(Luận văn thạc sĩ) toán tử không giãn trung bình và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Kiều Thị Thùy Linh

TỐN TỬ KHƠNG GIÃN TRUNG BÌNH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chun ngành: Tốn Giải tích

Hà Nội - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Kiều Thị Thùy Linh

TỐN TỬ KHƠNG GIÃN TRUNG BÌNH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60460102

Cán bộ hướng dẫn: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2017

LỜI CẢM ƠN

Với lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới
GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, giảng viên khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Thày đã trực tiếp giao đề tài cho tôi và bỏ công
sức để hướng dẫn tơi rất tận tình. Thày đã cho tơi những kiến thức và kinh nghiệm quý
báu, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình thực hiện và hồn thành luận văn
cũng như hồn thành chương trình học Thạc sĩ.
Tơi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội. Những người Thày luôn tràn đầy
nhiệt huyết với nghề để truyền thụ cho những sinh viên, học viên chúng tôi những
kiến thức trong suốt quá trình học tập tại khoa và trường.
Và tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới gia đình và bạn bè đã ln là chỗ dựa
tinh thần vững chắc và là nguồn động viên đối với tơi trong cuộc sống và trong q
trình học tập.

Hà nội, ngày 25 tháng 4 năm 2017
Học viên

Kiều Thị Thùy Linh


Danh mục các kí hiệu
L( X, Y )
B( X )
En
FixT
K∗

.−1
→
N
R
R+
R++
Rn
inf f
sup f
Ui
i∈ I

f
u, v
.
argmin f
∂f
NC ( x )
bdC

tập hợp các tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y,
tập hợp các tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X,
ma trận đơn vị kích thước n × n,
tập hợp các điểm bất động của toán tử T,
toán tử liên hợp của tốn tử tuyến tính K,
nghịch đảo của một số hoặc một ma trận,
sự hội tụ yếu,
sụ hội tụ mạnh,
tập hợp số tự nhiên,
tập hợp các số thực,

tập hợp các số thực không âm,
tập hợp các số thực dương,
không gian thực n - chiều,
infimum của hàm f ,
supermum của hàm f ,
giao của các tập hợp Ui , i ∈ I,
gradient của hàm f,
tích vơ hướng của u và v,
chuẩn trong không gian Hilbert của véctơ hoặc ma trận,
điểm cực tiểu của hàm f ,
dưới vi phân của hàm f ,
nón chuẩn của tập con lồi C tại x,
biên của tập C,
kết thúc chứng minh.

2


Mục lục
Lời mở đầu

4

1

Tốn tử khơng giãn

7

1.1

Tốn tử khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Tốn tử khơng giãn vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2

3

Tốn tử khơng giãn trung bình

19

2.1

Tốn tử khơng giãn trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Toán tử chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3

Phương pháp lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4

Phương pháp xấp xỉ gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Ứng dụng của tốn tử khơng giãn trung bình

43

3.1

Bài tốn tối ưu có ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2

Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.3

Kĩ thuật khôi phục đại số trong xử lý ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.4

Phương pháp ngoại suy tín hiệu với dải tần hữu hạn . . . . . . . . . . . .

46

3.5

Bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

52

3


LỜI MỞ ĐẦU
Năm 1920, Stefan Banach đã chứng minh rằng mọi ánh xạ co T trong không gian

mêtric đủ X có điểm bất động duy nhất, tức là tồn tại x ∗ ∈ X sao cho Tx ∗ = x ∗ . Hơn
nữa với mỗi x ∈ X, dãy quỹ đạo { T k x } hội tụ đến x ∗ . Trên thực tế, nhiều vấn đề lại
được đưa về bài tốn tìm điểm bất động của tốn tử không giãn, hay điểm bất động
chung của một họ các tốn tử khơng giãn. Một ví dụ đơn giản như bài tốn tìm nghiệm
của hệ phương trình tuyến tính Ax = b, với ma trận chữ nhật A. Mỗi nghiệm của hệ
có thể được coi là điểm bất động chung của các toán tử chiếu trực giao trên một siêu
phẳng tương ứng với từng phương trình của hệ.
Tuy nhiên trong trường hợp T là tốn tử khơng giãn thì ta phải bổ sung thêm một
số điều kiện cho không gian X. Điều này đã được Browder, Gohde và Kirk chứng
minh vào năm 1965. Và theo định lý Banach thì trong trường hợp này, dãy lặp { T k x }
nói chung cũng không hội tụ nên người ta quan tâm đến việc xây dựng các phương
pháp lặp tìm điểm bất động của tốn tử khơng giãn. Đầu tiên là phương pháp lặp tìm
nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính được Kaczmarz đề xuất năm 1937 với
phép chiếu xoay vòng và của Cimmino đưa ra năm 1938 với phép chiếu đồng thời lên
trên các siêu phẳng ứng với các phương trình của hệ. Cả hai phương pháp này đều
hữu ích trong việc giải các hệ phương trình cỡ lớn. Vì vậy chúng có vai trị ứng dụng
quan trọng trong kĩ thuật chụp X quang cắt lớp máy tính. Cả hai kết quả này đã trở
thành phép lặp tìm điểm bất động của tốn tử khơng giãn.
Một kết quả tiếp theo được đưa ra năm 1950 bởi John von Neumann về phương pháp
chiếu trên hai không gian con của không gian Hilbert. Phương pháp này cho sự hội tụ
tới giao của hai không gian con. Các kết quả của Kaczmarz, Cimmino, Neumann được
tổng quát hóa trong nhiều thập kỉ. Ngày nay, sự hội tụ ở mỗi phương pháp được thiết
lập mở rộng khơng chỉ cho tốn tử chiếu trực giao trên siêu phẳng mà cịn cho các tốn
tử khơng giãn, tốn tử tựa khơng giãn, tốn tử khơng giãn vững, tốn tử khơng giãn
trung bình,vv...
Trong luận văn này, tác giả trình bày một cách tổng quan về tốn tử khơng giãn, tốn
tử khơng giãn trung bình, tốn tử chiếu mêtric và một số ứng dụng của nó qua các bài

