(Luận văn thạc sĩ) dạy học mô hình hóa toán học trong chương trình đại số lớp 7

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÙY LINH

DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
TRONG CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 7

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÙY LINH

DẠY HỌC MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC
TRONG CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 7

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 8.14.01.11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Chí Thành

HÀ NỘI – 2020


LỜI CẢM ƠN

Với tình cảm chân thành và sự biết ơn sâu sắc, tác giả xin đƣợc trân
trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo, Hội đồng khoa học, Ban giám hiệu
Trƣờng Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học và, nghiên cứu và
hồn thành khóa học.
Đặc biệt, tác giả xin đƣợc bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất
đến PGS.TS. Nguyễn Chí Thành đã chu đáo, hƣớng dẫn tận tình, giúp đỡ và
chỉ bảo tác giả trong suốt q trình hồn thành luận văn này.
Tác giả xin cảm ơn sự quan tâm, tạo điều kiện của thầy, cô giáo trong
Ban giám hiệu, các thầy, cô giáo trong tổ Toán THCS trƣờng THCS & THPT
Nguyễn Siêu, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt
quá trình học tập và thực hiện đề tài của mình.
Tác giả cũng xin đƣợc dành lời cảm ơn chân thành đến những ngƣời
thân và bạn bè, đặc biệt là các học viên lớp cao học QH-2017-S đợt 2 đã luôn
quan tâm, cổ vũ, chia sẻ, động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn một
cách tốt nhất.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhƣng luận văn chắc chắn khơng tránh khỏi
những thiếu sót cần đƣợc góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận đƣợc những ý kiến
đóng góp của các thầy, cô và đồng nghiệp.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng 02 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Thùy Linh

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết đầy đủ

Viết tắt
GV

Giáo viên

HS

Học sinh

MHH

Mơ hình hóa

SGK

Sách giáo khoa

THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông

ii


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ ...................................................... iii
DANH MỤC CÁC HÌNH ................................................................................ iv
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 3
4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu. ........................................................... 3
5. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 4
6. Giả thuyết khoa học .................................................................................... 4
7. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................ 4
8. Cấu trúc luận văn ........................................................................................ 4
CHƢƠNG 1....................................................................................................... 5
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI ..................................................................... 5
1.1. Mơ hình hóa trong dạy học tốn ................................................................ 5
1.1.1. Các khái niệm về mơ hình hóa ................................................................ 5
1.1.1.1. Khái niệm mơ hình ............................................................................... 5
1.1.1.2. Khái niệm mơ hình hóa tốn học ........................................................ 6
1.1.2. Quy trình mơ hình hóa tốn học.............................................................. 7
1.1.3. Một số tiếp cận mơ hình hóa trong giáo dục tốn ................................. 13
1.1.4. Dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa ............................ 15
1.2. Một số phƣơng pháp dạy học thƣờng sử dụng trong dạy học mơ hình hóa....... 16
1.2.1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ................................................ 16
1.2.2. Dạy học dự án ....................................................................................... 18
1.2.3. Dạy học khám phá ................................................................................. 20
1.3. Một số phƣơng tiện dạy học trong mơn Tốn .......................................... 22
iii

Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 23
CHƢƠNG 2..................................................................................................... 25
MỘT PHẦN THỰC TRẠNG DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA.......................... 25
2.1. Phân tích chƣơng trình, sách giáo khoa Tốn lớp 7 Việt Nam ................ 25
2.1.1. Phân tích chƣơng trình Đại số lớp 7 hiện hành ..................................... 25
2.1.1.1. Mục tiêu.............................................................................................. 25
2.1.1.2. Nội dung cụ thể và yêu cầu cần đạt ................................................... 26
2.1.2. Phân tích chƣơng trình Tốn lớp 7 mới ................................................ 27
2.1.2.1. Mục tiêu.............................................................................................. 27
2.1.2.2. Nội dung cụ thể và yêu cầu cần đạt của chƣơng trình Đại số lớp 7 .. 28
2.1.2.3 Yêu cầu về mơ hình hóa tốn học các bài tốn thực tiễn trong chƣơng
trình tốn lớp 7 Việt Nam ............................................................................... 30
2.2. Phân tích sách giáo khoa Tốn lớp 7 Việt Nam....................................... 31
2.2.1. Phân tích sách giáo khoa lớp 7 đại trà .................................................. 31
2.2.2. Phân tích sách giáo khoa lớp 7 thử nghiệm (VNEN) ........................... 36
2.3. Thực trạng về việc rèn luyện năng lực mơ hình hóa của học sinh .......... 42
2.3.1. Mục tiêu................................................................................................. 42
2.3.2. Hình thức điều tra.................................................................................. 42
2.3.3. Nội dung điều tra ................................................................................... 43
2.3.4. Kết quả điều tra thực trạng về việc rèn luyện năng lực MHH cho HS
trong chƣơng trình Đại số lớp 7 ...................................................................... 43
2.3.5. Nguyên nhân thực trạng ........................................................................ 52
Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 52
CHƢƠNG 3..................................................................................................... 54
MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA CHO HỌC SINH
TRONG TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ .................................................... 54
3.1. Định hƣớng biện pháp .............................................................................. 54
3.2. Biện pháp dạy học mơ hình hóa cho học sinh ở trƣờng trung học cơ sở. 55

