(Luận văn thạc sĩ) tìm hiểu một số lớp toán tử kéo theo và ứng dụng một vài bài toán của cơ sở dữ liệu mờ luận văn ths công nghệ thông tin 1 01 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ

TÌM HIỂU MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ KÉO THEO VÀ
ỨNG DỤNG MỘT VÀI BÀI TOÁN CỦA CƠ SỞ DỮ
LIỆU MỜ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TSKH BÙI CÔNG
CƯỜNG
HỌC VIÊN THỰC HIỆN: NGUYỄN THỊ HUYỀN

1


2

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 4
CHƯƠNG 1.......................................................................................................... 5
PHÉP KÉO THEO .......................................................................................... 5
1.1. Tập mờ và quan hệ mờ. ........................................................................... 5
1.1.1. Tập mờ ............................................................................................. 5
1.1.2. Số mờ ................................................................................................ 5
1.1.3. Các phép toán đại số trên tập mờ ...................................................... 6
1.1.4. Các phép toán cơ bản của logic mờ .................................................. 6
1.1.4.1. Phép phủ định ............................................................................ 7
1.1.4.2. Phép hội ..................................................................................... 7
1.1.4.3. Phép tuyển ................................................................................. 9
1.1.4.4. Luật De Morgan ......................................................................... 9
1.1.5. Quan hệ mờ. ...................................................................................... 9
1.1.5.1. Quan hệ mờ và phép hợp thành. ................................................. 9

1.1.5.2. Phép hợp thành. ........................................................................ 10
1.2. Phép kéo theo ....................................................................................... 11
1.2. 1. Định nghĩa phép kéo theo : ............................................................ 11
1.2.2. Các loại phép kéo theo mờ.............................................................. 12
1.2.3. Sự phân lớp các phép kéo theo mờ. ................................................ 16
1.3. Suy luận mờ với phép kéo theo. ............................................................ 19
1.3.1. Các mệnh đề mờ ............................................................................ 19
1.3.1.1. Các liên kết logic ...................................................................... 19
1.3.1.2 Phủ định trong các mệnh đề mờ. ............................................... 21
1.3.2. Các luật mờ ..................................................................................... 22
1.3.2.1 Biểu biễn của luật mờ ................................................................ 22
1.3.2.2. Sự kết hợp giữa các luật mờ ..................................................... 22
1.3.3. Suy luận mờ . .................................................................................. 23
1.3.3.1. Luật hợp thành suy diễn . ......................................................... 24
1.3.3.2. Sự suy rộng modus ponens và modus tollens .......................... 24
1.3.3.3. Tiêu chuẩn để suy rộng modus ponens .................................... 25
1.3.3.4. Suy diễn một luật dựa trên T-implication ................................ 27
CHƯƠNG 2........................................................................................................ 30
T-CHUẨN CÓ NGƯỠNG VÀ PHÉP KÉO THEO CĨ NGƯỠNG ......... 30
2.1. T- chuẩn có ngưỡng............................................................................... 30
2.1.1. T-chuẩn và hàm sinh ....................................................................... 30
2.1.2. t-chuẩn có ngưỡng .......................................................................... 31
2.1.3. t-conorm có ngưỡng. ....................................................................... 33
2.1.4. Bộ ba De Morgan ............................................................................ 33
2.1.5. t-chuẩn có ngưỡng và các hàm sinh ................................................ 34
2.1.6. Các phương pháp suy diễn mờ sử dụng t-chuẩn có ngưỡng .......... 36
2.2. Phép kéo theo có ngưỡng ..................................................................... 38
CHƯƠNG 3....................................................................................................... 40

3

CƠ SỞ DỮ LIỆU MỜ VÀ LUẬT KẾT HỢP MỜ ..................................... 40
3.1.Cơ sở dữ liệu mờ. ................................................................................... 40
3.1.1. Đại số gia tử và lập luận xấp xỉ ...................................................... 40
3.1.2. Lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử............................................. 42
3.1.3. Tính mờ của một giá trị ngơn ngữ .................................................. 42
3.1.4.Xây dựng hàm định lượng ngữ nghĩa trên cơ sở độ đo tính mờ của
gia tử.......................................................................................................... 43
3.1.5. Xây dựng quan hệ đối sánh trong miền trị của thuộc tính .............. 43
3.1.5.1. Phân hoạch dựa trên độ đo mờ của các giá trị ngôn ngữ trong
đại số gia tử............................................................................................ 44
3.1.5.2. Xấp xỉ các giá trị ngôn ngữ trong phân hoạch. ........................ 44
3.1.6. Một số cách tiếp cận mơ hình cơ sở dữ liệu mờ. ............................ 48
3.2. Luật kết hợp mờ. ................................................................................... 49
3.2.1. Luật kết hợp .................................................................................... 49
3.2.1.1. Ý nghĩa của luật kết hợp ........................................................... 49
3.2.1.2 Một số hướng tiếp cận trong khai thác luật kết hợp .................. 49
3.2.1.3. Khai thác luật kết hợp............................................................... 50
3.2.1.4. Thuật tốn Apriori nhị phân để tìm kiếm các tập thường xuyên
............................................................................................................... 58
3.2.1.5. Luật kết hợp có thuộc tính số và thuộc tính hạng mục ............ 60
3.2.1.6 Phương pháp rời rạc hoá dữ liệu. .............................................. 61
3.2.2. Luật kết hợp mờ. ............................................................................. 62
3.2.2.1. Mơ tả bài tốn ........................................................................... 62
3.2.2.2. Khơng gian tìm kiếm ................................................................ 65
3.2.2.3. Thuật tốn ................................................................................. 68
CHƯƠNG 4........................................................................................................ 72
BƯỚC ĐẦU ỨNG DỤNG PHÉP KÉO THEO VÀO TÍNH TỐN LUẬT
KẾT HỢP MỜ ............................................................................................... 72

4.1. t-chuẩn có ngưỡng và độ ủng hộ ........................................................... 72
4.2. Độ quan trọng ........................................................................................ 73
4.3. Độ chắc chắn ......................................................................................... 74
4.4. Cài đặt thuật toán F-Apriori .................................................................. 75
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 78
Những vấn đề đã được giải quyết trong luận văn. ....................................... 78
Công việc nghiên cứu trong tương lai .......................................................... 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 79
PHỤ LỤC ............................................................................................................ 82