4

tốn trong thực tế. Các kiến thức được tìm hiểu đều được xét trong không gian Hibert
thực H.
Bố cục luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1 của luận văn trình bày về các khái niệm, tính chất của tốn tử khơng
giãn, tốn tử tựa khơng giãn, tốn tử khơng giãn vững, toán tử đơn điệu mạnh
ngược và mối quan hệ giữa các loại tốn tử. Một số tính chất về tập điểm bất
động của tốn tử khơng giãn và của họ các tốn tử khơng giãn cũng được đưa ra.
• Chương 2 của luận văn trình bày về tốn tử khơng giãn trung bình, tốn tử chiếu
mêtric và mối liên hệ giữa các toán tử này với các toán tử được trình bày trong
Chương 1. Ngồi ra tính ổn định về phép toán hợp thành, tổ hợp lồi của tốn
tử khơng giãn trung bình được thể hiện rõ. Cuối chương, tác giả giới thiệu hai
phương pháp kết hợp để phép lặp hội tụ mạnh là phương pháp lai ghép và
phương pháp xấp xỉ gắn kết. Kĩ thuật lai ghép kết hợp với phép lặp KrasnoselskiMann cho phép trên mỗi bước xây dựng hai nửa không gian tách tập điểm bất
động và xấp xỉ ban đầu sao cho hình chiếu của điểm ban đầu lên giao của hai
nửa không gian đó hội tụ mạnh về tập điểm bất động của toán tử. Phương pháp
xấp xỉ gắn kết là sự mở rộng của phương pháp lặp Halpern để tìm điểm bất động
của tốn tử khơng giãn. Phương pháp này sử dụng tổ hợp lồi của tốn tử khơng
giãn và ánh xạ co với cách chọn trọng số thích hợp thì có thể thu được một dãy
lặp hội tụ mạnh đến điểm bất động của tốn tử khơng giãn.
• Chương 3 của luận văn trình bày một số ứng dụng thực tế của các vấn đề đã
trình bày trong Chương 1 và Chương 2. Thứ nhất là bài tốn tối ưu có ràng buộc
được sử dụng nhiều trong việc nhận tín hiệu và xử lý ảnh; bài toán dùng một
hàm lồi, khả vi trên một tập con lồi đóng và khác rỗng trong khơng gian Hilbert
thực. Tiếp theo là bài tốn chấp nhận lồi, bài tốn chấp nhận tách có nhiều ứng
dụng trong khoa học và cơng nghệ mà điển hình là trong phương pháp xạ trị với
cường độ thay đổi IRMT (Intensively Modulated Radiation Therapy). Đây là một
phương pháp xạ trị rất tiên tiến. Ngồi ra tác giả cịn giới thiệu về bài toán ngoại
suy giải tần hữu hạn được xử dụng trong kĩ thuật xử lý tín hiệu, bài tốn có sử
5

dụng đến phép biến đổi Fourier. Cuối cùng là kĩ thuật khôi phục đại số trong xử
lý ảnh giúp khôi phục lại ảnh gốc từ các hình chiếu của nó theo nhiều phương
pháp khác nhau.
Các kiến thức được tìm hiểu, tham khảo và trình bày trong luận văn chủ yếu qua các
tài liệu số [1-4] và [10-11].
Do thời gian và kiến thức có hạn, bản luận văn khơng tránh khỏi những hạn chế và
sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ và bạn đọc.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2017
Học viên
Kiều Thị Thùy Linh

6


Chương 1
Tốn tử khơng giãn
Cho H là một khơng gian Hilbert thực với tích trong ., . và chuẩn . tương ứng. X
là một tập con khác rỗng của H.

1.1. Tốn tử khơng giãn
Định nghĩa 1.1. Tốn tử T : X → H được gọi là
(i) không giãn nếu
Tx − Ty ≤ x − y
với mọi x, y ∈ X.
(ii) không giãn chặt nếu
Tx − Ty < x − y

hoặc x − y = Tx − Ty

với mọi x, y ∈ X.
(iii) co với hệ số α ∈ (0, 1) nếu
Tx − Ty ≤ α x − y
với mọi x, y ∈ X.
Mệnh đề 1.1. Cho X là tập con lồi, đóng và khác rỗng của H. Khi đó tập các điểm bất động
của tốn tử khơng giãn T : X → H là tập đóng và lồi.