iv


3.2.1. Biện pháp 1. Kết hợp với các phƣơng pháp dạy học tích cực trong quy
trình dạy học mơ hình hóa ............................................................................... 55
3.2.1.1. Mục đích của biện pháp ..................................................................... 55
3.2.1.2. Nội dung và cách thực hiện................................................................ 55
3.2.1.3. Ví dụ ................................................................................................... 55
3.2.2. Biện pháp 2. Kết hợp các phƣơng tiện dạy học trong dạy học mơ hình
hóa ................................................................................................................... 60
3.2.2.1. Mục đích của biện pháp ..................................................................... 60
3.2.2.2. Nội dung và cách thực hiện................................................................ 61
3.2.2.3. Ví dụ minh họa ................................................................................... 61
3.2.3. Biện pháp 3. Thiết kế một số nội dung hoạt động theo chủ đề trong dạy
học mơ hình hóa .............................................................................................. 64
3.2.3.1. Mục đích của biện pháp ..................................................................... 64
3.2.3.2. Nội dung và cách thực hiện................................................................ 64
3.2.3.3. Thiết kế hoạt động MHH một số chủ đề trong chƣơng trình Đại số
Tốn 7 .............................................................................................................. 65
3.2.3.4. Thiết kế giáo án dạy học thực nghiệm ............................................... 69
Kết luận chƣơng 3 ........................................................................................... 79
CHƢƠNG 4..................................................................................................... 81
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .......................................................................... 81
4.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm ............................................................... 81
4.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm .............................................................. 81
4.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm ......................................................... 82
4.4. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sƣ phạm ........................................... 82
4.4.1. Kế hoạch lớp thực nghiệm .................................................................... 82
4.4.1.1. Kế hoạch lớp thực nghiệm sƣ phạm .................................................. 82
4.4.1.2. Thời gian thực hiện thực nghiệm sƣ phạm ........................................ 82

4.4.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................... 83
4.4.3. Tiến hành thực nghiệm.......................................................................... 83
v


4.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm ................................................... 83
4.5.1. Cơ sở đánh giá kết quả thực nghiệm ..................................................... 83
4.5.2. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm .............................................................. 84
4.5.2.1. Đánh giá định tính .............................................................................. 85
4.5.2.2. Đánh giá định lƣợng........................................................................... 84
4.5.2.3. Đánh giá chung qua thực nghiệm ...................................................... 89
Kết luận chƣơng 4 ........................................................................................... 89
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 92
PHỤ LỤC

vi


DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH
Biểu đồ 1.1. Quy trình MHH theo Swetz và Hartzler....................................... 8
Biểu đồ 1.2. Quy trình MHH (theo Coulange 1998) ........................................ 9
Biểu đồ 1.3. Chu trình MHH 7 giai đoạn của Blum ......................................... 9
Biểu đồ 1.4. Quy trình MHH theo PISA ......................................................... 10
Biểu đồ 1.5. Quy trình MHH mơ phỏng theo Stillman và Galbraith.............. 11
Biểu đồ 1.6. Phân loại các tình huống tốn học .............................................. 12
Biểu đồ 1.7. Cách để giải quyết vấn đề........................................................... 17
Bảng 2.1. Thống kê số lƣợng bài tập chƣơng I (SGK1) ................................. 31
Bảng 2.2. Thống kê số lƣợng bài tập chƣơng II (SGK1) ................................ 33
Bảng 2.3. Thống kê số lƣợng bài tập chƣơng III (SGK1) .............................. 34

Bảng 2.4. Thống kê số lƣợng bài tập chƣơng IV (SGK1) .............................. 35
Bảng 2.5. Thống kê số lƣợng bài tập chƣơng I (SGK2) ................................. 37
Bảng 2.6. Thống kê số lƣợng bài tập chƣơng II (SGK2) ................................ 38
Bảng 2.7. Thống kê số lƣợng bài tập chƣơng III (SGK2) .............................. 39
Bảng 2.8. Thống kê số lƣợng bài tập chƣơng IV (SGK2) .............................. 41
Biểu đồ 2.1. Mong muốn biết thêm các ứng dụng thực tế của những kiến thức
Toán học của HS ......................................................................... 43
Biểu đồ 2.2. Mức độ thƣờng xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực
tiễn Toán học của HS .................................................................. 44
Biểu đồ 2.3. Mức độ thƣờng xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực
tiễn của GV. ................................................................................ 44
Biểu đồ 2.4. Đánh giá của HS về mối liên hệ giữa Toán học và các môn học
khác. ............................................................................................ 45
Biểu đồ 2.5. Ý kiến của HS về tầm quan trọng của mơn Tốn trong việc học ở
trƣờng .......................................................................................... 45
Biểu đồ 2.6. Ý kiến của HS về tầm quan trọng của mơn Tốn cuộc sống hàng
ngày ............................................................................................. 45
vii


