(Luận văn thạc sĩ) nghiên cứu quá trình phân rã điện yếu trong gần đúng 1 photon m → e + νµ + νe + g
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (892.93 KB, 46 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------------
CHU VĂN THỊNH
NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ ĐIỆN
YẾU TRONG GẦN ĐÚNG 1 PHOTON
m ® e + n m + n%e + g
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Chu Văn Thịnh
NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ ĐIỆN YẾU TRONG
%e + g
GẦN ĐÚNG 1 PHOTON m ® e + n m + n
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số:
60.44.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
Hà Nội – 2011
MỤC LỤC
Mở đầu....................................................................................................................
1
Chương 1. Quá trình phân rã muon..............................................................
4
e e ..................
4
e e ...............................
10
1.1. Yếu tố ma trận của quá trình phân rã
1.2. Tốc độ phân rã của quá trình
Chương 2. Đóng góp của bổ chính tương tác điện từ cho phân rã muon
13
2.1. Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho quá trình
e e .......................................................................
13
e e ..................
17
2.2. Phương pháp min cho quá trình
2.3. Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên cho quá trình
e e .......................................................................
24
Kết luận.................................................................................................................
33
Tài liệu tham khảo..............................................................................................
34
Phụ lục A. Phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên..................
36
Phụ lục B. Vận dụng vào mô hình tự tương tác của trường vơ hướng
Lint g 3 ..........................................................................................
39
MỞ ĐẦU
Q trình phân rã muon m ® e + n%e + nm , xảy ra do tương tác yếu là một quá
trình phân rã điển hình đã được thực nghiệm và lý thuyết nghiên cứu từ lâu. Việc
tính thêm sự đóng góp của tương tác điện từ vào quá trình này
m ® e + n%e + nm + g có ý nghĩa xem xét q trình phân rã với sự hấp thụ và bức
xạ photon vì các hạt tham gia phân rã có mang điện tích. Bài tốn này có ý nghĩa
trong việc xây dựng lý thuyết thống nhất điện yếu[5; 6; 15]. Các lượng tử của
trường điện từ là các photon với khối lượng nghỉ bằng không, nên phân kỳ hồng
ngoại[17] sẽ xuất hiện trong tất cả các q trình vật lý mà ta xem xét. Mục đích chủ
yếu của luận văn này là giới hạn nghiên cứu quá trình phân rã điện yếu trong gần
đúng một photon thực m ® e + n%e + nm + g , và đi sâu vào các phương pháp khử
phân kỳ hồng ngoại khác nhau: Phương pháp l min [11; 17] và phương pháp điều
chỉnh thứ nguyên, đồng thời tiến hành so sánh các kết quả thu được.
Nội dung luận văn Thạc sĩ này bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận,
tài liệu dẫn và hai phụ lục, chúng được trình bày theo trình tự sau:
Chương 1. Ta nghiên cứu q trình phân rã m ® e + n%e + nm do tương tác yếu
gây nên, và tính tốc độ phân rã của quá trình này. Chương này gồm hai mục:
Mục 1.1. ta viết Hamiltonien tương ứng m ® e + n%e + nm , vẽ sơ đồ phân rã ở
bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác yếu G, viết yếu tố S –
ma trận. Từ yếu tố S – ma trận rút ra được biểu thức cho biên độ bất biến của phép
dời chuyển T fi( m) ứng với quá trình kể trên.
Mục 1.2. ta tính tốc độ phân rã dựa trên cơng thức tổng quát và biểu thức biên
độ của phép dời chuyển, tương ứng với giản đồ Feynman đã tìm được ở mục 1.1.
1
Chương 2. Dành cho việc tính tốn thêm bổ chính ở bậc thấp nhất của tương
tác điện từ cho quá trình phân rã m ® e + n%e + nm gây nên bởi tương tác yếu, có
nghĩa trong gần đúng một photon thực mềm m ® e + n%e + nm + g . Chương này
gồm ba mục:
Mục 2.1. Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho q trình
m ® e + n%e + nm + g bằng cách tổng quát hóa các kết quả đã nhận được ở mục 1.2.
của chương 1.
Mục 2.2. Dành cho việc giới thiệu phương pháp l min và vận dụng nó vào việc
tách phân kỳ hồng ngoại trong biên độ của phép dời chuyển đã tìm được ở mục 2.1.
Mục 2.3. Chúng tôi giới thiệu phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và áp dụng
nó cho phân kỳ hồng ngoại trong bài tốn này.
Phần kết luận tóm tắt các kết quả đã nhận được, đồng thời tiến hành so sánh
các biểu thức tìm được bằng hai cách tách phân kỳ khác nhau: Phương pháp
l min [11, 17], Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và thảo luận hướng nghiên cứu
bài toán này trong tương lai.
Phụ lục A. Giới thiệu phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên
và dẫn các tích phân cần thiết được tính trong tọa độ cầu của khơng gian (n – 1)
chiều.
Phụ lục B. Vận dụng phương pháp điều chỉnh thứ ngun vào mơ hình tự
tương tác của trường vô hướng L int = gj 3 .
Trong bản luận văn này chúng ta sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 ,
và metric giả Euclide (metric Feynman), tất cả bốn thành phần vector 4-chiều ta
r
chọn là thực A = (A 0, A ) gồm một thành phần thời gian và các thành phần không
gian, các chỉ số m = (0,1, 2, 3) , và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến
của vector 4-chiều, ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên.
r
A = (A 0, A ) = (A 0, A 1, A 2, A 3 )def = A m .
2
Các vector phản biến là tọa độ
r
x m = (x 0 = t , x 1 = x , x 2 = y, x 3 = z ) = (t , x ) ,
Thì các vector tọa độ hiệp biến
r
x m = gmnx m = (x 0 = t , x 1 = - x , x 2 = - y , x 3 = - z ) = (t , - x ) ,
Vector năng xung lượng
r
p m = (E , px , py , pz ) = (E , p ) .
Tích vơ hướng của hai vector được xác định
r r
A B = gmnA mA n = AmA m = A 0B 0 - A B .
Tensor metric cú dng
gmn = g mn
ổ1 0
ử
0
0ữ
ỗỗ
ữ
ữ
ỗỗ0 - 1 0
0ữ
ữ
ỗ
ữ.
