Slide 4 Đại số Tuyến Tính – Không gian Vecto – Lê Xuân Thanh – UET.pdf – Tài liệu VNU

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (494.02 KB, 80 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Không gian vec-tơ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes

R

Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng
xuất phát từ gốc tọa độ
tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi
tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2).

0
y

x
1

2
3
4
5
6

1 2 3 4 5 6
u = (2, 3)

Phép cộng hai vec-tơ:

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2).

Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes

R

Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng
xuất phát từ gốc tọa độ
tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi

tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2).

0
y

x
1

2
3
4
5
6

1 2 3 4 5 6
u = (2, 3)

v = (3, 1)
u + v = (5, 4)

Phép cộng hai vec-tơ:

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2).
Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes

R

Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng
xuất phát từ gốc tọa độ
tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi
tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2).

0
y

x
1

2
3
4
5
6

1 2 3 4 5 6
u = (2, 3)

2u = (4, 6)

Phép cộng hai vec-tơ:

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2).

Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tính chất

Cho 0 = (0, 0), u, v, w∈ R2, c, d∈ R. Ta có

u + v∈ R2.

u + v = v + u.

(u + v) + w = u + (v + w).

u + 0 = u.

∃ − u ∈ R2: u + (−u) = 0.

c· u ∈ R2.

c· (u + v) = c · u + c · v.

(c + d)· u = c · u + d · u.

c(d· u) = (cd) · u.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Vec-tơ trong không gian tọa độ Descartes

R

Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng

xuất phát từ gốc tọa độ
tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi
tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2, u3).

Phép cộng hai vec-tơ:

u+v = (u1, u2, u3)+(v1, v2, v3) := (u1+v1, u2+v2, u3+v3).

Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tính chất

Cho 0 = (0, 0, 0), u, v, w∈ R3, c, d∈ R. Ta có

u + v∈ R3.

u + v = v + u.

(u + v) + w = u + (v + w).

u + 0 = u.

∃ − u ∈ R3: u + (−u) = 0.

c· u ∈ R3.

c· (u + v) = c · u + c · v.

(c + d)· u = c · u + d · u.

c(d· u) = (cd) · u.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ con

2 Mơ tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Định nghĩa không gian vec-tơ

Tập hợp V̸= ∅ là không gian vec-tơ trên R nếu V được trang bị

Phép cộng vec-tơ:

+: V× V → V
(u, v)7→ u+v,

Phép nhân vec-tơ với vơ hướng:

◦:R × V → V
(c, u)7→ c◦u,

thỏa mãn các tiên đề sau:

1 u+v = v+u ∀ u, v ∈ V,

2 (u+v)+w = u+(v+w) ∀ u, v, w ∈ V,

3 ∃ 0 ∈ V : u+0 = u ∀ u ∈ V,

4 ∀ u ∈ V ∃ u′∈ V : u+u′= 0,

5 c◦(u+v) = c◦u+c◦v ∀ c ∈ R, u, v ∈ V,
6 (c + d)◦u = c◦u+d◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V,
7 c◦(d◦u) = (cd)◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V,

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ

Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ

với phép cộng và phép nhân thông thường.

Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, . . . , xn]
là một không gian vec-tơ với các phép toán

[x1, . . . , xn]+[y1, . . . , yn] = [x1+ y1, . . . , xn+ yn],

c◦[x1, . . . , xn] = [cx1, . . . , cxn] (với c∈ R).

Tập hợpRn các cột n-thành phần thực



x1
..
.
xn




là một không gian vec-tơ với các phép toán



x1
..
.

xn


+

. . .y1

yn

 =




x1+ y1
..
.

xn+ yn




 , c◦




x1
..

.
xn


 =



cx1
..
.
cxn



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ví dụ

Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ

với phép cộng và phép nhân thông thường.

Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, . . . , xn]

là một khơng gian vec-tơ với các phép tốn

[x1, . . . , xn]+[y1, . . . , yn] = [x1+ y1, . . . , xn+ yn],

c◦[x1, . . . , xn] = [cx1, . . . , cxn] (với c∈ R).

Tập hợpRn các cột n-thành phần thực




x1
..
.
xn




là một khơng gian vec-tơ với các phép tốn



x1
..
.
xn


+

. . .y1

yn

 =





x1+ y1
..
.

xn+ yn




 , c◦




x1
..
.
xn


 =



cx1
..
.
cxn




</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ví dụ

Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ

với phép cộng và phép nhân thông thường.

Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, . . . , xn]

là một khơng gian vec-tơ với các phép tốn

[x1, . . . , xn]+[y1, . . . , yn] = [x1+ y1, . . . , xn+ yn],

c◦[x1, . . . , xn] = [cx1, . . . , cxn] (với c∈ R).

Tập hợpRn các cột n-thành phần thực




x1
..
.
xn




là một không gian vec-tơ với các phép toán



x1
..
.
xn


+

. . .y1

yn

 =




x1+ y1

..
.

xn+ yn




 , c◦




x1
..
.
xn


 =



cx1
..
.
cxn



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ví dụ

Tập hợp Mm,n các ma trận thực m hàng, n cột

là một không gian vec-tơ với các phép tốn thơng thường:

(aij)m×n +(bij)m×n = (aij+ bij)m×n,

c◦(aij)m×n = (caij)m×n (với c∈ R).

Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b]

là một không gian vec-tơ với các phép tốn thơng thường:

(f+g)(x) = f(x) + g(x),

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ví dụ

Tập hợp Mm,n các ma trận thực m hàng, n cột

là một không gian vec-tơ với các phép tốn thơng thường:

(aij)m×n +(bij)m×n = (aij+ bij)m×n,

c◦(aij)m×n = (caij)m×n (với c∈ R).

Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b]

là một không gian vec-tơ với các phép tốn thơng thường:

(f+g)(x) = f(x) + g(x),

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ví dụ

Tập hợp Pn(x) các đa thức

theo một ẩn x,

với hệ số thực,

có bậc KHƠNG Q n

là một khơng gian vec-tơ với các phép tốn thơng thường:

(anxn+ . . . + a0)+(bnxn+ . . . + b0) = (an+ bn)xn+ . . . + (a0+ b0),
c◦(anxn+ . . . + a0) = canxn+ . . . + ca0 (với c∈ R).

Chú ý:

Khẳng định trên không đúng nếu đặt điều kiện

“đa thức có bậc chính xác bằng n”.

Khẳng định trên vẫn đúng nếu bỏ điều kiện
“đa thức có bậc≤ n”.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ví dụ

Cho (V,+,·), (W, +,·) là các khơng gian vec-tơ. Tập hợp

V× W := {(v, w) | v ∈ V, w ∈ W}

là một không gian vec-tơ với các phép toán

(v, w)+(v′, w′) = (v+v′, w + w′),

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Một số tính chất

Cho (V,+,◦) là một khơng gian vec-tơ. Ta có:
Phần tử 0∈ V là duy nhất.

Với mỗi u∈ V, tồn tại duy nhất phần tử u′∈ V thỏa mãn

u+u′ = 0.
Phần tử u′ như vậy được ký hiệu là−u.
0◦u = 0 với mọi u∈ V.

c◦0 = 0 với mọi c∈ R.

c◦u = 0 =⇒ c = 0 hoặc u = 0.

(−c)◦u = c◦(−u) = −(c◦u) với mọi c∈ R, u ∈ V.

( m
∑

i=1

ci

)
◦


∑n

j=1

uj


 =∑m

i=1
n

∑

j=1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ con

2 Mơ tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Định nghĩa và một số tính chất

Cho (V,+,◦) là một khơng gian vec-tơ, và∅ ̸= W ⊂ V.

Ta nói W là một khơng gian vec-tơ con của V nếu

u+v∈ W ∀ u, v ∈ W,

c◦u∈ W ∀ c ∈ R, u ∈ W.

Một số tính chất:

(W,+,◦) cũng là một không gian vec-tơ.

0∈ V ∩ W.

Nếu W1, W2là không gian vec-tơ con của V,

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Ví dụ

Cho trước x0, y0 ∈ R. Tập hợp

W ={(x, y) | (x, y) = t(x0, y0), t∈ R}

là một khơng gian vec-tơ con củaR2

(với các phép tốn thơng thường).

Tập hợp

W ={(x1, 0, x3)| x1, x3∈ R}

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ví dụ

Cho trước x0, y0 ∈ R. Tập hợp

W ={(x, y) | (x, y) = t(x0, y0), t∈ R}

là một không gian vec-tơ con củaR2

(với các phép tốn thơng thường).

Tập hợp

W ={(x1, 0, x3)| x1, x3∈ R}

là một không gian vec-tơ con củaR3

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Ví dụ

Nếu V là một khơng gian vec-tơ

thì 0 và V là các khơng gian vec-tơ con (tầm thường) của V.

Pn(x) là không gian vec-tơ con của Pn+1(x).

Pn(x) là không gian vec-tơ con của P(x).

Tập hợp

W ={A∈ Mn,n | A = AT}

là không gian vec-tơ con của Mn,n.

Cho A∈ Mm,n, và 0 = [0, . . . , 0]t∈ Rn. Tập hợp

W ={x ∈ Rn | Ax = 0}

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ trên R.

Cho S ={u1, . . . , un} ⊂ V.

Vec-tơ v∈ V là một tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S

nếu

v = c1· u1+ . . . + cn· un,

trong đó ci ∈ R với i = 1, . . . , n.

Ví dụ 1: Trong khơng gian M2,2xét các vec-tơ

u1=
[

0 8
2 1
]

, u2=
[

0 2
1 0
]

, u3=
[

−1 3

1 2

]

, u4=
[

−2 0

1 3

]

.

Vec-tơ u1là một tổ hợp tuyến tính của u2, u3, u4do

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Tổ hợp tuyến tính

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ trên R.

Cho S ={u1, . . . , un} ⊂ V.

Vec-tơ v∈ V là một tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S

nếu

v = c1· u1+ . . . + cn· un,

trong đó ci ∈ R với i = 1, . . . , n.

Ví dụ 2: Mỗi vec-tơ x trong tập hợp

W ={(x1, 0, x3)| x1, x3∈ R}

đều là tổ hợp tuyến tính của e1= [1, 0, 0] và e3= [0, 0, 1]:

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Tổ hợp tuyến tính

Cho (V, +,·) là một khơng gian vec-tơ trên R.

Cho S ={u1, . . . , un} ⊂ V.

Vec-tơ v∈ V là một tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S

nếu

v = c1· u1+ . . . + cn· un,

trong đó ci ∈ R với i = 1, . . . , n.

Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S:

span(S) :={v ∈ V | v = c1· u1+ . . . + cn· un với ci ∈ R}.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Hệ sinh

Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu

V = span(S).

Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S.

Ví dụ 1: Trong khơng gianR3xét các vec-tơ

e1=[1, 0, 0], e2=[0, 1, 0], e3=[0, 0, 1].

Tập hợp S ={e1, e2, e3} là một hệ sinh của R3 vì

mỗi vec-tơ v = [v1, v2, v3]∈ R3 đều là tổ hợp tuyến tính của e1, e2, e3:

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Hệ sinh

Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu

V = span(S).

Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S.

Ví dụ 2: Trong không gianR3xét các vec-tơ

u1=[1, 0, 0], u2=[0, 1, 0], u3=[0, 0, 1], u4=[0, 0, 2].

Tập hợp S ={u1, u2, u3, u4} là một hệ sinh của R3vì

mỗi vec-tơ v = [v1, v2, v3]∈ R3 đều là tổ hợp tuyến tính của u1, . . . , u4:

v = v1· u1+ v2· u2+

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Hệ sinh

Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu

V = span(S).

Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S.

Ví dụ 3: Trong không gianR3xét các vec-tơ

e1=[1, 0, 0], e2=[0, 1, 0].

Tập hợp S ={e1, e2} KHÔNG là hệ sinh của R3vì

vec-tơ v = [0, 0, 1]∈ R3 khơng thể là tổ hợp tuyến tính của e1, e2.
̸ ∃ c1, c2∈ R : v = c1· e1+ c2· e2.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Hệ sinh

Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu

V = span(S).

Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S.

Ví dụ 3: Trong khơng gianR3xét các vec-tơ

e1=[1, 0, 0], e2=[0, 1, 0].

Tập hợp S ={e1, e2} KHƠNG là hệ sinh của R3vì

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Định nghĩa

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ trên R.

Cho hệ các vec-tơ S ={v1, . . . , vn} ⊂ V.

Hệ vec-tơ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu

c1· v1+ . . . + cn· vn= 0 ⇔ c1 = . . . = cn= 0.

Hệ vec-tơ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu

Hai vec-tơ v1, v2∈ R2 là

phụ thuộc tuyến tính⇔ v1, v2đồng phương (i);

độc lập tuyến tính⇔ v1, v2khơng đồng phương (ii).

v1
v2

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Ý nghĩa hình học

Hai vec-tơ v1, v2∈ R3 là

độc lập tuyến tính⇔ v1, v2khơng đồng phương (a);

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Ý nghĩa hình học

Ba vec-tơ v1, v2, v3∈ R3 là

độc lập tuyến tính⇔ v1, v2, v3khơng đồng phẳng (hình trái);

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Tính chất

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ.

Hệ một vec-tơ v∈ V phụ thuộc tuyến tính ⇔ v = 0.

Chứng minh ⇒:

v phụ thuộc tuyến tính ⇒ tồn tại c ̸= 0 sao cho c · v = 0.

Nhân hai vế với c−1 ta có

v = (c−1c)· v = c−1(c· v) = c−1· 0 = 0.

Chứng minh ⇐:

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ, và n > 1.
Hệ vec-tơ v1, . . . , vn∈ V độc lập tuyến tính

⇔ mỗi vec-tơ u ∈ V, nếu tồn tại biểu diễn

u = c1· v1+ . . . + cn· vn (với ci∈ R)

thì biểu diễn này là duy nhất.

Hệ vec-tơ v1, . . . , vn∈ V phụ thuộc tuyến tính

⇔ (ít nhất) một vec-tơ vi là tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ

còn lại.

Nếu S ={v1, . . . , vn} độc lập tuyến tính,

thì mọi tập hợp con của S cũng độc lập tuyến tính.

Nếu S ={v1, . . . , vn} phụ thuộc tuyến tính,

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Cơ sở của không gian vec-tơ

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ.

Tập hợp các vec-tơ B ={v1, . . . , vn} là một cơ sở của V nếu

(i) B là một hệ sinh của V, và

(ii) B độc lập tuyến tính.

Nhận xét:

Cho u là vec-tơ bất kỳ trong V.

(i)⇔ u = c1· v1+ . . . + cn· vnvới ci∈ R.

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Cơ sở chính tắc

Các vec-tơ

e1=






1
0
..
.
0





, e2 =






0
1
..
.
0





, . . . , en=





0
0
..
.
1







lập thành một cơ sở (được gọi là cơ sở chính tắc) của Rn.

Các vec-tơ

1, x, x2, . . . , xn

lập thành một cơ sở (chính tắc) của Pn.

Các vec-tơ
[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1

]

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Cơ sở chính tắc

Các vec-tơ

e1=






1
0
..
.
0





, e2 =







0
1
..
.
0





, . . . , en=





0
0
..
.
1






lập thành một cơ sở (được gọi là cơ sở chính tắc) của Rn.

Các vec-tơ

1, x, x2, . . . , xn

lập thành một cơ sở (chính tắc) của Pn.

Các vec-tơ
[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Cơ sở chính tắc

Các vec-tơ

e1=






1
0
..
.
0





, e2 =






0
1
..
.
0






, . . . , en=





0
0
..
.
1






lập thành một cơ sở (được gọi là cơ sở chính tắc) của Rn.

Các vec-tơ

1, x, x2, . . . , xn

lập thành một cơ sở (chính tắc) của Pn.

Các vec-tơ

[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Xác định cơ sở qua định thức

Hệ n vec-tơ B ={v1, . . . , vn} ⊂ Rnlập thành một cơ sở củaRn

khi và chỉ khi

det(v1, . . . , vn)̸= 0.

Chứng minh:

B là cơ sở của Rn

⇔ c1v1+ . . . + cnvn=u có nghiệm duy nhất∀ u ∈ Rn

⇔ det(v1, . . . , vn)̸= 0 (theo quy tắc Cramer).

Ví dụ: Do

1 0 1
2 1 0
3 2 1

= 2̸= 0,

nên các vec-tơ

12

3

 ,


01

2

 ,


10

1


</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở

Trong không gian vec-tơ R2:

Các vec-tơ [1, 0], [0, 1] lập thành một cơ sở (chính tắc).
Các vec-tơ [1, 1], [0, 1] cũng lập thành một cơ sở.
Trong không gian vec-tơ R3:

Các vec-tơ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] lập thành một cơ sở.
Các vec-tơ [1, 2, 3], [0, 1, 2], [1, 0, 1] cũng lập thành một cơ sở.

Nhận xét:

(i) Mỗi khơng gian vec-tơ có thể có nhiều cơ sở.

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở

Trong không gian vec-tơ R2:

Các vec-tơ [1, 0], [0, 1] lập thành một cơ sở (chính tắc).
Các vec-tơ [1, 1], [0, 1] cũng lập thành một cơ sở.
Trong không gian vec-tơ R3:

Các vec-tơ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] lập thành một cơ sở.
Các vec-tơ [1, 2, 3], [0, 1, 2], [1, 0, 1] cũng lập thành một cơ sở.
Nhận xét:

(i) Mỗi khơng gian vec-tơ có thể có nhiều cơ sở.

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở

Trong không gian vec-tơ R2:

Các vec-tơ [1, 0], [0, 1] lập thành một cơ sở (chính tắc).
Các vec-tơ [1, 1], [0, 1] cũng lập thành một cơ sở.
Trong không gian vec-tơ R3:

Các vec-tơ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] lập thành một cơ sở.
Các vec-tơ [1, 2, 3], [0, 1, 2], [1, 0, 1] cũng lập thành một cơ sở.

Nhận xét:

(i) Mỗi không gian vec-tơ có thể có nhiều cơ sở.

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Tính chất độc lập tuyến tính “cực đại” của cơ sở

Cho V là một không gian vec-tơ.

Nếu S ={v1, . . . , vn} là một cơ sở của V,

và T ={u1, . . . , um} ⊂ V với m > n,

thì T phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh: Xét hệ thức

k1u1+ . . . + kmum= 0. (1)

Do S là cơ sở của V, nên

u1= c11v1+ c12v2+ . . . + c1nvn

. . .

um= cm1v1+ cm2v2+ . . . + cmnvn

Thay vào (1) ta có

d1v1+ d2v2+ . . . + dnvn= 0
với

di= c1ik1+ c2ik2+ . . . + cmikm (i = 1, . . . , n).
Do S độc lập tuyến tính, nên di= 0 (i = 1, . . . , n).

Ta thu được hệ n phương trình tuyến tính thuần nhất theo m ẩn k1, . . . , km.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Tính chất về số vec-tơ trong các cơ sở

Cho V là một khơng gian vec-tơ.
Nếu V có một cơ sở gồm n vec-tơ,
thì mọi cơ sở của V đều có n vec-tơ.

Chứng minh: Giả sử

S1={v1, . . . , vn}

là một cơ sở gồm n vec-tơ của V, và

S2={u1, . . . , um}

là một cơ sở khác của V.

Theo tính chất độc lập tuyến tính cực đại của cơ sở:

S1là cơ sở, S2 độc lập tuyến tính =⇒ m ≤ n.
S2là cơ sở, S1 độc lập tuyến tính =⇒ n ≤ m.

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Số chiều của khơng gian vec-tơ

Nếu khơng gian vec-tơ V có một cơ sở gồm n vec-tơ,
thì ta nói số chiều của V là n, và ký hiệu dim(V) = n.

Quy ước: Nếu V ={0}, thì dim(V) = 0.
Ví dụ:

dim(Rn) = n.

dim(Pn) = n + 1.

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Cơ sở trong không gian vec-tơ hữu hạn chiều

Cho V là một không gian vec-tơ n chiều. Khi đó

S ={v1, . . . , vn} ⊂ V là một cơ sở của V nếu

S độc lập tuyến tính, hoặc
S là một hệ sinh của V.
Chứng minh:

Giả sử S độc lập tuyến tính. Ta cần chỉ ra S là hệ sinh của V.
Thật vậy, giả sử phản chứng S không là hệ sinh của V, tức là

∃ u ∈ V : u ̸∈ span(S).

Như vậy T := S∪ {u} độc lập tuyến tính và |T| = n + 1 > n = dim(V).

Điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính cực đại của S.
Giả sử span(S) = V. Ta cần chỉ ra S độc lập tuyến tính.

Thật vậy, giả sử S phụ thuộc tuyến tính. Ta có thể bỏ đi một số vec-tơ trong S
để thu được tập hợp S1gồm k < n vec-tơ độc lập tuyến tính. Khi đó

span(S) = span(S1).

Như vậy V = span(S1), và do S1độc lập tuyến tính, nên S1cũng là cơ sở của V.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở

Cho V là một không gian vec-tơ.

Cho B ={v1, . . . , vn} là một cơ sở của V.

Tọa độ của vec-tơ x∈ V theo cơ sở B

là bộ số thực c1, . . . , cn thỏa mãn

x = c1v1+ . . . + cnvn.

Ký hiệu:

[x]B =





c1

..
.

cn




 .

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Ví dụ

Trong khơng gian vec-tơR2 xét

cơ sở chính tắc B′ =

{[
1
0
]
,
[
0
1
]}
,

cơ sở B =
{[
1
0
]
,
[
1
2
]}
,

vec-tơ x =
[
5
4
]
.
Ta có:

[x]B′ =
[

5
4
]

, [x]B=

[
3
2
]

.

Câu hỏi: Tọa độ của cùng một vec-tơ trong các cơ sở khác nhau

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Ví dụ

Trong khơng gian vec-tơR2 xét

cơ sở chính tắc B′ =

{[
1
0
]
,
[
0
1
]}
,

cơ sở B =
{[
1
0
]
,
[
1
2
]}
,

vec-tơ x =
[
5
4

]
.
Ta có:

[x]B′ =
[

5
4
]

, [x]B=

[
3
2
]

.

Câu hỏi: Tọa độ của cùng một vec-tơ trong các cơ sở khác nhau

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Ma trận chuyển cơ sở

Cho V là một không gian vec-tơ.

Cho B1 ={v1, . . . , vn} và B2={u1, . . . , un} là các cơ sở của V.

Ma trận C = (cij)n×n được gọi là

ma trận chuyển cơ sở B1 sang cơ sở B2 nếu

uj = c1jv1+ . . . + cnjvn.

Theo ngơn ngữ tích ma trận:

(u1. . . un) = (v1. . . vn)C.

Ví dụ: C =



1 0 12 1 0
3 2 1


 là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của

R3 sang cơ sở gồm 3 vec-tơ


12

3

 ,


01

2

 ,


10

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Tính chất của ma trận chuyển cơ sở

Cho V là một không gian vec-tơ.

Cho B1 ={v1, . . . , vn} và B2={u1, . . . , un} là các cơ sở của V.

Nếu C = (cij)n×n là ma trận chuyển cơ sở B1 sang cơ sở B2,

thì:

C khả nghịch;

C−1là ma trận chuyển cơ sở B2 sang cơ sở B1;

với mọi vec-tơ x∈ V ta có cơng thức chuyển tọa độ

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận

Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Hạng của ma trận

Cho A = (aij)m×n là một ma trận.

Vec-tơ hàng thứ i của A là

ri=[ai1 ai2 . . . ain].

Vec-tơ cột thứ j của A là

cj =

[

a1j a2j · · · amj

]t

.
Định nghĩa:

Không gian hàng của A là span(r1, . . . , rm).

Không gian cột của A là span(c1, . . . , cn).

Tính chất:

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Chứng minh tính chất

Giả sử khơng gian hàng của A có số chiều k với S ={d1, . . . , dk} là một cơ sở.
Biểu diễn các vec-tơ hàng của A qua cơ sở S:

r1= α11d1+ . . . + α1kdk

. . .

rm= αm1d1+ . . . + αmkdk.

Xét chỉ số thứ j∈ {1, . . . , n} của mỗi vec-tơ trong hệ trên, ta có:

a1j= α11d1j+ . . . + α1kdkj

. . .

amj= αm1d1j+ . . . + αmkdkj.

Đặt αi=[α1i . . . αmi]t. Ta thu được dạng rút gọn của hệ phương trình trên:

cj= d1jα1+ . . . + dkjαk.

Như vậy, mỗi vec-tơ cột của A đều là tổ hợp tuyến tính của k vec-tơ α1, . . . , αk. Do đó

span(c1, . . . , cn) = span(α1, . . . , αk),

và hệ quả là dim(span(c1, . . . , cn)) = dim(span(α1, . . . , αk))≤ k,
tức là dim(không gian cột của A)≤ dim(không gian hàng của A).

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Một số tính chất khác

rank(A) = rank(At).
Chứng minh:

Vec-tơ hàng (cột) của A tương ứng với vec-tơ cột (hàng) của At.

Nếu ma trận A tương đương theo dòng với ma trận B,
thì khơng gian hàng của B cũng là không gian hàng của A.

Chứng minh:

Biến đổi sơ cấp theo hàng không làm thay đổi tương quan độc lập
tuyến tính / phụ thuộc tuyến tính giữa các vec-tơ hàng của ma trận.

Áp dụng:

rank(A) = rank(B), với B là dạng bậc thang thu gọn của A.

Ví dụ:

A =


1 23 6 −2 1−5 4
1 2 0 3


 → B =


1 2 00 0 1 31
0 0 0 0

 .

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Một số tính chất khác

rank(A) = rank(At).
Chứng minh:

Vec-tơ hàng (cột) của A tương ứng với vec-tơ cột (hàng) của At.

Nếu ma trận A tương đương theo dòng với ma trận B,
thì khơng gian hàng của B cũng là khơng gian hàng của A.

Chứng minh:

Biến đổi sơ cấp theo hàng không làm thay đổi tương quan độc lập
tuyến tính / phụ thuộc tuyến tính giữa các vec-tơ hàng của ma trận.

Áp dụng:

rank(A) = rank(B), với B là dạng bậc thang thu gọn của A.

Ví dụ:

A =



1 23 6 −2 1−5 4

1 2 0 3



 → B =


1 2 00 0 1 31

0 0 0 0


 .

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận

Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Không gian hạt nhân, số khuyết

Cho A = (aij)m×n là một ma trận.

Tập hợp

N(A) ={x ∈ Rn| Ax = 0}

được gọi là không gian hạt nhân của A.

Số chiều của N(A) được gọi là số khuyết của A:

nullity(A) = dim(N(A)).

Tính chất: Nếu A là một ma trận cỡ m× n, thì

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Chứng minh tính chất

Giả sử rank(A) = r.
Biến đổi sơ cấp theo hàng:

A → B =

[

Ir C

0 0

]

.

Ta có

Ax = 0 ⇔ Bx = 0 ⇔ [Ir|C]x = 0.

Giải hệ phương trình này bằng cách biểu diễn x1, . . . , xr

qua n− r biến xr+1, . . . , xn,

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Nghiệm riêng, nghiệm thuần nhất

Cho A∈ Mm,n và b∈ Rm. Giả sử Ax = b có nghiệm.

Mọi nghiệm x của hệ phương trình Ax = b đều có thể biểu
diễn dưới dạng

x = xp+ xh,

trong đó

xp là một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khơng thuần

nhất Ax = b (nghiệm riêng),

xh là một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Ví dụ

Giải hệ phương trình

x1 − 2x3+ x4= 5
3x1+ x2− 5x3 = 8

x1+ 2x2 − 5x4=−9

Lời giải: Ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình là



13 01 −2−5 10 58

1 2 0 −5 −9


 →



10 01 −21 −3 −71 5

0 0 0 0 0


 .

Hệ đã cho tương đương với

x1 − 2x3+ x4= 5

x2+ x3− 3x4=−7

Đặt x3= s, x4= t, nghiệm của hệ đã cho có dạng

x =




x1
x2

x3
x4



 =





2s− t + 5
−s + 3t − 7

s
t




 = s





2
−1
1
0




 + t





−1
3
0
1



 +




5
−7
0
0




 = su1+ tu2+ xp.

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80></div>