cac chuyen de boi duong hoc sinh gioi lop 9

Tailieumontoan.com

Sưu tầm

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020


1

Website:tailieumontoan.com

TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề tốn
THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cơ và các em các chuyên đề số học bồi
dưỡng học sinh giỏi lớp 9. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để làm các chuyên đề về này
nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới bồi dưỡng học sinh giỏi
lớp 9 .
Các vị phụ huynh và các thầy cơ dạy tốn có thể dùng tuyển tập chuyên đề này để giúp con
em mình học tập. Hy vọng các chuyên đề số học lớp 9 này có thể giúp ích nhiều cho học sinh lớp 9
phát huy nội lực giải tốn nói riêng và học tốn nói chung.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian để sưu tầm và tổng hợp song không thể tránh khỏi
những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cơ giáo và các em học!
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


2

Website:tailieumontoan.com

Mục Lục
Trang
Lời nói đầu
Chủ đề 1. Rút gọn biểu thức và bài tốn liên quan
Chủ đề 2. Tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức
Chủ đề 3. Các dạng toán số học
Chủ đề 4. Các dạng toán về phương trình
Chủ đề 5. Các dạng tốn về hệ phương trình
Chủ đề 6. Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị
Chủ đề 7. Đa thức
Chủ đề 8. Hàm số
Chủ đề 9. Hình Học
Chủ đề 10. Tổ hợp
Chủ đề 11. Giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

TÀI LIỆU TỐN HỌC


1

Website: tailieumontoan.com
CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 1: Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan
A. Bài toán
a
a 
a +1

với a > 0 ; a ≠ 4
Bài 1: Rút gọn biểu=
thức B 
+
:
a −2 a−4 a +4
a−2 a

Bài 2: Cho biểu thức M =

x y− y−y x+ x
1 + xy

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.
2) Tính giá trị của M, biết rằng x=

(1 − 3 )

2

và y= 3 − 8

2
2
2
−
−
a − 16
a −4
a +4
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.

Bài 3: Cho biểu thức: C =

2) Tìm giá trị của biểu thức C khi a= 9 − 4 5
a
a 
a +1

Bài 4: Cho biểu=
thức: M 
+
:
a −2 a−4 a +4
a−2 a
1) Rút gọn biểu thức M.
2) Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0.
Bài 5: Cho biểu thức A=

( a > 0; a ≠ 4 )

a2 + a
2a + a
−
+ 1 với a > 0 .
a − a +1
a

1) Rút gọn A.
2) Tìm giá trị của a để A = 2.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 6: Rút gọn biểu thức: A=

1
2 x
1
−
+
x + x x −1 x − x

 x + 2 x + 4 x + 2 x +1 
1
2 
Bài 7: Cho biểu thức
=
A 
+
+
 :3+



x −1  
x −2
x +1 
 x x −8
1) Rút gọn A.
2) Tìm giá trị của x để A > 1.

Bài 8: Rút gọn biểu thức: =
A

10 x
2 x −3
x +1
−
+
( x ≥ 0; x ≠ 1)
x+3 x −4
x + 4 1− x

 x +3
x +2
x +2   x−2

Bài 9: Cho biểu thức: A = 
+
+
− 1
:


 x − 2 3− x x −5 x + 6   x − x − 2 
1) Rút gọn biểu thức A.
1
2) Tìm x để =
P 2. A − đạt giá trị lớn nhất.
x

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


2

Website: tailieumontoan.com
Bài 10: Cho biểu thức:
=
P

x +1
x −3
3 x + 16 x − 7
Với x > 0
−
−
x + 2 x −3
x +3
x −1

1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của biểu thức khi=
x 2 2 +3

Bài 11:
1) Tính giá trị của biểu thức A = 3 26 + 15 3 − 3 26 − 15 3 .
 a−2 +2 
a−2
a + 7   3 a − 2 +1
1 
2) Rút gọn biểu thức P = 
+
−
 . 
 : 
.
3
a − 2 

  3 + a − 2 11 − a   a − 3 a − 2 − 2

1 − 1 − x 2 . (1 + x )3 + (1 − x )3 


Bài 12: Cho A =
2 − 1− x2
1) Rút gọn A
2) Tìm x biết A ≥

1
2

Bài 13: Tính giá trị biểu thức: M =( x − y )3 + 3( x − y )( xy + 1) , biết:
x = 3 3 + 2 2 − 3 3 − 2 2 , y = 3 17 + 12 2 − 3 17 − 12 2

 1
Bài 14: Cho biểu=
thức A 
+
x− x
1) Rút gọn A .
3
2) Tìm x để A = .
2
Bài 15:
1) Rút gọn biểu thức P=

1 
1
:
x −1 x − 2 x +1

x2 − x
2 x + x 2 ( x − 1)
với x > 0 , x ≠ 1 .
−
+
x + x +1
x
x −1

2) Cho x + 3 =
2 . Tính giá trị của biểu thức A = 7 ( x 2 − 4 x )

100

+ ( x 2 − 4 x ) + 2016 .
50

Bài 16:
1) Rút gọn biểu thức: P =

x + 2 x −1 + x − 2 x −1
x + 2x −1 − x − 2x −1

2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2 +

A
= x5 +

1
=
7 . Tính giá trị các biểu thức
x2

1
1
= x7 + 7 .
; B
5
x
x

Bài 17: Rút gọn biểu thức P =

Bài 18: Tính
=
A

, với x ≥ 2 .

x −3+ 2 x + 4 x + 4
2017
. Tìm x sao cho P =
.
2018
x+3 x +2

1 + 11
2
+
2 + 11
18 − 5 11

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


3

Website: tailieumontoan.com
 x+2
x
1  x −1
Bài 19: Cho biểu thức A =
với x > 0 ; x ≠ 1

+
+
 x x − 1 x + 1 + x 1 − x  : 2 x


1) Rút gọn A
2
2) Chứng minh A < .
3

Bài 20: Cho A 

1
1
1
1
2017
.
 2  2  ...  2018 . So sánh A với
2
2018
2
3
4
2

 x +1
 
xy + x
Bài 21: Cho biểu thức =

+
+ 1 :  1 −
P 
 xy + 1 1 − xy
 
xy ≠ 1.
1) Rút gọn P .

xy + x
−
xy − 1

x +1 
 với x; y ≥ 0 và
xy + 1 

2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 3 4 − 2 6 + 3 4 + 2 6 và =
y x2 + 6 .
Bài 22:

  x
3
3
3 
1) Rút gọn biểu=
thức A  2
+ 3
+
+ 1 , với x ≠ 3; x ≠ 0 .
⋅

x
 x + x 3 + 3 x − 27   3


2) Tính tổng B = 1 +

1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
.
2
2
1 2
2 3
2018 20192


 2 ( a + b)
  a 3 + 2 2b 3
a
Bài 23: Rút gọn biểu thức: P = 
−
⋅
− a  với a ≥ 0 ;

3
3


a + 2ab + 2b   2b + 2ab
 a − 2 2b

b > 0 ; a ≠ 2b .
Bài 24: Cho biểu thức: A =

2 3 + 5 − 13 + 48
6+ 2

Bài 25: Rút gọn biểu thức: A =
Bài 26: Cho biểu thức A =

. Chứng minh A là một số nguyên.

