(Luận văn thạc sĩ) phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học chủ đề tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ HỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐÀO THỊ THU HƢƠNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ HỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐÀO THỊ THU HƢƠNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
MÃ SỐ: 8 14 01 11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI - 2018

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hồn thành đề tài luận văn Thạc sĩ, ngoài sự nỗ lực cố gắng
của bản thân, cịn có sự hƣớng dẫn nhiệt tình của q thầy cô cũng nhƣ sự
động viên, ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập, nghiên
cứu và thực hiện luận văn.
Tác giả tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn
Nhụy - ngƣời đã trực tiếp tận tình hƣớng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt q
trình thực hiện và hồn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sƣ phạm, Khoa Sau đại học,
Phòng Đào tạo trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các giáo viên tổ Toán, các em học
sinh trƣờng THPT Quang Minh - Mê Linh - Hà Nội đã giúp đỡ, tạo điều kiện
thuận lợi trong thời gian tác giả tổ chức thực nghiệm tại trƣờng.
Đề tài của tác giả không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận
đƣợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, các bạn và những ngƣời quan tâm
đến đề tài để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn.
Trân trọng cảm ơn.
Hà Nội, tháng 01 năm 2018
Tác giả

Đào Thị Thu Hƣơng

i


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i
MỤC LỤC ......................................................................................................... ii
DANH MỤC BẢNG ......................................................................................... v
DANH MỤC BIỂU ĐỒ ................................................................................... vi
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
3. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 3
4. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 3
5. Phƣơng pháp tiếp cận nghiên cứu ................................................................ 3
6. Câu hỏi và giả thuyết nghiên cứu.................................................................. 3
7. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu .............................................................. 3
8. Đóng góp của luận văn .................................................................................. 3
9. Cấu trúc luận văn .......................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..................................... 5
1.1. Năng lực, năng lực toán học ...................................................................... 5
1.1.1. Năng lực .................................................................................................. 5
1.1.2. Năng lực toán học ................................................................................... 6
1.2. Tƣ duy, năng lực tƣ duy ............................................................................. 6
1.2.1. Tư duy ...................................................................................................... 6
1.2.2. Năng lực tư duy ....................................................................................... 9
1.3. Dạy học nội dung Tổ hợp ở trƣờng THPT............................................... 14

ii


1.3.1. Vai trị, vị trí .......................................................................................... 14
1.3.2. Nội dung ................................................................................................ 14
Kết luận Chƣơng 1 .......................................................................................... 19
CHƢƠNG 2: BIỆN PHÁP SƢ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN MỘT

SỐ NĂNG LỰC TƢ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH ...................... 20
2.1. Nguyên tắc xây dựng các biện pháp ........................................................ 20
2.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng và tính thực tiễn
......................................................................................................................... 20
2.1.2. Nguyên tắc 2: Đảm bảo sự thống nhất giữa cụ thể và trừu tượng ........... 20
2.1.3. Nguyên tắc 3: Đảm bảo sự thống nhất giữa tính đồng loạt và tính
phân hóa ......................................................................................................... 21
2.1.4. Ngun tắc 4: Đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức và yêu cầu
phát triển trong dạy học .................................................................................. 21
2.1.5. Nguyên tắc 5: Đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy và
tính tự giác, tích cực, chủ động của trị .......................................................... 22
2.2. Biện pháp.................................................................................................. 22
2.2.1. Biện pháp 1: Làm cho HS nắm vững các kiến thức cơ bản về Tổ hợp
......................................................................................................................... 22
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ.................... 25
2.2.3. Biện pháp 3: Giúp cho HS thấy được ứng dụng thực tiễn của “Tổ hợp”
từ đó tạo hứng thú cho HS trong q trình học nội dung này ........................ 45
2.2.4. Biện pháp 4: Hướng dẫn HS phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm
cho HS ............................................................................................................. 49
Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 73
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................... 74
iii


3.1. Mục đích của thực nghiệm ....................................................................... 74
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm............................................................ 74
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................. 74
3.2.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................... 75
3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................. 95
3.3.1. Kết quả đánh giá định lượng ................................................................ 95

