Chuyên đề xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích mặt cầu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (540.62 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ XÁC ĐỊNH

TÂM, BÁN KÍNH, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH

MẶT CẦU

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Phương trình mặt cầu dạng chính tắc:

Cho mặt cầu có tâm I a b c

(

; ;

)

, bán kính R. Khi đó phương trình chính tắc của mặt cầu là

( ) (

) (

)

2 2

S x−a + y b− + −z c =R .

 Phương trình mặt cầu dạng khai triển là

( )

2 2 2

: 2 2 2 0

S x +y +z − ax− by− cz+ =d .

Khi đó mặt cầu có có tâm I a b c

(

; ;

)

, bán kính 2 2 2

(

2 2 2

)

R= a +b + −c d a +b + − >c d .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
Hệ Oxyz ( Tìm tọa độ tâm mặt cầu )

 Tìm tâm và bán kính, ĐK xác định mặt cầu

 PTMC biết tâm, dễ tính bán kính (Chưa học PTMP)

 PTMC biết 2 đầu mút của đường kính

 PTMC ngoại tiếp tứ diện

 PTMC qua nhiều điểm, thỏa ĐK

 PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng

 PTMC biết tâm và đường trịn trên nó

 PTMC biết tâm và ĐK của dây cung

 PTMC biết tâm thuộc d, thỏa ĐK

 PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa ĐK

 PTMC biết tâm, thỏa ĐK khác

 Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu

 Điểm thuộc mặt cầu thỏa ĐK

 Toán thực tế, liên môn liên quan PTMC

BÀI TẬP MẪU

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian oxyz, cho mặt cầu

( ) (

) (

)

: 2 4 1 9

S x− + y+ + z− = . Tâm của

( )

S có tọa độ là

A.

(

−2; 4; 1−

)

. B.

(

2; 4;1−

)

C.

(

2; 4;1

)

. D.

(

− − −2; 4; 1

)

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng toán xác định tâm của mặt cầu.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Cho mặt cầu

( ) (

S : x−a

) (

2+ y b−

) (

2+ −z c

)

2 =R2 thì

( )

S có tâm là I a b c

(

; ;

)

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn B

Ta có mặt cầu

( ) (

S : x−2

) (

2+ y+4

) (

2+ z−1

)

2 =9 có tọa độ tâm là

(

2; 4;1−

)

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2  (z 3)2 16. Tâm của ( )S có
tọa độ là

A. ( 1; 2; 3).   B.(1;2;3). C. ( 1;2; 3).  D. (1; 2;3).
Lời giải

Chọn D

Từ phương trình mặt cầu dạng 1, suy ra tâm I(1; 2;3).

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình

(

) (

)

2 2

1 3 9

x− + y+ +z = .

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó

A. I

(

−1;3; 0

)

; R= . 3 B. I

(

1; 3; 0−

)

; R= . 9 C. I

(

1; 3; 0−

)

; R= . 3 D. I

(

−1;3; 0

)

; R= . 9
Lời giải

Chọn C

Mặt cầu đã cho có tâm I

(

1; 3; 0−

)

và bán kính R= . 3

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( )

S : x2+y2+z2−6x+4y−8z+ = . Tìm 4 0

tọa độ tâm I của mặt cầu

( )

S .

A. I

(

3; 2; 4− − .

)

B. I

(

−3; 2; 4

)

.
C. I

(

3; 2; 4−

)

. D. I

(

−3; 2; 4− .

)

Lời giải

Chọn C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 4. Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z22y 4z  2 0. Độ dài đường kính
của mặt cầu ( )S bằng

A. 2 3. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải 
Chọn A

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra (0;1; 2),I  R 0   1 4 2 3,

Câu 5. Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt cầu ( )S có tâm ( 1;2;0),I  bán kính R  3 là

A. (x 1)2 (y2)2 z2 3. B.(x 1)2 (y2)2 z2 9.

C. (x1)2 (y2)2 z2 9. D. (x 1)2 (y2)2 z2  3.

Lời giải 
Chọn B

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm ( 1;2;0),I  bán kính R 3 là

2 2 2

(x 1) (y2) z 9.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( )

S có phương trình

2 2 2

2 4 6 5 0

x +y +z − x− y− z+ = . Tính diện tích mặt cầu

( )

S .

A. 42π . B. 36π. C. 9π . D. 12π.

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu

( )

S có tâm I

(

1; 2;3

)

và bán kính R= 12+22+ −32 5 = . 3

Diện tích mặt cầu

( )

S là: S=4π R2 =4 3π 2 =36π .