3 − 5 + 2 6 − 11 − 6 2
2 − 6 + 2 5 + 7 − 2 10

.

1
3
2
với x ≥ 0 .
−
+
x +1 x x +1 x − x +1

1) Rút gọn A .
2) Tìm giá trị lớn nhất của A .

Bài 27: Khơng dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức
B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

x
x − x −1  x + 2
x −5 
Bài 28: Rút gọn biểu thức P =
−
−

:
 với x > 0 ; x ≠ 4
x − 2 x   x +1 x − x − 2 
 x −2
Bài 29:
2
1) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau 3
.
4+ 3 2+2

2) Tìm điều kiện để biểu thức A =

x − 3 2 x −1
x−2
có nghĩa và rút gọn A .
−
+
x −2
x −1 x − 3 x + 2

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


4

Website: tailieumontoan.com
Bài 30: Rút gọn biểu thức:
=
P

Bài 31: Cho=
biểu thức B

(x

2 x + 16 x + 6
+
x+2 x −3
2

)

x −2
+
x −1

3
−2.
x +3

2

− 3 + 12x 2
2

x
trị nguyên của x để B có giá trị nguyên

(x + 2)

+

2

− 8x . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá

5 − 2x
x +1
x −1 x −1
a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7.

Bài 32: Cho biểu thức P =

x x

x

+

+


 

xy + x
xy + x
Bài 33: Cho biểu thức =
+ 1 :  1 −
− x +1  .
P  x +1 +
 xy + 1 1 − xy
 
xy − 1
xy + 1 

 
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Cho 1 + 1 =
8 . Tìm giá trị lớn nhất của P.
x
y

x   x +3
x +2
x +2 
Bài 34: Cho biểu thức A =
+
+
1 −

 : 

x + 1   x − 2 3 − x x − 5 x + 6 

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x= 7 − 4 3 .

c) Tìm m để có giá trị của x thoả mãn A

(

)

x + 1= m ( x + 1) − 2

x
2
x+2
Bài 35: Cho biểu thức: P =
+
+
x − x x + 2 x ( x − 1)( x + 2 x )
a) Rút gọn P .
b) Tính P khi x= 3 + 2 2 .
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 36: Cho biểu thức:

A
=

x x −x−4 x +4 x x + x−4 x −4
−
với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4 .
2−3 x + x x
2+3 x − x x

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
Bài 37: Rút gọn biểu thức A =

(2 + 3) 7 − 4 3
.
2 −1

3+ 5
2 2 + 3+ 5

Bài 38: Cho các số dương: a; b và x =

+

3− 5
2 2 − 3− 5

2ab
. Xét biểu thức P =
b2 +1

a) Chứng minh P xác định. Rút gọn P.

b) Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
x x − 4x − x + 4
Bài 39: Cho biểu thức: A =
2 x x − 14 x + 28 x − 16
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

a+x+ a−x 1
+
a + x + a − x 3b


5

Website: tailieumontoan.com

a) Tìm x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A .
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.


x− y
x + y  x2 y 2 y
Bài 40: Cho biểu thức 
+
−
.
, ( x > 0; y > 0, x ≠ y )
 x y + y x x y − y x  x + y x − y


a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A biết rằng x,y là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 1 = 0.
Bài 41: Cho biểu thức M =

2 a

(

)

(

)

a + 2a - 3b + 3b 2 a - 3b - 2a a

a 2 + 3ab
a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.
11 8
b) Tính giá trị của M khi a = 1 + 3 2 , b = 10 +
3

 x+ y
x − y   x + y + 2xy 
+
 : 1 +
.
 1 − xy
1
xy
−

1
xy
+


 

Bài 42: Cho biểu thức: P =


a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P với x =

Bài 43: a)Rút gọn biểu thức A =

2
.
2+ 3

1− 1− x2 .

(

(1 + x)3 + (1 − x)3

)

2 − 1− x2

với −1 ≤ x ≤ 1 .

b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a 3 − a 2b + ab 2 − 6b3 =
0.
Tính giá trị của biểu thức B =

a 4 − 4b4
.
b 4 − 4a 4


 

xy + x
xy + x
Bài 44: Cho biểu thức A
=  x +1 +
+ 1 :  1 −
− x +1  .
 xy + 1 1 − xy
 
xy − 1
xy + 1 

 
1. Rút gọn biểu thức A.
6 . Tìm giá trị lớn nhất của A.
2. Cho 1 + 1 =
x
y

Bài 45: Cho biểu thức:

a) Rút gọn P.

 a +1

a −1
1 
P=
4
a
a
−
+
−


.
 a −1

a
1
a
+




(

b) Tính giá trị của P tại a =

2+ 3

)(

)

3 −1

2− 3 .

 x+2
x
1  x −1
. Với x ≥ 0, x ≠ 1.
+
+
:
2
x
x
1
x
x
1
1
x
−
+
+
−




Bài 46: Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn biểu thức P.

