Khối đa diện trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017 sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy và học​

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Ngọc

KHỐI ĐA DIỆN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
THPT TỪ 2006 ĐẾN 2017: SỰ TIẾN TRIỂN CỦA
CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VÀ TÁC ĐỘNG
ĐẾN DẠY VÀ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Ngọc

KHỐI ĐA DIỆN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
THPT TỪ 2006 ĐẾN 2017: SỰ TIẾN TRIỂN CỦA
CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VÀ TÁC ĐỘNG
ĐẾN DẠY VÀ HỌC
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài: “Khối đa diện trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006
đến 2017: sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy và học” là kết
quả cơng trình nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng dẫn của Thầy Trần Lương
Cơng Khanh, những trích dẫn trong luận văn, cũng như các kết quả nghiên cứu từ các
công trình nghiên cứu của các tác giả khác đều được trích dẫn đầy đủ theo đúng quy
định.

Nguyễn Thanh Ngọc


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin đặc biệt gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS. Trần
Lương Cơng Khanh, người đã hướng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ tơi trong suốt q trình
hồn thành luận văn này.
Tơi xin vơ cùng cảm ơn:
 PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê Thái Bảo Thiên
Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh Dũng,
các Thầy Cơ đã rất nhiệt tình giảng dạy chúng tơi.
 Các thầy cơ ở Pháp đã góp ý, tư vấn cho chúng tơi có được hướng đi tốt trong
nghiên cứu của mình.
Tơi cũng rất cảm ơn:
 Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau Đại học, Khoa Tốn - Trường đại học
Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho
chúng tôi.

 Các thầy cô và học sinh trường THPT Trịnh Hoài Đức, trường THPT Huỳnh
Văn Nghệ, Trung tâm GDNN - GDTX Thuận An, đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong
quá trình thực nghiệm của luận văn.
 Ban giám đốc, các thầy cô và học sinh của Trung tâm GDNN - GDTX Tân
Uyên đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi rất nhiều trong q trình tơi đi học và
thực nghiệm của luận văn.
 Các bạn lớp Didactic 27 vì sự đồng hành cùng nhau trong suốt khóa học.
Cuối cùng, là sự biết ơn vơ vàn đến gia đình tơi, đặc biệt là mẹ tôi, đã động viên và hỗ
trợ hết lịng trong suốt qng thời gian tơi đi học.

Nguyễn Thanh Ngọc


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các từ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU.............................................................................................................. 1
Chương 1. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VỀ KHỐI ĐA DIỆN TRONG
SÁCH GIÁO KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP LỚP 12 .................. 5
1.1. Các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong sách giáo khoa và
sách bài tập hình học 12 cơ bản............................................................... 6
1.1.1. Tổ chức toán học hỗ trợ ...................................................................... 6
1.1.2. Tổ chức toán học phức hợp .............................................................. 10
1.1.3. Tổ chức toán học tức thời ................................................................. 17
1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong sách giáo khoa và
sách bài tập hình học 12 nâng cao ......................................................... 19

1.2.1. Tổ chức toán học hỗ trợ .................................................................... 20
1.2.2. Tổ chức toán học phức hợp .............................................................. 21
1.2.3. Tổ chức toán học tức thời ................................................................. 27
Kết luận chương 1 .............................................................................................. 30
Chương 2. TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI ĐA DIỆN
TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG (2006 – 2017) ................................................................. 30
2.1. Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện luôn xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp
thpt từ năm 2006 đến năm 2017 ............................................................ 31
2.2. Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện mới xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp
THPT 2017 ............................................................................................ 31
2.2.1. Biến thể của kiểu nhiệm vụ t4 .......................................................... 32
2.2.2. Biến thể của kiểu nhiệm vụ t4 .......................................................... 37


2.2.3. Kiểu nhiệm vụ t12.............................................................................. 40
2.2.4. Kiểu nhiệm vụ t1 ............................................................................... 41
2.2.5. Kiểu nhiệm vụ t6 ............................................................................... 41
2.3. Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện bị vắng bóng trong đề thi tốt nghiệp
THPT 2017 ............................................................................................ 43
Kết luận chương 2 .............................................................................................. 44
Chương 3. QUAN SÁT THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VÀ
SẢN PHẨM CỦA HỌC SINH..................................................... 45
3.1. Quan sát thực hành giảng dạy của giáo viên ........................................... 45
3.1.1. Quan sát thực hành giảng dạy của g1 ............................................... 46
3.1.2. Quan sát thực hành giảng dạy của g2 ............................................... 50
3.1.3. Kết luận ............................................................................................ 54
3.2. Phân tích sản phẩm của học sinh và ý kiến giáo viên ............................. 54
3.2.1. Đối tượng .......................................................................................... 55
3.2.2. Hình thức .......................................................................................... 55