Biểu đồ 2.7. Ý kiến của HS về mức độ khơ khan của mơn Tốn ................... 46
Bảng 2.8.. Kết quả khảo sát của GV ............................................................... 47
Bảng 3.1. Mẫu phiếu thống kê ........................................................................ 57
Bảng 3.2. Phân bố tần số về chỉ số BMI theo giới tính .................................. 57
Biểu đồ 3.1. Mức độ tăng trƣởng dành cho trẻ từ 2 đến 20 tuổi ..................... 58
Bảng 3.3. Thống kê về tình trạng dinh dƣỡng của HS lớp 7 .......................... 58
Biểu đồ 3.2. Thống kê lƣợng mƣa theo từng tháng ở Bangkok, Thái Lan ..... 61
Bảng 3.4. Chỉ số BMI và nhận xét tƣơng ứng ................................................ 63
Bảng 4.1. Kết quả học tập mơn Tốn năm học 2018 – 2019 .......................... 83
Hình 4.1. Phiếu khảo sát của HS ..................................................................... 87

Hình 4.2. Sản phẩm học tập của nhóm HS ..................................................... 88
Bảng 4.2. Kết quả thực nghiệm....................................................................... 84

viii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Hội nghị lần thứ tám Ban chấp hành Trung ƣơng khóa XI,
số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào
tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị
trƣờng định hƣớng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế đã nêu rõ quan điểm
chỉ đạo của Đảng về giáo dục: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu
trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện và năng lực và phẩm chất ngƣời
học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trƣờng kết
hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Bên cạnh đó Bộ Giáo dục và
Đào tạo đã đƣa dự thảo “Chƣơng trình phổ thơng tổng thể năm 2018” nêu lên
5 phẩm chất cần có ở HS là: yêu nƣớc, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, tiết
kiệm và 10 năng lực cốt lõi trong đó có 3 năng lực chung và 7 năng lực
chun mơn. Trong đó năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau:
năng lực tƣ duy và lập luận toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực
MHH toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực sử dụng cơng
cụ, phƣơng tiện tốn học, góp phần hình thành và phát triển năng lực cốt lõi.
Nhƣ vậy để theo kịp sự bùng nổ của công nghệ thông tin, sự phát triển mạnh
mẽ của khoa học, chúng ta cần phải đào tạo những con ngƣời lao động có
năng lực vận dụng những tri thức của toán học trong điều kiện cụ thể nhằm
mang lại những kết quả thiết thực.
Toán học có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi
trong rất nhiều ngành khoa học, công nghệ cũng nhƣ trong sản xuất và đời
sống hàng ngày. Thực tiễn vừa là nguồn gốc, động lực, vừa là nơi kiểm

nghiệm tính chân lý của khoa học nói chung và tốn học nói riêng. Bởi vậy,
trong sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ việc rèn luyện cho
học năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết và
phù hợp với mục tiêu của giáo dục theo định hƣớng phát triển năng lực. Để
thực hiện đƣợc thì GV phải có năng lực vận dụng những khái niệm tốn học ở

1


trƣờng phổ thông để thiết kế và xây dựng các mơ hình tốn học trong cuộc
sống. Liên hệ thực tiễn giúp HS học tập một cách tích cực và chủ động, rèn
luyện cho HS kỹ năng và giáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng Tốn học một
cách có hiệu quả trong các lĩnh vực kinh tế và sản xuất.
Việc đƣa MHH toán học vào dạy và học toán đã đƣợc nhấn mạnh trong
những năm gần đây vì những lí do sau: MHH là một phƣơng tiện góp phần
phát triển các kĩ năng, năng lực toán học và thái độ của HS, cụ thể là khả năng
giải quyết vấn đề, tính tị mị, sáng tạo, suy luận tốn học và giao tiếp. MHH
toán học kết nối toán học trong nhà trƣờng với môi trƣờng xung quanh, với
đời sống xã hội. HS khi thấy đƣợc mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn sẽ
thấy việc học tập trong đó có học tốn trở nên ý nghĩa hơn. MHH hỗ trợ việc
học các khái niệm và q trình tốn học của HS nhƣ tạo động cơ, giúp HS
hình thành, hiểu và củng cố khái niệm tốn học. MHH cịn giúp trang bị cho
HS các năng lực để có thể sử dụng tốn giải quyết những tình huống trong
thực tiễn.
Vì nhiều lý do khác nhau mà những ứng dụng của Toán học vào thực
tiễn trong chƣơng trình và SGK, cũng nhƣ trong thực tế dạy học Toán ở nƣớc
ta chƣa đƣợc quan tâm một cách đúng mức. Trong SGK mơn Tốn và những
tài liệu tham khảo về Toán thƣờng chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những
bài toán trong nội bộ Tốn học; trong khi đó số lƣợng các ví dụ, bài tập Tốn
có nội dung liên mơn hay thực tiễn để HS học và rèn luyện chƣa nhiều.