= ỗ
ỗỗ0 0 - 1 0 ữ
ữ
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
0 - 1ữ
ữ
ỗố0 0
ứ
Chỳ ý: tensor metric là tensor đối xứng gmn = gnm và gnm = g mn . Thành phần của
vector hiệp biến được xác định bằng cách sau:
Am = gmnA n ,
A0 = A 0,
Ak = - A k .
Các chỉ số hy lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
3
Chƣơng 1
QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ MUON
Trong chương này chúng ta xem xét quá trình phân rã do tương tác yếu gây
nên, và tính tốc độ phân rã ở bậc thấp nhất của hằng số tương tác yếu G. Với góc độ
phương pháp luận ta xét cụ thể quá trình phân rã hạt muon, mà nó đã được nghiên
cứu rất kỹ cả lý thuyết lẫn thực nghiệm nhiều năm, và kết quả thu được phù hợp với
sơ đồ (V – A) Feynman- Gell-Man cho tương tác yếu của các hạt tích điện [6]. Quá
trình phân rã diễn ra theo sơ đồ sau đây:
m ® e + n%e + nm
(1.1)
trong đó m -muon; e - electron; n%e - phản neutrino electron; n m - neutrino muy.
Phương trình này thỏa mãn các định luật bảo tồn: xung lượng, năng lượng,
điện tích, tích Baryon, tích Lepton.
Một số đặc trưng của các hạt trên như[1]:
Khối lượng: m e = 0, 5Mev, m m = 105, 66Mev, m n » m n% » 0Mev .
m
Spin: tất cả bốn hạt trên đều có spin bằng J =
e
1
.
2
Điên tích: điện tích của electron bằng điện tích của muon và bằng – e, cịn các
hạt neutrino khơng tích điện.
Tích lepton L: Lm = Le = Ln = 1, Ln% = - 1 .
m
e
1.1. Yếu tố ma trận của quá trình phân rã m ® e + n%e + n m
Tất cả các q trình có sự tham gia của tương tác yếu đều được mô tả bằng lý
thuyết (V – A) 1 tương tác giữa các dòng – dòng với hằng số tương tác chung G. Cụ
thể trong lý thuyết (V – A) quá trình phân rã (1.1) được mơ tả bởi Hamiltonien
tương tác như sau:
1
Chữ (V-A) có nghĩa là cấu trúc (vector-vector trục) của dòng thực hiện tương tác yếu.
4
H int ,0 =
G
y (x )g (1 + g )y (x ))(y (x )g (1 + g )y (x )) +
(
(
2
+ (y (x )g (1 + g )y (x ))(y (x )g (1 + g )y (x )))
l
nm
l
5
e
m
5
ne
(1.2)
l
m
l
5
nm
ne
5
(
e
)
trong đó G là hằng số tương tác yếu. Thừa số 1 /
2 đưa vào để duy trì định nghĩa
đầu tiên của đại lượng G, và G khơng chứa g 5 . Cịn y n (x ) là hàm sóng chỉ việc hủy
e
hạt ne tức sinh hạt n%e ; y m(x ) là hàm sóng của hạt muon; cịn y e (x ), y n (x ) là hàm
m
liên hợp Dirac chỉ việc sinh e, n m . Hay viết dưới dạng gọn hơn là tích các dịng như
sau:
H int .0 =
G
2
(l
+
( m)l
)
(x )l(le ) (x ) + h.c .
(1.3)
trong đó h.c là liên hợp ecmite của l(+m)l (x )l(le ) (x ) ; l(m) , l(e ) là dòng lepton muon và
dòng electron được xác định:
l(ll ) (x ) = y l (x )g l (1 + g5 )y n (x ),
l = m, e
(1.4)
l
Biểu thức cho yếu tố S – ma trận tương ứng với phân rã (1.1) sẽ là[2]:
{
}
S = T exp - i ò H intd 4x , trong đó Hamiltonien tương tác được xác định bằng
cơng thức (1.2) hay (1.3). Khai triển S – ma trận theo hằng số tương tác G, ta có:
n= ¥
S =
å
S ( n ) = 1 + S (1) + S (2) + ... =
n=1
= 1 - i ò H int ,0d + ... = 1 - i
4
G
2
.
ò d x (l
4
+
( m)l
l
(e )
(1.5)
)
(x )l (x ) + h.c + ...
Vì chúng ta tạm bỏ qua tương tác điện từ, nên các toán tử trong l(e ) , l( m) chỉ tác dụng
lên trạng thái electron (muon), và ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng
số tương tác yếu G, nên yếu tố ma trận có thể viết dưới tích của hai thừa số sau:
q1s1; q2s 2 ; q3s 3 S (1) p, s = -
iG
òd x
2
4
5
q1s1;q2s 2 ;q3s 3 lmle p, s =
= -
iG
òd x
2
4
q3s 3 l(+m)l (x ) p, s
q1s1; q2s 2 l(le ) (x ) 0 .
(1.6)
Công thức (1.6) tương ứng với giản đồ Feynman ở bậc thấp nhất của lý thuyết
nhiễu loạn được trình bày ở (Hình 1.1). Muon với xung lượng p và spin s, phân rã
thành n m - neutrino muy với xung lượng q3 và spin s3, n%e - phản hạt neutrino electron
với xung lượng q2 và spin s2, electron với xung lượng q1 và spin s1.
e
q1,s1
p,s
q2,s2
G
ve
q3,s3
v
Hình 1.1
Tốn tử trường y (x ) được xác định bng [5]:
1
1
y (x ) =
(2p )
3
2
ổ ử2
3 ỗm ữ
d
k
ũ ỗỗốE ø÷÷÷
2
å {a (k )u (k )e
s
- ikx
s
}
+ bs+ (k )ns (k )e ikx ,
(1.7)
s= 1
trong đó các tốn tử, sinh hủy phản hạt được ký hiệu là: b+ và b nó tn theo các
biểu thức phản giao hốn như các toán tử a+ và a ( a+ và a là các toán tử sinh, hủy
hạt fecmion ):
as+ (k )as+' (k ') + as+' (k ')as+ (k ) = 0
as (k )as ' (k ') + as ' (k ')as (k ) = 0
(1.8)
as (k )as+' (k ') + as+' (k ')as (k ) = dss 'd(3) (k '- k )
Tính tốn các yếu tố dưới đấu tích phân của biểu thức (1.6):
6
1/ 2
1
q3s 3 l(+m)l (x ) p, s =
(2p )3
ém m ù
3
3
ê m n ú e ix (q '3 - p ) ´
d
p
'
d
q
'
ò
3å ê 0
0ú
s ',s '3 êp ' q ' 3 ú
ë
û
( n )+
´ nm(q '3, s '3 )gl (1 + g 5 )m( p ', s ') q3s 3 as ' m (q '3 )as( m' ) ( p ') p, s ,
(1.9)
3
1/ 2
1
q1s1; q2s 2 l(le ) (x ) 0 =
(2p )3
ém m ù
ix (q ' + q ' )
3
3
d
q
'
d
q
'
ò 1 2 så' s ' êêq ' 0e q 'n 0 úú e 1 2 ´
ê 1 2 û
ú
1 2 ë
( n )+
´ e (q '1, s '1 )g l (1 + g 5 )ne (q '2 s '2 ) q1s1; q2s 2 as(e' )+ (q '1 )bs ' e (q '2 ) 0 .
