Khái niệm tâm tỉ cự trong dạy học toán và vật lí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Chí Tơn

KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ TRONG DẠY HỌC
TỐN VÀ VẬT LÍ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Chí Tơn

KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ TRONG DẠY HỌC
TỐN VÀ VẬT LÍ
Chun ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn
được trình bày trong luận văn hồn tồn chính xác và đáng tin cậy.

Tác giả
Lê Chí Tơn


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Vũ Như Thư Hương, thầy Lê Thái
Bảo Thiên Trung đã vô cùng tận tâm trong giảng dạy, hướng dẫn và động viên tơi
xun suốt q trình học tập, nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hồi Châu, thầy Tăng Minh Dũng, cơ
Nguyễn Thị Nga, thầy Lê Văn Tiến đã giảng dạy các môn chuyên ngành với tất cả tình
yêu và nhiệt huyết. Xin cảm ơn cô Annie Bessot, cô Claude Comiti và thầy Hamid
Chaachoua đã chia sẻ tài liệu, góp ý về hướng đi trong nghiên cứu của chúng tôi.
Tôi xin cảm ơn sự tận tâm giảng dạy của thầy Nguyễn Bích Huy, thầy Trần
Huyên, thầy Nguyễn Ngọc Khá, cô Võ Thị Phượng Linh, thầy Nguyễn Chương Nhiếp,
thầy Mỵ Vinh Quang và thầy Nguyễn Anh Tuấn.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, các anh chị chun
viên phịng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi trong q trình học tập
và nghiên cứu.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp và các em học sinh trường THPT Tơ Văn
Ơn, tỉnh Khánh Hịa đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong các thực nghiệm; cảm ơn các
bạn học viên Didactic Tốn K26 đã ln đồng hành cùng tơi trong khóa học.
Sau cùng, tơi xin tỏ lòng biết ơn đến ba mẹ, các thành viên trong gia đình đã ln
động viên và là động lực để tơi phấn đấu suốt thời gian học xa nhà.

Lê Chí Tôn

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Danh mục các từ viết tắt
Dạnh mục các bảng
Danh mục các hình
Mục lục

MỞ ĐẦU .............................................................................................................1
Chương 1. KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC
KHOA HỌC......................................................................................... 6
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tâm tỉ cự.....................................6
1.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong một số giáo trình Hình học và Vật lí
bậc đại học ............................................................................................................9
1.2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Hình học bậc đại học ......9
1.2.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Vật lí bậc đại học ..........18
Kết luận Chương 1 .....................................................................................................24
Chương 2. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM
TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM TRONG HAI THỂ CHẾ DẠY HỌC
HÌNH HỌC 10 VÀ VẬT LÍ 10 HIỆN HÀNH Ở VIỆT NAM ............ 26
2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong hai bộ sách giáo khoa Hình học 10
hiện hành ............................................................................................................28
2.1.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm .................................................................29
2.1.2. Các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm ...................36
2.2. Khái niệm tâm của hệ lực song song trong hai bộ sách giáo khoa Vật lí 10
hiện hành ............................................................................................................51
2.2.1. Các quy tắc hợp lực song song.....................................................................52
2.2.2. Các praxéologie gắn liền với các quy tắc hợp lực song song ......................56

Kết luận Chương 2 .....................................................................................................61


Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ....................................................... 63
3.1. Phân tích tiên nghiệm .........................................................................................63
3.1.1. Mục tiêu của tiểu đồ án ................................................................................63
3.1.2. Các kiến thức học sinh đã biết .....................................................................64
3.1.3. Các tình huống thực nghiệm ........................................................................64
3.1.4. Phân tích các biến, giá trị của biến và những điều có thể quan sát ..............64
3.1.5. Dàn dựng kịch bản .......................................................................................75
3.2. Phân tích hậu nghiệm..........................................................................................77
3.2.1. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 1 ...........................................................78
3.2.2. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 2 ...........................................................84
Kết luận Chương 3 .....................................................................................................93
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 94
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

CHLT
BT
BTHH10
BTHH10NC
CH
ĐT
GV
HH
HHCC

HHNC
HS
HSHS
N
Nxb
SGK
SGV
VD
VL10
VL10NC
tr.

Cơ học lý thuyết
Bài tập
Bài tập hình học 10
Bài tập hình học 10 nâng cao
Câu hỏi
Đẳng thức
Giáo viên
Hình học
Hình học cao cấp
Hình học nâng cao
Học sinh
Nhiều học sinh
Nhóm
Nhà xuất bản
Sách giáo khoa
Sách giáo viên
Ví dụ
Vật lí 10

Vật lí 10 nâng cao
Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1. Thống kê kết quả bài làm của các nhóm sau thực nghiệm 1. .........................78
Bảng 2. Thống kê kết quả bài làm của các nhóm sau thực nghiệm 2. ..........................85


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1. Bài làm trên phiếu 1 của N2 (dựng hình chưa thành cơng)..............................78
Hình 2. Bài làm trên phiếu 2 của N6 (chiến lược Khác). ..............................................79
Hình 3. Bài làm trên phiếu 1 của N1. ............................................................................79
Hình 4. Bài làm trên phiếu 2 của N1. ............................................................................80
Hình 5. Bài làm trên phiếu 1 của N5. ............................................................................80
Hình 6. Bài làm trên phiếu 2 của N5. ............................................................................80
Hình 7. Đẳng thức vectơ do N5 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT1.1. ..............82
Hình 8. Đẳng thức vectơ do N3 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT1.1. ..............82
Hình 9. Kết quả học sinh thao tác trên mơ hình trong BT 2.1. .....................................84
Hình 10. Bài làm trên phiếu 3, BT2.1 của N3. ..............................................................86
Hình 11. Bài làm trên phiếu 3, BT2.1 của N4 (bên trái) và N2 (bên phải). ..................86
Hình 12. Bài làm trên phiếu 3, BT2.2 theo chiến lược Khác của N3............................87
Hình 13. Bài làm trên phiếu 3, BT2.2 của N5. ..............................................................87
Hình 14. Bài làm trên phiếu 3 của N6 (hai hình khơng tương thích). ...........................88
Hình 15. Bài làm trên phiếu 3 của N1 (hai hình tương thích). ......................................88
Hình 16. Đẳng thức vectơ do N2 xây dựng để tìm vị trí điểm O trong BT2.1. ............91


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và những ghi nhận ban đầu
1.1. Những ghi nhận ban đầu
Trong chương trình Toán trung học ở Pháp, khái niệm tâm tỉ cự là đối tượng tri
thức được giảng dạy. Cụ thể sách Maths Déclic 1re S, 2005, chương 15

2. Cân Roman: Định luật Archimedes

Để xác định một khối lượng chưa biết 𝑀𝑀 người ta dùng chiếc cân Roman, 𝐴𝐴 là điểm
treo khối lượng 𝑀𝑀.
Với một chiếc móc có thể di chuyển được, một khối lượng đã biết 𝑚𝑚 (ví dụ 1 kg) được
di chuyển trên thanh đòn cho đến khi thanh cân bằng, khi đó tất cả các khối lượng này
được nâng tại điểm 𝑂𝑂. Nếu giả sử trạng thái cân bằng đạt
được khi khối lượng 𝑚𝑚 treo tại 𝐵𝐵, thì ta có đẳng thức
𝑂𝑂𝑂𝑂 = 4𝑂𝑂𝑂𝑂, suy ra 𝑀𝑀 = 4𝑚𝑚.
Chiếc cân này là ứng dụng trực tiếp từ định luật Archimedes, theo định luật này ở trạng thái cân bằng ta có
𝑀𝑀. 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑚𝑚. 𝑂𝑂𝑂𝑂.
1o Hãy chứng minh rằng ở trạng thái cân bằng ta có đẳng thức vectơ:
�����⃗ + 𝑚𝑚𝑂𝑂𝑂𝑂
�����⃗ = 0
�⃗ (∗).
𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂

Vị trí của các điểm 𝐴𝐴, 𝑂𝑂 và 𝐵𝐵 sẽ như thế nào khi các khối lượng 𝑚𝑚 và 𝑀𝑀 bằng nhau?
Chú ý:

�����⃗ + 𝑚𝑚𝑂𝑂𝑂𝑂
�����⃗ = �0⃗ được gọi là tâm tỉ cự của các điểm
(*) Điểm 𝑂𝑂 thỏa đẳng thức 𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂

trọng số (𝐴𝐴, 𝑀𝑀) và (𝐵𝐵, 𝑚𝑚).
• Điểm trọng số nghĩa là điểm được gắn với một trọng lượng.
• “Barycentre” có nguồn gốc từ tiếng Hy lạp, có nghĩa là “tâm của các trọng lượng”.


2

Thuật ngữ này có nguồn gốc từ định luật của Archimedes.
�����⃗ = −5𝑂𝑂𝑂𝑂
�����⃗. Tính giá trị của 𝑀𝑀?
2o Giả sử ta có 𝑚𝑚 = 500𝑔𝑔 và đẳng thức 𝑂𝑂𝑂𝑂

3o Nếu 𝑚𝑚 = 1𝑘𝑘𝑘𝑘 và 𝑀𝑀 = 5𝑘𝑘𝑘𝑘 thì vị trí các điểm 𝐴𝐴, 𝑂𝑂 và 𝐵𝐵 được sắp xếp như thế nào?
So sánh với kết quả của câu 2o rồi đưa ra nhận xét?

[40, tr.375]

Từ trình bày của sách Maths Déclic 1re S chúng tôi ghi nhận được
�����⃗ + 𝑚𝑚𝑂𝑂𝑂𝑂
�����⃗ = �0⃗ được gọi là tâm tỉ cự của các
• Điểm 𝑂𝑂 thỏa đẳng thức vectơ 𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂

điểm trọng số (𝐴𝐴, 𝑀𝑀) và (𝐵𝐵, 𝑚𝑚) chính là điểm cân bằng, trọng tâm trong Vật lí.

• Định nghĩa tâm tỉ cự của hai điểm được Sách giáo khoa Maths Déclic 1re S xây

dựng gắn liền với việc cân vật nặng và định luật Archimedes. Điều này cho phép kết
nối giữa thực tế cuộc sống, Vật lí với Hình học vectơ.
• Định nghĩa tâm tỉ cự sau đó được sử dụng như cơng cụ để giải tìm một khối
lượng chưa biết (2o) hoặc để biểu diễn vị trí của điểm cân bằng so với hai điểm treo

các khối lượng (3o).
và đặt ra các câu hỏi ban đầu sau đây:
CH1. Trong chương trình Hình học 10 hiện hành ở Việt Nam, khái niệm tâm tỉ cự
của hệ điểm có được giảng dạy? Khái niệm này có được giới thiệu gắn liền với Vật lí
và thực tế?
CH2. Khái niệm tâm tỉ cự được trình bày như thế nào trong các giáo trình Hình
học, Vật lí bậc đại học và trong sách giáo khoa Vật lí bậc trung học? Nhằm để giải
quyết những dạng bài tập nào?
1.2. Tổng quan về các cơng trình nghiên cứu
Từ những câu hỏi đặt ra định hướng cho quá trình nghiên cứu, chúng tơi tìm thấy
một số tài liệu sau:
Đồn Cơng Thành (2014), với luận văn thạc sĩ “Mơ hình hóa trong dạy học khái
niệm vectơ ở Hình học lớp 10”, đã chỉ ra việc dạy học khái niệm và các phép tốn
vectơ trong thể chế dạy học Hình học 10 ở Việt Nam chưa quan tâm đến mơ hình hóa
đối tượng tri thức này. Từ kết quả của những phân tích, tác giả tiến hành xây dựng đồ


3

án dạy học tạo nên sự kết nối giữa vectơ, các phép tốn vectơ với Vật lí và thực tế.
Nguyễn Xuân Quang (2016), trong luận văn thạc sĩ “Dạy học tích vơ hướng trong
Hình học 10 theo quan điểm liên mơn”, tác giả cho thấy ý nghĩa vật lí của tích vơ
hướng thể hiện khá mờ nhạt trong thể chế dạy học Vật lí 10 và 11 hiện hành ở Việt
Nam. Để khắc phục điều này, tác giả đã thiết kế đồ án dạy học tích vơ hướng thể hiện
rõ tính liên mơn giữa Hình học vectơ và Vật lí.
Từ các cơng trình đã tổng quan, chúng tơi nhận thấy nghiên cứu về khái niệm tâm
tỉ cự của hệ điểm trong thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 ở Việt Nam chưa
được các tác giả đề cập.
2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Đề tài được thực hiện trên cơ sở vận dụng những yếu tố công cụ của lí thuyết

Didactic Tốn, bao gồm: các khái niệm chuyển đổi didactic, quan hệ cá nhân và quan
hệ thể chế đối với một tri thức, tổ chức toán học của lí thuyết nhân chủng học để phân
tích sự trình bày các khái niệm tâm tỉ cự, tâm của hệ lực song song trong các giáo trình
đại học và trong chương trình Hình học, Vật lí 10 hiện hành; lí thuyết tình huống và
khái niệm đồ án didactic để xây dựng tiểu đồ án dạy học.
Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm ở cấp độ tri thức khoa học cũng được chọn làm
tham chiếu khi phân tích chương trình Hình học 10 và Vật lí 10.
3. Mục tiêu nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu
3.1. Mục tiêu của đề tài
Trên cơ sở nghiên cứu khái niệm tâm tỉ cự ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tôi
chỉ ra một số ý nghĩa của khái niệm đối với Vật lí. Việc phân tích mối quan hệ thể chế
đối với khái niệm này giúp chúng tôi làm sáng tỏ sự tồn tại của nó trong thể chế dạy
học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam. Dựa vào kết quả của quá trình
nghiên cứu tri thức khoa học và phân tích thể chế dạy học, chúng tôi xây dựng tiểu đồ
án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀 trong đẳng thức ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ������⃗
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑖𝑖 = �0⃗,

với ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ≠ 0 trên đối tượng học sinh lớp 10.


4

3.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong khn khổ lí thuyết tham chiếu, những câu hỏi nghiên cứu mà luận văn của
chúng tôi cần trả lời được xác định:
CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào? Khái
niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo trình Hình
học và Vật lí bậc đại học?
CH2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày như thế nào trong các
thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam? Có những

praxéologie nào liên quan đến khái niệm này trong các thể chế dạy học Hình
học 10 và Vật lí 10 hiện hành?
CH3. Để xây dựng tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀

������⃗𝑖𝑖 = �0⃗, với ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ≠ 0 cần tính đến những
trong đẳng thức vectơ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀

yếu tố nào?