7


Chứng minh.

(i) Tính đóng

Lấy dãy { xk } ⊂ Fix T ⊂ X và xk → x. Do X là tập đóng nên x ∈ X.
Hơn nữa, vì T là tốn tử khơng giãn nên T liên tục trên X, ta có
x = lim xk = lim Txk = Tx,
tức Fix T là một tập đóng.
(ii) Tính lồi
Lấy x, y ∈ Fix T, x = y và z = (1 − λ) x + λy, λ ∈ (0, 1). Do tính khơng giãn của
T và tính thuần nhất dương của chuẩn, ta thu được hai đẳng thức sau
x − Tz = Tx − Tz ≤ x − z = λ x − y ,
Tz − y = Tz − Ty ≤ z − y = (1 − λ) x − y .
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có
x−y ≤

x − Tz + Tz − y

≤ λ x − y + (1 − λ ) x − y
=

x−y .

Do đó

( x − Tz) + ( Tz − y) = x − y = x − Tz + Tz − y .
Mặt khác, do tính lồi chặt của chuẩn, các véc tơ x − Tz, Tz − y phải đồng tuyến
và cùng phương, tức là tồn tại hằng số α > 0 sao cho Tz − y = α( x − Tz). Suy ra
Tz =

α
1
x+
y.
1+α
1+α

Hơn nữa, do tính khơng giãn của T, ta có
1
x − y = x − Tz = Tx − Tz ≤ x − z = λ x − y ,
1+α
α
x − y = Tz − y = Tz − Ty ≤ z − y = (1 − λ) x − y .
1+α
α
1
= λ và
= 1 − λ.

Từ hai bất đẳng thức trên suy ra
1+α
1+α
Vì vậy Tz = (1 − λ) x + λy = z hay z ∈ Fix T.

8


Tính đóng về phép tốn hợp và tổ hợp lồi của tốn tử khơng giãn được cho dưới đây.
Mệnh đề 1.2. Cho Ti : X → X, i ∈ I = {1, 2, . . . , m} là các tốn tử khơng giãn.
(i) Một tổ hợp lồi T := ∑ wi Ti , với wi ≥ 0 và ∑ wi = 1, là một tốn tử khơng giãn. Hơn
i∈ I

i∈ I

nữa, nếu có ít nhất một tốn tử Ti là toán tử co và trọng số tương ứng wi > 0 thì T cũng
là tốn tử co.
(ii) Phép hợp thành S := Tm Tm−1 . . . T1 là một tốn tử khơng giãn. Hơn nữa, nếu có ít nhất
một tốn tử Ti là tốn tử co thì S cũng là toán tử co.
Chứng minh. (i) Lấy x, y ∈ X. Do Ti là tốn tử khơng giãn nên với mọi i ∈ I ta có
Ti x − Ti y ≤ x − y . Theo tính lồi của chuẩn và tính khơng giãn của Ti thì
Tx − Ty =

∑ wi Ti x − ∑ wi Ti y

i∈ I

=

i∈ I

∑ wi (Ti x − Ti y)

i∈ I

≤ ∑ wi Ti x − Ti y ≤ ∑ wi x − y = x − y .
i∈ I

i∈ I

Suy ra T là tốn tử khơng giãn.
Giả sử với wi0 > 0 và Ti0 là toán tử co, tức là tồn tại αi0 ∈ (0, 1) sao cho
Ti0 x − Ti0 y ≤ αi0 x − y .
Ta có
Tx − Ty ≤

∑ wi + wi0 α i0

x − y = [(1 − wi0 ) + wi0 αi0 ] x − y .

i = i0

Đặt α = (1 − wi0 ) + wi0 αi0 . Khi đó α ∈ (0, 1). Từ đó suy ra T là toán tử co.
(ii) Với mọi x, y ∈ X ta có
Sx − Sy = Tm Tm−1 . . . T1 x − Tm Tm−1 . . . T1 y

= Tm ( Tm−1 . . . T1 x ) − Tm ( Tm−1 . . . T1 y)
≤ Tm−1 . . . T1 x − Tm−1 . . . T1 y .
Thực hiện đánh giá trên m − 1 bước ta thu được
Sx − Sy ≤ x − y .

9


Do đó, S là tốn tử khơng giãn.
Giả sử Ti1 là toán tử co, tức là tồn tại αi1 ∈ (0, 1) sao cho Ti1 x − Ti1 y ≤ αi1 x − y .
Dễ thấy
Tx − Ty ≤ αi1 ] x − y .
Do αi1 ∈ (0, 1) nên suy ra S là toán tử co.
Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu về lớp các tốn tử tựa khơng giãn. Lớp tốn tử này khơng có
tính chất liên tục, thậm chí nếu nó liên tục thì cũng chưa chắc là tốn tử khơng giãn.
Tuy nhiên nếu một tốn tử khơng giãn có điểm bất động thì nó sẽ nằm trong lớp các
tốn tử tựa khơng giãn. Trước hết ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập con khác rỗng của X. Toán tử T : X → H được gọi là
(i) đơn điệu Fejér tương ứng với C nếu
Tx − z ≤ x − z
với mọi x ∈ X, z ∈ C.
(ii) đơn điệu Fejér chặt tương ứng với C nếu
Tx − z < x − z
với mọi x ∈ X \ C, z ∈ C.
Bằng một phép biến đổi tương đương dưới đây
z − y ≤ z − x ⇐⇒

z−

y+x
,y− x
2

≥ 0,

(1.1)

với mọi x, y, z ∈ H thì một tốn tử T : X → H là toán tử đơn điệu Fejér tương ứng với
Tx + x
C nếu và chỉ nếu z −
, Tx − x ≥ 0. Trong trường hợp tập
2
z∈X:

Fej T :=

z−

x∈X

Tx + x
, Tx − x
2

≥0

khác rỗng thì Fej T là tập con lồi đóng và lớn nhất của X tương ứng để T là toán tử đơn
điệu Fejér.