1
(1.10)
2
Khi tính tốn chúng ta coi hai neutrino có khối lượng nhỏ nào đó xấp xỉ bằng
nhau (ký hiệu là m n ) và khác khơng. Bằng cách này ta có thể vẫn sử dụng cách tái
chuẩn hóa thơng thường và các tốn tử chiếu. Trong kết quả cuối cùng ta cho khối
lượng của neutrino dần đến không.
Ta sử dụng các biểu thức giao hoán (1.8) đối với các toán tử sinh, hủy để tính
tốn các yếu tố ma trận:
0 as ' ( p ') p, s = 0 as ' ( p ')as+ ( p) 0 =
= 0 | 0 dss 'd(3) ( p - p ') -
0 as+ ( p)as ' ( p ') 0 = dss 'd(3) ( p - p ')
.
(1.11)
nên
( n )+
(n )
( n )+
q3s 3 as ' m (q '3 )as( m' ) ( p ') p, s = 0 as m (q3 )as ' m (q '3 )as( m' ) ( p ')as( m)+ ( p) 0
3
3
( nm )
( n m )+
= 0 as (q3 )as '
3
3
3
(q '3 ) 0 0 as( m' ) ( p ')as( m)+ ( p) 0
(n )
= dS ' Sm d(3) (q '3 - q3 ). dss( m')d(3) ( p - p ').
(1.11a)
3 3
Tương tự
( n )+
(n )
q1s1; q2s2 as(e' )+ (q '1 )bs ' e (q '2 ) 0 = dS(e') S d(3) (q '1- q1 ). ds ' es d(3) (q '2 - q2 ). (1.11b)
1
2
1
1
2 2
thay (1.11a) và (1.11b) vào (1.9) và (1.10) ta được:
1
2
1 éêm mm v ù
ix (q - p )
+
ú
q3s 3 l( m)l (x ) q, s =
n m(q3, s 3 )gl (1 + g 5 )m( p, s )e 3 . (1.12)
3 ê 0 0 ú
(2p ) êë p q3 ú
û
7
1
1
q1s1; q2s 2 l(le ) (x ) 0 =
(2p )3
ém m ù 2
ê e n ú e (q , s )g l (1 + g )n (q .s )e ix (q1 + q2 ) .
1 1
5
e 2 2
ê q 0q 0 ú
êë 1 2 ú
û
(1.13)
thay phương trình (1.12), (1.13) vào phương trình (1.6) và lấy tích phân theo d4x ta
thu được biểu thức yếu tố S – ma trận ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn,
tương ứng với quá trình phân rã điện yếu biểu diễn tại (Hình 1.1) như sau:
q1s1; q2s 2 ; q3s 3 S (1) p, s = -
iG
òd x
2
4
q3s 3 l(+m)l (x ) p, s
q1s1; q2s 2 l(le ) (x ) 0 =
1/ 2
ém m m 2 ù
iG 1 (4)
= d (q1 + q2 + q3 - p ) êê 0e 0 m0 0n ú
ú ´
2
êëq1 q2q3 p ú
2 4p
û
´ e (q1, s1 )g l (1 + g 5 )ne (q2, s 2 )n m(q3, s 3 ) gl (1 + g 5 )m( p, s ).
(1.14)
mặt khác:
f S (1) i = i(2p )4 d(4) ( p f - pi ).N .T fi .
(1.15)
trong đó:
N =
1
1
.
Õ
1/ 2
(2p )3/ 2 f (2E f )1/ 2(2p ) 3/ 2
Õ (2E )
i
i
(1.16)
So sánh (1.14) và (1.15) suy ra được biểu thức cho biên độ của phép dời
chuyển bất biến T cho phân rã muon.
T fi ,0 = -
1
4G é
ù 2 m e (q , s )g l (1 + g )n (q , s )n (q , s )g (1 + g )m( p, s ). (1.17)
m
m
5
e 2 2
m 3 3
m
5
ê e mû
ú n 1 1
2ë
Tính bình phương biên độ của phép dời chuyển T (1.17), lấy tổng spin trạng
thái cuối và lấy trung bình các spin trạng thái đầu:
å
Spins
2
(
T fi ,0 = 8m em mm n2G 2
2
) å (e (q , s )g (1 + g )n (q , s )) ´
l
1
1
5
e
2
2
.
