Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

LÊ VĂN NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ
LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

LÊ VĂN NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH
VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ
LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 9460112.01

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn

2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là những công trình của tơi được hồn thành dưới
sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS. TSKH Phạm Kỳ Anh.
Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả
khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là mới và chưa từng được
cơng bố trên bất kỳ cơng trình nào khác.

Hà Nội, tháng 01 năm 2020
Tác giả

Lê Văn Ngọc

i


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tâm huyết và tận tình của GS. TSKH
Nguyễn Khoa Sơn và GS. TSKH Phạm Kỳ Anh. Đầu tiên, tác giả xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đã đặt bài tốn,dạy dỗ, chỉ bảo tận tình,
chu đáo khơng chỉ trong q trình học tập, nghiên cứu khoa học mà cịn trong
cuộc sống suốt q trình thực hiện luận án.
Để hồn thành các bài báo khoa học, bên cạnh sự giúp đỡ của các GS
hướng dẫn và đồng tác giả PGS. TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án đã nhận
được sự hỗ trợ và động viên của GS Trần Vũ Thiệu, PGS. TSKH Vũ Hoàng

Linh, ThS Nguyễn Huyền Mười.
Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, tập thể các
Thầy Cơ giáo trong bộ mơn Tốn học Tính tốn-Tốn ứng dụng, Xêmina bộ
mơn Tốn học Tính tốn- Tốn ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và có
những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
làm luận án.
Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa, các
Thầy Cơ giáo bộ mơn Tốn và đồng nghiệp trong Khoa Cơ bản 1, Học viện
Cơng nghệ Bưu chính Viễn thông đã luôn động viên, tạo điều kiện và giúp
đỡ trong công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS. TSKH Vũ Ngọc Phát, GS. TS Đặng
Quang Á, GS. TS Cung Thế Anh, PGS. Nguyễn Minh Mẫn, PGS. TS Lê Văn
Hiện, PGS. TS Tạ Duy Phượng, PGS. TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn Trung
Hiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hồi đã đọc luận án đóng góp nhiều ý kiến
để tác giả hoàn thiện luận án tốt hơn.
ii


Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp về tốn (VIASM) đã
tạo điều kiện, giúp đỡ khơng chỉ bố trí nơi làm việc, hồn thiện bài báo cùng
với Thầy hướng dẫn năm 2018 mà còn hỗ trợ kính phí nghiên cứu khoa học
thơng qua thưởng cơng trình cho chính bài báo vào năm 2020. Bên cạnh đó tôi
xin cảm ơn các anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng nghiệp và những
người quan tâm tới luận án đã chia sẻ, động viên tác giả trong suốt quá trình
học tập và làm nghiên cứu sinh.
Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới những người thân của mình:
bố, mẹ, vợ, con và những người thân trong gia đình đã ln sát cánh, chia sẻ
và động viên để tơi cố gắng và hồn thành tốt luận án.

iii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

1

BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

3

MỞ ĐẦU

5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Vectơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Bài toán ổn định vững các hệ chịu nhiễu . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Tính ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tính ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến
tính có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
. 14
. 22
. 26
. 26
. 28
. 33

Chương 2. TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN
TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ
34
2.1 Bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính . . . . . . . . . 34
2.1.1 Tính ổn định vững của hệ tuyến tính: Phương pháp
hàm Lyapunov toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương
pháp hàm Lyapunov toàn phương . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách
tiếp cận bằng nguyên lý so sánh nghiệm . . . . . . . . . . 45
1


2.2

2.3

Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ . . . . . . .
2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ
2.2.2 Cận dưới bán kính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến
tính có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
56
63
73

Chương 3. TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC VỮNG CỦA
HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN
HỒN
74
3.1 Tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc
chuyển tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần
hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần
hoàn chịu nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyển
mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 Tính ổn định hóa được vững của hệ chuyển mạch tuyến tính
với quy tắc chuyển tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
KẾT LUẬN CHUNG

104

DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN
105
TÀI LIỆU THAM KHẢO

106

2


BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
R, R+
N
C
C+
Z
ı
n
T
K
Kn
rK

Hn
Hn+
Rez
N
Kn × m
n×m
R+

I
x
x
y
A

B

σ
Σ
det A
λ( A)
µ( A)
A
A∗
λmax ( A)

Tập số thực, số thực khơng âm tương ứng
Tập số tự nhiên
Tập số phức
Tập số phức có phần thực khơng âm
Tập số ngun
Đơn vị ảo
Cỡ của khơng gian
Chu kỳ tuần hồn
Tập số thực hoặc số phức
Khơng gian vectơ n chiều trên trường K
Bán kính ổn định thực với K = R và
phức với K = C
Tập các ma trận Hermit cấp n