3.3.2. Phân tích kết quả thực nghiệm ............................................................ 100
Kết luận chƣơng 3 ......................................................................................... 102
KẾT LUẬN .................................................................................................. 103
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 104

iv


DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1: Bảng phân phối tần số kết quả của hai bài kiểm tra ....................... 95
Bảng 3.2. Bảng phân phối tần suất kết quả của hai bài kiểm tra .................... 96
Bảng 3.3. Bảng phân phối tần suất lũy tích kết quả của hai bài kiểm tra ....... 96
Bảng 3.4. Bảng tổng hợp phân loại kết quả của bài kiểm tra số 1.................. 98
Bảng 3.5. Bảng tổng hợp phân loại kết quả của bài kiểm tra số 2.................. 98
Bảng 3.6. Bảng tổng hợp các tham số đặc trƣng của các bài kiểm tra ......... 100

v


DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1. Đƣờng lũy tích phần trăm số học sinh đạt điểm Xi trở xuống
trong bài kiểm tra số 1 ..................................................................................... 97
Biểu đồ 3.2. Đƣờng lũy tích phần trăm số học sinh đạt điểm Xi trở xuống
trong bài kiểm tra số 2 ..................................................................................... 97
Biểu đồ 3.3. Biểu đồ phân loại kết quả học tập học sinh bài kiểm tra số 1 ........... 98
Biểu đồ 3.4. Biểu đồ phân loại kết quả học tập học sinh bài kiểm tra số 2.......... 99
Biểu đồ 3.5. Biểu đồ so sánh điểm trung bình kết quả hai bài kiểm tra ......... 99

vi


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Để sự nghiệp giáo dục và đào tạo phục vụ đắc lực cho sự nghiệp cơng
nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nƣớc và bắt kịp sự phát triển của xã hội trong
giai đoạn hiện nay, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phƣơng pháp dạy
học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo những con ngƣời có đầy đủ phẩm chất
của ngƣời lao động trong nền sản xuất tự động hóa. Nghị quyết Hội nghị Ban
Chấp hành Trung ƣơng Đảng lần thứ hai khóa VIII đã chỉ ra: “Phải đổi mới
phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành
nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp
tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy - học, đảm bảo điều kiện
và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.
Trong Luật Giáo dục (1998), Điều 24 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh,..., bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh”. Muốn đạt đƣợc điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực
hiện trong quá trình dạy học là phát triển năng lực tƣ duy cho học sinh.
Trong giai đoạn hiện nay, việc rèn luyện khả năng tƣ duy cho học sinh
ngày càng trở nên quan trọng. Các nhà lý luận học ngày nay đã tổng kết các
thành phần của nội dung học vấn phổ thông và chức năng của từng thành
phần đối với hoạt động tƣơng lai của thế hệ trẻ, đó là: Hệ thống tri thức về tự
nhiên, xã hội, tƣ duy, kỹ thuật và phƣơng pháp nhận thức giúp học sinh nhận
thức thế giới; hệ thống kỹ năng, kỹ xảo giúp học sinh tái tạo thế giới; hệ thống
kinh nghiệm hoạt động sáng tạo giúp phát triển thế giới; thái độ chuẩn mực
đối với thế giới và con ngƣời giúp học sinh xây dựng và phát triển quan hệ

lành mạnh với thế giới xung quanh.
1


Do đó, một yêu cầu cấp thiết đƣợc đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ
thông là phải đổi mới phƣơng pháp dạy học, trong đó mơn Tốn đƣợc quan
tâm nhiều nhằm phát triển năng lực tƣ duy cho học sinh. Nhiệm vụ của ngƣời
giáo viên là hình thành năng lực, kỹ năng tƣ duy cho học sinh, dạy cho học
sinh cách tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng của bản thân để giải quyết vấn
đề trong học tập cũng nhƣ trong cuộc sống.
Thực tiễn trong quá trình học Tốn cho thấy, nhiều học sinh cịn bộc lộ
những hạn chế về năng lực tƣ duy, không linh hoạt trong chiều hƣớng suy
nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, áp dụng máy móc
những gì đã hiểu biết để giải quyết các vấn đề mới chứa đựng những yếu tố
thay đổi, học sinh chƣa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài tốn. Việc rèn
luyện phát triển tƣ duy toán học khi ngồi trên ghế nhà trƣờng là rất quan trọng
đối với học sinh. Là một giáo viên khơng chỉ có nhiệm vụ truyền đạt kiến
thức mà cịn có thể giúp các em rèn luyện phát triển tƣ duy tốn học thơng
qua các tiết dạy, giúp các em phát triển năng lực bản thân.
Chủ đề “Tổ hợp” là một chủ đề đƣợc đánh giá là khó đối với học sinh
trung học phổ thơng. Tuy nhiên, trong q trình học chủ đề này có thể rèn
luyện phát triển khả năng tƣ duy suy luận logic cho học sinh rất tốt. Nhận
thức đƣợc tầm quan trọng đó, tác giả chọn đề tài “Phát triển năng lực tư duy
Tốn học cho học sinh trung học phổ thơng qua dạy học chủ đề Tổ hợp”
làm đề tài luận văn Thạc sĩ, chuyên ngành Lý luận và phƣơng pháp dạy học
bộ mơn Tốn.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận của năng lực tƣ duy toán học.
- Đề xuất một số biện pháp góp phần phát triển năng lực tƣ duy tốn học
cho học sinh thơng qua dạy học nội dung tổ hợp ở trƣờng trung học phổ thông.

- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài
trong dạy học.
2


3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này hƣớng đến mục đích: Dạy học chủ đề “Tổ hợp” để
rèn luyện, phát triển năng lực tƣ duy toán học cho học sinh trung học phổ thông.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu về các bài tập tổ hợp trong sách giáo
khoa và sách bài tập Đại Số và Giải Tích 11 (Nhà xuất bản Giáo dục - 2008).
- Phạm vi về thời gian: Năm học 2016 - 2017.
5. Phƣơng pháp tiếp cận nghiên cứu
- Phƣơng pháp quan sát.
- Phƣơng pháp phân tích.
- Phƣơng pháp thực nghiệm.
6. Câu hỏi và giả thuyết nghiên cứu
Trên cơ sở nội dung chƣơng trình chủ để “Tổ hợp” ở Đại số - Giải tích
11 ban cơ bản, nếu xây dựng đƣợc hệ thống các phƣơng pháp dạy học hợp lý,
các biện pháp sƣ phạm phù hợp với từng đối tƣợng học sinh thì có thể phát
triển cho học sinh năng lực tƣ duy tốn học, qua đó góp phần nâng cao hiệu
quả dạy học.
7. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Năng lực tƣ duy toán học của học sinh trung
học phổ thông.
- Đối tượng nghiên cứu: Các phƣơng pháp dạy học nhằm phát triển tƣ
duy tốn học cho học sinh.
8. Đóng góp của luận văn
Về mặt lý luận
Đƣa ra đƣợc các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh

trong dạy học Đại số tổ hợp, thơng qua đó phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
3


Về mặt thực tiễn
Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho việc dạy toán của
giáo viên ở trƣờng trung học phổ thơng, nhằm góp phần nâng cao chất lƣợng,
hiệu quả dạy học mơn tốn.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn
gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Biện pháp sƣ phạm góp phần phát triển một số năng lực tƣ
duy toán học cho học sinh.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

4


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Năng lực, năng lực toán học
1.1.1. Năng lực
1.1.1.1. Khái niệm chung về năng lực
Theo quan điểm của các nhà tâm lý học: Năng lực là tổng hợp các đặc
điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu đạc trƣng của một
hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Các
năng lực hình thành trên cơ sở của các tƣ chất tự nhiên của cá nhân nới đóng
vai trị quan trọng, năng lực của con ngƣời khơng phải hồn tồn đo tự nhiên

mà có, phần lớn do cơng tác, do tập luyện mà có.
Tâm lý học đã chia năng lực thành những loại khác nhau nhƣ là năng
lực chung và năng lực chuyên môn. Năng lực đƣợc chia thành ba mức độ:
năng lực, tài năng và thiên tài.
1.1.1.2. Năng lực chung và năng lực chuyên môn
- Năng lực chung: Là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động
khác nhau nhƣ năng lực phán xét tƣ duy lao động, năng lực khái quát hoá,
năng lực lát tập, năng lực tƣởng tƣợng.
- Năng lực chuyên môn: Là năng lực đặc trƣng trong lĩnh vực nhất định
của xã hội nhƣ: năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh,
năng lực hội hoạ, năng lực tốn học,...
1.1.1.3. Phân biệt năng lực với trí thức, kỹ năng, kỹ xảo
Cần phân biệt năng lực với trí thức, kỹ năng, kỹ xảo:
- Trí thức là những hiểu biết thu nhận đƣợc từ sách vở, từ học hỏi và từ
kinh nghiệm cuộc sống của mình.
5


- Kỹ năng là sự vận dụng bƣớc đầu những kiến thức thu lƣợm vào thức
tế để tiến hành một hoạt động nào đó.
- Kỹ xảo là những kỹ năng đƣợc lặp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần
thục cho phép con ngƣời không phải tập trung nhiều ý thức và việc mình đang
làm. Cịn năng lực là một tổ hợp phẩm chất tƣơng đối ổn định, tƣơng đối cơ
bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện có kết quả một hoạt động.
1.1.2. Năng lực toán học
Năng lực toán học đƣợc hiểu là đặc điểm tâm lý cá nhân đáp ứng
những yêu cầu của hoạt động toán học, đƣợc biểu hiện ở các mặt sau đây:
- Năng lực thực hiện các thao tác tƣ duy cơ bản.
- Năng lực rút gọn q trình lập luận tốn học và hệ thống các phép tính.
- Sự linh hoạt của quá trình tƣ duy.