s ,s1 ,s 2 ,s 3
2
´ (n m(q3, s 3 )gl (1 + g 5 )m( p, s ))
Để tính (1.18) trước tiên ta tính các biểu thức sau đây:
8
(1.18)
*
+
) (
(
(
)
)
= n (q , s ) (g (1 + g )) g e (q , s )
= n (q , s )g (g (1 + g )) g e(q , s )
e (q1, s1 )g l (1 + g 5 )ne (q2, s 2 ) = e + (q1, s1 ) g 0 g l (1 + g 5 ) ne (q2, s 2 )
+
e
+
l
2
2
0
e
2
0+ + +
5
1
+
l
2
0
5
(
1
+
)
= ne (q2, s 2 )g 0 g l (1 + g 5 )
1
1
g 0e(q1, s1 ) ,
(1.19)
4
å
và
er war (q1 )wtr (q1 ) = da t ,
(1.20)
r=1
3
2
å å (e (q , s )g (1 + g )n (q , s ))
l
1
1
5
e
2
=
2
s1 ,s2 l = 0
3
=
*
å å (e (q , s )g (1 + g )n (q , s ))(e (q , s )g (1 + g )n (q , s ))
l
1
r
1
5
e
2
2
1
1
5
e
2
2
s1 ,s2 l , r = 0
3
=
4
å å
(e (q , s ) (g (1 + g ))
neb (q2, s 2 ) ned (q2, s 2 ) g r (1 + g 5 )
æ
ea (q1, s1 ) g (1 + g 5 ) ỗỗỗồ
ab ç
è s2
æl
ea (q1, s1 ) g (1 + g 5 ) ỗỗỗ
ab ỗ
ố
ử
ữ
ữ
(neb (q2, s2 )ned(q2, s2 ))ữữữ g r (1 + g5 )
ø
å
l
a
s1 ,s2 l ,r = 0 a ,b ,d,e= 1
3
=
4
å å å
l ,r a ,b ,d,e s1
3
=
4
å å å
l ,r a ,b ,d,e s1
=
=
3
4
l ,r
a ,e
3
4
å å å
å å
l , r a , e, t
=
=
3
4
l ,r
a ,t
å å
s1
1
1
(
(
5
l
)
)
ab
)(
(
(
q/ 2 + m n ư
÷
÷
g r (1 + g 5 )
÷
÷
2m n øbd
(
)
de
)
de
)
e e (q1, s1)
de
e e (q1, s1)
e e (q1, s1 )
ỉ
ư
- q/ + m n r
÷
ea (q1, s1 ) ỗỗỗg l (1 + g 5 ) 2
g (1 + g 5 )ữ
ee (q1, s1 )
ữ
ữ
ỗố
2m n
ứa e
ổ
ử ổq/ + m ử
r
r
ỗỗg l (1 + g ) - q/ 2 + m n g r (1 + g )ữ
eữ
ữ ỗỗ 1
ữ
e
w
(
q
)
ữ wt (q1 )
ồr = 1 r a 1 ỗỗ
5
5 ữ ỗ
ữ ốỗ 2m e ứ
ữ
2m n
ố
ứ
ae
et
4
ổ
- q/ + m n r
q/ + m e ử
ữ
ữ
da t ỗỗỗg l (1 + g 5 ) 2
g (1 + g 5 ) 1
ữ
ữ
ỗố
2m n
2m e ứ
at
- 1
ộ4m m ự T r êg l (1 + g )(- q/ + m )g r (1 + g )(q/ + m )ú
êë e n ú
5
2
n
5
1
e ú
êë
û
û
9
)
- 1
r
êl
ú.
= - 2 éêë4m em n ù
ú T r êëg (1 + g 5 )q/ 2 g (q/ 1 + m e )ú
û
û
(1.21)
( ta đã thay (1 + g5 )2 = 2(1 + g5 ) và mv = 0 )
2
T fi = 2G 2T r éêg l (1 + g 5 )q/ 2 g r (q/ 1 + m e )ù
T r éêgl (1 + g 4 )q/ 3 g r ( p/ + m m)ù
.
ú
ú
ë
û
ë
û
Spins
å
(1.22)
Tính vết trong biểu thức (1.22), ta cần áp dụng công thức sau:
Vết của tích một số lẻ các ma trận Dirac thì bằng 0
é
ù= 32 é(a.c )(b.d ) + (a.d )(b.c )ù,
T r éêa/ g l b/ g r ù
ú
ú
úT r ëêc/ gl d/ g r û
ëê
û
ë
û
l
r
é
ù
é
ù
é
T r êa/ g b/ g g 5 úT r êc/ gl d/ g r g 5 ú= 32 êë(a.c )(b.d ) - (a.d )(b.c )ù
ú
û,
û
ë
û ë
Tr
éa/ g l b/ g r ùT r
ú
ëê
û
(1.23)
éc/ g d/ g g ù= 0 .
ú
ëê l r 5 û
với quy ước e0123 = + 1 , chúng ta có
(
)
(
)
T r gl gn g r g s = 4 gmn gr s - gmr gns + gms gnr ,
(
)
T r g mgn g r g s g 5 = 4i emnr s .
(1.24)
và đồng thời sử dụng hệ thức
el a r b el s r t = 2dsb dta - 2das dtb
(1.25)
Ta thu được kết quả
2
1
( m)
T
= 64G 2 ( pq2 )(q1q3 ) .
å
fi
2 Spins
(1.26)
Ta sẽ sử dụng biểu thức biên độ dời chuyển (1.26) để tính tốc độ phân rã cho
quá trình (1.1) trong mục 1.2.
1.2. Tốc độ phân rã của q trình m ® e + n%e + nm
Cơng thức tổng qt để tính tốc độ phân rã có dạng [5]:
10
1
1
1
W=
=
t m 2E a (2p )3n - 4
2
d 3 p1 d 3 pn (4)
.
...
d
p
p
T
(
)
ị 2E 2E
f
i å
fi
Spins
1
n
(1.27)
trong đó E a là năng lượng của hạt ban đầu phân rã, E 1, E 2 ....E n và p1, p2,...pn
là năng lượng và xung lượng của các hạt sản phẩm của quá trình phân rã;
(
)
p f ; pi là tổng xung lượng cuối và xung lượng đầu. Lưu ý d 3 pi / E i là đại lượng bất
biến Lorentz. Còn T fi chính là biên độ bất biến mà nó cần tính theo giản đồ
Feynman tương ứng (Hình 1.1).
Áp dụng cho q trình phân rã m ® e + n%e + nm được diễn tả trên
(Hình 1.1) thay (1.26) vào (1.27) ta có:
1
G2
W0 =
= 5 0
tm
p p
d 3q1 d 3q2 d 3q3
ò 2q
0
1
0
2
2q
2q
0
3
d(4) (q1 + q2 + q3 - p)( pq2 )(q1q3 ).
(1.28)
Ta lấy tích phân theo các xung lượng q2 , và q3 .
Áp dụng cơng thức tính tích phân sau đây cho (1.28):
d 3 p1 d 3 p2 d 3 p3 (4)
J3 º ò
d (P - p1 - p2 - p3 ) f ( p1p2 ) =
2E 1 2E 2 2E 3
=
ò d p d p Q(Q
4
4
2
3
0
- p20 )Q( p20 )Q( p30 )d éê(Q - p2 )2 - m 12 ù
´
ú
ë
û
´ d( p22 - m 22 )d( p32 - m 32 ) f (Qp2 - m 22 )
.
