Tổng hợp kiến thức toán 9

TĨM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 9
PHẦN ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I . CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
1) Khái niệm căn bậc hai:
+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương ký hiệu là a , số âm là - a .
+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, viết 0 = 0 .
+ Số a âm khơng có căn bậc hai, viết a với a < 0 không có nghĩa.
2) Căn bậc hai số học: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi
là căn bậc hai số học của 0.
+ Với hai số a và b không âm, a < b <=> a < b.
3) Căn thức bậc hai:
+ Nếu A là một biểu thức đại số thì A được gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức
lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
+ Điều kiện có nghĩa hay điều kiện xác định của A là A ≥ 0.
+ Với mọi số A, ta có

A 2 = A (hằng đẳng thức

A 2 = A ).

4) Khai phương một tích, một thương:
+ Với hai số a và b khơng âm, ta có ab = a . b .
Kết quả này có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.
+ Với số a không âm và số b dương ta có

a
a
=
b
b

5) Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai:
Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có:

A2 B = A. B

+ Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B = A 2 B
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B = − A 2 B
A
=
B

+ Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0, B ≠ 0 thì:
+ Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0, ta có:

A
B

=

AB
B

A B
B

+ Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, A ≠ B2 ta có:

C
A±B

+ Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0,B ≥ 0,A ≠ B ta có:

=

C ( A  B)
A − B2
C

A± B

=

C ( A ± B)
A− B

6) Căn bậc ba:
+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a.
+ Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
+ Kí hiệu căn bậc ba của a là 3 a tức là ( 3 a ) 3 = a.
+ Căn bậc ba của số dương là một số dương, căn bậc ba của một số âm là một số âm, căn bậc ba
của số 0 là số 0.
+a>b ⇔ 3 a <3 b
+ Với mọi số a, b, 3 a .3 b = 3 ab
+ Với mọi số a, b mà b ≠ 0 thì

3

a 3 a
=

b 3b


CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
1/ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được
chỉ một giá trị tương ứng của y, thì y được gọi là hàm số của x, và x được gọi là biến số.
2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x: f(x)) trên mặt phẳng toạ độđược gọi là
đồ thị của hàm số y = f(x)
3/ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tương
ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá trị x1, x2 ∈ (a, b) mà x1< x2 thì f(x1) < f(x2)
+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị
tương ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các giá trị x1, x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)
4/ Hàm số bậc nhất là hs được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0
+ Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R, đồng biến khi a > 0, và nghịch biến khi a < 0.
5/ Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là môt đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b va
song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0 trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.
+ Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) ta xác định hai điểm đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai
b
trục toạ độ: đó là điểm P(0; b) và điểm Q(- ; 0) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q.
a
6/ Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a ’, b
≠ b’ và trùng nhau khi và chỉ khi a = a’ và b = b’.
* Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a’.
7/ Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox được hiểu là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đố A là
giao điểm của đường thẳng = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng = ax + b và có tung độ
dương (hình dưới)

y

y

α

A
a>
0

T

y = ax +
b
T

y = ax +
b

α

O
x

O
a<
0

A
x

* Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau nên gọi a là hệ
số góc của đường thẳng y = ax + b.

CHƯƠNG III. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng ax + by = c
(1)
trong đó a, b và c là cấ số đã cho biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
+ Nếu tại x = x0 và y = y0 mà vế trái của phương trình (1) có giá trị bằng vế phải thì cặp số (x 0; y0) được
gọi là nghiệm của phương trình đó. Đồng thời mỗi nghiệm (x 0; y0) của phương trình (1) được biểu diễn
bởi một điểm có toạ độ(x0; y0) trong mặt phẳng toạ độ Oxy.
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi
đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là đường thẳng (d).
2/ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
ax + by = c
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng (I)  '
'
'
a x + b y = c
Trong đó ax + by = c và a’x + b’y = c’ là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Nếu hai phương trình của hệ (I) có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của hệ.
+ Nếu hai phương trình của hệ (I) khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vơ nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó.

2


3/ Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm, tức là mỗi
nghiệm của hệ phương trình này cũng là nghiệm của hệ phương trình kia và ngược lại.
Trong một hệ phương trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ để được
một phương trình mới. Phương trình mới này cùng với một trong hai phương trình của hệ lập thành một
hệ tương đương với hệ đã cho.
4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới rong đó có một

