HOC SINH GIOI TOAN 9 2020 2021 QUAN TAY HO CHU VAN AN TOAN THCS VN

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

UBND QUẬN TÂY HỒ
TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1.

Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC: 2020 – 2021
Mơn: Tốn 9
Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề)

(4,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức sau:

A  3 52 3. 3 52 3 .
3  6  18  27  6
3 6 9
(4,5 điểm)
B

Bài 2.

Tìm x thỏa mãn điều kiện :
2
1)   x  6 x  9  4  5 x.

2)

2 x2  6 x  8  2 x2  4 x  6  x  4  x  3 .

3)  x  1  1  4 x 2  3 x

Bài 3.

(2,0 điểm)

58
 ab 5
14

40
b
a
Cho hai số nguyên , thỏa mãn
. Tính S  a.b
Bài 4.
( 8 điểm)
�
Cho ABC vuông tại A , vẽ đường cao AH và phân giác AD của CAH .
1) Chứng minh rằng tam giác BAD là tam giác cân.
DH BD

2) Chứng minh DC BC

3) Giả sử AB  10cm , HC  21cm . Tính độ dài các đoạn thẳng BH , AC .
DE
�

4) Vẽ đường phân giác AE của BAH . Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để BC đạt giá trị
lớn nhất?

Bài 5.

(1,5 điểm)
Cho tập A có các tính chất sau:
a. Tập A chứa toàn bộ các số nguyên
b.

2  3 �A

c. Với mọi x, y �A thì x  y �A và x. y �A

Chứng minh

1
�A
2 3
 HẾT 

Sản phẩm của nhóm: TOÁN THCS VIỆT NAM

Trang 1


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Bài 1.

Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN TÂY HỒ
(4,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức sau:

A  3 5 2 3 . 3 5 2 3 .
B

3  6  18  27  6
3 6 9
Lời giải







A  32  5  2 3  4  2 3  3  2 3  1 

B





Bài 2.





3 1

2

 3 1

.

3  6  18  27  6
3 6 9

 

3 6 3 

3 6 3 3 3



3  6 3





3  6 3  3



3  6 3

3  6 3

 



3  6  3 1 3
3  6 3

  1

3

(4,5 điểm)
Tìm x thỏa mãn điều kiện :
2
1)   x  6 x  9  4  5 x.

2)

2 x2  6 x  8  2 x2  4 x  6  x  4  x  3 .

3)  x  1  1  4 x 2  3 x

Lời giải
2

1)   x  6 x  9  4  5 x

�    x  3  4  5 x
2

� x  3  4  5x

.

7
x  3  4  5x � 6 x  7 � x   
6 (loại).
TH1 : x �3 ta có

TH2 : x  3 ta có

3  x  4  5x � 4 x  1 � x 

Phương trình có nghiệm duy nhất
2)

x

1
4 (nhận).

1
4.

2 x2  6 x  8  2 x2  4 x  6  x  4  x  3

� 2  x  1  x  4   2  x  1  x  3   x  4  x  3
Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

, (ĐK : x �1 )
Trang 2


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020

� 2 x  2. x  4  2 x  2. x  3  x  4  x  3

� 2x  2
�





 



x4  x3 

x4  x3



x4  x3  0

� x  4  x  3  0  *
2x  2 1  0 � �
 
2
x

2

1

0
**
�


�



Phương trình (*) vơ nghiệm vì x �1 .
(**)

� 2x  2  1 � 2x  2  1 � 2x  3 � x 

Phương trình có nghiệm duy nhất

x

3
2.

3
2.

3)  x  1  1  4 x 2  3 x ( x �0 )

�





x  1  3x  4 x 2  1

�

x  1  3x
  2 x  1  2 x  1
x  1  3x

�

1 2x
  2 x  1  2 x  1
x  1  3x

�

1  2 x  0  *
�
�
1
�

 2 x  1  **
� x  1  3x
�

 *
Xét

� 1  2x  0 � x 

 **

1
2

VT  0, VP �1 �  **
ta có với x �0 thì
vơ nghiệm.

Phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 3.

x

1

2.

(2,0 điểm)

58
 ab 5
14

40
b
a
Cho hai số nguyên , thỏa mãn
. Tính S  a.b
Lời giải

58
 ab 5
14

40
Ta có:
�

�

29
 ab 5
7  10



29. 7  10
39

  ab

5

� 203  29 10  39a  39b 5
Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Trang 3


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM



� 203  39a  39b  29 2
2



5

�203  39a �
��
� 39b  29 2
5
�

�



� 39 b  2.39b.29 2  2.29
2

2

Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020

2



2

 203  39a 

5

2

��

� 392 b 2  2.39b.29 2  2.29 2 ��

Trường hợp 1: b �0 � 2 �� (vô lý)
Trường hợp 2: b  0 � 203  29 10  39a
� 203  39a  29 10

� 10 �� (vô lý)

Vậy khơng có giá trị của a , b thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 4.

( 8 điểm).
�
Cho ABC vuông tại A , vẽ đường cao AH và phân giác AD của CAH .
1) Chứng minh rằng tam giác BAD là tam giác cân.
DH BD

2) Chứng minh DC BC

3) Giả sử AB  10cm , HC  21cm . Tính độ dài các đoạn thẳng BH , AC .
DE
�
4) Vẽ đường phân giác AE của BAH . Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để BC đạt giá trị
lớn nhất?

Lời giải

1)

�
�
�
Vì AD là phân giác HAC nên HAD  DAC .

�
�

�
Vì ABC vng tại A , vẽ đường cao AH nên BAH  ACD (do cùng phụ B ).
�
�
�
Ta có BDA  DAC  DCA (góc ngồi tam giác)
�  DAC
�  DCA
�  HAD
�  BAH
�  BAD
�
�
�
BDA
hay BDA  BAD , suy ra tam giác BAD là tam giác
cân tại B (đpcm) � BD  AB .
Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Trang 4


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

2)

Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020

DH BD


�
Vì AD là phân giác HAC nên DC BC ( T/chất)

(1)

Áp dụng hệ thức lượng cho ABC vuông tại A , vẽ đường cao AH ta có AB. AC  AH .BC
AH AB BD


AC BC BC (2).
DH BD

Từ (1) và (2) ta có DC BC .
�

3)

Đặt BH  x � BC  x  21 , x  0 .

2
Áp dụng hệ thức lượng cho ABC vng tại A , vẽ đường cao AH ta có AB  BH .BC hay

102  x  x  21 � x 2  21x  100  0
�x  4  t/m 
�  x  4   x  25   0 � �
x  25  loai 
�
.Vậy BH  4cm; BC  25cm .

Áp

dụng

định

lý

pitago

ABC

cho

ta

có

AB 2  AC 2  BC 2

102  AC 2  252 � AC 2  525 � AC  525
4)

�
�
�
�
�
�
Ta có CEA  ABC  BAE  EAH  CAE  CAE � CAE cân, suy ra CE  CA .

Khi đó ta có:

Bài 5.

DE  BD  BE  BA   BC  CE   AB  AC  BC

2  AB 2  AC 2 
DE AB  AC  BC AB  AC


1 �
1  2 1
BC
BC
BC
Suy ra BC
.

ABC
A
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
vng cân tại .
(1,5 điểm):

Cho tập A có các tính chất sau:
a. Tập A chứa tồn bộ các số nguyên
b.

2  3 �A

c. Với mọi x, y �A thì x  y �A và x. y �A

Chứng minh

1
�A
2 3
Lời giải

Ta có

2  3 �A �





2 3 .



2  3 �A

� 5  2 6 �A
Vì 5 �A � 2 6 �A
� 2 6.  1 �A � 2 6 �A
Mà 1�A
Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Trang 5

hay


Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

� 5  2 6 �A �
Giả sử
Vậy

�





Tuyển Tập Đề Thi HSG năm 2020

2

3  2 �A

3  2 �A �





2

3  2 �A

(mâu thuẫn)

3  2 �A

1
�A
3 2
(điều phải chứng minh).

Sản phẩm của nhóm: TỐN THCS VIỆT NAM

Trang 6