Đề thi và đáp án Giải tích 2 đề số 3 giữa kỳ năm học 2016-2017 – UET – Tài liệu VNU
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (471.23 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
1
<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ </b> <b>Đáp án và Thang điểm </b>
***** <b>ĐỀ THI GIỮA KỲ HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 2 </b>
(Học kỳ II năm học 2016-2017)
<b>Câu 1.(1,25đ)</b>Khảo sát tính liên tục tại điểm O(0,0) của hàm số
)
0
,
0
(
)
y
,
x
(
khi
c
)
0
,
0
(
)
y
,
x
(
khi
y
x
y
x
)
y
,
x
(
f 2 2
3
3
trong đó c là tham số.
<b>Bài giải. </b>
<b>Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R</b>2<sub>.(0,25đ) </sub>
Ta có
3 <sub>2</sub> <sub>2</sub>3 3<sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>3 <sub>2</sub> <sub>2</sub>3 <sub>2</sub> <sub>2</sub>3 <sub>2</sub>
y
x
x
sin
y
y
x
y
sin
x
y
x
x
sin
y
y
x
y
sin
x
y
x
x
sin
y
y
sin
x
)
y
,
x
(
f
0
2 2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
y
x
y
y
x
x
1
.
y
x
y
1
.
y
x
x
x
sin
y
x
y
y
sin
y
x
x
y
x
x
sin
y
y
x
y
sin
x
0
y
x
y
y
x
x
2
3
2
3
(0,25đ) khi (x,y) 0 nên theo nguyên lý kẹp thì
0
y
x
x
sin
y
y
sin
x
lim
)
y
,
x
(
f
lim <sub>2</sub> <sub>2</sub>
3
3
)
0
,
0
(
)
y
,
x
(
)
0
,
0
(
)
y
,
x
(
.(0,25đ)
Do đó, nếu d = 0 thì f(0,0) = 0 và
f(x,y) f(0,0)
lim
)
0
,
0
(
)
y
,
x
( hàm số f(x,y) đang xét liên tục tại
điểm (0,0)(0,25đ); ngược lại, nếu d 0 thì f(0,0) = d 0 tức là
f(x,y) f(0,0)
lim
)
0
,
0
(
)
y
,
x
( hàm số f(x,y)
đang xét không liên tục tại điểm (0,0).(0,25đ)
<b>Câu 2.(1,5đ) Cho hàm số </b>
y
b
sin
x
a
sin
)
by
ax
(
)
y
,
x
(
f
<b>2.1. Tìm miền xác định D của hàm số f(x,y); 2.2. Tìm</b> lim f(x,y)
)
0
,
0
(
)
y
,
x
( .
<b>Bài giải. </b>
<b>2.1. Hàm số </b>
y
b
sin
x
a
sin
)
by
ax
(
)
y
,
x
(
f xác định khi
0
y
0
x
miền xác định của hàm số là D
<b>= {(x,y)R</b>2<b>x 0}{(x,y)R</b>2y 0}, tức là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy không nằm
trên các trục tọa độ Ox, Oy.(0,5đ)
<b>2.2. Ta có </b> axby.1.1
y
b
sin
.
x
a
sin
.
by
ax
y
b
sin
x
a
sin
)
by
ax
(
)
y
,
x
(
f
0
0
y
b
x
a
by
ax khi (x,y) (0,0) nên theo nguyên lý kẹp thì
0
y
b
sin
x
a
sin
)
by
ax
(
lim
)
y
,
x
(
f
lim
)
0
,
0
(
)
y
,
x
(
)
0
,
0
(
)
y
,
x
( .(1,0đ)
<b>Câu 3.(0,75đ)</b> Chứng minh rằng hàm số
x
z
arctan
z
y
arctan
y
x
arctan
)
z
,
y
,
x
(
f thỏa mãn phương
trình Laplace 0
z
)
z
,
y
,
x
(
f
y
)
z
,
y
,
x
(
f
x
)
z
,
y
,
x
(
f
2
2
2
2
2
2
<b> trong khơng gian R</b>3.
<b>Bài giải. </b>
Ta có <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
z
x
z
y
x
y
x
z
.
x
z
1
1
y
1
.
y
x
1
1
x
)
z
,
y
,
x
(
f
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
z
x
(
xz
2
)
y
x
(
xy
2
x
)
z
,
y
,
x
(
f
<b>(0,5đ), tương tự ta cũng có </b>
2
2
2
2
2
2
2
2
)
x
y
(
yx
2
)
z
y
(
yz
2
y
)
z
,
y
,
x
(
f
và <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2
)
y
z
(
zy
2
)
x
z
(
zx
2
z
)
z
,
y
,
x
(
f
0
z
)
z
,
y
,
x
(
f
y
)
z
,
y
,
x
(
f
x
)
z
,
y
,
x
(
f
2
2
2
2
2
2
<b>(0,25đ). </b>
<b>Câu 4.(1,25đ)</b> Cho hàm số f(x,y,z) = x2y2z2. Tính gradf(x,y,z) và <sub></sub>
l
)
z
,
y
,
x
(
f
tại điểm M0(1,-1,1), biết
rằngl được xác định bởi véc tơ M<sub>0</sub>M<sub>1</sub>với M1(-1,0,-1).
