Bài tập hình học giải tích hình học 11 P1

Bài tập Toán khối 11
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp
1
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x

cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
xx
xx
xx
xx

  
  
  

2. Hai cung bù nhau:
x


và x

sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
xx

xx
xx
xx





  
  
  

3. Hai cung phụ nhau:
2
x


và x
sin cos cos sin
22
tan cot cot tan
22
x x x x
x x x x


   
   
   
   

   
   
   
   

4. Hai cung hơn kém nhau Pi:
x


và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
xx
xx
xx
xx




  
  


5. Các hằng đẳng thức lượng giác
22
2
2

1
. sin cos 1 . 1 tan
cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin
a x x b x
x
c x d x x
x
   
  

6. Công thức cộng lượng giác

cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y y x
x y x y y x
  
  
  
  

7. Công thức nhân đôi

2 2 2 2
sin2 2sin cos : sin 2sin cos
22
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x

     

8. Công thức nhân ba:
33
sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x   

9. Công thức hạ bậc:

22
1 cos2 1 cos2
sin cos
22
xx
xx



10. Công thức biến đổi tích thành tổng

 
 
 

1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
   
   
   

11 . Công thức biến đổi tổng thành tích
Bi tp Toỏn khi 11
Su tm biquyetthanhcong.net din n thụng tin tng hp
2

cos cos 2cos cos
22
cos cos 2sin sin
22
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
x y x y

xy
x y x y
xy
x y x y
xy
x y x y
xy










A. CễNG THC BIN I
I/. GI TR LNG GIC
Bi 1: Cho
33
sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot .
52
p
a p a a a a
ổử
ữ
ỗ
=-
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ốứ

Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0
( )
oo
180 < a < 270
.Tớnh sina , tana, cota.
Bi 3: Cho
o o o o
tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .=-

Bi 4: Tớnh
tanx cotx
A
tanx cotx
+
=
-
bit
1
sinx = .
3
Tớnh
2sinx 3cosx
B
3sinx 2cosx
+

=
-
bit tanx = -2
Tớnh
22
2
sin x 3sinxcosx 2cos x
C
1 4sin x
+-
=
+
bit cotx = -3
Bi 5: Chng minh:
4 4 2 2 6 6 2 2
a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x

(s dng nh 1 cụng thc)
2 2 2 2 2 2
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx

Bi 6: Chng minh cỏc ng thc sau:

22
2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x

sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosx
g/
( )
( )
22
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin y
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx
tan x.tan y sin x.sin y

Bi 7: * Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 6 4 4 4 2 4 2
2
4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4
66
4 2 4 2
44
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x

sin x+cos x-1
E= sin x+4cos x+ cos x+4sin x; F= ;
sin x+cos x-1
44
6 6 4
22
sin x+3cos x-1
G=
sin x+cos x+3cos x-1
H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
2
p
ộự
ờỳ
ẻ
ờỳ
ởỷ

II/. GI TR LNG GIC CA CUNG C BIT
* Bit 1 HSLG khỏc:
Bi 1: Cho sinx = - 0,96 vi
3
x2
2
p
p
ổử
ữ
ỗ
<<

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ


a/ Tớnh cosx ; b/ Tớnh
( ) ( )
sin x , cos x , tan x , cot 3 x
22
pp
pp
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
+ - + -
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ

Bài tập Toán khối 11
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp
3
Bài 2: Tính:

( )
( )

( )
( ) ( )
( )
2cos sin tan
22
A 2cos ;
cot sin
2
33
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3
cos 2 tan
cos cot
2
pp
a a p a
a
p
a p a
p p p p
a b b a
b b b
p
p b p a
p a b
æ ö æ ö
÷÷
çç

- + -
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
=-
æö
÷
ç
+-
÷
ç
÷
ç
èø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
+ + - +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
= - + -
æö
--
÷
ç

--
÷
ç
÷
ç
èø

Bài 3: Đơn giản biểu thức:

( ) ( )
( )
( ) ( )
95
A sin 13 cos cot 12 tan ;
22
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2
pp
p a a p a a
p p p
p a a a a
p p p
p a a p a a a
æ ö æ ö
÷÷
çç

= + - - + - + -
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= - + - - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= + + - - - + - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
÷

Bài 4: Đơn giản biểu thức:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

o o o o o
A sin a sin 2 a sin 3 a ... sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
p p p p= + + + + + + + +
= - - - + + + - + -

Bài 5: Đơn giản biểu thức:

( ) ( )
( )
( )
oo
o o o
19
tan x .cos 36 x .sin x 5
2sin 2550 cos 188
1
2
AB
9
tan368 2cos638 cos98
sin x .cos x 99
2
p
pp
p
p
æö
÷
ç

- - -
÷
ç
-
÷
ç
èø
= = +
æö
+
÷
ç
--
÷
ç
÷
ç
èø

Bài 6: Chứng minh:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
22
a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0
85 3
b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1
22
pp

pp
- + - + =
æ ö æ ö
÷÷
çç
+ + + + + + - =
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø

Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:

A B C
a /sin(A B) sinA; b/cosA cos(B C) 0; c/sin cos;
22
3A B C
d/cosC cos(A B 2C) 0; e/sinA cos 0
2
+
+ = + + = =
++
+ + + = + =

III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
o o o o o
15 ,75 ,105 ,285 ,3045

Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
7 13 19 103 299
, , , ,
12 12 12 12 12
p p p p p

Bài 10: Tính
cos x
3
p
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
biết
12 3
sinx , ( < x < 2 )
13 2
p
p=-

Bài 11: Cho 2 góc nhọn
,ab
có
11

tan ,tan
23
ab==
. a/ Tính
( )
tan ab+
b/ Tính
ab+

Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả :
xy
4
tanx.tan y 3 2 2
p
í
ï
ï
+=
ï
ì
ï
ï
=-
ï
î

a/ Tính
( )
tan x y ;tanx tan y++
b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.

Bài tập Toán khối 11
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp
4
Bài 13: Tính
tan x
4
p
æö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
èø
biết
40
sinx
41
=-
và
3
< x <
2
p
p

Bài 14: Tính
tan

4
p
a
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
theo
tana
. Áp dụng: Tính tg15
o

Bài 15: Tính:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
oo
tan25 tan20 1 tan15
A sin20 cos10 sin10 cos20 B C
1 tan25 .tan20 1 tan15
3 tan225 cot81 .cot69
D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F
3

cot261 tan201
++
= + = =
--
-
= - = + =
+

Bài 16:
Tính:

3
a / A cos x cos x cos x cos x
3 4 6 4
22
b/B tanx.tan x tan x tan x tan x tanx
3 3 3 3
p p p p
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷

ç ç ç ç
= + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

2 2 2 2 2 2
22
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + - = + + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

Bài 18: Chứng minh:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

2 2 2 2
2 2 2 2
a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c/sin a b .cos a b sinacosa sinbcosb
d/sin a sin a 2sina
44
pp
+ - = - = -
+ - = - = -
+ - = +
æ ö æ ö
÷÷
çç
+ - - =
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø

Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C

4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B
6/ tan tan tan
22
p
=-
=-
æö
÷
ç
¹
÷
ç
÷
ç
èø
+
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+=
+ + =

( học thuộc kết quả )
Công thức biến đổi:
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
( ) ( )
oo
2
a / sin .sin b/ cos5x.cos3x c/ sin x 30 cos x 30
55
pp
+-
( ) ( ) ( )
d/ 2sin x.sin2x.sin3x; e/8cosx.sin 2x.sin3x;
f /sin x .sin x .cos2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a
66
pp
æ ö æ ö
÷÷
çç
+ - - - -
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø

Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
Bài tập Toán khối 11
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp
5

( ) ( ) ( )
a/ cos4x cos3x; b/ cos3x cos6x; c/ sin5x sinx
d/ sin a b sin a b ; e/ tan a b tana; f / tan2a tana
+ - +
+ - - + + -

Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )
2 2 2
2 2 2
4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23: Chứng minh
ABCD
vuông nếu:

2 2 2
sinB sinC
a / sinA ; b/ sinC cosA cosB; c/ sin A sin B sin C 2
cosB cosC
+
= = + + + =
+

Bài 24: Chứng minh
ABCD
cân nếu:
2
C sinB
a / sinA 2sinB.cosC; b/ tan A tan B 2cot ; c/ tanA 2tan B tanA.tan B; d / 2cosA
2 sinC
= + = + = =

Bài 25: Chứng minh
ABCD
đều nếu:
13
a / cosA.cosB.cosC ; b/ sinA sinB sinC sin2A sin 2B sin2C; c/ cosA cosB cosC
82
= + + = + + + + =

Bài 26: Chứng minh
ABCD
cân hoặc vuông nếu:

( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tanB sin B
a / tanA.tanB.tan 1; b/ ; c/
2 tanC sin C sin B sin C sin B sin C
+-
= = =
+-

Bài 27: Hãy nhận dạng
ABCD
biết:

2 2 2
sinA
a / sin4A sin4B sin4C 0 b/ cos A cos B cos C 1 c/ 2sinC
cosB
+ + = + + = =

B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0
(A có nghĩa) ;

A
có nghĩa khi A
0

2)
1 sinx 1 ; -1 cosx 1    

3)
sin 0 ; sinx= 1 x= 2 ; sinx= -1 x = 2
22
x x k k k

  
       

4)
os 0 ; osx= 1 x = 2 ; osx= -1 x = 2
2
c x x k c k c k

   
      

5) Hàm số y = tanx xác định khi
2
xk




Hàm số y = cotx xác định khi
xk



Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x


3) y = sin
4x 

4) y = cos
2
32xx
5) y =
2
os2xc
6) y =
2 sinx