3.2.3. Bộ câu hỏi thực nghiệm .................................................................... 55
Kết luận chương 3 .............................................................................................. 69
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 71
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 73
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Từ viết tắt

Nghĩa của từ viết tắt

THPT

Trung học phổ thông

GDTX

Giáo dục thường xuyên

GDĐT

Giáo dục và đào tạo

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập

HH12CB

Hình học 12 cơ bản

HH12NC

Hình học 12 nâng cao

BTHH12CB

Sách bài tập hình học 12 cơ bản

BTHH12NC

Sách bài tập hình học 12 nâng cao

KNV

Kiểu nhiệm vụ

TCTH

Tổ chức toán học


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ có trong HH12CB, BTHH12CB ................. 18
Bảng 1.2. Thống kê các kiểu nhiệm vụ có trong HH12NC, BTHH12NC ................. 28


1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Hình học khơng gian là một trong những phân mơn khó đối với HS Việt Nam,
nhất là trong việc thực hành giải tốn. Để giải một bài tốn hình học không gian, HS
không những phải biết huy động công thức, tính chất phù hợp, lập luận chặt chẽ, tính
tốn chính xác mà cịn phải biết vẽ hình biểu diễn vật thể trên mặt phẳng và đọc hình
vẽ.
Trong chương trình THPT hiện hành, HHKG được bắt đầu giảng dạy ở lớp 11
và tiếp tục ở lớp 12. Từ năm 2006 đến nay, một trong những chủ đề HHKG thường
xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT là các KNV liên quan đến khối đa diện.
Đây là một KNV khó đối với HS, đặc biệt khi kết quả thi tốt nghiệp THPT được dùng
để xét tuyển đại học, cao đẳng (từ 2015) và khi đề tốn chuyển sang hình thức trắc
nghiệm (từ 2017).
Những bài toán nào liên quan đến khối đa diện đã xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp
trung học phổ thông từ 2006 đến 2017? Sự tiến triển của các kiểu nhiệm vụ liên quan
đến khối đa diện qua các đề thi này? Tác động của sự tiến triển này đối với giáo viên
và học sinh?

Những câu hỏi này đưa chúng tôi đến đề tài Khối đa diện trong các đề thi trung
học phổ thông (2006-2017): Sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy
và học.
2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết
Chúng tôi nghiên cứu đề tài của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Tốn
đó là thuyết nhân học và phân tích thực hành dạy học của giáo viên theo quan điểm
Didactic, đặc biệt là khái niệm tổ chức toán học.
2.1. Quan hệ thể chế đối với một tri thức
Lý thuyết nhân học sư phạm dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa đó
là đối tượng, cá thể, thể chế.
Khi một cá thể X thâm nhập vào một thiết chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng
tri thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành. Cá thể X và hệ


2

thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân. Thông qua mối quan hệ cá
nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thiết chế I.
Khi một cá nhân thâm nhập vào một thể chế sư phạm, mối quan hệ của cá nhân
với một đối tượng tri thức O nào đó được thiết lập dưới những ràng buộc của mối quan
hệ thể chế đối với đối tượng tri thức này. Theo quan điểm này, truyền đạt một tri thức
là quá trình thiết lập hoặc thay đổi quan hệ cá nhân của người học với tri thức dưới
những ràng buộc của quan hệ thể chế đối với tri thức.
2.2. Tổ chức toán học
Theo quan điểm của Chevallard (1998): một praxéologie là một bộ bốn [T, , ,
]. trong đó T là kiểu nhiệm vụ gồm ít nhất một nhiệm vụ,  là kỹ thuật giúp giải quyết
T,  là công nghệ biện minh cho  và  là lý thuyết biện minh cho .
Trong một praxéologie, khối [T/ ] thuộc về thực hành và khối [/ ] thuộc về
lý thuyết, lập luận. Nếu T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan sẽ gọi
là một tổ chức toán học.

