Sổ tay toán 11 FULL

LỚP TỐN THẦY NGƠ LONG – QUẢNG OAI
Học phí lớp đông: 200k/tháng(8 buổi). Ưu tiên Ngô Quyền, Sơn Tây 160k.
Học thử 1 tháng, chỉ nộp học phí khi học sinh hài lòng và tiếp tục theo học.
Lớp 8: Sĩ số 34, cịn 6 chỗ. Học phí 200k. Time: 17h15 thứ 3 và 15h15 chủ nhật.
Lớp 9: Sĩ số 20 , hết chỗ. Học phí 400k. Time: 17h15 thứ 2 và 17h15 thứ 7.
Lớp 10: Sĩ số 61, còn 11 chỗ. Học phí 200k. Time:17h15 thứ 6 và 17h15 chủ nhật.
Lớp 11: Sĩ số 74, hết chỗ. Học phí 200k. Time: 17h15 thứ 5 và 07h15 chủ nhật.
Lớp 12: Sĩ số 74, hết chỗ. Học phí 200k. Time: 17h15 thứ 4 và 09h15 chủ nhật.
Inbox or cal, Zalo 0988666363 để đăng kí học. Số nhà 14, ngõ 18, đường Tây Đằng.
Thầy Ngơ Long Quảng Oai - Giảng viên tốn, 16 năm kinh nghiệm luyện và chấm thi.
Nếu bạn khơng thích lớp đơng, bạn có thể đăng kí học lớp nhỏ 20hs, học phí 400k/tháng

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11
Tác giả Lê Hồng Quốc tặng thầy Ngô Long
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phần 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số y

sin x

● Tập xác định D
● Tập giá trị T

, có nghĩa xác định với mọi x
1;1 , có nghĩa

1 sin x

;

1;Tac

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sin x
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
2

k2 ;

3
2

k2

,k

2

k2

k2 ;

2

sin x với k

k2

;

và nghịch biến trên mỗi khoảng

;

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

2. Hàm số y

cos x

● Tập xác định D
● Tập giá trị T

, có nghĩa xác định với mọi x
1;1 , có nghĩa

1 cos x

;

1;

● Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 , có nghĩa cos x

k2

cos x với k

;

Sổ tay Toán học 11

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

k

và nghịch biến trên mỗi khoảng k 2 ;

k2 ; k2

;

● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

3. Hàm số y

tan x

● Tập xác định D

k ,k
;
● Tập giá trị T
;
2
tan x với k
● Là hàm số tuần hồn với chu kì , có nghĩa tan x k
\

;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

k ;
k ,k
;
2
2
● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

4. Hàm số y

cot x

● Tập xác định D

\ k ,k

● Tập giá trị T

;

● Là hàm số tuần hồn với chu kì

, có nghĩa tan x

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ;

k

tan x với k

k

, k

;
;

;

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

5. Hàm số chẵn, lẻ: Cho hàm số y
● f

x

● f

x

● f

x

f x thì hàm số y
f x thì hàm số y
f x và f

x

Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363

f x có tập xác định là D . Với mọi x và

x thuộc D . Nếu

f x là hàm số chẵn.
f x là hàm số lẻ.
f x thì hàm số y
Trang 2

f x là hàm số không chẵn, không lẻ.

k2

,


Phần 2. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Bảng giá trị lượng giác

0

0
sin

0

cos

1

tan

0

30

45

60

90

6
1
2

4

3

2

2
2
2
2

3
2
1
2

1

3

1

3
3

3
2
3
3

cot

3

120
2
3

1
0

135
3
4

3
2
1
2

2
2
2
2

3

1

3
3

1

0

2. Cung liên kết: COS đối, SIN bù, PHỤ chéo, TAN – COT hơn kém
Góc đối nhau
cos

a

Góc bù nhau
sin

cos a

sin a

a

sin

a

sin a

cos

a

cos a

cos

tan

a

tan a

tan

a

tan a

tan

cot

a

cot a

cot

a

cot a

cot

2
2
2
2

0

3
2
3
3



1
sin 2 a

 cot a

cos2 a

1

1 cot 2 a

.
Góc hơn kém

sin

a

sin a

a

sin a

cos

a

cos a cos

a

cot a

tan

a

tan a

tan

a

tan a

cot

a

cot a

cot

 tan a

cos a
sin a

sin

2
2
2
2

1 tan 2 a
sin a
cos a

 tan a.cot a

1

4. Công thức cộng
 cos a

b

cos a.cos b

sin a.sin b

 cos a b

cos a.cos b

sin a.sin b

 sin a

b

sin a.cos b

sin b.cos a

 sin a

sin a.cos b

sin b.cos a

 tan a

b

 cot a

b

tan a tan b
1 tan a.tan b

cot a.cot b 1
cot a cot b

b

tan a tan b
1 tan a.tan b
sin(b a )
 cot a cot b
sin a sin b
 tan a b

5. Công thức nhân đôi

cos 2 a
 sin 2a

2 sin a.cos a

 cos 2a

0

3

cos a

1
cos 2 a

1

0

a



0

1

3. Cơng thức lượng giác cơ bản
 sin2 a

360

2

Góc hơn kém

Góc phụ nhau
sin

180

150
5
6
1

2

sin 2 a

2 cos 2 a 1
1 2 sin 2 a

a

2

cos a

a

sin a

a

cot a

a

tan a


Sổ tay Toán học 11

 tan 2a

2 tan a
1 tan 2 a

cot 2 a 1
2 cot a

 cot 2a

6. Công thức nhân ba
 sin3a
 tan 3a

3sin a 4 sin3 a
3tan a tan 3 a
1 3tan 2 a

4 cos3 a 3cos a
cot 3 a 3cot a
3cot 2 a 1

 cos3a
 cot 3a

7. Công thức hạ bậc

1 cos 2a
2
1 cos 2a
 tan 2 a
1 cos 2a

3sin a sin 3a
 sin 3 a
4
8. Tổng thành tích
 sin 2 a

 cos a

cos b

 tan a

tan b

 tan a

tan b

2 cos

a

1 cos 2a
2
1 cos 2a
1 cos 2a
3cos a cos 3a
4

 cos 2 a

 cot 2 a
 cos3a

b

.cos

2
sin a b
cos a .cos b

a b
2

sin a b
cos a .cos b

 cos a

cos b

 tan a

tan b

 cot a

cot b

2 sin

a

b

2
sin a b
cos a .cos b

.sin

a b
2

sin b a
sin a .sin b

9. Tích thành tổng
 cos a .cos b
 sin a .cos b

1
cos a b
2
1
sin a b
2

cos a b

 sin a .sin b

sin a b

 cos a .sin b

10. Cơng thức tang góc chia đơi (biểu diễn theo t
 sin a

2t
1 t2

tan

1 t2
1 t2

 cos a

1
cos a
2

1
sin a
2

cos a b

b

sin a b

b

x
)
2

 tan a

2t
1 t2

 sin x

cos x

1 t2
2t

 cot a

11. Một số kết quả thường gặp
 sin x

cos x

 sin 4 x

cos 4 x

 sin 4 x

cos4 x

2 sin x

1

4

.

