Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (177.01 KB, 7 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GD&ĐT NGHỆ AN</b>
<b>LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH</b>
<b> ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG</b>
<b>NĂM HỌC 2018 – 2019 </b>
<b>Mơn: Tốn</b>
<i><b>Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)</b></i>
<i><b>Câu 1 (5.0 điểm) ( Phần chung)</b></i>
<i><b>Câu 2.(5.0 điểm) </b></i>
Cho định lí về tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: '' Cho cấp số nhân ( )<i>un</i> có
cơng bội <i>q </i>1 . Đặt <i>Sn</i> <i>u</i>1 <i>u</i>2 ... <i>un</i>. Khi đó 1
1
.
1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>q</i>
<i>S</i> <i>u</i>
<i>q</i>
<sub>.”</sub>
<i>(Đại số và Giải tích lớp 11- Tr 102).</i>
Anh (chị) hãy thiết kế hai ví dụ khác nhau (kèm hướng dẫn giải), trong đó u cầu ít
nhất một ví dụ có nội dung liên hệ thực tiễn để giúp học sinh vận dụng định lí trên
trong q trình học.
<i><b>Câu 3. (5.0 điểm)</b></i>
Cho hình chóp <i>S ABCD</i>. <sub> có đáy </sub><i>ABCD</i><sub> là hình bình hành, </sub><i>BC</i> 2 <i>a</i><sub> và </sub><sub></sub><i><sub>ACD</sub></i>
vuông cân tại C. Cạnh bên <i>SA</i> vuông góc với đáy và <i>SA a</i> <sub>. </sub>
a) Tính thể tích khối chóp <i>S ABCD</i>. theo a.
b) Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên <i>SD</i> và I là trung điểm <i>SC</i> . Tính tan của
góc giữa hai mặt phẳng
<i><b>Câu 4.(5.0 điểm) </b></i>
a) Cho phương trình:
23
9 4 6 10
4 3 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <sub>.</sub>
Anh (chị) hãy nêu 3 định hướng để giúp học sinh tìm được ba cách giải phương
trình trên và hãy đặt các câu hỏi hướng dẫn học sinh giải chi tiết một trong các cách
đó.
<i> b) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:</i>
2 2 2
4 1
.
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 4
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>abc</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b b c c a</i>
<b>HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG</b>
<b>NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn</b>
<i><b>( gồm 05 trang)</b></i>
<b>Câu</b> <b>Nội dung</b> <b>Điểm</b>
<b>1.</b>
<i><b>(5đ) </b></i>
Phần chung
<b>2.</b>
<i>(5đ)</i>
<b>Chiết điểm</b>
Lấy mỗi một ví dụ chính xác, có kèm hướng dẫn giải chi tiết cho 2,5 điểm
<b>Yêu cầu về lấy ví dụ : </b>
+ Chính xác khoa học, có hướng dẫn giải chi tiết đi kèm.
+ Nội dung cần phải áp dụng định lý để giải.
+ Phải có ít nhất một ví dụ có tính liên hệ thực tiễn.
<b>Một số dạng ví dụ gợi ý:</b>
<b>- Cho </b><i>um</i> và <i>uk</i> bất kì, tính tổng các số hạng của cấp số nhân.
- Cho <i>u</i>1 (hoặc một <i>uk</i> bất kì) và q, tính tổng các số hạng của cấp số nhân.
- Cho n, <i>Sn</i> và q, tìm <i>u</i>1 hoặc <i>uk</i>nào đó
- Cho n, <i>Sn</i>và <i>u</i>1 (hoặc <i>uk</i>nào đó), tìm q.
- Cho m, n và <i>Sm</i>, <i>Sn</i>tìm <i>uk</i>và q.
- Cho <i>Sn</i>và q, <i>u</i>1. Tìm n. ….
- Tính tổng các số hạng của một dãy số có qui luật …
- Các ví dụ thực tiễn liên quan đến tăng trưởng kinh tế, tỉ lệ tăng dân số,
tính tổng,…
<b>Một số gợi ý:</b>
1) Cho cấp số nhân ( )<i>un</i> có <i>u</i>9 64, <i>q</i>2. Tính tổng 2019 số hạng đầu tiên
của cấp số nhân đã cho.
<b>Lời giải: </b>
8
9 1 1 1
1
. 64 256
4
<i>u</i> <i>u q</i> <i>u</i> <i>u</i>
2019
2019
2019
1 1 ( 2) 1
. .(1 2 )
4 1 2 12
<i>S</i>
2) Cho cấp số nhân ( )<i>un</i> có <i>S</i>10 341, <i>q</i>2. Tìm <i>u</i>1.
<b>Lời giải: </b>
Ta có:
10
1 1 1
1 ( 2)
. 341 1023 1023 1
1 2
3) Cho cấp số nhân ( )<i>un</i> có <i>u</i>12, <i>q</i>3,<i>Sn</i> 2186. Tìm n.
<b>Lời giải: </b>
Ta có 1
1 3 1
. 2186 2. 2186 3 2187 7
1 2
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>q</i>
<i>u</i> <i>n</i>
<i>q</i>
4) Cho cấp số nhân ( )<i>un</i> có <i>S</i>3 168, <i>S</i>6 189. Tìm cơng bội q của cấp số
nhân đó.
<b>Lời giải: </b>
3 1
1
. 168
1
<i>q</i>
<i>S</i> <i>u</i>
<i>q</i>
<sub> ; </sub>
6
6 1
1
. 189
1
<i>q</i>
<i>q</i>
3
3
3 3
1 168 1 1
(1 )(1 ) 189 8 2
<i>q</i>
<i>q</i> <i>q</i>
<i>q</i> <i>q</i>
5) Bạn Nam vừa tốt nghiệp đại học đi làm. Năm đầu tiên bạn dành dụm
được A triệu đồng. Bạn dự định mỗi năm sẽ dành một số tiền tích lũy theo
nguyên tắc số tiền tích lũy năm sau sẽ tăng hơn số tiền tích lũy năm kề
trước là 20%. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm đi làm tổng số tiền
bạn Nam dự định sẽ tích lũy được là bao nhiêu ?
<b>Lời giải: </b>
Số tiền năm thứ nhất bạn Nam tích lũy được là A triệu đồng.
Số tiền năm thứ hai bạn Nam tích lũy được là:
A +20%. A = 120%. A =
6
.
5 <i>A</i><sub> ( triệu đồng)</sub>
Số tiền năm thứ ba bạn Nam tích lũy được là:
6
.
5 <i>A</i><sub>+20%.</sub>
6
.
5 <i>A</i><sub> =</sub>
2
6
( ) .
5 <i>A</i><sub> ( triệu đồng)</sub>
….
Như vậy số tiền tích lũy hàng năm của Nam lập thành một cấp số nhân có
cơng bội
6
5
<i>q </i>
. Sau 5 năm thì số tiền Nam tích lũy được là:
5
5 1
1
.
1
<i>q</i>
<i>S</i> <i>u</i>
<i>q</i>
<i>u</i> <i>A</i>
6
5
<b>3.a</b>
<i>(2,5đ)</i>
a)
2 3
. .
1 1
2 2. . 2. . .
3 3 2 3
<i>S ABCD</i> <i>S ACD</i> <i>ACD</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>V</i> <i>V</i> <i>SA S</i> <i>a</i>
<i>0,5</i>
<i>0,5</i>
<i>0,5</i>
<i>0,5</i>
<i>0.5</i>
<b>3.b</b>
<i>(2,5đ)</i>
b) Ta có <i>CD</i><i>AC SA a</i> <i>AI</i> <i>SC</i> (1)
Lại có<i>CD</i><i>SA</i> và <i>CD</i><i>AC</i> <i>CD</i><i>AI</i> (2)
Từ (1) và (2) <i>AI</i> (<i>SCD</i>) <i>AI</i> <i>SD</i>
( )
<i>SD</i> <i>AI</i>
<i>SD</i> <i>AHI</i>
<i>SD</i> <i>AH</i>
Ta có:
( )
( );( ) ;
( )
<i>SA</i> <i>ABCD</i>
<i>ABCD</i> <i>AHI</i> <i>SA SD</i> <i>ASD</i>
<i>SD</i> <i>AHI</i>
<sub>;</sub>
tan AS<i>D</i> <i>AD</i> 2
<i>SA</i>
Ngồi ra có thể giải theo cách xác định góc, cơng thức hình chiếu hoặc tọa
độ hóa.
<i>0,5 </i>
<i>0,5 </i>
<i>0,5</i>
<i> 0,5 </i>
<b>4.a</b>
<i>(3,5đ)</i>
<b>Câu 4. a)</b>
<b>Định hướng 1: ( Tạo bình phương) . </b>
<b>Hệ thống câu hỏi:</b>
<i><b>Câu 1: Nêu một số định hướng giải phương trình chứa căn?</b></i>
<i><b>Câu 2: Biến đổi phương trình đã cho và nêu điều kiện có nghiệm của </b></i>
phương trình ?
<i><b>Câu 3: Do trong biểu thức của phương trình xuất hiện tích của hai số hạng</b></i>
(4 3 ) 4 <i>x</i> <i>x</i><sub>, vậy ta định hướng phương pháp giải nào?</sub>
<i><b>Câu 4: Để làm xuất hiện bình phương cần thêm bớt các số hạng như thế </b></i>
nào?
<i><b>Câu 5: Hãy giải chi tiết phương trình đã cho.</b></i>
<b>Giải chi tiết.</b>
Điều kiện có nghiệm:
3 4 0 4
(*)
4 0 3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Với đk (*) <i>pt</i> 2<i>x</i>2 6<i>x</i> 7 (4 3 ) 4 <i>x</i> <i>x</i> 8<i>x</i>2 24<i>x</i>28 4(4 3 ) 4 <i>x</i> <i>x</i> 0
2 2
9<i>x</i> 24<i>x</i> 16 4(4 3 ) 4<i>x</i> <i>x</i> 4(4 <i>x</i>) <i>x</i> 4<i>x</i> 4
0,5
2 2 4 3 2 (1)
(4 3 2 4 ) ( 2)
4 1 (2)
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub> </sub>
4 11 5 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub>
<sub> </sub> 2
1 1 13
(2)
2
3 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<b>Định hướng 2: ( Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn)</b>
Điều kiện có nghiệm:
3 4 0 4
(*)
4 0 3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Với đk (*)
2 2
2 6 7 (4 3 ) 4 4 (4 3 ) 4 2 5 3 0
<i>pt</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Đặt <i>t</i> 4 <i>x t</i>( 0)<sub> Ta có pt: </sub><i>t</i>2 (4 3 ) <i>x t</i>2<i>x</i>2 5<i>x</i> 3 0<sub> ; </sub> (<i>x</i> 2)2
Pt có hai nghiệm: <i>t</i> 3 2 ;<i>x t</i> 1 <i>x</i><sub> suy ra </sub>
4 3 2
4 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub> </sub>
<sub>…</sub>
<i>( Cũng có thể đưa về </i>
2 2
2<i>x</i> (3 5)<i>t</i> <i>x t</i> 4<i>t</i> 3 0<i><sub> ; </sub></i> ( 1)<i>t</i> 2
<i>Pt có hai nghiệm: </i>
3
1 ;
2
<i>t</i>
<i>x</i> <i>t x</i>
<i> suy ra </i>
4 3 2
4 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub> </sub>
<i><sub>…)</sub></i>
<b>Định hướng 3: ( Phương pháp liên hợp không dùng MTBT hỗ trợ)</b>
2
2 6 7
4
3 4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>pt</i> <i>x</i>
<i>x</i>
Điều kiện có nghiệm:
3 4 0 4
(*)
4 0 3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Ta biến đổi
2
2 6 7
(ax ) 4 (ax )
3 4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>pt</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>b</i>
<i>x</i>
Để xuất hiện nhân tử chung ta cần tìm a, b sao cho:
2 2
2<i>x</i> 6<i>x</i> 7 (ax <i>b</i>)(3<i>x</i> 4) <i>k</i>[4 <i>x</i> (ax <i>b</i>) ] (<i>k R</i>)
<sub>.</sub>
2 2 2 2
(3<i>a</i> 2)<i>x</i> (3<i>b</i> 4<i>a</i> 6)<i>x</i> 7 4<i>b k a x</i>[ (1 2 )x+ - 4] (<i>ab</i> <i>b</i> <i>k R</i>)
Đồng nhất hệ số ta được:
2
2
3 2
(1 2 ) 3 4 6
( 4) 7 4
<i>ka</i> <i>a</i>
<i>k</i> <i>ab</i> <i>b</i> <i>a</i>