Từ đây, chúng ta phát biểu lại một số câu hỏi ban đầu như sau:
Các tổ chức toán học nào liên quan đến khối đa diện được trình bày trong SGK
cơ bản và nâng cao? Với mỗi KNV, các kỹ thuật có thể có trong mỗi giai đoạn? Các
kỹ thuật được ưu tiên? Những KNV về khối đa diện trong các đề thi tốt nghiệp trung
học phổ thơng? Việc chuyển đề tốn sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những
KNV mới nào về khối đa diện? Các kỹ thuật có thể có?
2.3. Chuyển hóa sư phạm
“Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức được vận dụng
vào một lĩnh vực thực tiễn D nào đó. Điều chủ yếu là một tri thức không tồn tại một
cách riêng lẻ bên lề xã hội: mọi tri thức đều xuất hiện vào một thời điểm nhất định,
trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu vào một hoặc nhiều thể chế” (Chevallard
1989).
Để có thể tồn tại trong một thể chế, mọi tri thức đều phải chịu một số điều kiện ràng
buộc nhất định. Sự chuyển hóa sư phạm có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây:


3

Tri thức bác học

Tri thức cần dạy
(Thể chế chuyển hóa)

Tri thức được giảng dạy
(Thể chế dạy học)
Sự chuyển hóa sư phạm nội tại có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây (có 2 giai
đoạn):
Tri thức cần dạy
(Tri thức chương trình)


Dự án dạy học

Tri thức được giảng dạy
(Thể chế dạy học)
Từ đây, chúng tôi xin phát biểu lại các câu hỏi ban đầu dựa trên những lý thuyết
đã tham chiếu như sau:
Q1. Các tổ chức toán học nào liên quan đến khối đa diện được trình bày trong
SGK cơ bản và nâng cao? Với mỗi KNV, các kỹ thuật có thể có trong mỗi giai đoạn?
Các kỹ thuật được ưu tiên?
Q2. Những KNV về khối đa diện trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng?
Việc chuyển đề tốn sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những KNV mới nào về
khối đa diện? Các kỹ thuật có thể có?
Q3. Các kỹ thuật được giáo viên và học sinh ưu tiên chọn để giải quyết các KNV?
Các yếu tố công nghệ - lý thuyết biện minh cho các kỹ thuật được ưu tiên? 3. Phương
pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục tiêu và trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu, thì nhiệm vụ
và phương pháp nghiên cứu được tiến hành như sau:


4

+ Xác định tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong SGK 12 hiện hành.
+ Xác định KNV liên quan đến khối đa diện trong trong các đề thi từ 2006
đến 2017.
+ Quan sát thực hành dạy học của GV.
+ Phân tích sản phẩm của GV và HS.
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn này gồm 3 phần: phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương như sau:
Chương 1: Các tổ chức toán học về khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài
tập lớp 12.

Chương 2: Tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện qua các đề thi tốt nghiệp
trung học phổ thông từ 2006 đến 2017.
Chương 3: Quan sát thực hành giảng dạy của giáo viên và sản phẩm của giáo viên
và học sinh.


5

Chương 1
CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VỀ KHỐI ĐA DIỆN TRONG SÁCH GIÁO
KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP LỚP 12
Ngày 05/5/2006, bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành Quyết định số
16/2006/QĐ-BGDĐT về chương trình giáo dục phổ thơng. Từ năm học 2006-2007,
hai bộ sách toán THPT được sử dụng trong cả nước: bộ nâng cao dành cho ban khoa
học tự nhiên, bộ cơ bản dành cho ban khoa học xã hội và cơ bản.
Trong quá trình thực hiện chương trình, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Công
văn số 5842/BGDĐT-VP ngày 01 tháng 9 năm 2011 của Bộ Giáo dục và Đào tạo,
công văn về giảm tải chương trình tốn THPT, cụ thể vấn đề liên quan đến khối đa
diện được trình bày ở chương I được áp dụng giảm tải như sau:
 Bài 1: Khái niệm khối đa diện đều, phần bài tập giảm tải bài 1, 2 trang 12.
 Bài 2:
 Mục II trang 16, 17 và HĐ 4 trang 18 chỉ giới thiệu định lý và minh họa
qua hình 1.20. Các nội dung còn lại của trang 16 – 17 và HĐ 4 trang 18
không dạy. Điều này đồng nghĩa với việc bảng tóm tắt 5 loại khối đa
diện khơng được chú trọng.
 Phần luyện tập: Giảm tải bài 4 trang 18 (giảm tải việc chứng minh các
đường vng góc).
 Bài 3: Phần luyện tập giảm tải bài 3 trang 25 (giảm tải việc tính tỉ số thể tích
của khối hộp, đồng thời giảm tải việc tính thể tích tứ diện thơng qua tỉ số khối
hộp).