(1.29)
trong đó ta đưa vào vector bốn chiều Q được định nghĩa như sau:
Q m = P m - p3m
đặt p - q1 = P chúng ta thu được:
2ù
d 3q1
1
G2
é
0
0
W0 =
=
Q
p
q
Q
p
q
.
ê
(
)
1
1 ú
ú
t m 24p 4 p 0 ò 2q10
ëê
û
.
2
. 2 éêp (p - q1 )ùé
q p - q1 )ù
+ p - q1 ) (pq1 )
úê
ú
ë
ûë 1 (
û (
(
)
{
(1.30)
}
Chúng ta tiến hành tính toán trong hệ nghỉ của muon, hơn nữa chúng ta sẽ bỏ qua
khối lượng nhỏ của electron để có:
11
p0 = m m ,
q1 = q0 = E ,
d 3q1 = d WE 2dE ,
Hàm Q giới hạn vùng lấy tích phân để
íï m - E > 0
ïï m
2
ì
ïï (m - E ) - E 2 = m (m - 2E ) > 0
m
m
ïỵ m
Điều đó có nghĩa là năng lượng cực đại của electron là
mm
2
bằng một nửa
năng lượng tổng cộng ban đầu. Sau khi lấy tích phân theo góc đặc, tốc độ phân rã
trở thành
G 2m m
1
W0 =
=
tm
12p 3
mm
2
ị
E 2dE (3m m - 4E ).
(1.31)
0
Sau khi lấy tích phân theo dE trong (1.31) ta thu được công thức tốc độ phân
rã như sau:
W0 =
G 2m m5
192p 3
.
(1.32)
Như vậy chúng ta đã tìm được cơng thức để cho tốc độ phân rã của q trình
phân rã m ® e + n%e + nm , gây nên bởi tương tác yếu (1.32) là một giá trị hữu hạn.
12
Chƣơng 2
ĐĨNG GĨP CỦA BỔ CHÍNH TƢƠNG TÁC ĐIỆN TỪ CHO PHÂN RÃ
MUON
2.1. Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho q
trình m ® e + n%e + n m + g
Trong chương 1, ta đã tính phần đóng góp vào q trình phân rã
m ® e + n%e + nm , từ tương tác yếu, trong gần đúng bậc nhất (bậc một) theo G –
hằng số tương tác yếu, và đã thu được biểu thức hữu hạn cho tốc độ phân rã. Các
hạt tham gia quá trình m ® e + n%e + nm có m và e mang điện. Chính vì vậy ta phải
kể thêm phần đóng góp của tương tác điện từ, có nghĩa các hạt tích điện trong q
trình phân rã, đồng thời lại tham gia tương tác với trường bức xạ điện từ.
em
= J mAm , trong đó dịng điện tích
Hamintonian tương tác điện từ H int
J m(x ) = ie y m(x )g my e (x ) = ie m(x )g me(x ) . Việc kể thêm đóng góp của bức xạ hãm
(bức xạ và hấp thụ photon) sẽ làm các biểu thức biên độ bất biến T của phép dời
chuyển và biểu thức cho tốc độ phân rã xuất hiện phân kỳ hồng ngoại [13,17], ở
vùng năng xung lượng thấp. Các photon thực cũng như hạt ảo có năng xung lượng
rất nhỏ so với năng xung lượng của hạt tham gia quá trình phân rã, thì người ta coi
chúng là photon ” mềm”.
Phân kỳ hồng ngoại liên quan trực tiếp đến các trường mà lượng tử của nó có
khối lượng nghỉ bằng khơng. Ví dụ, như photon trong QED, graviton trong hấp dẫn
lượng tử... Các đặc trưng cho kỳ dị hồng ngoại xuất hiện khơng chỉ cho hàm Green,
mà cịn ở các yếu tố ma trận, nếu chúng được xác định bằng các phương trình của lý
thuyết trường lượng tử. Khó khăn này chúng ta đã gặp phải ngay cả khi nghiên cứu
các bài toán bức xạ hấp thụ các photon với năng lượng nhỏ trong điện động lực học
cổ điển [9]. Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh rằng: Sự bức xạ hay hấp thụ một
photon có xác suất lớn hơn sự bức xạ hay hấp thụ hai, hay một số lượng lớn các
photon [4]. Chính vì vậy trong luận văn này ta mới chỉ tính đóng góp bổ chính của
13
tương tác điện từ vào quá trình phân rã hạt muon trong gần đúng một photon thực
mềm.
Việc tách phân kỳ hồng ngoại trong biểu thức của biên độ của phép dời
chuyển ở đây được tiến hành đồng thời bằng hai cách: phương pháp l min [11, 17] và
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên.
Trong chương này ta tính đến biên độ của phép dời chuyển tương ứng với quá
trình phân rã điện yếu, xảy ra đồng thời do hai tương tác: tương tác yếu và tương tác
điện từ. Đây là bài toán rất phức tạp, trong giới hạn bản luận văn này ta chỉ giới hạn
tương tác điện yếu trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số
tương tác yếu (G) và gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác điện từ (e), đồng
thời ta chỉ xem xét các photon thực “mềm”. Giản đồ Feynman tương ứng với phân
rã điện yếu muon trong gần đúng bậc nhất như đã trình bày, có thể biểu diễn trong
(Hình 2.1). Cụ thể, q trình phân rã có thể viết như sau:
m ® e + n%e + nm + g .
e
(2.1)
k
p1
e
p2
G
k
q1
e
q2
p2
p1
q1
G
e
q2
Hình 2.1
Các photon thực được hấp thụ hay bức xạ đều liên quan tới dòng muon –
electron. Biên độ dời chuyển tương ứng với hai giản đồ (Hình 2.1) của q trình
(2.1), có dạng sau:
14
T fi ,g
ớổ
p1 - k + m m
G ùùù ỗỗ
l
=
(e/e)m)(e gl (1 + g 5 )ne ) +
ỡ ỗ(n mg (1 + g 5 )
( p1 - k )2 - m m2
2 ùùùợ ỗốỗ
ử
ữ
+ (n mg (1 + g 5 )m)(e (e/e )
gl (1 + g 5 )ne ) ÷
+
÷
2
2
÷
÷
( p2 + k ) - m e
ø
l
*
p2 + k + m e
ổ
p - k + mm
ỗ
+ ỗỗ( mg l (1 + g 5 ) 1
(E /e)n m)(ne gl (1 + g 5 )e) +
ỗỗố
( p1 - k )2 - m m2
ư
÷
+ ( mg (1 + g 5 )v m)(ve (e/e )
gl (1 + g 5 )e) ÷
÷
2
2
÷
÷
( p2 + k ) - m e
ứ
l
*
p2 + k + m e
ùùỹ
ý.