Không chỉ vậy trong thực tế dạy Toán ở trƣờng trung học, các GV tuy đã
quan tâm nhƣng chƣa thƣờng xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng
dụng của Toán học vào tế đời sống. ). Ở Việt Nam, chƣa có nhiều nghiên cứu
dạy học MHH trong dạy học tốn.
Chƣơng trình Đại số lớp 7 bao gồm 4 chƣơng: Số hữu tỉ - Số thực, Hàm
số và đồ thị, Thống kê, Biểu thức đại số. Các chƣơng tƣơng ứng với các chủ
đề có gắn bó mật thiết với thực tiễn, đời sống. Đặc biệt là chủ đề hàm số,
thống kê có nhiều tiềm năng có thể khai thác để dạy học MHH.
Từ những lí do trên, tác giả chọn đề tài: “Dạy học mơ hình hóa tốn
2


học trong chƣơng trình Đại số lớp 7”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn từ đó xây dựng, đề xuất hệ thống
các biện pháp, trong đó có hệ thống vấn đề nhằm dạy học MHH tốn học
trong chƣơng trình đại số Tốn 7.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để thực hiện mục đích trên, nhiệm vụ nghiên cứu đƣợc đề ra nhƣ sau:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài: MHH trong
dạy học toán, một số phƣơng pháp dạy học thơng dụng, vai trị của tốn học
trong thực tiễn,…
- Nghiên cứu nội dung, cấu trúc chƣơng trình phổ thơng hiện hành và
chƣơng trình phổ thơng tổng thể mới, SGK hiện hành và SGK VNEN để tìm
các nội dung liên quan đến thực tiễn.
- Phân tích thực trạng việc rèn luyện khả năng MHH toán học cho HS
trong dạy học đại số Toán lớp 7 ở một số trƣờng Trung học cơ sở trong đó có
trƣờng Nguyễn Siêu.
- Xây dựng một số chủ đề toán học gắn liền với thực tiễn.
- Nghiên cứu đề xuất một số biện pháp (trong đó có phƣơng pháp dạy

học phù hợp với chủ đề đã xây dựng) nhằm dạy học MHH toán học cho HS.
- Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm tại trƣờng Trung học cơ sở Nguyễn
Siêu để đánh giá tính hiệu quả của các biện pháp dạy học MHH cho HS lớp 7.
4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu.
4.1. Khách thể nghiên cứu
Q trình dạy học mơn Tốn ở trƣờng Trung học cơ sở và quá trình sử
dụng các kiến thức tốn học MHH các tình huống thực tiễn.
4.2. Đối tượng nghiên cứu
Dạy học toán gắn liền với thực tiễn nhằm phát triển năng lực giải quyết
vấn đề cho HS lớp 7.
Phƣơng pháp MHH trong dạy học mơn Tốn, hệ thống bài tập MHH,
năng lực MHH của HS.
3


5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu chƣơng trình Đại số lớp 7 của Việt Nam bao gồm chƣơng
trình hiện hành và chƣơng trình VNEN, tập trung nghiên cứu các chủ đề có
tiềm năng để dạy học MHH cho HS.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng đƣợc hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn và dạy
học MHH cho HS thì sẽ rèn luyện đƣợc khả năng MHH tốn học cho HS,
góp phần đổi mới phƣơng pháp dạy học mơn Tốn theo định hƣớng phát
triển năng lực cho HS.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân
tích, tổng hợp hệ thống các nguồn tài liệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo
trình tham khảo liên quan đến đề tài của luận văn; nội dung kiến thức trong
chƣơng trình SGK lớp 7 chƣơng trình hiện hành và chƣơng trình VNEN.
Phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Dự giờ, điều tra, trao đổi với một số GV dạy mơn Tốn Trung học cơ
sở về thực trạng việc rèn luyện khả năng MHH toán học cho HS lớp 7 ở
trƣờng Trung học cơ sở.
- Quan sát quá trình học tập của HS trong các giờ học mà GV dạy thực
nghiệm.
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục,
nội dung chính của luận văn đƣợc trình bày trong 4 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận của đề tài
Chƣơng 2. Một phần thực trạng dạy học mơ hình hóa
Chƣơng 3. Một số biện pháp dạy học mơ hình hóa cho học sinh trung
học cơ sở
Chƣơng 4. Thực nghiệm sƣ phạm

4


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Trong chƣơng này tác giả sẽ phân tích cơ sở lý luận của đề tài bao gồm
các khái niệm về MHH, quy trình MHH tốn học, một số phƣơng pháp dạy
học tích cực có thể đƣợc sử dụng kết hợp với dạy học MHH, một số phƣơng
tiện dạy học trong mơn tốn và một số tiếp cận MHH trong giáo dục Tốn.
1.1. Mơ hình hóa trong dạy học tốn
1.1.1. Các khái niệm về mơ hình hóa
1.1.1.1. Khái niệm mơ hình
Trong các nghiên cứu của Mason & Davis (1991) thì mơ hình đƣợc
hiểu là một vật dùng thay thế cho vật thể thực tế nhƣng vẫn giữ các đặc điểm
đặc trƣng của vật đó. Vì vậy khơng cần đến vật thực tế mà ta vẫn có thể
nghiên cứu, khám phá các thuộc tính của đối tƣợng qua mơ hình. Cho đến các