5

CHƢƠNG 1

PHÉP KÉO THEO
1.1. Tập mờ và quan hệ mờ.
1.1.1. Tập mờ (Fuzzy set)
A là tập mờ trên không gian nền U nếu A được xác định bởi hàm:
A là hàm thuộc(membership function), A(x) xác định mức độ thuộc
của x vào tập mờ A
Ví dụ 1: Xét một tập à bao gồm những người TRẺ, như vậy ở đây sẽ
không có ranh giới rõ ràng để khẳng định một người có là phần tử của à hay
khơng, ranh giới đó là mờ. Ta chỉ có thể nói một người sẽ thuộc tập hợp à ở một
mức độ nào đó. Chẳng hạn chúng ta đồng ý với nhau một người 35 tuổi thuộc về
tập hợp à với độ thuộc là 60% hay 0.6. Ta có hình vẽ sau:
Young

25

Old

50

Chúng ta cũng sẽ ký hiệu : A = {(A(x) / x) : x  U};
Ví dụ 2: A0 = một vài quả cam = {(0/0),(0/1) (0.6/2), (1/3), (1/4), (0.8/5),
(0.2/6)}
1.1.2. Số mờ
Tập mờ M trên đường thẳng số thực R1 là một số mờ nếu:
a. M chuẩn hố, tức là có điểm x‟ sao cho M(x‟) = 1
b. Ứng với mỗi   R1 , tập mức {x: M(x)   } là đoạn đóng trên R1
Số mờ có 3 dạng phổ biến:
1/ Dạng tam giác.
0
z–a
b–a
M(z) =
1
z–a
c–b
0

Nếu z < a
Nếu a  z  b

1

Nếu z = b
Nếu b  z  c

0

Nếu z > c

a

b

c


6

2/ Dạng hình thang
0
Nếu z < a
z – a Nếu a  z  b
b–a
M(z) =
1
Nếu b  z  c
d – z Nếu c  z  d
d–c
0

1

0
a

b

c

d

Nếu z > d

3/ Dạng hàm Gauss
(z – zo)2 /2 Nếu z-z0  d0
e
M(z) =
0
Nếu z-z0 > d0

1

0
Z0
Hình 1

1.1.3. Các phép tốn đại số trên tập mờ
Cho A và B là hai tập mờ trên không gian nền U
Phép hợp: Phép hợp của hai tập mờ A và B, kí hiệu là A  B là một tập
mờ có hàm thuộc:
AB(x) = max{A(x), B(x)}
Phép giao: Phép giao của hai tập mờ A và B, kí hiệu là A  B là một tập
mờ có hàm thuộc:
AB(x) = min{A(x), B(x)}
Phép lấy phần bù của tập mờ A ký hiệu là Ac là tập mờ có hàm thuộc:

Ac (x) = 1- A(x)
1.1.4. Các phép toán cơ bản của logic mờ
Như các toán tử được định nghĩa trong tập hợp cổ điển, các toán tử tương
tự như thế cũng được định nghĩa trên tập hợp mờ. Đó là phép hội, phép tuyển
của hai tập hợp mờ và phép phủ định của một tập hợp mờ, các phép toán này
được suy ra từ định lý của tập hợp cổ điển. Giá trị chân lý của phép hội, phép
tuyển, phép phủ định được định nghĩa duy nhất trong tập hợp cổ điển như sau:


7

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

AB
0
0
0
1

AB

0
1
1
1

A
1
1
0
0

Bảng 1

Ở trong lý thuyết tập mờ giá trị chân lý của các phép tốn này khơng chỉ
lấy hai giá trị 0 và 1 mà nó là tập hợp các giá trị trong khoảng [0,1]. Các tốn tử
này khơng được định nghĩa duy nhất. Trong phần này trình bày chi tiết các định
nghĩa về phép tuyển, phép hội của các tập mờ và phép lấy phủ định của một tập
mờ.
1.1.4.1. Phép phủ định (negation)
Phủ định là một trong những phép toán logic cơ bản, để suy rộng cần tới
toán tử v(NOT P) xác định giá trị chân lý của NOT P đối với mỗi mệnh đề
NOT P.
Ta sẽ xét tới một số tiên đề diễn đạt những tính chất quen thuộc trong
logic cổ điển:
1/ v(NOT P) chỉ phụ thuộc vào v(P)
2/ Nếu v(P) = 1 thì v(NOT P) = 0
3/ Nếu v(P) = 0 thì v(NOT P) = 1
4/ Nếu v(P1)  v(P2) thì v(NOT P1)  v(NOT P2)
Định nghĩa 1.1.1 [4]
Hàm n: [0,1]  [0,1] không tăng thoả mãn các điều kiện n(0) = 1, n(1) =

0 gọi là hàm phủ định hay phép phủ định.
Định nghĩa 1.1.2 [4]
1/ Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt.
2/ Hàm phủ định n là mạnh nếu n giảm chặt và n(n(x)) = x với mỗi x
1.1.4.2. Phép hội (conjunction)
Phép hội (vẫn quen gọi là phép AND) cũng là một trong những phép toán
logic cơ bản. Nó là cơ sở để định nghĩa phép giao của hai tập mờ. Ở đây ta cũng
xét các tiên đề từ logic cổ điển.


8

1/ v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào các giá trị v(P1), v(P2)
2/ Nếu v(P1) = 1 thì v(P1 AND P2) = v(P2), với mọi mệnh đề P2
3/ Giao hoán: v(P1 AND P2) = v(P2 AND P1)
4/ Nếu v(P1) v(P2) thì v(P1 AND P3)  v(P2 AND P3) với mọi mệnh đề P3
5/ Kết hợp: v(P1 AND (P2 AND P3)) = v((P1 AND P2 ) AND P3)
Nếu diễn đạt phép hội mờ (fuzzy conjunction) như một hàm T: [0,1] x
[0,1]  [0,1] thì ta có định nghĩa [4] như sau:
Hàm T: [0,1] x [0,1]  [0,1] là phép hội hay là t-chuẩn (t-norm) nếu thoả
mãn các điều kiện sau:
1/ T(1,x) = x với mọi 0  x  1
2/ T có tính giao hốn, tức là T(x,y) = T(y,x) với mọi 0  x,y  1
3/ T không giảm theo nghĩa T(x,y)  T(u,v) với mọi x  u, y  v
4/ T có tính kết hợp : T(x, T(y,z)) = T(T(x,y),z) với mọi 0  x,y,z  1
Từ những tiên đề trên ta suy ra T(0,x), hơn nữa tiên đề 4/ đảm bảo tính
thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến.
Một số ví dụ về t-chuẩn:
1/ Min (Zadeh 1965)
2/ Dạng tích:

3/ t-chuẩn Lukasiewiez

T(x,y) = min(x,y)
T(x,y) = x.y
T(x,y) = max{x+y-1, 0}
min(x,y) nếu x+y > 1

4/ min nipotent (Fodor 1993) T(x,y) =
0

nếu x+y  1

min(x,y) nếu max(x,y) = 1
5/ T-chuẩn yếu nhất

Z(x,y) =
0

Ta thấy rằng Z(x,y)  T(x,y)  min(x,y) với mọi 0  x,y  1

nếu max(x,y) <1


9

1.1.4.3. Phép tuyển (disjunction)
Giống như phép hội, phép tuyển hay tốn tử logic OR thơng thường cần
thoả mãn các tiên đề sau:
1/ v(P1 OR P2) chỉ phụ thuộc vào các giá trị v(P1), v(P2)
2/ Nếu v(P1) = 0 thì v(P1 OR P2) = v(P2), với mọi mệnh đề P2

3/ Giao hoán: v(P1 OR P2) = v(P2 OR P1)
4/ Nếu v(P1)  v(P2) thì v(P1 OR P3)  v(P2 OR P3) với mọi mệnh đề P3
5/ Kết hợp: v(P1 OR (P2 OR P3)) = v((P1 OR P2 ) OR P3)
Định nghĩa [4]
Hàm S: [0,1] x [0,1]  [0,1] gọi là phép tuyển hay là t-đối chuẩn (tconorm) nếu thoả mãn các tiên đề sau:
1/ S(0,x) = x với mọi 0  x  1
2/ S có tính giao hốn, tức là S(x,y) = S(y,x) với mọi 0  x,y  1
3/ S không giảm S(x,y)  S(u,v) với mọi x  u, y  v
4/ S có tính kết hợp : S(x, S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0  x,y,z  1
1.1.4.4. Luật De Morgan
Cho A và B là hai tập con của U, khi đó
(A  B)C = AC  BC
(A  B)C = AC  BC
Định nghĩa 1.1.3 [4]. Cho T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ
định chặt . Chúng ta nói bộ ba (T,S,n) là một bộ ba De Morgan nếu:
n(S(x,y) = T(nx,ny)
1.1.5. Quan hệ mờ.
1.1.5.1. Quan hệ mờ và phép hợp thành.
Định nghĩa 1.1.4[4]. Cho X, Y là hai không gian nền. R gọi là một đại số
quan hệ mờ trên X  Y nếu R là một tập mờ trên X  Y, tức là có một hàm
thuộc
R : X  Y  [0,1] , ở đây R(x,y) là độ thuộc của (x,y) vào quan hệ R.
Định nghĩa 1.1.5 [4]. Cho R1 và R2 là hai quan hệ mờ trên X  Y ta có
định nghĩa:


10

a/ Quan hệ R1  R2 với R1  R2 = max{ R1(x,y), R2(x,y)} (x,y)X  Y
b/ Quan hệ R1  R2 với R1  R2 = min{ R1(x,y), R2(x,y)} (x,y)X  Y

Định nghĩa 1.1.6 [4]. Quan hệ mờ trên những tập mờ. Cho tập mờ A với
A(x) trên X, tập mờ B với B(x) trên Y. Quan hệ mờ trên các tập mờ A và B là
quan hệ R trên X  Y thoả mãn điều kiện:
R(x,y)  A(x) yY và R(x,y)  b(x)  xX
Định nghĩa 1.1.7 [4]. Cho quan hệ mờ R trên X  Y
Phép chiếu của R lên X là: projXR = {(x, maxy R(x,y): xX
Phép chiếu của R lên Y là: projRR = {(y, maxx R(x,y): yY
Định nghĩa 1.1.8 [4]. Cho quan hệ mờ R trên X  Y. Thác triển R trên
không gian tích X  Y  Z là:
ExtXYZR = {(x,y,z), (x,y,z) = R(x,y)  zZ
1.1.5.2. Phép hợp thành.
Định nghĩa 1.1.9 [4]. Cho R1 là quan hệ mờ trên X  Y, R2 là quan hệ mờ
trên Y  Z. Hợp thành R1  R2 của R1, R2 là quan hệ mờ trên X  Z.
 Hợp thành max-min (max-min composition) được xác định bởi
R1 R2(x,z) = maxy {min( R1(x,y), R2(y,z))} (x,z)X  Z
 Hợp thành max-prod cho bởi:
R1 R2(x,z) = maxy { R1(x,y). R2(y,z)} (x,z)X  Z
 Hợp thành max-* được xác định bởi toán tử *: [0,1] x [0,1]  [0,1]
R1 R2(x,z) = maxy { R1(x,y) *R2(y,z)} (x,z)X  Z
Giả thiết (T,S,n) là bộ ba DeMorgan, trong đó T là t-chuẩn, S là t-đối
chuẩn, n là phép phủ định
Định nghĩa 1.1.10 [4]. Cho R1, R2 là quan hệ mờ trên X  X, Phép T-tích
hợp thành cho một quan hệ R1 T R2 trên X  X xác định bởi:
R1 T R2(x,z) = supyXT(R1(x,y), R2(y,z)).
Định nghĩa 1.1.11 [4]. Cho R1, R2, R3 là quan hệ mờ trên X  X, khi đó:
 R1 T (R2 T R3) = (R1 T R2) T R3 )
 Nếu R1  R2 thì R1 T R3  R2 T R3 và R3 T R1  R3 T R2


11

1.2. Phép kéo theo (implication)
1.2. 1. Định nghĩa phép kéo theo :
Phép kéo theo là công đoạn chốt nhất của quá trình suy diễn trong mọi lập
luận xấp xỉ, bao gồm cả suy luận mờ. Hơn nữa một trong những vấn đề trọng
tâm của suy luận mờ là thông tin lập luận biểu thị bằng các điều kiện
“IF…THEN”. Vì vậy toán tử implication là một đối tượng nghiên cứu quan
trọng.
AB

A

B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Bảng 3

Ở đây xét phép kéo theo như một mối quan hệ, một tốn tử logic. Thơng
thường chúng ta sẽ nhớ tới các tiên đề sau cho hàm v(P1  P2)
1/ v(P1  P2) chỉ phụ thuộc vào các giá trị v(P1), v(P2)
2/ Nếu v(P1)  v(P3) thì v(P1  P2)  v(P1  P3) với mọi mệnh đề P2
3/ Nếu v(P2)  v(P3) thì v(P1  P2)  v(P1  P3) với mọi mệnh đề P1
4/ Nếu v(P1) = 0 thì v(P1  P) = 1 với mọi mệnh đề P
5/ Nếu v(P1) = 1 thì v(P  P1) = 1 với mọi mệnh đề P
6/ Nếu v(P1) =1 và v(P2) = 0 thì v(P1  P2) = 0
Tính hợp lý của những tiên đề này chủ yếu dựa vào logíc cổ điển và
những tư duy trực quan của phép suy diễn. Từ tiên đề I0 chúng ta khẳng định sự
tồn tại hàm số I(x,y) xác định trên [0,1]2 với mong muốn đo giá trị chân lý của
phép kéo theo qua biểu thức:
v(P1  P2) =I(v(P1), v(P2))
Định nghĩa 1.2.1[4]: Phép kéo theo (implication) là một hàm số I: [0,1] x
[0,1]  [0,1] thoả mãn các điều kiện sau:
1/ Nếu x  z thì I(x,y)  I(z,y) với mọi y [0,1]
2/ Nếu y  u thì I(x,y)  I(x,u) với mọi x [0,1]