phương trình một ẩn; giải phương trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
5/ Nhân các vế của hai phương trình với hệ số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó
trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để được hệ phương
trình mới mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là được một phương trình một ẩn; giải phương trình
một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
6/ Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn số và các đại lượng đã biết.
Lập hệ hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập được.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình nghiệm nào thoả mãn điều kiện của
ẩn, thích hợp với bài tốn rồi kết luận.
CHƯƠNG IV
HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1/ Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R.
2/ Hàm số y = ax2 có các tính chất:
a)
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
b)
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
c)
Nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)
d)
Nếu a < 0 thì giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)
3/ Đồ thị hàm số là một đường cong (được gọi là parabol với đỉnh O(0; 0)) đi qua gốc toạ độ và nhận Oy
làm trục đối xứng.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh, O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh, O(0; 0) là điểm cao nhất của đồ thị.
Để vẽ parabol ta có thể dựa vào bảng với một giá trị tương ứng của x và y. Ngồi ra có thể vẽ bằng các

cách được mô tả trong sách giáo khoa trang 37 nếu trên trang vở có dịng kẻ hoặc biết một điểm khác
O(0; 0) của nó.
4/ Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0. (1)
5/ Công thức nghiệm.
Đặt ∆ = b2 – 4ac. Gọi ∆ là biệt thức của phương trình (1)
−b+ ∆
−b− ∆
+ Nếu ∆ > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt x1 =
;
x2 =
2a
2a
b
+ Nếu ∆ = 0 thì (1) có nghiệm kép x1 = x2 = −
2a
+ Nếu ∆ < 0 thì (1) vô nghiệm.
6/ Công thức nghiệm thu gọn:
b
Nếu đặt b’ =
và ∆' = b’2 – ac:
2
− b ' + ∆'
− b ' − ∆'
+ Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
; x2 =
a
a
'
b
+ Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −

a
+ Nếu ∆' < 0 thì phương trình vơ nghiệm.
7/ Định lý Vi-ét: Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

3


b
c
; x1.x2 =
a
a
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = 1 và
c
một nghiệm x2 =
a
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 = -1 và
c
một nghiệm x2 = - .
a
* Chú ý: Nếu phương trình (1) có a và c trái dấu thì phương trình ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
8/ a) Để giải phương trình trùng phương ax 4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0), thường đặt ẩn phụ t = x 2 (t ≥ 0) và đưa
về phương trình bậc hai ẩn t. Lấy những nghiệm khơng âm của phương trình này và từ đó suy ra nghiệm
của phương trình đã cho.
b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo bốn bước:
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình
+ Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức
+ Giải phương trình vừa thu được
+ Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện.
c) Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0. Để giải ta giải riêng biệt đối với hai phương

trình A(x) = 0 và B(x) = 0. Nghiệm của phương trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phương trình
trên.
9/ Để giải tốn bằng cách lập phương trình ta tiến hành theo các bước:
Bước 1: Lập phương trình:
+ Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn;
+ Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số;
+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ liệu đã biết.
Bước 2: Giải phương trình vừa lập được.
Bước 3: Chọn các nghiệm thích hợp, từ đó đưa ra đáp số.
x1 + x2 = -

4


PHẦN HÌNH HỌC
a) Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông







2

b = ab'
2

c = ac'

2
2
2
a = b + c (Py_ta_go)

bc = ah
2

h =b'c'
1 + 1 = 1
2
2
2
b
c
h

b) Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Định nghĩa cỏc t s lng giỏc ca gúc nhn
cạnh đối
cạnh kề
sina=
cosa=
cạnh huyền
cạnh huyền
cạnh đ
ối
cạnh kề
cota=

t ana=
cạnh kề
cạnh đối

Mt s tớnh chất của các tỉ số lượng giác
+) Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Cho hai góc α và β phụ nhau. Khi đó:
sinα = cos β;
tan α = cot β;
cos α = sin β;
0
0
+) Cho 0 < α < 90 . Ta có:
2

A
c

h

b'

c'

B

b

H

a

cot α = tan β.

2

0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; sin α + cos α = 1

tan α = sin α ; cot α = cos α ; tan α .cot α = 1
cos α
sin α

So sánh các tỉ số lượng giác
0

0

0 < α1 < α 2 < 90 => sin α1 < sin α 2 ;cos α1 > cos α 2 ; tan α1 < tan α 2 ;cot α1 > cot α 2
c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng
b = a.sinB;
c = a.sinC
b = a.cosC;
c = a.cosB
b = c.tanB;
c = b.tanC
b = c.cotC;
c = b.cotB
b = c = b = c
=> a =
sinB

sinC
cosC
cosB
31. Đường trịn, hình trịn, góc ở tâm, số đo cung
- Đường trịn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm
cách O một khoảng bằng R, kí hiệu (O ; R).
- Hình trịn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và
các điểm nằm bên trong đường trịn đó.
- Trên hình vẽ: α
+) Các điểm A, B, C, D nằm trên (thuộc) đường tròn
khi và chỉ khi OA = OB = OC = OD = R.
+) M nằm bên trong đường tròn; OM < R
+) N nằm bên ngồi đường trịn; ON > R
+) Đoạn thẳng AB là dây cung (dây)
+) CD = 2R, là đường kính (dây cung lớn nhất, dây đi qua
tâm)
¼
+) AmB
là cung nhỏ ( 00 < α < 1800 )
¼
+) AnB
là cung lớn
+) Hai điểm A, B là hai mút của cung