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


6

Website: tailieumontoan.com
b) Tìm x để P =

2
.
7

c) So sánh: P2 và 2P.
Bài 47:Rút gọn biểu thức: =
P

2 x −9
2 x +1
x +3
với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 .
+
+
x −5 x +6
x −3 2− x

 2 x −1 2x − x  2 x −1
Bài 48:Rút gọn biểu thức:
=
+
A 
 : 3
−
−
+
x
x
x
1
1

 x +1

Bài 49:Rút gọn biểu thức B  13  30 2  9  4 2

Bài 50:Rút gọn biểu thức: A =

5 +3
2 + 3+ 5

+

3− 5
2 − 3− 5

x2 − x
x2 + x
Bài 51:
Cho A
=
−
x + x +1 x − x +1
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

1
2x − 5 x −1  
x−4
x 1 
Bài 52:Cho biểu
thức P 
với x > 0 và x ≠ .
=
−
 x x + 2 + +

 2x + 3 x − 2

4
4x −1  
2
x

Rút gọn biểu thức P và tìm x để P ≤
Bài 53: Rút gọn biểu thức A =

Bài 54: Cho P =

3
.
2

x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 với x ≥ 4.

x x − 2x − x + 2

+

x x + 2x − x − 2

x x −3 x −2
x x −3 x +2
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

 x−4
x x − 8   ( x − 2) 2 + 2 x 
:
Bài 55: Cho biểu thức A = 
+

4 − x  
x +2
 x −2

Với x không âm,khác 4.

a,Rút gọn A
b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x khơng âm,khác 4
c,Tìm x để A là số nguyên
x x + 26 x − 19 2 x
x −3
Bài 56: Cho biểu=
thức: P
−
+
x + 2 x −3
x −1
x +3
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


7

Website: tailieumontoan.com

 3 x + 16 x − 7
−
 x+2 x −3

x +1
−
x +3

Bài 57: Cho biểu

thức: A 
=

x +7 
:2 −
x −1  

x 

x −1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A = −6.
 x + 2 x + 4 x + 2 x +1   3 x − 5
2 x + 10 
Bài 58: Cho biểu thức M =
+
+

 : 

x − 1   x − 2 x + 6 x + 5 
 x x −8

Rút gọn M và tìm x để M>1
Bài 59:
Cho biểu thức: A
=

x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4 .

x x −x−4 x +4 x x + x−4 x −4
với
−
2−3 x + x x
2+3 x − x x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

(2 + 3) 7 − 4 3
.
2 −1

Bài 60: Cho biểu thức:
a a −1 a a +1
1
3 a
2+ a
p=
−
+( a −
)(
−
).
a− a
a+ a
a
a −1
a +1

a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.
x
x +3
x +2
x +2
Bài 61: a) Cho M = (1 −
):(
+
+
)
x +1
x −2 3− x x −5 x +6
1. Rút gọn M
2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên

(

2 3+ 5

Bài 62: Rút gọn=
biểu thức: A

Bài 63: Cho biểu thức: A =

2 2 + 3+ 5

+

(

2 3− 5

6+ 2

)

2 2 − 3− 5

2 3 + 5 − 13 + 48

Bài 64: Rút gọn biểu thức: A =
Bài 65: Tính A =

)

.

. Chứng minh A là một số nguyên.

3 − 5 + 2 6 − 11 − 6 2
2 − 6 + 2 5 + 7 − 2 10

.

1
2
2 3
.
−

−
3
2− 3 3− 3

2 
2  
2


Bài 66: Cho S= 1 −
1 −
 ⋅⋅⋅ 1 −
 . Tính S (kết quả để dưới dạng phân số tối
 2.3  3.4   2020.2021 
giản).
Bài 67: Cho hàm số f (x) = (x + 12x − 31)
3

2010

Tính f (a) tại a = 3 16 − 8 5 + 3 16 + 8 5

(

4 + 15
Bài 68: Tính giá trị biểu thức A =

)(

10 − 6

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

)

4 − 15


8

Website: tailieumontoan.com
Bài 69: Cho biểu thức: P =

2m + 16m + 6
+
m+2 m −3

m −2
+
m −1

3
−2
m +3

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.

x−2 x
x +1

1 + 2x − 2 x
+
+
, với x > 0, x ≠ 1. Rút gọn
x x −1 x x + x + x
x2 − x
P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Bài 70: Cho biểu thức P =

1
1   2x + x −1 2x x + x − x 
 1
Bài 71: Cho biểu thức P =
−
+
 với x > 0, x ≠ 1, x ≠

 :  1 − x
4
x 
1+ x x
 1− x

4
Tính giá trị của P tại
=
x
3+ 5 + 3− 5
10

)

(

Bài 72. Rút gọn=
biểu thức: A

(

2 3+ 5

)

2 2 + 3+ 5

Bài 73: Rút gọn biểu thức: P =

+

(

2 3− 5

)

2 2 − 3− 5

x + 2 x −1 + x − 2 x −1
x + 2x −1 − x − 2x −1

.

, với x ≥ 2 .


 2 a  1
2 a

:
Bài 74: Rút gon biểu thức : A = 1 −
−
  1 + a a a + a + a + 1  , với a ≥ 0
+
1
a

 


Bài 75: Rút gọn biểu thức: A =
Bài 76: Cho hai biểu thức: A =

0 ≤ x ≠1

5 +3
2 + 3+ 5

+

3− 5
2 − 3− 5

2 x +3
và B =
2 x −2

x +1
x − 2 2x + x − 6
với
+
+
x + 2 1− x
x+ x −2

a) Tính giá trị của A với x= 6 + 2 5
b) Rút gọn B
c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
a a −b b
a
b
Bài 77: Cho biểu thức M=
với a, b > 0 và a ≠ b
−
−
a−b
a+ b
b− a
Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết (1 − a )(1 − b ) + 2 ab =
1

 x+2
x
1  x −1
+
+
.
:
2
x
x
−
1
x
+
x
+
1
1
−
x



Bài 78: Cho biểu thức: P =
Với x ≥ 0, x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P =

2

.
7

c) So sánh: P2 và 2P.

Bài 79: Cho biểu thức M 

a  1 a a 1 a 2  a a  a 1
với a > 0, a ≠ 1.


a
a a
a a a

Với những giá trị nào của a thì biểu thức N =

6
nhận giá trị ngun?
M

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


9

Website: tailieumontoan.com

 a + 2018
a − 2018  a + 1

−
.
Bài 80: Rút gọn=
biểu thức P 

 a + 2 a +1
−
a
1
2
a


2
2x + 3 x x −1 x + x
Bài 81: Cho biểu thức P =
với x > 0, x ≠ 1 . Rút gọn và tìm giá trị nhỏ
+
−
x
x− x x x +x
nhất của biểu thức P .
Bài 82: Rút gọn biểu thức:

X = 1+

1 1
1 1
1 1
1

1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
.
2
2
1 2
2 3
3 4
2017 20182

Bài 83: Rút gọn biểu thức:


x   x +3
x +2
x +2 
−
+
A=
1 −
 : 

x +1   x − 2
x − 3 x − 5 x + 6 


 3 x
x
x +3

1 
−
+
Bài 84: Cho các biểu thức: P =
( với x ≥ 0 )
 :
x +1 x − x +1
 x x +1 x − x +1
1
Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để P ≥ .
5

Bài 85: Cho biểu thức A
=

x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1) 
1 
. 1 −
 , trong đó x > 1, x ≠ 2.
 x −1 
x 2 − 4( x − 1)

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên.