12

3/ I(0,y) = 1 với mọi y [0,1]
4/ I(x,1) = 1 với mọi x [0,1]
5/ I(1,0) = 0
Từ định nghĩa toán học dễ dàng nhận thấy mỗi phép kéo theo là một tập
mờ trên [0,1]2 và như vậy xác lập một quan hệ mờ trên [0,1]2.
Dựa vào bài báo của Dubois và Prade chúng ta xét thêm một số tính chất
khác của phép kéo theo.
6/ I(1,x) = x với mọi x [0,1]
7/ I(x, I(y,z)) = I(y, I(x,z)).
Đây là qui tắc đổi chỗ, cơ sở trên sự tương đương giữa hai mệnh đề :
“If P1 then (If P2 then P3)”
và “If (P1 AND P2) then P3”
8/ x  u nếu và chỉ nếu I(x,y) = 1. Tiên đề này có nghĩa là: phép kéo theo
xác lập một thứ tự.
9/ I(x,0) = N(x) là một phép phủ định mạnh, như vậy 9/ phản ánh mệnh đề
sau từ logíc cổ điển P  Q =  P nếu v(Q) = 0 (nếu Q là False).
10/ I(x,y)  y, với mọi x,y.
11/ I(x,x) = 1 với mọi x.
12/ I(x,y) = I(N(x), N(y)). Điều kiện này phản ánh phép suy luận ngựơc
trong logic cổ điển: (P  Q) = ( Q   P)
13/ I(x,y) là hàm liên tục trên [0,1]2.
Để tìm hiểu thêm các điều kiện này chúng ta xét tới định lý sau:
Định lý 1.2.1. Mỗi hàm số I: [0,1] x [0,1]  [0,1] thoả mãn các điều kiện
2/, 7/, 8/ thì cũng sẽ thoả mãn các điều kiện 1/, 3/, 4/, 5/, 6/, 10/, và 11/.
1.2.2. Các loại phép kéo theo mờ.
Lý thuyết tập mờ và logic mờ được suy rộng từ lý thuyết tập hợp cổ điển
và logic cổ điển. Vì vậy một số các phép kéo theo mờ tuân theo phép kéo theo
cổ điển, phép kéo theo đôi khi được hiểu như là một phép hội, trong trường hợp
này quan hệ “nguyên nhân-causality” được thể hiện bằng câu lệnh if-then. Để

tính tốn được chúng ta cần những dạng cụ thể của phép kéo theo. Dobois và
Prade (1991) đã đưa ra một số loại phép kéo theo mờ khác nhau như sau:


13

Cho T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ định mạnh
1) Phép kéo theo trong logic mờ dựa trên phép kéo theo cổ điển:
Hàm IS1(x,y) xác định trên [0,1]2 bằng biểu thức:
IS1(x,y) = S(n(x),y)

(1.2.1)

Ta nhận thấy rằng ẩn ý sau định nghĩa này là công thức từ logic cổ điển:
PQ=PQ
Phép kéo theo này được gọi là S-implications
Ví dụ: phép kéo theo được đề xuất bởi Kleene-Dienes thuộc loại này
I(x,y)=max(1-x,y)
Định lý 1.2.2[4]. Với bất kỳ t-chuẩn T, t-đối chuẩn S, phép phủ định
mạnh n nào, IS1 là một phép kéo theo thoả mãn định nghĩa 1.2.1
Chứng minh:
IS1 thoả mãn năm điều kiện của phép kéo theo, tức là ta phải chứng minh:
1/ Nếu x  z thì IS1(x,y)  IS1(z,y) với mọi y [0,1]
x  z  n(x)  n(z)
 với mọi y, S(n(x),y)  S(n(z),y)  IS1(x,y)  IS1(z,y)
2/ Nếu y  u thì IS1(x,y)  IS1(x,u) với mọi x [0,1]
y  u  n(y)  n(u)
 với mọi x, S(x,n(y)
3/ IS1(0,y) = 1 với mọi y [0,1]
Vì x = 0 nên n(x) = 1  S(1,y) = 1 với mọi y

Vậy IS1(0,y) = 1
4/ IS1(x,1) = 1 với mọi x [0,1]
Vì y = 1 nên S(n(x),1) = 1 với mọi x
Vậy IS1(x,1) = 1
5/ IS1(1,0) = 0
IS1(1,0) = S(n(1),0) = S(0,0) = 0.
2) Phép kéo theo mờ dựa trên phép kéo theo logic định lƣợng (quantum
logic)
I(x,y)= S(n(x), T(x,y))

(1.2.2)


14

Phép kéo theo này được gọi là QL-implications, trong đó “QL” được viết
tắt của quantum logic. Theo Lee(1990a)[20] kiểu kéo theo này có thể mở rộng
thành I(x,y)=S(T(n(x),n(y)), y)
Phép kéo theo này trở về (1.2.2) khi x và y được thay thế bằng 1-x và 1-y
tương ứng
3) Các phép kéo theo mờ biểu diễn thứ tự bộ phận trong các mệnh đề:
1 nếu x  y
I(x,y)=

0 nếu x=1 và y=0

(1.2.3)

[0,1) trong các trường hợp ngược lại
Ví dụ: Phép kéo theo được đề xuất bởi Gaines (1976)[18]:

I(x,y)=

1 nếu x  y
0 nếu x>y

Các phép kéo theo thuộc kiểu này hầu hết thuộc về R-implications (“R”
viết tắt từ residuated):
IT(x,y) = sup{z | z [0,1], T(x,z)  y}
Ví dụ: phép kéo theo được đề xuất bởi Gouen(1969)[18]
1 nếu x=0
I(x,y) =

min(y/x , 1) nếu x  0

Lee(1990b) [20] xem phép kéo theo kiểu này như là suy rộng của modus
ponent và cũng đưa ra suy rộng modus tollent:
I(x,y) = 1 - inf{z  [0,1] | S(y, z)  x)

(1.2.4)