nghiên cứu của Swetz & Hartzler (1991) và Verschaffel (2002) cho rằng việc
xây dựng, lựa chọn mơ hình nào cho vật thật cịn phụ thuộc vào ý đồ của
ngƣời thiết kế, sử dụng và hồn cảnh áp dụng của nó. Các hình vẽ, hàm số,
bảng, phƣơng trình, đồ thị, biểu đồ hay các mơ hình ảo trên máy tính cũng
đƣợc hiểu là một mơ hình. Khi đó việc sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả
về một hệ thống nào đó sẽ tạo thành mơ hình tốn học. Tuy có nhiều định
nghĩa khác nhau về mơ hình nhƣng trong luận văn này tác giả sử dụng định
nghĩa mơ hình là một vật trung gian dùng để nghiên cứu một hiện tƣợng, sự
vật, sự việc nào đó đƣợc gọi chung là đối tƣợng ban đầu nhằm đạt đƣợc mục
đích nhất định. Nhƣ vậy, mơ hình sẽ có một số đặc trƣng sau đây:
- Bảo toàn đƣợc các mối quan hệ cơ bản của đối tƣợng ban đầu. Tính
chất này cho thấy con ngƣời có thể xây dựng những mơ hình đơn giản hơn vật
gốc hoặc phức tạp hơn vật gốc, đồng thời có thể dự báo đƣợc những hiện
tƣợng có thể xảy ra trong thực tiễn.
- Mơ hình khơng thể thay thế hồn toàn vật gốc mà chỉ phản ánh đến
một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc.

5


- Mơ hình ra đời nhờ q trình trừu tƣợng hóa, lí tƣởng hóa đối tƣợng
nghiên cứu.
- Mơ hình khơng bất biến mà có thể phát triển từ mức độ thấp sang mức
độ cao hơn và góp phần giúp dự đốn tình huống thực tiễn.
1.1.1.2. Khái niệm mơ hình hóa tốn học
MHH tốn học trong giáo dục chính thức xuất hiện đầu tiên tại hội nghị
của Freudenthal năm 1968. Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa và mơ tả về khái
niệm MHH toán học đƣợc chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán tùy thuộc vào
quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn.
Theo Từ điển bách khoa toàn thƣ, MHH tốn học là sự giải thích tốn

học cho một hệ thống tốn học hay ngồi tốn nhằm trả lời cho những câu hỏi
mà ngƣời ta đặt ra trên hệ thống này. [15]
Theo Eykhoff (1974) định nghĩa một mô hình tốn học là “một biểu
diễn cho các phần quan trọng của một hệ thống có sẵn (hoặc sắp đƣợc xây
dựng) với mục đích biểu diễn tri thức về hệ thống đó dƣới một dạng có thể
dùng đƣợc”. [15]
Theo Lê Thị Hồi Châu (2014) thì mơ hình tốn học là sự giải thích
bằng tốn học cho một hệ thống ngồi toán học với những câu hỏi xác định
mà ngƣời ta đặt ra trên hệ thống này. Q trình MHH tốn học là q trình
thiết lập một mơ hình tốn học cho vấn đề ngồi tốn học, giải quyết vấn đề
trong mơ hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải
tiến mơ hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận. [9]
Để xây dựng các biện pháp dạy học MHH cho HS phù hợp với chƣơng
trình đại số lớp 7 nên trong luận văn này, tác giả sử dụng định nghĩa MHH
toán học của Edwards và Hamson (2001) nhƣ sau:
MHH toán học là quy trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một
vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn học, thể
hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình nếu cách
giải quyết không thể chấp nhận. [1]
Để nêu lại một cách cụ thể hơn thì MHH tốn học bao gồm toàn bộ quá
6


trình chuyển đổi từ một vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán và ngƣợc lại từ giai
đoạn xây dựng lại tình huống thực tế, lựa chọn một mơ hình tốn phù hợp, giải
quyết trong mơi trƣờng tốn, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đến tình
huống ban đầu và đôi khi đến giai đoạn điều chỉnh các mô hình, lặp lại quy trình
nhiều lần cho tới khi nhận đƣợc một kết quả hợp lý. Vậy việc sử dụng cơng cụ
tốn học để giải quyết những vấn đề thực tế gọi là MHH toán học.
Dựa vào định nghĩa trên, tác giả thấy rằng MHH toán học là một hoạt

động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai
chiều, vì vậy địi hỏi HS phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực
tốn học khác nhau cũng nhƣ có kiến thức liên quan đến các tình huống thực
tế đƣợc xem xét.
1.1.2. Quy trình mơ hình hóa tốn học
Mối quan hệ giữa các vấn đề trong SGK tốn phổ thơng và các tình
huống thực tế, đời sống sẽ đƣợc thể hiện qua quy trình mơ hình hóa mà ở đó
HS cần vận dụng các thao tác tƣ duy toán học nhƣ phân tích, tổng hợp, so
sánh, khái qt hóa, trừu tƣợng hóa. Theo cách tiếp cận này thì HS sẽ thấy
đƣợc việc học Tốn trở nên cấp thiết, có ý nghĩa hơn, hứng thú hơn.
Nhiều sơ đồ đã đƣợc sử dụng để mơ tả q trình MHH nhƣ của Pollak,
Blum, Kaiser hay Stillman và Galbraith, đó là một q trình lặp gồm nhiều
bƣớc, bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc là một phƣơng án giải
quyết thành công hay quyết định thực hiện lại quá trình để đạt đƣợc kết quả
tốt hơn. Những sơ đồ cũng là hƣớng dẫn để thiết kế các nhiệm vụ MHH và
thực hiện MHH trong dạy học.[1]
a) Sơ đồ theo Swetz và Hartzler (1991)
Bƣớc 1: Quan sát hiện tƣợng thực tế, phác thảo tình huống và phát hiện ra
những yếu tố có tác động đến vấn đề đó.
Bƣớc 2: Sử dụng ngơn ngữ tốn học để lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các
yếu tố tác động đến vấn đề và phác thảo mơ hình tốn học tƣơng ứng.
Bƣớc 3: Sử dụng các phƣơng pháp và cơng cụ tốn học phù hợp để MHH bài
tốn và phân tích mơ hình.
7