Tập các ma trận Hermit xác định dương
Phần thực của số phức z
Tập các chỉ số xác định N := {1, 2, . . . , N }
Tập các ma trận thực hoặc phức cỡ n × m
Tập các ma trận thực khơng âm cỡ n × m
Ma trận đơn vị có chiều tương thích
Chuẩn của vectơ x ∈ Rn
xi > yi (∀i ∈ n), với x = ( x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn
và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn
Các phần tử của ma trận A lớn hơn hẳn các phần
tử tương ứng của ma trận B
Tín hiệu chuyển mạch của hệ chuyển mạch
Tập các tín hiệu chuyển mạch
Định thức của ma trận A
λ( A) := {λ ∈ C : det(λI − A) = 0}, phổ của ma
trận vng A
µ( A) := max{Reλ : λ ∈ λ( A)}, hồnh độ phổ của
ma trận vng A
Ma trận chuyển vị của ma trận A
Ma trận phức liên hợp chuyển vị của ma trận A
Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A với A là
3


λmin ( A)
s( A)
smax ( A), smin ( A)
ρ( A)

M( A)

A
A
C ([α, β], Kn )

ma trận đối xứng hoặc Hermit
Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận A với A là
ma trận đối xứng hoặc Hermit
Giá trị kỳ dị của ma trận A
Giá trị kỳ dị lớn nhất, nhỏ nhất của ma trận A
ρ( A) := max{|λ| : λ ∈ λ( A)}, bán kính phổ
của ma trận A
Ma trận Metzler hóa của ma trận A
Chuẩn của ma trận A
Tập các ma trận A1 , A2 , . . . , A N của hệ chuyển mạch
Không gian các hàm liên tục trên đoạn [α, β], nhận
giá trị trong Kn với chuẩn x = max x (t)
α≤t≤ β

BV ([α, β], K p×q )
NBV ([−h, 0], K p×q )
QLF
CQLF
FDEs

Tập các hàm có biến phân giới nội trên đoạn [α, β]
trong K p×q
Tập các hàm thuộc BV ([α, β], K p×q ) và thỏa mãn
η (θ ) = η (α) = 0, với θ ≤ α và η (θ ) = η ( β), với θ ≥ β
Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov
functions)

Hàm Lyapunov tồn phương chung (common
quadratic Lyapunov functions)
Phương trình vi phân hàm (functional
differential equations)

4


MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính các hệ
động lực được bắt đầu nghiên cứu một cách hệ thống từ những năm cuối thế
kỷ XIX bởi nhà toán học Nga A.M. Lyapunov cho đến nay vẫn đang phát triển
sơi động trong Tốn học và trở thành bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết
hệ thống và ứng dụng.
Đến những năm 60 của thế kỷ XX cùng với sự phát triển của lý thuyết điều
khiển người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển
hay còn gọi các bài tốn ổn định hóa các hệ điều khiển.
Các bài toán ổn định và điều khiển cho hệ chuyển mạch được các nhà
nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại đây
tiêu biểu như, Molchanov và Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten và Narendra,
2002 ( [69]); Liberzon, 2003 ( [41]); Gokcek,
2004 ( [24]); Lin v Antsaklis, 2005
ă
( [43])...(xem cỏc bi tng quan v n định và điều khiển của hệ chuyển mạch
( [44], [68])). Trong nước, một số tác giả cũng đã quan tâm nghiên cứu về ổn
định và điều khiển hệ chuyển mạch như V.N. Phat và cộng sự, 2006 ( [63]);
P.K. Anh và P.T. Linh, 2017 ( [5]).
Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực, chẳng hạn hệ

thống cơ khí, ngành cơng nghiệp ơ tơ, điều khiển máy bay, chuyển đổi năng
lượng (xem trong các cuốn sách Liberzon 2003 [41], Sun và Ge 2011 [71]).
Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm một số hữu hạn các hệ con
thời gian liên tục hoặc rời rạc và quy tắc chuyển giữa các hệ con đó. Dưới biểu
diễn tốn học, một hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục được mơ tả bằng
phương trình vi phân dạng
x˙ = f σ ( x ), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ,

(1)

trong đó K = R hoặc K = C, N := {1, 2, . . . , N } tập chỉ số, Σ là tập hợp các
hàm hằng từng khúc (có thể phụ thuộc vào biến thời gian và/hoặc biến trạng
5


thái), σ : [0, +∞) × Kn → N gọi là tín hiệu chuyển mạch hoặc luật chuyển
mạch. Trong trường hợp σ là hàm phụ thuộc thời gian thì σ thường được giả
thiết liên tục phải. Ứng với hệ chuyển mạch (1) ta có N hệ con dạng
x˙ = f k ( x ), k ∈ N,

(2)

trong đó F := { f k ( x ) : k ∈ N } là một họ hữu hạn các trường vectơ liên tục
Lipschitz.
Một trong các bài toán quan trọng nhất khi nghiên cứu hệ chuyển mạch
là tìm các điều kiện để một hệ chuyển mạch ổn định với bất kỳ luật chuyển
mạch nào hoặc có thể ổn định hóa được bởi một luật chuyển mạch thỏa mãn
các ràng buộc cho trước. Các kết quả về bài tốn này đã được trình bày trong
các bài báo tổng quan (xem Shorten [68] và cộng sự, Lin và Antsaklis [44]).
Các phương pháp được sử dụng chủ yếu là phương pháp hàm Lyapunov, bất

đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) và đại số Lie. Dưới đây chúng tôi xin dẫn
ra một vài kết quả tiêu biểu cho trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính.
Xét hệ chuyển mạch tuyến tính với luật chuyển mạch phụ thuộc thời gian
trong Kn dạng
x˙ (t) = Aσ(t) x (t), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ,