5

C


- Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn được gọi là góc ở

·
tâm ( AOB
là góc ở tâm chắn cung nhỏ AmB)
- Góc bẹt COD chắn nửa đường trịn
- Số đo cung:
+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn
¼ =a ( 00 < α < 1800 )
cung đó s®AmB
+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của
cung nhỏ (cú chung hai mỳt vi cung ln)

ẳ =3600 - a
sđAnB

+) Số đo của nửa đường tròn bằng 1800, số đo của cả
đường trịn bằng 3600
32. Quan hệ vng góc giữa đường kính và dây
- Trong một đường trịn, đường kính vng góc với
một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
AB ⊥ CD tại H => HC = HD
- Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm
của một dây khơng đi qua tâm thì vng góc với dây
ấy
33. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lí 1: Trong một đường trịn
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
AB = CD => OH = OK
OH = OK => AB = CD
Định lí 2: Trong hai dây của một đường trịn

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
AB < CD => OH > OK
OH > OK => AB < CD

34. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
a) Đường thẳng và đường trịn cắt nhau (có hai điểm
chung)
- Đường thẳng a gọi là cát tuyến của (O)
d = OH < R và HA = HB = R2 − OH 2

b) Đường thẳng và đường trịn tiếp xúc nhau (có một điểm
chung)
- Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O)
- Điểm chung H là tiếp điểm
d = OH = R
*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến
của một đường trịn thì nó vng góc với bán kính đi qua
tiếp điểm.
a là tiếp tuyến của (O) tại H => a ⊥ OH

6


c) Đường thẳng và đường trịn khơng giao nhau (khơng có
điểm chung)
d = OH > R

35. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn ta thường dùng hai cách sau:


Cách 1: Chứng minh đường thẳng và đường trịn chỉ có một điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến)

Cách 2: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm của đường trịn và vng góc với bán kính đi
qua điểm đó

H ∈ ( O) 
 =>a lµ tiÕp tun cđa (O)
a ⊥ OH t¹i H
36. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau; đường tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác
a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường trịn cắt nhau
tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của
góc tạo bởi hai tiếp tuyến

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của
góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

·
·
·
·
; AOB
AB = AC;OAB
= OAC
= AOC

b) Đường tròn nột tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là
đường tròn nội tiếp tam giác, khi đó tam giác gọi là tam
giác ngoại tiếp đường tròn
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của
các đường phân giác các góc trong của tam giác
c) Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và
tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là
đường tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm của đường tròn bàng tiếp là giao điểm của hai
đường phân giác các góc ngồi tại hai đỉnh nào đó hoặc là
giao điểm của một đường phân giác góc trong và một
đường phân giác góc ngồi tại một đỉnh

- Với một tam giác có ba đường trịn bàng
tiếp (hình vẽ là đường trịn bàng tiếp trong
góc A)

7


37. Vị trí tương đối của hai đường trịn, tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
a) Hai đường tròn cắt nhau
(có hai điểm chung)
- Hai điểm A, B là hai giao điểm
- Đoạn thẳng AB là dây chung
R - r < OO' < R + r
- Đường thẳng OO’ là đường nối tâm, đoạn thẳng
OO’ là đoạn nối tâm

*) Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm là
đường trung trực của dây chung
b) Hai đường trịn tiếp xúc nhau
(có một điểm chung)
- Điểm chung A gọi là tiếp điểm
+) Tiếp xúc ngoài tại A:

OO' = R + r
+) Tiếp xúc trong tại A:

OO' = R − r

c) Hai đường tròn khơng giao nhau
(khơng có điểm chung)
+) ở ngồi nhau:

OO' > R + r
+) Đựng nhau:

OO' < R − r
+) Đặc biệt (O) và (O’) đồng tâm:

OO' = 0

d) Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường
thẳng tiếp xúc với cả hai đường trịn đó
- Tiếp tuyến chung ngồi khơng cắt đoạn nối tâm
- Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm

8


38. So sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau.
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn
» = CD;
»
» > GH
¼ <=> GH
¼ < EF
»
- Kí hiệu: AB
EF
39. Liên hệ giữa cung và dây.
*) Định lí 1:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn
bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
» = CD
» => AB = CD ; AB = CD => AB
» = CD
»
AB

*) Định lí 2:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn
bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
» > CD
» => AB > CD ; AB > CD => AB
» > CD
»
AB

40. Góc nội tiếp
a) Định nghĩa:
- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai
cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn
b) Định lí:
Trong một đường trịn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa
số đo của cung bị chắn