1 2
sin 2 x
2

3

c os4 x
.
4

 sin 6 x
 tan x

cos 2 x.

cos 6 x

cot x

2

x
x
sin
cos
.
 1 sin x
2
2
 1 cos 2 x 2sin2 x.
 sin x

3 cos x

2 cos x

 1 cos x
 1 cos 2 x
6

2 sin x

12. Công thức nghiệm cơ bản

Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363

Trang 4

3

.



2 sin x

3 sin x

4

.

3 2
5 3cos 4 x
sin 2 x
.
4
8
1
2
.
sin x.cos x sin 2 x
1

x
; 1 cos x
2

2cos2 x.

2 cos 2

cos x

2 sin x

6

2 sin 2

x
.
2

2 cos x

3

.


 sin x

m

x
x

arcsin m k 2
m
;
arcsin m k 2
k

k2
; k
k2

 cos x

m

x
x

arccos m k 2
m
;
arccos m k 2
k

x

k ; k

 tan x

m

x

arctan m

k ; m

,k

x

k ; k

 cot x

m

x

arccot m

k ; m

,k

 cos x

0

x

 cos x

1

x

 sin x

sin

x
x

k2

 cos x

cos

x
x

 tan x

tan

 cot x

cot

; k

k2

1
1

13. Công thức nghiệm đặc biệt
 sin x

0

x

 sin x

1

x

 sin x

1

k ; k

k2 ; k

2

x

k2 ; k

2

 cos x

1

2

k ; k

k2 ; k
k2 ; k

x

14. Phương pháp giải một số dạng phương trình lượng giác
4 phương trình lượng giác cơ bản

SƠ ĐỒ CHUNG
GIẢI PTLG

Phương trình lượng giác đơn giản

Phương trình lượng dạng đa thức
đối với 1 hàm số lượng giác
Đối chiếu điều kiện

ĐỀ BÀI

ĐÁP SỐ

Đưa về phương trình tích

Đặt ẩn phụ

Đánh giá
Sử dụng Hàm số - Bất đẳng thức

15. Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác
Dạng: an u n

an 1u n

1

... a1u1

a0

0 . Trong đó: u

sin x ; u

tan x hoặc u

cos x ; u

Phương pháp giải:
 Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng chỉ chứa một hàm số lượng giác.
 Bước 2: Đặt ẩn phụ (tìm điều kiện cho ẩn phụ) để đưa về phương trình đại số
ẩn phụ
phương trình cơ bản.
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
PP
 a sin 2 x b sin x c 0, a 0
Đạ t t sin x , điề u kiệ n 1 t 1.
 a cos2 x

b cos x

c

0, a

0

 a tan 2 x

b tan x

c

0, a

0

 a cot 2 x

b cot x

c

0, a

0

PP
PP
PP

cos x , điề u kiệ n

Đạ t t

tan x , điề u kiệ n cos x

Đạ t t

cot x , điề u kiệ n sin x

16. Phương trình bậc nhất theo sin và cos
 Dạng: a sin x

b cos x

c

a, b, c

1

Đạ t t

và a 2

b2

0.

1.

t

0.

0.

cot x .


Sổ tay Toán học 11

Phương pháp giải:
 Bước 1: Kiểm tra
+) Nếu a 2 b 2 c 2 phương trình vô nghiệm
+) Nếu a 2 b 2 c 2 khi đó phương trình có nghiệm, ta thực hiện tiếp bước 2

a2

 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình * cho
a
a
a

Đặt cos

a

2

sin x.cos

b

2

2

b

2

a

2

b2

c

cos x.sin

a2

b

sin x
b

và sin

b 2 , ta được:

a

2

b

a

2

b2

. Khi đó ta được
c

sin x

b2

c

cos x

2

a2

b2

(phương trình cơ bản).

 Một số dạng mở rộng:
 a sin u

b cos u

a2

b 2 sin v

 a sin u

b cos u

a2

b 2 cos v

 a sin u

b cos u

PP
a

2

b

2

a

2

b

2

sin u

a
a2

b2
a

a2

b2

a sin v b cos v với a 2 b 2
a
b
sin u
cos u
a2 b2
a2 b2
sin v

b

sin u

a2
b

sin u

a

a2

2

b
2

b2

cos u

sin v

cos u

cos v

sin u

sin v.

cos u

cos v.

2

a
a

b2

b

2

sin v

b
a

2

b

2

cos v

17. Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai
 Dạng: a.sin 2 x

c.cos2 x

b.sin x cos x

d

1

a, b, c , d

.

Phương pháp giải:
Cách 1:
+) Bước 1: Kiểm tra cos x 0 có là nghiệm hay khơng, nếu có thì nhận nghiệm này.
+) Bước 2: Nếu cos x 0 thì chia cả hai vế cho cos2 x đưa về phương trình bậc hai theo tan x :
sin 2 x
sin x .cos x
cos2 x
d
1
a.
b
.
c
.
.
2
2
2
cos x
cos x
cos x cos2 x
+) Bước 3: Đặt t tan x đưa về phương trình bậc hai để giải tốn.
Cách 2: Sử dụng các cơng thức sau:
1 cos 2 x
1 cos 2 x
sin 2 x
sin 2 x
; cos 2 x
; sin x.cos x

2
2
2
Đưa phương trình đã cho về phương trình: b sin 2 x c a cos 2 x d c a
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải.
18. Phương trình lượng giác đối xứng
 Dạng 1:
 Dạng 2:
a sin x cos x
a sin x cos x b sin x cos x c 0 1 .
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ
t

sin x

cos x

2 sin x

4

c

0

2.

Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ
,

t

2

t2 1
sin x cos x
.
2
Thay vào phương trình 1 rồi giải phương trình
bậc 2 ẩn t.
Thầy Ngơ Long – Quảng Oai - 0988666363

b sin x cos x

Trang 6

t

sin x

cos x

2 sin x

4

,

t

2

1 t2
sin x cos x
.
2
Thay vào phương trình 2 rồi giải phương trình
bậc 2 ẩn t.


 Dạng 3: (Nâng cao)
a sin x cos x b sin x cos x

0

c

 Dạng 4: (Nâng cao)
a sin x cos x b sin x cos x

3.

Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ
t

sin x

cos x

2 sin x

c

0

4 .

Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ

4

, 0

2

t

t2 1
. Thay vào phương trình 3
2
rồi giải phương trình bậc 2 ẩn t.
sin x cos x

sin x

t

cos x

2 sin x

4

, 0

t

2

1 t2
. Thay vào phương trình 4
2
rồi giải phương trình bậc 2 ẩn t.
sin x cos x

HỐN VỊ – TỔ HỢP – CHỈNH HỢP
Phần 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. QUI TẮC CỘNG:
1. Định nghĩa
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án
A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và khơng trùng với bất kì cách nào trong
phương án A thì cơng việc đó có m n cách thực hiện.
Mở rộng: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong k hành động A1 , A2 , A3 ,..., Ak . Nếu hành
động A1 có m1 cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện ,…, hành động Ak có mk cách
thực hiện và các cách thực hiên của các hành động trên không trùng nhau thì cơng việc đó có
m1 m2 m3 ... mk cách thực hiện.
2. Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đơi một rời nhau. Khi đó: A1

A2 ... An

A1

A2

...

An

Cơng việc

Hành động A1

Hành động A2

…….……….

Hành động Ak

Có m1 cách

Có m2 cách

…….……….

Có mk cách

m2 ... mk
cách thực hiện cơng việc
Có m1

II. QUY TẮC NHÂN
1. Định nghĩa
Một cơng việc nào đó có thể bao gồm hai cơng đoạn A và B. Nếu cơng đoạn A có m cách thực hiện và
ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đó có m.n cách thực hiện.
Mở rộng: Một cơng việc được hồn thành bởi k hành động A1 , A2 , A3 ,..., Ak liên tiếp. Nếu hành
động A1 có m1 cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện, … hành động Ak có mk cách thực
hiện thì cơng việc đó có m1 . m2 . m3 ..... mk cách hoàn thành.


Sổ tay Tốn học 11

2. Cơng thức quy tắc nhân
Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó: A1

A2 ... An

A1 . A2 ..... An .

Cơng việc

Hành động A1

Hành động A2

…….……….

Hành động Ak

Có m1 cách

Có m2 cách

…….……….

Có mk cách

Có m1 . m2 ..... mk cách
thực hiện cơng việc

III. HỐN VỊ
1. Giai thừa
 n ! 1.2.3 n    Qui ước: 0!
 n! n – 1 !n


n!
p!



n!
n p !

p 1. p

2

1

n (với n

n– p 1 . n– p

2

p)
n (với n

p)

2. Hoán vị
Một tập hợp gồm n phần tử ( n 1 ). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được
gọi là một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là: Pn
n!
3. Hoán vị lặp
Cho k phần tử khác nhau: a1 , a2 , , ak . Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1 ; n2
phần tử a2 ; ; nk phần tử ak n1

n2

nk

n theo một thứ tự nào đó được gọi là một hốn vị

lặp cấp n và kiểu n1 , n2 , , nk của k phần tử.
Số các hoán vị lặp cấp n kiểu n1 , n2 , , nk của k phần tử là:
n!
Pn n1 , n2 , , nk

n1 ! n2 !...nk !
4. Hốn vị vịng quanh (Thường gặp trong bài tốn xếp người trên bàn tròn)
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một
hốn vị vịng quanh của n phần tử.
n –1 !
Số các hốn vị vòng quanh của n phần tử là: Qn
IV. CHỈNH HỢP
Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363

Trang 8


1. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A 1

k

n theo một thứ tự nào

đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A .
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Ank

n n 1 n 2 ... n

 Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k
Pn
n!
 Khi k n thì Ann

0 hoặc k

n!
n k !

1

k

n.

2. Chỉnh hợp lặp
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A , trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại
nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần
tử của tập A .
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Ank

nk

V. TỔ HỢP
1. Tổ hợp
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k ( 1
chập k của n phần tử.

Ank
k!

Số tổ hợp chập k của n phần tử: C nk
Qui ước: C n0

k

n ) phần tử của A được gọi là một tổ hợp

n!
k! n k !

1

Tính chất:
 C n0
 k .C nk

C nn

1;

n .C nk 11 ;

 C nk

C nn

1

.Cnk



k 1

k

 C nk

;

1
n 1

.Cnk

C nk

1
1

C nk 1 ;  C nk

 k 1 . k .Cnk

1
1;

n

k
k

1

.C nk

1

n 1 . n .Cnk 11 .

2. Tổ hợp lặp
a1 ; a2 ;...; an và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp
Cho tập A
gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A .
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: Cnk

Cnk

k 1

Cnn

1
k 1.

3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp
 Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: Ank

k !C nk .

 Chỉnh hợp: có thứ tự.
 Tổ hợp: khơng có thứ tự.
Những bài tốn mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử ta dùng chỉnh hợp. Ngược lại, là tổ
hợp.

 Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử k

n :

+) Không thứ tự, khơng hồn lại: C nk .
+) Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank .
+) Có thứ tự, có hồn lại: Ank .
Phần 2. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP
I. Phương pháp giải bài toán đếm.
Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T . Để
giải bài tốn này ta thường giải theo hai cách sau:
Phương án 1: Đếm trực tiếp


Sổ tay Toán học 11

 Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
 Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó.
 Kết quả của bài tốn là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên.
Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán:
 Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay
khơng) ta được a phương án.
 Đếm số phương án thực hiện hành động H khơng thỏa tính chất T ta được b phương án. Khi đó
số phương án thỏa u cầu bài tốn là: a b .
Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
0,1,2,...,9 và a1 0 .
Khi lập một số tự nhiên x a1...an ta cần lưu ý: ai
Một số dấu hiệu chia hết:
 x chia hết cho 2

an là số chẵn. Khi giải bài tốn tìm số chữ số chẵn nếu bài tốn chứa chữ số 0
thì ta nên chia 2 trường hợp: an 0 , an 0 .
 x là số lẻ
an là số lẻ.
 x chia hết cho 3 a1 a2
 x chia hết cho 4
 x chia hết cho 5

... an chia hết cho 3 .

an 1an chia hết cho 4 .
an

0,5 .

x là số chẵn và chia hết cho 3 .
 x chia hết cho 6
 x chia hết cho 8 an 2 an 1an chia hết cho 8 .
 x chia hết cho 9 a1 a2 ... an chia hết cho 9 .
 x chia hết cho 11 tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết
cho 11 .
 x chia hết cho 25
hai chữ số tận cùng là 00,25,50,75 .
Các kết quả thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến hình học
 Cho n điểm trong khơng gian, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng.
n n 1
 Số đường thẳng đi qua 2 điểm: C n2
.
2
 Số vêctơ nối hai điểm bất kì: n 2 .

 Số vêctơ khác 0 nối hai điểm bất kì: An2 n n 1 .

n n 1 n 2
.
6
 Nếu trong n điểm khơng có 4 điểm nào đồng phẳng, thì số tứ diện được tạo thành: C n4 .
 Cho đa giác lồi n đỉnh:
n n 3
 Số đường chéo của đa giác: C n2 n
.
2
 Số đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh của đa giác: n 3 .
 Nếu không có 3 đường chéo nào đồng qui thì số giao điểm giữa các đường chéo
n n 1 n 2 n 3
C n4
.
24
n n 1 n 2
 Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác: C n3
.
6
 Số tam giác có đúng 1 cạnh của đa giác 2 cạnh còn lại là đường chéo: nCn1 4 n n 4 .
 Số tam giác tạo thành: C n3

 Số tam giác có 2 cạnh của đa giác, 1 cạnh còn lại là đường chéo: n .
 Số tam giác có cạnh đều là các đường chéo của đa giác:
Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363

Trang 10

C n3

n n n

4

n n2

9n
6

20

.


 Số tam giác vuông :
+) Khi n chẵn: số tam giác vuông là n.C n2 .
2

+) Khi n lẻ: số tam giác vuông là 0 .
 Số tam giác tù:
+) Khi n chẵn: số tam giác tù là n.C n2

.

2
2

+) Khi n lẻ: số tam giác tù là

 Số tam giác nhọn

n.C n2 1 .
2

số tam giác

(số tam giác vuông

+) Khi n chẵn: số tam giác nhọn là C n3

n. C n2

C n2

2

+) Khi n lẻ: số tam giác nhọn là C n3

n.C n2

số tam giác tù)
.

2
2

.

1

2

 Cho đa giác đều 2n đỉnh n

2 :

 Số đường chéo xuyên qua tâm

số hình chữ nhật: C n2

n n 1
.
2

 Số tam giác vuông: 2n 2 .C n2 .
Một số kết quả hay gặp về tam giác
Số đỉnh của đa
Số tam giác đều
giác đều

Số tam giác cân

Số tam giác cân nhưng
không đều
6n 3n 1 3.2n

2n

6n 3n 1

6n 1

0

6n

1 3n

6n

1 3n

6n

0

6n

2 3n

6n

2 3n

6n

6n
6n

2

3

6n

2n 1

4

3 3n 1
6n

0

2.2n

2. 2n 1

4 3n 1

6n

3 3n 1

6n

3. 2n 1

4 3n 1

NHỊ THỨC NEWTON
Phần 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Công thức khai triển nhị thức Newton:
Với mọi số thực a, b và mọi n
ta có

a

b

n

n

C nk a n k b k

C n0 a n

C n1a n 1b

... C nk a n k b k

... C nnb n .

k 0
0

0

b
1.
Quy ước a
2. Tính chất:
a) Số các số hạng của khai triển bằng n 1 .
b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0 , số mũ của b tăng dần từ 0 đến n . Tổng các
số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n .
c) Số hạng tổng quát thứ k 1 có dạng: Tk 1 C nk a n k b k , k 0, 1, 2, , n


Sổ tay Toán học 11

d) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: C nk
n 1
n 1
n
e) C nk đạt Max khi k
hay k
với n lẻ; k
với n chẵn.
2
2
2
f) C n0 C nn 1 ; C nk 1 C nk C nk 1 .

C nn

k

3. Hệ quả

C n0

1, ta có 2n

 Với a

b

 Với a

1; b

1 , ta có 0

C n1

Cn0

... C nn .

Cn1

k

1 Cnk

...

n

1 Cnn .

...

4. Các dạng khai triển nhị thức Newton thường gặp
 x

1

n

C n0 x n

 1

x

n

C n0

C n1 x

C n2 x 2

... C nk x k

 x 1

n

C n0

C n1 x

C n2 x 2

...

C n0

C n1

.... C nn

C n0

C n1

 2n

1 1

C n1 x n

n

n

C nk

1

C n2 x n

2

... C nk x n

... C nn 1 x

k

... C nn 1 x n

k

1 C nk x k

1

...

1

C nn .

C nn x n .
1

n 1

C nn 1 x n

n

1

1 C nn x n .

C nn .

k 0

0

1 1

n

n

C nk

1

k

C n2

n

1 C nn .

.....

k 0

6. Tam giác PASCAL
1
n 0
1
1
n 1
1
2
1
n 2
1
3
3
1
n 3
1
4
6
4
1
n 4
1

4
10
10
5
1
n 5
Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật:
- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
- Nếu biết hàng thứ n n 1 thì hàng thứ n 1 tiếp thêo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên
tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và
cuối hàng.
- Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n 1 số C n0 , C n1 , C n2 ,..., C nn 1, C nn .
Phần 2. DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN
1. Tìm hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển ax p
Phương pháp: Cho khai triển: ax

p

bx

n

q n

C nk

ax

bx q

p n k

bx

n
n

q k

k 0

C nk a n k b k x np

pk qk

k 0

m np
p q
m np
Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: C nk a n k .b k với giá trị k
.
p q
Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0.
Lưu ý: Tìm số hạng khơng chứa x thì ta đi tìm giá trị k thỏa np pk qk 0 .
Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa: np

pk

2. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển P x

qk

m

ax t

Xác định hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển P x

Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363

Trang 12

k

bx p
ax t

cx q

n

bx p

(Nâng cao)

cx q

n

ax t

Bước 1: Phân tích P x

bx p

n

n

cx q

n k

C nk ax t

bx p

cx q

k

;

k 0

Bước 2: Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx p

cx q

k

thành một đa thức theo

luỹ thừa của x .