Bƣớc 4: Đƣa ra kết quả, đối chiếu mơ hình đã xây dựng với thực tiễn và đƣa
ra kết luận.
Vậy theo quy trình này thì mơ hình tốn học đƣợc xây dựng để mơ tả các tình
huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả khi làm việc với mô hình tốn học lại

đƣợc dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề thực tiễn. Quy trình trên đƣợc
minh họa bằng sơ đồ dƣới đây:
Biểu đồ 1.1. Quy trình MHH theo Swetz và Hartzler

b) Sơ đồ của Coulange (1998)
Sơ đồ này chia quy trình MHH thành 4 giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Từ một hệ thống ngồi tốn học đƣợc chuyển qua mơ hình
trung gian. Trong đó các mơ hình trung gian sẽ giữ những mối liên hệ ngữ
nghĩa với mơ hình mà tốn học cần xây dựng từ những câu hỏi ban đầu và
tiến triển qua việc MHH.
- Giai đoạn 2: Xây dựng mơ hình tốn học từ mơ hình trung gian.
- Giai đoạn 3: Áp dụng các phƣơng tiện, cơng cụ tốn học giải quyết bài tốn
đƣợc hình thành ở bƣớc hai.
- Giai đoạn 4: Chuyển câu trả lời của bài toán toán học thành câu trả lời của
những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn.

8


Biểu đồ 1.2. Quy trình MHH (theo Coulange 1998) [18]

c) Sơ đồ của Blum (2005)
Sơ đồ này đƣợc xem nhƣ là cơ sở cho tất cả các hoạt động MHH và
những thay đổi của các quy trình MHH ngày nay.
Biểu đồ 1.3. Quy trình MHH 7 giai đoạn của Blum [1]

Giai đoạn 1: Hiểu tình huống thực tế đặt ra và xây dựng mơ hình cho tình
huống này;
Giai đoạn 2: Đơn giản hóa tình huống ban đầu và đƣa các biến thích hợp vào
9

để đƣợc mơ hình thực của tình huống;
Giai đoạn 3: Chuyển từ mơ hình thực tế sang mơ hình tốn học;
Giai đoạn 4: Làm việc trong mơi trƣờng tốn học để từ mơ hình tốn ra đƣợc
kết quả tốn;
Giai đoạn 5: Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực theo ngữ cảnh thực tế;
Giai đoạn 6: Xem xét, đối chiếu tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện
chu trình lần 2;
Giai đoạn 7: Trình bày cách giải quyết vấn đề thực tiễn đƣa ra từ ban đầu.
d) Sơ đồ theo PISA (2006)
Giai đoạn 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế;
Giai đoạn 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn
đề theo các khái niệm toán học;
Giai đoạn 3: Cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thực tế thành một bài
toán mà thể hiện trung thực cho tình huống ban đầu;
Giai đoạn 4: Đƣa ra lời giải toán học cho bài toán;
Giai đoạn 5: Đối chiếu lời giải của bài tốn với tình huống thực tế, xác định
những hạn chế của lời giải.[1]
Biểu đồ 1.4. Quy trình MHH theo PISA [1]

e) Sơ đồ của Stillman và Galbraith (2006)
Để giải quyết một nhiệm vụ MHH, HS lần lƣợt thực hiện các giai đoạn chính sau:

10


Biểu đồ 1.5. Quy trình MHH mơ phỏng theo Stillman và Galbraith [2]

Giai đoạn 1: Từ tình huống thực tế ban đầu, lựa chọn, thêm vào các điều kiện

và giải thiết phù hợp để tạo ra một mơ hình thực tế của nó;
Giai đoạn 2: Xây dựng mơ hình tốn học từ cho mơ hình thực tế;
Giai đoạn 3: Làm việc trong mơi trƣờng tốn học để đạt đƣợc kết quả toán
học;
Giai đoạn 4: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;
Giai đoạn 5: Xem xét, đối chiếu tính phù hợp của kết quả thực tế hay quyết
định thực hiện lại quá trình lần 2;
Giai đoạn 6: Trình bày cách giải quyết. [2]
Ngoài ra dựa vào biểu đồ trên, nhận thấy để giải quyết một nhiệm vụ
MHH, ngƣời thực hiện MHH sẽ trải qua ba giai đoạn của một tình huống tốn
học đặt trong ngữ cảnh thực tế từ phức tạp đến đơn giản. Mức độ phức tạp của
các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế sẽ tăng dần từ mức độ 1 đến mức
độ 3 cụ thể nhƣ sau:
Mức độ 1