10


Định nghĩa 1.3. Toán tử T : X → H có điểm bất động, được gọi là
(i) tựa khơng giãn nếu T là toán tử đơn điệu Fejér tương ứng với Fix T, tức là
Tx − z ≤ x − z

với mọi x ∈ X, z ∈ Fix T.
(ii) tựa khơng giãn chặt nếu T là tốn tử đơn điệu Fejér tương ứng với Fix T, tức là
Tx − z < x − z
với mọi x ∈ X \ Fix T, z ∈ Fix T.
(iii) C- tựa không giãn chặt, với C = ∅, C ⊆ Fix T, nếu T là tốn tử tựa khơng giãn và
Tx − z < x − z
với mọi x ∈
/ Fix T, z ∈ C.
Mệnh đề 1.3. Cho X là tập con khác rỗng của không gian Hilbert H. ( Ti )i∈ I là một họ hữu
hạn các tốn tử tựa khơng giãn từ X vào H sao cho
∑ wi = 1. Đặt T = ∑ wi Ti . Khi đó Fix T =

i∈ I

i∈ I

Chứng minh. Lấy x ∈
i∈ I

i∈ I

Fix Ti = ∅. Cho (wi )i∈ I , wi > 0 và

Fix Ti . Khi đó, với mọi i ∈ I thì x = Ti x. Do đó Tx =

∑ wi Ti x = ∑ wi x = x. Suy ra x ∈ Fix T hay

i∈ I

i∈ I

Fix Ti .

i∈ I

Tiếp theo ta cần chứng minh Fix T ⊂
i∈ I

với mọi i ∈ I ta có
2 Ti x − x x − y = Ti x − y

2

i∈ I

Fix Ti ⊂ Fix T.

Fix Ti . Thật vậy, với y ∈

− Ti x − x

2

− x−y

2

i∈ I

Fix Ti , x ∈ X và

≤ − Ti x − x 2 .

Với x ∈ Fix T thì
0 = 2 Tx − x x − y = 2 ∑ wi Ti x − x x − y ≤ − ∑ wi Ti x − x
i∈ I

Do vậy, ∑ wi Ti x − x
i∈ I

2

i∈ I

= 0 hay x ∈
i∈ I

Fix Ti .

11

2

≤ 0.


Mệnh đề 1.4. Cho X là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H. T1 , T2 là các
tốn tử tựa khơng giãn từ X vào X. Giả sử T1 hoặc T2 là tốn tử tựa khơng giãn chặt sao cho
Fix T1 ∩ Fix T2 = ∅. Khi đó
(i) Fix T1 T2 = Fix T1 ∩ Fix T2 .
(ii) T1 T2 là tốn tử tựa khơng giãn.

(iii) Nếu T1 và T2 là tốn tử tựa khơng giãn chặt thì T1 T2 cũng là tốn tử tựa khơng giãn
chặt.
Chứng minh.

(i) Lấy x ∈ Fix T1 ∩ Fix T2 , suy ra x ∈ Fix T1 và x ∈ Fix T2 hay x = T1 x

và x = T2 x. Do đó T1 T2 x = T1 x = x. Suy ra x ∈ Fix T1 T2 .
Ngược lại, ta lấy x ∈ Fix T1 T2 và y ∈ Fix T1 ∩ Fix T2 . Ta có các trường hợp:
+) T2 x ∈ Fix T1 thì T2 x = T1 T2 x = x. Suy ra x ∈ Fix T1 ∩ Fix T2 .
+) x ∈ Fix T2 thì T1 x = T1 T2 x = x. Suy ra x ∈ Fix T1 ∩ Fix T2 .
+) T2 x ∈
/ Fix T1 và x ∈
/ Fix T2 .
Khi đó, nếu T1 là tốn tử tựa khơng giãn chặt thì
x − y = T1 T2 x − y < T2 x − y ≤ x − y .
Suy ra vô lý. Tương tự cho trường hợp T2 là toán tử tựa không giãn chặt. Do
vậy T2 x ∈ Fix T1 hoặc x ∈ Fix T2 .
(ii) Với x ∈ X và y ∈ Fix T1 T2 = Fix T1 ∩ Fix T2 , ta có
T1 T2 x − y ≤ T2 x − y ≤ x − y .
Suy ra T1 T2 là tốn tử tựa khơng giãn.
(iii) Với x ∈ X \ Fix T1 T2 và y ∈ Fix T1 T2 , ta có
+) Nếu x ∈
/ Fix T2 thì T1 T2 x − y ≤ T2 x − y < x − y .
+) Nếu x ∈ Fix T2 \ Fix T1 thì T1 T2 x − y = T1 x − y < x − y .
Định lý được chứng minh.