bx p

cx q

k

k

n

Do đó: P x

C ki bx p

i 0
k

k i

cx q

k

i

C ki b k i c i x

pk i

qi

n

k

i 0

C nk a n k x

t n k

C ki b k i c i x

pk i

qi

k 0i 0

C nkC ki a n k b k i c i x

t n k

pk i

qi

k 0i 0

Bước 3: Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là: C nkCik a n k b k i c i x

t n k

p k i

qi

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m .
3. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (Nâng cao)
 Bước 1: Tính hệ số ak theo k và n . Giả sử sau khi khai triển ta được đa thức
P x

a0

a2 x 2

a1 x

...

an x n .

 Bước 2: Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số a0 , a1 ,..., an . Khi đó ta có

ak

ak

1

ak

ak

1

.

 Bước 3: Giải hệ bất phương trình với ẩn số k .
 Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên lớn nhất thoả mãn bất phương trình.
BÀI TỐN TÌM TỔNG
Một số cơng thức thường sử dụng
 C nk C nn k
 C nk C nk


1
k 1

 C n0

Cnk

C n1

1
n 1

Cnk

1
1

... C nn

1

C nk 11 , n

 k 1 kC nk

2n

n

n 1 nC nk

k

1 C nk



 kC nk

1
1
1

n

0





C nk a k

C 22nk

k 0

k 0
n

 k 2C nk

nC nk

1
1

*

n 1 nC nk
n

C 22nk

k 0

1

2
2

nC nk

1
2

2n

1
1

C 2kn

k 0

n

1 a .

k 0

Sau đây là một số phương pháp để tính tổng kết hợp với những cơng thức nêu trên.
1. Thuần nhị thức Newton
Dấu hiệu: Khi các số hạng của tổng đó có dạng tổng quát C nk a n k b k thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức
Newton: a

b

n

n

C nk a n k b k sau đó chọn a , b phù hợp.

k 0

2. Sử dụng đạo hàm cấp 1, cấp 2
a) Dùng đạo hàm cấp 1
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1, 2,..., n hay n ,..., 3, 2, 1 tức là
số hạng đó có dạng kC nk hoặc kC nk a n
Cụ thể: a

x

n

C n0 a n

C n1a n 1 x

k

thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính.

... C nn x n

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: n a

x

n 1

C n1a n

1

2C n2 a n 2 x

...

nC nn x n

1

1 .

Đến đây thay x , a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.
Lưu ý: Có nhiều bài tốn chúng ta phải nhân x vào 2 vế có thể trước hoặc sau đạo hàm để có hệ số
phù hợp về đề toán.
b) Dùng đạo hàm cấp 2
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2, 2.3,..., n 1 n hay n n 1 ,..., 3.2, 2.1 hay

12 , 22 ,..., n2 (không kể dấu) tức có dạng k k 1 C nk a n

k

thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính.


Sổ tay Toán học 11

Xét đa thức: a

x

n

C n0 a n

C n1a n 1 x

... C nn x n

Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: n a
Đạo hàm lần nữa: n n 1 a

n 2

x

x

n 1

1.2C n2 a n 2b 2

C n1a n
...

1

2C n2 a n 2 x

n 1 n.C nnb n x n

nC nn x n

...
2

1

2

Thay a , x bởi các hằng số thích hợp.
Lưu ý: Có nhiều bài tốn chúng ta phải nhân x vào 2 vế có thể trước hoặc sau đạo hàm để có hệ số

phù hợp về đề tốn.
MỘT SỐ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT SỬ DỤNG NHỊ THỨC NEWTON
n

1. Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có

C ni với i là các số tự nhiên

i 1

liên tiếp.
2. Trong biểu thức có

n

i i 1 C ni thì ta dùng đạo hàm i

.

i 1

 Trong biểu thức có

n

k C ni thì ta nhân hai vế với x k , rồi lấy đạo hàm.

i i
i 1

 Trong biểu thức có

n

a kC ni thì ta chọn giá trị của x

a thích hợp.

i 1

 Trong biểu thức có

1

n
i 1

i 1

C ni thì ta lấy tích phân xác định trên a; b thích hợp.

 Nếu bài toán cho khai triển

xa

xb

n

n

C ni x a

n i

xb

i

i 1

sao cho phương trình a n i

bi

 C ni đạt giá trị lớn nhất khi k

n 1
hay k
2

n

C ni x a n

i

ib

thì hệ số của x m là C ni

i 1

m có nghiệm i

.

n 1
với n lẻ, k
2

n
với n chẵn.
2

XÁC SUẤT

1. Biến cố
• Khơng gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
• Biến cố A : là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A . Suy ra A
.
• Biến cố khơng: .
• Biến cố chắc chắn: .
• Biến cố đối của A : A
\A
• Hợp hai biến cố: A B
• Giao hai biến cố: A B (hoặc A . B )
• Hai biến cố xung khắc: A B
• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất

• Xác suất của biến cố: P A
•0

P A

1; P

1; P

• Qui tắc cộng: Nếu A B

n A
.
n
0.

(nghĩa là A , B là các biến cố xung khắc) thì
P A B
P A P B .

Mở rộng: A , B bất kì (hai biến cố cùng liên quan đến một phép thử):
P A B
P A P B P A.B .
Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363

Trang 14


•P A

1 P A ( A , A là hai biến cố đối nhau).

• Qui tắc nhân: Nếu A , B độc lập thì P A.B

P A .P B .

DÃY SỐ – CẤP SỐ
I. Dãy số
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n , ta
thực hiện như sau:
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1 .
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n

k tuỳ ý k

1 , chứng minh rằng mệnh

đề đúng với n k 1 .
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A n là đúng với với mọi số nguyên dương n
+) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p ;
+) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n k
mệnh đề đúng với n k 1 .
2. Dãy số
u:
u1 , u2 ,..., un ,...
. Dạng khai triển: un
n u n
3. Dãy số tăng, dãy số giảm (Cách chứng minh một dãy tăng hoặc giảm)
 un là dãy số tăng

un 1 un với n

un
 un là dãy số giảm

un
un

1

0 với n

un

1

1

un với n

un 1
un

1 với n

un

0 .

un 1

un

1 với n

un

0 .