<b>Bài giải. </b>
+ Ta có
2
1
.
)
1
.(
1
.
2
z
)
1
,
1
,
1
(
f
2
1
).
1
.(
1
.
2
y
)
1
,
1
,
1
(
f
2
1
.
)
1
.(
1
.
2
x
)
1
,
1
,
1
(
f
z
y
x
2
z
)
z
,
y
,
x
(
f
yz
x
2
y
)
z
,
y
,
x
(
f
z
xy
2
x
)
z
,
y
,
x
(
f
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
<b>(0,25đ) </b>
k 2i 2 j 2k
z
)
1
,
1
,
1
(
f
j
y
)
1
,
1
,
1
(
f
i
x
)
1
,
1
,
1
(
f
)
1
,
1
,
1
(
gradf <b>(0,25đ) </b>
+ Ta có M<sub>0</sub>M<sub>1</sub>(11)i(01) j(11)k2i j2k M<sub>0</sub>M<sub>1</sub> (2)212(2)2 3
do đó các cosin chỉ phương của véc tơ l là ,
3
2
cos ,
3
1
cos
3
2
cos .(0,5đ)
+ Suy ra
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
2i 2 j 2k . cos i cos j cos k
l
)
1
,
1
,
1
(
f
3
1
3
k
3
2
j
3
1
i
3
2
.
k
2
j
2
i
2
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
(0,25đ).
<b>Câu 5.(2,0đ) Khảo sát cực trị của hàm số f(x,y) = 6x</b>2y – 24xy – 6x2 + 24x + 4y3 – 15y2 + 36y + 1.
<b>Bài giải. </b>
<b>Miền xác định của hàm số f(x,y) đang xét là D = R</b>2<sub>. </sub>
- Ta có
)
6
y
5
y
2
x
4
x
(
6
36
y
30
y
12
x
24
x
6
y
)
y
,
x
(
f
)
1
y
)(
2
x
(
12
2
x
y
2
xy
12
24
x
12
y
24
xy
12
x
)
y
,
x
(
f
2
2
2
2
Suy ra hệ phương trình để xác định các điểm dừng (nếu có) của hàm số đang xét là
0
6
y
5
y
2
x
4
x
0
)
1
y
)(
2
x
(
0
)
6
y
5
y
2
x
4
x
(
6
0
)
1
y
)(
2
x
(
12
0
y
)
y
,
x
(
f
0
x
)
y
,
x
(
f
2
2
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
3
3
x
1
x
1
y
2
1
y
2
y
2
x
0
3
x
4
x
1
y
0
2
y
5
y
2
2
x
0
6
y
5
y
2
x
4
x
0
1
y
0
6
y
5
y
2
x
4
x
0
2
x
2
2
2
2
2
2
<b>(0,25đ) </b>
Như vậy, hàm số đang xét có 4 điểm dừng M1(2,2); M2(2,12);M3(1,1);M4(3,1).
- Ta có
)
5
y
4
(
6
y
)
y
,
x
(
f
)
y
,
x
(
C
)
5
y
4
(
6
30
y
24
y
)
y
,
x
(
f
)
2
x
(
12
y
x
)
y
,
x
(
f
)
y
,
x
(
B
)
2
x
(
12
24
x
12
y
x
)
y
,
x
(
f
)
1
y
(
12
x
)
y
,
x
(
f
)
y
,
x
(
A
1
y
12
12
y
12
x
)
y
,
x
(
f
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2(x 2) (y 1)(4y 5)
72
)
5
y
4
(
6
).
1
y
(
12
)
2
x
(
12
)
y
,
x
(
C
)
y
,
x
(
A
)
y
,
x
(
B
)
y
,
x
( 2 2 2 2
<b>(0,5đ) </b>
+ Tại điểm dừng M1(2,2) ta có
0
12
)
2
,
2
(
A
0
216
)
2
,
2
(
nên nó là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu là
fct = f(2,2) = 21.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M2(2,12) ta có
0
6
)
2
1
,
2
(
A
0
108
)
2
1
,
2
(
nên nó là điểm cực đại và giá trị cực đại
là fcđ = f(2,1/2) = 111/4.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M3(1,1) ta có (1,1)1440nên nó khơng phải là điểm cực trị.(0,25đ)
+ Tại điểm dừng M4(3,1) ta có (3,1)1440nên nó khơng phải là điểm cực trị.(0,25đ)
<b>Câu 6.(1,5đ)</b> Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) = x2 + y2 – xy – 4x trên miền
đóng D là tam giác được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, y = 0 và 2x + 3y = 12.
<b>Bài giải. </b>
<b>Miền xác định của hàm số đang xét là R</b>2<sub> và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi </sub>
x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D.
Ta có hệ phương trình
0
x
y
2
y
)
y
,
x
(
f
0
4
y
x
2
x
)
y
,
x
(
f
(0,25đ) để xác định các điểm dừng. Hệ phương
trình này có 1 nghiệm duy nhất
3
4
y
3
8
x
, tức là có 1 điểm dừng (8/3,4/3) là điểm trong của miền D và
giá trị của hàm số f(x,y) tại điểm này là
3
16
3
4
,
3
8
f
<sub>.(0,25đ) </sub>
Bây giờ ta xét giá trị của hàm số f(x,y) trên biên của miền D:
- Trên đường x = 0 thì f(0,y) = y2 với 0 y 4 nên fmin = f(0,0) = 0 và fmax = f(0,4) = 16.(0,25đ)
- Trên đường y = 0 thì f(x,0) = x2 – 4x với 0 x 6 nên fmin = f(2,0) = -4 và fmax = f(6,0) = 12.
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
4
- Trên đường 2x + 3y = 12 thì x 16
3
40
x
9
19
)
y
,
x
(
f 2 với 0 x 6 nên
19
96
19
36
,
19
60
f
f<sub>min</sub>
và fmax = f(6,0) = 12.(0,5đ)
So sánh các giá trị của hàm f(x,y) tìm được ở trên ta nhận được
3
16
)
f
(
GTNN tại điểm
3
4
,
3
8
và GTLN(f) = 16 tại điểm (0,4).(0,25đ)
<b>Câu 7.(1,75đ)</b>Tìm cực trị của hàm số
y
1
x
1
)
y
,
x
(
f với điều kiện
2
1
y
1
x
1
2
2 .
<b>Bài giải. </b>
Ta có 0
2
1
y
1
x
1
)
y
,
x
(
0
2
1
y
1
x
1
2
1
y
1
x
1
2
2
2
2
2
2 .
Lập hàm <sub></sub>
2
1
y
1
x
1
y
1
x
1
)
y
,
x
(
)
y
,
x
(
f
)
,
y
,
x
(
L <sub>2</sub> <sub>2</sub> <b>(0,25đ) </b>
2
1
y
1
x
1
)
,
y
,
x
(
L
y
2
y
1
y
)
,
y
,
x
(
L
x
2
x
1
x
)
,
y
,
x
(
L
2
2
3
2
3
2
,(0,25đ) do đó ta được hệ phương trình xác định các điểm dừng là
1
2
y
x
0
2
1
y
1
x
1
0
y
2
y
1
0
x
2
x
1
1
1
1
2
2
3
2
3
2
và
1
2
y
x
2
2
2
.(0,25đ)
Tại <sub>1</sub> 1 ta có
4
1
y
2
,
2
f
C
0
y
x
2
,
2
f
B
4
1
x
2
,
2
f
A
y
2
y
)
y
,
x
(
f
0
y
x
)
y
,
x
(
f
x
2
x
)
y
,
x
(
f
y
1
y
)
y
,
x
(
f
x
1
x
)
y
,
x
(
f
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dy
4
1
dx
4
1
Cdy
Bdxdy
2
Adx
)
2
,
2
(
f
d
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
5
dx
dy
0
dy
4
1
dx
4
1
)
2
,
2
(
d
0
dy
y
2
dx
x
2
)
y
,
x
(
d
0
2
1
y
1
x
1
)
y
,
x
( <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub>
0
dx
2
1
)
2
,
2
(
f
d2 2
, tức là dạng toàn phương d2<sub>f(x</sub>
0,y0) xác định âm, do đó hàm số
y
1
x
1
)
y
,
x
(
f đạt cực đại tại điểm (2,2) và giá trị cực đại f<sub>max</sub> f
2,2 1.(0,25đ)Tại <sub>2</sub> 1 ta có
4
1
y
2
,
2
f
C
0
y
x
2
,
2
f
B
4
1
x
2
,
2
f
A
y
2
y
)
y
,
x
(
f
0
y
x
)
y
,
x
(
f
x
2
x
)
y
,
x
(
f
y
1
y
)
y
,
x
(
f
x
1
x
)
y
,
x
(
f
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dy
4
1
dx
4
1
Cdy
Bdxdy
2
Adx
)
2
,
2
(
f
d
.(0,25đ) Mặt khác ta có
dx
dy
0
dy
4
1
dx
4
1
)
2
,
2
(
d
0
dy
y
2
dx
x
2
)
y
,
x
(
d
0
2
1
y
1
x
1
)
y
,
x
( <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub>
0
dx
2
1
)
2
,
2
(
f
d2 2
, tức là dạng toàn phương d2<sub>f(x</sub>
0,y0) xác định dương, do đó hàm số
y
1
x
1
)
y
,
x
(
</div>
<!--links-->