12


Hệ quả 1.1. Cho X là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H, m là một số

nguyên dương và I = {1, . . . , m}. Giả sử ( Ti )i∈ I là một họ các tốn tử tựa khơng giãn chặt từ
X vào X sao cho
Fix T =

Fix
i∈ I

i∈ I
Ti .

Fix Ti = ∅ và T = T1 · · · Tm . Khi đó T là tốn tử tựa khơng giãn chặt và

Chứng minh. Ta chứng minh hệ quả bằng phương pháp quy nạp theo k ∈ {2, . . . , m} .
Theo Mệnh đề 1.4, hệ quả đúng với trường hợp k = 2. Giả sử quy nạp hệ quả đúng với
k = m, tức là T = T1 . . . Tm là tốn tử tựa khơng giãn chặt và Fix T =

i∈ I

Fix Ti .

Ta chứng minh hệ quả đúng với trường hợp k = m + 1. Thật vậy, giả sử Tm+1 là tốn
tử tựa khơng giãn chặt. Khi đó T và Tm+1 là hai tốn tử tựa khơng giãn chặt nên theo
Mệnh đề 1.4 thì TTm+1 cũng là tốn tử tựa khơng giãn chặt và Fix ( TTm+1 )= Fix T
Fix Tm+1 .
Vậy hệ quả được chứng minh.

1.2. Tốn tử khơng giãn vững
Định nghĩa 1.4. Tốn tử T : X → H được gọi là một toán tử không giãn vững nếu
Tx − Ty

2

+ ( Id − T ) x − ( Id − T )y

2

≤ x−y

2

với mọi x, y ∈ X.
Từ các định nghĩa ta có thể thấy lớp các tốn tử khơng giãn vững chứa trong lớp các
tốn tử khơng giãn. Mối quan hệ giữa hai lớp toán tử được sử dụng nhiều để nghiên
cứu về tốn tử khơng giãn vững.
Mệnh đề 1.5. Cho tốn tử T : X → H và x, y ∈ X. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương:
(i) T là tốn tử khơng giãn vững,
(ii) Id − T là tốn tử khơng giãn vững,
(iii) 2T − Id là tốn tử không giãn,
13


(iv)

Tx − Ty

2

≤ x − y, Tx − Ty ,

(v) Tx − Ty, ( Id − T ) x − ( Id − T )y ≥ 0,
(vi) Ty − Tx, x − Tx + Tx − Ty, y − Ty ≤ 0,
2

(vii) Ty − x, Tx − x + Tx − y, Ty − y ≥ Tx − x
(viii)

+ Ty − y 2 ,

Tx − Ty ≤ α( x − y) + (1 − α)( Tx − Ty) , với α ≥ 0.

Chứng minh. Ta chứng minh sự tương đương của các khẳng định này.
+) (i) ⇔ (ii) Ta có
x−y

2

≥ Tx − Ty

2

+ ( Id − T ) x − ( Id − T )y

= [ Id − ( Id − T ) x ] − [ Id − ( Id − T )y]

2

2

+ ( Id − T ) x − ( Id − T )y 2 .

Do đó, theo định nghĩa tốn tử khơng giãn vững suy ra T là tốn tử khơng giãn
vững nếu và chỉ nếu Id − T là tốn tử khơng giãn vững.
+) (i) ⇔ (iii) Ta có

(2T − Id) x − (2T − Id)y

2

2

− x−y

= 2( Tx − Ty) + (1 − 2)( x − y)

− x−y

=2 Tx − Ty

2

+ (−1) x − y

=2 Tx − Ty

2

− x−y

=2 Tx − Ty

2

+ 2 ( Id − T ) x − ( Id − T )y

2

2

2

2

− 2(1 − 2) Tx − Ty − ( x − y)

+ 2 ( Id − T ) x − ( Id − T )y
2

2

2

− x−y

− x−y

2

2

− 2 x − y 2.

Từ biến đổi trên suy ra T là toán tử không giãn vững nếu và chỉ nếu 2T − Id là
tốn tử khơng giãn.
+) (i) ⇔ (iv) Ta có
2

( Id − T ) x − ( Id − T )y
= ( x − y) − ( Tx − Ty)
= x−y

2

+ 2 Tx − Ty
14

2

+ Tx − Ty

+ Tx − Ty

2

2

2

− 2 x − y| Tx − Ty .

Hơn nữa, theo (i) thì T là tốn tử khơng giãn vững nên
Tx − Ty

2

≤ x − y| Tx − Ty .

Do đó bất đẳng thức trên tương đương với

( Id − T ) x − ( Id − T )y

2

+ Tx − Ty

2

≤ x − y 2.

