TUYỂN CHỌN câu hỏi điểm 10 TRONG các đề THI

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

TUYỂN CHỌN CÂU HỎI ĐIỂM 10 TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC KÌ VÀ THI VÀO
10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Bài 1 (PGD Đan Phượng 2015-2016). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x+ y+ z =1. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 x 2  xy  2 y 2  2 y 2  yz  2 z 2  2 z 2  zx  2 x 2
Hướng dẫn

2 x 2  xy  2 y 2 

5
3
5
2
2
 x  y   x  y   x  y
4
4
2

Chứng minh tương tự cho hai căn thức cịn lại, sau đó cộng vế ta suy ra: P  5  x  y  z   P  5
Bài 2 (PGD Đan Phượng 2013-2014). Giải phương trình: x 2  x  2  2 x 2  x  1
Hướng dẫn
Phương trình đã cho tương đương với





2

x2  x  1  1  0

Bài 3 (PGD Đan Phượng 2014-2015). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
a 1  b2  b 1  c 2  c 1  a 2  .
2
3
Chứng minh rằng: a 2  b2  c 2  .
2
Hướng dẫn
Giả thiết tương đương: 2a 1  b2  2b 1  c 2  2c 1  a 2  3

 



 



 1  b2  2a 1  b2  a 2  1  c 2  2b 1  c 2  b2  1  a 2  2c 1  a 2  c 2  0





 
2

1  b2  a 

 
2

1  c2  b 

1 a2  c

 0
2

 1  b2  a  1  c 2  b  1  a 2  c  0

3
Suy ra: a 2  b2  c 2  .
2

Bài 4 (PGD Đan Phượng 2010-2011). Giải phương trình:
Hướng dẫn
Phương trình đã cho tương đương với x 4





x  3.x4  2 x4  2010 x  2010

x  3  2  2010  x  1  0

1


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343



Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

x 4  x  1



x4
 2010  x  1  0   x  1 
 2010   0  x  1.
x3 2
 x3 2


Bài 5 (PGD Đan Phượng 2011- 2012). Cho x  2, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P   x  x  2  2 x  1  2009
Hướng dẫn
Ý tưởng: Biến đổi P về dạng tổng các bình phương bằng cách tách các hạng tử

2P  2 x  2 x  2  4 x  1  4018  
 2 P  4023  P 



 
2

x  2 1 



2

x  1  2  4023

4023
.
2

Bài 6 (PGD Đan Phượng 2016-2017). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1.
Chứng minh rằng: ab  c  bc  a  ca  b  2
Hướng dẫn
Đặt P  ab  c  bc  a  ca  b . Vì a  b  c  1 nên ta có

P  ab  c  a  b  c   bc  a  a  b  c   ca  b  a  b  c 



 a  c b  c    a  b  a  c    a  b b  c 

Áp dụng bất đẳng thức cô si cơ bản:
CM tương tự có :

 a  b  a  c  

xy 

x y
ta có:
2

2a  b  c
(2),
2

 a  c  b  c  

 a  b  b  c  

a  b  2c
(1)
2

a  2b  c
(3)
2

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) chú ý giả thiết a  b  c  1. Suy ra đpcm.
Bài 7 (PGD Quận Hoàn Kiếm 2016-2017). Cho a, b là hai số thực thỏa mãn
a2  b2  a  b  ab . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  a3  b3  2000.
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có:  a  b   a  b  3ab

2

Đặt S  a  b, P  ab , ta có S 2  S  3P và S 2  4P . Suy ra 0  S  4
Khi đó M  S 3  3SP  2000  S 3  3S .

S2  S
 2000  S 2  2000  2016
3

Bài 8 (THPT Chuyên Hà Nội AMSTERDAM)
a) Giải phương trình:

x  1  2 x  2  x  2  1.

2


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343
b) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

x  1  y  1  2  x  y  . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của biểu thức P  x  y.
Hướng dẫn
x  2 1  x  2  1 

a) Phương trình đã cho tương đương với


x  2 1  



x  2 1  1  x  2



x  2 1  x  2 1  0

Suy ra 2  x  3.
b) Từ giả thiết ta có: x  y  0 và 2  x  y   x  y  2  2 x  1. y  1
2

 2 x  y  x  y  2  x  y 
2

1  17
4



y  1   1  1   x  1  y  1

Áp dụng bất đẳng thức  a  b   2 a 2  b2 ta có:
2



2  x  y   1. x  1  1.
2

2

Vậy max  x  y   2,min  x  y  

2

2

  x  y   x  y  2  0  x  y  2
2

1  17
.
4

Bài 9 (PGD Quận Thanh Xuân 2016-2017). Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
1
1
1
abc
Chứng minh rằng: 2
 2
 2

.
a  bc b  ca c  ab
2abc

Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức cô si, ta có: a 2  bc  2 a 2bc  2a bc 
Chứng minh tương tự, cộng vế lại ta được:



1
1

a  bc 2a bc
2

1
1
1
1
1
1
 2
 2



a  bc b  ca c  ab 2a bc 2b ca 2c ab
2

1
1
1
ab  bc  ca

(1)
 2
 2

a  bc b  ca c  ab
2abc
2

Mặt khác:

ab  bc  ca 

ab bc ca


 a  b  c (2)
2
2
2

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài 10 (Quận Đống Đa Hà Nội 2016-2017). Giải phương trình 2 x  3x  2  2  x  4
Hướng dẫn