(3)

trong đó Aσ(t) ∈ A := { Ak ∈ Kn×n , k ∈ N }, t ≥ 0, là tập hữu hạn cho trước
các ma trận vuông cấp n trên trường K. Khi đó, nghiệm x = 0 của hệ chuyển
mạch (3) ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch nếu tất cả các hệ con
x˙ (t) = Ak x (t), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , k ∈ N ,

(4)

có hàm Lyapunov tồn phương chung (gọi tắt là CQLF) dạng V ( x ) = x ∗ Px, P
là ma trận Hermit xác định dương (xem [41]). Nói cách khác, tồn tại ma trận
Hermit xác định dương P thỏa mãn hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính:
A∗k P + PAk < 0, k = 1, 2, . . . , N,
trong các trường hợp khi tất cả các ma trận Ak của hệ con đều ổn định Hurwitz (tức là tất cả các giá trị riêng của chúng nằm ở nửa bên trái của mặt
phẳng phức) và giao hốn từng đơi một (được đưa ra bởi Narendra và Balakrishnan [57]) hoặc chuẩn tắc (xem Zhai và cộng sự [76]) hoặc cùng đưa được
về dạng ma trận tam giác trên (tức là tồn tại một ma trận không suy biến T
6


cấp n sao cho tất cả các ma trận T −1 Ak T, k ∈ N đều là ma trận tam giác trên,
xem Mori và cộng sự [55]) và các điều kiện đại số dựa trên đại số Lie tạo bởi
ma trận hệ con Ak , k ∈ N (xem Agrachev và Liberzon [4]).Tuy nhiên đây chỉ
là các điều kiện đủ và một điều kiện cần và đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính
ổn định mũ với mọi tín hiệu chuyển mạch đã được Monchanov và Pyatnitskiy

(xem [56]) đưa ra đó là sự tồn tại hàm Lyapunov V ( x ) chung, trong đó V là
hàm lồi chặt và thuần nhất bậc 2 đối với biến x.
Bên cạnh hướng nghiên cứu trên về hệ chuyển mạch, khía cạnh ổn định
vững các hệ không chuyển mạch và không chắc chắn hoặc chứa tham số nhiễu
đã nhận được rất nhiều sự quan tâm trong lý thuyết điều khiển hệ thống
những thập kỷ qua.
Với hệ ổn định tiệm cận x˙ (t) = A0 x (t), t ≥ 0, người ta đo độ vững cho tính
ổn định tiệm cận đó bằng khái niệm bán kính ổn định, được định nghĩa là số
δ0 ≥ 0 lớn nhất sao cho hệ nhiễu x˙ (t) = ( A0 + ∆) x (t), t ≥ 0, vẫn ổn định tiệm
cận với bất cứ nhiễu ∆ ∈ Kn thỏa mãn ∆ < δ0 . Trong trường hợp K = C,
các cơng thức và thuật tốn tính bán kính ổn định phức được Hinrichsen và
Pritchard đưa ra năm 1986 (xem [33]). Bài tốn tương tự cho bán kính ổn định
thực (tức là khi K = R) phức tạp hơn và được nghiên cứu những năm 1995
bởi Qiu và cộng sự [64].
Về mặt hình học, bán kính ổn định là khoảng cách từ hệ gốc ổn định đến
tập tất cả các hệ không ổn định. Xuất phát từ quan điểm lý thuyết cũng như
thực tiễn, vấn đề mơ tả và tính tốn bán kính ổn định có tầm quan trọng
rất lớn. Do đó, đã thu hút nhiều các nhà tốn học quan tâm và nghiên cứu,
đáng chú ý đối với các nhiễu tổng qt hơn, ví dụ nhiễu có cấu trúc A0
A0 + D∆E và đa nhiễu A0

N

A0 + ∑ Di ∆i Ei cho nhiều hệ động lực tuyến
i =1

tính, bao gồm hệ khơng dừng và hệ có trễ, hệ ẩn, hệ dương cũng như hệ
tuyến tính trong khơng gian vơ hạn chiều, trong cả thời gian liên tục và rời
rạc. Bài toán ổn định vững của các hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu được
viết có hệ thống trong cuốn chuyên khảo của Hinrichsen và Pritchard năm

2005 (xem [35]), ngoài những kết quả thú vị về tốn học cịn có một danh mục
tài liệu tham khảo phong phú. Ngoài ra, một số kết quả ổn định vững của hệ
không dừng đã được nghiên cứu (xem [16], [30], [37], [45]).
Một câu hỏi đặt ra liệu có thể xác định thước đo độ vững (bán kính ổn
định) cho hệ chuyển mạch tuyến tính hay khơng? Hơn nữa, làm thế nào để
7