+) (iv) ⇔ (v) Ta có
Tx − Ty, Tx − Ty ≤ x − y, Tx − Ty

⇔ Tx − x − Ty + y, Tx − Ty ≤ 0
⇔ ( Id − T ) x − ( Id − T )y, Tx − Ty ≥ 0.
Do đó (iv) ⇔ (v).
+) (v) ⇔ (viii) Với mọi x, y ∈ H và α ∈ R+ thì
x, y ≤ 0 ⇔ x ≤ x − αy .
Nên
Tx − Ty, ( Id − T ) x − ( Id − T )y ≥ 0

⇔ Tx − Ty, Tx − Ty − ( x − y) ≤ 0
⇔ Tx − Ty ≤ Tx − Ty − α[( Tx − Ty) − x − y]
⇔ Tx − Ty ≤ α( x − y) + (1 − α)( Tx − Ty) .
Từ đó suy ra (v) ⇔ (viii).
+) (iv) ⇔ (vi) Sự tương đương của hai khẳng định này nhờ vào các biến đổi dưới
đây.
Ty − Tx, x − Tx + Tx − Ty, y − Ty ≤ 0

⇔ Tx − Ty, x − Tx − Tx − Ty, y − Ty ≥ 0
⇔ Tx − Ty, x − y − ( Tx − Ty) ≥ 0
⇔ Tx − Ty

2

≤ x − y, Tx − Ty .
15


+) (vi) ⇔ (vii) Tương tự, ta có
Ty − Tx, x − Tx + Tx − Ty, y − Ty ≤ 0

⇔ Ty − x + x − Tx, Tx − x − Tx − y + y − Ty, y − Ty ≥ 0
⇔ Ty − x, Tx − x + Tx − y, Ty − y ≥ Tx − x

2

+ Ty − y 2 .

Hệ quả 1.2. Cho T : H → H là tốn tử tuyến tính. Khi đó các khẳng định sau là tương

đương:
(i) T là tốn tử khơng giãn vững,
(ii)

2T − Id ≤ 1,

(iii)

Tx

2

≤ x, Tx với mọi x ∈ H,

(iv) T ∗ là toán tử không giãn vững,
(v) T + T ∗ − 2T ∗ T là toán tử dương.
Chứng minh. Ta chứng minh các khẳng định tương đương như sau.
+) (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) Theo Mệnh đề 1.5 thì T là tốn tử không gian vững nếu và chỉ
nếu 2T − Id là tốn tử khơng giãn. Do đó

(2T − Id) x − (2T − Id)0 ≤ x − 0 ⇔ (2T − Id) x ≤ x .
Suy ra 2T − Id ≤ 1. Hơn nữa, với 2T − Id là toán tử khơng giãn thì
Tx − T0

2

≤ x − 0, Tx − T0 ⇔ Tx

2

≤ x, Tx .

+) (i) ⇔ (iv) Ta có
2T ∗ − Id = (2T − Id)∗ = 2T − Id ≤ 1.
Do đó 2T ∗ − Id là tốn tử khơng giãn hay suy ra T ∗ là tốn tử khơng giãn vững.
16


+) (iii) ⇔ (v) Từ (iii) ta có
x, Tx ≥ Tx, Tx ⇔ x, Tx − x, T ∗ Tx ≥ 0 ⇔ x, ( T − T ∗ T ) x ≥ 0,
hay
x, ( T − T ∗ T )∗ x ≥ 0.
Do đó
x, ( T − T ∗ T ) x + ( T − T ∗ T )∗ x ≥ 0 ⇔ x, ( T + T ∗ − 2T ∗ T ) x ≥ 0.
Từ đó suy ra T + T ∗ − 2T ∗ T là toán tử dương.

Định nghĩa 1.5. Cho β là một số thực dương. Một toán tử T : X → H được gọi là β-đơn điệu
mạnh ngược nếu βT là tốn tử khơng giãn vững, tức là
x − y, Tx − Ty ≥ β Tx − Ty

2

với mọi x, y ∈ X.
Mệnh đề 1.6. Cho H, K là các không gian Hilbert thực, β ∈ R+ , T : K → K là toán tử
β
Q

β−đơn điệu mạnh ngược, Q ∈ L(H, K) sao cho Q = θ và γ =

2

. Khi đó Q∗ TQ là tốn

tử γ−đơn điệu mạnh ngược.
Chứng minh. Với x, y ∈ H ta có
x − y| Q∗ TQx − Q∗ TQy = Qx − Qy| TQx − TQy

≥ β TQx − TQy
=γ Q
=γ Q∗

2

2

TQx − TQy
2

TQx − TQy

2
2

≥γ Q∗ TQx − Q∗ TQy 2 .
Từ đó suy ra Q∗ TQ là γ−đơn điệu mạnh ngược.
Hệ quả 1.3. Cho K là một không gian Hilbert thực, T : K → K là tốn tử khơng giãn vững
và Q ∈ L(H, K) sao cho Q = 0 và Q ≤ 1. Khi đó Q∗ TQ là tốn tử không giãn vững.
17

Chứng minh. Vì T là tốn tử khơng giãn vững nên T là toán tử 1−đơn điệu mạnh
ngược.
Theo Mệnh đề 1.6, với γ =

1
Q

2

≥ 1 thì

x − y| Q∗ TQx − Q∗ TQy ≥ γ Q∗ TQx − Q∗ TQy

2

≥ Q∗ TQx − Q∗ TQy 2 .

Do đó Q∗ TQ là toán tử 1−đơn điệu mạnh ngược hay Q∗ TQ là tốn tử khơng giãn
vững.