4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được trình bày tóm lược bằng sơ đồ sau:
Nghiên cứu tri thức khoa học về khái niệm tâm tỉ cự
(các tài liệu khoa học, giáo trình Hình học cao cấp, giáo trình Vật lí đại cương)

Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy trong hai bộ mơn Tốn và Vật lí lớp 10
(các bộ sách Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành)

Nghiên cứu thực nghiệm tiểu đồ án didactic
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Chúng tôi nghiên cứu các tài liệu khoa học và phân tích các giáo trình Hình học
Cao cấp, Bài tập Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy, Cơ học lý thuyết –
tập 1 do tác giả Nguyễn Trọng làm chủ biên hướng đến trả lời cho câu hỏi:
CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào? Khái
niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo trình Hình học
và Vật lí bậc đại học?


5

 Chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của hệ

điểm trong các bộ sách giáo khoa Hình học 10 (phần vectơ), Vật lí 10 ở Việt Nam và
các tài liệu liên quan để trả lời cho câu hỏi:
CH2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày như thế nào trong các thể
chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam? Có những
praxéologie nào liên quan đến khái niệm này trong mỗi thể chế dạy học Hình
học 10 và Vật lí 10 hiện hành?
 Chúng tôi thiết kế một tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm
𝑀𝑀 trong đẳng thức vectơ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ������⃗
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑖𝑖 = �0⃗ với ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ≠ 0.
6. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm có ba chương khơng kể phần mở đầu và phần kết luận.
Chương 1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm ở cấp độ tri thức khoa học
Trước tiên, chúng tơi trình bày khía cạnh lịch sử của khái niệm tâm tỉ cự. Sau đó
chúng tơi nghiên cứu lí thuyết, các tổ chức tri thức gắn với khái niệm này ở một số
giáo trình Hình học và Vật lí dùng trong đào tạo sinh viên các ngành sư phạm Toán
học và sư phạm Vật lí. Đồng thời chúng tơi sẽ xây dựng những praxéologie tham chiếu
phục vụ cho mục tiêu phân tích mối quan hệ thể chế ở Chương 2 luận văn.
Chương 2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của hệ
điểm trong các thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam
Chúng tơi tập trung phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của
hệ điểm trong chương trình Hình học 10 và khái niệm tâm của hệ lực song song trong
chương trình Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam để tìm kiếm mối quan hệ (nếu có) giữa
hai khái niệm này. Một số praxéologie được phân tích trong mối liên hệ với các
praxéologie tham chiếu ở Chương 1.
Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm
Chúng tôi xây dựng một thực nghiệm dưới dạng tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý
������⃗𝑖𝑖 = �0⃗.
nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀 trong đẳng thức vectơ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀

6

Chương 1. KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM Ở CẤP ĐỘ
TRI THỨC KHOA HỌC
Mục tiêu của chương là đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu:
CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào?
Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo
trình Hình học và Vật lí bậc đại học?
Nội dung Chương 1 gồm hai phần: phần thứ nhất trình bày các nghiên cứu về khía
cạnh lịch sử của khái niệm tâm tỉ cự; phần thứ hai trình bày các phân tích đối với khái
niệm này trong một số giáo trình Hình học và Vật lí bậc đại học.
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tâm tỉ cự
Từ quá trình nghiên cứu các cơng trình của August Ferdinant Mӧbius (1827) và
(1846), Abraham Albert Ungar (2010), Andre Koch Torres Asis (2010), H. S. M.
Coxeter (1969), John Stillwell (2010), Michael S. Floater (2016), Peter Alfeld, Marian
Neamtu, Larry L. Schumaker (1996) và Roger Cooke (2005), chúng tơi chia lịch sử
hình thành, phát triển của khái niệm tâm tỉ cự trong Toán học thành ba giai đoạn.
Giai đoạn ngầm ẩn, kéo dài từ trước Công nguyên đến trước năm 1827. Khái niệm
tâm tỉ cự bị đồng nhất với khái niệm trọng tâm trong Vật lí. Những vấn đề làm nảy
sinh khái niệm trọng tâm đó là: cân các vật nặng bằng cân địn; nghiên cứu trạng thái
cân bằng mà các vật rắn đạt được khi nâng bởi một thanh đòn hoặc được treo tại một
vài điểm nào đó. Vị trí của tâm tỉ cự hay vị trí trọng tâm được xác định thơng qua các
mệnh đề 6 và mệnh đề 7 trong tác phẩm On the Equilibrium of Planes của Archimedes
và gọi là Quy tắc momen trong Vật lí hiện đại.
Mệnh đề 6. Các vật thể có thể so sánh được cân bằng tại các khoảng cách tỉ lệ nghịch
với trọng lượng của chúng.
Mệnh đề 7. Tuy nhiên, thậm chí nếu các vật thể không so sánh được, chúng sẽ vẫn
cân bằng tại các khoảng cách tỉ lệ nghịch với các trọng lượng ấy.

[31, tr.175-176]
Vị trí của trọng tâm chỉ được xác định bằng phương pháp thực nghiệm. Vai trò và
tầm ảnh hưởng của khái niệm tâm tỉ cự chưa được xác lập.


7

Giai đoạn tường minh, từ năm 1827 đến trước năm 1975. Khái niệm tâm tỉ cự của
hệ điểm (khái niệm tâm tỉ cự cổ điển ra đời trước sự ra đời của khái niệm vectơ) được
cơng bố chính thức bởi Mӧbius vào năm 1827 trong cơng trình Der Barycentrische
Calcul. Khái niệm nảy sinh gắn với q trình giải bài tốn chia đoạn thẳng định hướng
theo các tỉ lệ đại số cho trước và mục tiêu đi tìm một phương pháp tổng quát để xác
định vị trí của điểm cân bằng, trọng tâm trong Vật lí.
Tọa độ tâm tỉ cự lúc này được biểu diễn theo các điểm và các trọng số cho trước
đặt tại mỗi điểm đó.
Tâm tỉ cự 𝑆𝑆 của hệ điểm 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶, 𝐷𝐷, … với các hệ số tương ứng 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑, … xác định
bởi
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ⋯ = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + ⋯ )𝑆𝑆.

[37, tr.17]

Trong trường hợp 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 thì tâm tỉ cự là trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐴𝐴𝐴. Điều kiện

tồn tại tâm tỉ cự và các tính chất của khái niệm được Mӧbius quan tâm trình bày.
Trọng tâm trong Vật lí được Mӧbius xem là tâm tỉ cự của hệ điểm khi các trọng số là
các trọng lượng.

Nếu tại 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 và 𝐶𝐶 lần lượt treo các trọng lượng có tỉ lệ 𝑎𝑎: 𝑏𝑏: 𝑐𝑐, cơ học chỉ ra rằng 𝑄𝑄 là
trọng tâm của hệ. Khi đó 𝑄𝑄 là tâm tỉ cự của 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 và 𝐶𝐶 ứng với các hệ số 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐.

[37, tr.8]
Do đó, trọng tâm trong Vật lí khơng thể bị đồng nhất với trung điểm hay trọng
tâm của hệ điểm trong Toán học.
Với sự ra đời của khái niệm vectơ, Coxeter (1961) phát biểu định nghĩa tâm tỉ cự
của hệ điểm bằng đẳng thức vectơ trong tác phẩm Introduction to Geometry.