mơ tả và tính tốn được bán kính ổn định đó? Theo chúng tơi, câu hỏi như
vậy cho đến nay chưa được giải quyết, mặc dù các khía cạnh phân tích ổn
định vững của lớp hệ chuyển mạch đã được nghiên cứu bởi một số nhóm tác
giả như Liberzon; Y. Sun; Letel; Bagherzadeh; Zhang và các cộng sự (xem [6],
[28], [41], [71], [75], [77]). Luận án này sẽ trả lời một phần cho các câu hỏi trên.
Phần đầu Chương 2, chúng tơi đưa ra định nghĩa bán kính ổn định cho hệ
chuyển mạch tuyến tính (3) với quy tắc chuyển bất kỳ giả thiết ma trận của
các hệ con (4) chịu nhiễu Ak
Ak + Dk ∆k Ek , k ∈ N và sẽ thiết lập một số cận
trên và cận dưới cho bán kính ổn định. Trong một số trường hợp đặc biệt, các
cận này đưa ra công thức bán kính ổn định cho một số lớp hệ chuyển mạch
tuyến tính chịu nhiễu khơng có cấu trúc. Chúng tơi muốn nhấn mạnh rằng
hầu hết các cơng trình đã biết về ổn định vững của hệ chuyển mạch luôn giả
thiết ma trận nhiễu ∆k bị ràng buộc. Các kết quả của luận án khơng u cầu
giả thiết nói trên, do đó đòi hỏi cách tiếp cận khác biệt.
Tiếp theo, Chương 2 của Luận án nghiên cứu bài toán ổn định vững đối
với các hệ chuyển mạch tuyến tính được mơ tả bởi phương trình vi phân có
trễ. Trong đó, tốc độ thay đổi của trạng thái không chỉ phụ thuộc vào trạng
thái hiện tại của hệ thống mà còn phụ thuộc vào trạng thái trong quá khứ.
Cho đến nay, hầu hết các cơng trình trong lĩnh vực này đã tập trung vào phân
tích độ ổn định cho các hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ dạng
x˙ (t) = A0σ(t) x (t) + A1σ(t) x (t − h(t)), t ≥ 0, σ ∈ Σ,

(5)

trong đó h(t) là hàm trễ phụ thuộc thời gian với h > 0 cho trước thỏa mãn
0 ≤ h(t) ≤ h, t ≥ 0 (xem [48], [49]). Thông thường, việc nghiên cứu tính
ổn định của các hệ có trễ bằng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương
chung (CQLF) cổ điển đã được thay bằng các phương pháp hàm LyapunovKrasovski (xem, [38, 54, 73]). Để xây dựng hàm Lyapunov-Krasovski chung
cho hệ có trễ dạng tổng quát là rất khó. Tuy nhiên, trong trường hợp hệ
chuyển mạch tuyến tính dương có trễ, người ta có thể xây dựng được hàm
Lyapunov đồng dương tuyến tính chung (common linear co-positive Lyapunov function) (tức là V ( x ) = ξ x, ξ ∈ Rn , ξ
0) (xem [46, 50, 72]). Ngồi
ra, các tính chất phổ của ma trận không âm và kết quả lý thuyết về hệ dương
(xem [9, 18, 25]) cũng được sử dụng hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định của
các hệ chuyển mạch tuyến tính dương (xem [7, 19, 20, 53]).
Phần cuối Chương 2, dựa trên cùng cách tiếp cận trên, chúng tôi đưa ra
8


một số tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng qt
được mơ tả bởi phương trình vi phân hàm (FDEs) tuyến tính
x˙ (t) = A0σ(t) x (t) + Lσ(t) xt , t ≥ 0, σ ∈ Σ,

(6)

trong đó, với mỗi t ≥ 0, xt (θ ) := x (t + θ ), θ ∈ [−h, 0] và Lσ(t) là tốn tử tuyến
tính bị chặn từ C ([−h, 0], Rn ) vào Rn . Các tiêu chuẩn thu được sẽ bao gồm
nhiều kết quả đã biết (liên quan đến sự ổn định tiệm cận của các hệ chuyển
mạch trễ rời rạc và trễ phân phối) như là các trường hợp đặc biệt. Áp dụng kết
quả này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định vững của hệ chuyển mạch tuyến
tính có trễ tổng qt dạng (6) với luật chuyển bất kỳ khi dữ liệu của hệ A0σ , Lσ

chịu nhiễu cấu trúc và đưa ra một số ước lượng cho các bán kính ổn định.
Song song với hướng nghiên cứu bài toán ổn định vững hệ chuyển mạch
với quy tắc chuyển bất kỳ, bài toán ổn định vững đối với các lớp tín hiệu
chuyển mạch thỏa mãn các điều kiện hoặc ràng buộc, đặc biệt là các hệ chuyển
mạch tuần hoàn cũng được nghiên cứu nhiều. Trong thực tế, hệ chuyển mạch
tuần hồn đóng vai trị quan trọng, chẳng hạn như trong mạch điện, bộ điều
khiển, bộ lọc chuyển đổi và hộp số xe đã được đưa ra bởi Bolzern & Colaneri;
Tokarzewski (xem [10,74]). Mơ hình toán học của hệ chuyển mạch với quy tắc
chuyển tuần hồn được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình vi phân

 x˙ (t) = A
= 0, 1, . . .
σ (ti−1 ) x ( t ); ti −1 + T ≤ t < ti + T; t ≥ t0 ;
(7)
 x (t0 ) = x0 ; i ∈ m.
Hệ (7) có thể được biểu diễn dưới dạng hệ chuyển mạch (3) với tín hiệu
chuyển mạch σ là hàm liên tục phải, tuần hoàn chu kỳ T, hằng từng khúc
từ tập [t0 , +∞) vào tập chỉ số N và xác định bởi
σ(t) = σ (ti−1 ) với t ∈ [ti−1 + T, ti + T ); i ∈ m;

