T1 logic tập hợp

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Tuần 1
Chương 1: Logic - Tập hợp - Ánh xạ - Số phức
Logic, tập hợp
I

Logic

1

Kiến thức cần nhớ

1.1

Các phép toán logic

Phủ định A = 1 ⇔ A = 0
Hội A ∧ B = 1 ⇔ A = B = 1
Tuyển A ∨ B = 0 ⇔ A = 
B=0


A = 1
Kéo theo A → B = 0 ⇔


B = 0




A = B = 0
Khi và chỉ khi A ↔ B = 1 ⇔


A = B = 1
1.2

Tương đương logic

Ký hiệu: X ⇔ Y . Nghĩa là X ↔ Y là hằng đúng
1.3

Tính chất

Đồng nhất A ∧ T ⇔ A ,
Trội A ∨ T ⇔ T

,

A∨F ⇔A

A∧F ⇔F

Lũy đẳng A ∧ A ⇔ A ,

A∨A⇔A

Phủ định kép A ⇔ A
Giao hoán A ∧ B ⇔ B ∧ A ,

A∨B ⇔B∨A

Kết hợp (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) ,

(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)

Phân phối A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ,
De Morgan A ∨ B ⇔ A ∧ B

,

A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

A∧B ⇔A∨B

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Một số tính chất khác A → B ⇔ B → A ,

2

A→B ⇔A∨B

Ví dụ minh họa

VD1 Chứng minh các mệnh đề sau đúng
a) A ∧ (A ∨ C) → C
b) (A → B) ∧ (B → C) → (A → C)
Giải
a) (Cách 1: Sử dụng biến đổi tương đương)
A ∧ (A ∨ C) → C ⇔ A ∧ (A ∨ C) ∨ C
⇔ A ∨ A ∨ C) ∨ C
⇔
⇔
⇔

A∨ A∧C

∨C

A∨A ∧ A∨C
T ∧ A∨C

∨C

∨C

⇔ A∨C ∨C
⇔A∨ C ∨C ⇔T
(Cách 2: Sử dụng bảng giá trị chân lý)
A

B

C

A∨C

A ∧ (A ∨ C)

A ∧ (A ∨ C) → C

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

Dựa vào bảng giá trị chân lý, ta được đpcm
b) Giả sử mệnh đề sai

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

2


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập







⇔

(A → B) ∧ (B → C) = 1



A → C = 0






A→B=1



A → C = 1
⇔


A=1






C = 0

Vì A = 1 nên A → B = 1 ⇔ B = 1, ta cũng có C = 0 nên A → C = 1 ⇔ A = 0
Nhưng A → B = 1, mâu thuẫn. Vậy giả sử sai, ta có đpcm
Chú ý Ngồi cách làm trên, ta cịn có thể kẻ bảng giá trị chân lý
VD2 Cho các mệnh đề A, B, C thỏa mãn các điều kiện sau là đúng
(A ∧ C) → (B ∧ C)
(A ∨ C) → (B ∨ C)
Chứng minh rằng mệnh đề A → B là đúng
Giải

Giả sử A → B = 0 ⇔






A=1
. Khi đó ta có:



B = 0
1 = (A ∧ C) → (B ∧ C) = (1 ∧ C) → (0 ∧ C) = C → 0 ⇔ C = 0
1 = (A ∨ C) → (B ∨ C) = (1 ∨ C) → (0 ∨ C) = 1 → C ⇔ C = 1 (Mâu thuẫn)
Vậy giả sử sai, ta phải có A → B = 1 (đpcm)

II
1

Tập hợp
Kiến thức cần nhớ

1.1

Các phép toán tập hợp

Hợp A ∪ B =

x x ∈ A hoặc x ∈ B

Giao A ∩ B =

x x ∈ A và x ∈ B

Hiệu A \ B = x x ∈ A nhưng x ∈
/B
1.2

Tính chất

Giao hốn A ∪ B = B ∪ A ,

A∩B =B∩A

Kết hợp A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

,

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

3


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Phân phối (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ,
De Morgan A ∩ B = A ∪ B

,

A∪B =A∩B

Một số tính chất khác A \ B = A ∩ B
1.3

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

,

X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B)

Ví dụ

Chứng minh:

a) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C)
b) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C)
Giải

Ta có biến đổi
a) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A ∩ C
A
= (A ∩ B) ∩ A ∪ C
= (A ∩ B) ∩ A ∪ (A ∩ B) ∩ C
B
=

A∩A ∩B

C

∪ A∩ B∩C

= (B ∪ ∅) ∪ A ∩ B \ C
=A∩ B\C
b) Ta có biến đổi
(A \ B) \ C = (A \ B) ∩ C

A

= A∩B ∩C
=A∩ B∩C

B

C

=A∩B∪C
= A \ (B ∪ C)

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

4