(

Bài 86: Rút gọn biểu thức: B =13 − 4 3

=

P
Bài 87: Rút gọn biểu thức

)( 7 + 4 3 ) − 8

20 + 2 43 + 24 3 .

3x + 9x − 3
x +1
x −2
−
−
. Tìm x để P = 3.
+
x+ x −2
x 2
x −1

 x + 2 x + 4 x + 2 x +1   3 x − 5
2 x + 10 
Bài 88: Cho biểu thức M =
+
+

 : 

x − 1   x − 2 x + 6 x + 5 
 x x −8

Rút gọn M và tìm x để M>1


x +2
x +3
x +2 
x 
Bài 89: Cho biểu thức=
:A 
 x − 5 x + 6 − 2 − x − x − 3  :  2 − x + 1 

 


a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của x để

1
5
≤−
2
A

x
2
x+2
Bài 90: Cho biểu thức: P =
+
+
x − x x + 2 x ( x − 1)( x + 2 x )

a) Rút gọn P .

b) Tính P khi x= 3 + 2 2 .
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


10

Website: tailieumontoan.com

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.


x 1
x  8   3 x 1  1
1 
 : 

Bài 91: Cho biểu thức P = 


 3  x 1 10  x   x  3 x 1 1
x 1 

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x =

Bài 92: Rút gọn biểu thức:

4

3+ 2 2

3−2 2

3−2 2

−4

3+ 2 2

2 10 + 30 − 2 2 − 6
2
:
2 10 − 2 2
3 −1

A=

a + 1 a a −1 a2 − a a + a −1
Bài 93: Cho biểu thức: M = +
với a > 0, a ≠ 1.
+
a
a− a
a −a a
a) Chứng minh rằng M > 4.
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N =
Bài 94: Rút gọn biểu thức A =

6
nhận giá trị nguyên?
M

2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
x −5 x +6
x − 2 3− x

B. Lời giải
a
a 
a +1

Bài 1: Rút gọn biểu=
thức B 
với a > 0 ; a ≠ 4
+
:
a −2 a−4 a +4
a−2 a
Lời giải

a
a 
a
a 
a +1


+

=
B 
+
.
: = 
a −2
a −2 a−4 a +4 a−2 a
a−2 a
=
B

a +a
.
a −2

(

)

(

2

a −2
=
a +1

a 1+ a
a −2

Bài 2: Cho biểu thức M =

).(

)

(

a −2

)

2

a +1

2

a −2
=
a +1

a

(

a −2

)

x y− y−y x+ x
1 + xy

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.
2) Tính giá trị của M, biết rằng x=

(1 − 3 )

2

và y= 3 − 8

Lời giải
1) ĐKXĐ: x ≥ 0 ; y ≥ 0
M=
2) Với x=

xy

(

) (

x− y +

1 + xy

(1 − 3 )

2

x− y

) = (1 +

)

)(

x− y
=
1 + xy

xy

(

)

và y =−
3 8 =−
3 2 2 = 2 −1

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

2

x− y

11

Website: tailieumontoan.com

(1 − 3 )

M=

2

(

−

)

2

2 −1 =

3 − 1 − 2 + 1=

3− 2

2
2
2
−
−
a − 16

a −4
a +4
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.

Bài 3: Cho biểu thức: C =

2) Tìm giá trị của biểu thức C khi a= 9 − 4 5
Lời giải
1) ĐKXĐ: a ≥ 0 ; a ≠ 16
a
2
2
2
2
2
=
−
−
−
−
C=
a − 16
a −4
a +4
a −4
a +4
a −4
a +4

(

C=

C=

)(

)

) ( a − 4) = a − 2 a − 8 − 2 a + 8 =
( a − 4)( a + 4)
( a − 4)( a + 4) (

a−2

(

(

a +4 −2

a ( a − 4)
a −4

)(

a +4

=

)

a −4

)(

a +4

a
a +4

(

2) Với a = 9 + 4 5 = 4 + 4 5 + 5 = 2 + 5
5)
(2 + =
(2 + 5 ) + 4

a−4 a

)

2

2

=
C

2+ 5

2+ 5 7+4 5
= =
31
2+ 5 +4 6+ 5

2

a
a 
a +1

Bài 4: Cho biểu=
thức: M 
+
:
a −2 a−4 a +4
a−2 a
1) Rút gọn biểu thức M.
2) Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0.
Lời giải

( a > 0; a ≠ 4 )

 (
.

a
a
a
a 

a +1


1) M 
= 
+
=
+

:
a −2
a −2 a−4 a +4 a−2 a
a−2 a
M
=

a +a
.
a −2

2) M ≤ 0 ⇔ a

(

(

)

2

a −2
=
a +1

)

(

a 1+ a
a −2

).(

)

2

a −2
=
a +1

a

a − 2 ⇔ a − 2 ≤ 0 (vì a > 0 )

⇔ a ≤2⇔a≤4
Vì a > 0; a ≠ 4 nên M < 0 ⇔ 0 < a < 4
Bài 5: Cho biểu thức A=

a2 + a

2a + a
−
+ 1 với a > 0 .
a − a +1
a

1) Rút gọn A.
2) Tìm giá trị của a để A = 2.
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

(

a −2

)

a −2

)

a +1

2

)


12

Website: tailieumontoan.com

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

(

a

(

)−

)(

a +1 a − a +1
a − a +1

) − a (2

a a a +1

a2 + a
2a + a
1) A
=
−
=
+1
a − a +1
a
A=

Lời giải

a − a +1

(2

) +1

a +1
a

)

a +1 +1 = a + a − 2 a −1 +1 = a − a

2) A = 2 ⇔ a − a = 2 ⇔ a − a − 2 = 0
Đặt y = a

( y > 0 ) , ta có phương trình:

y2 − y − 2 =
0

Giải phương trình ta được: y = −1 (loại); y = 2 (nhận)
y = 2 ⇔ a = 2 ⇔ a = 4 (nhận)