3


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343
Ta phát hiện 2 x  2  2



Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS



x  1 và 3x  2   x  4   2  x  1 . Do đó ta sử dụng phương pháp nhân

liên hợp.
Phương trình đã cho tương đương với 2



2  x  1
x 1

2  x  1



3x  2  x  4





x  1  3x  2  x  4  0

0

Kết luận: x  1.
Bài 11 (Quận Hai Bà Trưng Hà Nội 2016-2017). Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
ab
1
 .
a  3a  b   b  3b  a  2
Hướng dẫn
x y
với mọi x, y  0 ta có:
2
1
4a  3a  b 7a  b
(1)
a  3a  b  
4a  3a  b  

2
4
4

Áp dụng bất đẳng thức

Chứng minh tương tự có:

xy 

b  3b  a  

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:



ab
a  3a  b   b  3b  a 



1
4b  3b  a 7b  a
(2)
4b  3b  a  

2
4
4

a  3a  b   b  3b  a   2  a  b 

1
(đpcm).
2

1
3
Bài 11. Cho x  , y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của: M  x  2 y  2 x  1  5 4 y  3  13.
2
4
Hướng dẫn



 

 

Ta có: 2M  2 x  1  2. 2 x  1.1  1  4 y  3  10 4 y  3  25 

 
2

2 x 1 1 

Do đó M  0 . MinM = 0  x  1, y  7.
Bài 12 (Quận Ba Đình 2016-2017). Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a 3 b3 c 3
   a ac  b ba  c cb .
b c a
Hướng dẫn

a 3 b3 c 3
   a 2  b 2  c 2 (1)
• Chứng minh bổ đề:
b c a

4

4y 3 5



2


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

3
3
a3
2 b
2 c
 ab  2a ,  bc  2b ,  ac  2c 2
Áp dụng bất đẳng thức cơsi, ta có:
b
c
a

Suy ra

a 3 b3 c 3
   ab  bc  ca  2  a 2  b 2  c 2  mà a2  b2  c2  ab  bc  ca
b c a

Suy ra

a 3 b3 c 3
   a 2  b2  c 2
b c a

• Chứng minh a2  b2  c2  a ac  b ba  c cb
Thật vậy: a 2  b2  c 2 
 a 2  b2  c 2 

Mà

a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2 ab  bc  ca



2
2
2
2

1
1
1
a  a  c   b b  a   c  c  b 
2
2
2

ac
ba
cb
2
2
2
 ac ,

 ba ,
 cb do đó suy ra a  b  c  a ac  b ba  c cb (2)
2
2
2

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài 12. Cho x  3 1  2  3 1  2. Tính giá trị của biểu thức A   x3  3x  3

2017

.

Hướng dẫn





Ta có x3  2  3 3 1  2 1  2



3



1  2  3 1  2  2  3x

Suy ra x3  3x  2  0  x3  3x  3  1   x3  3x  3

Bài 13. Tính giá trị của biểu thức P 

2017

 1

1
1
1
1

 ... 

.
1 3
3 5
77  99
79  81
Hướng dẫn

2P  3  1  5  3  ...  79  77  81  79  81  1  8  P  4.
Bài 14. Cho a, b, c  0, abc  1, 1  a 1  b 1  c   8. Giá trị của biểu thức A  a  b2  c3 bằng
bao nhiêu?
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có: a 

1 
1

và 1   1  b 1  c   8 (1)

bc
 bc 

 b  1   c  1   bc  1  0  b  c  1
1 1 1
1  b  c  bc     6 
bc b c
b
c
bc
2

2

5

2


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

Suy ra a  1 và A  3.
Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

P

z 1
x2



z
x

xy z  1  yz x  2  zx y  3
xyz
Hướng dẫn

y  3 1  z 1 2  x  2 3  y  3 1
1
1



 

y
2z
2 2 2 2 3
2 2x
2 3y

Bài 16 (Phạm Như Toàn). Giải phương trình: x  x  3  3
Hướng dẫn
Đk: x  0. Phương trình tương đương với 2 x  3  2 x  x  3  9  x2  3x  3  x
Điều kiện 0  x  3. Bình phương hai vế phương trình ta được: x2  3x  9  6 x  x2  x  1.
Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với

x 1  x  3  2  0 

x 1
x 1
1
 1


 0   x  1 

  0  x  1.
x 1
x3 2
x3 2
 x 1

Bài 17. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn

Từ giả thiết ta có:

1
1
1
1


 2. Chứng minh rằng abc  .
1 a 1 b 1 c
8
Hướng dẫn

1
b
c


1 a 1 b 1 c

Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:

Chứng minh tương tự, có:

1
b
c
b
c
2 bc


2
.

1 a 1 b 1 c
1 b 1 c
1  b. 1  c

1
2 ca
1
2 ab



và
1 b
1 c
1  c. 1  a
1 a. 1  b

Nhân 3 bất đẳng thức vế theo vế suy ra đpcm.

36

x2
Hướng dẫn

Bài 18. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức

4
 28  4 x  2  y  1
y 1

36

 
 24    y  1 
Đẳng thức đã cho tương đương  4 x  2 
x2

 

2


x2 6
x2

 
2

y 1  2
y 1



2

 0  2 x2 6 

6

y 1  2  0


4
 4  0

y 1


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

Suy ra x  11, y  5 .
Bài 19. Cho a, b là các số dương thỏa mãn a 2  b2  16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A  a b  a  8b   b a  b  8a .
Hướng dẫn
b  a  8b  

Áp dụng bất đẳng thức cô si:

1
1 9b  a  8b
9b  a  8b   .
3
3
2

a 2  17ab
Suy ra a b  a  8b  
(1)
6
Chứng minh tương tự ta có: b a  b  8a  
Cộng vế (1) và (2) ta được: A 

b2  17ab
(2)
6

a 2  b 2  34ab
mà 2ab  a 2  b2 nên A  3  a 2  b2   A  48
6

Bài 20. Cho 0  a, b, c  2, a  b  c  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  a 2  b2  c 2 .
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có  2  a  2  b  2  c   0  8  abc  2  ab  bc  ca   4  a  b  c   0
 2  ab  bc  ca   abc  4 .

Ta có A   a  b  c   2  ab  bc  ca   9  2  ab  bc  ca 
2

Suy ra A  9  abc  4  5  abc  5
Max A = 5 khi  a, b, c    0,1, 2  và các hốn vị của nó.
Bài 21. Giải phương trình:

x  2 x  1  x  2 x  1  2.
Hướng dẫn

Điều kiện: x  1. Khi đó phương trình tương đương với phương trình
x 1  2 x 1  1  x 1  2 x 1  1  2









x 1 1  x 1  1  2



x 1 1  1  x 1  x 1 1  0  x 1  1  x  2

2

x 1 1 





2

x 1  1  2

Kết hợp điều kiện suy ra giá trị cần tìm của x là 1  x  2.
7


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

x2
 3
x2

Hướng dẫn

Bài 22. Giải phương trình: x 2  4  4  x  2 

Điều kiện:

x2
x2
 t  t 2  x 2  4 . Khi đó phương trình trở thành: t 2  4t  3
 0. Đặt  x  2 
x2
x2

t  1
  t  1 t  3  0  
t  3
• Với t  1, ta có  x  2 

x2
 1 , vì 1  0 nên x  2  0  x  2
x2

Khi đó x2  4  1  x2  5  x   5
• Với t  3, ta có:  x  2 

x2
2 x2
 3   x  2  .
 9  x 2  13  x   13.
x2

x2





Vậy tập nghiệm của phương trình là S   5;  13 .

Bài 23. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  xyz  x  y  y  z  z  x  biết x, y, z  0 và thỏa
mãn x  y  z  3.
Hướng dẫn
x yz 3
 x yz
Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho ba số dương có:
 xyz  xyz  
  1 (1)
3
3


3

x y yzzx
8
3
 x  y  y  z  z  x   
 x  y  z   8 (2)
 
3


 27
3

Từ (1) và (2) suy ra: A  8.
MaxA = 8  x  y  z  1.
Bài 24. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  x  2  y  1 biết x  y  4.
Hướng dẫn



Áp dụng bất đẳng thức:  a  b   2 a 2  b2
2

Ta có: A2 







(các em tự chứng minh)

x  2  y  1  2  x  2  y  1  2  x  y  3  2 (vì x  y  4 ).
2

Do A không âm nên từ A2  2  A  2.
8

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

5
3
max A  2  x  , y  .
2
2

Bài 25. Cho các số không âm x, y thỏa mãn x  y  4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu
x
y
thức P 

y4 x4
Hướng dẫn
Viết lại P 

x
y
x
y
, sau đó sử dụng BĐT Cauchy-shwarzt



y  4 x  4 x  2 y y  2x

Bài 26 (Phạm Như Toàn). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 

2y  4
3x  9
z 1


x
y
z

Hướng dẫn
Sử dụng BĐT Cauchy
Bài 27. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y  x  1  x  3  2 x  2 với 2  x  4.
Hướng dẫn
Lập bảng xét dấu, ta có:
• Với 2  x  1  y  6.
• Với 1  x  1  y  4 x  2
• Với 1  x  3  y  2 x
• Với 3  x  4  y  6.
Vẽ đồ thị hàm số ra ta thấy max y  6,min y  6.
Bài 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2  2 x  3  4 x  1  5x  10
Hướng dẫn
Cách 1: Xét khoảng, dùng đồ thị hàm số để tìm ra min.
Cách 2: Dùng tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: A  A với mọi A.
P  2  x  2 x  3  4 x  1  10  5x  2  x  2 x  3  4 x  1  10  5x  8.

Cách 3: Dùng bất đẳng thức trị tuyệt đối A  B  A  B .
Bài 29. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  x  1  x2  x  1
Hướng dẫn
2

Cách 1: Vì A  0 nên Amin  Amin

9


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

A2  2 x 2  2  2 x 4  x 2  1  4  A  2

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A  2

x2  x  1 x2  x  1  2

x4  x2  1  2

Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  y biết x, y là các số dương thỏa mãn
3 4
  1.
x y
Hướng dẫn

3 4
Cách 1: A   x  y      
 x y  

 3  2  2  2 



y 

  x   y  
 
 


 x  
2





2

32 .

(theo bất đẳng thức buhiacopxki)
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A  7 

4x 3 y
4x 3 y

72
.
74 3
y
x
y x

Bài 31. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A  x  y  z  xy  yz  zx biết x2  y 2  z 2  3.
Hướng dẫn
Chú ý:  x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx  và các bất đẳng thức sau đây
2

• x2  y 2  z 2  xy  yz  zx
• x2  y 2  z 2 

1
2
x  y  z .
3

•  x  y  z   3  xy  yz  zx  .
2

Bài 32 (Nâng cao phát triển toán 9 tập 1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A  a 2  b2  c 2 biết 1  a, b, c  3, a  b  c  1.
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra:  a  1 a  3   b  1 b  3   c  1 c  3  0
 a 2  b2  c2  2  a  b  c   9  A  11
MaxA  11   a, b, c    1, 1,3 và các hoán vị của nó.

Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

1 1
 biết x, y  0, x 2  y 2  1.
x y
Hướng dẫn

10


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

P

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

1 1
2
1
2
 

 2 2  A 2 2
mà 2 xy  x 2  y 2  xy 
x y
xy
2
xy

Bài 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  3x  3y với x  y  4.
Hướng dẫn
Ta có A  3x  34 x  3x 

81
81
 2 3x. x  18.

x
3
3
36a  81
.
a2
Đề thi thử vào 10 trường THPT Lương Thế Vinh năm 2018
Hướng dẫn

Bài 34. Cho a  0. Tìm GTNN của biểu thức P  a 2  4a  15 

2

36 81 
9
9

P  a  4a  15   2   a    4  a    3
a a
a
a


2

Đặt t  a 

t  6
9
9

9
 t  a  a  6 
 t  6 (vì a  0 )
a
a
a
t  6

Khi đó P  t 2  4t  3   t  2   7 . Vì t  6  t  2  4   t  2   16  A  9.
2

2

Min A  9  t  6  a  3

 1
 1
Bài 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  1  x  1    1  y  1   với x  0, y  0 và
 x
 y
thỏa mãn x 2  y 2  1.
Hướng dẫn
Dự đoán minA đạt được khi x  y 
Ta có A  2 
•

1
.
2

x y
1 1
  x y 
y x
x y

x y
  2 (cơ si)
y x

• x y

1 1
4
2
2
  x y
 x y

2
x y
x y
x y x y

 x  y

2
2

3 2

x y
2  x2  y 2 

Vậy A  4  3 2.
Bài 36. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
11

9a
25b 64c


 30.
bc ca a b


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS
Hướng dẫn giải

Đặt x  b  c, y  c  a, z  a  b. Suy ra a 

yzx
xz y
x yz
,b 
,c 
.
2
2

2

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

9  y  z  x  25  x  z  y  64  x  y  z 


 30.
2x
2y
2z

 9 y 25 x   9 z 64 x   25 z 64 y 


Thật vậy đặt P là vế trái, ta có: P  
 
  49.

2z 
 2x 2 y   2x 2z   2 y
Áp dụng bđt côsi ta có:

9 y 25 x
9 y 25 x
9 z 64 x
25 z 64 y

2
.

 15;

 24;

 40.
2x 2 y
2x 2 y
2x 2z
2y
2z

Suy ra P  15  24  40  49  30.
Dấu bằng không xảy ra nên P  30 (đpcm).

Bài 37. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xy  yz  zx  2018. Chứng minh rằng
yz
xy
zx
3
 2

 .
2
x  2108
z  2018
y  2018 2
Hướng dẫn
2

BĐT cần chứng minh viết lại:

Côsi:

yz

 x  y  x  z 



xy

 x  z  y  z 



zx

3
 .
 y  z  x  y  2

1 y
z 
Tương tự với các đánh giá cịn lại, sau đó cộng vế suy ra
 

 x  y  x  z  2  x  y x  z 
yz

đpcm.

Bài 38. Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh: P 

3  a 2 3  b2 3  c 2


 6.
bc ca ab

Hướng dẫn giải

1
1  a2
b2
c2
 1





.
Có P  3 

 a b bc ca  bc c a a b
Áp dụng bất đăng thức

1 1 1
9
  
với mọi x, y, z  0 ta có:

x y z x yz

1
1
1
9
9
3




 .
a  b b  c c  a a  b  b  c  c  a 2a  b  c 2
12


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Áp dụng bất đẳng thức cơsi, ta có:

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

a2
bc
a2 b  c

2
.
a

bc
4
bc 4

b2
ca
c2
a b

 b,

 c . Cộng vế theo vế ba bđt này ta được:
ca
4
ab
4
a2
b2
c2
a bc 3



 .
bc c a a b
2
2

Chứng minh tương tự:

3 3
Do đó: P  3.   6 (đpcm).
2 2

Bài 39. Cho hai số dương a, b thỏa mãn  a  b  a  b  1  a 2  b2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức Q 

1
1
 4
.
2
2
a  b  2ab b  a  2ba 2
4

2

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có:  a  b    a  b   a 2  b2  2ab  a  b.
2



Ta có 2 a  b
2

2

   a  b

2

a, b . Do đó  a  b    a  b 

Áp dụng bđt cơsi, ta có: Q 

MaxQ 

2

 a  b

2

2

 a  b

2

2

 a  b  a  b  2.

1
1
1
2

2 1
 2


 2  .
2
2
2
2a b  2ab 2b a  2a b ab  a  b   a  b 
2
2
2

1
 a  b  1.
2

x
Bài 40. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x  y, xy  1. Chứng minh rằng:

2

 y2 

 x  y

2

2

Hướng dẫn giải
BĐT cần chứng minh tương đương với

x2  y 2
 2 2  x2  y 2  2 2x  2 2 y  0
x y



 x 2  y 2  2 xy  2 2 x  2 2 y  2  0  x  y  2



2

 0 (luôn đúng).

Bài 41. Cho hai số dương x, y thỏa mãn xy  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 9
26
A  
.
x y 3x  y
Hướng dẫn giải

13

 8.

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:

3x  y  2 3xy  6 
Do đó A  6 
Vậy min A 

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

3 9
3 9
  2 .  6 (vì xy  3 )
x y
x y

26
13
26
13
 

3x  y 3
3x  y
3

13 5
 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi x  1, y  3.
3 3

5
 x  1, y  3.
3

Bài 42. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 1  x, y, z  3 và x  y  z  1. Chứng minh rằng

x2  y 2  z 2  11.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có:
 x  1 x  3   y  1 y  3   z  1 z  3  0  x2  y 2  z 2  2  x  y  z   9  11. (đpcm)
Bài 43. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x  y  2. CMR:

x
y

 1.
2
1  y 1  x2

Hướng dẫn giải

x2 y 2  x  y 


Áp dụng bất đẳng thức
với a, b  0, x, y tùy ý
a b
a b
2

 x  y
x
y
x2
y2
4





Ta có:
2
2
2
2
1 y 1 x
x  xy
y  yx
x  y  xy  x  y  2 1  xy 
2

Vì

 x  y
xy 

2

4

 1 nên

x
y
4


 1. (đpcm).
2
2
1 y 1 x
2 1  1

Bài 44. Giải phương trình:

PT tương đương

x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2 x  3
Hướng dẫn giải

 x 1 x  2 

x3  x2 

ĐKXĐ: x  2 . Khi đó pt trên tương đương với




x2  x3



 x 1 x  3.

x 1



 

x2  x3 



x2  x3  0

 x2  x3
x 1 1  0  
 x  2.
 x  1  1



Bài 45 (Phạm Như Toàn). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  999. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
14

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343
P

2a
a 2  333

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS


2b

2c



b2  333
c 2  333
Hướng dẫn giải

.

Ta có 999   a  b  c   3  ab  bc  ca   333  ab  bc  ca
2

Do đó P 

2a

2b





2c

a  ab  bc  ca
b  ab  bc  ca
c  ab  bc  ca
2a
2b
2c
P


 a  b  a  c   b  a  b  c   c  a  c  b 
2

2

2

Hay

a   b
b   c
c 
 a







  3 (BĐT Cauchy).
 ab ac   a b bc   a c bc 
a b c 9 3 abc
  
6
b c a abc
Hướng dẫn giải

Bài 46 (THTT) Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng:

Áp dụng bđt côsi:

a a b
a a b
3a
2a b
3a
   33 . .  3

 3
b b c
b b c
b c
abc
abc

Chứng minh tương tự, sau đó cộng vế các bđt lại ta được:

Do đó

a b c a bc
   3
b c a
abc

a b c 9 3 abc a  b  c 9 3 abc
  
 3

 6 (cô si)
b c a a bc
a bc
abc

Bài 47 (HSG Tỉnh Hưng Yên 2018). Giải phương trình 4 x3  5x2  1  3x  1  3x.
Hướng dẫn giải
Bài 48. Giải phương trình

x  2  y  2009  z  2010 

1
 x  y  z .
2

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với x  y  z  2 x  2  2 y  2009  2 z  2010  0





 
2

x  2 1 

 
2

y  2009  1 



2

z  2010  1  0

 x  2  y  2009  x  2010  1  x  3, y  2008, z  2011.

Bài 49. Giải phương trình: x2  x  2004  2004.
Hướng dẫn giải

15


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

 x 2  y  2004  x 2   y  2004
 2
Đặt y  x  2004 . Ta thu được hệ  2
 y  x  2004  y  x  2004
x  y  0
Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: x 2  y 2   y  x   x  y  x  y  1  0  
x  y 1  0
Đến đây các e tự giải tiếp vì bài tốn đã trở nên đơn giản rồi.
Bài 50. Giải phương trình
a) x4  24 x  32

b) x4  2 x2  8x  3
Hướng dẫn

a) Thêm bớt ta được phương trình tương đương với  x 2  2    2 x  6 
2

b) x 4  2 x 2  8 x  3   x 2  1   2 x  2 
2

2

2

Bài 51 (ÔN CHUYÊN) Cho f  x   ax 2  bx  c có tính chất f 1 , f  4  , f  9  là các số hữu tỉ.
Chứng minh rằng khi đó a, b, c là các số hữu tỉ.
Hướng dẫn giải

f 1  a  b  c 

(1)

f  4   16a  4b  c 

(2)

f  9   81a  9b  c 

(3)

Từ (1),(2) suy ra 15a  3b 

 5a  b 

(4)

Từ (1), (3) suy ra 80a  8b 

 10a  b 

(5)

Từ (4), (5) suy ra 5a 

 a

. Từ (4) suy ra b 

. Từ (1) vì a, b 

nên c  .

Bài 52 (ƠN CHUYÊN). Tìm a để nghiệm của phương trình x4  2 x2  2ax  a2  6a  1  0 (1)
là nhỏ nhất, lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn a. Ta viết lại a 2  2a  x  3  x4  2 x2  1  0.
Phương trình có nghiệm (tức tồn tại a) khi    x  3  x 4  2 x 2  1   x 4  x 2  6 x  8  0.
2

  x  2 x  1  x 2  x  4   0   x  2  x  1  0 (vì x2  x  4  0 x )

Giải ra ta được 1  x  2 . Vậy nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là -1 và 2. Khi đó   0 suy ra
a  2, a  5.
Bài 53. Cho x, y, z  0 và thỏa mãn

1 2 3
   6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y z
16


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

P  x  y2  z3
Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức côsi: y 2  1  2 y, z 3  1  1  3z . Suy ra P  x  2 y  3z  3.

1 2 3
1 
2 
3

Suy ra P  6  x  2 y  3z     3   x     2 y     3z    3  2  4  6  3  9
x y z
x 
y 
z

(cô si). Suy ra P  3.
Bài 54. Cho hai số thực x và y thỏa mãn x2  xy  y 2  1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
sau B  x 2  xy  2 y 2 .
Hướng dẫn giải
Ta viết lại B 

x 2  xy  2 y 2
. Nếu y  0 thì từ giả thiết ta được x2  1  B  1.
x 2  xy  y 2
2

x x
 y  y 2
x
2
Xét y  0. Chia cả tử và mẫu của B cho y ta được B    2
,đặt t  ta thu được

y
x x
 y   y 1
 

t2  t  2
B 2
  B  1 t 2   B  1 t  B  2  0 (1)
t  t 1
Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn t, ta có    B  1  4  B  1 B  2   B2  14B  7
2

 B  7  2 14
Giải điều kiện   0  B 2  14 B  7  0  
 B  7  2 14

Dễ thấy B  0 nên ta chọn B  7  2 14
Bài 55. Cho x,y là các số thực không âm thỏa mãn x3  y 3  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P  x 2  y 2 .
Hướng dẫn giải

x3  y3  1  x3  1  y3 (1) . Vì x, y  0 nên từ (1) suy ra 0  x3  1  0  x  1 , tương tự ta có
0  y  1. Suy ra x2  x3 , y 2  y3  x2  y 2  x3  y3  P  1
Bài 56. Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x 4  y 4  1. Tìm GTNN của biểu
thức P  x3  y3  3  x  y  xy  1  1
Hướng dẫn giải

17

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

4
 x, y  0
0  x  1  x  x


 x  y  x4  y 4  1
Từ giả thiết  4


4
4
 x  y  1 0  y  1  y  y

Đặt x  y  a. Viết lại P  x3  y3  3xy  x  y   3  x  y   1   x  y   3  x  y   1
3

Do đó P  a3  3a  1   a3  1  1  3a  1  3a  3a  1  1 (bđt côsi)
Vậy min P  1  a  1   x; y   0;1 , 1;0 
Bài 57. Cho a, b, c là các số thực không âm không lớn hơn 2 và thỏa mãn a  b  c  3. Chứng
minh rằng: a 2  b2  c2  5
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có 0  a, b, c  2   2  a  2  b  2  c   0
 8  4  a  b  c   2  ab  bc  ca   abc  0  2  ab  bc  ca   abc  4
 2  ab  bc  ca   4  abc (1)

Ta có a 2  b2  c2   a  b  c   2  ab  bc  ca   9  2  ab  bc  ca  (2)

2

Từ (1) và (2) suy ra a2  b2  c2  9  4  abc  5  abc vì abc  0 nên a 2  b2  c2  5 (đpcm).
Bài 58. Cho x, y là các sô thực thay đổi thỏa mãn 1  x  y  5. Tìm GTNN của biểu thức sau
P  2  x 2  y 2   4  x  y  xy   7

Hướng dẫn
P  2 x  y  4 x  y  7
2

Từ giả thiết 1  x  y  5  4  x  y  0 , đặt t  x  y
Bài tốn trở thành tìm GTNN của P  2t 2  4t  7 với 4  t  0
Có P  2  t  1  5  5
2

Vậy minP = 5 khi x  y  1.
Bài 59. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2  y 2  z 2  200. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  2 xy  yz  zx.
Gợi ý
200  P   x  y 

2

2

z 3

 z  x  y  z   x  y    z2  0
2 4


2

18


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

 P  200. Dấu bằng xảy ra khi  x; y; z  10; 10;0  ,  10;10;0 

Bài 60. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A 

x2
x2  x  1

Gợi ý
• MinA = 0.
• A

4
x2
1
1
4


 . Suy ra max A  .
2
2

1
1
3
x  x 1 1 
1 1 3 3
x x 2  2  x   4

Bài 61. Cho các số dương x, y thỏa mãn x3  y3  x  y. Chứng minh rằng x 2  y 2  1.
Gợi ý
Từ giả thiết suy ra x  y  0

x3  y 3
Ta cần chứng minh x  y 
(1). Thật vậy (1)  x3  x2 y  xy 2  y3  x3  y3
x y
2

2

 xy  y  x   2 y 3 (hiển nhiên đúng với mọi x  y  0 )

Bài 62. Cho các số thực x, y thỏa mãn x  1, y  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1  x 1  y .

T  xy  x 1  y 2  y 1  x 2 

2

2

Gợi ý







 sau đó áp dụng bất đăng thức  ab  cd   a  c b  d 

1 y    y  1 y    2

2

T  x y  1  y 2  1  x2 y  1  y 2




ta có T 2   x 2  1  x 2   y 


2

2

2

2

2

2

2

2

Suy ra max T  2.
7
Bài 63. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2  b2  c 2  . Chứng minh rằng
4
1 1 1
1
  
.
a b c abc
Gợi ý

Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bc  ca  ab  1. Từ đó ta nghĩ xem kết nối với giả
thiết như thế nào để chứng minh bđt này đúng.
Có a 2  b2  c2 và xuất hiện bc  ca  ab ta nghĩ ngay đến kết hợp để tạo hằng đẳng thức
Thật vậy a 2  b2  c 2  2bc  2ca  2ab  a  b  c   0
2

19


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

Suy ra a 2  b2  c 2  2  bc  ca  ab   bc  ca  ab 
Bài 64. Giải phương trình

Phương trình tương đương

2  x2  2 

1
1

 4   x  .
2
x
x

Gợi ý

2  x2  x  2 



1 1
  4.
x2 x



Áp dụng bất đẳng thức  a  b   2 a 2  b2 ta có
2

Suy ra

2  x2  x 

7
1 1 1
1
(đpcm).
 1   
8
a b c abc





2  x2  x  2  2  x2  x2   4
2

2  x 2  x  2 (1)

Chứng minh tương tự ta có

2

1 1
 2

x2 x

Cộng vế theo vế (1) với (2) suy ra

(2)

2  x2  x  2 

1 1
 4
x2 x

 2  x2  x

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi 
1 1  x 1
 2 2 
x
x




Bài 65. Cho các số thực x, y thỏa mãn x  1  y 2

 y 



1  x 2  1. Tính giá trị của biểu

thức P  x  y.
Gợi ý
Bài 66. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  a 3 1 b  c  b 3 1 c  a  c 3 1 a  b
Gợi ý
Sử dụng bất đẳng thức cô si: 3 1  b  c  3 1.1. 1  b  c  
Suy ra a 3 1  b  c 

3b c
3

3a  ab  ac
, thiết lập tương tự hai bất đẳng thức còn lại sau đó cộng vế theo vế suy
3

ra GTLN của P.

x 2  2 x  2018
Bài 67. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
 x  0
x2
Gợi ý

20


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

2 2018  2018
2018
1
1  2017
P  1   2   2  2
.

 
x
x
x
x
2018
2018

 2018
2

 2018
1  2017 2017
P  


 
x
2018
2018
2018




Bài 68. Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện a  b  1, a  0. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P 

8a 2  b 2
b
4a
Gợi ý

Từ giả thiết ta có thể dự đoán được minP khi a  b  1. Bây giờ ta biến đổi P để xuất hiện được giả thiết
trong đó
P  2a 

b
b 1
1
ba
1
a b
1
 b2  2a 
  b2   2a 
 b2   a 
 a  b2 
4a
4a 4
4
4a
4

4a
4
2

1
1
1 
1 1
1 3
Pa
 1  b  b 2   2 a.
  b     1 
4a
4
4a 
2 2
2 2

Bài 69. Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x  y  1  5x  5 y  y 2  1. Tìm giá trị lớn nhất và
2

nhỏ nhất của biểu thức S  x  y.
Gợi ý
Từ giả thiết ta suy ra  x  y  1  5  x  y  1  4  y 2  4
2

  x  y  1  5  x  y  1  4  0
2

 1  x  y 1  4  0  x  y  3

Bài 70. Cho bốn số dương x, y, z, t có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 x  y  z  x  y 
P
xyzt
(Trích đề thi HSG Hà nội 2003-2004)
Gợi ý
Áp dụng bđt  a  b   4ab :  x  y  z   t   4  x  y  z  t (1)
2

2

 x  y  z

2

 4  x  y  z (2) ,

 x  y

2

 4 xy (3)

Nhân (1), (2), (3) vế theo vế suy ra P  16.
MinP = 16 khi x  y 

1
1
1
z t

2
4
4

21


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

 x, y , z  0
2
9
Bài 71. Cho 
. Tìm GTNN của biểu thức P 
 2
xy  yz  zx x  y 2  z 2
x  y  z  1
(Đề thi thử vào 10 lần 4- THPT Lương Thế Vinh Hà Nội)
Gợi ý
a 2 b2  a  b 
 
Bổ đề: Ta chứng minh
m n
mn

2

(1) với mọi a, b và m, n  0.

Thật vậy (1) tương đương với  a 2 n  b2 m   m  n   mn  a  b   a2 n2  b2 m2  2abmn
2

  an  bm   0 (đúng).
2

 2  3
22
32
Áp dụng kết quả (1) ta có: P 
 2

2
2
2  xy  yz  zx  x  y  z
2  xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2
2

P

25

 x  y  z

2

 25.

Vậy min P  25 . Các em tự chỉ ra dấu ''  ''

Chú ý: (1) còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Bất đẳng thức này rất hiệu quả
cho các bai toán ở dạng phân thức.
Bài 72. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab  bc  ca  3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P 

a2
b2
c2


c  c 2  a 2  a  a 2  b2  b  b2  c 2 
(Đề thi thử vào 10 - THCS Trưng Vương Hà Nội)
Gợi ý

Từ giả thiết suy ra

Ta có

1 1 1
  3
a b c

a2  c2  c2 1
c
1 1 1  c
a
b 
  2 2 . Do đó P      2
 2
 2 2

2
2
2
2
a b c  c a a b b c 
c a  c  c a  c

Ta ln có c 2  a 2  2ca 
P

c
c
1
, lập luận tương tự suy ra


2
c a
2ca 2a
2

1 1 1  1
1
1  11 1 1 3
           
a b c  2a 2b 2c  2  a b c  2

MinP 

3

 a  b  c  1.
2

Bài 73. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a2  b2  c2  abc. Tìm giá trị lớn
22


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343
nhất của biểu thức P 

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

a
b
c
 2
 2
a  bc b  ca c  ab
(Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THCS Nguyễn Trường Tộ Hà Nội)
Gợi ý
2

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

Chứng minh tương tự suy ra: P 

a
a
bc



a  bc 2a bc 2bc
2

ab
bc
ca
ca.cb  ab.ac  ab.bc



2ab 2bc 2ca
2abc

ac  bc ab  ac ab  bc


ab  bc  ca
1
2
2
2


 (vì a2  b2  c2  ab  bc  ca )
2
2
2
2
2

2
2a  b  c 
2a  b  c  2

maxP 

1
 a  b  c  3.
2

Bài 74. Cho a, b, c là các thực thỏa mãn điều kiện a, b  0,0  c  1, a 2  b2  c 2  3. Tìm giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A  ab  bc  ca  3  a  b  c  .
(Đề thi thử vào 10 năm 2018 – THPT chuyên Hà Nội AMSTERDAM)
Gợi ý
• Tìm GTLN: Có ab  bc  ca  a 2  b2  c 2 và a  b  c  3  a 2  b2  c 2 
Suy ra max P  12
• Tìm GTNN:
2 A   a  b  c    a 2  b2  c 2   6  a  b  c    a  b  c   6  a  b  c   3
2

2

 2 A   a  b  c  3  12
2

Ta có a 2  b2  c2  3   a  b  c   3  2  ab  bc  ca   3  2  abc  bc  ca  (vì 0  c  1)
2

Suy ra  a  b  c   3  2c  ab  b  a   3  a  b  c  3
2

Do đó 2 A 





2

3  3  12  A  3 3

Bài 75. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  6. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức S  a 2  4ab  b2  b2  4bc  c 2  c 2  4ca  a 2
(Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THPT Nguyễn Tất Thành Hà Nội)
Gợi ý

23


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Áp dụng bất đẳng thức

a 2  4ab  b2 

 x  y
xy 

2

ta có

4

a  b

2

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

3
6
2
a  b  a  b
2
2

 2ab 

Chứng minh tương tự ta suy ra S  6  a  b  c   6 6.
Bài 76. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x  4 x  1  y  4 y  1  z  4 z  1  9. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  z 2 .
(Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THPT Lương Thế Vinh Hà Nội)
Gợi ý
Ta có 9  4  xy  yz  zx   x  y  z

(1)

Áp dụng bất đẳng thức a2  b2  c2  ab  bc  ca, a, b, c (*) ta được:
P  x2  y 2  z 2  xy  yz  zx  4P  4  xy  yz  zx 

(2)

(*)  3  a 2  b2  c 2    a  b  c   3  a 2  b2  c 2   a  b  c  a  b  c (**)
2

Áp dụng (**) ta được:

3P  3  x 2  y 2  z 2   x  y  z

(3)







Từ (1), (2), (3) suy ra: 4P  3P  9  4 P  3P  9  0  4 P  3 3 P  3  0
 4P  3 3  0  P 

Vậy min P 

3 3
(do P  0 )
4

3 3
4

Bài 77.
1) Cho x, y là các số dương. Chứng minh rằng: x  y  2
khi nào?
2) Tìm cặp số  x; y  thỏa mãn x 2  y 2   x  y 







x  y  2  0. Dấu ''  '' xảy ra



1
1
x  y  1 với x  , y  .
4
4
(Đề thi thử vào 10 năm 2013 – Sở GD Hải Phòng)
Gợi ý

1) x  y  2





x  y 2



 
2

x 1 

2) Từ phần 1) suy ra  x  y   2





2

y 1  0



x  y 1

24


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Tốn THCS

1

1
2
Ta có 2  x 2  y 2    x  y    x  y  x  y  . Vì x  , y  . nên
4
4
suy ra x  y  2 x  y  1  0





x  y  1  0 . Do đó từ câu 1) ta





Suy ra 2 x 2  y 2   x  y  2.





x  y 1  x2  y 2   x  y 





x  y 1

Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi x  y  1.
x3  y 3  x 2  y 2
với x  1, y  1.
 x  1 y  1
(Đề thi thử vào 10 năm 2018 – Bình Phước Vịng 2)
Gợi ý

Bài 78. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

 x  y  , đặt
x2
y2
A


t  x  y, với x  1, y  1  t  2.
y 1 x 1 x  y  2
2

Khi đó A 

t2
4
4
 t 2
 t 2
42
t 2
t 2

t 2

t  2 .

4
48
t 2

min A  8  x  y  2.

x2 y 2  x  y 


Lời bình: Bài tốn trên đã sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức
a b
ab

2

với mọi a, b  0 và x, y bất kì.
Ta cũng có thể xử lý bài tốn trên theo hướng dự đoán minA đạt được khi x  y và đi tìm số m sao cho

 x  2   0 đúng với
x2
x2
x2

 m , dễ dàng tìm được m  4. Thật vậy
4
x  1. Từ đó

x 1
x 1
y 1 x 1
ta tìm được GTNN của biểu thức A.
2

Bài 78. Cho 0  a, b, c  1. Chứng minh rằng: 2a3  2b3  2c3  3  a2b  b2c  c2 a
(Sưu tầm từ đề thi học sinh giỏi tốn 9)
Gợi ý
Từ giả thiết ta có: 1  a 2  1  b   0  1  a 2b  a 2  b .
Chứng minh tương tự, suy ra 3  a2b  b2c  c2a  a 2  b2  c2  a  b  c
Do 0  a, b, c  1. nên a  a3 , a 2  a3 , b  b3 , b2  b3 , c  c3 , c2  c3
Từ đó suy ra đpcm.

25