 Ôn chương I: làm bài phần tự luận (6,8,9,10,11 trang 26).
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sẽ không nghiên cứu rộng về khái niệm
khối đa diện mà tập trung phân tích sâu các TCTH có liên quan trong SGK, SBT.
Dựa trên khối logos (công nghệ, lý thuyết), Chevallard phân biệt 4 loại TCTH:
TCTH điểm (organisation mathématique ponctuelle): TCTH xoay quanh một
kiểu nhiệm vụ.
TCTH địa phương (organisation mathématique locale): TCTH xoay quanh một
công nghệ.


6

TCTH vùng (organisation mathématique régionale): TCTH xoay quanh một lý
thuyết.
TCTH tổng thể (organisation mathématique globale): TCTH xoay quanh nhiều
lý thuyết.
Trong luận văn này, với mục đích hướng đến kỳ thi trung học phổ thông, chúng
tôi tạm đưa ra một cách phân loại khác, dựa trên vai trò của TCTH trong thực hành
dạy học của giáo viên:
TCTH tức thời: TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm, một tính
chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất đó, khơng xuất
hiện vào những thời điểm sau.
TCTH hỗ trợ: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng sẽ đóng vai trị kiểu nhiệm vụ
con trong tổ chức toán học phức hợp.
TCTH phức hợp: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm
vụ của TCTH hỗ trợ, và việc giải quyết nhiều kiểu nhiệm vụ tương ứng cần huy động
rất nhiều công nghệ, lý thuyết.
1.1. Các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong sách giáo khoa và sách
bài tập Hình học 12 cơ bản
Quyển sách HH12CB được trình bày theo ba chương: Khối đa diện; Mặt nón,

mặt trụ, mặt cầu; Phương pháp toạ độ trong khơng gian. Mỗi chương trình bày thành
nhiều bài, có cả phần bài học và bài tập. Cuối mỗi chương có bài tập ơn gồm phần tự
luận và phần trắc nghiệm. Sách HH12CB cũng dành khoảng 5 trang gần cuối quyển
sách để trình bày ngắn gọn đáp án phần tự luận.
Đề tài chúng tôi nghiên cứu được thể hiện ở chương 1: Khối đa diện, trong
chương này được chia thành ba bài.
1.1.1. Tổ chức toán học hỗ trợ
Khi tiến hành nghiên cứu HH12CB chúng tôi nhận thấy có các TCTH sau đây:
1.1.1.1. Tổ chức tốn học O1: Phân chia, lắp ghép khối đa diện
Kiểu nhiệm vụ tương ứng T1: Phân chia khối đa diện thành hữu hạn khối
đa diện thỏa điều kiện cho trước hoặc lắp ghép hữu hạn khối đa diện cho trước
thành khối đa diện thỏa điều kiện cho trước.


7

Dưới đây, chúng tơi trình bày ba ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ, lý
thuyết tương ứng.
Ví dụ 1 (bài 4, tr 12, HH12CB): Chia một khối lập phương thành sáu khối tứ
diện bằng nhau.
Lời giải mong đợi (booktoan.com): Chia khối lập phương thành hai hình lăng
trụ bằng nhau ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’ vì chúng đối xứng qua (BDD’B’). Trong
lăng trụ ABD.A’B’D’ ta xét ba khối tứ diện: D’A’AB, D’A’B’B, D’ADB.

Ta có: D’A’AB, D’A’B’B bằng nhau vì đối xứng qua (A’D’CB).
D’A’AB, D’ADB bằng nhau vì đối xứng qua (ABC’D’).
Tương tự, chia hình lăng trụ BCD.B’C’D’ thành ba khối tứ diện D’B’BC, D’B’C’C,
D’BDC, các khối tứ diện này bằng nhau và bằng ba khối tứ diện đã chia.
Vậy ta có: D’A’AB, D’A’B’B, D’ADB, D’B’BC, D’B’C’C, D’BDC bằng nhau.
Ví dụ 2 (bài 1.3, tr 11, BTHH12CB): Chia hình chóp tứ giác đều thành tám

hình chóp bằng nhau.
Lời giải mong đợi (BTHH12CB): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Hai
đường chéo AC, BD và hai đường thẳng nối trung điểm các cặp đối diện của hình
vng ABCD chia hình vng ABCD thành tám tam giác bằng nhau. Xem mỗi tam
giác đó là đáy của một hình chóp đỉnh S ta sẽ được tám hình chóp bằng nhau.
Ví dụ 3 (tr 11, BTHH12CB): Cho hình chóp tứ giác F.ABCD có đáy là hình
vng. Cạnh bên FC vng góc với đáy và có độ dài bằng AB. Chứng minh rằng có
thể dùng ba hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phương.