Vậy a = 4 thì A = 2
1 1 
1  1 −1

3) A = a − a = a − a + − =  a −  − ≥
với mọi a > 0
4 4 
2 4 4
2

1
1
= 0 ⇔ a = (nhận)
2
4
1
1
Vậy MinA = − khi a =
4
4
Dấu “=” khi

a−

Bài 6: Rút gọn biểu thức: A=

1
2 x
1
−
+
x + x x −1 x − x
Lời giải

ĐKXĐ: x > 0 ; x ≠ 1
A=

=
A

1
2 x
1
−
+
=
x + x x −1 x − x

1

2 x

−

1

+

( x − 1)
−2 x ( x − 1)
x −1 − 2x + x +1
−2 x + 2 x
−2
= = =

x +1
x ( x − 1)( x + 1)
x ( x − 1)( x + 1)
x ( x − 1)( x + 1)
x

(

) (

x +1

)(

x −1

)

x +1

x

 x + 2 x + 4 x + 2 x +1 
1
2 
Bài 7: Cho biểu thức
=
A 
+
+

 :  3 +

x −1  
x −2
x +1 
 x x −8
1) Rút gọn A.
2) Tìm giá trị của x để A > 1.
Lời giải
1) ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1 ; x ≠ 3 ; x ≠ 4



A
=



(

x+2 x +4

)(

x −2 x+2 x +4

+

) (

(

)

x +1

)(

x +1

 3
:
x −1 

2

)

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

(

x −2

)(

)

x +1 + x +1+ 2

(

x −2

)(

)

x +1

(

x −2

)


13

Website: tailieumontoan.com

(

)(

)

x −1 + x +1
x −2
 1

x + 1  3( x − x − 2) + 3 x − 3
A=
+
= :

 :
x −1 
x −2
x +1
x −2
x −1
 x −2
A=

x −3

(

x −2

2) A > 1 ⇔

)(

(

⋅

)

x −1

(

x −2

)(

)(

)=

(

)

x +1

3 ( x − 3)

3

(

x +1
x +1
>1⇔
−1 > 0 ⇔
3( x − 1)
3( x − 1)

x +1

)(

)

3x − 9

(

x −2

)(

)

x −1

x + 1 − 3( x − 1)
4−2 x
>0⇔
>0
3( x − 1)
3( x − 1)

⇔1< x < 2 ⇔1< x < 4
Vậy 1 < x < 4 và x ≠ 3 thì A > 1
10 x
2 x −3

x +1
−
+
( x ≥ 0; x ≠ 1)
x+3 x −4
x + 4 1− x
Lời giải

Bài 8: Rút gọn biểu thức: =
A

=
A

=
A

(

10 x
x +4

)(

)

x −1

−

(

10 x − 2 x + 5 x − 3 − x − 5 x − 4
=
x +4
x −1

(

)(

) (

)(

x −1 − x +1
x + 1 10 x − 2 x − 3
2 x −3
=
−
x +4
x −1
x +4
x −1

)(

)

(

)(

)

x − 1)( 7 − 3 x )
(=
) ( x + 4)( x − 1)

−3 x + 10 x − 7
=
x +4
x −1

(

)(

x +4


x +3
x +2
−
+
A= 
 x −2
x −3


=
A

A=

(

 
:
x −3  
 

x +2
x −2

)(

) (

x − 9 − ( x − 4) + x + 2 x − 2 − x + x + 2
: =
x −2
x −3
x +1
x −2

(

)(

) (

)(

x−2

)(

x +1

) (

x −2

1
x +1 1
2 1
=2 ⋅
− =2 +
−
x
x
x
x x
2

2 1
1 



P =3 − 1 −
+  =3 − 1 −
 ≤ 3 với mọi x > 0
x x
x


1
1
Dấu “=” khi 1 −
=0 ⇔
=1 ⇔ x =1 (nhận)
x
x
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

)

x −3

x +1
x

2) P =2. A −


− 1

x −2


)(

x −3

)

⋅

(

)(

x +1

x

)

7−3 x
x +4

 x +3
x +2
x +2   x−2

Bài 9: Cho biểu thức: A = 
+
+
− 1

 : 
 x − 2 3− x x −5 x + 6   x − x − 2 
1) Rút gọn biểu thức A.
1
2) Tìm x để =
P 2. A − đạt giá trị lớn nhất.
x
Lời giải
1) ĐKXĐ: x > 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9

x −2

)

)

x +1


14

Website: tailieumontoan.com

Vậy MaxP = 3 khi x = 1

x +1
x −3
3 x + 16 x − 7
Với x > 0
−

−
x + 2 x −3
x +3
x −1

Bài 10: Cho biểu thức:
=
P
1) Rút gọn biểu thức P

2) Tính giá trị của biểu thức khi=
x 2 2 +3
Lời giải
1) P
=

(
(
P=
(

3x + 4 x − 7

)(
x + 1)(
x + 3)(

−

)

x + 3)
=
x − 1)

x +3

x −1

x +1
x − 3 3 x + 4 x − 7 − ( x − 1) − ( x − 9 )
−=
=
x +3
x −1
x +3
x −1

(

P=

)
2 + 1)

)

(

x +3

)(

(

)

2

2 + 1 , ta có:

2

2 +1 +1
2

=

−1

2 +1+1
=
2 +1−1

2+2
= 1+ 2
2

Bài 11:
1) Tính giá trị của biểu thức A = 3 26 + 15 3 − 3 26 − 15 3 .
 a−2 +2 

a−2
a + 7   3 a − 2 +1
1 
2) Rút gọn biểu thức P = 
+
−
 . 
 : 
.
3
a − 2 

  3 + a − 2 11 − a   a − 3 a − 2 − 2
Lời giải

1) Ta có A = 3 26 + 15 3 − 3 26 − 15 3
3
A=
8 + 3.22 3 + 3.2.( 3) 2 + ( 3)3 − 3 8 − 3.22 3 + 3.2.( 3) 2 − ( 3)3

A = 3 (2 + 3)3 − 3 (2 − 3)3 = (2 + 3) − (2 − 3) = 2 3
2) Điều kiện: 2 < a ≠ 11
Đặt x =

=
P

a − 2 (0 < x ≠ 3) ⇒ a = x 2 + 2 .

( x + 2) . 

