Tổng hợp bài toán thực tế lớp 12 có đáp án - Giáo viên Việt Nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (10.39 MB, 120 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là
50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây
dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vng 
góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C 
trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít 
nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:

A. 6.5km B. 6km C. 0km D.9km

Hướng dẫn giải 
Đặt

Chi phí xây dựng đường ống là

Hàm , xác định, liên tục trên và

; ;

Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km. 
Câu 2: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có khoảng cách đến bờ
biển .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một
khoảng .Người canh hải đăng có thể chèo đị từ đến trên
bờ biểnvới vận tốc rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị
trí của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến
kho nhanh nhất?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Đặt .

Ta có: Thời gian chèo đị từ đến là:

Thời gian đi bộ đi bộ đến là:

Thời gian từ đến kho
' ( ) , [0;9]

 

x B C km x
2

36; 9

   

BC x AC x

( )130.000 3650.000(9 ) ( )

C x x x USD

( )

C x [0;9]

'( ) 10000. 5

36
 
   

 
x
C x
x
2

'( ) 0 13 5 36

C x x x 169 2 25( 2 36) 2 25 5

4 2

 x  x  x   x

(0)1.230.000

C 5 1.170.000

  
 

 

C C(9) 1.406.165

2,5



x

A
5

AB km C B

7km A M

4km h/ C 6km h/

M

0 km 7 km 2 5 km 14 5 5 km

( ) 7 ( )

BM x km MC x km ,(0 x 7)

A M

2
25
( ).
4
AM
x

t   h

C 7 ( )

MC

x
t   h

A

25 7

x x

t   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

C

B G A

Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi

Câu 3: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo 
(điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là
100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện
trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G
đến C chi phí ít nhất.

A: 40km B: 45km C: 55km D: 60km

Hướng dẫn giải

Gọi BG x (0 x 100)AG100x
Ta có GC BC2GC2  x23600

Chi phí mắc dây điện: f x( ) 3000.(100  x) 5000 x23600
Khảo sát hàm ta được: x45. Chọn B.

Câu 4: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt 
(tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho
góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? (BOC gọi là góc nhìn)

A. AO2,4m B. AO2m C. AO2,6m D. AO3m
4 x 25

2 5( ).

x km

O
A

B
1,4

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,
ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) = tan tan

1 tan .tan

AOC AOB
AOC AOB


=
2
.
1
AC AB
OA OA
AC AB
OA


=
2

1,4
3,2.1,8
1
x
x


= 21,4
5,76

x
x 

Xét hàm số f(x) = 21,4
5,76

x
x 

Bài tốn trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có
f'(x) =
2
2 2
1,4 1,4.5,76
( 5,76)
x
x
 

 , f'(x) = 0  x = 2,4

Ta có bảng biến thiên

Hướng dẫn giải

Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.
Thời gian t là: t =

1 2

AC CD

v  v = 1 2

AE CE CD

v v

 =
=
1 2
tan sin
h h
v v
 

 =
1 2
.cot
sin
h h

v v





Xét hàm số

1 2
.cot
( )
sin
h h
t
v v





  . Ứng dụng Đạo hàm ta được t( ) nhỏ nhất khi

2
1
cos v

v

  . Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho 2
1

cos v

v
  .

Câu 6: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu 
0
f(x)
+
2,4
+ _
0
0
x
f'(x)
B

A C

E
h



A C B

E
h
Câu 5: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác

định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng
một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên
đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy
xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận
chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách
của hai tàu là lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d.
Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 +
(6t)2

Suy ra d = d(t) = 85t270t25. 
Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất
khi 7

t (giờ), khi đó ta có d3,25 Hải lý.

Câu 7: Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 100(cm2). Hỏi mỗi kích thước của nó bằng

bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?

A. 10cm10cm B. 20cm5cm C. 25cm4cm D. Đáp án khác

( )

x cm y cm x y( ) ( , 0).
2( ) 2 2

P x y  x y

Theo đề bài thì: xy100 hay y 100
x

 . Do đó: P 2(x y) 2x 200
x

    với x0

Đạo hàm: P x'( ) 2 2002 2x2 2200
x



   . Cho y' 0  x 10 .
Lập bảng biến thiên ta được: min 40 khi x10 y 10.

800( )m

A.200m200m B.300m100m C.250m150m D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và
Diện tích miếng đất:

Theo đề bài thì: hay . Do đó: với

Đạo hàm: . Cho .

Lập bảng biến thiên ta được: khi .

( )

x m y m( ) ( ,x y 0).

S xy

2(x y) 800 y 400 x 2

(400 ) 400

S x x x x x 0

'( ) 2 400

S x x y' 0 x 200

max 40000

S x 200 y 200

  



A B

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: và
Chu vi hình chữ nhật là:

x
P

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào
và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích
lớn nhất bằng bao nhiêu?

A.Smax 3600m2 B.Smax 4000m2 C.Smax 8100m2 D.Smax 4050m2
Hướng dẫn giải

Gọi là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và là chiều dài cạnh vuông góc với bờ
giậu, theo bài ra ta có . Diện tích của miếng đất là .

Ta có:

Dấu xảy ra .

Vậy khi .

A. 4 ,
4
S

x S y B. 4 ,
2
S

x S y C. 2 ,
4
S

x S y D. 2 ,
2
S
x  S y
Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy;
2

2y x S x
x

    . Xét hàm số ( )x  2S x

x  . Ta có
'( )

x = 2S2
x



+ 1 =
2

2
2

x S

x


'( )x = 0 2 2 0 2

x S x S

     , khi đó y = S

x = 2
S

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của
mương là x 2S , y =

2
S

thì mương có dạng thuỷ động học
Câu 11: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương
dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang
của mương là S, là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này,

- đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc
gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất).

x y

2 180

x y S y(180 2 )y

2 2

(2 180 2 )

1 1 180

(180 2 ) 2 (180 2 ) 4050

2 2 4 8

y y

y y y y

'' '' 2y 180 2y y 45m
2

4050
max

S m x 90 ,m y 45m

x
y
Câu 10: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng

nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký y
hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ

dài đường biên giới hạn của tiết diện này, - đặc trưng x
cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động
học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)

A. 4 ,
4
S

x S y B. 4 ,

2
S
x  S y

C. 2 ,
4
S

x S y D. 2 ,

2
S
x S y
Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy;
2

2y x S x
x

    . Xét hàm số ( )x  2S x

x  . Ta có

'( )x =

2
2S
x



+ 1 =
2

2
2

x S

x


'( )

x = 0 x2 2S  0 x 2S, khi đó y = S

x = 2
S

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của
mương là x 2S , y =

2
S

thì mương có dạng thuỷ động học

a

A. ;

4 2

a a

x y  B. ;

3 3

a a

x y 

C. ; 2

6 3

a a

x y D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi x là bán kính hình quạt, y là độ dài cung trịn. Ta có chu vi cánh diều là a2x y . Ta
cần tìm mối liên hệ giữa độ dài cung trịn y và bán kính x sao cho diện tích quạt lớn nhất.
Dựa vào cơng thức tính diện tích hình quạt là

2
360

R

S  và độ dài cung trịn 2
360

R
 

 , ta có

diện tích hình quạt là:
2

R

S . Vận dụng trong bài tốn này diện tích cánh diều là:
( 2 ) 12 ( 2 )

2 2 4

x a x
xy

S    x a x .

Dễ thấyS cực đại 2 2

4 2

a a

x a x x y

       . Như vậy với chu vi cho trước, diện tích

của hình quạt cực đại khi bán kính của nó bằng nửa độ dài cung tròn.

x x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 13: Có một tấm gỗ hình vng cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác 
vng, có tổng của một cạnh góc vng và cạnh huyền bằng hằng số từ tấm gỗ
trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vng có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm
gỗ này là bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Kí hiệu cạnh góc vng

Khi đó cạnh huyền , cạnh góc vng kia là

Diện tích tam giác ABC là: . Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số
này trên khoảng

Ta có

Lập bảng biến thiên ta có:

Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi Từ đó chọn đáp án C

Câu 14: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường trịn bán kính 
, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính đường trịn
.

Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường trịn là:
Diện tích hình chữ nhật:

Ta có

120cm

40cm 40 3cm 80cm 40 2cm

,0 60

  

AB x x

120

 

BC x AC BC2AB2  1202240x

 

1 2
. 120 240
2

 

S x x x



0;60



 

2 2

1 1 240 14400 360

, 120 240 . ' 0 40

2 2 2 120 240 2 120 240

 

       

 

x

S x x x S x x

x x

x 0 40 60

 

S' x  0

 

S x

 

40
S



BC

10cm
2

80cm 100cm2 160cm2 200cm2

( )
x cm

0 x 10

2 2

2 10 x cm .

2 2
2 10

S x x

2 2 2 2

2 2

2 10 2.10 4

10
x

S x x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

. Suy ra là điểm cực đại của hàm .

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là:
Câu 15: Một máy tính được lập trình để vẽ một 
chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất
của trục tọa độ Oxy

nội tiếp dưới đường cong y=e-x. Hỏi diện tích 
lớn nhất của hình chữ nhật có thể được vẽ bằng
cách lập trình trên

A. 0,3679 ( đvdt) B. 0,3976 (đvdt)
C. 0,1353( đvdt) D 0,5313( đvdt)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình chữ nhật tại điểm x là S = xe-x

khi x=1

Câu 16: Cho một tấm nhôm hình vng cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang

như hình vẽ. Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 7 B. 5 C. D. .

10 2 thỏa

2
0

10 2 không thoûa
2

x
S

x

10 2

8 40 2 0

S x S 10 2

x S x

2 10 2

S 10 2. 10 100

2 cm

'( ) x(1 )
S x e x

'( ) 0 1

S x   x

0,3679
e

y cm

x cm 3cm

2 cm
A

D C

B
E

F
H

G

7 2

2 4 2

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có nhỏ nhất lớn nhất.

Tính được (1)

Mặt khác đồng dạng nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra . Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ
nhất.

Biểu thức nhỏ nhất . Vậy đáp án cần chọn là C.

Câu 17: Có một tấm nhơm hình vng cạnh 12 .cm Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm
đó bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x cm( )rồi gấp tấm nhơm lại
như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hình hộp nhận được có
thể tích lớn nhất.

A. x6 B. x3 C. x2 D. x4

12 2 . x (12 2 ) x2.

Thể tích cái hộp là: V(12 2 ) . x x2 4x348x2144x với x(0;6)

Ta có: V x'( ) 12 x396x2144 .x Cho V x'( ) 0 , giải và chọn nghiệm x2.
Lập bảng biến thiên ta được Vmax 128 khi x2.

Câu 18: Một Bác nông dân cần xây dựng một hố ga khơng có nắp dạng hình hộp chữ 
nhật có thể tích , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng . Hãy
xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.

Gọi là chiều cao của hố ga ( ). Ta có

suy ra thể tích của hố ga là :
Diện tích tồn phần của hố ga là:

Khảo sát hàm số suy ra diện tích tồn phần của hố ga nhỏ nhất bằng
khi Suy ra diện tích đáy của hố ga là

EFGH

S

 S SAEH SCGF SDGH

2S2x3y (6 x)(6 y) xy 4 x 3 y 36  
AEH

 CGF AE AH xy 6

CG CF  

18
2S 42 (4 x )

x

   4 x 18

x


18
4 x

x

 4 18 3 2 2 2

x x y

x

     

3200cm 2

1200cm 160cm2 1600cm2 120cm2

, ( , 0)
x y x y

h h 0 h 2 h 2 1x

x

2
3200 1600

3200 2

V xyh y

xh x

2 6400 1600 2 8000

2 2 4 4 ( )

S xh yh xy x x f x

x x x

( ), 0

y f x x

1200cm x 10cm y 16cm 10.16 160cm2

Hướng dẫn giải

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 19: Người ta phải cưa một thân cây hình trụ có đường kính 1m , chiều dài 8m để
được một cây xà hình khối chữ nhật như hình vẽ. Hỏi thể tích cực đại của khối gỗ sau khi
cưa xong là bao nhiêu?

A.4m3 B.2m3 C.4 3m3 D.2 3m3

Hướng dẫn giải

Gọi x y m, ( ) là các cạnh của tiết diện. Theo Định lí Pitago ta có: x2y2 12 (đường kính
của thân cây là 1m). Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của tiết diện là cực đại,
nghĩa là khi x y. cực đại. Ta có: 2 2 2 1.

x y  xyxy Dấu " " xảy ra khi 1
2
x y  .

Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong: 1 1 8 4 3

2 2

V     m (tiết diện là hình vng).

C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi một chiều dài là , khi đó chiều cịn lại là , giả sử quấn
cạnh có chiều dài là x lại thì bán kính đáy là Ta có:

Xét hàm số:

Lập bảng biến thiên, ta thấy lớn nhất khi x=40. 60-x=20. Khi đó 
chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm. Chọn đáp án B

35cm; 25cm 40cm; 20cm 50cm;10cm 30cm; 30cm

x cm (0 x 60) 60 x cm

; 60 .

x

r h x

3 2

2 60

. .

x x

V r h

3 2

( ) 60 , 0; 60

f x x x x

2 0

'( ) 3 120 ; '( ) 0

x

f x x x f x

x

3 2

( ) 60 , 0; 60

f x x x x

Câu 20: Bạn An là một học sinh lớp 12, bố 
bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một
chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tơn có chu
vi 120 cm theo cách dưới đây:Bằng kiến
thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn
để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất,
khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt
là:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 21: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 
2000lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để
tiết kiệm vật liệu nhất?

A. 1m và 2m B. 1dm và 2dm C. 2m và 1m D. 2dm và 1dm
Hướng dẫn giải

Đổi 2000 ( ) 2 ( ) lit   m3 . Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là ( )

x m và h m( ).
Ta có thể tích thùng phi Vx h2. 2  h 22

x



Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích tồn phần nên ta chỉ cần tìm x để diện tích tồn phần bé
nhất.

2 2

2 2 . 2 ( ) 2 ( )

tp

S x x h x x x

x x

   

     

Đạo hàm lập BBT ta tìm đc f x( ) GTNN tại x1, khi đó h2.

A. cm B. cm C. cm D. cm

Hướng dẫn giải

Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.

Như vậy, bán kính R của hình trịn sẽ là đường sinh của hình nón và đường trịn đáy của

hình nón sẽ có độ dài là x.

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức .
6

 6 6 2 6 8 6

r

R h

M
N

I

S

2
x

r x r



  

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = .

Thể tích của khối nón: .

Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:

Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi

6
R m

A.  66 B. 294 C.12,56 D. 2,8

( )
x m

Khi đó 2

2
x
x r r



  

Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là

2 2 2

2
4

x

h R r R



   

Thể tích khối nón sẽ là :

2 2

1 1

3 3 4 4

x x

V r h  R

 

  

Đến đây các em đạo hàm hàm V x( ) tìm được GTLN của V x( ) đạt được khi

2 6 4

x R  

Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là : 2R4 2 6 4 360 660 0
2 6
 



  
2

2 2 2

2
4

x

R r R



  
2 2
2 2
2
1
.

3 3 2 4

x x

V r H  R

 

 

    

 

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 6

2 2

2 2 2

4 4 8 8 4 4

. . ( ) .

9 8 8 4 9 3 9 27

x x x

R

x x x R

V  R     

  
 
  
 
     
 
 
 
2 2
2
2
8 4
x x

R
   
2

6 6 6

x  R x 

   

Hướng dẫn giải

Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa trịn. Cịn chu vi đáy của
hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải
chi tiết như sau:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 24: Nhà Nam có một chiếc bàn trịn có bán kính bằng m. Nam muốn mắc một
bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng
nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức (

là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn
c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng

l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) . Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ 
mặt bàn là

A. 1m B. 1.2m C. 1.5 m D. 2m

Hướng dẫn giải

Ta có và , suy ra cường độ sáng là: .

Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi , khi đó
2

2
sin
C c

l






h
l

2 M

N

I
Đ

sin h

l

  2 2

2
h  l

2
3

( ) l ( 2)

C l c l

l


 

 

46 2 2





' . 0 2

. 2

l

C l c l

l l


   



 





' 0 6 2

C l   l l 

l h2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu 25: Nhân ngày phụ nữ Việt Nam 20 -10 năm 2017 , ông A quyết định mua tặng vợ 
một món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là 32 ( đvtt ) có đáy hình
vng và khơng có nắp . Để món q trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị của nó
ơng quyết định mạ vàng cho chiếc hộp , biết rằng độ dạy lớp mạ tại mọi điểm trên hộp là
như nhau . Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là . Để lượng vàng trên
hộp là nhỏ nhất thì giá trị của phải là ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Ta có , để lượng vàng cần dùng là nhỏ

nhất thì Diện tích S phải nhỏ nhất ta có

,
Chọn đáp án B

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi lần lượt là bán kính đáy và chiều của hình trụ .
Dải dây duy băng còn lại khi đã thắt nơ là:

Ta có

Thể tích khối hộp q là:

Thể tích V lớn nhất khi hàm số với đạt giá trị lớn nhất.
, cho

Lập bảng biến thiên, ta thấy thể tích đạt giá trị lớn nhất là .

h; x
h; x

x 2; h 4 x 4; h 2 4; 3

x h x 1;h 2

S xh x

S x. x x

V x

V x h h x

x x

2 2

32 128

4
32

S x f x f ' x x x

x x

128 128

2 0 4 h 2

4000 cm 1000 cm3 2000 cm3 1600 cm3

(c ); y(c )

x m m ( ,x y 0;x 30)

120 cm
(2x y).4 120 y 30 2x

2. 2(30 2 )

V x y x x

( ) (30 2 )

f x x x 0 x 30

'( ) 6 60

f x x x 2

'( ) 6 60 0 10

f x x x x

3
1000 (cm )
V

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 27: Có một miếng nhơm hình vng, cạnh là 3dm, một người dự tính tạo thành các 
hình trụ (khơng đáy ) theo hai cách sau:

Cách 1: gị hai mép hình vng để thành mặt xung quanh của một hình trụ, gọi thể tích là
của khối trụ đó là V1

Cách 2: cắt hình vng ra làm ba, và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng
thể tích của chúng là V2.

Khi đó, tỉ số là:

A. 3 B. 2 C. D.

Câu 28: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là
trung điểm của một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N
.Gọi là thể tích của khối chóp . Tìm giá trị nhỏ nhất của ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Đặt khi đó ta có :

1
2
V
V

1
2

1
3

1 1

2 R 3 R

2
   



2
1 1

V R h

4
   



2 1

2 R 1 R

2
   



2 1

V 3 R h

   



S ABCD
SC

V S AMPN. V1

V

3
8

1
3

2
3

1
8

; ,(0 , 1)

SM SN

x y x y V V V V V

Hướng dẫn giải

.Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ta có :

Lại có :

Từ (1) và (2) suy ra : do

Từ (2) suy ra

Khảo sát hàm số

A. 8 B. 9 C. 10 D.11

Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là:
.

Vậy số năm tối thiểu là xấp xỉ 9,29 năm. Vậy đáp án là C.

Câu 30: Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép.
Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1 một quý trong thời gian 15 tháng.
Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,73 một tháng trong thời gian 9 tháng.
Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là 27507768,13 (chưa làm trịn). Hỏi số tiền ơng
Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?

A.140 triệu và 180 triệu. B.180 triệu và 140 triệu.
C. 200 triệu và 120 triệu. D. 120 triệu và 200 triệu.
Hướng dẫn giải

Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân hàng là
triệu đồng. Gọi (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó

(triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y.

1 1 . 1 1

2 2 2 4

SAMPN SAMP SANP SAMP SANP

SADC SABC

V V V V V V SM SP SN SP

x y

V V V V V SD SC SB SC

1 1 1 3 2

2 2 2 2 4

SAMPN SAMN SMNP

SABD SBCD

V V V V

xy xy xy

V V V V

1 3

4 4 3 1

x

x y xy y

x
1

0 1 1

3 1 2

x

y x

x

1 3 3 3 3 1

. . ( ), 1

4 4 3 1 4 3 1 4 2

V x x

xy x f x x

V x x





n
A 1 0, 03





1,03

ycbtA 1 0, 03 3A n log 337,16

347,507 76813 x 320 x

Câu 29: Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một ngân hàng với lãi suất là 12% năm. Biết 
rằng cứ sau mỗi một quý ( 3 tháng ) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối
thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền, bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần
số tiền ban đầu.

Hướng dẫn giải

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Theo giả thiết ta có:

Ta được . Vậy ông Năm gửi triệu ở ngân hàng X và triệu ở ngân hàng
Y.

Đáp án: A.

Câu 31: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một 
tháng (chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016
mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến
đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi
từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn
đồng).

A. 50 triệu 730 nghìn đồng B. 48 triệu 480 nghìn đồng
C. 53 triệu 760 nghìn đồng D. 50 triệu 640 nghìn đồng
Hướng dẫn giải

Số tiền tháng 1 mẹ được nhận là 4 triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vậy cả
vốn lẫn lãi do số tiền tháng 1 nhận sinh ra là: (triệu đồng).

Tương tự số tiền tháng 2 nhận sẽ sinh ra: (triệu đồng)
...

Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh luôn nên là: 4 (triệu đồng).

Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là: (50

triệu 730 nghìn đồng). Đáp án A.

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Một kì hạn 6 tháng có lãi suất là . Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa là 66 tháng
tức là 11 kỳ hạn) , số tiền cả vốn lẫn lãi Bác nơn dân nhận được là :

.Vì 5 năm 8 tháng thì có 11 kỳ hạn và dư 2 tháng hay dư

5 9

(1 0, 021) (320 )(1 0, 0073) 347,507 76813

x x

140

x 140 180

11 11

4.(1 ) 4 1,01
100

  

10
4 1,01

11 10 1 1,01

4 1,01 4 1,01 ... 4 1,01 4 4 50,730

1 1,01


        



31802750 09, đồng 30802750 09, đồng

32802750 09, đồng 33802750 09, đồng

8.5% 4.25

12 100

11
4 25
20000000 1

100

A . . (đồng)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

. Suy ra sau 5 năm 8 tháng số tiền bác nông
dân nhận được là

Câu 33: Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi 
suất 0,72%/tháng. Sau một năm bác B rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với
lãi suất 0,78%/tháng. Sau khi gửi được đúng một kỳ hạn 6 tháng do gia đình có việc nên
bác gửi thêm một số tháng nữa thì phải rút tiền trước kỳ hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là
232638449 đồng (chưa làm tròn). Biết rằng khi rút tiền trước thời hạn lãi suất được tính
theo lãi suất khơng kỳ hạn tức tính theo hàng tháng. Trong một số tháng bác gửi thêm lãi
suất là:

A. 0,4% B. 0,3% C. 0,5% D. 0,6%

. Lưu ý: và B nguyên dương, nhập máy tính:

thử với rồi thử B
từ 1 đến 5, sau đó lại thử rồi thử B từ 1 đến 5, ... cứ như vậy đến bao giờ kết quả

Câu 34: Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutơni Pu239 là 24360 năm (tức là
một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ cịn lại một nửa). Sự phân hủy được tính 
theo cơng thức S = Aert, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy 
hàng năm (r<0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi
sau bao nhiêu năm thì 10 gam Pu239

sẽ phân hủy cịn 1 gam có giá trị gần nhất với giá trị

nào sau?

A. 82135 B. 82335 C. 82235 D. 82435

Hướng dẫn giải

Vì Pu239 có chu kì bán hủy là 24360 năm nên er24360 = r 0,000028

Công thức phân hủy của Pu239 là S = A.e0,000028t
Theo giả thiết: 1 = 10. e0,000028t t  82235,18 năm

0 01 4 25

60 120000 1

100 100

B A. . . (đồng)

11 11

4 25 4 25

20000000 1 120000 1 31802750 09

100 100

C A B . . . . , đồng

20000000. 1 0,72.3 : 100 1 0,78.6 : 100

20000000. 1 0,72.3 : 100 1 0,78.6 : 100 1 A: 100 B 23263844,9

1 B 5

20000000. 1 0,72.3 : 100 1 0,78.6 : 100 1 A: 100B 23263844,9 A 0,3
0,5

A

0,5; 4

A B

S 1

A  2
Hướng dẫn giải

. Gửi được 1 năm coi như gửi được 4 kỳ hạn 3 tháng; thêm một kỳ hạn 6 tháng số tiền khi
đó là:

. Giả sử lãi suất không kỳ hạn là A%; gửi thêm B tháng khi đó số tiền là:

đúng bằng 0 hoặc xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Câu 35: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:

 

0 12
t
T
m t m   

  , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 
0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị 
biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon 14

C là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu
Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng cịn bao nhiêu?

 

ln2
5730
100.

t

m t  e B.

 

5730
1

100.

2
m t    

  C.

 

100
5730
1
100
2
t
m t

 
  

  D.

 

100
5730
100.

t
m t  e

Hướng dẫn giải

Theo công thức ta có:

suy ra
Đáp án: A.

Câu 36: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:

 

0
1
2

t
T
m t m   

  , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 
14C

A.2378 năm B. 2300 năm C. 2387 năm D. 2400 năm

, tại thời điểm t tính từ thời

(năm)
Đáp án: A.

Câu 37: Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên 
truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được 
phát thì số % người xem mua sản phẩm là ( ) 1000.015 , 0

1 49 x

P x x

e

 

 . Hãy tính số quảng cáo

được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%.

A. 333 B. 343 C. 330 D. 323

Hướng dẫn giải

Khi có 100 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:
0

kt

m t m e

.5730

100 ln 2

5730 50 100.

2 5730

k

m e k

ln 2
5730
100 t

m t e

0
m

ln 2 ln 2

0
5730 5730
0 0
3
5730 ln
3 4
2378

4 ln 2

t m t

m t m e m e t

0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị 
biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon là khoảng 5730 năm. Người ta tìm

được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cabon và xác định được nó đã mất khoảng 25%
lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Khi có 200 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:

Khi có 500 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:

Đáp án: A.

Câu 38: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo cơng thức ( ) rx

f x Ae , trong
đó .A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng



r0



, x (tính theo giờ) là
thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con.
Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần

A. 5ln20 (giờ) B. 5ln10(giờ) C. 10log 105 (giờ) D. 10log 205
(giờ)

ln5
10 .
Do đó, 10000 = 1000. ert suy ra t =

5
ln10 10ln10 10log 10

ln5

r   giờ nên chọn câu C.

Câu 39: Một vật di chuyển với gia tốc a t

 

 20 1 2



 t



2



m s/ 2



. Khi t0 thì vận tốc

A.S106m. B.S107m. C.S108m. D.S109m.
Hướng dẫn giải

Ta có . Theo đề ta có

. Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:
.

Câu 40:Một ơ tơ chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là 
“thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

 

40 20





v t   t m s Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu
đạp phanh . Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao
nhiêu?

A. 2m B.3m C.4m D. 5m

1.5
100

100 9.3799%

1 49
P

e

3
100

200 29.0734%

1 49
P

e

7.5
100

500 97.3614%

1 49
P

e

 





2 10

20 1 2

1 2

v t a t dt t dt C

t



     





 

0 30 10 30 20

v   C   C









2
0
0

20 5ln 1 2 20 5ln 5 100 108
1 2

S dt t t m

t

 

         



 



Hướng dẫn giải

thời gian cần tìm là t. Ta có: 5000 = 1000. e10r nên r =

/
m s
30

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0)

Gọi T là thời điểm ơ tơ dừng lại. Khi đó vận tốc lúc dừng là v(T) = 0
Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là

Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T.
Ta có suy ra s(t) là ngun hàm của v(t)

Vây trong ½ (s) ơ tơ đi được quãng đường là :

Câu 41: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc (m/s2). Vận
tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s .

A. 10 m/s B. 12 m/s C. 16 m/s D. 8 m/s.

Hướng dẫn giải

Ta có (m/s).

Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) .
Vậy vận tốc của vật sau 2s là: (m/s).
Đáp án B.

A: B: C: D:

( ) 0 40 20 0

2
v T    T   T

( ) '( )
v t s t

1/ 2
1

0 0

( ) ( 40 20) ( 20 20 ) 5( )
T

t

v t dt  t dt  t  t  m



( ) 3

a t  t t

2 3

(t) ( ) dt (3 t t) dt

2
t

v 



a t 



   t C

(0) 2 C 2

v

   

2
3 2

(2) 2 2 12

V    

20m 50m3 40m3 100m3

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên),
đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)

Gọi Parabol trên có phương trình ( ): (do (P) đi qua O)
là phương trình parabol dưới

Ta có ) đi qua I và A

Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là với là phần giới hạn bởi trong khoảng

Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần bê tông. Chọn đáp án C

P y1ax2bx c ax2bx

2 2

20 1

100 5

y ax bx ax bx

      

(P ( ) :1 1 2 2 4 2 2 2 4 1

625 25 625 25 5

P y x x y x x

        

1
2

S S S1 y y1; 2

(0; 25)

0,2 25

0 0,2

2 4 1

625x 25 5

2
9,9m



3
.0, 2 9,9.0, 2 1,98

V S   m  3

2m



3
40m



</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Câu 43: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt 
phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem
hình minh họa dưới đây)

Hình 1 Hình 2

Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2).Tính .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm
có đáy là nửa hình trịn có phương trình :

Một một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox tại
điểm có hồnh độ ,

Dễ thấy và

khi đó

suy ra thể tích hình nêm là :

Câu 44: Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên mỗi 
đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng

( ) 480 20 ( )

P n   n gam . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ
để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?

A.10 B.12 C.16 D.24

Hướng dẫn giải

0
45

V V

 

V 2250 cm3 V 225

 

cm3
4



 V 1250

 

cm3 V 1350

 

cm3

y  225x x2,   15;15

 

x



x  15;15



 

S x


NP y

 tan 450   15 2

MN NP y x

 

 1 .  1. 225



 2



2 2

S x MN NP x

 


 15



V S x dx



x dx



 

cm

2 3

15
1

. 225 2250

2





 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Gọi là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ . Khi đó : 
Cân nặng của một con cá là :

Cân nặng của con cá là :

Xét hàm số : . Ta có : , cho

Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch
nhiều nhất là con.

Câu 45: Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu một chuyến xe
chở x hành khác thi giá cho mỗi hành khách là

3 $

40
x
  

 

  . Chọn câu đúng:
A. Xe thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách.

B. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135$.
C. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160$.
D. Khơng có đáp án đúng.

Hướng dẫn giải

Số tiền thu được là :

2 3 2

( ) (3 ) 9

40 20 1600

x x

f x x   x x 

( )

f x 160 x40.

160$ 40

, đơn vị: cái )

nên chi phí lưu kho tương ứng là
Số lần đặt hàng mỗi năm là và chi phí đặt hàng là :

Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là:
Lập bảng biến thiên ta được :

Câu 47: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay 
doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua
vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này
thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy
mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này doanh nghiệp dự định giảm giá
bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một
năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau

n (n 0)

( ) 480 20 ( )

P n n gam

n 2

. ( ) 480 20 ( )

n P n n n gam

( ) 480 20 , (0; )

f n n n n f n'( ) 480 40n f n'( ) 0 n 12

1; 2500

x

10 5

x
x

2500

x

2500

(20 9 )x
x

2500 50000

( ) (20 9 ) 5 5 22500

C x x x x

x x

min (100) 23500

C C

Đạo hàm,lập bảng biến thiên ta tìm được GTLN của là khi
Vậy lợi nhuận thu được nhiều nhất là khi có hành khách.

Câu 46: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là 10$ 
một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi
cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi
phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

khi đã thực hiện giảm giá lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Hướng dẫn giải

Gọi x (x0, đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới. Khi đó:
Số tiền đã giảm là: 31x. Số lượng xe tăng lên là: 200(31x).
Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 600 200(31  x) 6800 200 x
Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là:(6800 200 ) x x

Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: (6800 200 ).27 x
Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là:

( )

L x  Doanh thu – Tiền vốn(6800 200 ) x x(6800 200 ).27 x  200x212200x183600
'( ) 400 12200.

L x   x Cho L x'( ) 0  x 30,5

Lập BBT ta thấy lợi nhuật lớn nhất khi x30,5. Vậy giá bán mới là 30,5(triệu đồng)

A. 2 250 000 B. 2 450 000 C. 2 300 000 D. 2 225 000

)
Khi đó số căn hộ bị bỏ trống là: (căn hộ).

(đồng/tháng).

Khảo sát hàm số trên .
.

.
Bảng biến thiên

X 0 250 000

T’ 0

T 2 250 000

x x 0

2
100 000

x

2
2 000 000 50

100 000
x

T x x

2
2
100 000 000 10

100 000
x
x

T x 0;

T x 10 4

100 000
x

' 0 1000 000 4 0 250 000

T x x x

Câu 48: Một cơng ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn 
hộ với giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người th và cứ mỗi lần tăng
giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100 000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ
trống.Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, cơng ti đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá trị bao
nhiêu một tháng? (đồng/tháng)

Hướng dẫn giải

Gọi (đồng/tháng) là số tiền tăng thêm của giá cho thuê mỗi căn hộ. (

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Do đó .

Vậy để có thu nhập cao nhất thì số tiền cho thuê một căn hộ mỗi tháng là 2 250 000 đồng.
Đáp án A

Câu 49: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích 12(cm3) và chiều cao
là 4cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao khơng

thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm là.

A. (12 13 15) cm 

 

2 . B. 12 13 cm

 

2 . C.12 13

 

15 cm . D.

 

(12 13 15) cm 

Ta có: 1 1 1 12 12 1 124 1 3

3 3

V  R h    R R 

2
1 1 1

2 2 2

2 2 2 2 2 1

1 1
2 1

1
3

1 4 2 6

V R h

V R

V R h R R

V R
h h






 




      



 



Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu: Sxp1R l1 13 16 9 15  

 

cm2
Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể tích:

 

2
2 2 2 6 16 36 12 13
xp

S R l     cm

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: S



12 13 15





 

cm2
0

max 250 000

x T x T

Hướng dẫn giải:

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Câu 50: Cho một tấm tơn hình trịn có diện tích 4π dm2. Người ta cắt thành một hình
quạt có góc ở tâm là α (0  2 ) như Hình 1 để làm thành một cái gầu múc nước hình
nón như Hình 2. Thể tích lớn nhất của cái gầu là:

A16 3 ( )3
27 dm



B. 3 ( )3
3 dm



C. 3 7 ( )3
9 dm



D. 2 2 ( 3)
3 dm



Hướng dẫn giải:

Ta có: đường sinh l của hình nón là bán kính 4 2
2

R  dm



  của hình trịn

Bán kính đáy của hình nón: 2
2

r  

 

 

Đường cao của hình nón: 2 2 2 2
2

2 4

h   

 

   

Khi đó thể tích hình nón: 2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1

( ) 4 4

3 3

V      

  

   

3
2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

'( ) 2 4

3 4

1 3 8

3 4

V     

  

 

  

 

    



 

  

  



 









2 3

2
0 0;2

2 6 1 8 2 3 16 3

'( ) 0 ( )

3 3 3 3 27

2 6 0;2

V V dm

 

 

   




 



 





       



   


Bảng biến thiên:
α

0 2 6

3


2π

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

V(α) 16 3
27



Chọn đáp án A

Câu 51: Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước 3m8m. Người ta cắt mỗi góc
của tấm bìa một hình vng có cạnh là x để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp. Với giá
trị nào của x thì thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất ?

A. 1
3

x m B. x1m C. 2

x m D. 4

3
x m
Hướng dẫn giải:

Ta có: 0 3
2
x

  Gọi thể tích hình hộp là: V(x). Khi đó:

3 2

2 2

( ) (3 2 )(8 2 ) 4 22 24

'( ) 12 44 24 4(3 11 6)

'( ) 0 2

V x x x x x x x

V x x x x x

x

V x

x

     

     




 

 


Lập bảng biến thiên,suy ra kết quả 2
3
x

Chọn đáp án C

%
75
,
0

A. 3180000 B. 3179000 C. 75000000 D. 8099000

Hướng dẫn giải:

Bài toán: Vay A đồng, lãi suất r/ tháng. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu để sau n tháng
thì hết nợ (trả tiền vào cuối tháng)?

Gọi a là số tiền trả hàng tháng
Cuối tháng 1: còn nợ A



1r



a

Cuối tháng 2: còn nợ



A



1r



a





1r



a A



1r



2a



1r



a

Cuối tháng 3: còn nợ



A



1r



2a



1r



a





1r



a A



1r



3a



1r



2a



1r



a
….

Cuối tháng n: còn nợ





















r
r
a
r
A
a
r

a
r

a
r
A

n

n
n

n 1 1

.
1

...
1

1   1  2      

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Để hết nợ sau n tháng thì số tiền a phải trả là:

















1
1
0

1
1

.
1














 n

n
n

n

r
r
Ar
a
r

r
a
r
A

Giải: Số tiền người đó phải trả hàng tháng:







1 0,75%



1 3180000
%

75
,
0
1
%.
75
,
0
.
100000000






Chọn đáp án A

Câu 53: Bác Bình có 100 triệu đồng đem gởi vào một ngân hàng. Ngân hàng cho biết lãi 
suất là 1%/tháng và được tính theo thể thức lãi kép. Để thu được số tiền lãi lớn nhất sau 2

năm thì bác Bình gởi theo kỳ hạn bao nhiêu tháng trong các kỳ hạn sau?

A. Kỳ hạn 3 tháng B. Kỳ hạn 4 tháng
C. Kỳ hạn 6 tháng D. Kỳ hạn 12 tháng
Hướng dẫn giải:

Số tiền lãi bác Bình nhận được

- Theo kỳ hạn 3 tháng: 100.10 . 1 0,036







8100.10626677008 (đồng).
- Theo kỳ hạn 4 tháng: 100.10 . 1 0,046







6100.10626531902 (đồng).
- Theo kỳ hạn 6 tháng: 100.10 . 1 0,066







4 100.10626247696 (đồng).
- Theo kỳ hạn 12 tháng: 100.10 . 1 0,126







2100.10625440000 (đồng).
Đáp án: A

A. 528 645 120 đồng B. 298 645 120 đồng
C. 538 645 120 đồng D. 418 645 120 đồng
Hướng dẫn giải:

Gọi Tn là số tiền vỗn lẫn lãi sau n tháng, a là số tiền hàng tháng gởi vào ngân hàng và

 

r là lãi suất kép. Ta có:
1 .

T a r ,





 



2 1 1

T  ar a  r a r











 







3 1 1 1 1

T  a r a  r a r a r
….













1 n ... 1 . 1 n 1 , 2

n

r

T a r a r a r n

r

 

        

Áp dụng với a20.106 đồng, r0,08, n24 tháng, ta có số tiền lãi.
Đáp án: B

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Câu 55: Một người vay ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi kép là 12%/năm. Hỏi người đó phải 
trả ngân hàng hàng tháng bao nhiêu tiền để sau đúng 5 năm người đó trả xong nợ ngân
hàng?

A. 88 848 789 đồng. B. 14 673 315 đồng.
C. 47 073 472 đồng . D. 111 299 776 đồng
.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là số tiền người đó vay ngân hàng ( đồng), a là số tiền phải trả hàng tháng và

 

r là lãi suất kép. Ta có:

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ nhất: R1 A



1r



- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ hai : R2



A



1 r



a





1 r



A



1r



2a



1r



- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ ba:















 











3 1 1 1 1 1 1

R  A r a  r a  r A r a r a r
….

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ n : RnA



1r



na



1r



n1 ... a



1r



Tháng thứ n trả xong nợ:









. . 1

1 1

n

n n

A r r

R a a

r

  

 

Áp dụng với A1.109 đồng, r0,01, và n24, ta có a47073472
Đáp án: C

A. 50 và 25 B. 35 và 35 C. 75 và 25 D. 50 và 50
Hướng dẫn giải

Gọi x

 

m



0 x 50



là chiều rộng của hình chữ nhật
Khi đó, chiều dài của hình chữ nhật là 100 2x

Nên diện tích của hình chữ nhật là x



100 2 x



 2x2100x
Gọi

 

2 2 100

f x   x  x với điều kiện 0 x 100

 

4 100
f x x

    . Cho f x

 

   0 4x 100 0  x 25
Bảng biến thiên:

x 0 25 50

 

f x  0 

 

f x 1250

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

0 0
Dựa vào bảng biến thiên ta có

0;50

   

25 1250

max f x  f 

Vậy: Để rào khu đất ấy có diện tích lớn nhất theo hình chữ nhật có chiều rộng bằng 25và
chiều dài bằng 50

Đáp án: A

Câu 57: Một xe chở hàng chạy với vận tốc 25 m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, 
xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t

 

  2 25t (m/s), trong đó t là khoảng thời
gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn,
xe còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 625

4 m B.
625

2 m C. 2 m D.

25
2 m
Hướng dẫn giải:

Xe chở hàng còn đi thêm được 25
2 giây

Quãng đường cần tìm là:





625
2 25

4
s



 t dt

Đáp án: A

A. 32768 B. 1048576 C. 33554432 D. 1073741826

 

2t

f t  với t (ngày)
Nên 21532768

2 1048576
25 335 2

2  5443

30 1073 4
2  74182
Đáp án : D

Câu 59: Ông An gửi a VNĐ vào ngân hàng với lãi suất 0

5%/tháng. Biết rằng nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi
sẽ được nhập vào vốn ban đầu Để sau 10 tháng ông An sẽ nhận được 20 000 000 VNĐ
thì a ít nhất là bao nhiêu:

A. 19 026 958 B. 19 026 959 C. 19 026 960 D. 19 026 9588
Hướng dẫn giải

Câu 58: Một loại bèo Hoa dâu có khả năng sinh trưởng rất nhanh. Cứ sau một ngày (24 
giờ) thì số lượng bèo thu được gấp đơi số lượng bèo của ngày hơm trước đó. Ban đầu
người ta thả một cây bèo vào hồ nước (hồ chưa có cây bèo nào) rồi thống kê số lượng bèo
thu được sau mỗi ngày. Hỏi trong các kết quả sau đây, kết quả nào không đúng với số
lượng bèo thực tế.

Hướng dẫn giải :

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Áp dụng công thức lãi kép:





n

c p r trong đó p là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kỳ, n
là số kỳ gửi, ta có: 20000000a



1 0,005



10 a 19026958,81

Đáp án A

Câu 60: Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng. Hỏi nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi 
suất 1,65% một quý thì sau hai năm người đó nhận được số tiền (triệu đồng) là bao
nhiêu?

A. 10.(1,0165)8. B. 10.(0,0165)8. C. 10.(1,165)8. D. 
8

10.(0,165) .
Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức lãi kép:





n

c p r trong đó p là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kỳ, n
là số kỳ gửi, Vậy sau 2 năm ( 8 quý) người đó thu được số tiền là:

8
1,65
10 1

100
c   

 

Đáp án A

được thể tích nước tràn ra ngồi là 16 ( )3
9 dm

 . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên

Tính diện tích xung quanh Sxq của bình
nước.

A. 9 10 ( )3
2

xq

S   dm .

B. Sxq 4 10(dm3).
C. Sxq 4 ( dm3).
D. 4 ( )3

2
xq

S   dm .

Hướng dẫn giải

Câu 61: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có đáy) đựng đầy nước. Biết rằng 
chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

- Gọi bán kính đáy hình nón là R, chiều cao h
Ta có h 3R

- Chiều cao của khối trụ là h1 2R , bán kính đáy là r
- Trong tam giác OHA có H A' '/ /HA

' ' ' 1

3 3

r H A OH R

r

R HA OH

     

- Thể tích khối trụ là

3
2

1 29 169 2
R

V r h      R
- Đường sinh của hình nón là

2 2 9 2 2 2 10
l OA  OH HA  R R 

- Diện tích xung quanh Sxq của bình nước
4 10

xq

S Rl 
Đáp án B



A. 2 3 3

27 R B.

3
2

27R C.

3
2 3

9 R D.

3
4 3

27 R

Hướng dẫn giải 
Đáp án A

Thể tích cái phễu là : V= 1 2
3r h
Ta có chu vi đáy là: 2 r Rx

H'

A

O
H

A'

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

2 2

2 2 2 2 2

, 4

2 4 2

Rx R x R

r h R r R  x

  

       

Suy ra lúc này :

3 2 2 2
2

1 4

(0 2 )

3 24

R x x

V r h  x 





   

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có :

3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 3 2

2 2 2 4 3

2 2

3 2 3 4 3 16

. . 4 . 4 .

48 3 2.48 3 2.48 3

1 3 16 1 3 16 2 3

. .

8 48 3 8 48 9 27

R R R

V x x x x x x

R R

x x R

    

  

 

   

         

   

  

      

 

 

Dấu bằng có khi và chỉ khi

2 2

2 2 2

2 2
3

16 3

x

x x

 




  

  



  



Suy ra thể tích khối nón đật giá trị lớn nhất đạt tại 2 2
3

x và GTLN đó là 2 3 3
27 R

A. 
2

a b

B. 
2
a b

C. ab D. a

b
Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi độ dài cần điều chỉnh là x . Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
Diện tích miếng bìa sau khi điều chỉnh là: 1 2

( )( ) ( )

2
S  ax bx  a b

Dấu bằng có khi và chỉ khi:

2
a b
a    x b x x 

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Câu 64: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. 
Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x
(m) là độ dài cạnh BC. Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất.

A. x= 2 B. x=2 2 C. x=3 2 D. x=5 2

Hướng dẫn giải 
Đáp án D

Ta có: 2 2

5 100 ( ), 0 10

V  x x m  x

Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi 2

100 5 2

x x  x

v

 

E v cv t.Trong đó c là một hằng số, E có đơn vị là jun. Tìm vận tốc của thuyền khi
nước đứng yên để năng lượng tiêu hao của du khách khi chèo thuyền là ít nhất.

A. 7 km/h B. 5 km/h C. 6 km/h D. 9 km/h

6
v

Thời gian thuyền đi được 400 km là: 400
6
t

v



 do đó:

 

3
400

6
cv
E v

v




Do c0nên để năng lượng tiêu hao của du khách khi chèo thuyền là ít nhất thì E v

 

đạt

giá trị nhỏ nhất khi hàm số

 





400

, 6;
6

cv

E v v

v

  

 đạt giá trị nhỏ nhất khi hàm số

 





3 2

1 2

0
800 7200

' 0

9
6

v

v v

E v

v
v





   



 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy nên E(v) đạt giá trị nhỏ nhất khi v9km h/ .

Vậy vận tốc của thuyền khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao của du khách khi chèo
thuyền là ít nhất là v9km h/

Câu 65: Một vị khách du lịch chèo thuyền ngược dịng sơng Amazon để thăm quan 
phong cảnh thiên nhiên ở đây, đoạn đường mà vị khách đó đi được là 400 km. Vận tốc
dịng nước là 6km/h. Nếu vận tốc của thuyền khi nước đứng yên là (km/h) thì năng
lượng tiêu hao của du khách khi chèo thuyền trong t giờ được tính bởi cơng thức:

Hướng dẫn giải

Đáp án D

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Câu 66: Một bình chứa nước sinh hoạt gia đình được cơng ty Tân Á thiết kế gồm một 
hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước cho trên hình bên, kích thước chiếu cao

' 2,83

AA  m; bán kính mặt cầu là x. Gọi OO'h là chiều cao của phần hình trụ. Để bình
chứa được nhiều nước nhất thì tổng



x h



bằng bao nhiêu?

A.2,11m B.1,535m C.2,341m D.1, 698m
Hướng dẫn giải

Gọi chiều cao là chiều cao của phần hình trụ
là bán kính của hai hình cầu nên

Thể tích:

Xét hàm

Ta có: đạt được khi

Vậy

Câu 68: Công ty m phẩm MILANO vừa cho ra mắt sản phẩm mới là chiến thỏi son 
mang tên Lastug có dạng hình trụ ( Như hình) có chiều caoh (cm), bán kính đáy r (cm),
thể tích yêu cầu là 3

20, 25 ( cm ) mỗi thỏi.

Biết rằng chi phí sản suất cho mỗi thỏi son như vậy được xác định theo công thức
2

60000 20000

T r  rh (đồng)
Để chi phí sản suất là thấp nhất thì tổng (rh) bằng bao nhiêu?

'
OO
, '

OA O A

' ' ' ' ' '

OAO A  x AA OA OO O A
2,83    x h x h 2x h 2,83 2 x







2 3



2 1 1 2 2 1 3 8, 49 5

2. . 2,83 2 .

2 3 3 3

x x

V R h R x  x   x  

 



8, 49 2 5 3





0;1, 415



x x

V x   x

 



16,98 2 5 3



 

' 0

3 1.132

x x x L

V x

x m

   

   




 



1,132



 



1,132



V x V maxV x V x1,132m

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

A. r h 9,5 B. r h 10,5 C. r h 11, 4 D. r h 10, 2
Hướng dẫn giải

Chọn: Đáp án B

Thể tích mỗi thỏi son: 2

2
20.25
20.25

V r h h

r

 

   

Chi phí: 2 2 405000

60000 20000 60000

T r rh r

r

   

Xét hàm:

 

2 405000 2 202500 202500 3 2 202500 202500

60000 60000 3 60000 . . 405000

T r r r r

r r r r r

      

Dấu”” xảy ra khir1.5 h 9

Vậy chi phí thấp nhất là405000 đồng thìr h 10.5.

A. 3

20 m B. 3

10 m C. 2m D. 3

15 m
Hướng dẫn giải

Đáy hình vng cạnh a và đường cao tương ứng của hình hộp chữ nhật là b với a b, 0
Theo đề ta có:

2 2 3 2 3

10 40 20 20 20 20

2 2 3 2 6 100

2 4 tp

tp
a b

S a a a

a a a a a

S a ab

 

          



 



Dấu bằng xảy ra khi 2 20 3

2a a 10

a

   (mét). Chọn B.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Câu 70: Người ta cắt miếng bìa hình tam giác đều cạnh bằng 1 như hình bên, sau đó gấp 
theo các đường kẻ, dán các mép lại để được hình tứ diện đều. Tính thể tích của tứ diện
tạo thành?

A. 2

96 B.

3
16
C. 3

32 D.

2
12

Hướng dẫn giải 
Đáp án A

Vì hình tứ diện đều nên ta chỉ cần quan tâm cạnh của tứ diện đều này. Dễ thấy cạnh này
bằng a 1



Xét tứ diện đều ABCD, Gọi H là tâm của tam giác đều ABC. Lấy M là trung điểm của
BC

Ta có: 2AM a 3 2 2 a 6

AH DH DA DH

3 3 3

     

3
ABC
ABCD

DH.S a 2 2

3 12 96

   

A. 4 cm3 B. 16 cm3
C. 4

3 cm

3 D. 64

3 cm

3

Hướng dẫn giải

Đáy lăng trụ là hình lập phương cạnh 1cm và chiều cao lăng trụ bằng 4. Thể tích lăng trụ
là 2

 

1 x44 cm

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Câu 72: Bạn Hoa đi từ nhà ở vị trí A đến trường học tại vị trí C phải đi qua cầu từ A đến 
B rồi từ B tới trường. Trận lũ lụt vừa qua cây cầu bị nhập nước, do đó bạn Hoa phải đi 
bằng thuyền từ nhà đến một vị trí D nào đó ở trên đoạn BC với vận tốc 4km h/ sau đó đi
bộ với vận tốc 5km h/ đến C. Biết độ dài AB3km BC, 5km. Hỏi muộn nhất mấy giờ
bạn Hoa phải xuất phát từ nhà để có mặt ở trường lúc 7h30 phút sáng kịp vào học?

A. 6h03 phút
B. 6h16 phút
C. 5h30 phút
D. 5h34 phút

Hướng dẫn giải

Gọi BDx km; DC y km. Khi đó BCBDDC  x y 5

Xét tam giác ABD vng tại B có 2 2 2

9
AD AB BD  x 
Thời hạn bạn Hoa đi từ AD là

2
9
4

A D
x

t    h. Thời gian bạn Hoa đi từ DC là

5
D C

y
t   h

Khi đó tổng thời gian bạn Hoa đi từ nhà đến trường là

 

2 2

9 9 5

4 5 4 5

x y x x

T     f x    

Xét hàm số

 

9 5

4 5

x x

f x     , có

 

' ; ' 0 5 4 9

4 9

x

f x f x x x

x

     



4
x
  .

Dựa vào bảng biến thiên, ta được min

 

4 29 87
20

f x  f   phút.

Do đó bạn Hoa phải xuất phát muộn nhất từ nhà lúc 6h03 phút để có mặt ở trường lúc
7h30 phút. Chọn A.

Câu 73: Một hình lập phương có cạnh 4 cm. Người ta sơn đỏ mặt ngồi của hình lập 
phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập
phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1 cm. Có bao nhiêu hình lập phương có
đúng một mặt được sơn đỏ?

A. 8 B. 16 C. 24 D. 48

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Để ý rằng chỉ có những hình lập phương nằm mặt ngồi cùng của hình lập phương lớn
mới được tơ màu

Trên mỗi mặt của hình lập phương lớn, chỉ có 4 mặt của 4 hình lập phương nhỏ nằm ở
giữa là có đúng một mặt được sơn

Tính trên tất cả 6 mặt ta có 24 hình lập phương thỏa yêu cầu.

Câu 74: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giá vuông với c là độ dài cạnh huyền.

Ký hiệu b1 và b2 lần lượt là giá trị lớn nhất của

1000

1 2

a b
B log

c


 

  

  và

1000

2 2

3a 4b

B log

c


 

  

  . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. 2b13b28000 B. 1

b 1

b  4 C. 2b13b27000 D.

1
2

b 2

b  3
Hướng dẫn giải

Ta có: c2 a2 b2 1(a b)2 a b 2

2 c



     

1 2 2 1

a b

B 500 log 500 log 2 500 b 500

c


 

       

 

Lại có 25c2 (32 4 )(a2 2 b )2 (3a 4b)2 3a 4b 5c 3a 4b 5
c



         

1000

2 2 2 2 2 2

3a 4b

B log log 5 1000 log 5 b 1000 log 5

c


 

       

 

Đáp án C

A. 100 1,13





51 (triệu đồng) B.100 1,13





51 (triệu đồng) 
C. 100



0,13



51 (triệu đồng) D. 100 0,13





5 (triệu đồng)
Hướng dẫn giải

Ta có số tiền lãi là









100 1 13%   1 100 1.13 1 . Chọn A

Câu 76: Thầy Hùng ĐZ mua một chiếc xe giá 105 triệu. Một cơng ty tài chính đề nghị 
Thầy phải trả ngay 1.800.000 đồng tiền mặt 2.900.000 đồng cuối 2 năm tiếp theo và
2.000.000 đồng cuối các năm thứ ba và thứ tư. Biết lãi suất áp dụng là 5,85% hỏi Thầy

Hùng ĐZ sau bốn năm còn nợ bao nhiêu tiền ?

A. 35,5 triệu đồng B. 25 triệu đồng C. 4 triệu đồng D. 2 triệu đồng
Hướng dẫn giải

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Sau khi trả ngay lúc mua xe, Thầy Hùng còn nợ là 8,7 triệu đồng.
Sau hai năm tiếp theo, Thầy Hùng còn nợ là





8, 7 1 5,58% 2,96,85 triệu đồng
Sau năm thứ ba, Thầy Hùng còn nợ là 6,85. 1 5,85%







 2 5, 25 triệu đồng

Sau năm thứ tư, số tiền Thầy Hùng còn nợ là 5, 25 1 5,85%







 2 3,55 triệu đồng.
Chọn A

Câu 77: Áp suất khơng khí P (đo bằng mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng 
mét), tức là P giảm theo công thức xi

PP .e , trong đó P0 760mmHg là áp suất ở mực
nước biển (x0) , i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của khơng
khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất khơng khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu? (Chọn giá trị
gần nhất)

A. P530mmHg B.P350mmHg

C. P430mmHg D. P340mmHg

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có:









3
3

1000i 3 3000i

1000 0 1000 0 1000

3000 2

3000i 3000i

3000 0 3000 0

P P .e P (P ) .e P

P 530

(P )

P P .e P P .e



  

    

 

 

 

 

Đáp án A

 

24
HEHF  km

A. 5 3km B. 10 2km C. 5 5km D. 7,5km

Hướng dẫn giải

Đặt HEx và KF y, theo giả thiết ta có HEKF  x y 24

Xét các tam giác vuông AHE và BKF, ta được

2 2 2

25
49

AE AH HE x

BF BK KF y

    




   



Vì độ dài cầu EF là không đổi nên để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất
theo con đường AEFB thì AEEFFB ngắn nhất. Hay AEBF ngắn nhất.

Ta có 2 2

25 49

PAEBF  x   y  với x y 24,x0,y0
Câu 78: Hai thành phố A và B cách nhau

một con sông. Người ta xây dựng một cây
cầu EF bắt qua sông biết rằng thành phố A
cách con sông một khoảng là 5 km và thành
phố B cách con sơng một khoảng là 7 km
(hình vẽ), biết tổng độ dài

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức 2 2 2 2



 



a b  c d  a c  b d với mọi a b c d, , , 

Vì 2 2 2 2



 







0, , , ,
a b  c d  a c  b d  adbc  a b c d

Sử dụng bất đẳng thức trên, ta được 2 2 2 2



 



5 7 5 7 12 5

P x   y   xy   
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

5 7
x  y

suy ra x10, y 14 nên AE5 5km

Cách 2: Với x y 24 y 24  x P f x

 

 x225 x248x625, với 0 x 24

Có

 



  

2 2

' , x 0; 24 ; ' 0 10

25 48 625

x x

f x f x x

x x x



      

  

Do đó min f x

 

12 5 x 10AE5 5km. Chọn C.

A. 3 34 17 2

 

x  cm B. 3 34 19 2

 

x  cm

C. 5 34 15 2

 

x  cm D. 5 34 13 2

 

x  cm

Hướng dẫn giải

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S SMNPQ4xy
Cạnh hình vng 40 20 2

 

2 2

MP

MN    cm





20 2 4 800 4

S xy xy

     (1)

Ta có 2xAB MN AB20 2BD20 240 20 2   0 x 20 10 2

Lại có 2 2 2 2





2 2

40 2 20 2 1600

AB AD BD   x y 

2 2 2

800 80 2 4 800 80 2 4

y x x y x x

       

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Thế vào

 

2 2 3 4
1  S 800 4 x 800 80 x 24x 800 4 800 x 80x 24x

Xét hàm số

 

2 3 4

800 80 2 4

f x  x  x  x , với x



0; 20 10 2



có

 

2 3





' 1600 240 2 16 16 100 15 2

f x  x x  x  x  x x

Ta có





 









0; 20 10 2

0; 20 10 2 5 34 15 2

' 0 16x 100 15x 2 0

x
x

x

f x x

  

   

   

 

   

 

 

Khi đó 5 34 15 2
2

x  chính là giá trị thỏa mãn bài toán. Chọn C.

1m đất khi bán là
A. 112687500 VN đồng. B. 114187500 VN đồng. C. 115687500
VN đồng. D. 117187500 VN đồng

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là

  



, , , 0

x y m x y

Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng 50m2



xy



50 y 25x
Bài ra, ta có ngay mảnh đất được bán là một hình chữ nhật có diện tích là



 



2 25 2 625 625

25 25x 2x 2 78,125

8 8

2 2

S x yx x  x x    x     

 

Dấu "=" xả ra 2 25 0 25 25 25 175

8 8 8

2 2

x x y

        

Như vậy, diện tích đất nước được bán ra lớn nhất 78,125 m2
.

Câu 80: Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường đại học 
Bách Khoa Hà Nội. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến. Hoàn cảnh khơng được tốt
nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó
khăn hơn. Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50 m,
lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất cịn lại sau khi
bán là một hình vng cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số
tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền

1500000 VN đồng.

Hướng dẫn giải

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất là
78,125.1500000 117187500

Câu 81: Thầy Quang dự trù cho việc học tập của con trong tương lai bằng cách gửi tiền 
bảo hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hàng thán Thầy Quang đều đặn gửi vào cho con 
300 000 đồng với lãi suất 0,52% một tháng. Trong q trình đó Thầy Quang khơng rút
tiền ra. Đến khi con trịn 18 tuổi số tiền đó sẽ dùng cho việc học nghề và làm vốn cho
con. Hỏi khi đó số tiền Thầy Quang rút ra là bao nhiêu ?

A. 64 392 497 B. 65 392 497 C. 66 392 497 D. 67 392 497
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A:

Áp dụng cơng thức ta có:

A. 61800,67 B. 62800,67 C. 63800,67 D. 64800

a r 0, 25%

Ta có: a



1r

 

8 1 r



7  ...



1 r



50000
6180,067

a

Câu 83: Một người gửi vào ngân hàng 100.000.000 vnđ , kì hạn 1 năm thể thức lãi suất 
kép , với lãi suất 7,5%/ năm . Hỏi nếu để nguyên người gửi không rút tiền ra , và lãi suất
khơng thay đổi thì tối thiểu sau bao nhiêu năm người gửi có được 165.000.000 vnđ

A.9 năm B. 6 năm C. 8 năm D. 7 năm

Hướng dẫn giải:

Ta có:TP.(1r)n 165 100.(1 7.5%)  n  n 6,9
=>Cần 7 năm để có đủ số tiền như ý

Vậy đáp án là D





18 6 .12





300000

1 0,52% 1 1 0,52%

0,52% 64 392 497

T        

Câu 82: Ông A muốn rằng sau 8 tháng có 50000 USD để xây nhà. Hỏi rằng Ông A phải 
gửi vào ngân hàng mỗi tháng một số tiền (như nhau) bao nhiêu USD? Biết lãi suất là 0 
25% một tháng?

Hướng dẫn giải 
Đáp án A

Gọi số tiền người đó cần gửi ngân hàng hàng tháng là , lãi suất là



</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Câu 84: Bạn Hùng trúng tuyển vào Trường Đại học Ngoại Thương nhưng vì do khơng 
đủ nộp học phí nên Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm trả 4.000.000
đồng để nộp học phí với lãi xuất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp Đại học bạn Hùng phải trả
góp hàng tháng để số tiền t ( không đổi ) cũng với lãi suất 0

25%/tháng trong vịng 5 năm. Tính số tiền (t) hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho ngân 
hàng ( Làm tròn đến kết quả hàng đơn vị ).

A. 309718166 đồng B. 312518166 đồng C. 39840212 đồng D. 30960414 đồng
Hướng dẫn giải

Đáp án A

Tiền vay từ năm thứ nhất đến lúc ra trường , bạn Hùng nợ ngân hàng : 4000000(1+3%)4
Tiền vay từ năm thứ hai đến lúc ra trường , bạn Hùng nợ ngân hàng : 4000000(1+3%)3
Tiền vay từ năm thứ ba đến lúc ra trường , bạn Hùng nợ ngân hàng : 4000000(1+3%)2
Tiền vay từ năm thứ tư đến lúc ra trường , bạn Hùng nợ ngân hàng : 4000000(1+3%)
Vậy sau 4 năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là:



 



4000000 3% 3% 3% 7236543, 24

s          

Lúc này ta coi như bạn Hùng nợ ngân hàng khoản tiền ban đầu là 17.236.543,24 đồng,
 số tiền này bắt đầu được tính lãi và được trả góp trong 5 năm .

Ta có công thức:













60
60

. 7236543, 24 0, 0025 .0, 0025

3097 8, 66
0, 0025

n

N r r

t

r

  

     

   

.
. n i

SA e

94000000 i1,06%

A. 6 B. 5 C. 8 D. 7

Hướng dẫn giải

Giả sử sau ít nhất n năm nữa thì dân số Việt Nam vượt quá 100 triệu người, áp dụng
cơng thức trên ta có: 94000000. n.0,0106 100000000

e  . Giải bất phương trình ẩn n suy ra
6

n

Đáp án A.

Câu 86: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn 
hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người th và cứ tăng thêm
giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn
có thu nhập cao nhất thì cơng ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một
tháng.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Nếu tăng giá th mỗi căn hộ là x (đồng/tháng) thì sẽ có 2
100.000

x

căn hộ bỏ trống.

Khi đó số tiền công ty thu được là:



2.000.000



50 2

100.000
x

S x   

 

Xét hàm số ( ) 2.000.000





50 2 , 0
100.000

x

f x  x     x

 

'( ) 10 0 250.000

100.000
x

f x     x

Hàm số f x( ) đặt max  x 250.000
Giá tiền thuê mỗi căn hộ là: 2.250.000 đ.
Đáp án: D. 2.250.000

A. . B. . C. . D. .

x 200x



31 27 600 200





S  x  x







( ) 200 4 3 200(12 ),x 0

S x  x x   x x 

x ( )S x đạt được  x 0.5.

Vậy doanh nghiệp bán xe với giá là 30.5 triệu đồng.
Đáp án D.

Câu 88: Ta có một miếng tơn phẳng hình vng với kích thước a(cm), ta muốn cắt đi ở 4
góc 4 hình vng cạnh bằng x cm( ) để uốn thành một hình hộp chữ nhật khơng có nắp.
Phải cắt như thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?

A. .

4
a

x . B. .

5
a

x . C. .

6
a

x D. .

7
a
x .

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh của hình vng bị cắt là x,(0 x a).

29 29 5, 32 30 5.

Câu 87: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, 
doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí
mua vào là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì
số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy
mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá
bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một
năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định bán với giá bán mới là bao
nhiêu triệu đồng để sau khi đã thức hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?

Hướng dẫn giải

Giả sử giảm (triệu đồng) một xe thì số xe bán ra tăng lên là
Lợi nhuận thu được là

Xét hàm số
x
'(

S x)200(1 )0x0.5
2

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Ta có thể tích hình hộp là: ( 2 )2 14 ( 2 )2
4

Vx a x  x a x .
Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho 3 số: 4 ,x a2 ,x a2x0

Ta có :

3 3 3

4 2 2

1 1 8. 2

4 3 4 27 27

x a x a x a a

V        

 

V lớn nhất khi và chỉ khi : 4 2

6
a
x a  x x 

Vậy để thể tích hộp lớn nhất, cần cắt bốn góc bốn hình vng có cạnh .

Câu 89: Giả sử rằng mối quan hệ giữa nhu cầu thị trường và sản lượng gạo của một 
doanh nghiệp X được cho theo hàm 656 1 ;

D D

Q   P Q là lượng gạo thị trường cần và P là
giá bán cho một tấn gạo. Lại biết chi phí cho việc sản xuất được cho theo hàm

 

3 77 2 1000 100;

C Q Q  Q  Q C là chi phí doanh nghiệp X bỏ ra, Q (tấn) là lượng gạo
sản xuất được trong một đơn vị thời gian. Để đạt lợi nhuận cao nhất thì doanh nghiệp X
cần sản xuất lượng gạo gần với giá trị nào nhất sau đây?

A.51 tấn B. 52 tấn C. 2 tấn D. 3

tấn

Hướng dẫn giải 
Do QD  0 P 1312

Số tiền thu được khi bán QD tấn gạo là . 656 1 2
2
D

Q P P P

Chi phí sản xuất QD tấn là

 

3 2

77 1000 100

1 1 1

656 77 656 1000 656 100

2 2 2

D D D D

C Q Q Q Q

P P P

   

     

          

     

Suy ra số tiền lãi là : y Q P C Q D. 

 

D

Lợi nhuận lớn nhất khi y đạt giá trị lớn nhất.

3 2

1 1 1 1

656 656 77 656 1000 656 100

2 2 2 2

y P P   P    P    P

     

 

3 1 1

' 656 77 656 1156

2 2 2

1208
' 0

1316

y P P P

P n

y

P l

   

        

   



  




Lập bảng biến thiên ta được y đạt giá trị lớn nhất khi P1208

6 a

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Vậy 656 1 52
2
D

Q   P nên chọn B

Câu 90: Người ta khâu ghép các mảnh da hình lục 
giác đều màu sáng và ngũ giác đều màu sẫm để tạo
thành quả bóng như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu mảnh
da mỗi loại?

A. 12 hình ngũ giác và 20 hình lục giác
B. 20 hình ngũ giác và 12 hình lục giác
C. 10 hình ngũ giác và 20 hình lục giác
D. 12 hình ngũ giác và 24 hình lục giác

m

M m n 

5m3n
Số cạnh của đa diện là 5 6

m n

C 

5 3 12

5 6 20

5 2

m n

m

m n

n
m m n



  

 

       



A. 5,00cm B. 5,41cm D. 4,8cm D. 5,21cm

Hướng dẫn giải

Áp dụng cơng thức tính diện tích của đa giác lồi đều n cạnh là:

2
0
180
4tan

4
a n
S

và cơng thức tính diện tích mặt cầu 4 2

S R ta được phương trình

2 2

0 0

5 6

12. 20. 4. .13 5,41

180 180

4tan 4tan

5 6

a a

a cm



   

Hướng dẫn giải

Gọi là số mặt ngũ giác và n là số mặt lục giác. 
Khi đó số mặt của hình đa diện là .

Mỗi mặt ngũ giác tiếp xúc với 5 mặt lục giác, mỗi mặt lục giác tiếp xúc với 3 mặt lục
giác khác do đó ta có phương trình: .

Số đỉnh của đa diện là Đ = 5m

Theo cơng thức Euler ta có Đ + M = C + 2 từ đó ta có hệ phương trình

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Câu 92: Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng trong thời gian 10 năm với lãi suất 
5% một năm. Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn bao nhiêu nếu
ngân hàng trả lãi suất

12
5

% một tháng.

A.Nhiều hơn 1811486 đồng. B. Ít hơn 1811486 đồng.

C. Như nhau. D. Nhiều hơn 1811478 đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi số a là tiền gửi tiết kiệm ban đầu, r là lãi suất, sau 1 tháng sẽ là: a(1+r)
sau n tháng số tiền cả gốc lãi T = a(1 + r)n

 số tiền sau 10 năm: 10000000(1+
12

)10 = 162889462, 7 đồng
Số tiền nhận sau 10 năm (120 tháng) với lãi suất 5/12% một tháng:

10000000(1 +

100
.
12

)120 = 164700949, 8 đồng

A.1637640 đồng. B. 1637639 đồng.

C. 1637641 đồng. D. 1637642 đồng.

a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = [(1+m) -1] 2
[(1+m)-1]

a

= [(1+m) -1] 2
m

a

Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền là:
T2= [(1+m) -1] 2

m
a

+ [(1+m) -1] 2
m

a

.m = [(1+m) -1] 2
m

a

(1+m)

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là Tn:

Tn = (1+m)

số tiền gửi theo lãi suất 5/12% một tháng nhiều hơn: 1811486,1 đồng
Đáp án: A.

Câu 93: Một người muốn sau 1 năm phải có số tiền là 20 triệu đồng để mua xe. Hỏi 
người đó phải gửi vào ngân hàng 1 khoản tiền như nhau hàng tháng là bao nhiêu. Biết lãi
suất tiết kiệm là 0,27% / tháng.

Hướng dẫn giải

Xây dựng bài toán: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng). Biết 
lãi suất hàng tháng là m%. Hỏi sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Áp dụng công thức với Tn = 20 000000; m = 0,27% = 0,0027; n = 12. ta suy ra:

a = 1 637 639,629 đồng

Đáp án: A.

Câu 94: Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 
tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định. Hỏi hàng tháng,
người đó phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để
đến tháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng?

A. 1361312 đồng. B.1361313 đồng.

C. 1361314 đồng. D. 1361315 đồng.

- Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: N 1
100

m

  

 

  – a đồng.

- Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:

. 1 1

100 100

m m

N a a

      
   
    
  =
2
. 1
100
m
N  

  – . 1 100 1
m
a    

 

 đồng.

- Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là:
2

. 1 1 1 1

100 100 100

m m m

N a a

 

         
      

 

 

  =N

3
1
100
m
  
 

  –a[

2
1
100
m
  
 
  +
N 1
100

n
m
  
 

  – a [

1
1
100
n
m 
  
 
  +
2
1
100
n
m 
  
 

  +...+ 1 100
m

  

 

 +1] đồng.

Đặt y = 1
100

m

  

 

 , thi ta có số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n sẽ là:

Nyn – a (yn-1 +yn-2 +...+y+1). Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có :
Nyn = a (yn-1 +yn-2 +...+y+1) 

Thay bằng số với N = 50 000 000 đồng, n = 48 tháng, y = 1,0115 ta có :a = 1361312,807
đồng.

Đáp án: B.

1
100
m
  
 
 

a =

=

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền vay của người đó là N đồng, lãi suất m% trên tháng, số tháng vay là n, số tiền
phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là a đồng.

 

+1] đồng

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Câu 95: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách 
các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, 
khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức

 

75 20ln



1 ,



M t   t t (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ
được danh sách đó dưới 10%?

A.24.79 tháng B. 23 tháng C. 24 tháng D. 22 tháng

Hướng dẫn giải

Theo cơng thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn:









75 20ln 1  t 10ln t 1 3.25 t 24.79
Đáp án: A.

Câu 96: Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên

truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được 
phát thì số % người xem mua sản phẩm là ( ) 1000.015 , 0

1 49 x

P x x

e

 

 . Hãy tính số quảng cáo

được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%.

A.333 B. 343 C. 330 D. 323

 

1.5

100

100 9.3799%

1 49
P

e

 



Khi có 200 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:





100

200 29.0734%

1 49
P

e

 



Khi có 500 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:





7.5

100

500 97.3614%

1 49
P

e

 



Đáp án: A.

Câu 97: Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép.
Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1 một quý trong thời gian 15 tháng.
Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,73 một tháng trong thời gian 9 tháng.
Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là 27507768,13 (chưa làm trịn). Hỏi số tiền ơng
Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?

A.140 triệu và 180 triệu. B.180 triệu và 140 triệu.
C. 200 triệu và 120 triệu. D. 120 triệu và 200 triệu.
Hướng dẫn giải

Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ơng Năm nhận được từ cả hai ngân hàng là
347,50776813triệu đồng.

Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó 320 x (triệu đồng) là số tiền gửi
Hướng dẫn giải

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

5 9

(1 0,021) (320 )(1 0,0073) 347,50776813

x   x  

Ta được x140. Vậy ông Năm gửi 140 triệu ở ngân hàng X và 180 triệu ở ngân hàng Y.
Đáp án: A

Câu 98: Để tăng chất lượng cơ sở cho việc dạy học ở fanpage Toán Học Bắc Nam của 
mình năm học 2017 thầy T đã làm hợp đồng vay vốn với ngân hàng với số tiền là 150 
triệu đồng với lãi suất m%/tháng . Thầy T muốn hoàn nợ lại cho ngân hàng theo cách 
sau đúng một tháng kể từ ngày thầy T vay vốn thầy T bắt đầu hoàn nợ hai lần hoàn nợ 
liên tiếp cách nhau một tháng số tiền hoàn nợ mỗi tháng là như nhau và cách nhau 5
tháng kể từ ngày thầy T bắt đầu kí hợp đồng vay vốn số tiền mỗi lần thầy T phải trả cho 
ngân hàng là 30072 triệu đồng biết rằng lãi suất ngân hàng khơng thay đổi trong thời
gian thầy T hồn nợ vậy giá trị của m gần đúng với giá trị nào sau đây nhất:

A. 0,09% /tháng B. 0,08% /tháng C. 0,07% /tháng D. 0,1% /tháng

5
5

. (1 ) 150. %.(1 %)

30, 072 % 0, 08%

(1 ) 1 (1 %) 1

n

A r r r r

a r

r r

 

    

   

A.1.238.500đ B. 1.174.000đ C. 1.283.500đ D. 1.238.000đ
Hướng dẫn giải

Ở hình thức số 2 số tiền khách phải trả ngay là 18.790.000đ x 0,5 = 9.395.000đ
Số tiền còn lại phải trả trong 8 tháng là: 9.395.000đ

Tiền lãi là 0% có nghĩa là số tiền cịn lại chia đều trong 8 tháng
Vậy mỗi tháng phải trả góp là: 9.395.000đ + 64.500đ = 1.2385.500đ
Đáp án A.

Hướng dẫn giải

Áp dụng cơng thức tính lãi suất trả trong hàng tháng theo định kỳ

“Vay A đồng lãi r/tháng, hỏi phải trả bao nhiêu hàng tháng để sau n tháng thì trả hết nợ (
trả tiền định kỳ vào cuối tháng)”

Ta có cơng thức tính như sau.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Câu 100: Hiện tại hệ thống các cửa hàng điện thoại của Thế giới di động đang bán 
Iphone 7 32GB với giá 18.790.000đ. Người mua có thể chọn 03 hình thức mua điện

thoại. Hình thức 1 trả tiền ngay lập tức 18.790.000đ. Hình thức 2 trả trước 50% còn lại
50% chia đều cho 08 tháng mỗi tháng, tiền phí bảo hiểm 64.500đ/tháng. Hình thức 3 trả
trước 30%, số tiền còn lại chia đều cho 12 tháng, tiền bảo hiểm 75.500đ/tháng. Nếu lãi
suất ở hình thức 3 là 1,37%/tháng, thì tổng số tiền hàng tháng khách hàng phải trả là(làm
tròn đến 500đ).

A.1.351.500đ B. 1.276.000đ C. 1.276.500đ D.

1.352.000đ

1.276.000đ +75.500đ = 1.351.500đ
Đáp án A.

A.19.303.000đ B. 18.790.000đ C. 21.855.000đ D. 19.855.000đ
Hướng dẫn giải

Số tiền ban đầu khách phải trả khi mua theo hình thức 2 là : 9.395.000đ (một nửa số tiền)
Với lãi suất 0% trong 8 tháng người khách hàng phải trả một nửa số tiền còn lại và tiền
bảo hiểm trong 8 tháng

Vậy tổng sổ tiền khách phải trả để mua hàng theo hình thức 2 là
9.393.000đ x 2 + 64.500đ x 8 = 19.303.000đ

Số tiền này nhiều hơn so với mua ngay sản phẩm là 513.000đ
Đáp án A.

Hướng dẫn giải

Số tiền khách phải trả ngay lúc đầu theo hình thức mua thứ 3 là:
18.790.000đ x 0,3 = 5.637.000đ

Số tiền còn lại phải trả trong 12 tháng là: 18.790.000đ – 5.637.000đ = 13.153.000đ
Lãi suất 1,37%/tháng

Vậy lãi suất 1 năm là : 12 x 1,37% = 16,44%/năm

Tổng số tiền phải trả cả lãi là : 13.153.000đ x (1+ 16,44%) = 15.315.353,2đ

Mỗi tháng người mua phải trả góp số tiền là : 15.315.353,2 : 12 = 1.276.279đ làm tròn
thành 1.276.000đ

Kể cả tiền bảo hiểm tổng số tiền người mua phải nộp 1 tháng là:

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Câu 102: Hiện tại hệ thống các cửa hàng điện thoại của Thế giới di động đang bán 
Iphone 7 32GB với giá 18.790.000đ. Người mua có thể chọn 03 hình thức mua điện
thoại. Hình thức 1 trả tiền ngay lập tức 18.790.000đ. Hình thức 2 trả trước 50% còn lại
50% chia đều cho 08 tháng mỗi tháng, tiền phí bảo hiểm 64.500đ/tháng. Hình thức 3 trả
trước 30%, số tiền còn lại chia đều cho 12 tháng, tiền bảo hiểm 75.500đ/tháng. Nếu lãi
suất ở hình thức 3 là 1,37%/tháng, thì số tiền khách hàng phải trả khi mua sản phẩm
là(làm tròn đến 500đ).

A.21.858.000đ B. 20.952.000đ C. 19.303.000đ D. 21.800.000đ

A.1,37% B. 1,644% C. 12% D.2,42%

Hướng dẫn giải

Số tiền bảo hiểm 12 tháng là: 12x 75.500đ = 906.000đ

Số tiền khách hàng trả ngay ban đầu là: 18.790.000đ x 0,3 = 5.637.000đ

Số tiền tính cả lãi khách hàng phải trả là:

21.858.000đ – 5.637.000đ – 906.000đ = 15.315.000đ
Số tiền thực phải trả: 18.790.000đ x 0,7 = 13.153.000đ

Số tiền lãi trong 12 tháng phải trả là: 15.315.000đ – 13.153.000đ = 2.162.000đ
Lãi suất 1 năm là: (2.162.000 : 13.153.000)x100% = 16,44 %

Vậy lãi suất 1 tháng là : 16,44 : 12 = 1,37%
Đáp án A.

Hướng dẫn giải

Lãi suất 1 năm của hình thức số 3 là: 12 x 1,37% = 16,44%

Số lãi này tính vào số tiền khách hàng chưa trả được ngay khi mua điện thoại.
Tức là tính vào 18.790.000đ x 0,7 = 13.153.000đ

Tổng số tiền cả lãi là: 13.153.000đ x (1+ 16,44%) = 15.315.353,2đ
Tổng số tiền người mua phải trả là:

Số tiền trả ngay ban đầu + số tiền cả lãi trong 12 tháng + số tiền bảo hiểm 12 tháng
= 5.637.000đ + 15.315.353,2đ + 75.500đ x12 = 21.858.353,2đ

Làm tròn thành 21.858.000đ – Giá này đắt hơn mua ngay 3.068.000đ
Đáp án A.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Câu 104: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5km. Trên bờ 
biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể
chèo đị từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc

6km/h (xem hình vẽ dưới đây). Tính độ dài đoạn BM để người đó đến kho nhanh nhất.
A. 74

4 B.

29
12

C. 29 D. 2 5

Hướng dẫn giải

Trước tiên, ta xây dựng hàm số f x

 

là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải
đi.

Đặt BM x thì ta được: MC 7 x AM,  x225. Theo đề bài, Người canh hải đăng có

 

f x

 

2 25 7 3 2 25 2 14

4 6 12

x x x x

f x         với x

 

0;7

 

f x

 

1 23

' 2 .

12 25

x
f x

x

 

   



 

 

2
2
3

' 0 2 0 3 2 25 0

2 25 3

5 100 2 5 2 5.

0 0

x

f x x x

x

x x

x

x x

       



  



    

   

  

 

Hàm số f x

 

liên tục trên đoạn

 

0;7 và ta có:

 

0 29 , 2 5

 

14 5 5, 7

 

74.

12 12 4

f  f   f 

Vậy giá trị nhỏ nhất của f x

 

là 14 5 5
12



tại x2 5. Khi đó thời gian đi là ít nhất và
điểm M nằm cách B một đoạn BM x 2 5.

Vậy đáp án là D.

C 
A

M

5km

7km

B

thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc
6km/h , như vậy ta có hàm số được xác định như sau:

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Câu 105: Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sơng như hình 
vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A
đến bờ sông để lấy nước và mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó phải đi là:

A. 569,5m B.671,4m

C. 779,8m D. 741,2m

Hướng dẫn giải

369, 492.

BD EF EMx,





2 2 2

492 , 118 , 492 487 .

MF x AM x  BM x 

Như vậy ta có hàm số f x

 

được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:

 

2 1182



492



2 4872

f x  x   x  với x



0;492



Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x

 

để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác
định được vị trí điểm M.

 





2 2 2 2

492

' .

118 492 487

x x

f x

x x



 

  

Sông

487m
615m

118m

A

B

Ta giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B.

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

 































 



2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

492

' 0 0

118 492 487

492

118 492 487

492 487 492 118

0 492

487 58056 118

0 492

58056 58056 5

605 369

0 492

x x

f x

x x

x x

x x x x

x

x x

x

x hay x

x
x



   

  



 

  

     

      

  

 
 


  



 

 


   



  

  


8056
605

Hàm số f x

 

liên tục trên đoạn



0;492



. So sánh các giá trị của f(0), 58056
605
f 

 , f



492



ta có giá trị nhỏ nhất là 58056 779,8
605

f   m

 

theo cách 2. Tính tỉ số 1
2
V
V
(Hình 1)

(Hình 2)

Khi đó qng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m.
Vậy đáp án là C.

Câu 106: Từ một tấm tơn hình chữ nhật kích thước 50cm X 120cm, người ta làm các 
thùng đựng nước hình trụ có chiều (xem hình dưới đây):

Cách 1: Gị tấm tơn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng có chiều cao 50cm. (Hình
1)

Cách 2: Gị tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng có chiều cao 120cm. (Hình
2)

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

A. 1
2

3
2
V

V  B.

2
1
V
V 
C. 1
2
2
V

V  D.

1
2
12
5
V
V 
Hướng dẫn giải

Ta có:
2
1
2
1
120

. . .50

2
50

. . .120

2
V S h

V S h





 
   
 
 
   
 
1
2
12
5
V
V
  .

Vậy đáp án là D.

A
6

4
2
3
2
r

 B.
8
6
2
3
2
r

 C.
8
4
2
3
2
r

 D.
6
6
2
3
2
r



Hướng dẫn giải

Ta có thể tích của cốc giấy hình nón đó là 2 4
2

1 27 3

V r h h

r



   

Khi đó, diện tích xung quanh của cốc giấy là
2 2

8 8

2 2 4

2 4 2

3 3

=
xq

s rl r r h

r r r

r r
 
 

  
  

Để lượng giấy tiêu thụ ít nhất, nghĩa là diện tích xung quanh của cốc giấy là nhỏ nhất.
Đặtsxq  f r

 

. Ta tìm giá trị nhỏ nhất của f r

 

Ta có

 

8 8

2 3 2 3

3 3

8 8

2 4 2 4

2 2
2.3 3
4 2
3 3
2
r r
r r
f r
r r
r r
 
 
 
  
 

 

2 3 8 6 8

3 2

3 3

0 2 0

f r r r

r



      

Dựa vào bảng biến thiên của f r

 

, ta kết luận

8
6
2
3
2
r


 thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy đáp án là B.

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Câu 108: Khi nuôi một loại virus trong một dưỡng chất đặc biệt sau một khoảng thời 
gian, người ta nhận thấy số lượng virus có thể được ước lượng theo công thức

 

0.2kt

m t m , trong đó m0 là số lượng virus (đơn vị “con”) được nuôi tại thời điểm ban
đầu; k là hệ số đặc trưng của dưỡng chất đã sử dụng để ni virus; t là khoảng thời gian
ni virus (tính bằng phút). Biết rằng sau 2 phút, từ một lượng virus nhất định đã sinh sôi
thành đàn 112 con, và sau 5 phút ta có tổng cộng 7168 con virus. Hỏi sau 10 phút nuôi
trong dưỡng chất này, tổng số virus có được là bao nhiêu?

A. 7.340.032 con. B. 874.496 con.

C. 2.007.040 con. D. 4.014.080 con.

Hướng dẫn giải

Theo công thức

 

02kt

m t m ta có:

 

00 0
2

112 2 .2 7

7168 5 .2

k

m m m

k

m m

    

 

  

  

 .

Vậy sau 10 phút, tổng số virus có được là suy ra m

 

10 7.22107.340.032
con.
Đáp án: A.

Câu 109: Số các chữ số của số 2337549 là bao nhiêu?

A.101.613 chữ số. B. 233.972 chữ số. C. 101.612 chữ số. D. 233.971 chữ số.

n [log ] 1n  [ ]x

của số thực x, ví dụ [2,99] 2 , [3,01] 3 . Vậy số các chữ số của 2337549 là



log2337549



 1



337549log2 1 101.613



 

Đáp án: A.

A A5
5% A

A. Bắt đầu đóng thuế ở năm thứ 6 tiền thuế phải đóng mỗi tháng là 270.200 đồng.
B. Bắt đầu đóng thuế ở năm thứ 6 tiền thuế phải đóng mỗi tháng là 450.200 đồng.
C. Bắt đầu đóng thuế ở năm thứ 5 tiền thuế phải đóng mỗi tháng là 240.800 đồng.
D. Bắt đầu đóng thuế ở năm thứ 5 tiền thuế phải đóng mỗi tháng là 420.800 đồng.
Hướng dẫn giải

1 Cách tính thuế này không nằm trong Luật pháp của nước CHXHCN Việt Nam, chỉ nhằm mục đích giáo dục cho học

sinh về sự hiện diện và cách tạm tính thuế thu nhập cá nhân.
Hướng dẫn giải

Số các chữ số của số được cho bởi công thức , trong đó là phần nguyên

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Để tính năm mà người này bắt đầu phải đóng thuế, ta tìm nghiệm nguyên dương n bé
nhất của bất phương trình6(1 7%) n3,65

Dễ thấy n5,32 (xấp xỉ), nghĩa là vào năm thứ 6 thì anh này bắt đầu đóng thuế. Mức
thuế phải đóng là



6 (1 7%)63,6



5% 270.200 đồng 
Đáp án: A.

Câu 111: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Tàu thứ nhất chạy 
theo hướng nam với vận tốc 6 hải lí/giờ, cịn tàu thứ 2 chạy theo hướng về tàu thứ nhất
với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa hai con tàu là lớn nhất?

A. 7

17 giờ. B.
17

7 giờ. C. 2 giờ. D. 3giờ.
Hướng dẫn giải

Gọi d là khoảng cách lớn nhất giữa hai con tàu và t là thời gian từ ban đầu đến lúc đạt
khoảng cách đó.

Ta có: dA B' ' AB'2AA'2  (AB BB ')2AA'2 , trong đó:
5; ' 7 ; ' 6

AB BB  t AA  t (BB' và AA' lần lượt là quãng đường của tàu 2 và tàu 1 đi được
trong thời gian t).

Suy ra, d (5 7 ) (6 ) t 2 t 2 . Khảo sát hàm d với t0 ta tìm được kết quả d đạt GTLN
tại 7

17
t .
Đáp án: A.

R

66o

 294o 12,56o 2,8o

Hướng dẫn giải

Gọi xlà độ dài đường tròn đáy của cái phễu (bằng chu vi đĩa tròn trừ đi độ dài cung hình
quạt bị cắt đi) 2

2
x
x r r



    (r là bán kính đường trịn đáy hình nón). 
Đường sinh của hình nón chính bằng bán kính đĩa là R.

Đường cao hình nón: 2 2 2 2
2
4

x

h R r R



    2 2 2 2

2 2

1 . 1 .

3 3 4 4

x x

V r h  R

 

   

Khảo sát hàm V ta tìm được V đạt GTLN khi 2 6
3
x R .

  



A B

A’

B’
d

Câu 112: Một đĩa trịn bằng thép trắng có bán kính bằng . Người ta phải cắt đĩa theo 
một hình quạt, sau đó gấp lại thành hình nón để làm một cái phễu. Cung trịn của hình
quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để thể tích cái phễu lớn nhất?

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Suy ra, độ dài cung hình quạt bị cắt là:

2 6

2 3

2 6 .360 66

3 2

o

R R

R





 





   

Đáp án: A.

Câu 113: Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần thứ 
nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỷ lệ thuận
với lập phương của vận tốc, khi v = 10km/h thì phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ. Hãy
xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất?

A. 15(km h/ ). B. 8(km h/ ).
C. 20(km h/ ). D. 6.3(km h/ ).
Hướng dẫn giải

Gọi x km h( / ) là vận tốc của tàu thời gian tàu đi 1km là 1
x giờ.
Phần chi phí thứ nhất là: 480.1 480

x  x (ngàn).

Giả sử, phần chi phí thứ 2 kí hiệu là y thì y kx3 k y3
x

   .

Với 10 1 .30 3
10

x  y  (ngàn) 3 0,003 0,003 .3
1000

k y x

    

Do đó, tổng chi phí là: T 480 0,003x3
x

  . Khảo sát T ta tìm được T đạt GTNN khi
15( / )

x km h .
Đáp án A.

Câu 114: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S t

 

 t3 3t224t, trong

A. 18 /m s2. B. 18 /m s2. C. 6 /m s2. D. 6 /m s2. 
Hướng dẫn giải

Ta có vận tốc v t

 

S t

 

3t2 6 24t . Vận tốc triệt tiêu khi

 

4
0

2
t
v t

t L




    


Gia tốc a t

 

v t

 

 6 6t . Vậy gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là

 

4 6.4 6 18 / 2

a    m s Đáp án A.

Câu 115: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

 

1 4 3 2 2 4
4

S t  t  t  t ,
trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm nào, vận tốc của 
chuyển động đạt giá trị lớn nhất?

A. t 2. B. t1. C. t 3. D. t2.

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Ta có vận tốc v t

 

S t

 

   t3 6 2t .

 

2 2

3 6 0

2
t

v t t

t L

 
      

 

 . Lập bảng biến
thiên ta có v t

 

đạt giá trị lớn nhất khi t 2. Đáp án A

Câu 116: Cần phải đặt một ngọn đèn ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình trịn có 
bán kính a. Hỏi cần phải treo đèn ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng
nhất? Biết rằng cường độ ánh sáng C được biểu thị bằng công thức C ksin2

r


 , trong đó

 là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỉ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn
sáng.

A. 2

2
a

h . B. 3

2
a

h . C. 2

3
a

h . D. 3

3
a
h .
Hướng dẫn giải

Gọi h là độ cao của đèn so với mặt bàn



h0



. Các kí hiệu như trên hình vẽ, ta có

sin h
r

  và h2 r2 a2. Suy ra cường độ ánh sáng là

 





2 2

3 0

r a

C C r k r

r



   . Ta cần

tìm r sao cho C r

 

đạt giá trị lớn nhất. Ta có

 

2 2
4 2 2

2 3 0 2

3
2
r a

r a

C r k

r r a

r a L






  

   



  




Lập bảng biến thiên ta có C r

 

đạt giá trị lớn nhất khi 3
2

r a , suy ra 2
2
a
h .
Đáp án A.

Câu 117: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đầu là 5%/ năm
và lãi hàng tháng được nhập vào vốn. Cứ sau 2 năm, lãi suất giảm 0,2%. Hỏi sau 6 năm,
tổng số tiền người đó nhận được gần với số nào nhất sau đây?

h

a

Đèn

M
I

r

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền ban đầu là A .

Sau 2 năm đầu, người đó nhận được số tiền là A1,052

Sau 2 năm tiếp theo, người đó nhận được số tiền là 1,05 1,0482 2

A 

Sau 2 năm tiếp theo, người đó nhận được số tiền là 1,05 1,048 1,0462 2 2 132,484

A    triệu

Vậy, chọn đáp án B.

Câu 118: Lãi suất của một ngân hàng là 6% / năm và 1,4% / quý. Ông A gửi 100 triệu
với lãi suất tính theo năm, ơng B gửi 100 triệu với lãi suất tính theo quý. Hỏi sau 2 năm,

số tiền nhận được của ông A hơn ông B gần với số nào nhất sau đây biết rằng trong
khoảng thời gian đó, lãi suất khơng thay đổi, người gửi không rút lãi tiền lãi sau mỗi kỳ
được nhập vào vốn ban đầu?

A. 596 ngàn đồng. B. 595 ngàn đồng.

C. 600 ngàn đồng. D. 590 ngàn đồng.

Hướng dẫn giải:2 năm = 8 quý.

Sau 2 năm, số tiền ông A nhận được là 100 1,06 2 triệu đồng 
Sau 2 năm, số tiền ông B nhận được là 100 1,014 8 triệu đồng 
Vậy, sau 2 năm số tiền ông A nhận được hơn ông B là



100 1,06 100 1,014 1000 595,562 2  8



  nghìn đồng 
Vậy, chọn đáp án A.

A. 10 B. 15 C. 17 D. 20

Hướng dẫn giải

Gọi nlà số năm ông An đã gửi tiền. Khi đó, số tiền ơng rút ra là: 100 1 0,1







n100.1,1n
triệu.

Theo giả thiết ta có: 250 100.1,1 n260 hay

1,1 1,1

log 2,5 n log 2,6 nên n = 10.
Đáp án: A.

Câu 120: Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 km/h thì hãm pham, chuyển động chậm dần 
đều với phương trình vận tốc v10 0,5 t m s





. Hỏi ô tô chuyển động được quãng
đường bao nhiêu thì dừng lại?

A. 100m. B. 200m C. 300 m D. 400 m

Hướng dẫn giải

Ta có: vo36km h/ 10 /m s ứng với to 0,v110 0,5 t10 nên t1 20
Do đó: quãng đường s





10 0,5 t dt



100

 

m .

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Đáp án: A.

Câu 121: Cường độ một trận động đất M(richer) được cho bởi công thức 
0

log log

M A A với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 một biên độ chuẩn. Đầu thế kỉ
20 một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richer. Trong cùng năm đó
một trận động đất khác ở Nam M có biên độ mạnh gấp 4 lần. Cường độ của trận động
đât ở Nam m là:

A.8,9 B. 33,2 C. 2,075 D. 11

Hướng dẫn giải

Theo cơng thức tính log log 0 log
o

A

M A A

A

   .

Ta có: log F 8
F

o
A
M

A

  và ANM4AF nên log NM log4 F log4 log4 F 8,9
NM

o o o

A A A

M

A A A

   

Đáp án: A.

A. 14. B. 196

4 . C.
112

4 . D. 
28
4






Hướng dẫn giải

Gọi l



0 l 28



là chiều dài đoạn dây làm thành hình vng. Khi đó đoạn dây làm thành

hình trịn có chiều dài là 28 l .

Cạnh hình vng là

4
l

, bán kính hình trịn là 1 28





2 l .

Tổng diện tích

 

2 1 28





16 4
l

S l l



   , suy ra '

 

1 1





8 2

S l l



   .

Cho S l'

 

0 , ta được 112

4
l





 , suy ra chiều dài đoạn dây còn lại là

28
4




 .

Kiểm tra lại bằng đạo hàm cấp 2, '' 112 0

4
S



  

  

 

Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 196

4 khi

112
4
x





 .

Câu 123: Một viên đá được bắn thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu là 40 m/s từ

một điểm cao 5 m cách mặt đất. Vận tốc của viên đá sau t giây được cho bởi công thức

 

40 10

v t   t m/s. Tính độ cao lớn nhất viên đá có thể lên tới so với mặt đất.

A. 85m . B. 80m . C. 90m . D. 75m .

Hướng dẫn giải

Gọi h là quãng đường lên cao của viên đá.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

 

'

 



40 10



40 5 2
v t h t h t  v t dt   t dt t t c

Tại thời điểm t0 thì h5. Suy ra c5.

Vậy h t

 

40 5t t25,h t

 

lớn nhất khi v t

 

 0 40 10 t  0 t 4. Khi đó h

 

4 85

Câu 124: Số giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM năm không nhuận được cho bởi 
với là số ngày trong năm. Ngày của năm thì số
giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM gần với con số nào nhất ?

A.14h B. 16h C. D.

Hướng dẫn giải

Ngày 25 / 5 là ngày 25 30,5.5 32,5 145   trong năm nên
4sin (145 60) 10 14

178

y     

 

, ,

a b c a b c, ,  ,a31,b12 y

1 /1 a b

b b7 y a 30,5b32,5
b b2 y a 30,5b32
b b7 y a 30,5b31,5

b y31a
Câu 125:

A. B.

C. D.

4 sin ( 60) 10
178

y x 1 x 365 25/5

12h 13 30h

1180 vieân ;8820 lít 1180 viên ;8800 lít

1182 viên ;8820 lít 1182 viên ;8800 lít

5m
2m

1dm

1m

VH'
VH

Tổng qt ( cái khó của bài tốn là tìm ra cơng thức tính ngày 25/5 là ngày thứ mấy của

năm)

Gọi lần lượt là ngày, tháng, năm và và là số lượng ngày
tính từ ngày cho tới này tháng ( không tính năm nhuận ).

Nếu lẻ và thì
Nếu chẵn và thì
Nếu lẻ và thì
Nếu thì

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Hướng dẫn giải 
Đáp án chọn A

Gọi V là thể tích khối hộp chữ nhật
Ta có : V5 .1 .2m m m10m3

3
0,1 .4,9 .2 0,98
H

V  m m m m

3
0,1 .1 .2 0,2
H

V m m m m
3

1,18
H H

V V m

Thể tích mỗi viên gạch là
3
0,2 .0,1 .0,05 0,001
G

V  m m m m

Số viên gạch cần sử dụng là
1,18 1180

0,001
H H

G

V V

V


  

viên

Thể tích thực của bồn là : V 10m31,18m38,82m38820dm38820 lít

Câu 126: Một hộp khơng nắp được làm từ một mảnh các tơng như hình bên dưới. Hộp có

cm cm cm3. Tìm

x

A. x5 B.x10 C. x15 D. x20

Hướng dẫn giải 
Giải: Chọn đáp án B

2
500
. 500

V x h h

x

   

Gọi S x( )là diện tích của mảnh các tơng S x( ) x2 4xh x2 2000;x 0
x

     . Bài tốn trở thành
tìm giá trị nhỏ nhất S x( )trên (0;)

3
2
2( 1000)

( ) x ; ( ) 0 10

S x S x x

x


     

x
x

h

h h

x

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Lập bảng biến thiên

x 0 10 

( )

S x – +

( )

S x 

300



Dựa vào bảng biến thiên diện tích của mảnh cáctơng nhỏ nhất tại điểm x10 (cạnh hình
vng).

Câu 126: Một anh công nhân được lĩnh lương khởi điểm là 700.000đ/tháng. Cứ ba năm 
anh ta lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh công nhân được lĩnh
tổng cộng bao nhiêu tiền (lấy chính xác đên hàng đơn vị)

A. 456.788.972 B. 450.788.972 C. 452.788.972 D.

454.788.972
Hướng dẫn giải

+ Tiền lương 3 năm đầu: T1 36x700nghìn

+ Tiền lương 3 năm thứ hai: T2 T1T17%T1(17%)

+ Tiền lương 3 năm thứ ba: 2

3 T (17%)T (17%)7%T(17%)
T

+ Tiền lương 3 năm thứ tư: 3
1

4 T (17%)
T

………

+ Tiền lương 3 năm thứ 12: 11
1

12 T(17%)
T

Tổng tiền lương sau 36 năm





450.788972
%)

7
1

(
1

%)
7
1
(
1
1

)
1
(
....

12
1

12
2

1   












 T

q
q
u
T
T

T
T

Câu 127: Một chất điểm chuyển động theo quy luật 1 4 3 2

2 11

4 2

t

S  t  t  t , t tính theo
giây, chất điểm có vận tốc bằng 0 tại thời điểm gần nhất tính từ thời điểm ban đầu là

A. t 1 B. t2 C. t3 D. t4

Hướng dẫn giải

Ta có: 3

( ) '( ) 3 2

v t S t   t t suy ra ( ) 0 1( )

2( )
t TM
v t

t L



    

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Câu 128: Một vật chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a 2m / s . Biết tại thời điểm t 
2s thì vật có vận tốc bằng 36km / h . Quãng đường vật đó di chuyển từ điểm ban đầu
đến khi đạt vận tốc bằng 72km / h là

A. 72m B. 91m C. 81m D. 200m

Hướng dẫn giải

Ta có:v



adt 2t C

Khi vận tốc là 10m/s: v(2)=2.2+C=10c=6
Khi vận tốc là 20m/2 thì 20=2t+6t=7

Quãng đường vật đi được từ thời điểm ban đầu đến khi vận tốc đạt 72km/h là
7

(2 6) 91( )
v



t  m

Câu 129: Một sợi dây kim loại dài 100 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được 
uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình vng (hình bên). Biết x0 là
độ dài cạnh của tam giác đều (tính theo đơn vị cm) thỏa mãn tổng diện tích của tam giác
và hình vng là nhỏ nhất. Khi đó giá trị x0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. 18 . B. 19 . C. 20 . D. 21.

Stamgiac= 3
4 a

Svuông =

2
(100 3 )

16
a


Nhỏ nhất khi 3
4 a

2+(100 3 )2
16

a


=( 3

4 +9/16)a

2-600/16.a+10000
16
Min taị a= 300 / 16

3 / 4 9 / 16 ~19
Đáp án B

Câu 130: Vào đầu năm 2016 nhóm nghiên cứu thuộc Đại Học Central Missouri – M đã 
công bố số nguyên tố lớn nhất từ trước tới nay. Cụ thể số này là kết quả của phép tính

74207281

2 1. Hỏi rằng, nếu viết trong hệ thập phân (hệ gồm mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 ) thì số ngun tố đó có bao nhiêu chữ số (làm tròn triệu) ?

A. 20 triệu. B. 21 triệu . C. 22 triệu . D. 23 triệu.
Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

ta có như sau

22300000 3 7420728 7420728 10 7420728 74207280 74207281 74207281
9 4 5708254 4 4 5708254 22900000

10 (10 ) 1024 (2 ) 2 2 1 2

(2 .2 ) (5 .2 ) 10

       

 

Vậy có 22 triệu sơ

Câu 131: Một vật đang chuyển động với vận tốc 5m/s thì tăng tốc với gia tốc

 





a t  t t m s . Khi đó quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ lúc
bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét?

A. 1005 m. B. 1050 m. C. 1500 m. D. 500 m.

Hướng dẫn giải

 





3 2

( ) ( ) ( )

( ) / 3 / 2
a t t t m s

v t a t dx t tdt F t C

v t t t C

 

    

   



Tại t=0 thì v=5 suy ra C=5
2 10

3 2

1 0

( ) ( ) ( / 3 / 2 5)
t

t

s t 



v t 



t t   1050m
Đáp Án B

A. 5,58 B. 6,13 C. 4,86 D. 6,36

Hướng dẫn giải 
Đáp án A

Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích xung quanh hình nón.
Đường sinh của hình nón là:

Sxqtrụ= 1, 4 2

2 2.3,14. .0, 7 3, 077( )
2

rh m

  

xq

S nón=rl3,14.0, 7.1,142,506(m2)

Câu 132: Một phần dụng cụ gồm một phần có dạng trụ, phần cịn lại có dạng nón. Một 
hình trụ

đường kính đáy 1,4m,chiều cao 70cm và một hình nón bán kính đáy bằng bán kính hình
trụ

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

S=Sxqtrụ+Sxqnón=5,583(
2

)
m

Câu 133: Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo

OA=OB. Khi đó tỉ số tổng thể tích của hai hình nón (Vn) và thể tích của hình trụ ( )Vt
bằng:

A. 1

2 B.

4 C.

5 D.

3
Hướng dẫn giải

Đáp án D

Chiều cao của hình nón là
2
h

Tổng thể tích của 2 hình nón là

2
2

2. .

3 2 3

n

h R h
V  R 

Thể tích của hình trụ 2 1
3
n
t

t
V

V R h

V


  

Câu 134: Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra 
thành 1 hình quạt. Biết bán kính của quạt bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng
chu vi đáy. Quan sát hình dưới đây và tính số đo cung của hình quạt.

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Hướng dẫn giải 
Đáp án D

Độ dài l của cung hình quạt trịn bán kính 6 cm bằng chu vi đáy của hình nón: l4

Áp dụng cơng thức tính độ dài cung trong 0

x ta có:

0 0

4 120

180

Rx

I    x 

Câu 135: Cối xay gió của Đơn-ki-hơ-tê (Từ tác phẩm của Xéc van téc). Phần trên của cối 
xay gió có dạng một hình nón (h102). Chiều cao của hình nón là 42 cm và thể tích của nó

là 3

17600cm . Bạn hãy giúp chàng Đơn-ki-hơ-tê tính bán kính của đáy hình nón. Làm trịn
đến kết quả chữ số thập phân thứ hai, cho  3,14

A. 20,01 cm B. 25,04 cm C. 30,02 cm D. 40,25 cm

Hướng dẫn giải 
Đáp án A

Theo đề bài ta có 3

17600 , 42

V  cm h cm

Suy ra 1 2 3

20, 01
3

V

V r h r

h



   

Câu 136: Một băng giấy dài được cuộn chặt lại 60 vịng làm thành một cuộn gấy hình trụ 
rỗng. Biết đường kính của đường trịn trong cùng bằng 2cm, đường kính của đường trịn
ngồi tiếp cùng bằng 6 cm . Hỏi chiều dài của băng giấy (làm tròn đến 0,1) :

A. 747,7 cm B. 856,4 cm C. 674,6 cm D. 912,3 cm
Hướng dẫn giải

Đáp án A

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Độ dày của 60 vòng giấy d r60  r 3 2

2 2

60 60

2 2

2. 2.

60 60

...

2 2

59. 59.

60 60

r r



   

  

Chiều dài của băng giấy



2 ... 60



.2 60. 2



2 3 ... 59



.2
60

l r  r r         

 





.59
2

60 . 2 747, 7

60 2  cm



 

   

 

A. 2 2

4 r cm B. 2 2
6 r cm
C. 2 2

8 r cm D. 2 2

10 r cm

Hướng dẫn giải 
Đáp án C

Do hình vẽ ta thấy diện tích tồn bộ khối trên = diện tích Rổ + 2 nửa cầu

Cần tính bằng diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao 2r (cm): 2
1 .2 . 4 .
S h  r  r
Bán kính đường trịn đáy r (cm)

Diện tích mặt cầu bán kính r (cm)
Diện tích của quả cầu là 2

4 .r
Vậy tổng thể tích là: 2

8 .r

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Câu 138: Một vật thể có dạng hình trụ, bán kính đường trịn đáy và độ dài của nó đều 
bằng 2r (cm). Người ta khoan một lỗ cũng có dạng hình trụ như hình, có bán kính đáy và
độ sâu đều bằng r (cm). Thể tích phần vật thể cịn lại (tính theo cm3) là:

A. 3

4 r B. 3

7 r C. 3

8 r D. 3

9 r

Hướng dẫn giải 
Đáp án B

Thể tích vật thể hình trụ là

 

2 2

 

3
. 2r .2r 8 r cm

  

Thể tích lỗ khoan của hình trụ là: 2 2

 

3
. .r r r cm
 

A. 2

3 B. 1 C.

3 D.

3
2

Hướng dẫn giải 
Đáp án A

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Đặt BE=x thì có ME BE
AD  BD hay

r x Rx

R  h h

Thể tích hình trụ là





2 2

2
.R x

V h x

h



 

Ta có





2
2
2
2

2 2

Vh

x h x

R

  

Vì h, , R là các hằng số nên V sẽ lớn nhất khi và chỉ khi x2 



2h2x



lớn nhất. Vì



2 2



x x h x  h (là hằng số) nên tích của nó 2





2 2

x h x đạt giá trị lớn nhất khi và

chỉ khi x2h2xhay 3
2
x h

Câu 140: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm 
bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là

 

4
3
4

2
t

f t  t  (người).
Nếu xem f '

 

t là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.Tốc độ truyền bệnh sẽ
lớn nhất vào ngày thứ mấy?

A.4 B. 6 C. 5 D. 3

Hướng dẫn giải 
Chọn đáp án A

Bài tốn này đầu tiên ta phải tính đạo hàm và sử dụng BĐT hoặc xét hàm số. Ở đây ta sử
dụng kĩ thuật điểm rơi BĐT Cauchy với 3 số dương

Ta có: (người/ngày)

Dấu bằng có khi à chỉ khi

Suy ra dịch bệnh sẽ đạt tốc độ lan truyền lớn nhát vào ngày thứ 4.

 

2 3 2







 

12 2



' 12 2 12 2 . 12 2 64

t t t

f t  t  t t  t t t  t     

12 2 4

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Câu 141: Một vật thể hình học như dưới đây. Phần trên là nửa hình trụ, phần dưới là một 
hình hộp chữ nhật, với các kích thước cho trên hình vẽ. Tính thể tích của vật thể hình học
này (Lấy 22

  ).

A.4340cm3 B.4760cm3 C.5880cm3 D.8cm3

Hướng dẫn giải 
Chọn đáp án A

Thể tích hình hộp chữ nhật là: 10x14x20=2800

Thể tích nửa hình trụ là:

Thể tích của vật thể hình học này là: 2800+1540=4340

Câu 142: Một hình nón được đặt bên trong hình lập phương (như hình vẽ). Hãy tính tỉ lệ 
nón và hình lập phương: non

hop
V
V

A. 0,541 B. 0,413 C.0,262 D. 0,654

Hướng dẫn giải

Thể tích hình lập phương
Thể tích hình nón

Tỷ lệ thể tích

 

3
cm

 

3
14 22

20 2 1540

2 7 cm

     

  

 

 

 

 

3
cm

3
1
V a

2 3

1 1

0, 262

3 3 2

a

V  h r  a    a
 

1
2

0, 262

V

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Câu 143: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v120 12 ( t m s/ ). Hỏi rằng trong
2s trước khi dừng hẳn vật đi chuyển bao nhiêu mét ?

A. 28 m B. 35 m C. 24 m D. 38 m

Hướng dẫn giải

Thời gian vật đi đến lúc dừng hẳn là:v120 12 t   0 t 10 (s)

Phương trình chuyển động của vật:

 





120 12 120 6

S 



v t dt



 t dt t t



0 t 10



Tổng quảng đường vật đi được là: 2

1 120.12 6.10 600

S    (m)

Sau 8s vật đi được: 2
2 120.8 6.8 576

S    (m)

Trong 2s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được quảng đường là:
1 2 600 576 24

S S S    (m)

Câu 144: Một chiếc cốc dạng hình nón chứa đầy rượu. Trương Phi uống một lượng 
rượu nên “chiều cao” của rượu còn lại trong cốc bằng một nữa chiều cao ban đầu. Hỏi 
Trương Phi đã uống bao nhiêu phần rượu trong cốc ?

A. 1

12 B.

8 C.

4 D.

1
6
Hướng dẫn giải

Đáp án B

Trả lời: V nón V ban đầu 1 2
. .
3 h R

 ; V sau

2
1

. .
3 2 2

h  R

  

 

Tỉ lệ thể tích: Vsau : V đầu 1
8



Trương phi đã uống 7

8 lượng rượu trong cốc
Để ý rằng lượng rượu còn lại sau khi uống là

1 1

2 8

  
 

  ( thể tích ban đầu)

Câu 145: Hình vẽ dưới mơ tả 2 trong 4 kỳ hoạt động của 1 động cơ đốt trong . Buồng đốt 
chứa khí đốt là một khối trụ có thể tích thay đổi bởi sự chuyển động lên xuống của một
Pistong trong xi lanh. Khoảng cách từ trục khuỷu đến điểm chuyền lực lên thanh truyền
là r = 2cm; xi lanh có đường kính d = 6cm . Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích lớn nhất và
thể tích nhỏ nhất của buồng đốt khi Pistong chuyển động. Tính V1V2

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

1 1 1

1 2 2

( . ). .9.l

V R l

 

 

1 2 .9.(l1 2) .9.4 36

V V  l  

     

Vậy đáp án là B

Câu 146: Khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm x m

 

so với độ dài tự nhiên là 0.15m
của lị xo thì chiếc lị xo trì lại (chống lại) với một lực f x

 

800x. Hãy tìm cơng W sinh
ra khi kéo lị xo từ độ dài từ 0,15m đến 0,18m.

A. 2

W36.10 J B. 2

W72.10 J C. W36J D. W72J
Hướng dẫn giải

Đáp án A

Cơng được sinh ra khi kéo căng lị xo từ 0,15m đến 0,18m là:
0,03

0,03

2 2

0
0

W



800xdx400x 36.10 J
Hướng dẫn giải

Buồng đốt chứ khí là 1 hình trụ

Thể tích của buồng đốt chứa khí lớn nhất khi pistong đi xuống dưới
Thể tích của buồng đốt chứa khí bé nhất khi pistong đi lên trên

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Câu 147: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h t

 

là thể tích nước bơm
được sau t giây. Cho

 

h ' t 3at bt và ban đầu bể khơng có nước. Sau 5 giây thì thể tích
nước trong bể là 3

150m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3. Tính thể tích
của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.

A.8400 m3 B.2200 m3 C.600 m3 D.4200 m3
Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có:

 





2 3 t

h t h ' t dt 3at bt dt at b C









   

Do ban đầu hồ khơng có nước nên

 

3 t2

h 0 0 C 0 h t at b

     

Lúc 5 giây

 

2
3 5

h 5 a.5 b. 150

  

Lúc 10 giây

 

3 10

h 10 a.10 b. 1100

  

Suy ra

 

3 2

 

3 2 3

a1, b 2 h t   t t h 20 20 20 8400m

hình trụ. Tỉ số 1
2
S

S bằng:

A.1 B.2 C.3 D.4

Diện tích của một quả bóng là 2

S 4 .R , suy ra 2
1

S 3.4 R . Chiều cao của chiếc hộp
hình trụ bằng 3 lần đường kính quả bóng bàn nên h3.2r

Suy ra S2  2 R.3.2R. Do đó 1
2

1
S 

Câu 149 : Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt

quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngồi của quả bóng có chiều cao bằng 3

4 chiều cao
của nó. Gọi V V1, 2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:

A. 9V1 4V2 B. 4V13V2 C. 8V19V2 D. 9V18V2
Câu 148: Người ta bỏ 3 quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ 
có đáy bằng hình trịn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường kính của quả
bóng bàn. Gọi S1 và tổng diện tích của 3 quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của

Hướng dẫn giải

Đáp án A

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Đáp án D

Theo bài toán ta sẽ có được bán kính đáy của hình trụ là

 

2 2

1 2 3

r  r r r

Tỉ số thể tích là

 

3
1

1 2
2

2
4

3 9 8

4 . 3

r
V

V V

V r r



   

Câu 150 : Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức

 





0, 025 30

H x  x x trong đó x là liều lượng thuộc được tiêm cho bệnh nhân (x được
tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân trên để huyết áp giảm
nhiều nhất ?

A. 10 B. 20 C. 30 D. 15

Hướng dẫn giải 
Đáp án B

Hàm số 2



có y'0.025x



60 3



; 'y     0 x 0 x 20 . Ta thấy các giá

 

0 0,

 

20 10

y  y 

2 3
6
s t t

vận tốc



m s/



của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

A. t2 B. t4 C. t 1 D. t3

Hướng dẫn giải 
Đáp án A

Phương trình vận tốc chính là phương trình đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển
động (li độ) của vật nên ta có phương trình vận tốc của vật là 2

' 12 3

v s t t . Phương
trình vận tốc là phương trình bậc 2 có hệ số a  3 0 nên nó đạt giá trị lớn nhất tại giá
trị

2
b
t

a



 hay tại t2

Câu 152: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 5

4.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các
cây trong khu rừng đó là 4% mỗi năm. Sau 5 năm khu rừng đó sẽ bao nhiêu mét khối
gỗ?

A. 5 5

 

4.10 .1,14 m B. 5



 

4.10 1 0, 04 m
C. 5 5

 

4.10 0, 04 m D. 5 5

 

4.10 .1, 04 m
x

y0, 025x



30x

trị nên để lượng đường huyết giảm nhiều nhất thì ta cần tiêm với liều
lượng là 20.

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Hướng dẫn giải

Áp dụng cơng thức tính lãi kép: Aa



1r



n trong đó A là số tiền nhận được sau n tháng
, a là số tiền gửi ban đầu , r là lãi xuất hàng tháng’ Áp dụng công thức trên ta thấy sau 5
năm thì khu rừng sẽ có 5 5

4.10 .1, 04 mét khối gỗ.

Câu 153: Trên một đoạn đường giao thơng có 2 con đường 
vng góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh lịch sử có
vị trí đặt tại M, vị trí M cách đường OE 125cm và cách đường
Ox 1km. Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường
thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá trị để làm 100m đường là
150 triệu đồng. Chọn vị trí của A và B để hồn thành con đường
với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hồn thành con
đường là bao nhiêu ?

A.1,9063 tỷ đồng. B. 2,3965 tỷ đồng. C.2,0963 tỷ

đồng. D.3 tỷ đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ là Oxy với OE nằm trên Oy. Khi đó tọa độ M 1;1
8

 

 

 .

Gọi B m;0 , A 0; n



   

m, n0



. Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là: x y 1
m n
Do đường thẳng đi qua M 1;1

 

 

  nên

1 1 1 1 8m 1 8m

1 1 n

8m n n 8m 8m 8m 1



       



Có

2 2 2 2 8m

AB m n m

8m 1

 

     



 

Xét hàm số

 









2
2

2 3

8m 8m 8 64

f m m ;f ' m 2m 2. . 2m. 1

8m 1 8m 1 8m 1 8m 1

 



 

        

 

 

     

 









3
3

m 0 L

f ' m 0 64 8m 1 64 m

1 0 8

8m 1





       



 



 

2
2 8.5

5 5 8 25 25 125 125 5 5

f m f AB

8 8 64 16 64 64 8

8. 1
8

 

 

   

            

      

 

Vậy quãng đường ngắn nhất là 5 5

8 (km).

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Khi đó chi phí để hồn thành con đường là: 5 5.1,5 2, 0963

8  (tỷ đồng)

Câu 154: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 2016 quả banh tennis, biết 
rằng đáy của hình trụ bằng hình trịn lớn trên quả banh và chiều cao hình trụ bằng 2016
lần đường kính của quả banh. Gọi V1 là tổng thể tích của 2016 quả banh và V2 là thể tích
của khối trụ. Tính tỉ số 1

2
V
V ?
A.2

3 B.

3 C.

2 D.

1
4

Thể tích của 2016 quả banh là 3
1

4
V 2016. r

 

Thể tích của khối trụ là 2
2

V  r .2016.2r

Tỉ số

3
1

3
2

4
2016. r

V 3 2

V 2 r .2016 3



 



ợc phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu
? Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm.

A.0,188(cm). B.0,216(cm).

C.0,3(cm). D.0,5 (cm).
Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi bán kính đáy phễu là R, chiều cao phễu là h15 cm

 

, do chiều cao nước trong phễu
ban đầu bằng 1h

3 nên bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là
1

3 . Thể tích phễu và
thể tích nước lần lượt là 1 2 2

 

V R .15 5 R cm
3

    và

 

2 3
1

1 R 15 5

V . R cm

3 3 3 27

 

    

  .

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi bán kính quả banh tennis là r, theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ là r, chiều

cao của hình trụ là 2016.2r

Câu 155: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một 
lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong
phễu bằng chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Suy ra thể tích phần khối nón khơng chứa nước là

 

2 2 2 3

2 1

5 130

V V V 5 R R R cm

27 27

       

 

2
V 26

1
V 27

  . Gọi h’ và r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón khơng chứa nước,

có

 

3 3
2

3 3
V

h ' r h ' h '

2
h  R  V  h 15

Từ (1) và (2) suy ra 3 3

 

h '5 26h 15 5 26 0,188 cm

Câu 156: Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R3, người ta muốn cắt ra
một hình chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn nhất có thể có của
miếng tơn hình chữ nhật là:

A. 6 3 B. 6 2 C.9 D.7

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi O là tâm hình bán nguyệt
2 2

MQ x OQ 3 x

2 2 2 2 2
hcn MQO

S 4S 2x. 3 x x  3 x 9 ( áp dụng bđt cosi)
Vậy Shcn 9

Câu 157: Một khối lập phương có cạnh 1m. Người ta sơn đỏ tất cả các cạnh của khối lập 
phương rồi cắt khối lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của khối lập
phương để được 1000 khối lập phương nhỏ hơn cạnh 10cm. Hỏi các khối lập phương thu
được sau khi cắt có bao nhiêu khối lập phương có đúng hai mặt được sơn đỏ?

A.100 B.64 C.81 D.96

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Cả khối lập phương có 12 cạnh và 8 mặt

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Câu 158: Một bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20.000.000 (đồng). Do 
chưa cần dùng đến số tiền nên bác nơng dân mang tồn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm
ngân hàng loại kì hạn 6 tháng với lãi suất kép là 8,4% một năm. Hỏi sau 5 năm 8 tháng
bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết
rằng bác nơng dân đó khơng rút vốn cũng như lãi trong tất cả các định kì trước và nếu rút

trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại khơng kì hạn 0,01% một ngày (1 tháng
tính 30 ngày)

A.31803311 B.32833110 C.33083311 D.30803311
Hướng dẫn giải

Đáp án A

Lãi suất 1 năm là 8,5%lãi suất 6 tháng là 4,25%

Vì bác nơng dân gửi tiết kiệm kỳ hạn 6 tháng nên sau 5 năm 6 tháng có 11 lần bác được
tính lãi

=> Số tiền bác nhận được sau 5 năm 6 tháng là:



1 0, 0425



11.2031, 61307166 ( triệu

=> Số tiền cuối cùng bác nhận được là31, 61307166. 1 0, 0001







6031,803311 ( triệu đồng)
Câu 159: Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức MlogAlogA0, với A
là biên độ rung chấn tối đa và A0là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận

A. 1000 lần B. 10 lần C. 2 lần D. 100 lần

Hướng dẫn giải 
Đáp án D

Ta có 1 1 8

0 0
log A A 10
M

A A

  

Tương tự 2 6 1 8
6

0 2

10 100

A A

A   A  

đồng)

Do bác rút trước kỳ hạn => 2 tháng cuối nhân lãi suất 0,01% mỗi ngày (2 tháng=60 ngày)

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Câu 160: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 
phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm
3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu
chứa được.

A. (dm3) B. (dm3)

C. (dm3) D. (dm3)

Hướng dẫn giải

Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; 
đường trịn lớn có phương trình .

Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong , quay quanh
Ox.

Câu 161: Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn

sau: bê tơng nghìn đồng một , tôn một và
nhơm nghìn đồng một .

A. A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
Hướng dẫn giải

Gọi lần lượt là bán kính đường trịn đáy và đường cao của hình
trụ. theo đề ta có . Khi đó chi phí làm nên bồn chứa nước được xác

định theo hàm số (nghìn đồng).

, .

BBT: Dựa vào BBT ta suy ra chi phí thấp nhất là

nghìn đồng.

132 41

100

3  43

2 2
25
x y 

2
25

y x x3,x 3

2
3

(25 )

V  x dx







 132

150m

100 m2 90 m2

120 2

m

15037000 15038000 15039000 15040000

r h

 

m2



r0,h0



2
150
150

r h h

r




  

 

2 2

150 27000

220 90.2 220

f r r r r

r r

  



   

 

27000
' 440

f r r

r


  '

 

0 3 675

f r r a



   

 

3 675 15038, 38797
11

f a f



 

  

 

5dm
3dm

3dm

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

B C

Q P

M H N
Câu 162: Một vật di chuyển với gia tốc . Khi thì vận tốc
của vật là . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến
chữ số hàng đơn vị).

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Ta có . Theo đề ta có

. Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:

.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC  BH = CH =

Đặt BM = x , ta có:

Tam giác MBQ vng ở M, và BM = x 
Hình chữ nhật MNPQ có diện tích:

S(x) = MN.QM =

 





20 1 2

a t    t 



m s/ 2



t 0
30 /m s

106

S m S107m S108m S109m

 





2 10

20 1 2

1 2

v t a t dt t dt C

t


     





 

0 30 10 30 20

v   C   C









2
0
0

20 5ln 1 2 20 5ln 5 100 108
1 2

S dt t t m

t

 

         



 



a
8

2
3

4 0

2
3

a
2

a
§ iỊu kiƯn 0 x

   

 

 

MN 2MH 2(BH BM) 2 x a 2x

 

       

 

B60 QMx 3

(a 2x)x 3 3(ax 2x )

   

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

x
0

S’ + 0 

Vậy khi x =

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Gọi là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và là chiều dài cạnh vng góc với bờ
giậu, theo bài ra ta có . Diện tích của miếng đất là .

Ta có:

Dấu xảy ra .

Vậy khi .

Câu 165: Trên sân bay một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải) và bắt 
đầu rời mặt đất tại điểm O. Gọi (P) là mặt phẳng vng góc với mặt đất và cắt mặt đất
theo giao tuyến là đường băng d của máy bay. Dọc theo đường băng d cách vị trí máy
bay cất cánh O một khoảng 300(m) về phía bên phải có 1 người quan sát A. Biết máy bay
chuyền động trong mặt phẳng (P) và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình
(với x là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng d và tính từ O). Khoảng cách
ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là:

A. B. C. D.

a a

S'(x) 3(a 4x); S'(x) 0 x 0;

4 2

 

      

 

a
4

a
2

2
3

a
8

2
a

x 0;
2

max S(x) a

 
 

 a

180

2
3600
max

S m Smax 4000m2

2
8100
max

S m 2

4050
max

S m

x y

2 180

x y S y(180 2 )y

2 2

(2 180 2 )

1 1 180

(180 2 ) 2 (180 2 ) 4050

2 2 4 8

y y

y y y y

'' '' 2y 180 2y y 45m

2
4050
max

S m x 90 ,m y 45m



y x

300( )m 100. 5( )m 200( )m 100 3( )m

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

Xét hệ trục Oxy với gốc tọa độ O là vị trí máy bay rời mặt đất, trục Ox trùng với đường
thẳng d và chiều dương hướng sang phải, trục Oy vng góc với mặt đất.

Gọi là tọa độ của máy bay trong hệ Oxy. Tọa độ của người A là .
Khoảng cách từ người A đến máy bay B bằng . Suy ra

Lập bảng biến thiên, ta thấy đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi . Vậy khoảng
cách nhỏ nhất là

Câu 166: Làm 1 m2 mặt nón cần : 120 lá nón ( Đã qua sơ chế) .Giá 100 lá nón là 25.000
đồng . Vậy để làm 100 cái nón có chu vi vành nón là 120 cm, và khoảng từ đỉnh nón tới 1
điểm trên vành nón là 25 cm thì cần bao nhiêu tiền mua lá nón?

A. 400.000đ B. 450.000đ C.500.000đ D. 550.000đ

Hướng dẫn giải

được tính theo cơng thức trong đó I là cường độ âm và là cường độ âm

Hướng dẫn giải

Gọi lần lượt là cường độ âm của một người và của n người.
Ta có

Ta có ;

Khi đó

Vậy có 16 ca sĩ. 
2

( ; ) ( 0)

B t t t A(3;0)

2 4
(3 )

  

d t t

 

2 4 2

6 9 .

    

d t t t f t

'( ) 4 2 6.
'( ) 0 1.

f t t t

f t t

2
( )


d f t t 1

100 5( )m

10 I

L log

I I0

1; n
I I

1
n

n

I

I nI n

I

1
1

10 I 68

L log

I 10 0 80

n
n

I

L log

I

1
1

0 0 1

10 n 10 10 n

n

I I I

L L log log log

I I I

1 6

10 5
1

10 10 15, 89

n

L L
n

I
n

I

Câu 167: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cường độ âm và coi cùng tần 
số. Khi một ca sĩ hát thì cường độ âm là 68dB. Khi cả ban hợp ca cùng hát thì đo được
mức cường độ âm là 80dB. Tính số ca sĩ có trong ban hợp ca đó, biết mức cường độ âm L

chuẩn.

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

Câu 168: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc thì người lái đạp phanh. Từ thời
điểm đó, ơ tơ chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó t là
thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ vận tốc ban đầu a của ô tô là bao
nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 mét.

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên

Ta có

Câu 169: Đặt vào một đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều u = U0

2 sin

t

T



. Khi đó

trong mạch có dịng diện xoay chiều i = I0

2 sin







t

 





với



là độ lệch pha giữa

òng diện và hiệu điện thế.Hãy Tính cơng của dịng diện xoay chiều thực hiện trên
đoạn mạnh đó trong thời gian một chu kì.

U I

0 0

cos

2 

0 0

U I

T sin

2 

0 0

U I

Tcos(

)

2   

0 0

U I

Tcos

2 

Hướng dẫn giải

Ta có:

A =      

 



T 0 0

0 0

2 2

uidt U I sin t sin tdt

T T

0 0
0

1 4

U I cos cos t dt

2 T

   

      

 



T
0 0

U I 1 4

cos cos t dt

2 2 T

   

      

 



(m/ s)
a

(t) 5 t (m/ s)

v a

a a 10 a 40 a 25

5 t 0

5
a

a t

5 5

0 0

1
(t) ( 5 t )

a a

S v dt a dt a

2
1

40 40 20

S a a

T





</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

0 0 0 0

U I T 4 U I

tcos sin t Tcos

2 4 T 2

   

        

  

 

Câu 170: Một dòng điện xoay chiều i = I0

2 sin







t

 





chạy qua một mạch điện có

điện trở thuần R.Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu
kì T.
A.
2
0
RI
T
2 B.
2
0
RI
T
3 C.
2

0
RI
T
4 D.
2
0
RI
T
5

Hướng dẫn giải

Ta có: Q =

T T

2 2 2

0 0

Ri dt RI sin t dt

T

 
   

 



T
2
0
0

2 1 cos2

T

RI

dt

2 









 











T
2 2
0 0
0

RI T 2 RI

t sin 2 t T

2 4 T 2

   
      
  

 
o





sẽ trượt xuống dưới tác dụng của trọng lực. Hãy biểu diễn góc



theo thời gian t (Tính
bằng cơng thức tính phân)

(sin sin )
2
o
o
d
t
a
B.
3

(sin sin )
2
o
o
d
t
g
a

C.
3

(sin sin )
o
o
d
t
g
a
D.





 
  

o
o
a
g
d
t
)
sin
(sin
2
3

Hướng dẫn giải

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Do trượt không ma sát nên cơ năng của thanh được bảo toàn

tt
q

o mga K K

mgasin  sin  (1)

Do khối tâm chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính a nên: 2 2
2

'
2
1

2 



ma
ma

Ktt  

Động năng quay quanh khối tâm: 2 2 2 2 2

6
1
'
)
2
(
12

1
2
1
2




 m a ma

I

Kq   

Thay vào (1) ta được: ' (sin sin )
3

2  2   

o

g
a

' (sin sin )

2 o

g
a






 

  



o

o
a

g
d

t

)
sin
(sin

2
3

o





sẽ trượt xuống dưới tác dụng của trọng lực. Tính góc sin khi thanh rời khỏi tường

sin

1 sin

o

3  



sin

2 sin

o

3  



sin

2 sin

o

5  



sin sin

3 o

Hướng dẫn giải

Xét chuyển động khối tâm của thanh theo phương Ox:

1 mx

N  . Tại thời điểm thanh rời tường thì N1 0x''0

Toạ độ khối tâm theo phương x là:



cos

a

x



Đạo hàm cấp 1 hai vế:

x

'





a

sin



.



'

Đạo hàm cấp 2 hai vế: x''a



cos



'2sin



 

a cos



'2sin





Khi x''0

cos



.



'





sin



.



''

(2)

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

Từ (1) suy ra:

a



'

g

sin



g

sin



o

3

2 



Lấy đạo hàm 2 vế:

'

'.

'

cos

.

'

0

3

4 







g

a

Hay:



cos



4

3 ''

a

g





Thay vào (2) ta có phương trình:





















cos

4

3 .

sin

)

sin

(sin

2

3 .

cos

a

g

a

g

o
)
sin
(sin
2

sin







o 



o



sin

3

2 sin



A.





3
2
4 1
a

  B.





3
2
1
4
a 



C.





3
2
1

4
a 


 D. 
3
2
4
a 


để tạo thành thân (tạo thành hình trụ có chiều cao bằng a). Điều kiện là

1
a
x





 thì





2 3

4 4 1

ax a

V  



 

 .

+) Cách 2: Cắt như trên. Nhưng phần có kích thước a-x và a cuộn ngang để làm thành
thân (tạo thành hình trụ có chiều cao là a-x). Điều kiện là x a



 do chu vi của hình trịn

cắt ra phải bằng với phần đáy của hình chữ nhật. Khi đó





2
4
a x x

V   .

Xét hàm số





2
4
a x x

V   , với x a


 .

Câu 173: Từ một miếng tơn hình vng cạnh a(cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ 
nhật và hai hình trịn có cùng đường kính để làm thân và các đáy của một hình trụ. Hỏi
khối trụ được tạo thành có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu, biết rằng các cạnh cảu hình
chữ nhật song song hoặc trùng với các cạnh ban đầu của tấm tơn.

Hướng dẫn giải

Ta có 2 cách để cắt hình để tạo thành hình trụ.

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

Ta có









2 3

2
1

4 4

a x x a

V  



 

  .

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ được tạo thành là:





2
1
4
a 





Câu 174: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu khơng đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu 
của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhưng do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4%
mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết.

A. 45 năm B. 50 năm C. 41 năm D. 47 năm

Hướng dẫn giải

Giả sử số lượng dầu của nước A là 100 đơn vị.

Số dầu sử dụng không đổi mà 100 năm mới hết thì suy ra số dầu nước A dùng 1 năm là 1
đơn vị.

Gọi n là số năm tiêu thụ hết sau khi thực tế mỗi năm tăng 4%, ta có



 





1.04
1. 1 0, 04 . 1 0, 04 1

100 4,846 40, 23

0, 04

n

n log

  

    .

Vậy sau 41 năm thì số dầu sẽ hết.

A. 3722 B. 7445 C. 7446 D. 3723

4349582

Phương trình đường tròn của miếng đất sẽ là 2 2
25
x y 

Diện tích cần tính sẽ bằng 2 lần diện tích phần tơ đậm phía
trên.

Phần tơ đậm được giới hạn bởi đường cong có phương trình

là 2

y x , trục Ox x;  5;x4 (trong đó giá trị 4 có
được dựa vào bán kính bằng 5 và độ dài dây cung bằng 6)
Vậy diện tích cần tính là

2
5

2 25 74, 45228...

S x dx







  Do

đó, đáp án là câu B

Câu 175: Một người có mảnh đất hình trịn có bán kính 5m người này tính trồng cây trên 
mảnh đất đó biết mỗi mét vng trồng cây thu hoạch được giá 100 nghìn. Tuy nhiên cần
có khoảng trống để dựng chồi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m sao cho 2 đầu
mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này thu hoạch được bao

nhiêu tiền (tính theo đơn vị nghìn và bỏ phần số thập phân).

Hướng dẫn giải

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

Câu 176: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn, khơng có nắp ở phía trên với thể tích 
1,296 m3. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật
với 3 kích thước a, b, c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a, b, c 
bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể.

A. a3, 6 ;m b0, 6 ;m c0, 6m B. a2, 4 ;m b0,9 ;m c0, 6m
C. a1,8 ;m b1, 2 ;m c0, 6m D. a1, 2 ;m b1, 2 ;m c0,9m
Hướng dẫn giải

Thể tích bể cá là: V abc1, 296

Diện tích tổng các miếng kính là Sab2ac3bc (kể cả miếng ở giữa)
Ta có:

3 3

1 2 3
3 , ,

1 2 3 1 2 3 3 6 3 6

3 . .

1, 296

Cauchy cho so
c b a
S

abc    c b a c b a  abc 

Dấu “=” xảy ra khi

1,8

1 2 3

1, 2

1, 296 0, 6

a
b
c b a

abc c



  

  

 

   

 

Đáp án: C

12

 

(12 13 15)  cm . B.

 

2
12 13 cm .

C.12 13

 

15 cm . D.

 

2
(12 13 15)  cm
Hướng dẫn giải

Gọi R1 là bán kính đường trịn đáy hình nón lúc đầu; h1 là chiều cao của hình nón lúc đầu.
Gọi R2 là bán kính đường trịn đáy hình nón sau khi tăng thể tích; h2 là chiều cao của hình
nón sau khi tăng thể tích.

Ta có: 2 2

1 1 1 1 1

1 1

12 4 3

3 3

V  R h    R R 

2
1 1 1

2 2 2

2 2 2 2 2 1

1 1
2 1

1
3
1

4 2 6

V R h

V R

V R h R R

V R

h h





 




      



 



</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu:

 

1 1 1 3 16 9 15

xp

S R l     cm

Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể tích:

 

2 2 2 6 16 36 12 13
xp

S R l     cm

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là:





 

2
12 13 15

S   cm

Đáp án: A

Câu 178: Một người đứng từ sân thượng một tòa nhà cao 262m, ném một quả bi sắt theo 
phương thẳng đứng hướng xuống (bỏ qua ma sát) với vận tốc 20m/s. Hỏi sau 5s thì quả
bi sắt cách mặt đất một đoạn bao nhiêu mét? (Cho gia tốc trọng trường

A. 35 m B.36 m C. 37 m D. 40 m

Hướng dẫn giải

Quả bi sắt chịu tác dụng của trọng lực hướng xuống nên có gia tốc trọng trường

Ta có biểu thức v theo thời gian t có gia tốc a là:

Ở đây, với:

Lấy nguyên hàm biểu thức vận tốc, ta sẽ được biểu thức quảng đường

Theo đề bài, ta được khi

Vậy biểu thức tọa độ quảng đường là:
Khi , ta sẽ được

Vậy quả bi cách mặt đất .

d







10 /

a m s





10 /

a m s

10 10
v



adt



dt tC

0, 20 /
20

t v m s

C

 

 





10t 20 m s/
 





10 20

5 20

s vdt

t dt

t t K



 

  



0 0 0

t    s K





2 2

5 20 /
s t  t m s

t s s225

 

m

 

262 225 37

d m

   

Vậy ta biểu diễn biểu thức vận tốc có dạng:

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

Câu 179: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình trịn bán 
kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vng góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác 
đều. Thể tích của vật thể là:

A. 256.
3



V B. 32.



V C. 256 3.



V D. 32 3.



V

Hướng dẫn giải

Chọn tâm đường trịn làm gốc.

Diện tích thiết diện là 3 2 3(4 2)
4

S  AB  x

2 2

( ) 4 (4 )

V S x dx x dx

 











A. 3

40500 3cm B.40500 2cm3 C. 3

40500 6cm D.

3
40500 5cm
Hướng dẫn giải

Thể tích máng xối: 2

.300 ( )

 ABCD

V S cm .

Vậy thể tích lớn nhất khi diện tích hình thang là lớn nhất.
1

( ).

 

ABCD

S BC AD CE





CE CDsin 30.sin

2 30 60 

   

AD BC ED cos

3m
90cm

30cm

30cm
30cm

D

B C

A

θ
30cm

E D

A

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

90 2

 

 

ABCD

S sin sin

Đặt ( ) 90 90 2 , [0; ]

     

f sin sin

'( ) 90 .2 2

   

f cos cos

1
cos

'( ) 0 cos cos 2 0 2 cos cos 1 0 2 3

cos 1





    

  



  




         



   

 

f .

(0) ( ) 0; 135 3
3



  

   

 

f f f . Vậy GTLN của diện tích ABCD là 2

135 3cm .
Vậy thể tích máng xối lớn nhất bằng 3

40500 3cm khi ta cạnh CD tạo với BC góc 0
60 .

 

U x

 

 . 1 0,04







x

U x A

A. 1 năm 5 tháng. B. 1 năm 2 tháng. C. 1 năm. D. 11 tháng.







2 

1 0.04 108160

A A100000. Khi đó cơng việc của ta chỉ là tìm x sao cho









100000 1 0.04 x 194790  log1 0.04 19479017
100000

x hay 1 năm 5 tháng.

Câu 182: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng 
chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo
dược thể tích nước tràn ra ngoài là 16 3



dm . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt

trên của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của
hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện
tích xung quanh Sxq của bình nước là:

Câu 181: Theo số liệu từ Facebook, số lượng các tài khoản hoạt động tăng một cách 
đáng kể tính từ thời điểm tháng 2 năm 2004. Bảng dưới đây mô tả số lượng là số tài
khoản hoạt động, trong đó x là số tháng kể từ sau tháng 2 năm 2004. Biết số lượt tài 
khoản hoạt động tăng theo hàm số mũ xấp xỉ như sau: với A là số tài
khoản hoạt động đầu tháng 2 năm 2004. Hỏi đến sau bao lâu thì số tài khoản hoạt động
xấp xỉ là 194 790 người, biết sau hai tháng thì số tài khoản hoạt động là 108 160 người.

Hướng dẫn giải

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

A. 9 10 2



xq

S dm . B. 2

4 10

 
xq

S dm . C. 2

 
xq

S dm . D.

3
2



xq

S dm .

Hướng dẫn giải

Xét hình nón : hSO3r , rOB l, SA. Xét hình trụ : h12rNQ , r1ONQI

SQI SBO 1 1

3 3

 QI  SI   r r

BO SO  Thể tích khối trụ là :

3
2

1 1

2 16

2 6

9 9

 

       

t

r

V r h r h  l h2r2 2 10Sxq   rl 4 10dm2



MN SO M N,


SO h SO

S R OA

A. 

h

MN B. 

h

MN C. 

h

MN D. 

h
MN
Hướng dẫn giải

Ta thấy khi quay quanh trục SO sẽ tạo nên một khối trụ nằm trong khối chóp. Khi đó thiết 
diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ. Ta có hình sau:

M

Q 
P

A B

I 
O

S
N

A 
S

M 
Q

B

I

A
SO

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

Ta có SOh; OAR. Khi đó đặt OIMNx.

Theo định lí Thales ta có IM  SI IMOA SI.  R h x.







OA SO SO h . Thể tích khối trụ







  2  2  2

. R .

V IM IH x h x

h

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:







  









 

 

2 2 2

x h x

x h x

Vậy  

4
27

R h

V . Dấu '' '' xảy ra khi 
3

h

x . Hay 
3

h
MN .

Câu 184: Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng

 

P song song với đáy. Mặt phẳng

 

P
chia hình nón làm hai phần

 

N1 và

 

N2 . Cho hình cầu nội tiếp

 

N2 như hình vẽ sao
cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích của

 

N2 . Một mặt phẳng đi qua trục hình
nón và vng góc với đáy cắt

 

N2 theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của
hình thang cân là

A. 2 B. 4 C. 1 D. 3

Hướng dẫn giải

Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại lượng như hình vẽ.
Gọi  là góc cần tìm.

Xét AHD vng tại H có DHh,AH R r





 

h 2r AH.tan R r tan 1

      

Thể tích khối cầu là

3
3

1 0

4 h

V r

3 6



  

Thể tích của

 

N2 là



2 2



V h R r Rr

   

 

2 2 2
1

V 1

h R r Rr 2

V  2   

h
r0

K
H

O

A

C

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

Ta có BC R r  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà h2 BC2



R r



2 4Rr

 

3

Từ

    

2 , 3  R r



2 Rr

 

Từ

     

1 , 3 , 4 h2 



R r .tan



2 2 4 R r







2 tan2  4 tan 2(vì  là góc nhọn)

Câu 185: Theo kết quả của một trung tâm nghiện cứu về mức độ sa mạc hóa của hoang 
mạc Sahara cho biết mức độ sa mạc hóa của hoang mạc là một hàm phụ thuộc theo nhiệt
độ môi trường:ΔS = t



2 2t - 1 .e



-2t+3

- .Giả sử nhiệt độ môi trường dao động từ 00C đến

500C. Hỏi nhiệt độ nào khiến mức độ sa mạc hóa lớn nhất ?

A. 30 B. 10 C. 20 D. 00

Giả sử f t

 

  S



t2 2t  1 .e



 2t 3

 









 





 

’ 2t 3 2 2t 3

’ 2 2t 3

’ 2

f t 2t 2 .e 2 t 2t 1 .e
f t 2t 6t .e

f t 0 2t 6 0 0

3
t

   

 

    

  

   



  




Ta thấy max f(t) = f(3) = 0,10

A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
Đáp án B

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

Tổng số thóc ở các ơ là

64
64

2 63 64

2 1

2 1 2 2 ... 2 2 1

2 1

n

S          




hạt

Lưu ý rằng số chữ số của một số chính là giá trị nguyên nhỏ nhất lớn hơn log của số đó.
Sử dụng máy tính ta tính được





log 2  1 19, 26591972 nên số thóc là một số có 20 chữ
số.

Câu 187: Một bể nước có dung tích 1m3 nước. Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể.
Ban đầu bể cạn. Trong giờ đầu, vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/phút. Trong các giờ tiếp
theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể
nước đầy ?

A. 5,14 giờ B. 14915 giây C. 350 phút D. 3,14 giờ
Đáp án B

Gọi n là số giờ vòi nước chảy để đầy bể
Vận tốc chảy giờ đầu là 60 lit/giờ

Trong giờ đầu vòi chảy được 60 lit
Trong giờ thứ hai vòi chảy được 60.2 lit
Trong giờ thứ ba vòi chảy được 2

60.2 lit
…

Trong giờ thứ n vòi chảy được 1
60.2n lit
→ Tổng lượng nước chảy sau n giờ là

2 1

53 53

60.(1 2 2 ...2 ) 60(2 1) 60(2 1) 1000 2 log 4,142957( )

3 3

n n n n

lit n h

  

             

 

Đổi đơn vị ta suy ra thời gian cần chảy xấp xỉ 14915 giây.
Câu 188: Trong ngày trung thu, bố bạn Nam

đem về cho bạn Nam một chiếc bánh trung
thu. Nam rất vui vẻ vì điều đó, tuy nhiên để
kích thích tinh thần toán học của bạn Nam, bố
bạn Nam đưa ra một bài toán như sau : Giả sử

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

được cắt đúng hai nhát, mặt phẳng 2 nhát dao phải vng góc với đáy và song song với
nhau. Như vậy, theo cách cắt thì sẽ có hai miếng giống nhau và một việc khác hình thù, 3
miếng có cùng chung thể tích. Hỏi khoảng cách giữa 2 mặt phẳng nhát cắt gần nhất với
giá trị bao nhiêu ?

A. 3,5cm B. 3cm C. 3,2cm D. 3,44cm

Đáp án C

Thực chất bài toàn là chai hình trịn thành 3 phần bằng nhau như hình vẽ:

Vì các miếng bánh có cũng chiều cao nên diện tích đáy của các miếng bánh phải bằng nhau
và bằng 1

3 diện tích chiếc bánh ban đầu.

Trong hình vẽ thì ta có OA=OB=6 và

2
1 2 3

12
3

OA

S S S   

Đặt AOB=α(0, ) thì ta có:S1SOAB SOAB

1 .

12 . .sin .

2 2

OA

OA OB 

  



  

12 18sin 18

  

Sử dụng chức năng trên máy tính ta tìm được giá trị α 2,605325675

Khoảng cách 2 nhát dao là .cos 2 3,179185015
2

xOA  

Câu 189: Một nhà toán học đang dự định chinh phục đỉnh núi Everest (có độ cao là 
8848m). Do có vấn đề về tim mạch, nên ông rất quan tâm tới vấn đề áp lực khí O2 trong
khi thở. Qua tìm hiểu ơng phát hiện ra hai cơng thức có ảnh hưởng tới quá trình leo núi

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

của mình:

2 2

O O /kk kq

P C .(P 47)(mmHg) (trong đó,
2

P là áp lực khí O2 trong khi thở,
2

O /kk

C 0, 21 là nồng độ O2 trong không khí bình thường, Pkk



mmHg



là áp lực khí

quyển và

3(h/5000)

kk 2

1 e

P f (h) .760(mmHg)

3(h / 5000)



  (trong đó, h(m) là độ cao nơi người đó
đứng so với mặt đất). Khi dưới 100mmHg bệnh ông sẽ tái phát và chết. Tìm khẳng định
đúng?

1.Muốn bảo tồn tính mạng, nhà tốn học khơng thể lên đỉnh núi.
2.Cịn thiếu chưa đầy 100m nữa là nhà tốn học có thể lên đỉnh núi.

3.Nhà tốn học sẽ lên được đỉnh nếu sức chịu đựng của ông ta là trên 110mmHg.
A. Khơng có B. Khẳng định 1,2,3 C. Khẳng định 1,3 D. Khẳng định 1,2

A. 4,88 B. 4,95 C. 4, 5 D. 4,35

10 năm đó bao gồm 3 năm chiến tranh và 7 năm hịa bình. Do đó, dân số sẽ được tính là:

3 7

4.(0,98) .(1, 04) 4,95 tỷ người
Vậy đáp án đúng là B

Câu 191: Đường cao tốc mới xây nối hai thành phố A và B, hai thành phố này muốn xây 
một trạm thu phí và trạm xăng ở trên đường cao tốc như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí đi
lại, hai thành phố này quyết định toán xem xây trạm thu phí ở vị trí nào để tổng khoảng
cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm
thành phố A, B đến đường cao tốc lần lượt là 60km và 40km và khoảng cách giữa hai
trung tâm thành phố là 120km (được tính theo khoảng cách của hình chiếu vng góc của
Khẳng định 2 và 3 đúng chúng ta dễ dàng kiểm tra được tính đúng đắn! Cịn khẳng định 1 là
một câu hỏi khá lạ đối với học sinh. Tuy nhiên, ta chỉ cần chú ý tính chất điểm uốn là tâm
đối xứng và ta chỉ cần chú ý nếu tồn tại 2 điểm cùng một bên điểm uốn mà cách đều điểm
uốn thì bài tốn được giải quyết. (Cơng việc này khác đơn giản). Đáp án đúng là B.

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức là PQ kí hiệu như hình vẽ). Tìm vị trí của
trạm thu phí và trạm xăng? (Giả sử chiều rộng của trạm thu phí khơng đáng kể).

A. 72km kể từ P B. 42km kể từ Q C. 48km kể từ P D. tại P

Vẽ lại hình vẽ thì ta có hình vẽ đơn giản hóa như sau:

Thực chất bài tồn trở thành tìm x để AC+BC nhỏ nhất.
Theo định lý Pytago ta có 2 2

AC 60 x ;

2 2 2

BC (120 x ) 40   x 240x 16000

Khi đó 2 2

f (x)AC BC  x 3600 x 240x 16000 . Ta cần tìm

(0;12)

Min f (x).

Ta có

2 2

x x 120

f '(x)

x 3600 x 240x 16000



 

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

Bấm máy tính sử dụng nút TABLE ta nhận thấy phương trình có duy nhất một nghiệm này
do f’(x) chỉ đổi dấu qua 72. Khi đó ta có BBT sau:

X 0 72

120

f’(x) - 0 +

f(x)

Min

Vậy từ đó ta có thể kết luận CP=72.

A. 47,64% B. 65,09% C. 82,55% D. 83,3%
Đáp án D

Giả sử bán kính của mỗi quả bóng bàn là r thì khi đó hộp đựng bóng bàn sẽ có kích thước
là 2r x 2r x 6r. Khi đó tổng thể tích của ba quả bóng bàn sẽ là 4 3 3

3. . .r 4 r

3    .

Thể tích của hộp sẽ là 2r.2r.6r24r3. Vậy phần khơng gian cịn trống trong hộp sẽ là:

3 3 3

V 24r   4 r 20 r sẽ chiếm

3
3

20 r

.100% 83,3%
24 r

 

 .

Câu 193: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhơm có bán kính R=10 đặt trong một 
khung hình hộp chữ nhật (như hình vẽ). Trong chậu chứa sẵn một khối nước hình chỏm
cẩu có chiều cao h=2. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt
nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (như hình vẽ). Cho biết cơng thức tính thể tích của
khối chỏm cầu hình cầu (O;R) có chiều cao h là: Vchỏm 2

h
h R

 

    

 , bán kính của viên

bi:

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

A. r1 B. r 1
2

 C. r1,5 D. Đáp án khác.

Đáp án A

Ta có thể tích phần nước dâng lên chính bằng thể tích của viên bi ném vào. Do vậy ta có:

Thể tích nước ban đầu:V1 h2 R h
3

 

    

 ;

Khi đó thể tích nước sau khi ném viên bi vào thể tích sẽ là

3 2 3

2 1

4 h 4

V V r h R r (1)

3 3 3

 

        

 

Do vậy thể tích sau kh bỏ viên bi vào được tính bằng cơng thức:V2 .(2r)2 R 2r
3

 

    

  (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình: h2 R h 4 r3 4 r2 R 2r

3 3 3

   

         

   

3 2 2 h

4r 4Rr h R

 

     

 =0.

Khi đó thay các giá trị mà đề đã cho vào phương trình bấm máy tính giải ta được

r 1.019450 (chọn A). Bấm máy tính ta thấy có 2 nghiệm, tuy nhiên việc bán kính của viên
bi xấp xỉ bằng chậu nước là điều vơ lí (9.90486).

Theo đề bài ta có:

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

Câu 194: Bác Tơm có cái ao có diện tích 2

50m để ni cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật

độ 2

20 con/m và thu được 1,5 tấn cả thành phẩm. Theo kinh nghiệm ni cá của mình,
bác thấy cứ thả giảm đi 8 con/ 2

m thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg.
Vậy vụ tới bác phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất?
(Giả sử không có hao hụt trong q trình ni).

A. 488 con B. 512 con C. 1000 con D. 215 con

Số cá bác đã thả trong vụ vừa qua là 20.50 100 con.

Tiếp đến ta phải tìm xem nếu giảm đi x con thì mỗi con sẽ tăng thêm bao nhiêu. Trong
hóa học các quý độc giả đã học cách làm này rồi, và bây giờ tôi sẽ giới thiệu lại cho quý
độc giả:

Khi giảm 8 con thì năng suất tăng 0,5kg/con.
Khi giảm x con thì năng suất tăng a kg/con.
Đến đây ta tính theo cách nhân chéo: 0,5. 0, 0625

8
x

a  kg/con.

Vậy sản lượng thu được trong năm tới của bác Tôm sẽ là :

  

1000



1,5 0, 0625



f x  x  x kg

 

0, 0625 1,5 1500 62,5

f x   x  x  x

0, 0625x 62x 1500

   

Vì đây là hàm số bậc 2 nên đến đây ta có thể tìm nhanh GTNN của hàm số bằng cách
bấm máy tính như sau:

1. Ấn MODE 5:EQN ấn 3 để giải phương trình bậc 2.
2. Lần lượt nhập các hệ số vào và ấn bằng cho đến khi máy hiện:

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

mua bao nhiêu con cá giống” thì đáp án chúng ta cần tìm phải là 1000 488 512. Đáp án
B

Câu 195: Người ta xếp 7 hình trụ có cùng bán kính đáy r và cùng chiều cao h vào một cái 
lọ hình trụ cũng có chiều cao h, sao cho tất cả các hình trịn đáy của hình trụ nhỏ đều tiếp
xúc với đáy của hình trụ lớn, hình trụ nằm chính giữa tiếp xúc với sáu hình trụ xung
quanh, mỗi hình trụ xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ lớn. Khi
thể tích của lọ hình trụ lớn là:

A. 2

16 r h B. 2

18 r h C. 2

9 r h D. 2

36 r h

Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy của hình đã cho như trên, khi đó ta rõ ràng nhận ra rằng
3 ,

R r đề bài thì có vẻ khá phức tạp, tuy nhiên nếu để ý kĩ thì lại rất đơn giản. Vậy khi đó

 

2 2

. 3 . . 9 .

V B h r  h r h

A. 7km B. 6,5km C. 6, 77km D. 6,34km

Trên mặt phẳng Oxy ta lấy hai điểm B(3;0); (0; 4)C thì ba người mà ta đang xét nằm ở ba vị
trí là O B C; ; và ta cần tìm điểm M thỏa mãn: MO MB MC  đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có hai
cách làm:

+ Một là gọi H K; là hình chiếu của M lên OB OC; sau đó đặt MH x MK; y rồi tiếp tục
giải.

+ Hai là ta dựng các tam giác đều OBX OMI; như hình vẽ. Khi đó, ta có:

OIX MO+MB+MC=CM+MI+IX

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

Điểm M là giao điểm của CX và đường tròn ngoại tiếp OBX . Ta có: X x y( , ) . Khi đó:





2 2
2 2
3
9 2
3
3 3

3 9
2
x
x y
XO XB OB

x y
y
 

  
 
    
  
 
  


Do X nằm dưới trục hoành nên: 3; 3 3

2 2

X  

  .

Khi đó ta có: : 0 4 24 9 3( 4)

3 3 3 37

0 4

2 2

x y

CX     x   y

  

2
2

3 3

( ) : 3

2 2

OBX x  y  

   

Do đó, điểm M là nghiệm của hệ:

2 2

2
2

24 9 3

( 4)

37 24 9 3 3 3

( 4) 3

37 2 2

3 3
3
2 2
x y
y y
x y
  
 

    
      
   
      
     
      
   

2 2

24 9 3 3 3 3 3

37 2 2 y 2

       
     
      





2
2 2
2
2 2
2
2

3 3 3 3 3

( )

2 2 2

3 3 3 24 9 3 3 37 3( 24 9 3)

2 2 37 2 37

24 9 3 24 9 3 37

37 37

y y x M X loai

y y
 
       
 
 
         
   
     
      

 
     
  
 
 
  






1088 1296 3

486 136 3
2

2188 432 3 547 108 3

y y

  

   

 

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

24 9 3 1702 296 3 ( 24 9 3)( 46 8 3) 1320 606 3
.

37 547 108 3 547 108 3 547 108 3

x         x 

    

  

Do đó ta có điểm: 1320 606 3 486 136 3;
547 108 3 547 108 3

M   

 

 

(0, 7512;0, 6958)

M

Nên: OM BMCM 6, 77km .Vậy đáp án đúng là C

Câu 197: Một người nơng dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E 
dọc theo một con sơng (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng
rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000
đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí ngun vật liệu
là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.

A. 6250 2

m B. 1250 2

m C. 3125 2

m . D. 50 2
m

3 .50000 2 .60000 15000000x  y 
15x 12y 1500

  

150 15 500 5

12 4

x x

y  

  

Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:

 

500 5 1





2. . 2 . 5 500

4 2

x

f x  x y x    x  x

Xét hàm số

 





5 500
2

f x   x  x trên



0;100



Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành
từng mặt

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

 



  

' 10 500 , ' 0 50

f x   x f x   x

Ta có BBT

A. t16, 61phút B. t 16,5 phút C. t15 phút D.t15,5phút

1 2
N 

2
2 2
N 

Sau phút sao chép thứ t số tế bào là: Nt 2t 100000

log 100000 16, 61
t

   phút

Câu 199: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D t

 

đô la mỗi năm, với

 





' 90 1 6 12

D t   t  t trong đí t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể từ cơng ty bắt

đầy vay nợ. Đến năm thứ tư công ty đã phải chịu 1 626 000 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm
số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này ?

A.

 





30 12

f t  t  t C B.

 

3





30 12 1610640

f t  t  t 

C.

 





30 12 1595280

f t  t  t  D.

 

3





30 12 1610640

f t  t  t 

Vậy ta đã có kết quả của bài tốn.

Câu 198: Khi quan sát qua trình sao chéo tế bào trong phịng thí nghiệm sinh học, nhà 
sinh vật học nhận thấy các tế báo tăng gấp đôi mỗi phút. Biết sau một thời gian t giờ thì 
có 100 000 tế bào và ban đầu có 1 tế bào duy nhất. Tìm t:

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

Ta có thể dễ dàng nhận thấy: bài toán cho đạo hàm của một hàm số, công việc của chúng

ta là đi tìm nguyên hàm:





2 2





90 t6 t 12tdt 45 t 12td t 12t





 



2 2 2

45 t 12t d t 2t





 



2



1 1

2
1

45. 12

1
1

t t 

 







3
2

30. t 12t

 

Vì đến năm thứ tư cơng ty đã chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà cơng ty vay năm
đầu sẽ được tính



2



1610640 30 4 12.4 1595280

Vậy công thức tính tiền nợ nần sẽ như sau:

 





30 12 1595280

D t  t  t 

Câu 200: Tốc độ thay đổi doanh thu (bằng đô la trên một máy tính) cho việc bán x máy 
tính là f x

 

, biết f '

 

x 12x53x22x12. Tìm tổng doanh thu khi bán được mười hai 
máy tính đầu tiên.

A. 5973984 đơ la B. 1244234 đô la C. 622117 đô la D. 2986992 đô la

Nhận thấy:



5 2



12x 3x 2x12 dx



6 3 2

12 1 1

3. 2. 12

5 1x 2 1x 1 1x x C

    

  

6 3 2

2x x x 12x C

     . Nhận thấy đây là “Tốc độ thay đổi doanh thu ( bằng đơ la trên
một máy tính) cho việc bán x máy tính” nên C = 0. Do vậy ta chỉ cần thay x = 12 vào sẽ
được:

 

6 3

12 2.12 12 12.12 5973984

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

Câu 201: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ 
dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần cịn
lại phía dưới là chứa đầy chocolate ngun chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi xx0
là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate ngun chất

có giá trị là V0 . Tìm V0

A. 48 đvtt B. 16 đvtt C. 64 đvtt D. 64

3 đvtt
Trước tiên ta nhận thấy











6 12 2 2 6

V  x  x x x x





3 2

2x x 12x 36 2x 24x 72x

     

Xét hàm số f x

 

2x324x272x trên

 

0; 6

 

' 6 48 72; ' 0

2
x

f x x x f x

x




     



Khi đó ta có

 0;6

 

max f x  f 2 64 đvtt. Đến đây nhiều quý độc giả vội vã khoanh C mà

ngun chất mà khơng phải là thể tích hộp do đó ta cần. Tức là 1 1 3
4 4

  thể tích hộp.

Tức là 3.64 48
4  đvtt.

Câu 202: Biết thể tích khí CO2 năm 1998 là

 

V m . 10 năm tiếp theo, thể tích CO2 tăng
%

m , 10 năm tiếp theo nữa, thể tích CO2 tăng n%. Tính thể tích CO2 năm 2016 ?

A.







 

2016 20

100 100
10

m n

V V   m B.



 



 

10 8

2016 36

100 . 100

m n

V V   m

C. V2016 V V. 1



 m n



 

m3 D.





 

18 3
2016 . 1

V V  m n m
Năm 1999 thể tích khí CO2 là:

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

100

. 1 .

100 100 100

m m m

V  V V V  V 

 

Năm 2000, thể tích khí CO2 là:

2 2

1 100
1

100 100

m

V V   V  

    …

Vậy ta có quy luật nên sẽ nhẩm nhanh như sau: từ năm 1998 đến 2016 là 18 năm, trong
đó 10 năm đầu chỉ số tăng là m%, 8 năm sau chỉ số tăng là n%. Vậy thể tích sẽ là

10 8

2016

100 100

m n

V  V      

   



 



8
36

100 100

m n

V  

 . Đáp án B.

Câu 203: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h t

 

là thể tích nước bơm
được sau t giây. Cho h t'

 

3at2bt và:

Ban đầu bể khơng có nước.

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 3
150m
Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là 3

1100m

Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
A. 8400 3

m B. 2200 3

m C. 600 3

m D. 4200 3

m

Đáp án A.

Từ các dữ kiện đề cho ta có:





2 3 2

5
1
3

0
2
at bt dtat  bt 

 



125 25 150

a b

  

Tương tự ta có 1000a50b1100
Vậy từ đó ta tính được a1;b2

Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là

 





3 2
0

' 8400.

0
h t dt t t 

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

Câu 204: Từ một mảnh giấy hình vng cạnh là a, người ta gấp nó thành 4 phần đều 
nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều (như hình vẽ). Từ một mảnh giấy
hình vng khác cũng có cạnh là a, người ta gấp nó thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên 
thành một hình lăng trụ tam giác đều (như hình vẽ). Gọi V V1, 2lần lượt là thể tích của lăng
trụ tứ giác đều và lăng trụ tam giác đều. So sánh V1 và V2.

A. V1 V2 B. V1 V2 C. V1V2 D. Khơng so sánh được
Ta có

3
1 . .

4 4 16
a a a
V a 

và

3
2

1 3 3

. . . .

2 3 2 3 36

a a a

V a  . Do đó V1 V2.

Ta chọn phương án C.

Câu 205: Tốc độ sinh sản trung bình sau thời gian t năm của lồi hươu Krata được mơ tả 
bằng hàm số:

 

2.10 . t.

v t  e t . Hỏi rằng, sau 20 năm số lượng tối thiểu sẽ là bao nhiêu

 

L t

 

dL t dtv t

A. 2017 B. 1000 C. 2014 D. 1002

Ta có:

 

   

2.10 t 0

dL

v t e t L x L

dt



    3

02.10

x t

e tdt





 



 



 



 



 





 

0
0
3

0
3

0 2.10

0 2.10 1

20; 0 17 20 2017

x x

t t

x

x t

x x

L x L te e dt

L x L xe e

x L L

 

   

    

    

   



biết rằng ban đầu có 17 con hươu Krata và số lượng hươu con được tính qua cơng

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

Vậy đáp án đúng là A

Câu 206: Một xe tải đang chạy với vận tốc 60km h/ thì tài xế đạp thắng (đạp nhanh). Sau
khi đạp thắng, xe tải chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t

 

 27t24



m s/



, trong
đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp thắng. Hỏi từ lúc đạp thắng 
đến khi dừng hẳn, xe tải còn di chuyển khoảng bao nhiêu mét?

A. 2 mét B. 5 mét C. 8 mét D. 11 mét

Lấy mốc thời gian là lúc xe tải bắt đầu được thắng. Gọi T là thời điểm xe tải dừng hẳn. Ta 
có v T

 

0 suy ra 27 24 0 24

T T

     . Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp thắng

đến khi dừng hẳn của xe tải là 24

27 giây. Trong khoảng thời gian đó, xe tải di chuyển được 
quãng đường là





24 27

2
27

27 32

24 27 24

2 3

S   t dt t t  

 



(mét)

Ta chọn phương án D





C mol l

 

s km có phương trình:

 





0,1 /

s s
e

C s mol l

s



 

 . Tìm độ sâu s km0

 

để nồng độ muối
nơi đó là lớn nhất.

A. 0 1 5

 

s   km B. 0 1 5

 

s   km C. s0 1,182



mol l/



D. Không tồn tại s0
Bản chất bài tốn này là tìm giá trị lớn nhất của hàm số, ta có:

 









 





2 2

3/ 2

4 2 1

0,1 '

1 2 1

1 5

4
0

1 5

( )

s s

s s e s s

e

C s C s

s s

s loai

C s

s chon



  

    

 

  



 

  




Vì s là độ sâu nên ta chỉ cần xét trong trường hợp s0. Do đó, dễ dàng nhận thấy giá trị

lớn nhất khi 1 5
4

s   . Vậy đáp án đúng là A.

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

Câu 208: Một vi sinh đặc biệt X có cách sinh sản vơ tính kì lạ (sinh sản vơ tính tức là 
sinh sản không cần qua sự giao phối giữa hai con), tại thời điểm 0h có đúng 2 con X. Với
mỗi con X, sống được tới giờ thứ n (với n là số nguyên dương) thì ngay lập tức thời điểm 
đó nó đẻ một lần ra 2n con X khác, tuy nhiên do chu kì của con X ngắn nên ngay sau khi
đẻ xong lần thứ 4, nó lập tức chết. Hỏi rằng, lúc 7h có bao nhiêu con sinh vật X đang
sống?

A. 19328 B. 14336 C. 19264 D. 20170

Đây là một câu suy luận khá thú vị và hơi trừu tượng đối với học sinh, cần phân tích kĩ.
Ta sẽ vẽ thành một cái bảng với các hàng thì biểu thị số con sống được 0,1, 2,3, 4 tiếng
còn các cột thì biểu thị số con từng thời điểm 0 ,1 , 2 ,3 ,..., 7h h h h h.

0t 1t 2t 3t 4t

0h 0

1h 4 2

2h 16 4 2

3h 64 16 4 2

4h 256 64 16 4 2

5h 960 256 64 16 4

6h 3712 960 256 64 16
7h 14336 3712 960 256 64

Ta sẽ mô tả như sau: tại hàng một, có đúng 2 con sống được 0 tiếng tại thời điểm 0h. Tại
hàng hai tức là thời điểm 1h, 2 con này sống được 1 tiếng và mỗi con sinh ra 1

2 2 con
nên có tổng 4 con mới được sinh ra, hay là 4 con sống được 0 tiếng tại thời điểm này. Tại
hàng thứ ba tức là thời điểm 2h, 4 con sông được 1 tiếng và 2 con sống được 2 tiếng, khi
đó, chúng đẻ ra: 1 2

4.2 2.2 16 con và 16 con này sống được 0 tiếng tại thời điểm này.
Cứ tiếp tục như vậy ta có bảng trên và thu được, tại thời điểm 7h ta có tổng số con đang
sống là:14336 3712 960 256 19264   

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

Câu 209: Người ta thí nghiệm đo sự phân bố của 1 loại tảo có hại cho cá trong hố rộng, 
và nhận thấy sự phân bố của loại tảo này là 1 hàm f h

 

theo đọ sâu tính từ mực nước.
Tức là ở độ sâuh m

 

, sẽ có

 





f h kg m tảo. Cho

 

2. 7

4
h

f h   h  , tìm độ sâu mà ở
đó nơng độ của tảo là lớn nhất, biết hồ sâu nhất là 4m.

A. 3

7(kg m/ ) B. 3

3(kg m/ ) C. 3

39(kg m/ ) D. 3

45(kg m/ )
Ta sẽ tìm cực trị và các điểm biên của f h( )trong khoảng xét h

 

0; 4 Và lấy điểm có

( )

f h lớn nhất, đó chính là max f h( )cần tìm.
Cực trị là nghiệm của phương trình ' 3

( ) 0 4 0 2

f h  h  h   h hoặc h0

Có: f(0)7, (2)f 3, (4)f 39

Vậy f(4)39 là giá trị MAX cần tìm.

Do đó, đáp án đúng là C.

 

0; 0

A B



0;100





60;80



C A 10 /m s

20( )m 50( )m 20 10( )m 20 5( )m

Xét ở thời điểm t

Tọa độ của con chuồn chuồn bay từ B về A là



0;100 5t



Do con chuồn chuồn bay từ C về A trên đường thẳng AC có hệ số góc tan 4
3
k  nên
tọa độ của con chuồn chuồn này là:

60 10 .cos 60 10 . 60 6
5

80 10sin 80 8

x t t t

y t




      




    



Như vậy ở thời điểm t khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn sẽ là:

2 2

(60 6 ) (20 3 )

d   t   t

Câu 210: Hai con chuồn chuồn bay trên hai qu đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. 
Một con bay trên qu đạo đường thẳng từ điểm đến điểm với vận tốc
. Con còn lại bay trên qu đạo đường thẳng từ về với vận tốc .
5 /m s

Hỏi trong quá trình bay, thì khoảng cách ngắn nhất mà hai con đạt được là bao nhiêu?

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

Khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 2

(60 6 ) t (20 3 ) t đạt giá
trị nhỏ nhất với t



0;10



Xét 2 2

( ) (60 6 ) (20 3 )

f t   t   t trên



0;10



Ta có: ( ) 90 600 0 20

f t  t   t

min ( ) 2000

3
f t f  

   

 

 khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con chuồn chuồn trong quá trình bay là
200020 5( )m

Do đó, đáp án đúng là D.

A. 2 2 2
3

 B. 3 2 2

 C. 2 2 3

 D. 3 2



+ 8 mảnh thu được là như nhau.

+ Phần diện tích tăng lên là rh giới của những lát cắt tạo ra.

+ Diện tích tồn phần ban đầu của cái bánh: 2 2
1 2(2 ) 4.2 . 16

S  a  a a a

+ Diện tích mỗi phần miếng bánh sau khi cắt ra(bao gồm 2 mặt trên dưới,2 mặt vng

góc, 1 mặt từ cạnh huyền): 1 2 2

2. 2.( . ) 2.( ) (3 2)
2

s a  a a a a   a

Do đó với 8 phần ta có diện tích tồn phần lúc sau là: 2
2 8 8(3 2)
S  s  a
Do đó diện tích đã tăng lên:





2
1

2
2

8 3 2 3 2

2
16

a
S

S a

 

 

Đáp án đúng là D.

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

Câu 212: Tính thể tích của vật thể mà nó có các hình chiếu sau (đường nét liền là những 
đường nhìn thấy được,đường nét đứt là những đường bị che khuất).

Hình ( )A là hình chiếu đứng của vật thể có M đồng thời là trung điểm XYvà là trung
điểm của AB. SAB cân tại S với SASB50mm AB; 60mm,XYZT là hình chữ nhật
có XY 20mm YZ; 15mm .Hình ( )B là hình chiếu nằm của vật thể.

A. 11 3
( )
2 cm



B. 3

1445 ( mm ) C. 3

D. 21 3
( )
2 cm



+ Thể tích hình nón là:

2 2 2 2

2 2 2 3

1 1

1 1 1 60 60

. . . . 50 12000 ( )

3 3 2 2 3 2 2

AB AB

V   MA SM    SA    V       mm

       

3
1 12 ( )

V  cm

 

+ Thể tích khối lăng trụ là:

2 2

2 3 3

2 2 2

20 3

. . . . .15 1500 ( ) ( )

2 2 2

XY

V  MX XT   YZV      mm V   cm

   

+ Thể tích của vật thể là: 3
1 2

( )
2

V  V V   cm . Vậy đáp án đúng là D.

Câu 213: Giả sử rằng người anh trong câu chuyện cây khế được phép may tối đa hai cái 
túi (để xách lên hai vai) từ một mảnh vải chọn tùy ý nhưng chỉ có diện tích là 2

9m .Hỏi
người anh phải chọn vải và cách may như thế nào để đem được nhiều vàng nhất (tức là
thu được thể tích lớn nhất), biết rằng mỗi cái túi được coi như một hình hộp chữ nhật?

A. 3
2

 
 

  B.

3 2
3
2

 
 

  C.

3 3

4 D. 1

Đáp án đúng là B. Với một khối hình hộp chữ nhật có diện tích tồn phần khơng đổi thì 
theertichs của nó lớn nhất khi nó là hình lập phương. Thật vậy gọi ba kích thước của hình
hộp chữ nhật là a,b,c. Khi đó, ta có:





2 ons

tp

S  abbcca t ;

3
2

( )( )( )

2 6

tp
S
ab bc ca

V abc ab bc ca        V  

   

Dấu bằng xảy ra khi a b c .Với trường hợp trên ta chỉ cần xét trường hợp hai túi đều
là hình lập phương. Gọi hai cạnh của hình lập phương lần lượt là a,b. Khi đó ta có:

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

2 2 2 2 3

6 6

2
a  b a b  ;

3 2
3 3 3 3 2

2
tong

V a b a  a 

  ;

Xét

3 2

3 3 2 3

( ) ; 0

2 2

f x x  x   x

 

Từ đây ta tìm được thể tích đạt giá trị lớn nhất khi: 0; 3
2

x x và bằng
3 2

3
3

2 m

 
 
 

10km / h



là d ;d ;d . So sánh khoảng cách này. 1 2 3

A. d1d2 d3 B. d2d3d1 C. d3 d1d2 D. d1d3d2

Đáp án D

h o á n g đư n g ng dụng c ng h c o ng ch n đ ng chậ d n đề

0 0

v v v v

t; a

a 2S

 

 

h o á n g đư n g n ng

h nh v v0 4

 

2
t h a 900km / h

a 60

    

2
0

v 4

s 60. 6km

2a 60

   ; Sd16km

ư n g ự 2 3
20
d 8, 75km;d km

 

</div>

Tổng hợp bài toán thực tế lớp 12 có đáp án - Giáo viên Việt Nam

 





 

 

 

 

 

<i>S</i>



 





 













 

 

 

 

 

 





 









 





 

 









 



















 

 

 

 





 

 





 

<sub></sub>





 



 

 

 

 

 

 





 