4. Dãy số bị chặn
 un là dãy số bị chặn trên

M

: un

M, n

 un là dãy số bị chặn dưới

m

: un

m, n

 un là dãy số bị chặn
II. CẤP SỐ CỘNG

M, m

:m

p và phải chứng minh

.

0 với n

un

un

M, n

.
.
.

p thì:


Sổ tay Toán học 11

1. Định nghĩa: un là cấp số cộng
2. Số hạng tổng quát: un

un

uk

uk

1

2

4. Tổng n số hạng đầu tiên: Sn

u1

III. CẤP SỐ NHÂN
1. Định nghĩa: un là cấp số nhân
2. Số hạng tổng quát: un

u1.q n
2
k

3. Tính chất các số hạng: u

1

... un

u2

un

n u1

un

n 2u1

2

n 1d
2

.

un . q ( q : là công bội).

1

2.

với n

2.

uk 1.uk 1 với k

4. Tổng n số hạng đầu tiên: Sn

2.

; với k

1

( d : công sai).

2.

n 1 d ; với n

u1

3. Tính chất các số hạng: uk

d, n

un

1

nu1 khi q

u1 1 q n

1 hoặc Sn

khi q

1 q

1.

GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Các giới hạn đặc biệt:
1
1
0 ; lim k 0 ; lim n k
 lim
với k nguyên dương
n
n
 lim c c ; lim q n 0 nếu q 1 ; lim q n
nếu q 1 .
2. Giới hạn hữu hạn:
a. (Định lý giới hạn kẹp)
Cho dãy số un , vn và wn có : vn
b. Nếu lim un
c. Nếu un

a ; lim vn

0; lim un

d. Nếu lim un

un

b thì: lim un

a thì lim un
thì lim

a ; lim vn

3. Giới hạn vô cực:
a. Quy tắc 1. Nếu lim un

vn

a

un
vn

lim un

c. Quy tắc 3. Nếu lim un

L

Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363

0 ; lim vn

a.b ; lim

0.

thì:

lim un

; lim vn

b ; lim un .vn

lim wn

a.

; lim vn

b. Quy tắc 2. Nếu lim un

và lim vn

wn n

lim vn

L

lim un . vn

0 thì:
Dấu của L

0 thì:
Trang 16

lim un . vn

a

un
vn

lim un

a
b
b

0 .

a.


lim vn

Dấu của L

0 (dấu
0 (dấu

)
)

0 (dấu

)

0 (dấu

)

4. Cấp số nhân lùi vô hạn:
 Cấp số nhân lùi vô hạn: là cấp số nhân có cơng bội q thõa mãn q
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S

u1

u2

... un

un
vn

lim

...

u1
1 q

1.

.

5. Dạng toán thường gặp

P n
với P x , Q n là các đa thức:
Q n

 Dạng 1. Giới hạn của dãy số un với un
 Nếu deg P

deg Q

k ( deg là bậc của đa thức), hệ số cao nhất của P là a0 , hệ số cao nhất của
a0
.
Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho n k để đi đến kết quả: lim un
b0

 Nếu deg P

deg Q

 Nếu k

k , thì chia tử và mẫu cho n k để đi đến kết quả: lim un

deg Q , chia tử và mẫu cho n k để đi đến kết quả: lim un

deg P

0.

.

f n
, f và g là các biển thức chứa căn.
g n

 Dạng 2. Giới hạn của dãy số dạng: un

 Chia tử và mẫu cho n k với k chọn thích hợp.
 Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
II. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Các giới hạn đặc biệt:
x

c
0 với c là hằng số.
x0
x
với k nguyên dương; lim x k
với k lẻ, lim x k
c ; lim c

x 0 ; lim c

 lim x

x

x0

 lim x

k

c ; lim
x

x

x

x

2. Giới hạn hữu hạn:
L ; lim g x
a. Nếu lim f x
x

x0

x

lim f x

x

b. Nếu f x
c. lim f x
x

x0

x

x0

x

x

x0

lim f x

x

0

3. Giới hạn vô cực:
a. Quy tắc 1. Cho lim f x
x

x

x

lim f x

L

M ; lim f x . g x

L

L thì lim

0; lim f x

x0

x0

x

lim f x

x

x0

x0

L.M ; lim
x

x0

f x
g x

L

M

M

L.

f x

L (Chứng minh hàm số tồn tại giời hạn).

; lim g x

x0

với k chẵn.

M thì:

x0

g x

x0

x

L

0 . Ta có:

Dấu của L

lim f x . g x

x

x0

0 .


Sổ tay Toán học 11

b. Quy tắc 2. Cho lim f x
x

L ; lim g x
x

x0

0; L

x0

0 . Ta có:

lim g x

Dấu của L

x

lim

x0

x

0 (dấu
0 (dấu

)

0 (dấu

)

0 (dấu

)

x0

f x
g x

)

4. Dạng toán thường gặp

 Dạng 1. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x

a

f x

0
0

g x

 Nếu f x , g x là các hàm đa thức thì có thể chia tử số, mẫu số cho x

a hoặc x

2

a .

 Nếu f x , g x là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
 Dạng 2. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x

f x
g x

 Chia tử và mẫu cho x k với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x
thì coi như x 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
x

 Dạng 3. Giới hạn của hàm số dạng: lim f x . g x
.
0.

thì coi như x

0 , nếu

x

Ta biến đổi về dạng:

.

 Dạng 4. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x

 Đưa về dạng: lim
x

f x
f x

g x
g x

f x

.

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC.
1. Hàm số liên tục:
 Cho hàm số y f x xác định trên K và x0

lim f x

x

x

0

lim f x

x

x

0

lim f x

x

x0

g x

K . Hàm số y

f x liên tục tại x 0 khi và chỉ khi

f x0 .

 Hàm số y

f x liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

 Hàm số y

f x liên tục trên a ; b nếu nó liên tục trên a ; b và

lim f x

f a

lim f x

f b

x

x

a

b

.

