HOC SINH GIOI TOAN 9 2020 2021 VONG 1 NGUYEN TAT THANH TOAN THCS VN

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

NĂM HỌC: 2020 - 2021

THCS&THPTNTT

Mơn: Tốn lớp 9 – Vịng 1

(Đề thi gồm 01 trang)

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

 2 + x 4 x 2 2 − x   x 2 − 3x 
A= 
− 2 −
÷:  2 3 ÷
(4,0 điểm) Cho biểu thức:
 2 − x x − 4 2 + x   2x − x 

1

1) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức
2) Tìm giá trị của để A < 0 .

(4,0 điểm) Giải phương trình:

2

1)

x 2 − 3x + 2 + x − 1 = 0
2

2

2

1
1  1 
2
 1


8  x + ÷ + 4  x 2 + 2 ÷ − 4  x 2 + 2 ÷ x + ÷ = ( x + 4 )
2) 
.
x
x 
x 
x


Bài 3.

(4, 0 điểm)

1 Chứng minh rằng :
2 Tìm số tự nhiên
Bài 4.

(6,0 điểm) Cho

để D =

n5 − n + 2 là số chính phương

∆ ABC vuông

tại A( AC >

AB) ,

đường cao AH

điểm D sao cho HD =

HA . Đường vng góc với BC tại D

1

Chứng minh rằng:

∆ BEC ∽ ∆ ADC . Tính BE

2

Gọi

3
Bài 5.

n

a
b
c
+
+
=1
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 biết abc = 1

Tia

M

AM

là trung điểm của

theo a =

cắt

AC

( H ∈ BC ). Trên

tia

HC lấy

tại E .

AB .

BE . Chứng minh rằng: ∆ BHM ∽ ∆ BEC . Tính ·AHM .

GB
HD
=
cắt BC tại G . Chứng minh rằng: BC AH + HC .

(2 điểm)

1
2

B = a 2 + b2 +

1 1
+
a2 b2

Cho a > 0, b > 0 và a + b ≤ 1 . Tìm GTNN của biểu thức

Một bà mẹ chiều con nên ngày nào cũng cho con ăn ít nhất một chiếc kẹo. Để hạn chế, mỗi
tuần bà cho con ăn không quá 10 chiếc kẹo. Chứng minh rằng trong một số ngày liên tiếp nào
đó bà mẹ đã cho con tổng số 13 chiếc kẹo.
 HẾT 

Sản phẩm của nhóm: TOÁN THCS VIỆT NAM

Trang 1


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN 9 (2020 – 2021)
Bài 1.

(4,0 điểm) Cho biểu thức:

 2 + x 4 x 2 2 − x   x 2 − 3x 
A= 
− 2 −
÷:  2 3 ÷
2
−
x
x
−
4

2
+
x

  2x − x 
1) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức
2) Tìm giá trị của

A

x để A < 0 .
Lời giải

1) ĐKXĐ:

x ≠ ±2; x ≠ 0; x ≠ 3

 2 + x 4 x 2 2 − x   x 2 − 3x 
A= 
− 2 −
÷:  2 3 ÷
 2 − x x − 4 2 + x   2x − x 
 ( 2 + x ) 2 + 4 x 2 − ( 2 − x ) 2  x ( x − 3)
=
÷: 2

÷ x ( 2 − x)
2
+
x

2
−
x
(
)
(
)


4 + 4 x + x 2 + 4 x 2 − 4 + 4 x − x 2 x ( x − 3)
=
: 2
x ( 2 − x)
( 2 + x) ( 2 − x)
2
4 x2 + 8x x ( 2 − x )
=
.
( 2 + x ) ( 2 − x ) x ( x − 3)

4x ( x + 2) x
.
2+ x x− 3
4 x2
=
x−3
4x2
A=
Vậy
x − 3 với x ≠ ±2; x ≠ 0; x ≠ 3 .

=

4x2
A< 0⇒
<0
2)
x−3

x 2 > 0 (do x ≠ 0 )
⇒ x− 3< 0⇔ x< 3

Mà

 x ≠ ± 2; x ≠ 0

Kết hợp ĐKXĐ ta được:  x < 3
 x ≠ ± 2; x ≠ 0

Vậy với  x < 3
thì A < 0 .
Bài 2.

(4, 0 điểm) Giải phương trình:

1)

x 2 − 3x + 2 + x − 1 = 0

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Trang 2


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM
2

Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh

2

2

1
1  1 
2
 1


8  x + ÷ + 4  x 2 + 2 ÷ − 4  x 2 + 2 ÷ x + ÷ = ( x + 4 )
2) 
x
x 
x 
x


Lời giải
1) Với

x ≥ 1 thì x − 1 = x − 1 , phương trình trở thành:

x 2 − 3x + 2 + ( x − 1) = 0

⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) + ( x − 1) = 0
⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn).
2

Với

x < 1 thì x − 1 = 1 − x , phương trình trở thành

x 2 − 3x + 2 − ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) − ( x − 1) = 0
x = 1
⇔ ( x − 1) ( x − 3) = 0 ⇔ 
 x = 3 (loại).
Vậy tập nghiệm của phương trình S
2) ĐKXĐ:

= { 1} .

x≠ 0

2

2

2

1
1  1 

2
 1


8  x + ÷ + 4  x 2 + 2 ÷ − 4  x 2 + 2 ÷ x + ÷ = ( x + 4 )
x 
x 
x
 x


2

2
 1  2 
 1 2   1  2
2
 1
⇔ 8  x + ÷ + 4  x + ÷ − 2  − 4  x + ÷ − 2   x + ÷ = ( x + 4 )
 x
 x 

 x 
  x 

2

4

2

4

2

2
 1
 1
 1
 1
 1
⇔ 8  x + ÷ + 4  x + ÷ − 16  x + ÷ + 16 − 4  x + ÷ + 8  x + ÷ = ( x + 4 )
 x
 x
 x
 x
 x

⇔ ( x + 4 ) = 16
2

x + 4 = 4
⇔
 x + 4 = −4
x = 0
⇔
 x = − 8

( loại )
( t /m )

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Trang 3


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Vậy tập nghiệm của phương trình là S
Bài 3.

Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh

= { − 8}

.

(4, 0 điểm)

1

Chứng minh rằng

a
b
c
+
+
=1
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 biết abc = 1 .

2

Tìm số tự nhiên

n để D = n5 − n + 2 là số chính phương
Lời giải

1. Ta có

a
b
c
+
+
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
a
b
c
=
+
+
ab + a + abc bc + b + 1 ac + c + 1
a
b
c
=
+
+
a ( bc + b + 1) bc + b + 1 ac + c + 1

VT =

b+1
c
+
bc + b + 1 ac + c + 1
abc + b
c
=
+
bc + b + 1 ac + c + 1
ac + 1
c
=
+
ac + c + 1 ac + c + 1
ac + c + 1
=
=1
ac + c + 1
=

2. Có

D = n5 − n + 2 = n ( n 4 − 1) + 2 = n ( n 2 + 1) ( n2 − 1) + 2 = n ( n − 1) ( n + 1) ( n 2 + 1) + 2

Ta thấy

n ( n − 1) ( n + 1) M3 ⇒ D ≡ 2(mod3)

Mà

a 2 ≡ 0;1(mod3)(a ∈ N )

Vậy khơng có số tự nhiên
Bài 4.

n nào để D = n5 − n + 2 là số chính phương

∆ ABC vng tại A( AC > AB ) , đường cao AH ( H ∈ BC ). Trên tia HC lấy điểm D sao cho
HD = HA . Đường vng góc với BC tại D cắt AC tại E .

Cho

1. Chứng minh rằng
2. Gọi
3. Tia

M
AM

∆ BEC ∽ ∆ ADC . Tính BE

theo a =

là trung điểm của BE . Chứng minh rằng:

AB .

∆ BHM ∽ ∆ BEC . Tính ·AHM .

GB
HD
=
cắt BC tại G . Chứng minh rằng: BC AH + HC .

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Lời giải

Trang 4


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh

∆ BEC ∽ ∆ ADC .
Tính BE theo a = AB .
Kẻ EI  ⊥ AH

1 Chứng minh rằng:

· = HDA
· = 450 ⇒ ·ADC = 1350
∆ AHD cân tại H ⇒ HAD
Xét ∆ AHB và ∆ EIA có:
·AEI = BHA
· ; EI = HD = AH ; BHA
· = EIA

·

⇒   ∆ AHB =  ∆ EIA(cgc) ⇒ AE = AB

⇒ ∆ ABE cân ở A
· = 450 ⇒ BEC
· = 1350
⇒ ·ABE = BEA
Xét

∆ BEC

và

· = 1350 (cmt)
∆ ADC có: Chung Cµ , ·ADC = BEC

⇒ ∆ BEC ∽ ∆ ADC .

∆ ABE vuông cân tại A, ta có BE = a 2 .
Gọi M là trung điểm của BE . Chứng minh rằng: ∆ BHM ∽ ∆ BEC . Tính ·AHM .
Áp dụng ĐL Pytago vào

2

1
⇒ AM = MD = BE
∆ BDE, ∆ ABE có AM , BD là trung tuyến
2 .
 AM MD 

=

÷
·
Ta có: tan ·AHM = tan DHM
 HM HM 

·
·
· + ·AHM = 1350.
⇒ ·AHM = DHM
= 450 ⇒ BHM
= BHA
·
· = 1350
Xét ∆ BHM và ∆ BEC có: Chung góc B, BHM
= BEC

⇒ ∆ BHM ∽ ∆ BEC (gg)

GB
HD
=
3 Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng: BC AH + HC .

∆ ABE cân tại A, có AG là đường trung tuyến nên AG là đường phân giác.

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Trang 5

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Bài 5.