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) (

) (

)

2 2

: 1 2 9

S x− + y+ +z = . Mặt cầu

( )

S có thể tích bằng

A. V =16π. B. V =36π. C. V =14π. D. 4

V = π.

Lời giải 
Chọn B

Mặt cầu

( ) (

S : x−1

) (

2+ y+2

)

2+z2 =9 có tâm là

(

1; 2; 0−

)

, bán kính R= . 3

Thể tích mặt cầu 4 3 36
3

V = πR = π.

Câu 8. Trong không gian Oxyz, Cho mặt cầu

( )

S 2 2 2

3x +3y +3z +6x+12y−18z− = . Tâm c3 0 ủa ( )S
có tọa độ là

A. I

(

− −3; 6;9

)

. B.I

(

1; 2; 3− .

)

C. I

(

− −1; 2;3

)

. D. I

(

3; 6; 9− .

)

Lời giải

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta có 3x2+3y2+3z2+6x+12y−18z− = ⇔3 0 x2+y2+z2+2x+4y−6z− = . 1 0

Mặt cầu

( )

S có tâm là I

(

− −1; 2;3

)

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( )

S x2+y2+ +

(

z 3

)

2 =25.Điểm nào dưới

đây thuộc

( )

S

A. M

(

4; 0; 0

)

. B. N

(

0; 4; 0

)

. C. P

(

0; 4; 0

)

. D. Q

(

0; 0; 4

)

Lời giải

Chọn A

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ có tọa độ điểm M thỏa mãn.

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( )

(

)

2 2

: 1 2

S x + y− +z = . Trong các điểm

cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu

( )

S ?

A. M

(

1;1;1

)

B. N

(

0;1; 0

)

C. P

(

1; 0;1

)

D. Q

(

1;1; 0

)

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu

( )

S có tâm I

(

0;1; 0

)

, bán kính R= 2.

Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu:

MI = = ; R NI = < , 0 R PI = 3> , R QI = <1 R. Do đó điểm P nằm ngồi mặt cầu.

 Mức độ 2

Câu 1. Trong không gian Oxyz tìm t, ất cả các tham số m để x2 y2 z2 2x 4ym 0 là một
phương trình mặt cầu.

A. m 5. B. m  5. C. m 5. D. m   5.

Lời giải

Chọn D

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra 02  

 

12 22 m 0 m  5.

Câu 2. Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y4z m 0 có bán kính
5.

R  Giá trị của tham số m bằng

A. 16. B.16. C. 4. D.  4.

Lời giải 
Chọn B

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra tâm I



1; 2;2



1 4 4 5 16

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 3. Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z24x 8y2mz 6m0 có đường
kính bằng 12 thì tổng các giá trị của tham số m bằng

A. 2. B. 2. C. 6. D. 6.

Lời giải

Chọn D

Đường kính bằng 12 , suy ra bán kính R  . 6

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra tâm I



2; 4; m



, R  416m2 6m  , 6

Suy ra m26m16 0 m1 m2  . (Theo Viet) 6

Câu 4. Trong khơng gian Oxyz , phươngtrình mặt cầu ( )S có tâm (1; 3;2)I  và qua điểm (5; 1;4)A  là

A. (x1)2 (y3)2 (z 2)2  24. B.(x 1)2 (y3)2 (z 2)2  24.
C. (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24. D. (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24.

Lời giải

Chọn D

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm (1; 3;2)I  bán kính RIA 42 22 22 2 6là

2 ( 2 ( 2 24.

(x1)  y3)  z 2) 

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( )

S có tâm là điểm I

(

1; 0; 1−

)

và đi qua điểm

(

2; 2; 3

)

M − . Phương trình của

( )

S là

A. 2 2 2

(x 1)+ +y + −(z 1) =3 . B. 2 2 2
(x 1)− +y + +(z 1) =3.

C. (x 1)+ 2+y2+ −(z 1)2 =9. D. (x 1)− 2+y2+ +(z 1)2 = 9

Lời Giải
Chon D

( )

2 2

1 2 2 3

IM = + + − = =R

Mặt cầu (S) I

(

x 1

)

2 y2

(

z 1

)

2 9
R



− + + + =




Taâm (1;0;-1)

co ùPT :

= 3

Câu 6. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A

(

2;1;1

)

(

0;3; 1

)

B − là

A. x2+

(

y−2

)

2+z2 =3. B. (x−1)2+

(

y−2

)

2+z2 =3,

C. (x−1)2+

(

y−2

) (

2+ +z 1

)

2 =9. D. (x−1)2+

(

y−2

)

2+z2 =9.

