De thi KS HSG

Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THcs
năm học 2008-2009
môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có một trang

câu 1 (2 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
xyz x y z.
= + +
câu 2 (2 điểm)
a)
Giải phơng trình
3 2
1
x x x
3
=
.
b) Cho các số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức
y
x 10 z
A
xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10
= + +
+ + + + + +
.
câu 3 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì

3 3 3
x y z 3xyz.+ +
b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện
1
mn
2
=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
2 2 2 2
m n m n
P .
m n m n
+
= +
+
câu 4 (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng (d) có phơng trình
( ) ( )
m 4 x m 3 y 1
+ =
(m là tham
số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) là lớn nhất.
câu 5 (2,5 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đờng tròn tại B,
vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đờng tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E
là giao điểm của PC và AH.
a) Chứng minh E là trung điểm của AH.
b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO.
Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD ............

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
đề chính thức
Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ
Hớng dẫn chấm thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THcs
năm học 2008-2009
môn Toán
(Hớng dẫn chấm thi đề chính thức có 4 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
Hớng dẫn chấm thi dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám
sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
Thí sinh làm bài cách khác với Hớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tơng
ứng với biểu điểm của Hớng dẫn chấm.
Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. Đáp án và biểu điểm
câu 1 (2 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
xyz x y z
= + +
.
Đáp án biểu điểm
Phơng trình đã cho tơng đơng với
1 1 1
1
xy yz zx
+ + =
.
0,25 điểm
Không mất tính tổng quát, giả sử
x y z
(*)

0,25 điểm
- Nếu
z 3

thì
2
1 1 1 3 1
1
xy yz zx z 3
+ + <
(loại). 0,25 điểm
- Nếu
z 2=
thì phơng trình đã cho trở thành
2xy x y 2= + +
.
Hay
( ) ( )
2x 1 2y 1 5 =
.
0,25 điểm
Do (*) nên chỉ có trờng hợp 2x - 1 = 5 và 2y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 1
0,25 điểm
- Nếu
z 1=
thì phơng trình đã cho trở thành
xy x y 1= + +

( ) ( )
x 1 y 1 2 =

.
0,25 điểm
Do (*) nên chỉ có trờng hợp x - 1 = 2 và y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 2. 0,25 điểm
Nghiệm là: (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3). 0,25 điểm
Hớng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009
2
CÂU 2 (2 điểm)
a) Giải phơng trình
3 2
1
x x x
3
=
.
b) Cho các số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức
y
x 10 z
A
xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10
= + +
+ + + + + +
.
Đáp án biểu điểm
a) Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình

3 3 2
4x x 3x 3x 1 = + + +
0,25 điểm

( )

3
3
4x x 1 = +
0,25 điểm

3
x 4 x 1 = +

( )
3
4 1 x 1 =
0,25 điểm
Nghiệm của phơng trình:
3
1
x
4 1
=

0,25 điểm
b) Ta có
xyz 10=
0,25 điểm
xy
x 10 z
A
xy x 10 xyz xy x xz 10 z xyz
= + +
+ + + + + +
0,25 điểm

( )
xy
x 10 z
A
xy x 10 10 xy x
z x 10 xy
= + +
+ + + +
+ +
0,25 điểm

xy
x 10
A
xy x 10 10 xy x x 10 xy
= + +
+ + + + + +
= 1
0,25 điểm
CÂU 3 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì
3 3 3
x y z 3xyz.+ +
b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện
1
mn
2
=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2
2 2 2 2
m n m n
P .
m n m n
+
= +
+
Đáp án biểu điểm
a) (1,25 điểm). Ta cú

( )
( ) ( )
P x y z xyz
x y xy x y z xyz
= + +
= + + +
3 3 3
3
3
3
3 3
0,25 điểm
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y z xy x y xyz
x y z x y z x y z xy x y z


= + + + +

= + + + + + + +

3
3
2
2
3 3
3
0,25 điểm
Hớng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009
3

( ) ( ) ( )
( )
( )
x y z x y z x y z xy
x y z x y z xy yz zx

= + + + + +

= + + + +
2
2
2 2 2
3
0,25 điểm
( ) ( ) ( ) ( )

x y z x y y z z x

= + + + +

2 2 21
0
2

(Do giả thiết x + y + z

0 )
0,25 điểm
Suy ra
P x y z xyz= + +
3 3 3
3 0

và do đó
x y z xyz+ +
3 3 3
3
0,25 điểm
b) Từ
( )
2
2 2
m n 2mn m n 0+ =
và giả thiết suy ra
2 2
m n 2mn 1+ =

. 0,25 điểm
Do đó
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
15 m n
m n m n m n m n
P .
m n m n 16m n m n 16m n
+

+ +
= + = + +
ữ
+ +

0,25 điểm
áp dụng BĐT
a b 2 ab+
với a, b không âm, đấu đẳng thức có khi a = b, ta có.
1 15 17
P
2 4 4
+ =
Kết luận:
min
17
P
4

=
, đạt đợc khi
1
m n
2
= =
.
0,25 điểm
câu 4 (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng (d) có phơng trình
( ) ( )
m 4 x m 3 y 1
+ =
(m là tham
số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) là lớn nhất.
Đáp án biểu điểm
b) Với mọi m, đờng thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0).

m = 4, ta có đờng thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1).

m = 3, ta có đờng thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2).
0,50 điểm

m

4, m

3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lợt tại

1

A 0;
m 3

ữ


và
1
B ; 0
m 4

ữ


.
0,25 điểm
Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có
1 1
OA , OB
m 3 m 4
= =

( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2
1 1 1 7 1 1
m 3 m 4 2m 14m 25 2 m
OH OA OB 2 2 2

= + = + = + = +
ữ

.
0,50 điểm
Suy ra
2
OH 2 OH 2
(3).
Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là
2
, đạt đợc khi và chỉ khi m =
7
2
.
Kết luận: m =
7
2
.
0,25 điểm
Hớng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009
4
CÂU 5 (2,5 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đờng tròn tại B,
vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đờng tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E
là giao điểm của PC và AH.
a) Chứng minh E là trung điểm của AH.
b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO.
Đáp án biểu điểm

E
O
P
C
B
A
H

a) Ta có AH // PB (vì AH, PB cùng vuông góc với BC)
EH CH
PB CB
=
(1)
0,25 điểm
Lại có AC // PO (vì AC, PO cùng vuông góc với AB) nên hai tam giác vuông
AHC và PBO đồng dạng
AH CH
PB BO
=
(2)
0,50 điểm
Mà CB = 2.BO nên AH = 2. EH hay E là trung điểm của AH.
0,25 điểm
b) Ta có AH
2
= HB. HC = (2R HC)HC
0,25 điểm
2
EH.CB EH.CB

AH 2R .
PB PB

=
ữ

=
AH.CB AH.CB
2R .
2PB 2PB


ữ

0,25 điểm
2 2
4PB .AH (4R.PB AH.2R).AH.2R =
0,25 điểm
2 2 2
PB .AH 2R .PB R .AH =
0,25 điểm
( )
2 2 2
R PB .AH 2R .PB + =
0,25 điểm
Mà
2 2 2
PB d R=
nên
2

2 2
2
2R
AH . d R
d
=
0,25 điểm
Hết
Hớng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009
5