Giả sử các trọng số 𝑡𝑡1 , … , 𝑡𝑡𝑘𝑘 được gắn vào 𝑘𝑘 điểm phân biệt 𝐴𝐴1 , … , 𝐴𝐴𝑘𝑘 , 𝑂𝑂 là điểm bất

����⃗, điểm P độc
kì, khi 𝑡𝑡1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑘𝑘 ≠ 0, ta có 𝑡𝑡1 ������⃗
𝑂𝑂𝐴𝐴1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑘𝑘 ������⃗
𝑂𝑂𝐴𝐴𝑘𝑘 = (𝑡𝑡1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑘𝑘 )𝑂𝑂𝑂𝑂
lập với cách chọn điểm 𝑂𝑂. […]
����⃗ = ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖 ������⃗
Điểm P cho bởi ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑂𝑂𝐴𝐴𝑖𝑖 gọi là tâm (tâm tỉ cự) của 𝑘𝑘 trọng số 𝑡𝑡𝑖𝑖 gắn tại 𝐴𝐴𝑖𝑖 .
Ta có thể chọn P trùng 𝑂𝑂 để được ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖 �����⃗
𝑃𝑃𝐴𝐴𝑖𝑖 = Ο.

[32, tr.214-215]

Khái niệm tâm tỉ cự của Möbius được sử dụng để xây dựng định nghĩa hiện đại về
tâm của hệ lực song song, trọng tâm của hệ chất điểm hoặc của vật rắn khi biết các
trọng lượng và vị trí các chất điểm.


8

• Nếu hệ 𝑛𝑛 lực 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖 song song có tổng đại số khác khơng thì vị trí tâm của hệ lực
là 𝑥𝑥𝐶𝐶 =

∑𝑛𝑛
1 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝐹𝐹𝑖𝑖
∑𝑛𝑛
1 𝐹𝐹𝑖𝑖

.

• Nếu hệ 𝑛𝑛 vật có tổng trọng lượng 𝑃𝑃 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖 , khi đó vị trí của khối tâm là
𝑥𝑥𝐶𝐶 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1

𝑃𝑃𝑖𝑖
𝑃𝑃

𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑟𝑟���⃗𝐶𝐶 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1

𝑃𝑃𝑖𝑖

�𝑟𝑟⃗.
𝑃𝑃 𝚤𝚤

• Nếu vật thể là một, hai hay ba chiều thì tổng 𝑃𝑃 thay tính bằng tích phân
đường, tích phân mặt hoặc tích phân khối 𝑃𝑃 = ∭ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ,

𝑟𝑟𝐶𝐶 = ∭
���⃗

𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑃𝑃

𝑟𝑟⃗.

Với 𝑥𝑥𝐶𝐶 là hoành độ tâm của hệ lực hoặc trọng tâm; 𝑟𝑟���⃗𝐶𝐶 là vectơ vị trí trọng tâm.

�⃗ , gia
Một nghĩa vật lí khác của khái niệm tâm tỉ cự là xác định các vectơ vận tốc 𝑉𝑉

tốc 𝑎𝑎⃗ của khối tâm trong một hệ hữu hạn chất điểm 𝑚𝑚𝑖𝑖 :
�⃗

�⃗ = ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑣𝑣�⃗𝑖𝑖 = 𝑃𝑃 ,
𝑉𝑉
∑
∑
𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖

𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖

𝑎𝑎⃗ =

�⃗
𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑑𝑑

=

∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖

�⃗𝑖𝑖
𝑑𝑑𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑑𝑑

∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖

.

Từ đó xây dựng phương trình chuyển động tồn thể của hệ ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑎𝑎⃗ = ∑𝑖𝑖 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖 .

Trong đó, 𝑣𝑣⃗𝑖𝑖 là vectơ vận tốc ứng với khối lượng 𝑚𝑚𝑖𝑖 , lực 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖 tác động vào chất điểm

thứ 𝑖𝑖 tạo nên gia tốc 𝑎𝑎⃗𝑖𝑖 .

Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm còn được ứng dụng vào thống kê, phân loại các

hình trong Hình học phẳng và ứng dụng cho Hình học xạ ảnh.
Giai đoạn tổng quát hóa, từ năm 1975 đến 2017. Các nghiên cứu ở giai đoạn này
gắn liền với việc xây dựng các biểu thức tổng quát biểu diễn tọa độ tâm tỉ cự của một
điểm bên trong một đa giác theo các đỉnh của đa giác ấy. Đồng thời các nghiên cứu
đặc biệt quan tâm đến ứng dụng của tọa độ tỉ cự trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Tọa độ của tâm tỉ cự đối với một đa giác được xác định thơng qua các hàm diện
tích. Các đa giác được tổng quát hóa từ đa giác lồi đến đa giác bất kì; từ đa giác trong
khơng gian hai chiều lên khơng gian có số chiều cao hơn. Hai dạng tọa độ tâm tỉ cự
phổ biến là tọa độ Wachspress (1975) và tọa độ trung bình (2003).
Ban đầu, các tọa độ tỉ cự chỉ nhận các giá trị dương, q trình tổng qt hóa cho
phép các tọa độ này nhận giá trị thực và dần được mở rộng sang tập số phức. Khái


9

niệm tâm tỉ cự được ứng dụng trong Giải tích số, mơ hình hóa hình học, xây dựng

phương pháp phần tử hữu hạn, các phép nội suy, .... Ánh xạ tỉ cự ra đời, cho phép khái
niệm thể hiện tính chất cơng cụ của nó trong đồ họa vi tính ở mảng phối màu và hiệu
ứng chuyển động của hình ảnh.
Một mảng khác của khái niệm tâm tỉ cự là tọa độ cầu cũng được Mӧbius xây dựng
vào năm 1846. Các định nghĩa về tâm tỉ cự cầu của hệ điểm được Mӧbius xây dựng
với các cung định hướng. Các nghiên cứu sau đó xây dựng tọa độ cầu của một điểm
đối với một đa giác cầu lồi, hai tọa độ phổ biến là tọa độ cầu Wachspress và tọa độ cầu
trung bình. Tọa độ cầu được sử dụng để xây dựng các mặt Bézier trên các miền cầu,
xây dựng các tọa độ tỉ cự 3D đối với đa diện có các mặt đa giác bất kì. Tọa độ tỉ cự
cầu vẫn đang là đối tượng được quan tâm nghiên cứu.
1.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong một số giáo trình Hình học và Vật lí
bậc đại học
1.2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Hình học bậc đại học
Trong mục này, chúng tơi sẽ tiến hành nghiên cứu các giáo trình:
 Hình học cao cấp, Bài tập hình học cao cấp do tác giả Nguyễn Mộng Hy biên
soạn. Đây là tài liệu được sử dụng phổ biến trong chương trình đào tạo sinh viên
ngành sư phạm Toán ở các trường cao đẳng, đại học của Việt Nam. Tác giả cũng là
chủ biên của bộ sách Hình học 10 hiện hành.
 Cơ học lý thuyết – tập 1, tác giả Nguyễn Trọng làm chủ biên. Giáo trình này được
sử dụng trong đào tạo sinh viên ngành sư phạm Vật lí ở nhiều trường đại học.
 Vật lí đại cương – tập 1, tác giả Lương Duyên Bình. Giáo trình này được dùng
làm tài liệu tham khảo và đào tạo sinh viên các trường cao đẳng đại học. Tác giả
còn là chủ biên của bộ sách Vật lí 10 hiện hành.
Đầu tiên, chúng tơi tập trung phân tích nội dung lí thuyết trong §4. Tâm tỉ cự của
một hệ điểm thuộc giáo trình Hình học cao cấp và xác định các praxéologie gắn liền
với khái niệm này trong Bài tập Hình học cao cấp.


10

1.2.1.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm
Mở đầu, tác giả trình bày định lí về sự tồn tại duy nhất một điểm 𝐺𝐺 thỏa đẳng thức

𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗ với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 trong không gian affine.
vectơ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗

Định lí 1. Cho hệ 𝑘𝑘 điểm 𝑃𝑃1 ,..., 𝑃𝑃𝑘𝑘 của không gian affine 𝚨𝚨 và 𝑘𝑘 phần tử 𝜆𝜆 1 , ..., 𝜆𝜆 k
thuộc trường 𝚱𝚱 sao cho ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0. Khi đó có một và chỉ một điểm 𝐺𝐺 ∈ 𝚨𝚨 sao cho:
R

R

∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗.

Chứng minh. Lấy một điểm 𝑂𝑂 tùy ý của không gian affine 𝚨𝚨 thì điểm 𝐺𝐺 xác định bởi:
������⃗𝚤𝚤 − �����⃗
�⃗
∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗ ⟺ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �𝑂𝑂𝑃𝑃
𝑂𝑂𝑂𝑂 � = 0
⟺ ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 = �∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 � �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 .
1
�����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘 𝜆𝜆 ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤

Do đó:

𝑖𝑖=1 𝑖𝑖

(1)

Vậy điểm 𝐺𝐺 tồn tại và được xác định duy nhất do biểu thức (1) ở trên.

[15, tr.23]

“Điểm” được xem là điểm trong không gian Euclide, vectơ trong không gian
vectơ, bộ số có tính thứ tự (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) trong không gian 𝑹𝑹𝒏𝒏 . 𝑲𝑲 là một trường tùy ý.

Kỹ thuật sử dụng để chứng minh định lí 1 là áp dụng quy tắc ba điểm được nêu ra

ở trang 7 của giáo trình: “Với ba điểm bất kì 𝑂𝑂, 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ 𝑨𝑨 ta có �����⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴 = �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 − �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂.”

Định nghĩa phát biểu sau chứng minh đem lại cho điểm 𝐺𝐺 tên gọi tâm tỉ cự của hệ

điểm gắn với họ hệ số (chúng tôi gọi tắt là tâm tỉ cự hoặc tâm tỉ cự của hệ điểm).

Định nghĩa. Điểm 𝐺𝐺 nói trong định lí trên đây được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm 𝑃𝑃𝑖𝑖
gắn với họ hệ số 𝜆𝜆 i . [15, tr.24]
R

Tác giả nhấn mạnh điều kiện tồn tại tâm tỉ cự của một hệ điểm gắn với họ hệ số,
đó là: tổng tất cả các số trong họ hệ số phải khác khơng. Khi đã tồn tại thì vị trí của
1

tâm tỉ cự được xác định bởi đẳng thức �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘

𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖

∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 .

Trung điểm của đoạn thẳng hay trọng tâm của một hệ điểm được tác giả xem là

trường hợp đặc biệt của tâm tỉ cự khi các hệ số bằng nhau.
Trường hợp đặc biệt nếu các 𝜆𝜆 i bằng nhau, điểm 𝐺𝐺 gọi là trọng tâm của hệ điểm
P1 , P2 , … , Pk .
R

Chú ý:

a) Nếu thay các hệ số 𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 bởi 𝑘𝑘𝜆𝜆1 , 𝑘𝑘𝜆𝜆2 , … , 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑘𝑘 với
𝑘𝑘 ∈ 𝐾𝐾\{0} thì tâm tỉ cự 𝐺𝐺 không thay đổi. Vậy trong trường hợp 𝐺𝐺 là trọng tâm có


11

thể lấy các 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1 và khi đó trọng tâm 𝐺𝐺 của hệ điểm P1 , P2 , … , Pk được xác định
1
������⃗𝚤𝚤 .
bởi hệ thức: �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑂𝑂𝑃𝑃
𝑘𝑘

b) Khi 𝑘𝑘 = 2 trọng tâm 𝐺𝐺 của hai điểm P1 và P2 còn gọi là trung điểm của cặp điểm
(P1 , P2 ).

[15, tr.24]
Tính thuần nhất của tâm tỉ cự được xác định trong chú ý: “Nếu thay các hệ số

𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 bởi 𝑘𝑘𝜆𝜆1 , 𝑘𝑘𝜆𝜆2 , … , 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑘𝑘 với 𝑘𝑘 ∈ 𝐾𝐾\{0} thì tâm tỉ cự 𝐺𝐺 không
thay đổi.”

Chúng tôi xếp khái niệm tâm tỉ cự được tác giả Nguyễn Mộng Hy giới thiệu thuộc
giai đoạn tường minh của khái niệm. Từ đó, nghĩa vật lí mà chúng tơi quan tâm trong
phân tích này là khái niệm tâm tỉ cự dùng để xác định vị trí tâm của hệ lực song song,
điểm cân bằng hoặc trọng tâm.
Một số tính chất khác của khái niệm cũng được trình bày sau đó.
Định lí 2. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm Po , P1 , … , Pk với các họ hệ số khác
nhau là cái phẳng có số chiều bé nhất chứa các điểm P i ấy.
Hệ quả. Cho 𝑚𝑚–phẳng 𝛼𝛼 đi qua 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập Po , P1 , … , Pm . Khi đó 𝛼𝛼 chính là
tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm đó gắn với các họ hệ số khác nhau.

[15, tr.24- 25]

Hệ quả trên cho thấy: tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của một hệ điểm xác định nên
cái phẳng có số chiều bé nhất được tạo nên từ hệ điểm đó. Như vậy, mỗi điểm bất kì
thuộc vào một cái phẳng gồm 𝑘𝑘 điểm luôn là tâm tỉ cự của hệ điểm này ứng với một

họ hệ số cụ thể nào đó. Kết quả này cũng chính thức được xác nhận trong phần chứng
minh của định lí 3.

Định lý 3. Cho 𝑚𝑚–phẳng 𝛼𝛼 đi qua 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập Po , P1 , … , Pm và một điểm 𝑂𝑂
tùy ý. Điều kiện cần và đủ để điểm 𝑀𝑀 thuộc 𝛼𝛼 là:

𝑚𝑚
������⃗
������⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 trong đó ∑𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1.

Chứng minh
Điểm 𝑀𝑀 ∈ 𝛼𝛼 ⟺ 𝑀𝑀 là tâm tỉ cự của hệ điểm 𝑃𝑃𝑜𝑜 , 𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑚𝑚 gắn với họ các hệ số
𝛽𝛽0 , 𝛽𝛽1 , … , 𝛽𝛽𝑚𝑚 nào đó, nghĩa là với một điểm 𝑂𝑂 tùy ý ta có:
𝑚𝑚
�����⃗ ������⃗
�⃗
������⃗ �⃗
𝑀𝑀 ∈ 𝛼𝛼 ⟺ ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑖𝑖 = 0 ⟺ ∑𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 �𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖 − 𝑂𝑂𝑂𝑂 � = 0
𝑚𝑚
������⃗
�����⃗
⟺ (∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 )𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖
𝛽𝛽

𝑖𝑖
Vì ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖 ≠ 0 nên nếu đặt 𝜆𝜆𝑖𝑖 = ∑𝑚𝑚

𝑖𝑖=0 𝛽𝛽𝑖𝑖

𝑚𝑚
������⃗ = ∑𝑚𝑚

�����⃗
thì 𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖 và ∑𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1.

[15, tr.25-26]


12

Định lí 2 và định nghĩa của khái niệm tâm tỉ cự được sử dụng để chứng minh định
lí 3 – định lí xác định điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc vào một phẳng.
Nhận xét
Các nội dung lí thuyết xoay quanh khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày
gói gọn trong nội bộ Tốn học. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm ứng với
những họ hệ số khác nhau được quan tâm giới thiệu. So với các tính chất của tâm tỉ cự
được Mưbius xây dựng thì chỉ có tính thuần nhất được trình bày.
Phần tiếp theo, chúng tơi sẽ xác định các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ
cự trong giáo trình Hình học cao cấp và Bài tập hình học cao cấp bằng cách phân
tích các bài tập được tác giả đưa vào.
1.2.1.2. Các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm
Các bài tập được đưa ra sau phần lí thuyết gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự trong
giáo trình Hình học cao cấp và Bài tập Hình học cao cấp là giống nhau. Từ q trình
phân tích các bài tập và lời giải được trình bày, chúng tơi tìm thấy năm kiểu nhiệm vụ
gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm.
 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟏𝟏 : “Chứng minh tọa độ của tâm tỉ cự là tổ hợp tuyến tính các tọa độ của các
điểm và các hệ số tương ứng trong một mục tiêu affine.”

Kỹ thuật 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟏𝟏 :

1

Bước 1: Chọn 𝑂𝑂 là gốc tọa độ, biểu diễn �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 dạng: �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘

là tâm tỉ cự của hệ điểm (𝑃𝑃𝑖𝑖 ) có họ hệ số (𝜆𝜆𝑖𝑖 ).)

𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖

∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 . (Với 𝐺𝐺

Bước 2: Đồng nhất các tọa độ của từng vectơ trong mỗi vế để được điều cần chứng

minh.
Công nghệ 𝜽𝜽𝒐𝒐𝟏𝟏 : Định nghĩa tâm tỉ cự, biểu thức tọa độ affine của điểm.

Minh họa cho (𝑻𝑻𝒐𝒐𝟏𝟏 , 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟏𝟏 ): bài tập 1.28 trang 28; lời giải trang 63 sách BTHHCC.

Bài tập. Trong 𝐴𝐴𝑛𝑛 với mục tiêu affine đã chọn, giả sử 𝑘𝑘 điểm M 1 , ..., M k có tọa độ là:

𝑀𝑀𝑖𝑖 = �𝑥𝑥1𝑖𝑖 ; 𝑥𝑥2𝑖𝑖 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑖𝑖 � với i = 1,2, ..., k. Tâm tỉ cự G có tọa độ (X 1 , X 2 , ..., X n ) thỏa hệ
𝐺𝐺𝑀𝑀1 + 𝑚𝑚2 ��������⃗
𝐺𝐺𝑀𝑀2 + ⋯ + 𝑚𝑚𝑘𝑘 ���������⃗
𝐺𝐺𝑀𝑀𝑘𝑘 = �0⃗ với m 1 +...+m k≠ 0. Chứng minh rằng:
thức 𝑚𝑚1 ��������⃗


13

𝑋𝑋𝑗𝑗 =

𝑚𝑚1 𝑥𝑥j1 + 𝑚𝑚2 𝑥𝑥𝑗𝑗2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑗𝑗𝑘𝑘
𝑚𝑚1 +𝑚𝑚2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘

.

Lời giải
Với O là gốc tọa độ và G là tâm tỉ cự của hệ điểm M 1 , M 2 , ..., M k ta có:
���������⃗

���������⃗

����������⃗

𝑚𝑚 𝑂𝑂𝑀𝑀 +𝑚𝑚2 𝑂𝑂𝑀𝑀2 +⋯+𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑂𝑂𝑀𝑀𝑘𝑘
�����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 = 1 1𝑚𝑚 +𝑚𝑚
.
+⋯+𝑚𝑚
1

𝑚𝑚1 𝑥𝑥j1 + 𝑚𝑚2 𝑥𝑥𝑗𝑗2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑗𝑗𝑘𝑘

Do đó ta suy ra: 𝑋𝑋𝑗𝑗 =

𝑚𝑚1 +𝑚𝑚2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘

2

𝑘𝑘

với j = 1, 2, ..., n là điều phải chứng minh.

Chúng tôi xem kết quả của kiểu nhiệm vụ trên là biểu diễn dạng tọa độ của tâm tỉ
1
cự. Như vậy, ngoài xác định bằng đẳng thức vectơ �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 = ∑𝑘𝑘

𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖

∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝑂𝑂𝑃𝑃𝚤𝚤 thì vị trí

tâm tỉ cự cịn có thể được xác định bằng biểu thức tọa độ thông qua tọa độ của các
điểm trong hệ điểm và các hệ số tương ứng.
 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟐𝟐 : “Chứng minh tâm tỉ cự của hệ điểm có tính kết hợp.”

Nghĩa là, nếu 𝐺𝐺 là tâm tỉ cự của hệ điểm {𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑝𝑝 } có họ hệ số {𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑝𝑝 }, 𝐻𝐻 là

tâm tỉ cự của hệ {𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑘𝑘 } có họ hệ số {𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 , (𝑘𝑘 < 𝑝𝑝)} và 𝐶𝐶 là tâm tỉ cự của hệ
{𝐻𝐻, 𝑃𝑃𝑘𝑘+1 , … , 𝑃𝑃𝑝𝑝 } có họ hệ số {𝜆𝜆1 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑘𝑘 , 𝜆𝜆𝑘𝑘+1 … , 𝜆𝜆𝑝𝑝 } thì 𝐺𝐺 trùng 𝐶𝐶.

Kỹ thuật τ 2 :

𝑝𝑝
𝑝𝑝
�����⃗ + 𝐶𝐶𝐶𝐶
�����⃗𝚤𝚤 � = �0⃗.
Bước 1: Phân tích đẳng thức ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗ về ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �𝐺𝐺𝐺𝐺

𝑝𝑝

𝑝𝑝

𝑝𝑝

Bước 2: Phân tích ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗
𝐶𝐶𝐶𝐶𝚤𝚤 thành ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 + ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗
𝐶𝐶𝐶𝐶 + ∑𝑖𝑖=𝑘𝑘+1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 .
𝑝𝑝

Bước 3: Sử dụng định nghĩa tâm tỉ cự và quy tắc ba điểm để được ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗
𝐺𝐺𝐺𝐺 = �0⃗.

Công nghệ 𝜽𝜽𝒐𝒐𝟐𝟐 : Định nghĩa tâm tỉ cự, một số tính chất đơn giản của không gian affine.
Minh họa cho (𝑻𝑻𝒐𝒐𝟐𝟐 , 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟐𝟐 ): bài tập 1.30 trang 29; lời giải trang 64 sách BTHHCC.