Lời Giải 
Chọn B

Tọa độ trung điểm của AB: 2 0 3 1; ; 1 1

(

1; 2; 0

)

2 2 2

I + + − +  ⇒ I

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

( )

2 2

1 1 1 3

IA= + − + = = . Mặt cầu R (S):

(

1; 2; 0

)

3
I
R



Tâm
=

có PT: 2

(

)

2 2
(x−1) + y−2 +z =3

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( )

P : x-2y-2z-8=0. Phương trình mặt cầu tâm

(

1; 2; 1

)

I − và tiếp xúc với mặt phẳng

( )

P là

A.

(

x+1

) (

2+ y+2

) (

2+ −z 1

)

2 = . 3 B.

(

x−1

) (

2+ y−2

) (

2+ +z 1

)

2 = . 3

C.

(

x−1

) (

2+ y−2

) (

2+ +z 1

)

2 = . 9 D.

(

x+1

) (

2+ y+2

) (

2+ −z 1

)

2 = . 9

. Lời Giải 
Chọn C

( )

(

)

( ) ( )

2 2

1 4 2 8

, 3

1 2 2

d I P = − + − = =R

+ − + −

Mặt cầu (S) I

(

1; 2; 1

)

R
−



Tâm

= 3 có PT:

(

) (

)

2 2 2

1 2 1 9

x− + y− + +z =

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( )

S có tâm I

(

1; 2;3

)

và tiếp xúc với trục hồnh có

dạng

A.

(

x−1

) (

2+ y−2

) (

2+ −z 3

)

2 =13. B.

(

x−1

) (

2+ y−2

) (

2+ −z 3

)

2 = . 5

C.

(

x+1

) (

2+ y+2

) (

2+ +z 3

)

2 = . 9 D.

(

x−1

) (

2+ y−2

) (

2+ −z 3

)

2 =25.

. Lời Giải 
Chọn A

(

)

2 2

, 2 3 13

d I Ox = + = =R

Mặt cầu (S)

(

)

1; 2;3
13
I
R



Tâm

= có phương trình

(

) (

)

2 2 2

1 2 3 13

x− + y− + −z =

Câu 9. Viết phương trình mặt cầu có tâmI

(

1; 2;3

)

và đi qua giao điểm của đường thẳng

: 2

x t

d y t

z t
= +

 = −

 = +


với mặt phẳng

( )

Oxy .

A. (x+1)2+ +(y 2)2+ +(z 3)2 =27 B. (x−1)2 + −(y 2)2+ −(z 3)2 =27

C. 2 2 2

(x−1) +(y−2) + −(z 3) =3 3 D. 2 2 2

(x+1) +(y+2) + +(z 3) =3 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Mặt phẳng Oxyz là : z = 0

Gọi A= ∩d (Oxyz)⇒ = − ⇒t 3 A( 2;5; 0)−

Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là R=IA= ( 3)− 2+ + −32 ( 3)2 =3 3.

Phương trình mặt cầu

( )

S tâm I

(

1; 2;3

)

và bán kính R=3 3 là

(

)

2 2

(x−1) +(y−2) + −z 3 =27.

Câu 10. Cho mặt cầu

( )

S có tâm I

(

1; 2;3

)

và diện tích bằng 32 .π Phương trình của

( )

S là

A.

(

x−1

) (

2+ y−2

) (

2+ −z 3

)

2 =16. B.

(

x+1

) (

2+ y+2

) (

2+ +z 3

)

2 =16.

C.

(

x−1

) (

2+ −y 2

) (

2+ −z 3

)

2 =8. D.

(

x+1

) (

2+ y+2

) (

2+ +z 3

)

2 =8.

Lời giải

Chọn C

Ta có: S =4πR2 ⇔4πR2 =32π ⇔ =R 8.

Khi đó

( )

: Tâm: 1; 2;3

(

)

Bán kính: 8

I
S

R




=





( ) (

) (

)

: 1 2 3 8.

S x y z

⇒ − + − + − =

 Mức độ 3

Câu 1. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A

(

2; 0; 0

)

, B

(

0; 3; 0−

)

và C

(

0; 0; 6

)

. Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp OABC là

A. 7

2. B. 11. C. 11. D.

7
3.
Lời giải

Chọn A

Phương trình mặt cầu có dạng:

( )

2 2 2

: 2 2 2 0

S x +y +z − ax− by− cz+ = . d

Do A, B, C và O thuộc mặt cầu

( )

S nên:

4 4 0

9 6 0

36 12 0

0
a d

b d

c d

d

− + =



 + + =


 − + =


 =


1
a

⇔ = , 3

b= − , c=3 , d = . 0

Do đó, mặt cầu có bán kính bằng: 2 2 2 7
2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình mặt cầu đi qua

(

2 ;3 ; 3 ,

) (

2; 2 ; 2 ,

) (

3 ;3 ; 4

)

A − B − C và có tâm nằm trên mặt phẳng

(

Oxy .