⇒

AB GB
=
AC GC

⇒

HA GB
=
HC GC mà AH

⇒

HA
GB
=
HA + HC GC .

Mà

Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh

AB HA

=
AC HC

= HD

⇒

HA GB
HA
GB
=
⇒
=
HC GC HA + HC GB + GC

(2,0 điểm)

B = a 2 + b2 +

1 1
+
a2 b2

1 Cho a > 0, b > 0 và a + b ≤ 1 . Tìm GTNN của biểu thức
2 Một bà mẹ chiều con nên ngày nào cũng cho con ăn ít nhất một chiếc kẹo. Để hạn chế, mỗi
tuần bà cho con ăn không quá 10 chiếc kẹo. Chứng minh rằng trong một số ngày liên tiếp nào
đó bà mẹ đã cho con tổng số 13 chiếc kẹo.
Lời giải
1 Ta có

B = a 2 + b2 +

2

1 1
+
a2 b2

2

1
1 1
 1  1
 a + ÷ +  b + ÷ − 4 ≥  a + b + + ÷− 4
2
a b
 a  b
1 1
4
1  3

a+b+ + ≥ a+b+
= a +b +
≥ 2+3= 5
÷+
Mà
a b
a+b 
a+b a+b

⇒ P≥

17
17
1
⇒ min P = ⇔ a = b =
2
2
2

2 Cách 1

Xét các tổng với là số kẹo ăn trong ngày thứ .
Ta xét đến . Theo nguyên tắc Dirickle thì phải tồn tại 2 tổng cùng số dư khi chia cho
Khi đó chia hết cho mà dễ nhất
Cách 2
Xét hai tuần liên tiếp gồm 14 ngày gọi
tự.

(

n1; n2 ; n3 ; n4 ....n14

là số kẹo em bé ăn các ngày theo thứ

)

Gọi a 7 ≤ a ≤ 10 là số kẹo em bé ăn tuần thứ nhất
+)Nếu tuần thứ 2 em bé ăn đúng 7 cái kẹo dễ thấy thỏa mãn.
+)Nếu

tuần
thứ
2
em
bé
ăn
10

chiếc

kẹo

suy

ra

n5 + n6 + .... + n14 ≥ 13 ⇒ 13 + n1 + n2 + n3 < n1.... + n14 = a + 10
ta xét các tổng liên tiếp

S1 = n1.... + n8 ; S2 = n1.... + n9 ;....S7 = n1.... + n14

Các tổng này là 7 số khác nhau trong 10 số liên tiếp từ
số là một trong bốn số

a + 1 tới a + 10 nên phải có ít nhất một

13; 13 + n1;13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3 nếu có một tổng là 13 thì các tổng

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Trang 6


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Tuyển Tập Đề Thị Học Sinh Giỏi Các Tỉnh

trên có một tổng thỏa mãn. Nếu có một tổng là

13 + n1

được một tổng thỏa mãn. Tương tự nếu có hai số

thì ta lấy tổng đó bỏ đi số hạng

13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3

n1

sẽ

ta lấy tổng đó

bỏ đi n1 + n2 ( hoặc n1 + n2 + n3 ) cũng được một tổng thỏa mãn.
+) Chứng minh tương tự cho trường hợp tuần 2 em bé ăn 8 hoặc 9 chiếc kẹo
Cách 3
Xét hai tuần liên tiếp gồm 14 ngày gọi
tự.

(

n1; n2 ; n3 ; n4 ....n14

là số kẹo em bé ăn các ngày theo thứ

)

Gọi a 7 ≤ a ≤ 10 là số kẹo em bé ăn tuần thứ nhất
+)Nếu tuần thứ 2 em bé ăn đúng 7 cái kẹo dễ thấy thỏa mãn.
+)Nếu
tuần
thứ
2
em
bé
ăn
10

chiếc

kẹo

suy

ra

n5 + n6 + .... + n14 ≥ 13 ⇒ 13 + n1 + n2 + n3 < n1.... + n14 = a + 10
ta xét các tổng liên tiếp

S1 = n1.... + n8 ; S2 = n1.... + n9 ;....S7 = n1.... + n14

Các tổng này là 7 số khác nhau trong 10 số liên tiếp từ
số là một trong bốn số

a + 1 tới a + 10 nên phải có ít nhất một

13; 13 + n1;13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3 nếu có một tổng là 13 thì các tổng

trên có một tổng thỏa mãn. Nếu có một tổng là

13 + n1

được một tổng thỏa mãn. Tương tự nếu có hai số

thì ta lấy tổng đó bỏ đi số hạng

13 + n1 + n2 ;13 + n1 + n2 + n3

n1

ta lấy tổng đó

bỏ đi n1 + n2 ( hoặc n1 + n2 + n3 ) cũng được một tổng thỏa mãn.
+) Chứng minh tương tự cho trường hợp tuần 2 em bé ăn 8 hoặc 9 chiếc kẹo
 HẾT 

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

sẽ

Trang 7