Bài tập. Trong An giả sử họ 𝑝𝑝 điểm {M 1 , M 2 , ..., M p } có G là tâm tỉ cự ứng với họ
các hệ số {m 1 , m 2 , ..., m p } với m 1+ m 2+ ...+m p≠ 0 và H là tâm tỉ cự của hệ điểm
{M 1 , M 2 , ..., M k } với k < p, là hệ con của hệ điểm đã cho, ứng với các hệ số {m 1 , m 2 ,
..., m k } với m 1+ m 2+ ...+m k ≠ 0.
Chứng minh rằng tâm tỉ cự G nói trên trùng với tâm tỉ cự C của hệ điểm {H, M k+1 , ...,
M p } ứng với các hệ số {∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑚𝑚𝑗𝑗 , m k+1 , m k+2 , ..., m p } với ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑚𝑚𝑗𝑗 + m k+1+ ...+ m p
R

R

R

R

R

≠ 0.
Lời giải

Vì G là tâm tỉ cự của hệ điểm {M 1 , M 2 , ..., M p } ứng với họ các hệ số m 1 , m 2 , ..., m p
với m 1+ m 2+ ...+ m p ≠ 0 nên ta có:
R

R


14

𝑝𝑝
�����⃗ + 𝐶𝐶𝐶𝐶
�������⃗𝚤𝚤 � = �0⃗ (1)
∑𝑝𝑝𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ��������⃗
𝐺𝐺𝑀𝑀𝚤𝚤 = �0⃗ ⇔ ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 �𝐺𝐺𝐺𝐺

Với C là tâm tỉ cự của hệ điểm {H, M k+1 , ..., M p } trong đó H là tâm tỉ cự của hệ điểm
{M 1 , M 2 , ..., M k } với 𝑘𝑘 < 𝑝𝑝. Ta có thể viết đẳng thức (1) ở trên dưới dạng:
𝑝𝑝

𝑝𝑝
�����⃗ + ��������⃗
(1) ⇔ ∑𝑝𝑝𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 �����⃗

𝐺𝐺𝐺𝐺 + ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 �𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 � = �0⃗
𝑝𝑝

𝑝𝑝

�����⃗ + ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ��������⃗
�����⃗ + ∑
��������⃗ �⃗
⇔ ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝐺𝐺𝐺𝐺
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 + ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑖𝑖=𝑘𝑘+1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 = 0 (2)

Theo giả thiết H là tâm tỉ cự của hệ điểm {𝑀𝑀1 , 𝑀𝑀2 , … , 𝑀𝑀𝑘𝑘 } với 𝑘𝑘 < 𝑝𝑝 ứng với các hệ
số {𝑚𝑚1 , 𝑚𝑚2 , … , 𝑚𝑚𝑘𝑘 } với 𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚𝑘𝑘 ≠ 0 nên ta có:
∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ��������⃗
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 = �0⃗
(3)

Mặt khác ta có 𝐶𝐶 là tâm tỉ cự của hệ điểm {H, M k+1 , ..., M p } ứng với các hệ số
{∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 , 𝑚𝑚𝑘𝑘+1 , 𝑚𝑚𝑘𝑘+2 , 𝑚𝑚𝑝𝑝 } với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 + 𝑚𝑚𝑘𝑘+1 + 𝑚𝑚𝑘𝑘+2 + 𝑚𝑚𝑝𝑝 ≠ 0 nên ta có:
𝑝𝑝
∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 �����⃗
𝐶𝐶𝐶𝐶 + ∑𝑗𝑗=𝑘𝑘+1 𝑚𝑚𝑗𝑗 �������⃗
𝐶𝐶𝐶𝐶𝚥𝚥 = �0⃗ (4)

𝑝𝑝
Thay các giá trị của (3) và (4) vào (2) ta có ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 �����⃗
𝐺𝐺𝐺𝐺 = �0⃗.
Ta suy ra tâm tỉ cự G của hệ điểm {M 1 , M 2 , ...,M p } trùng với tâm tỉ cự C của hệ điểm

𝑝𝑝
�����⃗ = �0⃗ mà ∑𝑝𝑝𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ≠ 0 nên �����⃗
𝐺𝐺𝐺𝐺 = �0⃗ hay 𝐺𝐺 ≡ 𝐶𝐶.
{H, M k+1 , ...,M p } vì từ ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝐺𝐺𝐺𝐺

 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟑𝟑 : “Chứng minh tâm tỉ cự của hệ điểm có tính thuần nhất.”
Kỹ thuật 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟑𝟑 :

�����⃗𝑖𝑖 = �0⃗.
Bước 1: Sử dụng định nghĩa tâm tỉ cự để được biểu diễn ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝐺𝐺𝐺𝐺

�����⃗𝑖𝑖 = �0⃗ ta được
Bước 2: Nhân số 𝑘𝑘 ≠ 0 vào hai vế của đẳng thức ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝐺𝐺𝐺𝐺

∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗
𝐺𝐺𝐺𝐺𝑖𝑖 = �0⃗. Khi đó 𝐺𝐺 là tâm tỉ cự của hệ điểm (𝑃𝑃𝑖𝑖 ) có họ hệ số (𝑘𝑘𝜆𝜆𝑖𝑖 ).
Công nghệ 𝜽𝜽𝒐𝒐𝟐𝟐 .

Minh họa cho (𝑻𝑻𝒐𝒐𝟑𝟑 , 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟑𝟑 ): Bài tập 1.31 câu a) trang 29; lời giải trang 65 sách BTHHCC.

Bài tập 1.31. Trong An cho G là tâm tỉ cự các hệ điểm {P 1 , P 2 , ..., P k } gắn với họ các
hệ số {𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 }.
a) Chứng minh rằng nếu thay tất cả các hệ số 𝜆𝜆𝑖𝑖 bằng 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑖𝑖 với k ≠0 thì tâm tỉ cự G nói
trên khơng đổi.
Lời giải

a) Vì G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P 1 , P 2 , ..., P k } gắn với họ các hệ số {𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 }
nên ta có đẳng thức:
�������⃗1 + 𝜆𝜆2 𝐺𝐺𝑃𝑃
�������⃗2 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑘𝑘 �������⃗

𝜆𝜆1 𝐺𝐺𝑃𝑃
𝐺𝐺𝑃𝑃𝑘𝑘 = �0⃗ với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0
�⃗
Thay 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑖𝑖 với i = 1, 2, ..., k ta vẫn có: 𝑘𝑘𝑘𝑘1 �������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘2 �������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃2 + ⋯ + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 �������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃𝑘𝑘 = 0

Do đó ta có G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P 1 , P 2 , ..., P k } gắn với họ các hệ số
{𝑘𝑘𝜆𝜆1 , 𝑘𝑘𝜆𝜆2 , … , 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑘𝑘 }.


15

 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟒𝟒 : “Tìm vị trí trọng tâm của đoạn thẳng AB và của tam giác ABC.”
Kỹ thuật 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟒𝟒 :

�����⃗ = −𝐺𝐺𝐺𝐺
�����⃗ . Tiếp đến, dựng hình
Nếu 𝑖𝑖 = 2: Sử dụng định nghĩa trọng tâm để được 𝐺𝐺𝐺𝐺

minh họa cho kết quả.

Nếu 𝑖𝑖 = 3: Sử dụng định nghĩa trọng tâm, tính chất kết hợp của tâm tỉ cự để được

kết quả 𝐺𝐺 nằm trên các đường trung tuyến. Sau đó, dựng hình minh họa cho kết quả.

Cơng nghệ 𝜽𝜽𝒐𝒐𝟑𝟑 : Định nghĩa tâm tỉ cự, tính chất kết hợp của tâm tỉ cự trong T 2 .

Minh họa cho (𝑻𝑻𝒐𝒐𝟒𝟒 , 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟒𝟒 ): Bài tập 1.31, câu b) trang 29; lời giải trang 66 sách BTHHCC.

Bài tập 1.31. Trong An cho G là tâm tỉ cự các hệ điểm {P 1 , P 2 , ..., P k } gắn với họ các
hệ số {𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 }.
a) [...].
b) Trường hợp các hệ số 𝜆𝜆1 = 𝜆𝜆2 = … = 𝜆𝜆𝑘𝑘 điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm {P 1 ,
P 2 , ..., P k }. Hãy tìm trọng tâm của đoạn thẳng AB và của tam giác ABC.
Lời giải
b) Trường hợp 𝜆𝜆1 = 𝜆𝜆2 = … = 𝜆𝜆𝑘𝑘 ta chọn các số 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1, khi đó ta có:
�������⃗
�������⃗2 + ⋯ + �������⃗
�⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃1 + 𝐺𝐺𝑃𝑃
𝐺𝐺𝑃𝑃𝑘𝑘 = 0
Điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm {P 1 , P 2 , ..., P k }.
�����⃗ + 𝐺𝐺𝐺𝐺
�����⃗ = �0⃗ ⇔ 𝐺𝐺𝐺𝐺
�����⃗ = −𝐺𝐺𝐺𝐺
�����⃗.
• Đối với đoạn thẳng AB ta có: 𝐺𝐺𝐺𝐺
Vậy G là trung điểm AB.