18


Chương 2
Tốn tử khơng giãn trung bình
2.1. Tốn tử khơng giãn trung bình
Cho H là một khơng gian Hilbert thực với tích trong ., . và chuẩn . tương ứng. X
là một tập con khác rỗng của H.
Định nghĩa 2.1. Cho T : X → H là một toán tử khơng giãn, α ∈ (0, 1). Tốn tử T được gọi
là tốn tử khơng giãn trung bình với hệ số α hay α−khơng giãn trung bình nếu tồn tại một

tốn tử không giãn R : X → H sao cho T = (1 − α) Id + αR.
Mệnh đề 2.1. Cho X là tập con khác rỗng của H, T : X → H là tốn tử khơng giãn và
α ∈ (0, 1). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) T là tốn tử α−khơng giãn trung bình,
1
α

1
α

(ii)

1−

(iii)

Tx − Ty

2

≤ x−y

(iv)

Tx − Ty

2

+ (1 − 2α) x − y

Id +

T là tốn tử khơng giãn,
2

− 1−α α ( Id − T ) x − ( Id − T )y 2 , ∀ x, y ∈ X,
2

≤ 2(1 − α) x − y, Tx − Ty , ∀ x, y ∈ X.

Chứng minh. +) (i) ⇔ (ii) Lấy x, y ∈ X và đặt R = (1 − λ) Id + λT với λ =

19

1
α

hay


T = (1 − α) Id + αR và
2

Rx − Ry

= (1 − λ)( x − y) + λ( Tx − Ty)

2

=(1 − λ) x − y 2 + λ Tx − Ty 2 − λ(1 − λ) ( Id − T ) x − ( Id − T )y

1
1
= x − y 2 − x − y 2 + Tx − Ty 2
α
α
1
1
−
1−
( Id − T ) x − ( Id − T )y 2 .
α
α

2

Do đó
x−y

2

− Rx − Ry

2

= x − y 2 − Tx − Ty 2
1−α
( Id − T ) x − ( Id − T )y 2 .
−
α

Từ biến đổi trên suy ra (i) ⇔ (ii).
+) Tiếp theo ta chứng minh (ii) ⇔ (iii). Với R là tốn tử khơng giãn thì với mọi x, y ∈ X
ta có
Rx − Ry

2

≤ x − y 2.

Do vậy
x−y

2

− Rx − Ry

2

≥ 0 ⇔ x−y

1−α
( Id − T ) x − ( Id − T )y
α

2

−

2

+ Tx − Ty

2

≥ 0.

Từ đó có (iii).
+) Chứng minh (iii) ⇔ (iv). Ta có

( Id − T ) x − ( Id − T )y

2

= x−y

2

− 2 x − y, Tx − Ty .

Suy ra
Tx − Ty

2

≤ x−y
+2

2

−

1−α
x−y
α

2

−

1−α
x − y, Tx − Ty ,
α

1−α
Tx − Ty
α

2

hay
α Tx − Ty

2

+ (1 − α) Tx − Ty

2

≤α x − y

2

− (1 − α ) x − y

2

− 2(1 − α) x − y, Tx − Ty .

20


Tiếp theo ta có mệnh đề về sự bảo tồn tính khơng giãn trung bình của tốn tử.
Mệnh đề 2.2. Cho toán tử T : X → H, các hằng số α ∈ (0, 1) và λ ∈ 0, α1 . Khi đó T là
tốn tử α−khơng giãn trung bình nếu và chỉ nếu (1 − λ) Id + λT là tốn tử λα−khơng giãn
trung bình.
Chứng minh. Do T là tốn tử khơng giãn trung bình nên tồn tại R là tốn tử khơng giãn
sao cho T = (1 − α) Id + αR. Khi đó

(1 − λ) Id + λT =(1 − λ) Id + λ (1 − α) Id + αR
=(1 − λα) Id + λαR.
Do λ ∈ 0, α1 nên λα ∈ (0, 1). Từ đó suy ra (1 − λ) Id + λT là toán tử khơng giãn trung
bình với hệ số λα.
Mệnh đề 2.3. Cho X là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H và ( Ti )i∈ I là một
họ hữu hạn các toán tử. Giả sử với mỗi i ∈ I, (αi )i∈ I ⊂ (0, 1) thì Ti : X → H là tốn tử
αi −khơng giãn trung bình. Khi đó với (wi )i∈ I ⊂ (0, 1] thỏa mãn ∑ wi = 1, đặt T = ∑ wi Ti
i∈ I

và α = ∑ wi αi thì T là tốn tử α−khơng giãn trung bình.

i∈ I

i∈ I

Chứng minh. Do Ti là αi −khơng giãn trung bình nên tồn tại tốn tử khơng giãn Ri sao
cho Ti = (1 − αi ) Id + αi Ri với mọi i ∈ I. Đặt R =

1
α

∑ wi αi Ri . Dễ thấy R là tốn tử

i∈ I

khơng giãn. Ta có
T = ∑ wi Ti =
i∈ I

∑ wi

(1 − αi ) Id + αi Ri

i∈ I

= ∑ wi Id − ∑ wi αi Id + ∑ wi αi Ri
i∈ I

i∈ I

i∈ I

= Id − αId + αR = (1 − α) Id + αR.
Từ đó suy ra T là tốn tử α−khơng giãn trung bình.
Như ta đã biết trong Chương 1, hợp của một số hữu hạn các tốn tử khơng giãn cũng
là tốn tử khơng giãn. Mệnh đề dưới đây cho ta tính bảo tồn về tích của một số hữu
hạn các tốn tử khơng giãn trung bình.
Đặt T1 = (1 − α) I + αR là tốn tử khơng giãn trung bình thì tốn tử tích T = T1 T2
có dạng T = (1 − α) T2 + αRT2 . Ta có mệnh đề sau.
21


Mệnh đề 2.4. Cho T1 : X → H là tốn tử α1 −khơng giãn trung bình và T2 : X → H là tốn
tử α2 −khơng giãn trung bình, với α1 , α2 ∈ (0, 1). Đặt
T = T1 T2 và α =

α1 + α2 − 2α1 α2
.
1 − α1 α2

Khi đó α ∈ (0, 1) và T là tốn tử α−khơng giãn trung bình.
Chứng minh. Ta có α1 (1 − α2 ) < (1 − α2 ) nên α1 + α2 < 1 + α1 α2 . Do đó α ∈ (0, 1).
Với x, y ∈ X ta đặt
τ=

1 − α1 1 − α2
+
.
α1
α2

Theo Mệnh đề 2.1 ta có

T1 T2 x − T1 T2 y

2

1 − α1
( Id − T1 ) T2 x − ( Id − T1 ) T2 y
α1
1 − α2
≤ x−y 2−
( Id − T2 ) x − ( Id − T2 )y 2
α2
1 − α1
( Id − T1 ) T2 x − ( Id − T1 ) T2 y 2 .
−
α1

≤ T2 x − T2 y

2

−

2

Hơn nữa, với mọi x, y ∈ H và α ∈ R thì
αx + (1 − α)y

2

+ α (1 − α ) x − y

2

=α x

2

+ (1 − α ) y 2 .

Do đó ta có
1 − α1
1 − α1
( Id − T2 ) x − ( Id − T2 )y 2
( Id − T1 ) T2 x − ( Id − T1 ) T2 y 2 +
τα1
τα2
2
1 − α1
1 − α2
=
[( Id − T1 ) T2 x − ( Id − T1 ) T2 y] +
(( Id − T2 ) x − ( Id − T2 )y)
τα1
τα2
(1 − α1 )(1 − α2 )
+
( x − y) − ( T1 T2 x − T1 T2 y) 2
τ 2 α1 α2
(1 − α1 )(1 − α2 )
≥

( Id − T1 T2 ) x − ( Id − T1 T2 )y 2 .
τ 2 α1 α2
Cuối cùng ta có
T1 T2 x − T1 T2 y

2

(1 − α1 )(1 − α2 )
( Id − T1 T2 ) x − ( Id − T1 T2 )y 2
τα1 α2
1 − α1 − α2 + α1 α2
= x−y 2−
( Id − T1 T2 ) x − ( Id − T1 T2 )y
α1 + α2 − 2α1 α2
1−α
= x−y 2−
( Id − T1 T2 ) x − ( Id − T1 T2 )y 2 .
α

≤ x−y

2

−

Theo Mệnh đề 2.1, suy ra T là tốn tử α−khơng giãn trung bình.
22

2

Tiếp theo ta có kết quả cho phép hợp của m tốn tử khơng giãn trung bình với m ≥ 2
là một số nguyên dương.
Mệnh đề 2.5. Cho X là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H và cho số nguyên
dương m ≥ 2. Đặt
1

φ : (0, 1)m → (0, 1); (α1 , . . . , αm ) →
1+

.

1
m

αi
i =1 1 − α i
∑

Với mỗi i ∈ {1, . . . , m} thì αi ∈ (0, 1) và Ti : X → X là toán tử αi −khơng giãn trung bình.
Đặt
T = T1 · · · Tm và α = φ(α1 , . . . , αm ).
Khi đó T là tốn tử α−khơng giãn trung bình.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phép quy nạp theo k ∈ {2, . . . , m}. Với k = 2, theo
Mệnh đề 2.4 và lưu ý hệ số α trong Mệnh đề 2.3 có thể được viết lại thành
1

α=
1+

.

1
α1
α2
+
1 − α1 1 − α2

Do đó, với trường hợp k = 2 thì mệnh đề đúng. Ta đặt
m

αi
(1 − α i ) −1
i =1

βm = 1 + ∑

−1

.

Giả thiết mệnh đề đúng với k = m − 1, tức là T := T1 · · · Tm−1 là tốn tử β m−1 −khơng
giãn trung bình. Ta cần chứng minh T = T1 · · · Tm là toán tử β m −khơng giãn trung
bình. Thật vậy theo Mệnh đề 2.3 thì tốn tử T = T Tm là tốn tử khơng giãn trung bình
với hệ số
1
1+

1

1

=

β m −1
αm
+
1 − β m −1 1 − α m

1+

1
m −1

αi
∑
i =1 1 − α i

Vậy định lý được chứng minh.
23

1

=
αm
+
1 − αm

1+

1
m

αi
i =1 1 − α i
∑

= βm.