- Khuynh hƣớng về sự rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm lời giải các bài toán.
- Năng lực chuyển từ tƣ duy thuận sang tƣ duy nghịch.
- Trí nhớ về các sơ đồ tƣ duy khái quát, các quan hệ khái quát trong
lĩnh vực số và dấu.
Với mỗi ngƣời khác nhau thì năng lực học tập tốn học cũng khác
nhau. Năng lực này đƣợc hình thành và phát triển trong quá trình học tập và
rèn luyện của mỗi học sinh. Vì thế việc lựa chọn nội dung và phƣơng pháp
thích hợp sao cho mỗi học sinh đều đƣợc nâng cao dần về mặt năng lực là vấn
đề quan trọng trong dạy học toán.
1.2. Tƣ duy, năng lực tƣ duy
1.2.1. Tư duy
1.2.1.1. Khái niệm tư duy
Tƣ duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tƣợng mà
trƣớc đó ta chƣa biết.
6


Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là q trình phản ánh tích cực thế giới
quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá
trình hoạt động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một
cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại
trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là
hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người
được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư
duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình
như trừu tượng hố, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất
định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý
niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”.

1.2.1.2. Đặc điểm tư duy
Thứ nhất, tính có vấn đề của tƣ duy:
Tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp hồn cảnh có vấn đề. Đó là những tình
huống mà ở đó chỉ nảy sinh những mục đích mới, và những phƣơng tiện,
phƣơng pháp hoạt động cũ đã có trƣớc đây trở nên khơng đủ để đạt đƣợc mục
đích đó.
Nhƣng muốn kích thích đƣợc tƣ duy thì hồn cảnh có vấn đề phải đƣợc
cá nhân nhận thức đầy đủ, đƣợc chuyển thành nhiệm vụ tƣ duy của cá nhân,
nghĩa là phải xây dựng đƣợc cái gì đã biết, cái gì chƣa biết, cần phải tìm và có
nhu cầu tìm kiếm.
Thứ hai, tính gián tiếp của tƣ duy:
Tƣ duy phản ánh sự vật hiện tƣợng một cách gián tiếp bằng ngôn ngữ.
Tƣ duy đƣợc biểu hiện bằng ngôn ngữ. Các quy luật, quy tắc, các sự kiện, các
mối liên hệ và sự phụ thuộc đƣợc khái quát và diễn đạt trong các từ. Mặt
khác, những phát minh, những kết quả tƣ duy của ngƣời khác, cũng nhƣ kinh

7


nghiệm cá nhân của con ngƣời đều là những công cụ để con ngƣời tạo ra cũng
giúp chúng ta hiểu biết đƣợc những hiện tƣợng có trong hiện thực mà không
thể tri giác chúng một cách trực tiếp đƣợc.
Thứ ba, tính trừu tƣợng và khái quát của tƣ duy:
Tƣ duy có khả năng tách trừu tƣợng khỏi sự vật hiện tƣợng, những
thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính thuộc
bản chất nhất, chung cho nhiều sự vật hiện tƣợng rồi trên cơ sở đó khái quát
các sự vật và hiện tƣợng riêng lẻ khác nhau, nhƣng có những thuộc tính bản
chất vào một nhóm, một loại phạm trù, nói cách khác tƣ duy mang tính chất
trừu tƣợng hóa và khái qt hóa. Nhờ đặc điểm này mà con ngƣời có thể nhìn
vào tƣơng lai.