·
BAC

là góc nội tiếp chắn cung
nhỏ BC(hình a) và chắn cung lớn
BC(hình b)
1
·
»
BAC
= sđ BC
2

c) Hệ quả: Trong một đương trịn

+) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
+) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
+) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng.
41. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Khái niệm:
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm
trên đường trịn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia
chứa dây cung của đường trịn
- Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn
- Hình vẽ:
·

chắn cung nhỏ AmB
BAx
·

chắn cung lớn AnB
BAy
b) Định lí:
- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa
số đo của cung bị chn
c) H qu:
Ã
ẳ
BAx
= 1 sđAmB
Trong mt ng trũn, gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung
2
ÃBAy = 1 sđAnB

ẳ
v góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

2

1
·
·
¼
= ACB
= sđ AmB
BAx
2

9


42. Góc có đỉnh ở bên trong đường trịn. Góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn.
a) Góc có đỉnh ở bên trong đường trịn.
d m a
- Góc có đỉnh nằm bên trong đường trịn được gọi là góc có
đỉnh ở bên trong đường trịn
e
·
- Hình vẽ: BEC
là góc có đỉnh ở bên trong đường trịn chắn

¼
¼
hai cung là BnC

, AmD
- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường trịn bằng nửa
tổng số đo hai cung bị chắn

o
c

¼
¼
·
BEC
= s®BnC +s®AmD
2

n
b

b) Góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn.
- Góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn là góc có đỉnh nằm
ngồi đường trịn và các cạnh đều có điểm chung với đường
tròn
- Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ
·
bên: BEC
là góc có nh bờn ngoi ng trũn, cú hai cung
ẳ vàBnC
ẳ
b chắn là AmD
- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa
hiệu số đo hai cung b chn

ẳ
ẳ
Ã
BEC
= sđBnC - sđAmD
2

43. Kt qu bi toỏn qu tích cung chứa góc
a) Bài tốn: Với đoạn thẳng AB và góc α ( 00 < α < 1800 )
·
cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB
= α là hai
cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB

- Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB đối xứng với
nhau qua AB

- Khi ỏ = 900 thì hai cung chứa góc là hai nửa đường trịn
đường kính AB, suy ra: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng
AB cho trước dưới một góc vng là đường trịn đường kính
AB (áp dụng kiến thức này để chứng minh tứ giác nội tiếp)

10

E
Am

D

O
B

n

C


b) Cách vẽ cung chứa góc ỏ
- Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
·
- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α ( BAx
=α )
- Vẽ tia Ay vng góc với tia Ax . Gọi O là giao điểm của Ay
với d
- Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA sao cho cung này nằm ở
nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.

c) Cách giải bài tốn quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào
đó, ta chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H
44. Tứ giác nội tiếp
a) Khái niệm tứ giác nội tiếp
- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là
tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)
b) Định lí:
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo 2 góc đối diện bằng 1800

Tứ giác ABCD nội tiếp (O),
µ +C
µ =B
µ +D
µ = 1800
suy ra: A

c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm
của đường trịn ngoại tiếp tứ giác

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc ỏ
Lưu ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một
trong các hình : Hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân.
45. Đường trịn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
- Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là
đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội
tiếp đường tròn
- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được
gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác
ngoại tiếp đường trịn

I

- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường trịn

ngoại tiếp, có một và chỉ một đường trịn nội tiếp.
- Trong đa giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với
tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
46. Một số định lí được áp dụng : (khơng cần chứng minh)
a) Định lí 1:
+) Tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
+) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường trịn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác
vng
b) Định lí 2:
Trong một đường trịn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

11


c) Định lí 3:
Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây
căng cung ấy.
d) Định lí 4:
Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (khơng phải là đường kính) thì
chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau
e) Định lí 5:
Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vng góc với dây căng cung
ấy và ngược lại, đường kính vng góc với một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.
47. Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn
a) Độ dài đường trịn
Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi hình trịn) bán kính
R là:
Hoặc
C =2π R
C =π d

Trong đó: C : là độ dài đường trịn
R: là bán kính đường trịn
d: là đường kính đường trịn
π ≈ 3,1415... là số vơ tỉ.
b) Độ dài cung trịn

π R.n
180
Trong đó: l : là độ dài cung trịn n0
R: là bán kính đường trịn
n: là số đo độ của góc ở tâm
Độ dài cung trịn n0 là: l =

c) Diện tích hình trịn
S = π .R 2
Trong đó:
S : là diện tích hình trịn .
R : là bán kính hình trịn .
π ≈ 3 , 14
d) Diện tích hình quạt trịn
π R 2n
l .R
Squat =
S quat =
Hoặc
360
2
Trong đó:
S là diện tích hình quạt trịn cung n0
R là bán kính

l là độ dài cung n0 của hình quạt trịn
π ≈ 3 , 14

12