• Đối với tam giác ABC ta có: �����⃗
𝐺𝐺𝐺𝐺 + �����⃗
𝐺𝐺𝐺𝐺 + ⋯ + �����⃗
𝐺𝐺𝐺𝐺 = �0⃗
Gọi A 1 là trọng tâm của cạnh BC ta có A 1 là trung điểm của đoạn BC. Theo kết quả
của bài 1.30 ta suy ra trọng tâm của hệ điểm {A, B, C} trùng với trọng tâm của hệ
điểm {A 1 , A} trong đó A 1 là trọng tâm của hệ điểm {B, C}.
Do đó trọng tâm 𝐺𝐺 của tam giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 là tâm tỉ cự của {𝐴𝐴, 𝐴𝐴1 } nên thuộc trung tuyến
𝐴𝐴𝐴𝐴1 .

Lý luận tương tự ta có G thuộc trung tuyến BB 1 (B 1 là trung điểm AC). Vậy trọng tâm
G của tam giác ABC là giao điểm của hai đường trung tuyến AA 1 và BB 1 .

 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟓𝟓 : “Chứng minh m – phẳng 𝜶𝜶 xác định bởi m + 1 điểm độc lập là tập hợp các
tâm tỉ cự của hệ điểm đó gắn với họ các hệ số khác nhau.”

Kỹ thuật 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟓𝟓 :

Chiều thuận

�⃗.
Bước 1: Gọi 𝐺𝐺 là tâm tỉ cự của họ điểm đã cho, lập đẳng thức ∑𝑖𝑖 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
G𝑃𝑃𝚤𝚤 = 0


16

�⃗ về đẳng thức
Bước 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, biến đổi đẳng thức ∑𝑖𝑖 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
G𝑃𝑃𝚤𝚤 = 0

�����⃗
�������⃗
𝑃𝑃𝚥𝚥 𝐺𝐺 = ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑃𝑃𝚥𝚥 𝑃𝑃𝚤𝚤 , với 𝑃𝑃𝑖𝑖 là 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập xác định 𝑚𝑚-phẳng 𝜶𝜶.

Chiều nghịch

Bước 1: Gọi 𝐺𝐺 là điểm thuộc 𝑚𝑚- phẳng 𝜶𝜶, khi đó theo định lí 3 ln xây dựng được

đẳng thức �������⃗
𝑃𝑃0 𝐺𝐺 = 𝑡𝑡1 ��������⃗
𝑃𝑃0 𝑃𝑃1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑚𝑚 ���������⃗
𝑃𝑃0 𝑃𝑃𝑚𝑚 .

Bước 2: Sử dụng tính chất “với ba điểm bất kì 𝑂𝑂, 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ 𝜜𝜜 thì �����⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴 = �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 − �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂”

G𝑃𝑃𝚤𝚤 = �0⃗. Từ đó suy ra 𝐺𝐺 là tâm tỉ cự của họ
biến đổi vế phải đẳng thức để được ∑𝑖𝑖 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗

𝑚𝑚 + 1 điểm 𝑃𝑃0 , … , 𝑃𝑃𝑚𝑚 .

Công nghệ 𝜽𝜽𝒐𝒐𝟑𝟑 : Định nghĩa tâm tỉ cự, định lí 3.

Minh họa cho (𝑻𝑻𝒐𝒐𝟓𝟓 , 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟓𝟓 ): bài tập 1.29 trang 29; lời giải trang 63 sách BTHHCC.

Bài tập 1.29. Cho m-phẳng 𝛼𝛼 xác định bởi 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập {P 0 , P 1 ,..., P m }.
Chứng minh rằng 𝛼𝛼 là tập hợp các tâm tỉ cự của hệ điểm đó gắn với họ các hệ số khác
nhau.
Lời giải
Gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P 0 , P 1 , ..., P m } gắn với họ hệ số {𝜆𝜆0 , 𝜆𝜆1 , … , 𝜆𝜆𝑚𝑚 }, ta có:
𝑚𝑚
�⃗ với ∑𝑚𝑚
�������⃗ ��������⃗
�⃗
𝜆𝜆0 �������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃0 + 𝜆𝜆1 �������⃗

𝐺𝐺𝑃𝑃1 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑚𝑚 ��������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃𝑚𝑚 = 0
𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 ⇔ ∑𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 (𝐺𝐺𝑃𝑃0 + 𝑃𝑃0 𝑃𝑃𝚤𝚤 ) = 0.
Do đó: �������⃗
𝑃𝑃0 𝐺𝐺 =

����������⃗
∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑃𝑃0 𝑃𝑃𝚤𝚤
∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖

. Vậy G ϵ 𝛼𝛼.

Bây giờ ta lấy điểm G bất kì thuộc m – phẳng 𝛼𝛼 ta có:
𝑚𝑚
�������⃗
�������⃗
������⃗ �������⃗
��������⃗
���������⃗
𝑃𝑃
0 𝐺𝐺 = 𝑡𝑡1 𝑃𝑃0 𝑃𝑃1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑃𝑃0 𝑃𝑃𝑚𝑚 ⇔ 𝑃𝑃0 𝐺𝐺 = ∑𝑖𝑖=1 𝑡𝑡𝑖𝑖 �𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 − 𝐺𝐺𝐺𝐺0 �

𝑚𝑚
�������⃗
������⃗ �⃗
⇔ (1 − ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 𝑡𝑡𝑖𝑖 ) 𝐺𝐺𝐺𝐺0 + ∑𝑖𝑖=1 𝑡𝑡𝑖𝑖 𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = 0 (1).
Đẳng thức (1) ở trên chứng tỏ G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P 0 , P 1 , ..., P m } gắn với họ

các hệ số {(1 − ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 𝑡𝑡𝑖𝑖 ) = t 0 , t 1 , t 2 , ..., t m }. Trong đó t 0 + t 1 + t 2 + ...+ t m =1.
Vậy 𝛼𝛼 là tập hợp các tâm tỉ cự của hệ điểm {𝑃𝑃0 , 𝑃𝑃1 , … , 𝑃𝑃𝑚𝑚 } gắn với họ hệ số khác nhau.

Bảng thống kê theo kiểu nhiệm vụ

Số thứ tự Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật Số lượng bài tập
1
2
3
4
5
Tổng

𝑻𝑻𝒐𝒐𝟏𝟏

𝝉𝝉𝒐𝒐𝟏𝟏

1

𝑻𝑻𝒐𝒐𝟒𝟒

𝑻𝑻𝒐𝒐𝟐𝟐
𝑻𝑻𝒐𝒐𝟑𝟑
𝑻𝑻𝒐𝒐𝟓𝟓
5

𝝉𝝉𝒐𝒐𝟐𝟐

1

𝝉𝝉𝒐𝒐𝟓𝟓

1

𝝉𝝉𝒐𝒐𝟑𝟑

1

𝝉𝝉𝒐𝒐𝟒𝟒

2

5

6