)

A. (x 6)2  (y 1)2 z2 29. B. (x 6)2  (y 1)2 z2 29.

C. (x6)2  (y 1)2 z2  29. D. (x 6)2 (y1)2 z2  29.

Lời giải

Chọn A

Giả sử I a b

(

; ; 0

)

∈(Oxy và ) r là tâm và bán kính của mặt cầu ( )S và đi qua

(

2 ;3 ; 3 ,

) (

2; 2 ; 2 ,

) (

3 ;3 ; 4

)

A − B − C

Phương trình mặt cầu ( )S là (x a )2  (y b)2 z2 r2
Vì mặt cầu đi qua A

(

2 ;3 ; 3 , −

) (

B 2; 2 ; 2 , −

) (

C 3 ;3 ; 4

)

nên

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2 ) (3 ) ( 3) 10 10 0 1

(2 ) ( 2 ) 2 2 12 0 6

(3 ) (3 ) 4 (3 ) (3 ) 4 29

a b r b b

a b r a a

a b r a b r r

 − + − + − = − + =  =

  

− + − − + = ⇔ − = ⇔ =

  

 − + − + =  − + − + =  =

 



Vậy phương trình mặt cầu ( )S là (x 6)2  (y 1)2 z2 29.

Câu 3. Cho I

(

1; 2;3−

)

. Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho

2 3
AB= .

A. (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 =16. B. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =20.

C. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =25. D. (x−1)2 +(y+2)2+(z−3)2 =9.

Lời giải

Chọn A

Gọi M là hình chiếu vng góc của I (1; -2;3) trên trục Ox 
⇒ M (1;0;0) và M là trung điểm của AB

Ta có:

(

1 1

) (

2 0 2

) (

2 0 3

)

2 13, 3
2

AB

IM = − + + + − = AM = = .

IMA

∆ vuông tại M ⇒IA= IM2+AM2 = 13 3+ = ⇒ = . 4 R 4

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(

) (

)

1 2 3 16

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

( )

S có tâm I

(

1;1;3

)

và mặt phẳng

( )

P : 2x−3y+6z+ =11 0. Biết mặt phẳng

( )

P cắt mặt cầu

( )

S theo giao tuyến là một đường

trịn có bán kính bằng 3. Viết phương trình của mặt cầu

( )

S .

A.

( ) (

S : x−1

) (

2+ y−1

) (

2+ −z 3

)

2 =25. B.

( ) (

S : x−1

) (

2+ y−1

) (

2+ −z 3

)

2 =5.

C.

( ) (

S : x+1

) (

2+ y+1

) (

2+ z+3

)

2 =25. D.

( ) (

S : x−1

) (

2+ y−1

) (

2+ z−3

)

2 =7.

Lời giải

Chọn A

Ta có :

(

( )

)

( )

2 2

2.1 3.1 6.3 11

, 4

2 3 6

− + +

= = =

+ − +

d d I P .

Suy ra R= d2 +r 2 = 42+32 = . 5

Vậy, mặt cầu có phương trình :

( ) (

S : x−1

) (

2+ y−1

) (

2+ −z 3

)

2 =25.

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2 1
3 6 2

x y z

d − = = − và điểm I

(

1; 2;5−

)

. Lập phương

trình mặt cầu

( )

S tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A , B sao cho tam giác IAB

vuông tại I .

A.

( ) (

S : x−1

) (

2+ y+2

) (

2+ x−5

)

2 =40. B.

( ) (

S : x−1

) (

2+ y+2

) (

2+ x−5

)

2 =49
C.

( ) (

S : x−1

) (

2+ y+2

) (

2+ x−5

)

2 =69. D.

( ) (

S : x−1

) (

2+ y+2

) (

2+ x−5

)

2 =64.

Lời giải

Chọn A.

Đường thẳng d đi qua M

(

2; 0;1

)

và có một véc tơ chỉ phương là u =

(

3; 6; 2

)

H

O
A

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d ta có

( )

,
,

IM u
IH d I d

u

 

 

= =

 

 , với

(

1; 2; 4

)

IM = −


, u=

(

3; 6; 2

)

( )

, 20

IM u
IH d I d

u

 

 

= = =

 

 .