= 0, 1, . . . ,

trong đó Aσ(ti−1 ) ∈ A := { Ak ∈ Rn×n , k ∈ N }, t0 < t1 < . . . < tm :=
t0 + T. Chúng tôi xin dẫn ra một số công trình nghiên cứu về hướng này
(xem [5, 13–15, 24, 68]), trong đó phân tích tính ổn định và ổn định hóa được
của các hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục hoặc thời gian rời rạc
tuần hoàn.
Đến năm 2009, Liberzon và Trenn (xem [42]) nghiên cứu và đưa ra kết quả
về hệ chuyển mạch suy biến dạng
Eσ(t) x˙ (t) = Aσ(t) x (t), t ≥ 0, σ ∈ Σ,

9

(8)


trong đó, Eσ(t) là tập hữu hạn các ma trận suy biến.
Trong Chương 3, luận án đã đưa ra khái niệm bán kính ổn định hệ chuyển
mạch tuyến tính (7) với quy tắc chuyển tuần hoàn và thiết lập một số ước
lượng bán kính ổn định dưới tác động của nhiễu lên cả hệ thống và các thời
điểm chuyển mạch.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa
đượi,j∈ N
k∈ N

µ0 In − A0

−1

D+
j

N

∑

k =1

∆+

k

≥ 1.

(3.34)

Mặt khác, ta có

(0In − A0 )−1 − (µ0 In − A0 )−1 = (µ0 − 0)(0In − A0 )−1 (µ0 In − A0 )−1 .
Vì ma trận A0 là Metzler và µ0 ( A0 ) < 0, sử dụng Định lý 1.2 mục (iii) ta có
(0.In − A0 )−1 ≥ 0 và (µ0 In − A0 )−1 ≥ 0 suy ra
+
−1 +
Ei+ (− A0 )−1 D +
j ≥ Ei ( µ0 In − A0 ) D j ≥ 0, với mọi i, j ∈ N.

Sử dụng tính đơn điệu chuẩn tốn tử, ta có
Ei+ A0−1 D +
≥ Ei+ (µ0 In − A0 )−1 D +
j
j .
Từ điều kiện (3.34) và (3.35) suy ra
N

∑

k =1

1

∆+
≥
k

max ζ k max Ei+ A0−1 D +
j
k∈ N

.

i,j∈ N

Tuy nhiên điều này mâu thuẫn với (3.32) nên
N

µ

A0 +

∑ ζ k Dk+ ∆+k Ek+

< 0.

k =1

Bây giờ, giả sử tồn tại γ > 0 sao cho
N

0≤

∑ ζ k Ak + γI

k =1

N

=M

∑ ζ k Ak

k =1

96

+ γI ≤ A0 + γI.

(3.35)


Suy ra
N

∑ ζ k ( Ak + Dk ∆k Ek ) + γI

N

≤ A0 +

∑ ζ k Dk+ ∆+k Ek+ + γI.

k =1

k =1

Theo Định lý 1.2 mục (iv), ta có
N

µ

∑ ζ k ( Ak + Dk ∆k Ek )

N

+ γI = µ

k =1

N

≤µ

A0 +

∑

k =1

Vì vậy µ

N

+
ζ k Dk+ ∆+
k Ek + γI

∑ ζ k ( Ak + Dk ∆k Ek )

k =1

∑ ζ k ( Ak + Dk ∆k Ek ) + γI

k =1

N

=µ

A0 +

∑ ζ k Dk+ ∆+k Ek+

+ γI.

k =1
N

+
≤ µ A0 + ∑ ζ k Dk+ ∆+
k Ek

< 0 nên theo

k =1

Bổ đề 3.1 thì hệ nhiễu (3.7) ổn định hóa được nhanh.
Định lý được chứng minh.
Trường hợp đặc biệt, chúng ta xét bài toán ổn định hóa được vững của hệ
chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn (3.3) chịu nhiễu hệ
thống không cấu trúc (tức là Dk = Ek = I, ∀k ∈ N). Khi đó ta thu được hệ
quả sau.
Hệ quả 3.3. Giả sử các điều kiện ( H2)-( H3) thỏa mãn và Dk = Ek = I, ∀k ∈ N.
Khi đó, nếu
N
1
(3.36)
∑ ∆+k < max ζ A−1
k
k =1
0
k∈ N

thì hệ nhiễu (3.7) vẫn cịn ổn định hóa được nhanh.
Bên cạnh ổn định hóa được nhanh, khái niệm về ổn định hóa được chậm đối
với hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn (3.3) cũng được
xem xét dưới đây.
Định nghĩa 3.5 (xem [24]). Hệ chuyển mạch (3.3) được gọi là ổn định hóa
được chậm nếu tồn tại δ > 0 đủ lớn, ∀ T : T ≥ δ và tồn tại tín hiệu chuyển
mạch σ tuần hồn với chu kỳ T sao cho hệ (3.3) là ổn định mũ.
Để xét tính ổn định hóa được chậm, ta đưa ra giả thiết:
(H4) Tồn tại ít nhất một trong các ma trận A1 , A2 , . . . , A N ổn định Hurwitz.