Thứ tư, tƣ duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ:
Tƣ duy của con ngƣời gắn liền với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phƣơng
tiện biểu đạt các quá trình và kết quả của tƣ duy. Tƣ duy của con ngƣời khơng
thể tồn tại ngồi ngơn ngữ đƣợc, ngƣợc lại ngơn ngữ cũng khơng thể có đƣợc
nếu khơng dựa vào tƣ duy. Tƣ duy và ngôn ngữ thống nhất với nhau nhƣng
không đồng nhất với nhau và không thể tách rời nhau đƣợc.
Thứ năm, tƣ duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính:
Mối quan hệ này là mối quan hệ hai chiều: Tƣ duy đƣợc tiến hành trên
cơ sở những tài liệu nhận thức cảm tính mang lại, kết quả của tƣ duy đƣợc
kiểm tra bằng thực tiễn dƣới hình thức trực quan, ngƣợc lại tƣ duy và kết quả
của nó có ảnh hƣởng đến q trình nhận thức cảm tính.
Những đặc điểm trên đây cho thấy tƣ duy là sản phẩm của sự phát triển
lịch sử - xã hội mang bản chất xã hội.
1.2.1.3. Q trình tư duy
Q trình tƣ duy gồm có 4 bƣớc cơ bản sau đây:

8


Thứ nhất, xác định đƣợc vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tƣ duy,
hay chính là tìm đƣợc câu hỏi cần giải đáp.
Thứ hai, huy động tri thức, kinh nghiệm, hình thành giả thiết về cách
giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
Thứ ba, xác minh giả thiết trong thực tiễn.
Thứ tư, đánh giá kết quả và đƣa ra sử dụng.
1.2.1.4. Các loại hình tư duy
Tƣ duy có rất nhiều loại nhƣ: tƣ duy logic, tƣ duy sáng tạo, tƣ duy trừu
tƣợng, tƣ duy kinh nghiệm, tƣ duy lý luận, tƣ duy triết học,tƣ duy khoa học,...
Về bản chất, tƣ duy chỉ có một, đó là sự việc hình thành mới hoặc tái tạo lại
các liên kết giữa các phần tử ghi nhớ. Mục đích chia ra các loại hình tƣ duy để

nhằm hiểu sâu và vận dụng tốt tƣ duy của hệ thần kinh.
1.2.2. Năng lực tư duy
1.2.2.1. Khái niệm năng lực tư duy
Năng lực tƣ duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tƣợng
hóa, khái quát hóa, tƣởng tƣợng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm
trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn.
1.2.2.2. Năng lực tư duy toán học
Năng lực toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trị của kiến thức
tốn học trong cuộc sống, nhƣ khả năng vận dụng tƣ duy toán học để giải
quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tƣơng lai
một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, khái qt hóa, trao đổi thông
tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề
tốn học trong các tình huống, hồn cảnh khác nhau.
Mơn Tốn có khả năng phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh, điều đó
đƣợc thể hiện trên 4 mặt sau:

9


Thứ nhất, rèn luyện tƣ duy logic và ngôn ngữ chính xác.
Thứ hai, phát triển khả năng tƣởng tƣợng và suy đốn.
Thứ ba, rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản.
Thứ tư, hình thành những phẩm chất trí tuệ.
Trong khuôn khổ luận văn, tác giả tập trung vào nghiên cứu việc rèn luyện
một số thao tác hoạt động trí tuệ cơ bản và phát triển một số năng lực tƣ duy vì các
hoạt động trí tuệ cơ bản có mối quan hệ hữu cơ với các năng lực tƣ duy tốn học.
* Một số thao tác hoạt động trí tuệ
- Phân tích và tổng hợp:
Phân tích là thao tác tƣ duy nhằm tách đối tƣợng toán học thành những
bộ phận, những dấu hiệu và thuộc tính, những liên hệ và quan hệ giữa chúng

theo một hƣớng nhất định, nhờ đó mà nhận thức đầy đủ, sâu sắc và trọn vẹn
về đối tƣợng toán học ấy.
Tổng hợp là một thao tác tƣ duy trong đó chủ thể tƣ duy dùng trí óc
hợp nhất những bộ phận của đối tƣợng tốn học đã đƣợc phân tích thành một
chỉnh thể nhằm nhận thức đối tƣợng toán học bao quát và đầy đủ hơn.
- Trừu tƣợng hóa: Trừu tƣợng hóa là thao tác tƣ duy mà chủ thể chỉ tập
trung chú ý vào những tính chất cơ bản nhất, đặc trung nhất, thuộc và chỉ
thuộc lớp đang nghiên cứu. Tách chúng ra khỏi những tính chất khơng cơ bản
và khơng quan tâm đến những tính chất khơng cơ bản đó.
- Khái qt hóa: Khái quát hóa là thao tác tƣ duy nhằm bao qt các đối
tƣợng tốn học khác nhau thành một nhóm hoặc một lớp trên cơ sở chúng có
một thuộc tính chung bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật sau khi
gạt bỏ những thành phần khác. Kết quả của khái qt hóa cho ra một đặc tính
chung của hàng loạt đối tƣợng toán học cùng loại.
* Tư duy phê phán
- Khái niệm tƣ duy phê phán:

10


Tƣ duy phê phán có nhiều cách định nghĩa:
+ Tƣ duy phê phán (critical thinking) là tƣ duy có suy xét, cân nhắc,
đánh giá và liên hệ mọi khía cạnh các nguồn thơng tin với thái độ “hồi nghi
tích cực” dựa trên những tiêu chuẩn nhất định để đƣa ra các thông tin phù hợp
nhất nhằm giải quyết vấn đề.
+ Tƣ duy phê phán là năng lực phân tích sự việc, hình thành và sắp xếp
các ý tƣởng, bảo vệ ý kiến, so sánh, rút ra các kết luận, đánh giá các lập luận,
giải quyết vấn đề.
+ Tƣ duy phê phán là kỹ năng tìm hiểu và đánh giá những quan sát,
giao tiếp, thông tin và lý lẽ.

+ Tƣ duy phê phán là q trình vận dụng trí tuệ tích cực và khéo léo để
khái quát, ứng dụng, phân tích, tổng hợp và đánh giá thông tin thu thập hay
phát sinh từ quan sát, kinh nghiệm, nhận xét, lập luận hoặc giao tiếp, nhƣ
đƣờng dẫn đến sự tin tƣởng và hành động.
+ Tƣ duy phê phán là quá trình xác định thận trọng, kỹ lƣỡng việc có
thể chấp nhận, từ chối hay nghi ngờ về sự việc và mức độ tin cậy trƣớc khi
chấp nhận hay từ chối.
Tổng hợp lại, tƣ duy phê phán là q trình vận dụng tích cực trí tuệ vào
việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc từ sự quan sát, kinh nghiệm, thông
tin nhằm mục đích xác định đúng hay sai, tốt hay xấu, hợp lý hay không hợp
lý,… và đƣa ra quyết định.
- Biểu hiện của năng lực tƣ duy phê phán:
+ Biết suy xét, cân nhắc, liên hệ các kiến thức, kinh nghiệm.
+ Có khả năng đề xuất các câu hỏi.
+ Đánh giá tính hợp lý của các cách đặt, giải quyết vấn đề.
+ Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau.

11


+ Có khả năng đƣa ra các quyết định.
+ Có khả năng nhận ra các thiếu sót, sai lầm.
+ Có khả năng sửa chữa sai lầm.
* Tư duy sáng tạo
- Khái niệm tƣ duy sáng tạo: Có nhiều cách định nghĩa tƣ duy sáng tạo:
+ Tƣ duy sáng tạo là tƣ duy tạo ra những hình ảnh, những ý tƣởng,
những sự vật mới và chƣa có từ trƣớc.
+ Tƣ duy sáng tạo là sự nhạy bén trong việc nhận ra các vấn đề, các
thiếu hụt trong kiến thức, các bất hợp lý trong các thơng tin hiện có, tìm cách
giải, dự đoán, biểu đạt giả thuyết về vấn đề cần giải quyết.

Từ những định nghĩa trên có thể tổng hợp lại: Tƣ duy sáng tạo là một
dạng tƣ duy độc lập, tạo ra ý tƣởng mới độc đáo và có hiệu quả, giải quyết
vấn đề cao.
- Một số yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo:
+ Tính mềm dẻo: Tính mềm dẻo là khả năng chủ thể biến đổi thông tin,
kiến thức đã tiếp thu đƣợc một cách dễ dàng, nhanh chóng từ góc độ và quan
niệm này sang góc độ và quan niệm khác, chuyển đổi tƣ duy có sẵn trong đầu
sang một hệ tƣ duy khác, chuyển từ phƣơng pháp tƣ duy cũ sang hệ thống
phƣơng pháp tƣ duy mới, chuyển đổi từ hành động trở thành thói quen sang
hành động mới, gạt bỏ sự cứng nhắc mà con ngƣời đã có để thay đổi nhận
thức dƣới một góc độ mới, thay đổi cả những hoạt động đã cố hữu trong hoạt
động tinh thần trí tuệ.
+ Tính nhuần nhuyễn (Fluency): Đƣợc thể hiện ở năng lực tạo ra một
cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hồn
cảnh, đƣa ra giả thuyết mới. Tính nhuần nhuyễn đƣợc đặc trƣng bởi khả năng
tạo ra một số lƣợng nhất định các ý tƣởng, số ý tƣởng nghĩ ra càng nhiều thì