2. Các định lý:
 Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định.
 Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục tại x 0 thì cũng liên tục tại x 0 .
 Nếu hàm số y
 Cho hàm số y

f x và y

g x liên tục tại x 0 và g x 0

f x liên tục trên a ; b và f a . f b

0 thì hàm số y

0 . Khi đó phương trình f x

nhất một nghiệm trên a ; b .
3. Các dạng toán thường gặp
 Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f x

Thầy Ngô Long – Quảng Oai - 0988666363

Trang 18

f x
liên tục tại x 0 .
g x

g x

khi x

x0

a

khi x

x0

0 có ít


Tìm lim g x .Hàm số liên tục tại x0
x

a.

lim g x

x

x0

x0

 Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f x

lim f x

x

khi x

x0

a

khi x

x0

h x

khi x

x0

lim g x

x0

x

Tìm: lim f x
x

g x

x0

lim g x . Hàm số liên tục tại x

x0

x

x0

x0

lim f x

x

x0

lim f x

x

x0

f x0

a.

f x0
 Dạng 3. Chứng minh phương trình f x

0 có nghiệm trong khoảng a ; b .

 Chứng tỏ f x liên tục trên đoạn a ; b .
 Chứng tỏ f a . f b

0 . Khi đó f x

0 có ít nhất một nghiệm thuộc a ; b .

Lưu ý: Nếu chưa có a ; b thì ta cần tính các giá trị f x để tìm a và b . Muốn chứng minh f x
có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f x

0

0 đều có nghiệm.

ĐẠO HÀM – TIẾP TUYẾN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a ; b và x 0
điểm x 0 là:

f

Chú ý:
 Nếu kí hiệu

lim

x0

x

x

x

x0

f x
x

x0 ;

y

f

 Nếu hàm số y

f x0
.
x0
f x0

x0

f x 0 thì :

x

lim

x

f x0

x
x

x0

f x0
x0

lim
x

0

y
.
x

f x có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Ý nghĩa của đạo hàm
a) Ý nghĩa hình học: Cho hàm số y

f x có đồ thị C

x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị C của hàm số y

 f

a ; b , đạo hàm của hàm số tại

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y
y

f

x0

f x tại M 0 x 0 ; y0

f x tại điểm M 0 x 0 , y0
x

x0

s t tại thời điểm t 0 là

s t0 .

 Gia tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: v
a t0

C là:

y0 .

b) Ý nghĩa vật lí :
 Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s
v t0

C .

v t tại thời điểm t 0 là

v t0 .

 Cường độ tức thời của điện lượng Q

Q t tại thời điểm t 0 là: I t 0

3. Qui tắc tính đạo hàm và cơng thức tính đạo hàm
Các công thức:
 C

0

x

1.

Q t0 .


Sổ tay Toán học 11

 xn

n.x n

, x

2 x

 sin x

0

1
cos2 x
1
 cot x
sin 2 x
Các quy tắc: Cho u u x ; v
v

 u.v


u

v .

u .v

v .u

u .v

u
v

v .u
v

 Nếu y

2

, v

f u ,u

0 .

u .sin u .

cos u

sin x

2 .

,n

u. cos u .

sin u

u
.
cos2 u
u
.
cot u
sin2 u
v x ; C : là hằng số .

 tan x

 u

u
, u
2 u

u

cos x

 cos x

n.u n 1.u , n

un

1

x



1

tan u

0
u x

C .u

C .u .

C
u
yx

C .u
.
u2
f u .ux .

Một số công thức đạo hàm nhanh (với điều kiện các phân thức tồn tại)


ax

cx

b
d
2

ax

a1 x 2



ax

ad

bc

cx

d

ad

2

a b 2
x
a1 b1

bx c
b1 x c1

bx c
a1 x b1

2

a c
x
a1 c1

a1 x 2
a.a1 x 2

2

0 .

bc

f x

b1

c1

y

a.a1 x 2

2

2a.b1 x
a1 x

bb1
b1

a1c

2

a1c x

b1 x

f

f

b1c

.

f x

tại điểm x 0 là :

x0 . x .

f

x thì tích f

x . x

c1

bc1

2

.

có đạo hàm tại x 0 vi phân của hàm số y

f x có đạo hàm f

f x . Kí hiệu : d f x

2 ac1
a1 x 2

d f x0

 Cho hàm số y

a1b x 2

ab1

2

b c
a1 b1

2a.b1 x
a1 x

4. Vi phân
Định nghĩa:
 Cho hàm số y

b1 x

b c
b1 c1

x . x được gọi là vi phân của hàm số

x .dx hay dy

y .dx .

Cơng thức tính gần đúng:
f x0

x

f x0

f

x0 . x .

5. Đạo hàm cấp cao
a) Đạo hàm cấp 2:
 Định nghĩa: f

x

f

x

 Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s
b) Đạo hàm cấp cao: f

n

x

f

n 1

x

, n

II. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Thầy Ngơ Long – Quảng Oai - 0988666363

Trang 20

,n

f t tại thời điểm t 0 là a t 0

2 .

f

t0 .


 Dạng 1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa
Phương pháp: Để tìm đạo hàm thêo định nghĩa ta có 2 cách sau :
Cách 1: Theo quy tắc
Bước 1 : Cho x một số gia

x và tìm số gia

Bước 2 : Tìm giới hạn lim

y
.
x

x

0

Cách 2: Áp dụng cơng thức: f

x0

lim

x

x0

f x
x

y tìm

y

f x

y
.
x

f x . Lập tỉ số

x

f x0
.
x0

Cách 3: Áp dụng bảng công thức.
Chú ý: Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm, đặc biệt là
đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác.
 Dạng 1. Phương trình tiếp tuyến của đường cong C : y f x tại tiếp điểm M x 0 ; y0 có dạng:

d:y
Trong đó:

 f

f

x0 x

x0

y0 .

x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến.

 x 0 là hoành độ của tiếp điểm.
 y0 là tung độ của tiếp điểm.
Áp dụng trong các trường hợp sau:
Trường hợp
Cần tìm

1. Viế t phương trình tiếp tuyến d của
Hệ số góc: f x 0
C tại điểm M x 0 ; y0 .
2. Viế t phương trình tiếp tuyến d của Hệ số góc: f x 0
C tại điểm có hồnh độ x x 0
Tung đọ tiế p điể m y0