97


Bổ đề 3.2 (xem chứng minh tương tự trong [12], [24]). Nếu có giả thiết ( H4) thì
hệ chuyển mạch (3.3) là ổn định hóa được chậm.
Để đo độ ổn định hóa được vững chậm của hệ chuyển mạch tuyến tính
với quy tắc chuyển tuần hồn với k ∈ N ta xét hàm sau


0
nếu µ( Ak ) ≥ 0;


1
γk ( Ak , Dk , Ek ) =
(3.37)
nếu µ( Ak ) < 0.

−
1

 sup Ek (sI − Ak ) Dk
Res≥0

Định lý 3.8. Giả sử hệ chuyển mạch (3.3) chịu nhiễu cấu trúc hệ thống (3.7) thỏa
mãn giả thiết ( H4). Khi đó, nếu
N

∑

∆k < max γk ( Ak , Dk , Ek )

(3.38)

k∈ N

k =1

thì hệ nhiễu (3.7) vẫn cịn ổn định hóa được chậm.
N

Chứng minh. Giả sử rằng ∑

k =1

∆k < γk0 ( Ak0 , Dk0 , Ek0 ) = max γk ( Ak , Dk , Ek ).
k∈ N

Ta cần chứng minh µ( Ak0 + Dk0 ∆k0 Ek0 ) < 0. Bằng phương pháp phản chứng.Giả
sử ngược lại µ( Ak0 + Dk0 ∆k0 Ek0 ) ≥ 0, khi đó tồn tại số s ∈ C : Res ≥ 0, vectơ
x0 ∈ Cn , x0 = 0 sao cho
Ak0 + Dk0 ∆k0 Ek0 x0 = sIx0 .
Vì 0 < γk0 ( Ak0 , Dk0 , Ek0 ), µ( Ak ) < 0 nên ma trận (sI − Ak0 ) là khả nghịch và
do đó
−1
sI − Ak0
Dk0 ∆k0 Ek0 x0 = x0 .
(3.39)
Từ phương trình (3.39) suy ra Ek0 x0 = 0. Nhân vào bên trái cả hai vế của
phương trình (3.39) với Ek , ta nhận được

Ek0 sI − Ak0

−1

Dk0 ∆k0 Ek0 x0 = Ek0 x0 .

Lấy chuẩn hai vế, ta thu được
Ek0 sI − Ak0

−1

Dk 0

∆k0

Ek0 x0 ≥ Ek0 x0

và
N

∑

k =1

∆k ≥ ∆k0 ≥

1
Ek0 sI − Ak0

−1

1

≥
Dk 0

sup
Res≥0

Ek0 sI − Ak0

= γk0 ( Ak0 , Dk0 , Ek0 ) = max γk ( Ak , Dk , Ek ).
k∈ N

98

−1

Dk 0


Điều này mâu thuẫn với (3.38). Vì µ( Ak0 + Dk0 ∆k0 Ek0 ) < 0 nên theo Bổ đề 3.2
thì hệ (3.7) ổn định hóa được chậm.
Suy ra điều phải chứng minh.
Cuối cùng ta xét hai giả thiết sau đây:
(H5) Tồn tại ma trận B0 ổn định Hurwitz sao cho M( Ak ) ≤ B0 , k ∈ S ⊂ N .
n × lk

(H6) Tồn tại các ma trận Dk+ ∈ R+

p ×n

, Ek+ ∈ R+k

l × pk

k
, ∆+
k ∈ R+

sao cho

| Dk | ≤ Dk+ , | Ek | ≤ Ek+ , |∆k | ≤ ∆+
k , k ∈ S.
Chứng minh tương tự như Định lý 3.7 chúng ta nhận được kết quả sau đây
về tính ổn định hóa được vững chậm của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy
tắc chuyển tuần hoàn.
Định lý 3.9. Giả sử hệ chuyển mạch (3.3) chịu nhiễu cấu trúc hệ thống (3.7) thỏa
mãn các giả thiết ( H5)-( H6). Khi đó, nếu
N

∑

k =1

∆+
< max
k
k ∈S

1
Ek+ B0−1 Dk+

(3.40)

thì hệ nhiễu (3.7) vẫn cịn ổn định hóa được chậm.
Hệ quả 3.4. Giả sử các điều kiện ( H5)-( H6) thỏa mãn và Dk = Ek = I,
∀k ∈ S ⊂ N. Khi đó, nếu
N

∑

k =1

∆+
<
k

1
B0−1

(3.41)

thì hệ chuyển mạch tuyến tính nhiễu (3.7) vẫn cịn ổn định hóa được chậm.
Ví dụ sau đây minh họa Định lý 3.8.
Ví dụ 3.5. Xét hệ chuyển mạch(3.3) với N = m = 2, tín hiệu chuyển mạch
1 nếu T ≤ t < 1 + T; = 0, 1, . . .
tuần hoàn xác định bởi σ(t) =
và
2 nếu 1 + T ≤ t < 2 + T,