Tình huống mơ hình tốn

Mức độ 2

Tình huống tốn học hóa

Mức độ 3

Tình huống thực tế

- Tình huống thực tế: là tình huống xuất phát từ thực tiễn, khơng trong lĩnh
vựa tốn học, khơng chứa các đối tƣợng, kí hiệu hay cấu trúc tốn học. u
cầu đặt ra thƣờng khơng rõ ràng nên sẽ có nhiều cách để giải quyết, tùy thuộc
vào khía cạnh mà ngƣời MHH quan tâm đến.
- Tình huống tốn học hóa (hay cịn gọi là mơ hình thực tế): là tình huống

11


chứa những vấn đề, yếu tố quan trọng của tình huống thực tế ban đầu nhƣng
đã đƣợc đơn giản hóa, lí tƣởng hóa, lựa chọn, thêm vào các điều kiện, giả
thiết phù hợp. Có thể xây dựng nhiều tình huống tốn học hóa từ một tình
huống thực tế tùy thuộc vào ý đồ của ngƣời MHH nhƣng vẫn phải phản ánh
đƣợc phần nào tình huống ban đầu
- Tình huống mơ hình tốn (hay cịn gọi là mơ hình tốn học): là tình huống
bao gồm các đối tƣợng tốn học và mối quan hệ giữa chúng. [2]
Các tình huống tốn học đƣợc phân loại theo sơ đồ sau.
Biểu đồ 1.6. Phân loại các tình huống tốn học [2]
Tình huống tốn
học
Tình huống khơng đặt
trong ngữ cảnh thực tế

Tình huống đặt
trong ngữ cảnh
thực tế

Tình huống
Tình huống
mơ hình
tốn học
tốn
hóa
Trong chƣơng trình giáo dục phổ thơng hiện hành khơng nói đến dạy
Tình huống
thực tế

học MHH và phát triển năng lực MHH cho HS nên trong luận văn này tác giả
sẽ sử dụng quy trình MHH theo 4 giai đoạn là: tốn học hóa, giải bài tốn,
thơng hiểu và đối chiếu.
Giai đoạn 1: Tốn học hóa
Hiểu vấn đề thực tế, thành lập các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề,
mơ tả và diễn đạt vấn đề bằng ngơn ngữ tốn học: Đây là q trình chuyển
các vấn đề từ thực tiễn sang toán học bằng cách tạo ra các mơ hình tốn học
tƣơng ứng của chúng. Trong q trình này ta cần phân tích rõ vấn đề đặt ra
để từ đó lựa chọn đƣợc các giả thuyết, đơn giản hóa các vấn đề thực tế để có
thể giải đƣợc bài tốn. Ngồi ra cịn cần xác định các khái niệm tốn học có
liên quan đến tình huống, các biến số, biểu diễn vấn đề bằng ngơn ngữ tốn
12


học và lập các mơ hình tốn học nhƣ phƣơng trình, đồ thị hàm số, cơng thức
tốn học hay bảng biểu.
Giai đoạn 2: Giải bài tốn
Sử dụng các cơng cụ và phƣơng pháp tốn học thích hợp để giải bài
tốn, bao gồm cả sự hỗ trợ của công nghệ thông tin: Yêu cầu HS lựa chọn, sử
dụng các phƣơng pháp và cơng cụ tốn học thích hợp để thành lập và giải
quyết vấn đề sử dụng ngơn ngữ tốn học. Ở giai đoạn này, HS có thể sử dụng
cơng nghệ thơng tin để phân tích dữ liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đƣa
ra đáp án của bài toán.
Giai đoạn 3: Thơng hiểu
Hiểu lời giải của bài tốn đối với tình huống trong thực tiễn (bài tốn
ban đầu); hiểu đƣợc ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, trong đó cần
nhận ra đƣợc những hạn chế và khó khăn có thể khi áp dụng kết quả này vào
tình huống thực tiễn.
Giai đoạn 4: Đối chiếu

Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mơ hình tốn học
cũng nhƣ lời giải của bài tốn, xem lại các cơng cụ vào phƣơng pháp tốn
học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mơ hình đã xây dựng: Đây là
giai đoạn địi hỏi HS có hiểu biết rõ về các cơng cụ tốn học cũng nhƣ việc
sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem
lại các cơng cụ, phƣơng pháp toán học đã sử dụng; các giả thuyết đƣa vào,
hạn chế của mơ hình đƣợc xây dựng và tiến tới cải tiến mơ hình cũng nhƣ lời
giải của bài tốn. [2]
1.1.3. Một số tiếp cận mơ hình hóa trong giáo dục tốn
Thơng qua các quy trình MHH ở trên, chúng ta sẽ thấy đƣợc có rất
nhiều hƣớng tiếp cận MHH toán học khác nhau. Các tiếp cận này xuất phát từ
các quan điểm lí thuyết khác nhau, có mục đích khác nhau và đặc trƣng cho
những khía cạnh khác nhau của MHH. Theo [1] đã trình bày và tổng hợp các
quan điểm nhƣ sau:
13