8

Lời giải mong đợi (BTHH12CB): Từ hình chóp trên ta dựng hình lập phương
HEFG.ABCD. Ta thấy hai hình chóp F.ABCD và F.ABEH đối xứng với nhau qua mặt

phẳng (ABF), hai hình chóp F.ABCD và F.AHGD đối xứng với nhau qua mặt phẳng
(ADF). Do đó ba hình chóp F.ABCD, F.ABEH và F.AHGD bằng nhau.
Như vậy có thể chia được hình lập phương HEFG.ABCD thành ba hình chóp bằng
hình chóp F.ABCD. Từ đó suy ra có thể ghép ba hình chóp bằng hình chóp F.ABCD
để thành một hình lập phương.
Ba ví dụ trên giúp rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T1.
 Kỹ thuật 1:
+ Đối với phân chia khối đa diện: Chọn hữu hạn mặt phẳng thích hợp để phân
chia khối đa diện thành hữu hạn khối đa diện con. Chứng minh các khối đa
diện con thỏa điều kiện đã cho và có thể ghép thành khối đa diện ban đầu.
+ Đối với lắp ghép khối đa diện: Dựng khối đa diện thỏa điều kiện cho trước
và chứa ít nhất một trong các khối đa diện cho trước. Chứng minh phần còn
lại của khối đa diện đã dựng cũng chứa các khối đa diện đã cho còn lại.
 Công nghệ 1
+ Định nghĩa của HH12CB: Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện

(H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) khơng có chung điểm trong nào thì ta nói có thể
chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp
ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H).
+ Tính chất của các hình trong mặt phẳng và trong khơng gian, các hệ thức
lượng trong khơng gian, các phép biến hình trong khơng gian, các tính chất.


9

 Lý thuyết 1: Hình học Euclid trong mặt phẳng và trong không gian.
Chúng tôi cho rằng kiểu nhiệm vụ T1 được tác giả sách giáo khoa đưa vào nhằm chuẩn
bị cho việc giải quyết kiểu nhiệm vụ tính thể tích khối đa diện (sẽ đề cập ở phần sau).
1.1.1.2. Tổ chức tốn học O2: Tính tỉ số diện tích
Kiểu nhiệm vụ tương ứng T2: Tính tỉ số diện tích tồn phần của hai hình đa
diện
Tính tỷ số diện tích hai đa giác (đặc biệt là hai tam giác) là một KNV đã xuất
hiện ở THCS và kỹ thuật được ưu tiên là tính bình phương tỷ số đồng dạng. Với trường
hợp T2 đang xét, hình đang xét khơng cịn là hình phẳng và khơng nhất thiết đồng
dạng. Kỹ thuật “bình phương tỷ số đồng dạng” khơng cịn phù hợp.
Ví dụ 4 (bài 2, tr18): Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có
các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).
Lời giải mong đợi (booktoan.com)
Ta xét khoảng cách giữa O1, O2, với O1
là tâm của (ABCD), O2 là tâm của (BCC’B’).
1

Dễ thấy O1O2//AB’ và O1O2= AB’. Gọi a là
2

𝑎 √2

cạnh của lập phương thì O1O2=

2

.

Vì (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H) nên (H’) có 8 mặt
là tam giác đều cạnh là
𝑎 √2

S(H’)=8.(

2

2

) .

√3
4

𝑎 √2
2

=

.

𝑎 2 √3

8

S(H)=6a2
Vậy

𝑆(𝐻)
𝑆(𝐻′ )

= 2√3

Ví dụ 4 giúp rút ra kỹ thuật, cơng nghệ và lý thuyết của T2 như sau:
 Kỹ thuật 2:
Bước 1: Tính diện tích tồn phần của từng đa diện bằng các cơng thức đã biết.
Bước 2: Tính tỉ số hai diện tích.