Theo đề bài ta có tam giác IAB vng cân tại I nênIA=IH 2 = 40.
Vậy phương trình mặt cầu

( )

S là

( ) (

S : x−1

) (

2+ y+2

) (

2+ x−5

)

2 =40.

Câu 6.

Vi

ết phương trình mặt cầu

 

S

có tâm

I 1; 0;3





và c

ắt

: 1 1 1

2 1 2

− = + = −

x y z

d

t

ại hai

điểm A, B sao cho tam giác

IAB

vuông t

ại

I

A.

(

)

2 2

(

)

2 40

− + + − =

x y z . B.

(

)

2 2

(

)

2 40

+ + + + =

x y z .

C.

(

)

2 2

(

)

2 2 10

1 3

3
− + + − =

x y z . D.

(

)

2 2

(

)

2 2 10

1 3

3
+ + + + =

x y z .

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u =

(

2;1; 2

)

và P

(

1; 1;1−

)

∈d .

Ta có: IP=

(

0; 1; 2− −

)

⇒u IP,=

(

0; 4; 2−

)

. Suy ra:

( )

, 20

d ;

3
 
 

= =






u IP
I d

u .

∆IAB vuông tại I⇔ ∆IAB vuông cân tại I 2d

( )

, 40.
3

IA= I d =

Vậy (S) :

(

)

2 2

(

)

2 40

1 3

− + + − =

x y z .

Câu 7. Cho mặt cầu

( )

S có tâm I

(

1;1;1

)

. Một mặt phẳng ( )P cắt

( )

S theo giao tuyến là một đường tròn

( )

C . Biết chu vi lớn nhất của

( )

C bằng 2π 2. Phương trình của

( )

S là

A.

(

x−1

) (

2+ y−1

) (

2+ −z 1

)

2 =4. B.

(

x+1

) (

2+ y+1

) (

2+ +z 1

)

2 =2.

C.

(

x+1

) (

2+ y+1

) (

2+ +z 1

)

2 =4. D.

(

x−1

) (

2 + y−1

) (

2+ −z 1

)

2 =2.

Lời giải

Chọn D

Đường tròn

( )

C đạt chu vi lớn nhất khi

( )

C đi qua tâm I của mặt cầu

( )

S .

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Khi đó ( ) : Tâm: 1;1;1

(

)

Bán kính: 2

I
S

R




=





( ) (

) (

)

: 1 1 1 2.

S x y z

⇒ − + − + − =

Câu 8. Cho I

(

1; 2;3−

)

. Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho

2 3
AB= .

A. (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 =16. B. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =20.

C. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =25. D. (x−1)2 +(y+2)2+(z−3)2 =9.
Lời giải

Chọn A

Gọi M là hình chiếu vng góc của I (1; -2;3) trên trục Ox 
⇒ M (1;0;0) và M là trung điểm của AB

Ta có:

(

1 1

) (

2 0 2

) (

2 0 3

)

2 13, 3
2

AB

IM = − + + + − = AM = = .

IMA

∆ vuông tại M ⇒IA= IM2+AM2 = 13 3+ = ⇒ = . 4 R 4

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(

) (

)

1 2 3 16

x− + y+ + −z = .

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 3

1 2 1

x y z

d − = = +

− − và mặt cầu

( )

S
tâm I có phương trình

( ) (

S : x−1

) (

2+ y−2

) (

2+ +z 1

)

2 =18. Đường thẳng d cắt

( )

S tại hai
điểm ,A B . Tính diện tích tam giác IAB.

A. 8 11

3 . B.

16 11

3 . C. 
11

6 . D.

8 11
9 .

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d đi qua điểm C

(

1; 0; 3−

)

và có vectơ chỉ phương u = −

(

1; 2; 1−

)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên đường thẳng d .

Khi đó: IH IC u,
u

 

 

 

 , với IC=

(

0; 2; 2− −

)

; 2x+ −y 3z− = 4 0

Vậy

2 2 2

6 2 2 66
3
1 4 1

IH = + + =

+ +

Suy ra 18 22 4 6

3 3

HB= − =

Vậy, 1 1 66 8 6 8 11.

2 2 3 3 3

IAB

S∆ = IH AB⋅ = ⋅ ⋅ =

Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu

( )

S có tâm I

(

−1; 2;3

)

cắt

mặt phẳng

( )

β : 2x− +y 2z− = theo một hình trịn giao tuyến có chu vi bằng bằng 88 0 π có
diện tích bằng

A. 80π . B. 50π. C. 100π. D. 25π.

Lời giải

Chọn A

Đường trịn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên bán kính của nó là r =4.

Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là

(

( )

)

2 1 2

2 2 6 8

, 2

2 1 2
d =d I β = − − + − =

+ + .

Theo công thức R2 =r2+d2 =20.

Diện tích của mặt cầu

( )

S là 2
4 80

S = πR = π.

 Mức độ 4

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) (

S : x−1

) (

2+ y−2

) (

2+ z−3

)

2 =16. Gọi

M là điểm thuộc mặt cầu

( )

S sao cho biểu thức A=2xM −yM +2zM đạt giá trị lớn nhất, giá

trị biểu thức B=xM +yM +zM bằng.

A. 21 B. 3 C. 5 D. 10

Lời giải

Chọn D

Ta có A=2xM −yM +2zM =2

(

xM − −1

) (

yM − +2

) (

2 zM − + 3

)

(

2 2 2

)

(

) (

)

2 1 2 x 1 y 2 z 3 6 3.4 6 18

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Dấu bằng xảy ra khi

1 2

1 2 3

0 2

2 1 2

3 2
M

M M M

M

x t

x y z

t y t

Z t

= +


− = − = − = > ⇒ = −


− 

= +


, thay vào phương trình

( )

S ta được: 2 2 2 4

4 4 16

t + +t t = ⇒ =t . Do đó 11 2 17; ;
3 3 3

M 

  và B=xM +yM +zM =10.

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm I

(

3; 4; 0

)

và đường thẳng : 1 2 1

1 1 4

x− y− z+

∆ = =

− . Phương
trình mặt cầu

( )

S có tâm I và cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng

12 là

A.

(

x+3

) (

2+ y+4

)

2+z2 =25 B.

(

x−3

) (

2+ y−4

)

2+z2 =5

C.

(

x−3

) (

2+ y+4

)

2+z2 =5 D.

(

x−3

) (

2+ y−4

)

2+z2 =25

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M

(

1; 2; 1− và có véc-tơ chỉ phương

)

u =

(

1;1; 4−

)

Ta có IM= − − −

(

2; 2; 1

)

⇒ IM u, =

(

9; 9; 0−

)

⇒  IM u,  =9 2.

Khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ là

(

)

, 9 2

, 3

18
IM u
d I
u
 
 
∆ = = =
 
 .

Diện tích tam giác IAB bằng 12 nên

(

)

2 2.12
8
, 3
IAB
S
AB
d I
= = =
∆ .

Bán kính mặt cầu

( )

S là

(

)

2 2 2

, 4 3 5

AB

R=   +d I ∆  = + =

  .

Phương trình mặt cầu

( )

S cần lập là

(

) (

)

2 2

3 4 25

x− + y− +z = .

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A

(

1; 0; 1− và mặt phẳng

)

( )

P :x+ − − =y z 3 0

. Gọi

( )

S là mặt cầu có tâm I nằm trên mặt phẳng

( )

P , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao

cho diện tích tam giác OIA bằng 17

2 . Tính bán kính R của mặt cầu

( )

S .

A. R=3. B. R=9. C. R=1. D. R=5.

Lời giải

Chọn A

Gọi I a b c

(

; ;

)

Ta có IA=IO=R ⇔ hình chiếu của I lên OA là trung điểm 1; 0; 1
2 2

H − 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

( )

2 2

2 2 2

1 1 1 1

. . 1 0 1

2 2 2 2

OIA

S∆ = IH OA= a−  +b +c+  + + −

   

2 2 2

17 1 1

. 2

2 2 a b c a c 2

⇔ = + + − + + 2 2 2

17 2a 2b 2c 2a 2c 1

⇔ = + + − + +

2 2 2

2a 2b 2c 2a 2c 16 0
⇔ + + − + − = .

Theo bài ra ta có

( )

17
2
OIA
OI IA
S
I P
∆
=


 =



 ∈


(

)

(

)

2 2 2 2

2 2 2

1 1

2 2 2 2 2 16 0

3 0

a b c a b c

a b c a c

a b c

 + + = − + + +


⇔ + + − + − =
 + − − =


2 2 2

1 0

8 0

3 0

a c

a b c a c

a b c

− − =


⇔ + + − + − =
 + − − =


( )

1
2
3
.