ùù
ỵ
(2.2)
trong ú /e và /e* là các vector phân cực của photon
Viết gọn lại dưới dạng:
íỉ
p1 - k + m m
G ïïï çç
l
T fi ,g =
(e/e)m)(e g l (1 + g 5 )ne ) +
ỡ ỗ(n mg (1 + g 5 )
( p1 - k )2 - m m2
2 ùùùợ ỗỗố
.
ỹ
ử
ù
p
+
k
+
m
ữ
e
+ (n mg l (1 + g 5 )m)(e (e/e * ) 2
( gl (1 + g 5 )ne )÷
+ h.c ïý
÷
2
2
÷
ïï
÷
( p1 + k ) - m e
ứ
ỵ
(2.3)
h.c thay cho phn liên hợp ecmit của số hạng đứng trước.
T fi ,g =
G
2
(n m(q2, s 2¢)g l (1 + g 5 )m( p1, s1 ))(e ( p2, s 2 ) gl (1 + g 5 )ne (q1, s1 )) ´
æ pˆ - k + m
ử.
2 + k + m e ữ
ỗỗ 1
m
* p
ữ
eỗ
/e + /e
ữ
2
2ữ
ỗỗố( p - k )2 - m 2
(
p
+
k
)
m
ø
1
m
2
e ÷
(2.4)
sử dụng:
/e*( p2 + m e ) = /e*(m e - p2 ) + 2p2./e*
ở mặt khối lượng p12 = m m2 , p22 = m e2 , ta bỏ qua các giá trị kˆ trong tử số của
(2.4), và xét trong trường hợp photon “ mềm” k ® 0 , ( p1 - k )2 - m m2 = 2p1k
và ( p2 + k )2 - m 22 = 2p2k ta thu được:
15
(2.5)
ỉp ./e * p ./e ư
÷
= T fi ,0 ´ e ỗỗỗ 2 - 1 ữ
= (T fi ,0 )J rem ,
ữ
ữ
r
p1.k ữ
ốỗ p2 .k
ứ
T fi ,g
(2.6)
Tfi,0 c xỏc nh nh cụng thc (1.17)
J
em
r
ổp
p1r ử
ữ
ỗỗ 2 r
ữ
= eỗ
ữ
ữ
ỗố p2 .k p1.k ø
÷
(2.7)
Chúng ta nhận thấy rằng biên độ T fi , g chứa hai thừa số: thừa số thứ nhất là
biên độ của phép dời chuyển khơng có bức xạ photon, còn thừa số thứ hai là dòng
của phép dời chuyển J rem . Biểu thức để cho J rem là dạng biểu thức duy nhất thỏa
mãn phương trình liên tục kJ = 0 có cực điểm tại k = 0 , và nó là nguyên nhân của
phân kỳ hồng ngoại.
Bình phương biểu thức (2.6), lấy tổng theo các trạng thái Spin cuối, trung bình
theo trạng thái Spin đầu, và tổng các trạng thái phân cực của photon, ta có:
2
å
2
T fi ,g =
Spin , phancuc
å
T fi ,0
2
Spin
æp ./e* p ./e ử
ữ
2
e ồ ỗỗỗ 2 - 1 ữ
ữ
ữ
ỗ p2 .k
ữ
p1.k ø
phancuc è
(2.8)
Áp dụng công thức tốc độ phân rã (1.27) cho quá trình (2.1), ta thu được:
W =
G2
2p10 (2p )5
d 3q1 d 3q2 d 3 p2
ò 2q
0
1
2q20
2
d 3k
(4)
d
(
q
+
q
+
p
p
+
k
)
T
,
å
1
2
2
1
fi , g
2p20 2k 0 (2p )3
Spin ,a
(2.9)
trong đó a = ± 1 là chỉ số phân cực của photon.
Sử dụng (2.8), suy ra
W = W 0e
2
ị
d 3k
2k 0 (2p )3
2
íï p ./e* p ./e ỹ
ù 2 - 1 ùù .
ý
ồ ỡù
p1.k ùùỵ
phancuc ïỵ p2 .k
(2.10)
Việc lấy tổng tất cả các trạng thái phân cực của photon, ta thực hiện như sau:
æp ./e a * p .e a ửổ
p2 ./eka * p1.eka ử
ữ
ỗỗ 2 k - 1 k ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗỗ
= J x J x + J yJ y ,
ữ
ữ
ồ
ỗỗ p .k
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
p
.
k
p
.
k
p
.
k
a= 1ố
ứố 2
ứ
2
1
1
16
(2.11)
p2m
p1m
.
J =
p2 .k p1.k
m
(2.12)
Tuy nhiên, từ điều kiện bảo toàn dòng k mJ m = 0 , và như vậy J 0 = J z , ta có
thể viết:
J xJ x + J yJ y = J xJ x + J yJ y + J zJ z - J 0J 0 = - J mJ m .
(2.13)
từ (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) suy ra:
W = - W 0e 2 ´
ị
R
m ư
ỉpm
p1m ử
d 3k ổ
ữ
ỗỗ p2m
ỗỗ 2 - p1 ữ
ữ
ữ
= W 0e 2I ,
ữ
ữ
ỗ
3 ỗ
ữ
ữ
ữ
ữỗố p2 .k p1.k ứ
2k 0 (2p ) çè p2 .k p1.k ø
(2.14)
trong đó R là vùng lấy tích phân. Phần phân kỳ sẽ được ký hiệu:
I = -
ũ
R
m ử
ửổ p m
p1m ữ
d 3k ổ
ỗỗ p2 m
ỗỗ 2 - p1 ữ
ữ
ữ
.
ữỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
p
.
k
p
.
k
ữ
2k 0 (2p )3 ỗố p2 .k p1.k ÷
øè 2
1 ø
(2.15)
Sau đây chúng ta sẽ áp dụng hai phương pháp để khử phân kỳ này đó là
phương pháp l min [11, 17], và phương pháp điều chỉnh thứ ngun.
2.2. Phƣơng pháp l
min
cho q trình m ® e + n%e + n m + g .
Trong lý thuyết trường (trong QED) ta hay gặp phải các phân kỳ hồng ngoại
(khi đó các tích phân sẽ khơng hội tụ ở các vùng năng lượng thấp). Muốn cho các
tích phân hội tụ ta phải quy cho photon một khối lượng bổ trợ l min nào đó, trong
biểu thức dưới dấu tích phân ta sẽ thay tạm thời hàm truyền của photon 1
k2
bằng
2
2
)- 1 , trong đó l min
< < m 2 , và m là khối lượng của các hạt
hàm truyền (k 2 + l min
lepton (electron, hay muon). Điều này tương đương với việc cắt tích phân ở giới
hạn dưới nào đấy khi k » l min và trong kết quả cuối cùng ta cho l min ® 0 .
Để tiện cho tiện thảo luận kết quả trong mục 2.3 ta viết lại công thức trong
(2.15) và ký hiệu là (2.16). Tích phân chứa phân kỳ hồng ngoại có dạng:
17
I = -
ũ
R
m ử
ửổ p m
p1m ữ
d 3k ổ
ỗỗ p2 m
ỗỗ 2 - p1 ữ
ữ
ữ
,
ữỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
p
.
k
p
.
k
ữ
2k 0 (2p )3 ỗố p2 .k p1.k ÷
øè 2
1 ø
(2.16)
trong đó: R được xác định bởi điều kiện 0 £ k £ e , E =
gọn ta viết l thay thế cho l min và k 0 =
k2 + l
2
p 2 + m 2 , để cho
rr
, pk = pk - Ek 0 , e là giới hạn
2
để cho tích phân (2.16) là phân kỳ hồng ngoại. Nếu p1,2
+ m 2 = 0 , và
r
d 3k = k 2 k d W. Chúng ta có:
I = -
1
16p 3
e
ị
0
r
k 2d k d Wíïï
m2
m2
ïì
+
r r 2
r r 2 +
2
2 ï
2
2
2
2
k + l ïï (E 2 k + l - p2k )
(E 1 k + l - p1k )
ỵ
+
(E 2
r r
2p1p2
r r
r r
k 2 + l 2 - p2k )(E 1 k 2 + l 2 - p1k )
ỹ
ùù
ý.
ùù
ỵ
(2.17)
õy dW l yu t gúc c cha xung lượng photon k . Bây giờ chúng ta sử dụng
đồng nhất thức:
1
r r
(E 2 k 2 + l 2 - p2k )(E 1
1
1
dz
= ò
r
r
r r , (2.18)
k 2 + l 2 - p1k ) 2 - 1 (E z k 2 + l 2 - pz k )2
với
r
r
r
1
1
1
1
pz = (1 + z )p1 + (1 - z )p2 , E z = (1 + z )E 1 + (1 - z )E 2 ,
2
2
2
2
r
2
e k d k d Wïí
1
m2
m2
ïï
I = ì
r +
r +
16p 3 ò0 k 2 + l 2 ïï (E k 2 + l 2 - pr k )2 (E k 2 + l 2 - pr k )2
2
1
1
ïỵ 2
1
r r
+ p1p2 ị
- 1
dz
r r
( E z k 2 + l 2 - p z k )2
18
ỹ
ùù
ý.
ùù
ỵ
(2.19)
(2.20)
vì
dW
4p
=
.
r
ị (E k 2 + l 2 - pk
r 2
k 2 (E 2 - p 2 ) + l 2E 2
)
(2.21)
thật vậy, ta đi tính (2.21):
2p
dW
ị (E
rr 2 =
2
2
k + l - pk )
p
ò d j ò (E
0
0
sin qd q
.
r r
2
2
2
k + l - p k cos q)
(2.22)
trong đó ta đã thay d W= sin qd qdj . Để tính tích phân (2.22), ta đặt:
r r
t = E k 2 + l 2 - p k cosq,
Þ
r
dt = p k sin qd q,
íï
2
2
ïï t (0) = E k + l ì
ïï t ( p ) = E k 2 + l 2 +
ïỵ
r
p
r
p
r
k
r
k
,
(2.23)
thay (2.23) vào (2.22), lấy tích phân theo góc j , kết quả thu được:
ị (E
dW
rr 2 =
k + l - pk )
2
2
r r
E k2+ l 2 + p k
ò
= 2p .
r r
E k +l 2- p k
2
2p
= r r
p k
=
r r
2
2
E
k
+
l
+
p
k
ổ
ử
dt
2p ỗ 1ữ
ữ
=
r
r
ỗ
r
r
ữ
r r
ứE k2 + l 2 - p k
p k t2
p k ỗố t ữ
ổ
ử
ữ
ỗỗ
ữ
1
1
ỗỗ
ữ
r rữ
r
r
ữ
2
2
2
2
ỗE k + l - p k
ữ
E k +l + p k ứ
ữ
ỗố
4p
.
r
k (E - p 2 ) + l 2E 2
2
(2.24)
2
áp dụng (2.21) cho (2.20):
r
2
e
íï
k
d
k
4p
m2
m2
ï
I = +
+
ì
r
r
16p 3 ị0 k 2 + l 2 ïïỵ k 2 (E 12 - p12 ) + l 2E 12 k 2 (E 22 - p22 ) + l 2E 22
1
r r
dz
+ p1p2 ò 2 2 r 2
k (E z - pz ) + l 2E z2
- 1
Ta có thể dễ dàng chỉ ra rng:
19
ỹ
ùù
ý
ùù
ỵ
.