10

 Cơng nghệ 2: tính chất của các hình trong mặt phẳng và trong không gian, hệ
thức lượng trong tam giác, các cơng thức tính diện tích.
 Lý thuyết 1: Hình học Euclid trong mặt phẳng và trong khơng gian.
Như vậy, việc giải quyết T2 đòi hỏi phải huy động trực tiếp các cơng thức tính
diện tích tồn phần của đa diện và các tính chất của chúng.
1.1.1.3. Tổ chức tốn học O3: Chứng minh một hình là hình đa diện đều
Kiểu nhiệm vụ tương ứng T3 : Chứng minh một hình là hình đa diện đều.
Ví dụ 5 (Hoạt động 4/ tr18 HH12CB): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’,
có các cạnh bằng a. Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều.
Lời giải mong đợi (HH12CB): Do
sáu mặt của hình lập phương là các
hình vng bằng nhau nên đường

chéo của chúng cũng bằng nhau. Suy
ra bốn tam giác AB’C, AD’B’,
D’B’C, AD’C là các tam giác đều.
Tứ diện AB’CD’ là một tứ diện đều.
Ta rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý
thuyết của T3:
 Kỹ thuật 3: Chứng minh các mặt là hình đa giác đều
 Cơng nghệ 3: Các cơng thức tính góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau
 Lý thuyết 3: Lý thuyết về hình đa diện đều.
1.1.2. Tổ chức toán học phức hợp
Đây là TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm vụ của
TCTH hỗ trợ.
1.1.2.1. Tổ chức tốn học O4: Tính thể tích khối đa diện
Chúng tôi nhận thấy rằng để giải quyết KNV T4: Tính thể tích khối đa diện, có 3
kỹ thuật được SGK lựa chọn đó là: tính trực tiếp; phải phân chia, lắp ghép; tính nhờ tỷ
số.


11

HH12CB ưu tiên việc trình bày kỹ thuật phải phân chia, lắp ghép và kỹ thuật tính
nhờ tỷ số.
Cụ thể HH12CB đã trình bày lý thuyết như sau:
“Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H)
một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:
a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) =1.
b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1)=V(H2).
c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diên H(1) và (H2) thì
V(H1)= V(H1)+ V(H2).
Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được

gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).
Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị”.
Từ đó, HH12CB cũng đưa ra cơng thức tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối lăng
trụ, và khối chóp như sau:
“Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó”.
“Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh”.
“Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V =

1
3

Bh”.

Từ những lý thuyết được cung cấp, ta có thể rút ra những kỹ thuật giải quyết sau:
 Kỹ thuật 4,1:
Bước 1: Chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ bằng nhau đơn giản hơn (nếu
cần).
Bước 2: Tính thể tích từng khối nhỏ đã chia.
Bước 3: Tính thể tích khối đa diện ban đầu. (bằng cách tính tổng các thể tích
khối nhỏ).
Ví dụ 6 (trang 24/ HH12CB): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E
và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và BB’. Đường thẳng CE cắt đường
thẳng C’A’ tại E’. Đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại F’. Gọi V là thể tích khối
lăng trụ ABC.A’B’C’.
a). Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V.


12

b). Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi

cắt bỏ đi khối chóp C.ABFE. Tính tỉ số thể tích của (H) và của khối chóp C.C’E’F’.
Lời giải: Hình chóp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy và đường cao
bằng nhau nên:
1

1

3

3

VC.A’B’C’= V. Từ đó suy ra VC.ABB’A’=V-

2

V= V.
3

Do EF là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABFE bằng nửa
diện tích ABB’A’. Do đó VC.ABFE =

1
2

1

. VC.ABB’A’ = V.
3

1

2

3

3

b) Áp dụng câu a) ta có: V(H) = VABC.A’B’C’ – VC.ABFE = V - V = V
Vì EA’ song song và bằng

1
2

CC’ nên theo định lý Ta-lét, A’ là trung điểm của

E’C’. Tương tự, B’ là trung điểm của F’C’. Do đó diện tích tam giác C’E’F’ gấp bốn
lần diện tích tam giác A’B’C’. Từ đó suy ra VC.E’F’C’ = 4VC.A’B’C’=
Do đó

𝑉(𝐻)
𝑉𝐶.𝐸′𝐹′𝐶′

=

4
3

V.

1

2

 Kỹ thuật 4,2: Chúng tơi tạm gọi đây là kỹ thuật tính thể tích dựa vào tỉ số các
thể tích.
Bước 1: Tìm và tính tỉ số các thể tích
Bước 2: Tính thể tích
 Cơng nghệ 4-2: các cơng thức tính thể tích, các quan hệ định tính và định
lượng trong hình học phẳng, chú ý cơng thức.