Lee đã chứng minh công thức (1.2.4) như sau:
Đầu tiên chỉ rõ tổng quát hoá của modus tollent:
I(x,y) = inf{z  [0,1] | S(y,z)  x}
Phép kéo theo này khơng chính xác vì nó khơng thoả mãn trong trường
hợp b>a. Vì vậy Lee (1990b)[20] sử dụng cơng thức (1.2.3) bằng cách thay x
bằng1-y và y bằng 1-x (modus tollent):
I(x,y) = sup{z  [0,1] | T(1-y,z)  1-x}
=1 - inf{z‟  [0,1] | T(1-y,1-z‟)  1-x
=1 - inf{z‟  [0,1] | 1-S(y, z‟)  1-x

15

=1 - inf{z‟  [0,1] | S(y, z‟)  x)
Trong đó z‟ = 1- z
Định lý 1.2.3[4]. IT là một phép kéo theo của logic mờ
Chứng minh.
Kiểm tra từng tiên đề của phép kéo theo
1/ x1  x2  I(x1,y)  I(x2,y)
IT(x1,y) = sup{z | z [0,1], T(x1,z)  y}
IT(x2,y) = sup{z | z [0,1], T(x2,z)  y}
IT(x,y) = sup{z | z [0,1], T(x,z)  y}
Vì T(x,z) đơn điệu tăng theo x nên T(x2,z)  T(x1,z)
Mặt khác T(x2,z)  y nên T(x1,z)  y
Do đó {z |, T(x2,z)  y}  {z |, T(x1,z)  y}
 sup{z |, T(x2,z)  y}  sup{z |, T(x1,z)  y}
 IT(x1,y)  IT(x2,y)
2/ y1  y2  I(x,y1)  I(x,y2)
Vì vậy {z |, T(x,z)  y1}  {z |, T(x,z)  y2}
 sup{z |, T(x,z)  y1}  sup{z |, T(x,z)  y2}
 IT(x,y1)  IT(x,y2)
3/ IT(0,y) = sup{z |, T(0,z)  y} = sup{0  z  1} = max{z} = 1
z

4/ IT(x,1) = sup{z |, T(x,z)  1}= ssup{0  z  1}= 1
zu

5/ sup{z |, T(1,z)  0}= sup{z=0}sp = 0
z

u{
s
p0 hội:
4) Hiểu phép kéo theo nhƣ một phép
u
{
p
I(a,b) = T(a,b)
0
{
Ví dụ các phép kéo theo thuộc
loại
này:
0

z

Phép kéo theo được Mamdani
sử zdụng vào năm 1974



I(x,y) = min(x,y)


1
Và phép kéo theo được đề xuất bởi
} Lasen (1980)[18].

1

}
I(x,y) = xy.
1
}
z


16

Phép kéo theo loại này rõ ràng không phải là suy rộng của phép kéo theo
cổ điển, nhưng tuân theo phép hội cổ điển. Các phép kéo theo mờ được biểu
diễn bằng một phép hội thì thường được sử dụng trong điều khiển mờ [18].
5) Cũng giống nhƣ phép kéo theo loại 3/ có quan hệ với phép kéo theo
cổ điển. Một lớp kéo theo tƣơng tự có thể đƣợc định nghĩa và có quan hệ
với phép giao cổ điển nhƣ sau:
1 nếu x +y 1
I(x,y)=

1 nếu x=1 và y=1

(1.2.5)

(0,1) trong các trường hợp ngược lại
Có lớp con như sau (so sánh với R-implications):
I(x,y) = inf{z  [0,1] | S(1-x, z)  y}
Rõ ràng phép kéo theo kiểu này xem phép giao cổ điển như là một trường
hợp đặc biệt của nó [18].
Các phép kéo theo khác: Các phép kéo theo này không thuộc vào các loại
đã được nêu trên. Ví dụ như phép kéo theo được đề xuất bởi Yager (1980)[18]:
I(x,y) = yx

1.2.3. Sự phân lớp các phép kéo theo mờ.
Trong phần trước đã giới thiệu các loại phép kéo theo mờ khác nhau
(phân loại theo Dobois và Prade (1991)[18]). Trong phần này sẽ giới thiệu sự
phân lớp các phép kéo theo mờ một cách tổng quát hơn. Việc phân lớp này chủ
yếu dựa sự phân biệt giữa hai loại phép kéo theo cơ bản:
Loại I: Các phép kéo theo mờ tuân theo phép kéo theo cổ điển.
a  b  a  b
Điều này được kết hợp bằng các tính chất của một phép hội
Loại II: Các phép kéo theo mờ tuân theo phép hội cổ điển
abab
Việc sử dụng sự khác nhau cơ bản của hai loại phép kéo theo này sẽ đưa
ra một số các định nghĩa như sau:
1/ Phép kéo theo mờ dựa vào phép kéo theo logic định lượng
a  b  a  (a  b)


17

Như vậy ở cơng thức này ta có thể thấy a  b‟ (thuộc loại I), với b‟ = a 
b (thuộc loại II).
2/ Các phép kéo theo mờ dựa vào cách hiểu modus tollens
a  b  b  a
3/ Các phép kéo theo dựa vào tính đối xứng giữa modus ponens và
modus tolens:
a  b  (a  b)  (b  a )
Việc suy rộng hai loại phép kéo theo cơ bản không dựa vào việc sử dụng
t-norms và t- conorms để suy rộng phép hội và phép tuyển. Sau đây là định
nghĩa suy rộng phép hội cổ điển:
0 nếu a = 0  b=0
C(a,b) =

1 nếu a=1  b=1

(1.2.6a)

[0,1) trong các trường hợp ngược lại
Và C(a,b)  C(c,d) với mọi a  c, b  d
Suy rộng phép tuyển cổ điển cũng được định nghĩa tương tự như sau:
1 nếu a = 1  b=1
D(a,b) =

0 nếu a=0  b=0

(1.2.6b)

(0,1] trong các trường hợp ngược lại
Và D(a,b)  D(c,d) với mọi a  c, b  d
Các suy rộng này khơng có giới hạn nhưng chúng phải được thay thế bằng
liên kết and/or. T-norm và t-conorm thuộc vào các định nghĩa này và được coi
như một lớp con. Một lớp con tổng quát hơn của lớp tốn tử D- và C- có thể
được định nghĩa là:

C*(a,b) =

0 nếu a + b  1
1 nếu a=1  b=1

(1.2.7a)

[0,1) trong các trường hợp ngược lại

1 nếu a + b  1
D*(a,b) =

0 nếu a=0  b=0

(1.2.7b)

(0,1] trong các trường hợp ngược lại


18

Như vậy, dễ dàng chỉ ra rằng lớp kéo theo biểu diễn thứ tự bộ phận và Rimplication là các lớp con và được định nghĩa bởi:
IPO(a,b) = D*(1-a,b)
Và các lớp kéo theo này thuộc loại I. Phép kéo theo của Yager (1980) sử
dụng suy rộng phép tuyển cổ điển cũng được xem như phép kéo theo cổ điển:
D(a,b) = b1-a
Như vậy sẽ dẫn tới kết quả là: I(a,b) = D(1-a,b) = b1-(1-a) = ba
Phép kéo theo của (Zadeh,1975)[18]: I(a,b) = max(1-a, min(a,b)) xuất
phát từ phép kéo theo trong logic định lượng đó là: a  b  a  (a  b). Điều
này có thể được hiểu như các phép kéo theo lồng nhau:
IQL(a,b) =ICI(a, ICC(a,b))
Trong đó ICI là phép kéo theo loại I, ICC là phép kéo theo loaị II
Lee (1990b)[21] xem phép kéo theo xuất phát từ logic định lượng như là
phép tính mệnh đề (propositional calculus) và cũng muốn mở rộng phép tính
mệnh đề này:
I(a,b) = max(b, min(1-a,1-b))
Phép kéo theo này có thể viết lại từ phép kéo theo định lượng dựa trên
modus tollens như sau:
I(a,b) = (a, b) = max(1-(1-b), min(1-b,1-a)

= max(b, min(1-a,1-b))
Khi đó hai phép kéo theo này được kết hợp lại để thu được tính đối xứng
của các biến, ở đây có sử dụng a  b  (a  b)  (b  a ). Kết quả là một
phép kéo theo được đề xuất bởi Willmott (1980)[18]
IWm(a,b) = min(max(1-a,b), max(a, 1-b, min(b,1-a)))
Công thức này có thể được viết lại như sau:
IWm(a,b) = min(IQL(a,b), IQL(1-b,1-a)) trong đó IQL(a,b) =max(1-a,
min(a,b))
Ta có bảng sau thể hiện kết quả


19

a và b

IWm(a,b)

min(IQL(a,b), IQL(1-b,1-a))

1-b  1-a  a  b

A

Min(a,b)

1-b  a 1- a  b

1-a

Min(1-a,b)

b  1-a  a  1-b

1-a

Min(1-a,1-a)

b  a  1-a  1-b

1-a

Min(1-a,1-a)

1-a  1-b  b  a

B

Min(b,b)

1-a  b 1- b  a

B

Min(b,b)

a  1-b b  1-a

B

Min(1-a,b)

a  b  1-b  1-a

1-b

Min(1-a,1-b)

Bảng 2

Như vậy các phép kéo theo mờ tổng quát có thể tạo ra sự khác phân biệt
của hai kiểu cơ bản và ba kiểu biến thể khi cho phép suy rộng khơng giao hốn
và khơng kết hợp của phép hội và phép tuyển cổ điển.
1.3. Suy luận mờ với phép kéo theo.
1.3.1. Các mệnh đề mờ (fuzzy propositions)
Một khái niệm quan trọng trong logic mờ đó là mệnh đề mờ. Các mệnh đề
mờ tương ứng với các câu lệnh ví dụ như “x is big”, trong đó “big” là nhãn ngôn
ngữ (linguistic label) được định nghĩa là một tập mờ trên không gian nền của
biến x. Các nhãn ngôn ngữ mờ cũng được xem như các hằng mờ (fuzzy
constants), số hạng mờ (fuzzy term). Các mệnh đề mờ liên kết các biến với các
nhãn để định nghĩa các biến đó.
Các mệnh đề mờ là cơ sở cho logic mờ và suy luận mờ, chúng có thể kết
hợp với nhau bằng các liên kết logic ví dụ như phép and và phép or . Các từ bổ
nghĩa ngơn ngữ có thể được dùng để thay đổi nhãn ngôn ngữ đang sử dụng
trong mệnh đề mờ (các bổ ngữ này sẽ được nói rõ trong chương III). Ví dụ bổ
ngữ very dùng để thay đổi “x is big” thành “x is very big”
1.3.1.1. Các liên kết logic (kết hợp với các phép toán đại số mờ)
Cũng giống như trong logic cổ điển, các mệnh đề mờ có thể kết hợp với
nhau bằng cách sử dụng các liên kết logic như phép and và phép or. Các liên kết
and và or có thể được thực hiện bằng các t-norm và t-conorm tương ứng trong
logíc mờ. Khơng có ngun tắc chung nào để chọn các t-norm và t-conorm. Tuy

20

nhiên dựa vào các tính chất của t-norm và t-conorm, có thể sử dụng các t-norm
và t-conorm đặc biệt trong một số trường hợp cụ thể.Viêc sử dụng này được
chứng minh bằng trực giác là đúng.
Ví dụ hình 2 chỉ ra kết quả so sánh việc sử dụng t-norm và t-conorm theo
Lukasiewicz và theo Zadeh. Trong đó hình (a) và hình (c) chỉ ra việc sử dụng tnorm và t-conorm theo Lukasiewicz đối với liên kết and và or. Hình (b) và
hình (d) là kết quả thực hiện theo Zadeh. (lưu ý kết quả của hình (a) là 0). Ở
đây các tốn tử được thực hiện trên khơng gian nền giống nhau.
1

1

0

x 0

x

(a)
Max(A1(x)+A2(x) – 1,0)

(b)
Min(A1(x),A2(x))

1

1

0

0
(c)
Min(A1(x)+A2(x),1)

x

(d)
Max(A1(x),A2(x))

Hình 2

Như vậy, trong trường hợp kết hợp hai mệnh đề giống nhau, nếu áp dụng
toán tử do Zadeh đề xuất sẽ được kết quả là:
AA (x) = min(A(x),A(x)) = A(x)
AA (x) = max(A(x),A(x)) = A(x)
Tuy nhiên điều này khơng có ý nghĩa với các t-norm và t-conorm khác.
Trong trường hợp các mệnh đề mờ không giống nhau, nhưng có tương quan với
nhau hoặc là tác động với nhau, thì sử dụng các tốn tử khác toán tử max, min
cho việc kết hợp các mệnh đề đó. Kết sau đây minh hoạ việc sử dụng t-norm và

x


21

t-conorm theo Lukasiewicz là thích hợp trong trường hợp sự tác động lẫn nhau
hoàn toàn.