Từ

( )

1 và

( )

3 ta có 1
2
a c
b

− =

 =

1
2
a c
b
= +

⇔  =

 thế vào

( )

2 ta có

(

)

2 2

(

)

1 4 1 8 0

c+ + +c − + + − =c c 2

1
c
c
= −

⇔  =


(

)

(

)

1; 2; 2

2; 2;1
I
I
− −

⇒ 

 ⇒OI = = . R 3

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3; 0
2 2

M 

  và mặt cầu

( )

2 2 2

: 8.

S x +y +z = Đường

thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu

( )

S tại hai điểm phân biệt A và B. Tính diện

tích lớn nhất S của tam giác OAB .

A. S = 7 B. S = 4 C. S =2 7 D. S =2 2

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu

( )

S có tâm O

(

0; 0; 0

)

và bán kính R=2 2.

Vì OM = < nên 1 R M thuộc miền trong của mặt cầu

( )

S . Gọi H là chân đường cao hạ từ O

của tam giác OAB .

Đặt x OH= , ta có 0< ≤x OM = , đồng thời 1 HA= R2−OH2 = 8−x2 .
Khi đó diện tích tam giác OAB là:

A

B
M
H

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2
1

. . 8

2
OAB

S = OH AB=OH HA=x −x .

Khảo sát hàm số 2

( ) 8

f x =x −x trên

(

0;1

]

, ta được

(0;1]

( )

max f x = f 1 = 7.

Vậy giá trị lớn nhất của S∆OAB = 7 , đạt được khi x= hay 1 H ≡M , nói cách khác là

d ⊥OM .

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) (

S : x−2

) (

2+ y−3

) (

2+ −z 5

)

2 = và 9

tam giác ABC với A(5; 0; 0), B(0;3; 0),C(4;5; 0). Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu ( )S sao cho

khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất.

A. M

(

0; 0;3

)

B. M

(

2;3; 2

)

C. M

(

2;3;8

)

D. M

(

0; 0; 3−

)

Lời giải

Chọn C

Kẻ MJ ⊥

(

ABC

)

, . 1. .
3

M ABC ABC

V = S MJ

Để VM ABC. lớn nhất ⇔MJ lớn nhất ⇔MJđi qua tâm Icủa mặt cầu ( )S

( )

M IJ S

⇒ = ∩

Phương trình mặt phẳng

(

ABC :

)

z= 0

Đường thẳng :JI

5
x

y

z t

=


 =


 = +



(

2;3;5

)

M t

⇒ +

( )

M∈ S ⇒

(

2 2−

) (

2+ −3 3

) (

2+ + −5 t 5

)

2 =9 ⇒ = ± t 3 ⇒M

(

2;3; 2 ,

)

M1

(

2;3;8

)

Do MJ =d M

(

1,

(

ABC

)

>d M

(

ABC

)

⇒M1

(

2;3;8

)

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu

( ) (

S : x−1

) (

2+ y−3

) (

2+ −z 2

)

2 =4. Gọi

(

0; 0; 0

)

N x y z là điểm thuộc

( )

S sao cho khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng

(

Oxz l

)

ớn

nhất. Giá trị của biểu thức P=x0+y0+ bz0 ằng

A. 6 B. 8 C. 5 D. 4

Lời giải

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I

(

1;3; 2

)

của mặt cầu

( )

S và vng góc với

(

Oxz .

)

Phương trình tham số của

(

)

: 3 ,
2

x

d y t t

z

=


 = + ∈


 =


 .

Gọi A B, lần lượt là giao điểm của d và

( )

S suy ra: A

(

1;5; 2

)

, B

(

1;1; 2

)

Ta có: d A Oxz

(

;

(

)

>d B Oxz

(

;

(

)

Theo đề bài thì N A≡ ⇒N

(

1;5; 2

)

⇒x0+y0+z0 = . 8

Câu 7. Cho mặt phẳng

( )

P : 2x+2y−2z 15+ =0 và mặt cầu

( )

2 2 2

: 2 2z 1 0.

S x +y +z − y− − =

Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng

( )

P đến một điểm thuộc mặt cầu

( )

S là

A. 3 3

2 . B. 3 . C.

2 . D.

3
3
Lời giải

Chọn A

Mặt cầu

( )

S có tâm I

(

0;1;1

)

và bán kính R= 3.

Gọi H là hình chiếu của I trên

( )

P và A là giao điểm của IH với

( )

S .

Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng

( )

P đến một điểm thuộc mặtcầu

( )

S là

đoạn ,

(

( )

)

3 3
2

AH AH =d I P − =R .

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và mặt cầu
. Mặt phẳng đi qua và cắt theo thiết diện là
đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường trịn là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải 
Chọn D

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Oxyz A

(

2;1; 2

)

( )

2 2 2

: 2 2 7 0

S x +y +z − y− z− =

( )

P A

( )

S

( )

C

( )

C

1 5 3 2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ta có nên nằm trong mặt cầu .

Đặt là khoảng cách từ đến mặt phẳng , là bán kính đường trịn . Khi đó:

và khi và chỉ khi .

Đường trịn có diện tích nhỏ nhất nên .

Câu 9.Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( ) (

S : x−1

) (

2+ y+2

) (

2+ −z 3

)

2 =27. Gọi

( )

α là mặt phẳng
đi qua hai điểm A

(

0; 0; 4− ,

)

B

(

2; 0; 0

)

và cắt

( )

S theo giao tuyến là đường trịn

( )

C sao cho 
khối nón đỉnh là tâm của

( )

S và đáy là là đường tròn

( )

C có thể tích lớn nhất. Biết rằng

( )

α :ax by+ − + = , khi đó a b cz c 0 − + bằng

A. −4. B. 8. C. 0. D. 2.

Lời giải 
Chọn A

Mặt cầu

( )

S có tâm I

(

1; 2;3−

)

và bán kính R=3 3.

Vì

( )

α :ax by+ − + = đi qua hai điểm z c 0 A

(

0; 0; 4− ,

)

B

(

2; 0; 0

)

nên c= − và 4 a= . 2
Suy ra

( )

α : 2x by+ − − = . z 4 0

Đặt IH x= , với 0< <x 3 3 ta có r= R2−x2 = 27−x2 .

Thể tích khối nón là 1 π 2
3

V = r IH 1 π 27

(

)

3 x x

= − 1 π 27

(

) (

. 27 2

)

.2 2

3 2 x x x

= − − ≤18π.

max 18π

V = khi 2 2

27−x =x ⇔ = . x 3

Khi đó, d I

(

;

( )

)

2
2 5

5
b

b
+
=

+ =3

(

)

(

)

2 2

2b 5 9 b 5

⇔ + = + ⇔ = . b 2

Vậy a b c− + = − . 4

(

) (

)

2 0 1 1 2 1

IA= − + − + − = 5< =3 R A

( )

S

h I

( )

P r

( )

C

h≤IA= h= 5 IA⊥

( )

P

2 2 2 2

3 5 4 2

r =R −h ≥ − = ⇒ ≥r

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Câu 10.Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

( ) (

S : x−1

) (

2+ y−2

) (

2+ z−3

)

2 =9 và mặt phẳng

( )

P :2x−2y+ + = . Gọi z 3 0 M a b c

(

; ;

)

là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến

( )

P 
lớn nhất. Khi đó:

A. a b c+ + =8. B. a b c+ + =5. C. a b c+ + =6. D. a b c+ + =7.

Lời giải 
Chọn D

Mặt

( )

S cầu có tâm I

(

1; 2;3 ,

)

R= . 3

( )

(

)

( )

2 2

2.1 2.2 3 3 4
,

2 2 1

d I P = − + + = < R

+ − + mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn

Gọi M a b c

(

; ;

)

là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến

( )

P lớn nhất. Khi M

thuộc đường thẳng ∆ vng đi qua M và vng góc với

( )

P

1 2

: 2 2

x t

y t

z t

= +


∆  = −

 = +


. Thay vào mặt cầu

( )

S

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2t 2t t 9 9t 9 t 1
⇒ + − + = ⇒ = ⇒ = ±

Với

(

)

(

( )

)

( )

2 2

2.3 2.0 4 3 10

1 3; 0; 4 ;

2 2 1

t= ⇒M ⇒d M P = − + + =

+ − +

Với

(

)

(

( )

)

( )

2 2

2. 1 2.4 2 3 1

1 1; 4; 2 ;

2 2 1

t= − ⇒M − ⇒d M P = − − + + =

+ − +

Vậy M

(

3; 0; 4

)

⇒ + + = . a b c 7

</div>

Chuyên đề xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích mặt cầu

<b>Tailieumontoan.com </b>

<b> </b>

<b>Sưu tầm</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ XÁC ĐỊNH </b>

<b>TÂM, BÁN KÍNH, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH </b>

<b>MẶT CẦU </b>

(

)

( ) (

) (

) (

)

( )

(

)

(

)

( ) (

) (

) (

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) (

) (

) (

)

( )

(

)

( ) (

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

( ) (

) (

)

( )

( ) (

) (

)