13

 Lý thuyết 5_5: Khái niệm về thể tích khối đa diện, hình học Euclid.
Như vậy KNV T4’: Tính tỉ số hai thể tích là 1 KNV con của T4: Tính thể tích
khối đa diện.
Trong BTHH12CB ưu tiên kỹ thuật tính trực tiếp, chúng tơi trình bày hai ví dụ
tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết tương ứng như sau:
Ví dụ 7 (bài 2/ tr16/BTHH12CB): Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=
a. Trên đường thẳng qua C và vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy D sao cho CD=a.
Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối
tứ diện CDEF theo a.
Lời giải:
BA ⊥ CD
Ta có: {
, suy ra BA⊥(ADC).
BA ⊥ CA
Mặt khác, BD⊥(CEF) suy ra BD ⊥ CE.
Từ đó ta có CE ⊥(ABD), suy ra
CE⊥EF, CE⊥AD.
AD

Vì tam giác ACD vng cân, CA = CD = a, nên CE=
Ta có BC = a√2,
BD= √2a2 + a2 =a√3.
Để ý rằng: CF.BD = DC.BC.
a2 √ 2

2

a√ 3

3

Nên CF=

=a√

2

𝑎2

3

2

Từ đó suy ra: EF=√𝐶𝐹 2 − 𝐶𝐸 2 =√ 𝑎2 −
2

𝑎 √3

3

3

DF=√𝐷𝐶 2 − 𝐶𝐹 2 =√𝑎2 − 𝑎2 =

𝑎 2 √3

Diện tích tam giác CEF là SCEF=
1

𝑎3

3

36

VDCEF= SCEF.DF=

12

=

𝑎 √6
6

2

=

a√ 2
2


14

Ví dụ 8 (Bài 1.30/tr22/BTHH12CB): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy
là tam giác vng cân ở C. Cạnh B’B = a và tạo với đáy một góc bằng 600. Hình chiếu
vng góc hạ từ B’ lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối
lăng trụ đó theo a.
Lời giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác
̂ =600,
ABC, khi đó 𝐵′𝐵𝐺
𝑎 √3

𝑎

2

2

B’G=

, BG= .

Gọi D là trung điểm của AC, khi
đó BD=

3𝑎

4

Ta có: BC2 +CD2 =BD2, do đó
𝐵𝐶 2

BC2+

4

=

5𝐵𝐶 2
4

Suy ra BC2=

=

9𝑎2
20

9𝑎2
16

.

; SABC=

𝐵𝐶 2
2

=

9𝑎2
40

;

𝑎√3 9𝑎2 9√3 3
. = a
2 40 80

VABC.A’B’C’=

Chúng tơi tìm thấy kỹ thuật giải quyết như sau:
 Kỹ thuật 4,3:
Bước 1: Tìm và tính chiều cao khối đa diện
Bước 2: Tính diện tích đáy B của khối đa diện
Bước 3: Tính thể tích khối đa diện
 Cơng nghệ 4,3: V =

1
3

Bh;

;

 Lý thuyết 4,3: Thể tích khối chóp tr 23, HH12CB; Khái niệm về thể tích
khối hộp chữ nhật tr22, HH12CB; Thể tích khối lăng trụ tr 23, HH12CB

1.1.2.2. Tổ chức tốn học O5: Tính giá trị lượng giác của góc tạo bởi hai mặt kề
nhau của một đa diện đều
Ví dụ 9 (Bài 1.6/ tr 14/ BTHH12CB): Tính sin của góc tạo bởi hai mặt kề nhau
(tức là hai mặt có một cạnh chung) của một tứ diện đều.


15

Lời giải: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M và N theo thứ tự là trung
̂ =2𝐶𝑀𝑁
̂
điểm của AB và CD. Khi đó góc giữa hai mặt (CAB) và (DAB) bằng 𝐶𝑀𝐷
Ta có: CM=

𝑎 √3
2

𝑎

̂ =
, CN= , do đó sin𝐶𝑀𝑁
2

𝑎
2
𝑎√3
2

=

1

̂ =
, từ đó suy ra: sin 𝐶𝑀𝐷

√3

2√ 2
3

 Kỹ thuật 5:
B1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
B2: Tính giá trị lượng giác của góc giữa hai mặt phẳng.
 Cơng nghệ 5: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau tr106,
HH11CB
 Lý thuyết 5: Góc giữa hai mặt phẳng, Hệ thức lượng trong tam giác.
1.1.2.3. Tổ chức tốn học O7: Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối
đa diện
 Trong T7: Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối đa diện
Ví dụ 10 (bài 1.9 tr 14/BTHH12CB)
Cho khối bát diện đều ABCDEF. Gọi O
là giao điểm của AC và BD, M và N theo
thứ tự là trung điểm của AB và AE. Tính
diện tích thiết diện tạo bởi khối bát diện
đó với mặt phẳng (OMN).