3

x
x 2 + 9   3x + 1 1 
+
− 
 3 + x 9 − x2  :  x2 =

  − 3x x 

( x + 2 ) . x ( x − 3) =− x =− a − 2
P=
3 − x 2x + 4
2
2
1 − 1 − x 2 .  (1 + x )3 + (1 − x )3 


Bài 12: Cho A =
2
2 − 1− x
1) Rút gọn A
1
2) Tìm x biết A ≥ .
2
Lời giải
1) ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 1

Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038

( x + 2 ) . 3 ( x + 3) :
3

9− x

2

2x + 4
x ( x − 3)

)

x −1

x +1
x −1

2) Với x = 2 2 + 3 = 2 + 2 2 + 1 =

(
(

)(

x+4 x +3


15

Website: tailieumontoan.com

(

1− x − 1+ x

2) A ≥

2

2

A=

A

)

(

)

)(

(

.  1 + x + 1 − x 2 − 1 − x2 


2 − 1 − x2

)

1− x − 1+ x . 1+ x + 1− x
=
2

 2 x khi 0 ≤ x ≤ 1

 − 2 x khi − 1 ≤ x ≤ 0

1
2

1
1
⇔x≥
2
2 2
1
1
Khi −1 ≤ x ≤ 0 thì − 2 x ≥ ⇔ x ≤ −
2
2 2
1
1
1
Vậy A ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ −
hoặc
≤ x ≤1
2

2 2
2 2
Bài 13: Tính giá trị biểu thức: M =( x − y )3 + 3( x − y )( xy + 1) , biết:
2x ≥

Khi 0 ≤ x ≤ 1 thì

x = 3 3 + 2 2 − 3 3 − 2 2 , y = 3 17 + 12 2 − 3 17 − 12 2

Ta có: x 3 =

(

3

3+ 2 2 − 3 3− 2 2

)

Lời giải
3

(

)(

)(

=
3 + 2 2 − 3 + 2 2 − 33 3 + 2 2 3 − 2 2 .

3

3+ 2 2 − 3 3− 2 2

= 4 2 − 3x
4 2
⇒ x + 3x =
3

Tương tự: y 3 + 3 y =
24 2
⇒ x 3 − y 3 + 3( x − y ) =
−20 2
⇒M =
( x − y )3 + 3( x − y )( xy + 1) =
−20 2

 1
Bài 14: Cho biểu=
thức A 
+
x− x
1) Rút gọn A .
3
2) Tìm x để A = .
2

1 
1

:
x −1 x − 2 x +1

Lời giải
1) ĐKXĐ: x > 0 ; x ≠ 1

1 
1
1

:
=
+

x −1 x − 2 x +1  x x −1


 1
=
A 
+
x− x
=
A
x

2) A =

(

x +1

(

)

x −1

(

)

2

⋅ =
x −1

(

x − 1)
)( =

x +1

x

3
x −1 3
⇔
= ⇔ 2x − 3 x − 2 = 0

2
2
x

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

)

x −1
x

1 
⋅
x − 1


(

)

x −1

2

)


16

Website: tailieumontoan.com

( t ≥ 0) , ta có phương trình:

Đặt t = x

Giải phương trình ta được: t1 = −

2t − 3t − 2 =
0
2

1
(loại); t2 = 2 (nhận)
2

t = 2 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 (nhận)
3
Vậy x = 4 thì A =
2
Bài 15:
x2 − x
2 x + x 2 ( x − 1)
với x > 0 , x ≠ 1 .
−
+
x + x +1
x
x −1

1) Rút gọn biểu thức P=

2) Cho x + 3 =
2 . Tính giá trị của biểu thức A = 7 ( x 2 − 4 x )

100

1) P
=

x

(

)(

) − x (2

x −1 x + x +1
x + x +1

P= x

(

Lời giải

) (

) (

x −1 − 2 x +1 + 2

) + 2(

x +1
x

)(

x −1

(

+ ( x 2 − 4 x ) + 2016 .
50

)

x +1

)

x −1

)

x +1 = x − x +1

2) x + 3 =2 ⇔ ( x − 2 ) =3 ⇔ x 2 − 4 x + 4 =3 ⇔ x 2 − 4 x =−1
2

⇒ A = 7 ( −1)

100

+ ( −1) + 2016 = 2024
50

Bài 16:
x + 2 x −1 + x − 2 x −1

, với x ≥ 2 .
x + 2x −1 − x − 2x −1
1
7 . Tính giá trị các biểu thức
2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2 + 2 =
x
1
1
= x7 + 7 .
A
= x5 + 5 ; B
x
x
Lời giải
1) Rút gọn biểu thức: P =

1) P 

P

P

x 1  2 x 1  1  x 1 2 x 1  1
2 x 1  2 2 x 1  1  2 x 1 2 2 x 1  1
2
2
2

2.
x 1  1 
x  1  1 











 2 x 1  1   2 x 1 1
2. x  1  1  x  1  1
2.2

2

2 x 1  1 2 x 1  1

2

x 1
2
2

 2. x  1

1
1
1
1



= 7 ⇔  x 2 + 2 + 2  − 2 = 7 ⇔  x +  = 9 ⇒ x + = 3 (do x  0 )
2
x
x
x
x



1 
1 
1 
Ta có: x 3 + 3 =  x +   x 2 − 1 + 2  = 3.6= 18
x

x 
x 


2) x 2 +

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


17

Website: tailieumontoan.com
2

1  2 1 
=  x + 2  − 2= 47
x4 
x 
1 
1 
1
1
1

⇒  x +   x 4 + 4  = x 5 + 3 + x 3 + 5 = x 5 + 5 + 18
x 
x 
x
x
x


x4 +

1
1
+ 18 = 141 ⇔ x 5 + 5 = 123
5
x
x
1 1
1
 3 1  4 1 
7
7
 x + 3  x + 4  = x + x + + 7 = x + 7 + 3
x 
x 
x x
x

1
1
⇒ x 7 + 7 + 3= 846 ⇔ x 7 + 7= 843
x
x
⇔ x5 +

Bài 17: Rút gọn biểu thức P =

x −3+ 2 x + 4 x + 4

2017
. Tìm x sao cho P =
.
2018
x+3 x +2
Lời giải

(

)

(
)(

2

x +2
x −3+ 2
x −3+ 2 x + 4 x + 4 x −3+ 2
=
= =
P
x+3 x +2
x+3 x +2
x +1

( x + 1)
x + 2 x +1
= =
( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 2)

2

=
P
=
P

x + 1 2017
=
⇔ 2018
x + 2 2018

2017
⇔
2018

Bài 18: Tính
=
A

(

(

)
x + 2)

x +2

x +1

x +2

)

x +=
1 2017

(

)

x +2 ⇔ =
x 2016 ⇔=
x 20162

1 + 11
2
+
2 + 11
18 − 5 11
Lời giải

(

)(

)

(

)

1 + 11 2 − 11
2 18 + 5 11
1 + 11
2
9 − 11 + 5 + 11
2
A=
+
=
+
=
=
4 − 11
49
7
2 + 11
18 − 5 11
 x+2
x
1  x −1
Bài 19: Cho biểu thức A =
với x > 0 ; x ≠ 1
 x x − 1 + x + 1 + x + 1 − x  : 2 x


1) Rút gọn A
2
2) Chứng minh A < .

3
Lời giải


=
1) A 


=
A

(

1  2 x
x
+
−
⋅
x − 1 x − 1
x −1 x + x +1 x + x +1

x+2

)(

)
x + 2 + x ( x − 1) − ( x + x + 1) 2 x
=
⋅
x −1 (

( x − 1)( x + x + 1)
( x − 1) =
2 x
2 x
⋅
( x − 1)( x + x + 1) x − 1 x + x + 1
2

=
A

Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038

x − 2 x +1

)(

)

x −1 x + x +1

⋅

2 x
x −1


18

(

Website: tailieumontoan.com

)

(
(

)

2
2 x
2 6 x − 2 x + x +1
−2 x + 4 x − 2 − 2 x − 2 x + 1
2) Ta có:=
A−
=
−
=
=
3 x + x +1 3
3 x + x +1
3 x + x +1
3 x + x +1

(

)

(

)

(

)

)

2

2 −2 x − 1
A− =
3 3 x + x +1

(

Vì −2

(

)

2
2

1  3
x − 1 ≤ 0 và 3 x + x +=
1 3  x +  +  > 0 với x > 0 ; x ≠ 1
4  4 



)

(

(

)

)

2

2
2 −2 x − 1
=
⇒ A−
<0 ⇒ A<
3
3 3 x + x +1

(

Bài 20: Cho A 

)

1
1

1
1
2017
.
 2  2  ...  2018 . So sánh A với
2
2018
2
3
4
2
Lời giải

1
1
1
1
1
1
1
1
 2  2  ...  2018 


 ... 
2
1.2 2.3 3.4
2017.2018
2
3

4
2
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
Mà


 ... 
 1       ... 

1.2 2.3 3.4
2017.2018
2 2 3 3 4
2017 2018
Ta có: A 

 1
Vậy A 

1
2017

2018 2018

2017

2018

 x +1
 
xy + x
Bài 21: Cho biểu thức =
P 
+
+ 1 :  1 −
 xy + 1 1 − xy
 
xy ≠ 1.
1) Rút gọn P .

xy + x
−
xy − 1

x +1 
 với x; y ≥ 0 và
xy + 1 

2) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 3 4 − 2 6 + 3 4 + 2 6 và =
y x2 + 6 .
Lời giải
 x +1
 
xy + x
1) =
P 

+
+ 1 :  1 −
 xy + 1 1 − xy
 
P

(

P=

xy + x

)(

1 − xy

)

x +1 

xy + 1 

xy + 1 + 1 − xy 
: 1 −


xy + x
−
xy − 1

x − x y + 1 − xy + xy + xy + x y + x + 1 − xy 
: 1 −
1 − xy


P

P=

) (

)(

x + 1 1 − xy +

xy + x
−
xy − 1

2 x + 2 xy − 1 −
:
1 − xy
2

(

xy + x

) : xy − 1 − xy −

x +1

1 − xy

(

)(

) (

xy + 1 −

)(

x +1

xy + x
−
xy − 1

)

xy − 1

xy − 1
xy − x y − x − x y + x − xy + 1
xy − 1

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

x +1 

xy + 1 
x +1 

xy + 1 


19

(

)

(

)

Website: tailieumontoan.com

2 x +1
2 x +1
1
xy − 1
xy − 1
P=
⋅
=
⋅
=

− ( xy − 1) −2 xy − 2 x y − ( xy − 1) −2 xy 1 + x
xy

(

)

2) x = 3 4 − 2 6 + 3 4 + 2 6

⇔ x3 =

(

3

4−2 6 + 3 4+2 6

)

3

(

)(

⇔ x3 = 4 − 2 6 + 4 + 2 6 + 3 3 4 − 2 6 4 + 2 6
⇔ x 3 =8 + 3 3 −8

(

3

4−2 6 + 3 4+2 6

)

)(

3

4−2 6 + 3 4+2 6

)

⇔ x 3 =8 − 6 x
⇔ x3 + 6 x =
8

(

)

⇔ x x2 + 6 =
8
⇔ xy =
8

⇒ P=

1

=
8

2
4

Bài 22:

  x
3
3
3 
1) Rút gọn biểu=
thức A  2
+ 3
+
+ 1 , với x ≠ 3; x ≠ 0 .
⋅
x
 x + x 3 + 3 x − 27   3


2) Tính tổng B = 1 +

1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+

.
2
2
1 2
2 3
2018 20192
Lời giải


3
3

1) A =
+
2
 x + x 3 + 3 x − 3 x2 + x 3 + 3


(

=
A

(x −

(
)
3 )( x + x

)(

3 x− 3 +3

2) Ta có: 1 +

2

)

3+3

⋅

)

 x2 + 3 + 3 x
⋅
x 3



x2 + 3 x + 3
1
=
x 3
x− 3

1
1
1

1
2a + 2 − 2a
2
+
= 1+ 2 +
+
−
2
2
2
a ( a + 1)
a ( a + 1)
a ( a + 1)
a ( a + 1)

=

1+

1
1
2
2
2
+
+ −
−
2
2
a

( a + 1) a a + 1 a ( a + 1)
2

1 
 1
= 1 + −

 a a +1
1
1
=1 + −
( a > 0)
a a +1
Áp dụng vào bài tốn ta có:

Liên hệ tài liệu word mơn toán zalo: 039.373.2038


20

Website: tailieumontoan.com
1 1
1 1
1
1
+ 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
+
2
2
1 2

2 3
2018 20192
1 1
1 1
1
1
B = 1 + − + 1 + − + ... + 1 +
−
1 2
2 3
2018 2019
1
2018.2019 − 1
B = 2018 −
=
2019
2019
B = 1+


 2 ( a + b)
  a 3 + 2 2b 3
a
Bài 23: Rút gọn biểu thức: P = 
−
⋅
− a  với a ≥ 0 ;

3
3


a + 2ab + 2b   2b + 2ab
 a − 2 2b

b > 0 ; a ≠ 2b .
Lời giải
Ta có:
⇒

( ) −(

)(
)
2 ( a + b) − a ( a − 2 b )
a
=
2ab + 2b ( a − 2b )( a + 2ab + 2b )
3

a 3 − 2 2b 3 = a
2 ( a + b)

a 3 − 2 2b3

−

a+

=
a 3 + 2 2b 3

=
− a
2b + 2ab

(

a+

) =(
3

2b

a − 2b a + 2ab + 2b

a + 2ab + 2b
=
a − 2b a + 2ab + 2b

)

(

)(
2b )( a − 2ab + 2b )
−
2b ( 2b + a )

a

a − 2ab + 2b
a − 2 2ab + 2b
=
=
− a
=
2b
2b
=
P

)

(

2

a − 2b
1
=
.
a − 2b
2b

Bài 24: Cho biểu thức: A =

1
a − 2b

(

a − 2b

)

2

2b

a − 2b
2b

2 3 + 5 − 13 + 48
6+ 2

. Chứng minh A là một số nguyên.

Lời giải

=
A
=
A

(

2. 4 + 2 3
=
6+ 2

(

)

2 3 +1
= 1
6+ 2

Bài 25: Rút gọn biểu thức: A =

A

)

2 3 + 5 − 13 + 48 2 3 + 5 − 2 3 + 1
2 3+ 4 − 2 3 2 2 + 3
=
= =
6+ 2
6+ 2
6+ 2
6+ 2

3 − 5 + 2 6 − 11 − 6 2
2 − 6 + 2 5 + 7 − 2 10
Lời giải

3 − 5 + 2 6 − 11 − 6 2
=
2 − 6 + 2 5 + 7 − 2 10

.

3 − ( 2 + 3) 2 − (3 − 2) 2
2 − ( 5 + 1) 2 + ( 5 − 2) 2

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038


21

3 − 2 + 3 − 3− 2
=
2 − 5 +1 + 5 − 2

A
=

Bài 26: Cho biểu thức A =

(
(

) (
) (

Website: tailieumontoan.com

)
)

3 − 2 + 3 − 3− 2
=
2 − 5 +1 + 5 − 2

3 − 2 − 3 − 3+ 2
= 3
2 − 5 −1+ 5 − 2

1
3
2
với x ≥ 0 .
−
+
x +1 x x +1 x − x +1

1) Rút gọn A .
2) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Lời giải

1
x +1

3

−
1) A =

A

A
=

2) Vì

+

2
x − x +1

)
)(
x − x + 1 − 3 + 2 ( x + 1)
x+ x
=
( x + 1)( x − x + 1) ( x + 1)( x −
x ( x + 1)
x
=
( x + 1)( x − x + 1) x − x + 1
(

x +1 x − x +1

1 3

x +=
1  x −  + > 0 với x ≥ 0
2 4



x ≥ 0 và x −

Mặt khác:

=
⇒A

(

)

x +1

)

2

x − 1 ≥ 0 ⇔ x − 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x − x + 1 ≥ x với x ≥ 0

x
≤1
x − x +1

Dấu “=” xảy ra khi x = 1
Vậy MaxA =1 ⇔ x = 0
Bài 27: Khơng dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức

B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

Lời giải
B 2 =+
4 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 + 2  4 + 10 + 2 5   4 − 10 + 2 5 




)

(

B 2 =8 + 2 16 − 10 + 2 5 =8 + 2 6 − 2 5 =8 + 2

⇒B=

(

)

5 −1

2

=8 + 2

(

)

5 − 1 =6 + 2 5

5 + 1 ( do B ≥ 0 )

6+2 5 =


x
x − x −1  x + 2
x −5 
Bài 28: Rút gọn biểu thức P =
−
−

:
 với x > 0 ; x ≠ 4
x − 2 x   x +1 x − x − 2 
 x −2

Lời giải

x
x − x −1

P=
−
 x −2
x x −2


(

)

  x +2
:
−
  x +1
 

(

x −5

)(

x +1

Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038



x −2 


)


22

=

P

(

Website: tailieumontoan.com

):

( x − 4 ) −=
( x − 5)

x − x − x −1
x

(

x −2

) (

)(

x +1

x −2

)

x

(

x +1
x −2

)

⋅

(

(

)

)(

x +1 =
x −2

)

x +1

2

x

Bài 29:
2

1) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau

3 3
2
=
3 2
3
2 + 2 + 3 23
3

=

(

3

22

)(

2 −1

4 + 3 2 +2

3 3
2
=
3
3

2 2 + 1 + 3 22

)

(

(

3

)

3

22 + 3 2 + 1

2 −1

=

)

x − 3 2 x −1
−
+
x −2
x −1

=
A

x−4

x−2

3
3

22

2 + 1 + 3 22

2− 3 4
= 2− 3 4
2 −1

2) ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1 ; x ≠ 4
A=

.

x − 3 2 x −1
x−2
có nghĩa và rút gọn A .
−
+
x −2
x −1 x − 3 x + 2
Lời giải

2) Tìm điều kiện để biểu thức A =

2
1)=
3
4 + 3 2 +2

3

=

(

x −3

)(

) (

)(

x −1 − 2 x −1

( x − 2 )( x − 1)
)( x − 1)
x + 3 − (2x − 5 x + 2) + x − 2
x −1
1
= =
( x − 2 )( x − 1)

( x − 2 )( x − 1) x − 2
(

x −2

2 x + 16 x + 6
x −2
+
+
x+2 x −3
x −1
Lời giải

Bài 30: Rút gọn biểu thức:
=
P

)

x −2 + x−2

3
−2.
x +3

ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1 .
=
P

P=

P

P
=

(

2 x + 16 x + 6

)
16 x + 6 + (
)(

x −1

2x +

x +3

x −2
+
x −1

+

3
−2
x +3

)( x + 3)) + 3 ( x − 1) − 2 ( x + 2
( x − 1)( x + 3)

x −2

2x + 4 x + 6 + x + x − 6 + 3 x − 3 − 2x − 4 x + 6
=
x −1
x +3

(
x + 1)( x + 3)
(=
( x − 1)( x + 3)

Bài 31: Cho=
biểu thức B

(x

)(

)

(

)

x −3

x+4 x +3

)(

x −1

)

x +3

x +1
x −1
2

)

2

− 3 + 12x 2
2

x
trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.

+

(x + 2)

Lời giải
Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038

2

− 8x . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá