Giải thuật di truyền và ứng dụng đối với bài toán vận tải

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

---------------------------------------

VŨ THỊ KHÁNH TRÌNH

GIẢI THUẬT DI TRUYỀN VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI
BÀI TOÁN VẬN TẢI

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Thái Nguyên - 2014


i

L˝I CAM

OAN

Sau qu¡ tr…nh håc t“p t⁄i Tr÷íng ⁄i håc Cổng nghằ thổng tin v
Truyãn thổng, vợi nhng kin thức lỵ thuyt v thỹc h nh  tch lụy
ữổc, vợi vi»c v“n döng c¡c ki‚n thøc v o thüc t‚, em  tỹ nghiản cứu
cĂc t i liằu, cĂc cổng trnh nghiản cứu, ỗng thới cõ sỹ phƠn tch,
tng hổp, óc k‚t v ph¡t tri”n ” ho n th nh lun vôn thc sắ ca mnh.
Em xin cam oan lun vôn n y l cổng trnh do bÊn thƠn em tỹ tm
hiu, nghiản cứu v ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca thy giĂo, TS. Vụ
Vinh Quang.
ThĂi Nguyản, thĂng 7 nôm 2014
Hồc viản

Vụ Th KhĂnh Trnh


ii

LIC MèN

Trong thới gian hai nôm ca chữỡng trnh o to thc sắ, trong õ
gn mt nòa thới gian d nh cho c¡c mỉn håc, thíi gian cỈn l⁄i d nh
cho viằc lỹa chồn lun vôn, giĂo viản hữợng dÔn, tp trung v o nghiản
cứu, vit, chnh sòa v ho n thiằn lun vôn. Vợi qu thới gian nhữ vy v
vỵi và tr‰ cỉng vi»c ang ph£i £m nh“n, khỉng riảng bÊn thƠn em m
hu ht cĂc sinh viản cao håc muŁn ho n th nh tŁt lu“n v«n cıa mnh
trữợc ht ãu phÊi cõ sỹ sp xp thới gian hổp lỵ, cõ sỹ tp trung hồc tp
v nghiản cứu vợi tinh thn nghiảm túc, nỉ lỹc ht mnh; tip ‚n l câ sü
ıng hº v• tinh thƒn, sü gióp ù vã chuyản mổn - mt trong nhng iãu
kiằn khổng th” thi‚u quy‚t ành ‚n vi»c th nh cæng cıa lun vôn.
ho n th nh ữổc lun vôn n y trữợc tiản em xin gòi lới cÊm ỡn sƠu
sc n thy giĂo hữợng dÔn TS. Vụ Vinh Quang, l ngữới nh hữợng ni
dung, hữợng phĂt trin ca lun vôn v cõ nhiãu ỵ kin õng gõp quan
trồng vã nhng vĐn ã chuyản mổn ca lun vôn, giúp em thĂo gù kp
thới nhng vữợng mc trong quĂ trnh l m lun vôn.
Em cụng xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc thƒy, cỉ gi¡o Tr÷íng ⁄i håc
Cỉng ngh» thỉng tin v Truyãn thổng v bn b cũng lợp  cõ nhng
ỵ kin b ch lun vôn ữổc ho n thiằn hỡn. Xin cÊm ỡn gia nh,
ngữới thƠn, ỗng nghiằp luổn quan tƠm, ng h vã tinh thn trong sut
thới gian håc t“p v ho n th nh lu“n v«n.
Em xin hứa s c gng tỹ nghiản cứu, nƠng cao nông lüc chuy¶n
mỉn cıa m…nh ” sau khi ho n th nh lun vôn n y s cõ hữợng tp

trung nghiản cứu sƠu hỡn, tip tửc ho n thiằn lun vôn n y ” câ nhœng
øng döng thi‚t thüc trong thüc t.
ThĂi Nguyản, thĂng 7 nôm 2014
Hồc viản

Vụ Th KhĂnh Trnh


iii

MƯC LƯC

Líi cam

oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Líi c¡m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
Danh möc c¡c chœ vi‚t t›t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Danh möc c¡c b£ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
Danh möc c¡c h…nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
L˝I M—

U............................................

1

Ch÷ìng 1. B i to¡n v“n t£i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Mæ h…nh mºt sŁ b i to¡n thüc t‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

1.2. B i to¡n v“n t£i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.3. Thu“t to¡n ph¥n phŁi gi£i b i to¡n v“n t£i . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.
ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
nh
13

1.3.2. Cỡ s lỵ lu“n cıa thu“t to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.3.3. Thu“t to¡n ph¥n phŁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.3.4. V§n • chån ph÷ìng ¡n ban

ƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4. C¡c d⁄ng kh¡c cıa b i to¡n v“n t£i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


1.4.1. B i to¡n v“n t£i khỉng c¥n b‹ng thu ph¡t . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. B i to¡n v“n t£i d⁄ng cüc

18

⁄i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20

Ch÷ìng 2. Gi£i thut di truyãn v ứng dửng i vợi b i to¡n v“n
t£i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Giợi thiằu vã GiÊi thut di truyãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28


iv
2.2. C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.1. C¡ th”, nhi„m s›c th” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.2. Quƒn th” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

2.2.3. Chån låc (Selection) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2.4. Lai gh†p (Crossover) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

2.2.5. ºt bi‚n (Mutation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3. Mæ h…nh GA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. C¡c tham sŁ cıa GA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1. Kch thữợc qun th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4.2. X¡c su§t lai gh†p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

2.4.3. X¡c su§t ºt bi‚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

2.5. Cì ch‚ thüc hi»n GA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.1. M¢ hâa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.2. Khði t⁄o quƒn th” ban

ƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

2.5.3. X¡c ành h m th‰ch nghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

2.5.4. Cì ch‚ lüa chån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

2.6. Thu“t to¡n di truy•n kinh

i”n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

2.6.1. M¢ hâa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.6.2. To¡n tß chån låc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.6.3. To¡n tß lai gh†p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

2.6.4. To¡n tß ºt bi‚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

2.7. Thut toĂn di truyãn m hõa s thỹc (RCGA) . . . . . . . . . . . . .

40

2.7.1. Giỵi thi»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40


2.7.2. C¡c to¡n tß cıa RCGA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

2.8. Thu“t to¡n di truyãn vợi b i toĂn vn tÊi cƠn bng . . . . . . . . . 46
2.8.1. Bi”u di„n líi gi£i b i to¡n v“n t£i b‹ng v†c tì . . . . . . . . . .

46

2.8.2. Bi”u di„n líi gi£i b i to¡n v“n t£i b‹ng ma tr“n . . . . . . . . 51 Ch÷ìng
3. Mºt sŁ k‚t qu£ thüc nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1. Mæ t£ c¡c
thu“t to¡n di truy•n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.1. To¡n
tß khði t⁄o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


v
3.1.2. To¡n tß lai gh†p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.3. To¡n tß ºt bi‚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

3.1.4. To¡n tß lüa chån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

3.2. Mºt sŁ k‚t qu£ c i °t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 Phƒn k‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Phƒn phö löc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


vi

DANHMÖCC CCHÚVI TT T

GA Genetic Algorithm:
EC - Evolutionary computation:
EP - Evolutionary Programming:
ES - Evolutionary Strategies:
GP - Genetic Programming:
CS - Classifier Systems:
NST:
Selection:
Crossover:
Mutation:
Reproduction:
pop_size:
RCGA:
Arithmetic Crossover:
BLX- - Blend Crossover:
UNDX - Unimodal Normal
Distributed Crossover:
CMX - Center of Mass Crossover:
MFX - Multi-parent

Feature-wise Crossover:
SX - Seed Crossover:


vii

DANH MệC C C B NG

BÊng 1.1: Hổp ỗng ch h ng
B£ng 1.2: Cü ly v“n chuy”n
B£ng 1.3: Kh£ n«ng thu - ph¡t
B£ng 1.4: TŒng sŁ t§n km xe rØng t nhĐt
BÊng 3.1: Kt quÊ sau 10 ln chy ngÔu nhiản.
BÊng 3.2: Kt quÊ sau 10 ln chy ngÔu nhiản.


viii

DANH MệC C C H NH

Hnh 2.1: Sỡ ỗ mổ t£ GA
H…nh 2.2: Lai gh†p CMX
ci

H…nh 2.3: Ph¥n bŁ cıa x j
Hnh 2.4: ToĂn tò lai ghp SX
Hnh 3.1: ỗ th nghiằm ti ln chy thứ 10
Hnh 3.2: ỗ th nghi»m t⁄i lƒn ch⁄y thø 10

1

L˝I M—

U

Trong thüc t‚, vi»c t…m ki‚m c¡c ph÷ìng ph¡p giÊi lợp cĂc b i toĂn
ti ữu l mt lắnh vỹc ữổc cĂc nh khoa hồc trản th giợi c biằt quan
tƠm. Â cõ rĐt nhiãu cĂc cổng trnh nghiản cứu vã lắnh vỹc n y, ch
yu ữổc phĂt trin trong lỵ thuyt ti ữu hõa Ăp dửng trong lỵ thuy‚t quy
ho⁄ch to¡n håc v mæ h…nh c¡c b i to¡n trong cæng ngh» thæng tin ”
t…m ki‚m c¡c thu“t to¡n gi£i c¡c lỵp b i to¡n NPC. Trong thíi gian gn
Ơy mt hữợng nghiản cứu quan trồng ữổc phĂt tri”n trong l¾nh vüc t
‰nh to¡n ti‚n hâa, â ch‰nh l nghiản cứu vã thut toĂn di truyãn
(Genetic Algorithm - GA).
Xu§t ph¡t tł thuy‚t ti‚n hâa mn lo i cıa Darwin, c¡c nh to¡n håc
John Holland (1975) v Goldberg (1989) Â ã xuĐt v phĂt trin GA. Ơy l
mt k thu“t chung t…m c¡ch gi£i quy‚t b i to¡n b‹ng vi»c mỉ phäng
sü ti‚n hâa cıa con ng÷íi hay cıa sinh vt nõi chung dỹa trản nhng
iãu kiằn ữổc qui ành sfin cıa b i to¡n.
GA l mºt thu“t to¡n ÷a ra líi gi£i t÷ìng Łi tŁi ÷u. T÷ t÷ðng ch‰nh
cıa thu“t to¡n l t…m ki‚m líi gi£i tŁi ÷u dỹa trản cỡ ch lai ghp, chồn
lồc, sò dửng cĂc nguyản lỵ vã tnh di truyãn, sỹ thch nghi v sỹ
sng cĂc cĂ th thch nghi nhĐt trong tỹ nhiản tł â ti‚p c“n ‚n líi gi£i tŁi
÷u cıa b i toĂn ang xt.
i vợi lỵ thuyt quy hoch tuyn t‰nh nâi chung th… b i to¡n v“n
t£i l mºt mỉ h…nh câ øng dưng quan trång trong thüc t‚, Ơy l b i toĂn
kinh in  ữổc nghiản cứu.  cõ nhiãu thut toĂn ữổc ã xuĐt trong lỵ
thuyt tŁi ÷u ” gi£i b i to¡n n y nh÷: C¡c thu“t to¡n th‚ và (thu“t to¡n
ph¥n phŁi, thu“t to¡n quy khổng ổ chồn), b i toĂn quy hoch nguyản.

Vợi nhng lỵ do trản, em chồn ã t i "GiÊi thut di truyãn v ứng
dửng i vợi b i toĂn v“n t£i" l m lu“n v«n tŁt nghi»p.
Nºi dung ch‰nh ca lun vôn gỗm 3 chữỡng:
Chữỡng 1 - B i to¡n v“n t£i: tr…nh b y nhœng ki‚n thøc cì bÊn nhĐt
vã b i toĂn vn tÊi - mt dng °c bi»t cıa b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh v
thu“t to¡n ph¥n phŁi ” gi£i b i to¡n v“n t£i.


2
Chữỡng 2 - GiÊi thut di truyãn v ứng dửng Łi vỵi b i to¡n v“n t£i:
tr…nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n, mỉ h…nh, c¡c tham sŁ cì b£n, c¡c
ph†p to¡n, cì ch‚ thüc hi»n tŒng qu¡t cıa thu“t to¡n di truy•n, thu“t
to¡n di truy•n kinh i”n, thu“t toĂn di truyãn m hõa s thỹc, thut toĂn di
truyãn vợi b i toĂn vn tÊi cƠn bng.
Chữỡng 3 - Mºt sŁ k‚t qu£ thüc nghi»m: tr…nh b y c¡c k‚t qu£ c i °t
thß nghi»m khi gi£i b i toĂn vn tÊi bng thut toĂn GA.
CĂc kt quÊ lỵ thuy‚t v• b i to¡n v“n t£i ki”m nghi»m thỉng qua cĂc
chữỡng trnh thỹc nghiằm vit trản Matlab version 7.0


3

Ch֓ng 1
BITONVNTI

Nºi dung cıa ch÷ìng

÷ỉc tham kh£o ð c¡c t i li»u [1], [2], [3], [4].

1.1. B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh

1.1.1. Mæ h…nh mºt sŁ b i to¡n thüc t‚
Ch÷ìng n y s‡ tr…nh b y nhœng ki‚n thøc cì b£n nh§t cıa b i to¡n
quy ho⁄ch tuy‚n tnh. Nôm 1947, G. B. Dantzig  ữa ra mổ h…nh
to¡n håc n y sau khi nghi¶n cøu c¡c b i toĂn lp k hoch cho lỹc lữổng
khổng quƠn M. Ban ƒu, ỉng gåi l "Quy ho⁄ch trong c§u tróc tuy‚n t
‰nh" (Programming in a linear structure). Mịa h– n«m 1948, G. B.
Dantzig  ỗng ỵ sò dửng tản gồi ng›n gån l "Quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh"
(Linear Programming) sau khi ữổc Tijalling Koopmans gõp ỵ. Nhiãu
nôm sau, Albert Tuckey dũng thu“t ngœ ng›n hìn l "Linear Program".
Ngay sau khi G. B. Dantzig ÷a ra mỉ h…nh quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh,
ng÷íi ta thĐy nhiãu b i toĂn thỹc t thuc nhiãu l¾nh vüc kh¡c nhau câ
th” mỉ t£ b‹ng mỉ h…nh b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh.
V‰ dö 1.1. B i to¡n l“p k‚ ho⁄ch s£n xu§t (Production Planning Problem). Cỉng ty Reddy Mikks s£n xu§t hai lo⁄i s£n ph'm l sỡn ni thĐt
v sỡn ngo i trới. Nguyản liằu gỗm hai loi A v B vợi nguỗn dỹ tr tữỡng
ứng l 60 tĐn v 80 tĐn. sÊn xuĐt mt tĐn sỡn ni thĐt cn 2 tĐn
nguyản liằu A, 1 tĐn nguyản liằu B v sÊn xuĐt mt tĐn sỡn ngo i trới
cn 1 tĐn nguyản liằu A, 2 tĐn nguyản liằu B. ữổc bit nhu cu th
trữớng sß dưng hai lo⁄i s£n ph'm n y trong mºt ng y l :
- Nhu cƒu sìn nºi th§t khỉng hìn nhu cƒu sìn ngo i tríi qu¡ 1
t§n;
- Nhu cƒu cüc ⁄i cıa sìn nºi th§t l 2 t§n.
Gi¡ b¡n bn 1 t§n sìn nºi th§t l 2000 USD, 1 t§n sìn ngo i tríi


4
l

3000 USD.

VĐn ã t ra l cn sÊn xuĐt mỉi ng y nh÷ th‚ n o ” doanh thu l lợn

nhĐt.
Gồi x1 l s lữổng sỡn ni thĐt cn sÊn xuĐt trong mt ng y;
Gồi x2 l s lữổng sỡn ngo i tríi cƒn s£n xu§t trong mºt ng y;
x1; x2 gåi l c¡c bi‚n (variable) hay l mºt ph÷ìng ¡n (alternative) cıa
b i to¡n. V… s£n l÷ỉng s£n ph'm phÊi l mt s thỹc khổng Ơm, nản
x1 0; x2 0, ìn và t‰nh l t§n. Khi â doanh thu trong mºt ng y thu ÷ỉc
s‡ l
F (x) = 2000x1 + 3000x2
v F ữổc gồi l h m mửc tiảu (objective funtion).
Mt khĂc, s lữổng sÊn ph'm ữổc sÊn xuĐt x1; x2 khổng th vữổt
quĂ s lữổng nguyản liằu dỹ trœ h⁄n ch‚. C¡c h⁄n ch‚ tr¶n c¡c bi‚n x 1;
x2 gåi l c¡c r ng buºc (constraint), cö th” l :
(
2x1 + x2

x1 + 2x2

60
80

Hìn nœa, vi»c s£n xu§t l⁄i ph£i £m b£o khỉng nhi•u hìn nhu cƒu
cıa thà tr÷íng, do â:
(

x1
x1
Ta gåi c°p s›p thø tü (x 1; x2) gồi l phữỡng Ăn chĐp nhn ữổc
(feasible) nu nõ tho£ m¢n måi r ng buºc. Khi â (x 1; x2) ữổc gồi l
nghiằm chĐp nhn ữổc (feasible solution).
Ta cõ mæ h…nh to¡n håc cıa b i to¡n l“p k‚ hoch sÊn xuĐt nhữ sau:

Tm phữỡng Ăn chĐp nhn ữổc l m h m mưc ti¶u F (x) ⁄t cüc i
max v ữổc biu din dữợi dng toĂn hồc dữợi ¥y:
F (x) = 2000x1 + 3000x2
2x1 + x2
x1 + 2x2
x

1

x

2

x1
x1

0; x2

V‰ dư 1.2. B i to¡n ph¥n cỉng lao ºng. Ta x†t mºt b i to¡n cư th” sau
¥y:


5
Mt i sÊn xuĐt cn phƠn cổng mt s ngữới i g°t, sŁ cỈn l⁄i th… ð
nh “p lóa. C£ ºi câ 12 lao ºng lo⁄i A, 26 lao ºng loi B v 16 lao ng loi
C. Nông suĐt l m vi»c cıa lao ºng lo⁄i A trong mºt ng y g°t ÷ỉc 2 s o v
“p ÷ỉc 5 s o; tữỡng ứng vợi lao ng loi B l 1; 8 v
3; 6; lao ng loi C l
ữổc nhiãu nhĐt v s lúa ữổc gt vã cụng ữổc p ht trong ng y.
Gåi x; y; z lƒn l÷ỉt l

i g°t lóa, x 0; y 0; z 0. Khi â sŁ lao ºng ð nh “p lóa t÷ìng
øng l : 12 x; 26 y v 16 z.
M°t kh¡c, hai cæng vi»c phÊi Êm bÊo cƠn i, nản:
2x + 1; 8y + 1; 5z = 5(12 x) + 3; 6(26 y) + 2; 4(16 z)
hay
7x + 5; 4y + 3; 9z = 192
Khi â mæ h…nh to¡n håc cıa b i to¡n n y l :
F (x) = 2x + 1; 8y + 1; 5z ! max
0 x 12
0 y 26
0 z 16
x; y; z 2 Z
7x + 5; 4y + 3; 9z = 192
V‰ dö 1.3. B i to¡n v“n t£i (Transportation Problem). Ta x†t mºt d⁄ng
b i to¡n tŒng qu¡t.
Trong quĂ trnh sÊn xuĐt, h ng hoĂ ữổc vn chuyn tł 02 kho A,
B ‚n 02 cßa h ng b¡n l· I, II. L÷ỉng h ng ð kho A 15 tĐn, kho B 15 tĐn
v nhu cu tiảu thử kho I l 10 t§n, kho II l 20 t§n. Cữợc ph vn
chuyn mt tĐn h ng hoĂ t kho A n hai còa h ng I, II tữỡng ứng l 1
tri»u VN , 3 tri»u VN v kho B n hai còa h ng I, II tữỡng ứng l 2 tri»u
VN , 5 tri»u VN :
Y¶u cƒu °t ra l h¢y l“p k‚ ho⁄ch v“n chuy”n h ng ho¡ tł kho A, B ‚n
cßa h ng thø I, II sao cho tng chi ph l t nhĐt, vợi iãu ki»n c¡c
kho ph¡t h‚t h ng v c¡c si¶u thà, cßa h ng nh“n ı sŁ h ng ho¡ theo nhu
cƒu.
Gåi l÷ỉng h ng v“n chuy”n tł kho i ‚n cßa h ng j l xij (i = 1; 2;
j = 1; 2; xij
0). Ta câ k‚ ho⁄ch v“n chuy”n, hay cặn gồi l phữỡng Ăn
vn chuyn h ng hoĂ l mºt ma tr“n thüc c§p 2 2, X = (xij). Khi õ cữợc ph
vn chuyn h ng hoĂ l

F (x) = x11 + 3x12 + 2x21 + 5x22:


6
Ta ph£i t…m c¡c xij sao cho F l nhä nhĐt. Chú ỵ rng x ij 0 khổng
ữổc giÊm tũy þ, v… ph£i £m b£o ph£i ph¡t h‚t h ng ð c¡c kho v c¡c
cßa h ng ph£i nh“n ı sŁ h ng theo nhu cƒu. Ta câ:
8
>
>

>
>

Khi

>

x11 + x12 = 15

<

x21 + x22 = 15

>

x11 + x21 = 10

:

x12 + x22 = 20

â, mæ h…nh to¡n håc cıa b i to¡n v“n t£i n y nh÷ sau:

F (x) = x11 + 3x12 + 2x21 + 5x22 ! min
x +x
11

12

21

22

12

22

x +x

x +x
11
21
x +x

0; i = 1; 2; j = 1; 2:

xij

Mæ h…nh n y gåi l mæ h…nh v“n t£i âng (close transportation model)

hay cỈn gåi l mỉ h…nh v“n tÊi cƠn bng v khÊ nông phĂt v khÊ nông
thu bng nhau. Trong trữớng hổp khÊ nông phĂt v khÊ n«ng thu kh¡c nhau
th… mỉ h…nh b i to¡n cıa chóng ta gåi l mỉ h…nh v“n t£i mð (open
transportation model) hay mỉ h…nh v“n t£i khỉng c¥n b‹ng.

Nh“n x†t 1.1. CĂc b i toĂn trản ãu dÔn n mt mæ h…nh chung l t…m
nghi»m cıa h» r ng buºc sao cho mºt h m mưc ti¶u F (x) ⁄t max ho°c
min. ¥y ch‰nh l mỉ h…nh tŒng qu¡t cıa b i to¡n tŁi ÷u.

1.1.2. B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh
B i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh câ d⁄ng tŒng qu¡t
n
X

F (x) =

j

cjxj
=1

aijxj

bi; (i = 1; 2; :::; m1)

aijxj = bi; (i = m1 + 1; m1
xj

0 (j = 1; 2; :::; n1; n1

n):

ƒy ı nh÷ sau:


7
trong â F (x) gåi l h m mưc ti¶u.
Mºt r ng buºc flng thøc câ th” thay th‚ b‹ng hai r ng buºc d⁄ng
b§t flng thøc, cư th” l :
ij j

ax

Mºt 'n xj n o â khæng bà r ng buc vã dĐu cõ th ữổc thay bng
hai 'n khổng Ơm bng cĂch t:

Nhữ vy, mồi b i toĂn quy hoch tuyn tnh ãu cõ th ữa ữổc vã
dng chu'n t›c sau ¥y:
n
Xj

F (x) =
=1
n
X

cjxj ! min(max)

j

=1

aijxj

bi; (i = 1; 2; :::; m)

xj 0 (j = 1; 2; :::; n):
M°t kh¡c, mºt r ng buºc b§t flng thøc câ th ữa vã r ng buc dng
flng thức bng cĂch bŒ sung th¶m 'n phư, cư th”:
n
X

n
X

j

a x b ,a x
ij j

j=1

i

ij j

=1

Viằc thảm 'n phử yi cũng iãu kiằn khổng Ơm ca nõ khổng l m
Ênh hững n kt qu£ cıa b i to¡n.

Khi â ta câ d⁄ng ch‰nh t›c cıa b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh:
n
Xj

F (x) =
=1
n

cjxj ! min(max)


Xj

aijxj = bi; (i = 1; 2; :::; m)

=1

xj

0 (j = 1; 2; :::; n):


8
nh lỵ sau Ơy cho ta thĐy php bin i â khỉng l m thay Œi
b£n ch§t cıa b i toĂn.
nh lỵ 1.1. Mỉi nghiằm X = ( 1; 2; :::; n) ca bĐt phữỡng trnh:
n

X

aijxj

bi

j=1

ứng vợi mt nghiằm duy nhĐt Y = ( 1; 2; :::; n;

:

yi

n+1)

ca hằ:

0

v ngữổc l⁄i.
Chøng minh. Gi£ sß X = ( 1; 2; :::; n) sao cho:
n
Xj

a

ij j

=1

Ti‚p theo ta chån:

n

y=
i

Xj

n+1

=a

ij j

=1

Khi â ta cõ Y = ( 1; 2; :::; n;

n+1)

thoÊ mÂn hằ:

8

n

>

:

yi

Ngữổc l⁄i, n‚u Y = ( 1; 2; :::; n;
8

0:

n+1

n
X
a

>

<

th… ta câ ngay:

)

j=1

ij

j

n+1

tho£ m¢n:

=b

i


hay X = ( 1; 2; :::; n) tho£ m¢n b§t flng thøc


9
V dử 1.4. ữa b i toĂn sau

Ơy vã dng chnh tc:

>
8
>

>
>
>
>
>
<
>

>

>
>

>

:
u tiản ta ữa thảm hai 'n phử x 7 0, x8
buºc v• d⁄ng flng thøc. Ta câ b i to¡n:
>

0 ” ÷a c¡c r ng

8 ! min
+ 2x6
x5
>
>
>
<
>

3x

>

1

>

>
>

>

>

:
Ti‚p theo, do x3; x4 khỉng câ r ng buºc v• dĐu, nản ta
0

x3 = x

3

x

0

11; x4

=x

0

4

x

0

12;

0

x

4 0;

x

0

Khi õ ta cõ d⁄ng ch‰nh t›c cıa b i to¡n

12

0; x

0

3

¢ cho l :

0; x

x + 2x3
2

x1; x2; x5 ; x6; x7; x8

°t:
0

11 0:


>
8

F (x)

>

>
>
>
>
>
< 3x1
>

>

>

x1; x2; x5; x6; x7; x8; x40; x120; x30; x110

>

>

:

Tâm l⁄i: Måi b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n tnh ãu cõ th ữa vã dng ch
nh tc, hoc d⁄ng chu'n t›c nhí c¡c ph†p bi‚n Œi ìn gi£n sau:
1.
Thay mºt bi‚n xj khỉng câ r ng buºc v• dĐu bng hiằu
ca hai bin khổng Ơm vợi php t:
0

x j = xj

xn

0

2. Thay mºt r ng buºc flng thøc


3. Thay mºt r ng buºc b§t flng thøc
flng thøc:
X

n

ax

ij j

yi = bi; yi

0:

j=1

4. Kỵ hiằu c = c1 c2 c2 ::: cn

(aij)m n, ta câ d⁄ng ma tr“n cıa b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh d⁄ng
ch‰nh t›c nh÷ sau:
8
>
F (x) = Cx ! min
<
Ax = b
>
: x
0:
Trong thüc t, cn sò dửng hổp lỵ, linh hot cĂc php bi‚n Œi ð
tr¶n ” sŁ c¡c bi‚n sŁ v c¡c r ng buºc cıa b i to¡n l ‰t nh§t. Ta cõ mt
chú ỵ quan trồng sau Ơy:
Chú ỵ 1.1. Khỉng gi£m t‰nh tŒng qu¡t, Łi vỵi b i to¡n quy ho⁄ch
tuy‚n t‰nh d⁄ng ch‰nh t›c, ta °t mºt sŁ gi£ thi‚t sau:
n

1. H» r ng buºc
j=1

X

aijxj = bi; i = 1; 2; :::; m gỗm cõ m phữỡng


ºc l“p;

n
Xj

2. m < n, v… n‚u m = n th… h» r ng buºc
=1

câ duy nh§t nghi»m ho°c khỉng cõ nghiằm. Do õ vĐn ã tm
phữỡng Ăn ti ữu l vỉ ngh¾a;