A1A2 (x) = max(A1(x)+A2(x) – 1 , 0)
A1A2 (x) = min(A1(x)+A2(x),1)
Trong đó t-norm đã cho ở trên cũng được biết như là giới hạn tổng
(bounded sum). Hình 2c chỉ ra liên kết phép or của hai mệnh đề mờ cho kết quả
là một tập mờ, tập mờ này cũng có đầy đủ các giá trị thuộc đối với biến trong
các tập mờ. Việc chọn t-norm và t-conorm cho các liên kết phụ thuộc vào nghĩa
và ngữ cảnh của các mệnh đề và quan hệ giữa chúng. Hầu hết các toán tử thường
xuyên sử dụng trong logic mờ được chỉ ra ở bảng sau:
And

or

Chú ý

Min(a,b)

Max(a,b)

Zadeh

Max(a+b-1,0)

Min(a+b,1)

Lukasiewicz

ab

a+b-ab

Xác suất

Nếu các mệnh đề có liên quan tới các khơng gian nền khác nhau thì một
liên kết logic sẽ cho kết quả là một quan hệ mờ. Ví dụ xét mệnh đề sau:
p: x1 is A1 and x2 is A2
Trong đó A1, A2 có các hàm thuộc là A1(x1) và A2(x2), mệnh đề p có thể
được biểu diễn bằng một quan hệ mờ P với hàm thuộc là:
P(x1 , x2) = T(A1(x1),A2(x2))
Trong đó T là một t-norm được sử dụng cho liên kết and . Trong thực tế
một mệnh đề có thể là cơ sở lập luận cho một luật mờ.
1.3.1.2 Phủ định trong các mệnh đề mờ.
Các liên kết logic có thể có liên quan với phép giao và phép hợp của các
tập mờ, theo đó phủ định trong một mệnh đề mờ có thể có liên quan với phần
bù của của một tập mờ. Phủ định của một định đề mờ x is not A cho kết quả là:
not(A) =X c(  A ( x)) / x
Có hàm thuộc như định nghĩa hàm thuộc của phần bù thông thường
not(A)(x) = 1 - A(x)


22

1.3.2. Các luật mờ
Để suy luận logic mờ, các luật mờ phải được biểu diễn bằng một hàm kéo
theo. Xét trong logic cổ điển phép kéo theo được định nghĩa bởi:
AB
Phép kéo theo này có thể biểu diễn bằng câu lệnh:
If A then B
Trong logic mờ các kiểu của câu lệnh này thường được được xem như các
câu lệnh if-then mờ hoặc là các luật mờ.
1.3.2.1 Biểu biễn của luật mờ

Một luật mờ là một câu lệnh if-then, trong đó gồm phần thân (hay tiền tố)
và phần đầu (hay hệ quả) của luật, phần thân và phần đầu là các mệnh đề mờ
như đã mô tả ở mục trên. Phần đầu có thể chứa một kết hợp của các mệnh đề
mờ, điều này được thực hiện nhờ vào các liên kết logic and và or . Để đơn giản
xét luật sau:
If x1 is A1 and x2 is A2 then y is B
Khi đó các tập mờ A1, A2, và B được thay bằng các hàm thuộc A1(x1),
A2(x2) và B(y) tương ứng. Quan hệ mờ R sau đây tương ứng với luật mờ:
R = (I(T(A1, A2), B)
Trong đó T là một phép hội dựa trên một t-chuẩn, I là một hàm kéo theo
mờ. Vì t-chuẩn T tương ứng với liên kết and nên hàm kéo theo mờ I tương ứng
với phép kéo theo: Liên kết If – then. Vì vậy một luật mờ có thể tương ứng với
một quan hệ mờ. Hàm thuộc của quan hệ R được cho ở trên là:
R(x1 , x2, y)= I(T(A1(x1),A2(x2)), B(y))
1.3.2.2. Sự kết hợp giữa các luật mờ (Aggregation of fuzzy rules)
Mục đích của phần này là đưa ra việc chuyển phần thân của một luật mờ
hoặc chuyển một câu lệnh if-then thành một quan hệ mờ. Như vậy sẽ chuyển
được các luật mờ thành các quan hệ mờ. Nếu có hơn một mệnh đề kết quả của
các luật mờ, phải tách mệnh đề kết quả thành các mệnh đề con. Sau đó kết hợp
một tập các luật mờ thành một quan hệ mờ. Ở đây sẽ xét Nr luật và một giả
thuyết trong mỗi luật dựa trên Nx biến:
R1: IF x1 is A1,1 and ….xNx is ANx,1 THEN y is B1
else


23

…
else
Rk: IF x1 is A1,k and ….xNx is ANx,k THEN y is Bk

else
…
else
RNr: IF x1 is A1,Nr and ….xNx is ANx,Nr THEN Y is BNr
Việc chuyển một tập các luật mờ như trên thành một quan hệ mờ được
thực hiện bằng cách: với mỗi luật mờ rk xây dựng quan hệ mờ Rk, sau đó kết hợp
các quan hệ đó thành một quan hệ mờ đơn R. Việc kết hợp này gọi là
aggregation, cách thức như thế được thực hiện khác nhau đối với các hàm kéo
theo khác nhau.
Đối với phép kéo theo tuân theo phép hội cổ điển thì các toán tử kết hợp
này gọi là một phép tuyển (disjunction). Nhưng trong trường hợp các phép kéo
theo tuân theo phép kéo theo cổ điển thì phép hội sẽ được dùng cho việc kết
hợp. Nếu Nr luật mờ rk được biểu diễn bởi các quan hệ mờ Rk thì kết quả cuối
cùng sẽ là việc kết hợp các quan hệ Rk như sau:
R =  Rk
k

Vì vậy liên kết else được hiểu như là một phép tuyển. Tổng quát hơn ta có
thể sử dụng S-norm trong việc kết hợp các quan hệ Rk. Hình 3.3 chỉ ra việc sử
dụng tốn tử max cho việc kết hợp hai luật mờ. Trong hình vẽ chúng ta dễ dàng
nhận ra hai luật mờ và toán tử min được dùng như một hàm kéo theo.
Việc kết hợp các luật mờ khi mà hàm kéo theo tuân theo phép kéo theo cổ
điển sẽ được thực hiện bằng một phép hội.
R =  Rk
k

Ở đây cũng có một định nghĩa tổng quát hơn đó là sử dụng t-norm để kết
hợp các luật. Điều này có nghĩa là liên kết else được hiểu là một phép hội. Hình
3.3 e chỉ ra việc sử dụng tốn tử min để kết hợp hai luật mờ. Từ hình này chúng
ta cũng thấy rằng khơng dễ dàng gì để để phân biệt hai luật đã sử dụng [18].

1.3.3. Suy luận mờ (fuzzy reasoning).
Sự suy diễn của một luật mờ đơn là một trường hợp đơn giản của hợp
thành các quan hệ mờ. Như Zadeh (1973) đã giới thiệu trong logic mờ đó là luật
hợp thành suy diễn (compositional rule of inference - CRI). Sự suy rộng của suy


24

luận mờ cũng bắt nguồn từ suy rộng modus ponens và modus tollens trong logic
cổ điển.
1.3.3.1. Luật hợp thành suy diễn (compositional rule of inference).
Luật hợp thành suy diễn được Zadeh giới thiệu vào năm 1973, đó là một
luật mờ:
If x is A then y is B
Luật này được biểu diễn bằng một quan hệ mờ R. Kết quả của A là B‟,
trong đó B‟ có thể được suy ra từ phép hợp thành của A‟ và R
B‟ = A‟  R
Ở đây CRI thừa nhận một quan hệ mờ biểu diễn luật đã có. Quan hệ mờ
này có thể là một trong các phép kéo theo mờ sẽ mô tả ở phần sau. Khi một toán
tử kéo phù hợp được chọn thì chắc chắn các tốn tử hợp thành cũng được chọn.
Thông thường phép hợp thành sup-min được sử dụng.
1.3.3.2. Sự suy rộng modus ponens và modus tollens
Sự suy rộng modus ponens được Zadeh giới thiệu vào năm 1973 . Đây là
một phiên bản nổi tiếng về sự suy rộng của luật suy diễn từ logic cổ điển. Sự suy
rộng này dựa vào quan hệ if-then:
If x is A then y is B
x is A‟
y is B‟
Trong đó A‟ biểu diễn dữ liệu, B‟ là kết quả suy luận. Bảng sau đây đưa
ra giá trị chân lý của modus ponens cổ điển. Như vậy để giải thích việc sử dụng

luật hợp thành bằng suy diễn thì cần thiết phải có một quan hệ biểu diễn luật ifthen. Đã có một số phương pháp có thể biểu diễn luật if-then bằng một quan hệ
(nêu ở phần sau).
A‟

AB

B‟

1

1

1

0

1

?

Bảng 4

Ví dụ về sự suy rộng modus ponens: Giả sử có luật “if there is smoke then
there is fire” và dữ liệu “ there is smoke” thì “there is fire” có thể được suy ra


25

bằng việc sử dụng modus ponens. Suy diễn này thông thường được định nghĩa
bằng CRI:

B‟ = A‟  R

Trong đó R là một quan hệ mờ, nó biểu diễn luật mờ “If x is A then y
is B”
Sự suy rộng modus ponens không giống như luật hợp thành bằng suy
diễn. Một số sơ đồ suy diễn khác có thể dựa vào modus ponens nhưng không
dựa vào sự hợp thành của các quan hệ mờ. Khi luật và dữ liệu được biểu diễn
bằng các quan hệ mờ, thì sự suy rộng modus ponens được coi như là một sơ đồ
suy luận, trong đó luật hợp thành bằng suy diễn là một trường hợp đặc biệt.
Cũng giống như modus ponens, modus tollens có thể được suy
If x is A then y is B
y is B‟
x is A‟
Bảng giá trị chân lý của modus tollens cổ điển:
B‟

AB

A‟

1

1

?

0

1

0

Bảng 5

Sử dụng ví dụ trên cho sự suy rộng modus tollens:
if there is smoke then there is fire” và “ there is no fire” thì “there is no
smoke”
Để làm sáng tỏ modus tollens, luật hợp thành bằng suy diễn có thể được
sử dụng, giả sử có một quan hệ mờ cho luật if-then đã có. Điều này được chứng
tỏ bằng:
A‟ = R  B‟
Trong đó R là một quan hệ mờ, nó biểu diễn luật mờ “If x is A then y is
B”
1.3.3.3. Tiêu chuẩn để suy rộng modus ponens[18]
Trong logic cổ điển tiêu chuẩn để modus ponens phải tuân theo là duy
nhất, nhưng trong logic mờ sẽ có nhiều khả năng hơn. Các khả năng này được


26

nhiều tác giả đề xuất, một số tác giả tiêu biểu như: Baldwin và Pilsworth (1980),
Hellendoorn (1990), Fukami, Mizumoto và Tanaka (1980) . Đến bây giờ đã có
rất nhiều cơng việc được thực hiện dựa trên nghiên cứu của các hàm kéo theo và
suy rộng modus ponens. Baldwin và Pilsworth (1980) đã đề xuất các điều kiện
thoả mãn sự suy rộng modus ponens, trong đó m là phép hợp thành sup-m và m
là giả phép hội.
 GMP-1
B‟ B Nghĩa là khơng có giá trị nào tốt hơn B có thể được
suy luận từ A B;
 GMP-2

B1‟ B2‟ nếu A1‟ A2‟

 GMP-3
B‟ = Y nếu A‟ = Ā nghĩa là phủ định của A là B‟ thì chưa
được xác định.
 GMP-4
Nếu B‟ = A‟ m I(A,B) thì Ā‟ = B‟ m I(A,B) Qui định tính
đối xứng giữa modus ponens và modus tollens
 GMP- 5

B‟ B nếu A‟  A

Một số tiêu chuẩn suy rộng modus ponens khác của các tác giả Fukami,
Mizumoto và Tanaka (1980)
 GMP- 6
A m I(A,B) = B Điều này yêu cầu B‟ = B nếu A‟ = A.
Điều này được biết như tính chất cơ bản.
 GMP- 7a

very(A) m I(A,B) = B trong đó very là

 GMP- 7b

very(A) m I(A,B) =very(B)

 GMP- 8
more – or- less(A) m I(A,B) = more – or- less(B) Điều này
tương tự như GMP – 6 và GMP- 7b
 GMP-9a

 GMP-9b

Ā m I(A,B) = Y Điều kiện này giống như điều kiện GMP-3;
Ā m I(A,B) = B

Hellendoorn (1990) đề xuất các điều kiện sau:
 GMP-10
B‟ = Y nếu A‟ = X Nghĩa là Nếu A‟ khơng xác địng thì B‟
cũng khơng xác định
Trong các tiêu chuẩn trên chúng ta có thể nhìn thấy một số tiêu chuẩn
mâu thuẫn nhau. Với mỗi phép kéo theo mờ, có thể được kiểm tra xem có đáp
ứng một số các tiêu chuẩn mong muốn hay khơng. Vì thế để thoả mãn một tiêu
chuẩn nào đó thì phải xét đối với các ứng dụng đặc biệt và từ đó các hàm kéo
theo phù hợp có thể được chọn. Després (1989) đã đề xuất một công cụ để thu