DAP AN DE THI HSG 9.2010-2011 CAN LOC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn thi: Toán-Lớp 9
Thời gian 120 phút
Câu 1:
Rút gon biểu thức
a) A =
11 2 30 5+ −
b) B =
1 3 2 2 3
2 3 3 2 2 3
−
− +
Câu 2:
Cho biểu thức
P =
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
x x x x
− + −
− +
+ + −
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức Q =
2 x
P
nhận giá trị là số nguyên.
Câu 3: Cho x,y thoã mãn (x +
2

2011 x+
)(y +
2
2011 y+ ) = 2011
Tính giá trị của biểu thức A = x
2011
+ y
2011
Câu 4:
Giải phương trình: 6 – x
2
= 6 x−
Câu 5:
Qua điểm M tuỳ ý trên đáy lớn AB của hình thang ABCD ta kẻ các
đường thẳng song song với hai đường chéo AC và BD.Các đường thẳng
song song này cắt cạnh AD,CB tại E và F. Đoạn thẳng EF cắt AC và BD tại
I và J.
a) Chứng minh
FI EJ
IE FJ
=
b) CMR nếu H là trung điểm của đoạn IJ thì H cũng là trung điểm của EF.
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CAN LỘC
Tôn Đức Trình THCS Phúc Lộc
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011
Hướng dẫn chấm môn: Toán 9
Câu 1: Rút gon biểu thức
a) A =
11 2 30 5+ −
= 6 2đ

b) B =
1 3 2 2 3
2 3 3 2 2 3
−
− +
= -1 2đ
Câu 2: Cho biểu thức
P =
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
x x x x
− + −
− +
+ + −
a) ĐK x>0, x ≠1 0.5 đ
P = x -
x
+1 1.5 đ
b) Ta có P = (
x
-
1
2
)
2
+
3
4

≥
3
4
=> P
Min
=
3
4
<=> x =
1
4
2.0 đ
c) Ta có Q =
2
x - x +1
x
=
2 2
x - x +1
M
x
=
. Do x> 0, x ≠ 1. Ta có
M =
x - x +1 1
x 1
x x
= + −
> 1 BDT Côsy => 0 < Q < 2. Vì Q nguyên nên Q
= 1 => x

7 3 5
2
±
1.0 đ
Câu 3: Cách 1 Ta có (x +
2
2011 x+
)(x -
2
2011 x+
) = 2011
(y +
2
2011 y+ )(y -
2
2011 y+ ) = 2011
Kết hợp với giả thiết có:
2 2
2 2
y+ 2011+y 2011+x
x+ 2011+x 2011+y
x
y

= −


= −



Cộng theo vế ta có x = - y => A = x
2011
+ y
2011
= 0
Cách 2: Nhân lien hợp ta có
Ta có (x +
2
2011 x+
)(x -
2
2011 x+
)(y +
2
2011 y+ ) = 2011(x -
2
2011 x+
)
<=> - 2011(y +
2
2011 y+ ) = 2011(x -
2
2011 x+
)
<=> x + y =
2
2011 y+ -
2
2011 x+

(1)
Tương tự có: x + y =
2
2011 x+
-
2
2011 y+ (2)
Công (1)(2) ta có 2(x + y) = 0 => x = - y => A = x
2011
+ y
2011
= 0
Câu 4: (Cách 1)
ĐK: - 6 < x <. 6 . Ta có: 6 – x
2
= 6 x− <=> x
2
= 6 - 6 x−
<=> x
2
– x +
1
4
= (6 - x) - 6 x− +
1
4
=> (x -
1
2
)

2
= ( 6 x− -
1
2
)
2
=> (x -
1
2
) = ± (
6 x−
-
1
2
) = > x =
6 x−
(1) hoặc 1 – x =
6 x−
(2)
giải (1) được x = 2, giải (2) được x =
1 21
2
−
Cách 2: Đặt y =
6 x−
=> y
2
= 6 – x ta có hệ sau:
2
y2 = 6 - x

x = 6 - y



(I)
Từ hệ (I) ta có (x - y)(x + y) = x – y <=>(x - y)(x + y - 1) = 0
=>
x = y
y = 1 - x



Với x = y => x =
6 x−
=> x = 2 (t/m)
Với y = 1- x ta có 1- x =
6 x−
(x<1) => (1- x)
2
= 6 – x <=> x
2
– x + 5 = 0
x
1,2
=
1 21
2
±
loại x
1

. Vậy x = 2; x =
1 21
2
−
Cách 3: ĐK: -
6
< x <
6
. Bình phương hai vế ta có (6 – x
2
)
2
= 6 - x
<=> x
4
– 12x
2
+ x + 30 = 0 <=> (x – 2)(x
3
+ 2x
2
– 8x – 15) = 0
<=> (x – 2)(x + 3)(x
2
+ x – 5) = 0 Giải được x = 2; x =
1 21
2
−

Câu 5: Cách 1:

a) Ta có
FI FP DG
IE PM GB
= =
(1)

JE EQ CG
JF QM GA
= =
(2)
Mà
DG CG
GB GA
=
(3)
Từ (1)(2)(3) ta có
FI JE
IE JF
=
b) Ta có
FI JE
IE JF
=
=>
FI JE
IE IE JF JE
=
+ +
=
FI JE

F FE
=
=> FI = JE mà IH = IJ
=> FH = HE
Cách 2:
a) Ta có
FP DG CG EQ
PM GB GA QM
= = =
=> PQ//EF
=> FIQP, IEQP là các hình bình hành vì tứ giác
có các cạnh đối song song => FJ = IE = PQ (1)
Lai có
FI FP EQ EJ
IE PM QM JF
= = =
b) Từ (1) FJ = IE mặt khác IH = HJ (gt) => FH = HE
Người giải: Tôn Đức Trình THCS Phúc Lộc
G
J
I
Q
P
E
F
A B
D C
M
H
.

Q
P
G
H
J
I
E
F
A
B
D
C
M