ĐS CK nhóm 1

Nhóm Đại số: Nguyễn Trọng Hải
LATEX bởi Nguyễn Quang Huy

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

ĐỀ THI THỬ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191
Nhóm ngành 1
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1. (2đ) 1. Giải phương trình sau trên trường số phức sau đó hãy biểu diễn tập
nghiệm của nó trên mặt phẳng tọa độ z 6 + (1 + 2i)z 4 + (1 + 2i)z 2 + 2i = 0
x
2. Ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f : x −→
có phải là song ánh không? Tại
1 +|x|
sao?
Câu 2. (1.5đ) 1. Ký hiệu M2 là không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Cho ma
1 2
trận B =
và xét phép biến đổi tuyến tính f : M2 −→ M2 xác định như sau
3 4
1 2
f (X) = XB, ∀X ∈ M2 . Hãy xác định f −1 (J) với J =
2 1
2. Kí hiệu Pn [x] là khơng gian các đa thức có bậc ≤ n. Xét ánh xạ f : P2 [x] −→ R
1

xác định bởi f : p(x) −→

p(x) dx. Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
−1

Tìm dim(ker f )?
Câu 3. (1.5đ) Trong R3 cho tích vơ hướng x, y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 với
x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Cho a1 = (2, 1, 2), a2 = (1, −2, 1). Gọi
L1 = u ∈ R3 | u, a1 = 0 , L2 = u ∈ R3 | u, a2 = 0
1. Chứng minh rằng L2 là không gian con của R3
2. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con L1 ∩ L2


1 2 2
Câu 4. (2đ) Cho tốn tử tuyến tính f : P2 [x] −→ P2 [x] có ma trận A = 0 3 0
3 3 6
2
2
đối với cơ sở B = {1, x, x } và các vectơ u1 = −2 + x + 2x , u2 = −10 − 2x + 3x2 ,
u3 = −4 + 2x2
1. Tìm một cơ sở của P2 [x] để ma trận của f theo cơ sở đó có dạng chéo
2. Xét xem vectơ u = 1 − 2x + 3x2 ∈ span{f (u1 ), f (u2 ), f (u3 )} hay không
Câu 5. (2đ) 1. Trong R3 cho dạng toàn phương f (x, x) = 3x21 + 2x1 x2 + 3x22 ,
x = (x1 , x2 ). Dùng phương pháp trực chuẩn hóa đưa f (x, x) về dạng chính tắc. Viết
rõ mối liên hệ giữa tọa độ cũ và mới của x trong phép biến đổi trên. Nhận dạng
đường bậc hai f (x, x) = 1 và vẽ đường đó
2. Trong khơng gian R4 với tích vô hướng thông thường, cho các vectơ
u1 = (1, 0, 1, 2), u2 = (0, 1, −1, 2), u3 = (2, 1, 1, 6), u4 = (−1, 1, −2, 9)
Đặt W = span{u1 , u2 , u3 }. Xác định hình chiếu trực giao của vectơ u lên khơng gian
W
Câu 6. (1đ) Cho Pk [x] là không gian vectơ gồm các đa thức có bậc khơng vượt
q k. Chứng minh rằng hệ S = 1, (x − a), (x − a)2 , . . . , (x − a)k là một cơ sở của
Pk [x]