Ghi chú

f

Từ x 0

f x0

x0

f x0

3. Viế t phương trình tiếp tuyến d của Hoành độ tiếp điểm x 0
C tại điểm có tung độ y y0
Hệ số góc: f x 0

Giải phương trình
y0 f x 0

Hồnh độ tiếp điểm x 0

Giải phương trình
f x0

k

4. Viế t phương trình tiếp tuyến d của C

Tung độ tiếp điểm y0 f x 0
, biết hệ số góc k của tiếp tuyến d .
Chú ý: Gọi k1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và k2 là hệ số góc của đường thẳng d 2 .
 Nế u d1 song song với d 2 thì k1 k2 .
 Nế u d1 vng góc với d 2 thì k1.k2
1.
 Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C đi qua điể m A x A ; y A
Phương pháp:
Cách 1: Sử dụng tiếp tuyến tại
Bước 1: Gọi tiếp điểm là M x 0 ; y0 .
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến
Bước 3: Vì tiếp tuyến

của C tại điểm M là: y

f

đi qua điểm A nên ta có phương trình y A

x0 x
f

x0

x0 x A

y0

.

x0

y0

Giải phương trình trên, tìm các nghiệm x 0 , sau đó thay các nghiệm x 0 tìm được vào
tìm được các phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điể m A và có hệ số góc k
d : y k x x1
y1 .
Bước 2: Tìm điều kiện để d là tiếp tuyến của đường cong C :

ta


Sổ tay Toán học 11

d tiếp xúc với đường cong C
Bước 3: Khử k , tìm x , thay x vào

f x

k x

f

k

x

x1

y1

có nghiệm.

để tìm k , từ đó suy ra các tiếp tuyến cần tìm.

HÌNH HỌC 11
PHÉP BIẾN HÌNH
1. Phép biến hình
 Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M của mặt
phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
M hay M
F M và gọi điểm M là ảnh
 Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết F M
của điểm M qua phép biến hình F .
 Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H /

F H

là tập các điểm M
/

, với mọi điểm M thuộc H . Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H , hay hình H
Thầy Ngơ Long – Quảng Oai - 0988666363

Trang 22

/

F M

là ảnh của


hình H qua phép biến hình F .
 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
2. Phép tịnh tiến
 Tv : M

M

 Tv M

M , Tv N

v.

MM

N

MN .

MN

x
y'

M x ; y . Khi đó:

 Tv : M x ; y

x
y

a
.
b

3. Phép đối xứng trục (Đọc thêm – chương trình giảm tải)
 Ð :M

M

M 0 M ( M 0 là hình chiếu của M trên

M0M

Ð : M

M

Ð : M

M ,Ð : N

).

M.

Ð : M
N

MN

 ÐOx : M x ; y

M x ; y . Khi đó:

ÐOy : M x ; y

M x ; y . Khi đó:

MN

x

x

y

y

x

x

y

y

.

.

4. Phép đối xứng tâm (Đọc thêm – chương trình giảm tải)
 ÐI : M

M

IM .

IM

 ÐI : M

M

 ÐI : M

M , ÐI : N

ÐI : M

M

N

MN

 Cho I a ; b . ÐI : M x ; y
 Đặc biệt: ÐO : M x ; y

MN

M x ; y . Khi đó:
M x ; y . Khi đó:

x

2a

x

y

2b

y

x

x

y

y

.

.

5. Phép quay
 Q I, : M

IM
M

IM

 Q I, : M

.

IM ; IM

khi 0
 Q I, :

. Khi đó:

 Q O ,90 : M x ; y
 Q O,

90

: M x;y

2

,
khi

M x ; y . Khi đó:
M x ; y . Khi đó:

x
y

2
y

x

x

.

.

y

y

M , Q I, : N

x

.

6. Phép vị tự
 V I ;k : M

M

 V I ,k M

M , V I ,k N

IM

k.IM

 Cho I a ; b . V I ; k : M x ; y
Chú ý:

N

k

0 .

MN

k.MN .

M x ; y Khi đó:

x

kx

1 k a

y

ky

1 k b

.

N

MN

MN .


Sổ tay Tốn học 11

 Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
- Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là các phép dời hình.
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình.

 Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ABC thành A B C thì nó cũng biến trọng tâm, trực
tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm
các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của A B C .

QUAN HỆ SONG SONG
1. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

.

Hình 1
Hình 2
 Phương pháp: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng
đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp
Tóm tắt: Nếu

A d
A a

thì A

mp

ta tìm giao điểm của

(hình 1)

mp

d

 Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
- Tìm mp
chứa d sao cho mp
cắt mp
.
- Tìm giao tuyến a của hai mp

và mp

2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

(hình 2)
và

Cách 1
- Bước 1: Tìm hai điểm chung A và B của

.
và

.

- Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm ( AB

).

Cách 2
- Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước:
Dựa vào các định lý sau:

a
 Đlý 2 (SGK trang 57): Nếu

b thì a

b

c hoặc a , b , c đồng quy (hình 3,4).

c
a
 Hệ quả: Nếu a

b
thì d

,b

a

b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b (hình 5).

d

Thầy Ngơ Long – Quảng Oai - 0988666363

Trang 24


Hình 3

Hình 4

Hình 5

a
 Đlý 2: (SGK trang 61) Nếu a

thì a

b (hình 6).

b
d
 Hệ quả: Nếu

thì a

d

d (hình 7).

a

Hình 6

Hình 7

 Đlý 3 (Sgk trang 67). Nếu

a

thì

Hình 8

b
a

b

(hình 8).

 Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt
nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta
chuyển sang cách hai (dựa vào các định lý và hệ quả nêu trên)
3. Đường thẳng a song song với đường thẳng b .
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp cần thực hiện hai bước cơ bản cho định nghĩa a

a, b

.
a b
- Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng ở trong cùng một mặt phẳng hay hiểu rằng điều đó hiển nhiên
xảy ra nếu chúng cùng nằm trong một hình phẳng nào đó.
- Bước 2: Dùng định lý Thalês, tam giác đồng dạng, tính chất bắc cầu (hai đường thẳng cùng song
song với đường thẳng thứ ba), là hai đáy của hình thang, hai cạnh đối của hình bình hành… để khẳng
định hai đường thẳng đó khơng có điểm chung.
Suy ra điều phải chứng minh.

4. Đường thẳng d song song với đường thẳng
Phương pháp: (Đlý 1 SGK trang 61 ).
d
Nếu d

a

thì d

a
5. Chứng minh hai mp

và mp

song song.

.

b