y


d


x, y

 là

- Vì
d
   y    x   d x, y

1.6.7. Ánh xạ
Cho
co. Nếu
f







y





 inf

xX

Hàm f   có tính chất:
- Nếu  là trọng của Y , p thì 

f cũng là trọng của  X , d .

- Nếu  là đối trọng của Y , p thì 

f cũng là đối trọng  X  .

của

1.6.8. Tập hợp tất cả các trọng của không gian mêtric

,
d


Cho  X , d  là không gian mêtric. Tập hợp tất cả các trọng của  X , d ,
được kí hiệu là P  X  có các tính chất sau:


11

Tính chất 1: x  X , d , x  P X . Mọi trọng đều có thể lấy đại diện.
Tính chất 2: Với mọi tập con i

iI



củ
và

su

i

0;,  PX 

Tính chất 3:

1.6.9. Mêtric tách trên
Cho khơng gian mêtric  X , d , P  X  là tập tất cả các trọng của 
Ánh xạ d : P X  P X    0, xác định bởi
,

 X . Ta nói d là mêtric tách trên , ta
P

,


P



X

d

P
X

có:



d



d 



,d

một phép đẳng cự vì x, y   d d , x , d , y , x, y
của Bổ đề Yoneda và phép nhúng Yoneda trong lý thuy

,

, x

 . Hơn nữa, xX,



, x

Ánh xạ  : X , d   P X , d  được xác định   d

X.

x



 d , x , x  X là

X . Đây là một ví dụ


phạm trù mở rộng.

ết

1.6.10. Tích tenxơ của trọng và đối trọng
Với mỗi trọng 

và mỗi đối trọng 

trong không gian mêtric  X , d ,

tích tenxơ của  và  (một trường hợp đặc biệt của phép hợp thành hai
môđun) là một phần tử trong 0, , xác định bởi    inf   x   x.
xX

1.6.11. Liên hợp phải, liên hợp trái của trọng và đối trọng
Gọi  là trọng và  là đối trọng trong không gian mêtric  X , d . Ta nói
 là một liên hợp phải của 

(hay  là một liên hợp trái của  ) nếu

,


   0 và   x     y   d x, y , x, y  X . Khái niệm này là trường hợp

đặc biệt của phép hợp thành hai môđun trong lý thuyết phạm trù mở rộng. Vì
vậy, liên hợp trái của một trọng nếu tồn tại là duy nhất.