(2.25)
r
k 2d k
e
ò ék (E
0
ëê
2
2
2
- p 2 ) + l 2E 2 ù
ú k +l
û
2
=
r
E+ p
1
2e
E
1
= 2
ln
ln
r
r ,
l
E - p2
2 p E 2 - p2
E- p
(2.26)
thực vậy:
r
k 2d k
e
ò ék (E
0
ëê
2
2
2
- p 2 ) + l 2E 2 ù
ú k +l
û
2
=
1
E - p2
2
r
íï e
ék 2 (E 2 - p 2 ) + l 2E 2 ùd k
ï
1
ú
ï
ëê
û
= 2
2 ìï ị
2
2
2
2
2
E - p ï 0 ék (E - p ) + l E ù k 2 + l
ú
ïỵ ëê
û
r
íï e
d
k
ï
1
ï
= 2
2 ìï ị
E - p ï 0 k2 + l
ïỵ
=
e
2
- l 2E 2 ò
0
ò ék (E
ëê
0
2
e
2
- l E
2
r
k 2 (E 2 - p 2 )d k
e
2
ò
0
2
{
2
=
r
dk
ïü
ïï
ý
ék 2 (E 2 - p 2 ) + l 2E 2 ù k 2 + l 2 ùù
ỳ
ùỵ
ởờ
ỷ
r
dk
ỹ
ùù
ù
ý
ộk 2 (E 2 - p 2 ) + l 2E 2 ù k 2 + l 2 ùù
ỳ
ùỵ
ởờ
ỷ
1
I 1 - l 2E 2I 2 ,
2
E - p
2
2
- p 2 ) + l 2E 2 ù
ú k +l
û
}
(2.27)
trong ú
e
I1 =
ũ
0
r
dk
2
k +l
e
2
=
ũ
0
ổkr
ỗ
d ỗỗỗ
ỗỗ l
ố
ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ứ
=
r 2
ổk ử
ữ
1 + ỗỗỗ ữ
ữ
ỗốl ÷
ø
e
l
du
ò
1+ u
0
2
,
(2.28)
đặt
x = ln u +
1 + u 2 , Þ dx =
du
1+ u
íï x (0) = 0
ïï
ï
với ïì
e
ïï x ( e ) = ln +
l
ùù
l
ùợ
2
ổe ử .
ữ
1 + ỗỗ ữ
ỗốl ữ
ữ
ứ
20
2
,
(2.29)
(2.28) có thể viết lại:
r
dk
e
I1 =
ị
x( e )
l
k2 + l
0
2
=
ị
dx = x
ổe ữ
ử2
e
ln + 1+ ỗỗỗ ữ
ữ
l
ốỗl ữ
ứ
.
x (0)
0
e
= ln +
l
2
ổe ử
2e
ữ
1 + ỗỗ ữ
= ln , (l đ 0) .
ữ
ỗốl ữ
l
ứ
(2.30)
Tớnh
r
dk
e
I2 =
ũ ộk (E
0
t t =
ởờ
r
k
2
r
k2 + l
dt =
2
2
- p 2 ) + l 2E 2 ù
ú k +l
û
2
,
(2.31)
r
t 2l 2
Þ k2 =
1- t2
2
(2.32)
r
l2
d
k
Þ
(k 2 + l 2 )3/ 2
3/ 2
ổ t 2l 2
ử
2ữ
ỗỗ
ữ
+
l
ữ
ỗỗố1 - t 2
r
ữ
(k 2 + l 2 )3/ 2
l
ø
dk =
dt
=
dt =
2
2
l
l
1- t2
(
íï
ïï
với ïì
ïï
ïï
ỵ
r
k = 0
r
k = e
thí t =
ị ék (E
0
êë
2
1
=
ị ỉt l
2
e
)
e2 + l
r
dk
2
(2.33)
= 1, (l ® 0)
r
- p 2 ) + l 2E 2 ự
k2 + l
ỳ
ỷ
2
=
1
l
ử t 2l 2
r2
2
2 2ữ
ỗỗ
ữ
+l
2
ỗỗố1 - t 2 (E - p ) + l E ÷
÷
ø 1- t
2
0
dt
thí t = 0
e
I2 =
3/ 2
2
21
2
3/ 2
(1 - t )
2
dt =
1
= 2
l
1
ò
0
r
E+t p
dt
1 1
r = 2
r ln
r
E 2 - t 2p 2
l 2E p
E- t p
1
r
E+ p
1
=
r ln
r .
2l 2E p
E- p
(2.34)
0
Thay (2.30) và (2.34) vào (2.27) thu được (2.26).
Sử dụng (2.26) và (2.25), suy ra:
r
1
é
é
dz ù
ê2 + ( pr pr - E E )
úln 2e + 1 êE 1 ln E 1 + p1 r ú
r
êr
ê
1 2
1 2 ò
l
2 êp1
E z2 - pz2 ú
E
p
êë
- 1
1
1
û
ë
r
1
ïï
E z + pz ü
Ez
r r
dz
.
+ ( p1p2 - E 1E 2 ) ò 2 r 2 r ln
r ý
ù
E
p
p
E
p
ùỵ
- 1
z
z
z
z
z
r
r
Trong h ngh ca muon p1 = 0 , ta đặt E 2 = mch 2y , p2 =
í
1 ïïï
I =
ì4p 2 ïï
ïỵ
r
E 2 E 2 + p2 ù
ú
r ln
r ú
p2
E 2 - p2 ú
û
(2.35)
msh 2y, và chú ý
r 2
r r
rằng E z2 - pz = ch 2y - z 2sh 2y ; p1p2 - E 1E 2 = - m 2ch 2y .
Thật vậy, thay E2, p2 vào Ez và pz ta nhận được:
1é
ù= m é1 + ch 2y + z (1 - ch 2y )ù
(1
+
z
)
m
+
(1
z
)
mch
2
y
ê
ú
ú
û 2 êë
û
2ë
2
2 ù
é
= m êch y - zsh y ú
ë
û
Ez =
r
r
r
1
1
pz = éêë(1 + z )p1 + (1 - z )p2 ù
=
ú
û 2 m (1 - z )sh 2y = m (1 - z )shychy ,
2
2
2
2
2 2
2
E z2 = m 2 éêch 2y - zsh 2y ù
ú = m ch y - m z sh y ,
ë
û
r
pz2 = m 2 (1 - z )2 sh 2ych 2y ,
r
E z2 - pz2 = m 2 éêch 2y - z 2sh 2y ù
,
ú
ë
û
r r
p1p2 = p1p2 - E 1E 2 = - m 2ch 2y,
suy ra
1
dz
ò E 2 - pr 2 =
- 1
z
z
+1
dz
1
ò ch 2y - z 2sh 2y = 2chy
- 1
22
1
(chy - zshy ) + (chy + zshy )
dz
2
2
2
ch
y
z
sh
y
- 1
ò