12


càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tƣởng độc đáo, trong trƣờng hợp này số
lƣợng làm nảy sinh ra chất lƣợng.
+ Tính độc đáo (Originality): Đƣợc đặc trƣng bởi các khả năng: Khả
năng tìm ra các hiện tƣợng và những kết hợp mới; khả năng nhìn ra những mối
liên hệ trong những sự kiện bên ngoài; liên tƣởng nhƣ khơng có liên hệ với
nhau; khả năng tìm ra những giải pháp lạ mặc dù đã biết những giải pháp khác.
+ Tính hồn thiện (Elaboration): Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các
ý nghĩa và hành động, phát triển ý tƣởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tƣởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Sensibility): Có các đặc trƣng sau:
Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề; khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai

lầm, thiếu logic, chƣa tối ƣu từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
* Tư duy phê phán và tư duy sáng tạo có mối quan hệ với nhau
Tƣ duy phê phán và tƣ duy sáng tạo đều thuộc tƣ duy bậc cao, đều là
một dạng của tƣ duy độc lập. Tƣ duy sáng tạo chủ yếu tạo ra các ý tƣởng và
giải pháp mới, tƣ duy phê phán chủ yếu đánh giá các ý tƣởng và giải pháp đó.
Tƣ duy phê phán là nền tảng để phát triển tƣ duy độc lập, là bƣớc đi
thiết yếu dẫn đến tƣ duy sáng tạo.
Trong giảng dạy, chúng ta đều coi trọng cả tƣ duy phê phán và tƣ duy
sáng tạo, chúng phải đƣợc kết hợp và không thể tách biệt với nhau. Mục đích
của hai loại tƣ duy này đều hƣớng tới việc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra.
Trƣớc mỗi cách giải quyết một bài toán, tƣ duy phê phán giúp suy xét cân
nhắc để thấy đƣợc cơ sở của cách làm, tìm thấy những ƣu điểm của cách giải
quyết đồng thời tìm ra điều bất hợp lý trong cách giải quyết đó. Để khắc phục
điều bất hợp lý đó, chúng ta vận dụng tƣ duy sáng tạo để có ý tƣởng mở rộng
hƣớng suy nghĩ, đề xuất ra các phƣơng án giải quyết. Sau đó lại vận dụng tƣ
duy phê phán để xem xét, đánh giá, lựa chọn phƣơng án tốt nhất, biến các ý
tƣởng đó thành hành động thực tế, từ đó tiến hành hoạt động có tính sáng tạo

13


một cách hiệu quả. Nhƣ vậy, tƣ duy sáng tạo đƣa ra các ý tƣởng mới, các cách
giải quyết mới và đòi hỏi tƣ duy phê phán phải xem xét, cân nhắc, đánh giá để
chọn ra giải pháp mới tốt hơn ở mức cao hơn. Cứ nhƣ thế, tƣ duy phê phán và
tƣ duy sáng tạo đan xen vào nhau.
Kết hợp tƣ duy phê phán và tƣ duy sáng tạo tạo nên một hệ phƣơng
pháp tƣ duy rất hữu hiệu.
1.3. Dạy học nội dung Tổ hợp ở trƣờng THPT
1.3.1. Vai trị, vị trí
Chủ đề Tổ hợp ở chƣơng trình tốn phổ thông đƣợc giới thiệu thành một

chƣơng trong sách Đại số và giải tích lớp 11 cơ bản. Nội dung của nó gồm có 3
bài. Bên cạnh đó sách giáo khoa cũng giới thiệu cho học sinh các bài đọc thêm
nhƣ qui tắc cộng mở rộng, cuốn sách về Xác suất - Thống kê xuất bản lần đầu
tiên ở nƣớc ta của tác giả Tạ Quang Bửu, cách sử dụng máy tính bỏ túi trong
tính tốn Tổ hợp và một phần tiểu sử của nhà toán học Pascal.
Chủ đề Tổ hợp ở chƣơng trình tốn 11 chiếm một vị trí khá quan trọng vì:
- Trong khoa học cũng nhƣ trong cuộc sống, chúng ta thƣờng phải xác
định số phần tử của một tập hợp hoặc phải tính tốn xem khả năng xảy ra của
một biến cố ngẫu nhiên là bao nhiêu. Để trả lời đƣợc các câu hỏi đó, chúng ta
cần sử dụng các kiến thức về Tổ hợp.
- Tổ hợp có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Tổ hợp đƣợc đƣa vào chƣơng
trình tốn học phổ thơng từ khi cải cách giáo dục. Dựa vào cơng thức về hốn vị,
chỉnh hợp, tổ hợp nhị thức Newton ngƣời ta trình bày tri thức về xác suất theo
quan điểm thống kê. Học yếu tổ hợp thì cũng dẫn đến học yếu xác suất.
- Ngoài ra các bài tập về tổ hợp cũng thƣờng có mặt trong các đề thi
Cao đẳng, Đại học.
1.3.2. Nội dung
Phần tổ hợp ở sách Đại số và Giải tích lớp 11 cơ bản có 3 bài:
14


- Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản.
- Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
- Bài 3: Nhị thức Newton.
Hai quy tắc đếm cơ bản
Quy tắc cộng: Giả sử một cơng việc có thể đƣợc thực hiện theo phƣơng
án A hoặc phƣơng án B. Có n cách thực hiện phƣơng án A và m cách thực
hiện phƣơng án B. Khi đó cơng việc có thể đƣợc thực hiện bởi n + m cách.
Tổng quát: Giả sử một cơng việc có thể đƣợc thực hiện theo một trong
k phƣơng án A1, A2 , A3 ,..., Ak . Có n1 cách thực hiện phƣơng án A1 , n2 cách

thực hiện phƣơng án A2 ,…và có nk cách thực hiện phƣơng án Ak . Khi đó
cơng việc có thể đƣợc thực hiện bởi n1  n2  ...  nk cách.
Quy tắc nhân: Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm hai công đoạn A
và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện cơng đoạn
A thì cơng đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó, cơng việc có thể thực hiện
theo n.m cách.
Tổng quát: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k cơng đoạn
A1, A2 , A3 ,..., Ak . Có n1 cách thực hiện phƣơng án A1 , n2 cách thực hiện

phƣơng án A2 ,…và có nk cách thực hiện phƣơng án Ak . Khi đó cơng việc
có thể đƣợc thực hiện bởi n1.n2 .....nk cách.
Hốn vị, chỉnh hợp và tổ hợp
* Hoán vị:
Định nghĩa: Cho tập A có n ( n > 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này
theo một thứ tự, ta đƣợc một hoán vị các phần tử của tập hợp A (gọi tắt là
hoán vị của tập A).
Định lý: Số các hốn vị của một tập hợp có n phần tử là:
Pn  n!  1.2.3....n .

15


* Chỉnh hợp:
Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Khi
lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta đƣợc một chỉnh
hợp chập k của n phần tử của tập A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
Định lý: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử
(1  k  n ) là: Ank  n(n  1)(n  2)...(n  k  1) .
Chú ý:
- Hoán vị của tập n phần tử là một chỉnh hợp chập n của tập đó nên

Ank  Pn  n!

Với 0 < k < n thì ta có thể viết cơng thức của chỉnh hợp dƣới dạng
Ank 

n!
(n  k )!

- Ta quy ƣớc 0! = 1 và An0  1 .
* Tổ hợp:
Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Mỗi
tập con của A có k phần tử đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A
(gọi tắt là một tổ hợp chập k của A), ký hiệu Cnk .
Định lý: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1  k  n ) là:
Ank n(n  1)(n  2)...(n  k  1)
C 

k!
k!
k
n

Chú ý:
- Với 1  k  n , ta có thể viết cơng thức tính tổ hợp dƣới dạng
Cnk 

n!
k !(n  k )!

16

- Ta quy ƣớc Cn0  1 .
Hai tính chất cơ bản của số Cnk :
- Tính chất 1: Cnk  Cnnk .
- Tính chất 2: Cnk1  Cnk  Cnk 1 .
Nhị thức Newton
Công thức thức nhị thức Newton
(a  b)n  Cn0a n  Cn1a n1b  ...  Cnk a nk bk  ...  Cnnbn
n

  Cnk a nk b k
k 0

(Quy ƣớc a0  b0  1 ).
Tam giác Pascal
Ta có thể sắp xếp các hệ số của khai triển trên thành dạng tam giác, gọi
là tam giác Pascal tƣơng ứng với số mũ n của (a  b)n
n=01
n=111
n=2121
n=31331
n=414641
n = 5 1 5 10 10 5 1
……………………
Tam giác giác Pascal đƣợc lập theo quy luật sau:
- Đỉnh đƣợc ghi số 1.

17