−2
0 0.12 1
−4
0
0.01 0.02
 0
 1 −2.02 0 0.15
−2
1
1 




A1 = 
 , A2 = 
,
0.01 1.01 −2 1 
 1
1.02 −1 0.01
1
0
1 −3
0.03 0.11 0.11 −3
99

 
 
0
1
1
0
 
 
D1 =   , E1 = 1 0 1 0 , D2 =   , E2 = 1 0 1 0 .
0
0
1
1
Dễ dàng kiểm tra được các ma trận A1 , A2 là Metzler và ổn định Hurwitz, các
ma trận D1 , E1 , D2 , E2 là khơng âm nên tính được
γ1 ( A1 , D1 , E1 ) =
γ2 ( A2 , D2 , E2 ) =

1
E1 A1−1 D1
1
E2 A2−1 D2

= 0.4637,
= 1.8460,

max γk ( Ak , Dk , Ek ) = max γ1 ( A1 , D1 , E1 ), γ2 ( A2 , D2 , E2 ) = 1.8460.

k =1,2

Hệ chuyển mạch (3.3) có các ma trận nhiễu cấu trúc tương ứng dạng




−2 + δ1 0 0.12 + δ1 1
−4
0
0.01
0.02
 0
 1+δ
−2
1
1 
−2.02
δ2
0.15




2
A1 = 
,
A
=
 2 

.
 0.01

1.01
−2
1 
1
1.02
−1
0.01
1 + δ1
0
1 + δ1 −3
0.03 + δ2 0.11 0.11 + δ2 −3
Hệ nhiễu có thể viết lại dưới dạng A1 = A1 + D1 ∆1 E1 , A2 = A2 + D2 ∆2 E2 với
các tham số nhiễu ∆1 = δ1 , ∆2 = δ2 thỏa mãn |δ1 | + |δ2 | < 1.8460 theo Định
lý 3.8 thì hệ nhiễu (3.7) vẫn cịn ổn định hóa được chậm.
Ví dụ sau minh họa Định lý 3.7 và mô phỏng đồ thị mô đun các giá trị riêng
của ma trận R, nghiệm của hệ trong trường hợp ổn định hóa được nhanh.
Ví dụ 3.6. Xét hệ chuyển mạch(3.3) với N = m = 2, tín hiệu chuyển mạch
1 nếu T ≤ t < ( 1 + ) T; = 0, 1, . . .
2
tuần hoàn xác định bởi σ(t) =
2 nếu ( 1 + ) T ≤ t < (1 + ) T,
2
T
các khoảng kích hoạt ∆t1 = ∆t2 = và
2
A1 =

−3 2
, D1 =
1 0

−1
, E1 =
0

−1 0
;
1 0

A2 =

2 −2
, D2 =
1 −1

0
, E2 =
−1

0 1
,
0 −1

100


trong đó ∆1 = δ1 δ2 , ∆2 = δ3 δ4 với δ1 , δ2 , δ3 , δ4 ∈ R là các nhiễu chưa

√
17
3
biết. Giá trị riêng của ma trận A1 là − ±
và ma trận A2 là {0, 1}. Chú
2
2
ý rằng cả ma trận A1 và A2 là không ổn định nhưng ma trận A1 + A2 lại ổn
định. Theo Bổ đề 3.1 suy ra chỉ cần tồn tại T đủ nhỏ thì hệ (3.3) ổn định hóa
được nhanh (cụ thể: hệ ổn định mũ với T = 2 và không ổn định mũ với T = 3.
Theo Bổ đề 3.1 độ lớn giá trị riêng của ma trận R là hàm theo T được vẽ bởi
đồ thị các đường cong nét mảnh trên Hình 3.2).

9
8
7

abs(eig(R)

6
5
4
3
2
1
0

0

0.5

1

1.5

2
T

2.5

3

3.5

4

Hình 3.2: Độ lớn giá trị riêng của R.
Chúng ta có thể kiểm tra các giả thiết của Định lý 3.7 sau đây:
(H2) Tồn tại ma trận ổn định Hurwitz A0 =

−0.5 0
1
−0.5

và

1
ζ 1 = ζ 2 = , ζ 1 + ζ 2 = 1 sao cho M( A1 ζ 1 + A2 ζ 2 ) ≤ A0 ;
2
1×2 +

2×2
(H3) Tồn tại các ma trận Dk+ ∈ R2+×1 , ∆+
k ∈ R+ , Ek ∈ R+ , k = 1, 2 sao cho

| D1 | ≤ D1+ =

1
, |∆1 | ≤ ∆1+ = |δ1 | |δ2 | , | E1 | ≤ E1+ =
0

101

1 0
,
1 0


| D2 | ≤ D2+ =

0
, |∆2 | ≤ ∆2+ = |δ3 | |δ4 | , | E2 | ≤ E2+ =
1

0 1
.
0 1

Ta tính được

−2

, E1+ A0−1 D2+ =
−2

E1+ A0−1 D1+ = E2+ A0−1 D2+ = E2+ A0−1 D1+ =

0
.
0

Trong R2 với chuẩn · 1 theo Định lý 3.7 thì hệ nhiễu (3.7) ổn định hóa
được nhanh nếu max{|δ1 |, |δ2 |} + max{|δ3 |, |δ4 |} < 0.5. Vì vậy nếu chúng
ta chọn các tham số δ1 = 0.15, δ2 = 0.1, δ3 = 0.17, δ4 = −0.25 thỏa mãn
max{|δ1 |, |δ2 |} + max{|δ3 |, |δ4 |} < 0.5 thì hệ nhiễu (3.7) ổn định hóa được
nhanh. Hơn nữa, trong trường hợp này quỹ đạo nghiệm của hệ chuyển mạch
ổn định mũ với T = 2 và không ổn định mũ với T = 3 được hiển thị trên
Hình 3.3 và Hình 3.4
Switching
100
$x1(t)$
$x2(t)$
50