Lời giải mong đợi
Ta có khối bát diện đều ABCDEF, cạnh
a. Do MN//(DEBF) nên giao của (OMN)
và (DEBF) là đường thẳng qua O và

song song với MN.
Ta nhận thấy đường thẳng này cắt DE và
BF tại các trung điểm P và S tương ứng
của chúng. Do (ADE) // (BCF), nên
(BCF) cắt (OMN) theo giao tuyến qua S


16

và song song với NP. Dễ thấy giao tuyến
này cắt FC tại trung điểm R của nó.
Tương tự, (OMN) cắt DC tại trung điểm Q của nó. Từ đó suy ra thiết diện tạo bởi
𝑎

hình bát diện đã cho với (OMN) là lục giác đều có cạnh bằng .
2

Do đó diện tích của nó bằng

3√ 3 2
a.
8

 Kỹ thuật 7:
Bước 1: Xác định thiết diện
Bước 2: Tính diện tích
 Cơng nghệ 7: Cách xác định thiết diện (tr53, HH11CB), công thức tính
diện tích.
 Lý thuyết 7: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng
(P) là phần chung của (H) và (P), lý thuyết về tính diện tích.

1.1.2.4. Tổ chức tốn học O8: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
KNV T8: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là KNV con của T4
Ví dụ 11 (Bài 1.14/tr20/BTHH12CB): Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=2a, AA’=a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho
AM=3MD
a) Tính thể tích khối chóp M.AB’C.
b) Tính khoảng cách từ M đến (AB’C).
Lời giải mong đợi
a) Thể tích khối chóp M.AB’C bằng thể tích
khối chóp B’.AMC. Ta có:
3

3 1

3𝑎2

4

4 2

4

SAMC= SADC= . . 2. 𝑎2 =
1 3𝑎2

Do đó VM.AB’C= .
3

4

.

𝑎3

. 𝑎= .
4

Gọi h là khoảng cách từ M đến (AB’C).
1

𝑎3

3

4

Khi đó VM.AB’C= .SAB’C.h =

Vì AC2= B’C2 =5a2 nên tam giác ACB’ cân tại C. Do đó đường trung tuyến CI
của tam giác ACB’ cũng là đường cao.


17

𝑎 √2

Ta có: CI2=CA2-AI2=5a2-(
3𝑎

2

2

) = 5a2-

𝑎3

3𝑎2

4

2

Từ đó suy ra h= 3 :

2

1 3𝑎

3𝑎2

√

2

Do đó CI= , suy ra SAB’C= . .a√2=
2
2 2
√

𝑎2

=

9𝑎2
2

𝑎

=

2

 Kỹ thuật 8:
Bước 1: Xác định h là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).
Bước 2: Tìm thể tích của khối đa diện sao cho h là chiều cao của khối đa diện
ấy.
Bước 3: Tính h
 Cơng nghệ 4-3: cơng thức tính thể tích khối đa diện.
 Lý thuyết 8: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khái niệm thể tích
khối đa diện.
1.1.3. Tổ chức tốn học tức thời
Đây là TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm, một tính chất đơn
giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất đó, khơng xuất hiện vào
những thời điểm sau
1.1.3.1. Tổ chức toán học O6: Chỉ ra các mặt đối xứng, tâm đối xứng, trục đối
xứng của một đa diện đều
Ví dụ 12 (Bài 1.8/tr 14/BTHH12CB): Cho một khối bát diện đều. Hãy chỉ ra một
mặt phẳng đối xứng, một tâm đối xứng và một trục đối xứng của nó.
Lời giải mong đợi

Ta

có

khối

bát

diện

đều

ABCDEF (như hình). Gọi O là giao
điểm của EF và (ABCD). Khi đó
(ABCD), điểm O và EF lần lượt là mặt
phẳng đối xứng, tâm đối xứng và trục
đối xứng của khối bát diện đều đã cho.
1.1.3.2. Tổ chức toán học O9: Phân loại khối đa diện đều
KNV T9: Phân loại khối đa diện đều, có các KNV con là: