Đề thi và đáp án Giải tích 1 đề số 1 kỳ 1 năm học 2013-2014 – UET – Tài liệu VNU
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (498.15 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>Đề thi cuối kỳ môn học GIẢI TÍCH 1 (MAT1094) - Đề số 1 </b>
(Học kỳ I năm học 2013-2014, thời gian làm bài 150 phút)
<i><b>Câu 1. (1,5d) Cho hàm số </b></i>
0
x
khi
a
0
x
khi
x
x
3
sin
)
x
(
f
<b>Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên R </b>
<i><b>Câu 2. (1,5đ) Tìm giới hạn </b></i>
x
1
x <sub>2</sub><sub>x</sub> <sub>1</sub>
x
tan
lim
<i><b>Câu 3. (1,5đ) Tính đạo hàm cấp n của hàm số </b></i>
1
x
3
x
2
x
)
x
(
f <sub>2</sub>
<i><b>Câu 4. (1,5đ) Tính tích phân </b></i>
e
1
3 2
dx
x
x
ln
1
x
ln
<i><b>Câu 5. (1,5đ) Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa </b></i>
1
n
n
n
n
)
2
x
(
n
2
!
n
<i><b>Câu 6. (1,5đ) Khai triển hàm số </b></i>
3
x
4
x
1
x
x
)
x
(
f <sub>2</sub>
2
thành chuỗi lũy thừa của x và xác định miền hội tụ của
<b>chuỗi </b>
<i><b>Câu 7. (1,0đ) Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai câu 7a. hoặc 7b. sau đây: </b></i>
<b>7a. Xét tính liên tục của hàm số </b> n 2n
n 3 x
lim
)
x
(
f
<b> trên R </b>
<b>7b. Định nghĩa đạo hàm của hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b), tại điểm x(a, b) và áp dụng để </b>
<b>tìm giới hạn </b>
h
x
arctan
)
h
x
arctan(
lim
0
h
trong khoảng <sub></sub>
<sub></sub>
2
,
2
==============================
<b>Đáp án và thang điểm Đề thi cuối kỳ mơn học GIẢI TÍCH 1 (MAT1094) - Đề số 1 </b>
(Học kỳ I năm học 2013-2014, thời gian làm bài 150 phút)
<b>Câu </b> <b>Lời giải </b> <b>Điểm </b>
<b>1 </b>
Vì sin3x và x là các hàm sơ cấp nên khi x ≠ 0 thì hàm
x
x
3
sin
)
x
(
f là hàm sơ cấp nên liên tục
trên R\{0}= (-∞, 0) (0, ∞)
0,25
do đó f(x) liên tục trên R f(x) liên tục tại x = 0 0,25
x
3
x
3
sin
lim
3
x
3
x
3
sin
3
lim
x
x
3
sin
lim
)
x
(
f
lim
0
x
0
x
0
x
0
x 0,25
đặt t = 3x, khi x 0 thì t 0 nên 3.1 3
t
t
sin
lim
3
)
x
(
f
lim
0
t
0
x (1) 0,25
Theo định nghĩa, f(x) liên tục tại x = 0 limf(x) f(0)
0
x (2), mặt khác, theo giả thiết f(0) = a (3) 0,25
từ (1), (2) và (3) suy ra a = 3 0,25
Cộng <b>1,50 </b>
Cách
khác
Khi x 0 thì sin3x 0
x
x
3
sin
có dạng vơ định
0
0
nên có thể áp dụng quy tắc Lôpital để tìm
x
x
3
sin
lim
0
x
0,25
3
x
3
cos
3
lim
'
x
)'
x
3
(sin
lim
x
x
3
sin
lim
)
x
(
f
lim
0
x
0
x
0
x
0
x <b>(1) </b> 0,25
<b>2 </b> x
1
x
2
x
tan
ln
lim
1
x
2
x
tan
ln
x
1
lim
x
1
x
x
x
e
e
1
x
2
x
tan
lim
<sub></sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>Câu </b> <b>Lời giải </b> <b>Điểm </b>
khi x ∞
2
x
1
2
1
x
2
x <sub></sub>
1
x
2
x
tan
ln
2
tan
1
x
2
x
tan
x
1
x
2
x
tan
ln
có dạng vơ định
nên có thể áp dụng quy tắc Lơpital để tìm
x
1
x
2
x
tan
ln
lim
x
0,25
1
x
2
x
tan
1
x
2
x
cos
)
1
x
2
(
lim
'
x
'
1
x
2
x
tan
ln
lim
x
1
x
2
x
tan
ln
lim
2
2
x
x
x
1
x
2
x
2
sin
)
1
x
2
(
2
lim
2
x
(*)
0,25
2
x
2
x
)
1
x
2
(
1
1
x
2
x
2
sin
lim
2
1
x
2
x
2
sin
)
1
x
2
(
lim
2
khi x ∞
0
)
1
x
2
(
1
,
0
sin
1
x
2
x
2
sin
x
1
2
2
1
x
2
x
2
2
2
)
1
x
2
(
1
1
x
2
x
2
sin
có dạng vơ định
0
0
nên có thể áp dụng quy tắc Lơpital để tìm
2
x
)
1
x
2
(
1
1
x
2
x
2
sin
lim
0.25
<sub>2</sub><sub>x</sub> <sub>1</sub> <sub>2</sub>. .1
x
2
cos
)
1
x
2
(
lim
2
'
)
1
x
2
(
1
'
1
x
2
x
2
sin
lim
)
1
x
2
(
1
1
x
2
x
2
sin
lim
x
2
x
2
x 0,25
1
e
1
x
2
x
tan
lim
0
2
)
1
x
2
(
1
1
x
2
x
2
sin
lim
2 x 0
1
x
2
x
0,25
Cộng <b>1,50 </b>
Cách
khác
Từ (*)<sub>: Đặt </sub> <sub>t</sub>
1
x
2
x
2
1
x
2
1
x
2
x
2
t
và
t
sin
)
t
sin(
1
x
2
x
2
sin
t
1
x
2
và khi x ∞ thì t 0
0,25
0
1
0
.
2
t
t
sin
lim
t
lim
2
t
t
sin
t
lim
2
t
sin
t
lim
2
1
x
2
x
2
sin
)
1
x
2
(
2
lim
0
t
0
t
0
t
2
0
t
2
x
0,25
1
e
x
tan
lim x 0
1
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
<b>Câu </b> <b>Lời giải </b> <b>Điểm </b>
<b>3 </b>
1
x
2
B
1
x
A
)
1
x
2
)(
1
x
(
x
1
x
3
x
2
x
)
x
(
f <sub>2</sub>
0,25
1
B
1
A
0
B
A
1
B
A
2
)
1
x
2
)(
1
x
(
)
B
A
(
x
)
B
A
2
(
)
1
x
2
)(
1
x
(
)
1
x
(
B
)
1
x
2
(
A
1
x
2
1
1
x
1
)
x
(
f
0,25
Có thể chứng minh hoặc chỉ cần đưa ra công thức <sub>n</sub> <sub>1</sub>
n
n
)
n
(
)
b
ax
(
a
!
n
)
1
(
b
ax
1
0.25
1
n
n
1
n
n
n
)
n
(
)
1
x
(
!
n
)
1
(
)
1
x
(
1
!
n
)
1
(
1
x
1
<sub></sub>
<b> </b> 0,25
1
n
n
n
)
n
(
)
1
x
2
(
2
!
n
)
1
(
1
x
2
1
0,25
n <sub>(</sub><sub>n</sub><sub></sub><sub>1</sub><sub>)</sub> n <sub>n</sub><sub></sub><sub>1</sub>
)
n
(
)
n
(
)
n
(
)
1
x
2
(
2
)
1
x
(
1
!
n
)
1
(
1
x
2
1
1
x
1
)
x
(
f 0,25
Cộng <b>1,50 </b>
<b>4 </b>
e
1
3 2
e
1
3 2
)
x
(ln
d
x
ln
1
x
ln
dx
x
x
ln
1
x
ln
I 0,25
e
1
2
3
1
2
)
x
ln
1
(
d
)
x
ln
1
(
2
1
I 0,25
đặt t = 1 + ln2<sub>x, khi x = 1 thì t = 1 và khi x = e thì t = 2 </sub>
2
1
3
1
dt
t
I 0,25
2
1
3
4
t
8
3
I 0,50
2 2 1
8
3
1
2
8
3
I 3 3
4
3
4
0,25
Cộng <b>1,50 </b>
Cách
khác
,
dx
x
x
ln
1
x
ln
I
e
1
3 2
đặt 3 2
x
ln
1
t
0,25dt
t
2
3
dx
x
x
ln
dx
x
x
ln
2
dt
t
3
x
ln
1
t3 2 2 2
và khi x = 1 thì t = 1 và khi x = e thì
3
2
t
0,25
3<sub>2</sub>
1
3
dt
t
2
3
I 0,25
3<sub>2</sub>
1
4
t
8
3
I 0,50
2 2 1
8
3
1
2
8
3
I <sub></sub>3 4 4<sub></sub> 3 0,25
<b>5 </b>
1
n
n
n
1
n
n
n
n
t
a
)
2
x
(
n
2
!
n
với <sub>n</sub>
n
n
n
2
!
n
a <b>và t = x + 2 </b> 0,25
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
<b>Câu </b> <b>Lời giải </b> <b>Điểm </b>
2
e
1
R
e
2
n
1
1
lim
2
n
1
1
2
lim
2
!
n
)
1
n
(
n
2
)!
1
n
(
lim
a
a
lim <sub>n</sub>
n
n
n
n
n
n
1
n
n
n
1
n
n
khoảng hội tụ của chuỗi là 2
2
e
x
2
2
e
2
e
R
2
x
R
t 0,25
tại 2
2
e
x (đầu mút phải) chuỗi trở thành chuỗi dương
1
n
n
1
n
n
n
b
n
e
!
n
với 1
n
1
1
e
b
b
n
e
!
n
b <sub>n</sub>
n
1
n
n
n
n
<sub> </sub>
do
n
n
1
1
e
bn là dãy tăng và không tiến về 0 khi n ∞ nên chuỗi phân kỳ tại đầu mút phải
của khoảng hội tụ
0,25
tại 2
2
e
x (đầu mút trái) chuỗi trở thành chuỗi đan dấu
1
n
n
1
n
n
n
n
b
n
e
!
n
)
1
(
với 1
n
1
1
e
b
b
n
e
!
n
)
1
(
b <sub>n</sub>
n
1
n
n
n
n
n
do
n
n
1
1
e
bn là dãy tăng và không tiến về 0 khi n ∞ nên chuỗi phân kỳ tại đầu mút
trái của khoảng hội tụ
0,25
miền hội tụ của chuỗi là
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2
2
e
,
2
2
e
<b> hay </b> 2
2
e
x
2
2
e
0,25
Cộng <b>1,50 </b>
<b>6 </b>
1
x
3
3
x
13
2
1
1
)
1
x
)(
3
x
(
2
x
5
1
3
x
4
x
1
x
x
)
x
(
f <sub>2</sub>
2
0,25
3
x
1
1
.
3
13
3
x
1
3
13
3
x
13
(sử dụng
n 0
n
t
t
1
1
trong miền hội tụ
t , với
1
3
x
t
)
0,25
0
n
n
n
3
2
3
x
3
13
...
3
x
3
x
3
x
1
3
13
trong miền hội tụ 1
3
x hay
x
3
(4) 0,25
x
1
1
.
3
x
1
3
1
x
3
(sử dụng
n 0
n
x
x
1
1
trong miền hội tụ
x )
1
0,25
<sub></sub>
0
n
n
3
2
x
3
...
x
x
1
3 trong miền hội tụ
x
1
(5) 0,25n
0
n
1
n
0
n
n
0
n
n
n
x
3
13
3
2
1
1
x
3
3
x
3
13
2
1
1
)
x
(
f
trong miền hội tụ
x
1
[giao của (4) và (5)]
0,25
Cộng <b>1,50 </b>
<b>7a </b>
x
1
:
limx 0 lim 3 x limn 3 1n
n 2n
n
n
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
<b>Câu </b> <b>Lời giải </b> <b>Điểm </b>
:
1
x
limx 1 lim 3 x limn 4 1n
n 2n
n
n
2
n
:
1
x
n 2n
2
2
n
n 2n
n
n
2
n <sub>x</sub> 1 x
3
x
lim
x
3
lim
x
lim
0,20
1
x
khi
x
1
x
khi
1
)
x
(
f <sub>2</sub> hàm số liên tục với x ≠ ±1 (6) 0,20
vì lim f(x) lim x2 1 f( 1)
1
x
1
x
và lim f(x) lim 1 1 f( 1)
1
x
1
x
nên hàm số liên tục tại x = -1 (7)
vìlimf(x) lim1 1 f(1)
1
x
1
x
<sub></sub>
<sub></sub>
và limf(x) lim x 1 f(1)
2
1
x
1
x
nên hàm số liên tục tại x = 1 (8) 0,20
từ (6), (7) và (8) hàm số liên tục trên R 0,20
Cộng <b>1,00 </b>
<b>7b </b>
Giả sử hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) và x0 (a, b), nếu tồn tại giới hạn
R
A
x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
0
0
x
x <sub>0</sub>
thì A được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0
vàđược ký hiệu là f’(x0).
0,20
Đặt x = x – x0, f = f(x) – f(x0) thì
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
lim
x
f
lim
x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
)
x
(
'
f 0 0
0
x
0
x
0
0
x
x
0
0
0,20
Xét hàm f(x) = arctanx xác định trong khoảng <sub></sub>
<sub></sub>
2
,
2 , theo định nghĩa đạo hàm của hàm f(x) tại điểm
<sub></sub>
2
,
2
x :
h
x
arctan
)
h
x
arctan(
lim
x
x
arctan
)
x
x
arctan(
lim
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
lim
)
x
(
'
f
0
h
0
x
0
x
(9)
0,20
Mặt khác
1
x
1
)'
x
(arctan
)
x
(
'
f <sub>2</sub>
(10) 0,20
Từ (9) và (10) suy ra
1
x
1
h
x
arctan
)
h
x
arctan(
lim <sub>2</sub>
0
h
0,20
</div>
<!--links-->