0

−50

−100

−150

0

2

4

6

8

10

Time(sec)

Hình 3.3: Đồ thị nghiệm hệ chuyển mạch ổn định mũ chịu nhiễu cấu trúc với T = 2

102


Switching
14000
$x1(t)$
$x2(t)$

12000
10000
8000
6000
4000
2000

0
−2000

0

2

4

6

8

10

Time(sec)

Hình 3.4: Đồ thị nghiệm hệ chuyển mạch khơng ổn định chịu nhiễu với T = 3

3.3

Kết luận chương 3

Trong chương này, chúng tôi đã đưa ra khái niệm bán kính ổn định
của hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu
trúc hệ thống hoặc chịu nhiễu cả hệ thống và các thời điểm chuyển mạch, thu
được các ước lượng cận của bán kính ổn định. Trường hợp đặc biệt hệ nhiễu
không cấu trúc luận án nhận được cơng thức bán kính ổn định phức với các
ma trận Metzler, ổn định Hurvitz và có vectơ chung ứng với giá trị riêng lớn
nhất của các ma trận hệ con.

Cuối cùng luận án đưa ra khái niệm ổn định hóa được nhanh, ổn định hóa
được chậm. Chúng tôi đánh giá được chặn trên của nhiễu để hệ chuyển mạch
tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn vẫn cịn ổn định hóa được nhanh và
ổn định hóa được chậm.

103


KẾT LUẬN CHUNG

Kết quả đạt được của luận án
Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn
định hóa được vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính. Luận án đã
thu được các kết quả sau:
• Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc của hệ chuyển mạch tuyến
tính với quy tắc chuyển bất kỳ. Đưa ra các đánh giá bán kính ổn định
của hệ dựa trên hàm Lyapunov chung.
• Chứng minh một số điều kiện đủ ổn định mũ đối với hệ chuyển mạch
tuyến tính có trễ tổng qt được mơ tả bởi phương trình vi phân phiếm
hàm và sử dụng điều kiện đó đánh giá độ ổn định vững của hệ khi các
ma trận của hệ chịu nhiễu cấu trúc affine.
• Đưa ra khái niệm bán kính ổn định cấu trúc cho hệ chuyển mạch tuyến
tính với quy tắc chuyển tuần hoàn và đưa ra các đánh giá của bán kính
ổn định.

Hướng nghiên cứu tiếp theo
• Mở rộng kết quả của luận án cho các hệ thống chuyển mạch mơ tả bởi
phương trình sai phân, phương trình trên thang thời gian, phương trình
vi phân đại số và các hệ vơ hạn chiều.
• Xây dựng các đánh giá tính ổn định vững với các giả thiết nhẹ hơn và

các lớp nhiễu tổng qt hơn.
• Xây dựng các thuật tốn đánh giá và tính các bán kính ổn định.

104


DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[CT1] Thuan D.D., Ngoc L.V (2019), "Robust stability and robust stabilizability for periodically switched linear systems", Applied Mathematics and
Computation 361(15), pp. 112-130 (SCIE-Q1).
[CT2] Son N.K., Ngoc L.V (2020), "On robust stability of switched linear
systems", IET Control Theory & Applications 14, pp. 19-29 (SCI-Q1).
[CT3] Son N.K., Ngoc L.V (2020), "Robustness of stability of general timedelay switched linear systems" (gửi đăng tạp chí ISI).

105


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[*]

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân và lý
thuyết ổn định, Nhà xuất bản giáo dục Hà nội.
[2] Phạm Hữu Anh Ngọc (2018), Ổn định mũ của các phương trình vi phân
phiếm hàm, NXB Đại học Quốc gia TPHCM.
[3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến,
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[*]

Tiếng Anh

[4] A.A. Agrachev, D. Liberzon (2001), "Lie-algebraic stability criteria for
switched systems", SIAM Journal on Control and Optimization 40, pp. 253269.
[5] P.K. Anh, P.T. Linh (2017), "Stability of periodically switched discretetime linear singular systems", Journal of Difference Equations and Applications 23, pp. 1680-1693.
[6] M.A.Bagherzadeh, J.Ghaisari, J.Askari (2016), "Robust exponential stability and stabilisation of parametric uncertain switched linear systems under arbitrary switching", IET Control Theory and Applications 10, pp. 381390
[7] F. Blanchini, P. Colaneri, M. E. Valcher (2015), Switched positive linear systems, Foundations and Trends in Systems and Control 2, pp. 101-273.
[8] R. Bhatia (1997), Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York.
[9] A. Berman, R.J. Plemmons (1979), Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press, New York.
106