- Quan điểm của ngƣời Đức là tập trung vào khả năng mà ngƣời học
đƣợc tạo ra mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn. Theo quan điểm này thì
các mơ hình đƣợc xây dựng từ tình huống thực tế và sự kết nối giữa các hoạt
động toán và hoạt động MHH sẽ dẫn đến sự phát triển của một lí thuyết tốn.
Ngƣời đi đầu cho hƣớng tiếp cận này là Freudental và tiếp tục đƣợc nghiên
cứu và phát triển bởi Revuz, Stainer, Garcia, Bosh.
- Quan điểm của Pollak là nhấn mạnh vào khả năng ngƣời học áp dụng
kiến thức toán học để giải quyết những vấn đề thực tiễn, giúp họ hiểu biết hơn
về thế giới và từ đó thúc đẩy, phát triển các năng lực MHH. Vì vậy thay vì
việc phát triển một lí thuyết mới thì quy trình mơ hình hóa có mục đích là giải
quyết một vấn đề thực tế. Burkhardt, Kaiser & Schwarz là những nhà giáo
dục tiêu biểu cho hƣớng tiếp cận này.
- Quan điểm “Education” quan tâm đến việc tích hợp MHH vào dạy

học tốn, các bƣớc của quy trình MHH, tìm hiểu ý nghĩa của việc học toán và
phát triển các năng lực MHH. Thơng qua các tình huống thực tế và mối quan
hệ của chúng đối với toán học sẽ thúc đẩy quá trình học. Phần lớn các tiếp cận
đƣợc phát triển trong lĩnh vực MHH đều thuộc quan điểm này và các đại diện
là Blum, Niss, Blomhoj, Jensen, Maass, Galbraith, Stillman.
- Quan điểm “Socio-critic” tập trung vào vai trò, chức năng của tốn
học nói chung, của MHH tốn học nói riêng đối với sự phát triển tƣ duy của
ngƣời học trƣớc những tình huống trong thực tế, xã hội. Các đại diện của
quan điểm này là Araujo, Barbosa, D’Ambrosio.
- Quan điểm “Context” quan tâm đến việc phát triển các hoạt động học tập,
muốn thơng qua việc MHH các tình huống thực tế thƣờng gặp trong cuộc sống
hằng ngày để HS hiểu đƣợc ý nghĩa của tốn học. Ví dụ nhƣ Lesh và Doerr.
- Quan điểm “Cognition” là một tiếp cận mới về MHH, tập trung, quan
tâm đến hoạt động nhận thức của HS qua quy trình MHH tốn học. Tìm
những rào cản, khó khăn của HS liên quan đến MHH thơng qua việc phân tích
14


các quy trình MHH khác nhau với các kiểu tình huống khác. Một số nhà
nghiên cứu theo hƣớng tiếp cận này là Blum & Leiss, Borromeo Ferri,
Carreira. [1]
Trong luận văn này, tác giả lựa chọn hƣớng tiếp cận theo quan điểm
“Education” là tích hợp MHH vào dạy học tốn theo các bƣớc của quy trình
mơ hình hóa là tốn học hóa, giải bài tốn, thơng hiểu và đối chiếu. Từ việc
HS thấy đƣợc mối quan hệ mật thiết giữa toán học và thực tiễn sẽ thúc đẩy
quá trình học tập một cách tích cực.
1.1.4. Dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa
Vấn đề đặt ra của giáo dục ngày nay là phải bồi dƣỡng cho HS năng lực
giải quyết các vấn đề của thực tiễn bằng những kiến thức toán mà họ học đƣợc.
Việc gắn dạy học Toán với giải quyết các vấn đề của thực tiễn giúp HS hiểu ý

nghĩa của tri thức mình học đƣợc, lí do tồn tại và lợi ích của nó cho thực tiễn
cuộc sống cá nhân cũng nhƣ xã hội. Quan điểm dạy học gắn với mơ hình sẽ tạo
động lực học tập, tăng hứng thú, rèn luyện năng lực tƣ duy cho HS.
Theo tác giả Lê Văn Tiến (2005) phân biệt hai khái niệm dạy học MHH
và dạy học bằng MHH.
Dạy học MHH là dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học từ
tình huống thực tế. Từ đó việc trả lời cho bài tốn tốn học sẽ dẫn đến trả
lời cho các tình huống nảy sinh từ thực tiễn. Quy trình dạy học có thể là:
Dạy học tri thức tốn học lí thuyết



Vận dụng các tri thức này vào việc

giải các bài toán thực tiễn và việc xây dựng mơ hình của thực tiễn.[21] Quy
trình này có ƣu điểm là tiết kiệm đƣợc thời gian nhƣng lại có nhƣợc điểm
là làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức tốn học, và do đó ngƣời
học không thấy đƣợc nghĩa của tri thức.
Dạy học bằng MHH có bản chất là dạy học tốn thơng qua dạy học
MHH sẽ khắc phục đƣợc nhƣợc điểm này. Vậy từ quá trình nghiên cứu
các vấn đề thực tiễn các tri thức cần dạy sẽ đƣợc nảy sinh với tƣ cách là
15