<i>k b</i> <i>b</i>
<sub> </sub>
Thường thì k sẽ bằng 1 hoặc -1. Bài này với k = -1 khi đó chẳng hạn cặp
a = -1 và b = 1 thỏa mãn ( cũng có thể chọn k = -1 và cặp a = -2; b =3)
Từ đó ta có lời giải như sau:
Với đk (*)
2
2 6 7
(1 ) 4 (1 )
3 4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>pt</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
2
2 <sub>3</sub> 2 <sub>3</sub> <sub>3 0</sub>
3 4 4 (1 ) 4 3 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>pt</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub>…</sub>
<b>Định hướng 4: ( Phương pháp liên hợp có dùng MTBT hỗ trợ)</b>
3 4 0 4
(*)
4 0 3
Với đk (*)
2
2 6 7 (4 3 ) 4
<i>pt</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Dùng máy tính bỏ túi ta tìm được 1 nghiệm của pt là: <i>x </i>0 0.5746
Thay <i>x </i>0 0.5746 vào <i>4 x</i> ta được 4 <i>x</i>0 1,85082<i>x</i>03 nên ta biến đổi
phương trình như sau:
2
(4 3 ) 4 (3 2x) 4 11 5
<i>pt</i><sub></sub> <sub></sub> <i>x</i> <sub></sub> <i>x</i><sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <i>x</i> <sub></sub> <i>x</i><sub></sub>
2
2
2 4 11 5 0
4 11 5
(4 3 ). 4 11 5
4 3 2 4 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub>…</sub>
<i><b>Định hướng 5: ( Bình phương 2 vế đưa về tích)…</b></i>
Điều kiện có nghiệm:
3 4 0 4
(*)
4 0 3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Với đk (*) <i>pt</i> 2<i>x</i>2 6<i>x</i> 7 (4 3 ) 4 <i>x</i> <i>x</i>
<i><b>Bình phương hai vế với đk (*) ta được</b></i>
4 2 3 2 2
4 36 49 24 84 28 (16 24 9 )(4 )
<i>pt</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
4 3 2
4<i>x</i> 15<i>x</i> 4<i>x</i> 28<i>x</i> 15 0
Dùng MTBT ta bấm được 4 nghiệm:
1 0.5746, 2 2,1754, 3 1,30278, 4 2,30278
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Ta có:
1 2 1 2
11 5
2,75 , . 1, 25
4 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>
Suy ra <i>x x</i>1, 2 là hai nghiệm của phương trình : 4<i>x</i>211<i>x</i> 5 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>
Suy ra <i>x x</i>3, 4 là hai nghiệm của phương trình : <i>x</i>2 <i>x</i> 3 0
Đó là cơ sở để ta phân tích pt (<i>x</i>2 <i>x</i> 3)(4<i>x</i>211<i>x</i>5) 0
Giải xong đối chiếu đk có nghiệm…
<b>4.b</b>
<i>(1,5đ)</i>
b) Bđt cần chứng minh
2 2 2
1 1 1 4 1
( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( )( )( ) 2
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>abc</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b b c c a</i>
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 2 2
2 . 2 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b</i> <i>c b a c</i>
Đặt
; ;
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i>
. Ta có
2 2 2
1 <i>x</i> <i>a</i> ;1 <i>y</i> <i>b</i> ;1 <i>z</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i>
<b>Nhận xét: </b>
(1<i>x</i>)(1<i>y</i>)(1<i>z</i>) (1 <i>x</i>)(1 <i>y</i>)(1 <i>z</i>)<sub> ( vì cùng bằng </sub>
8
( )( )( )
<i>abc</i>
<i>a b b c c a</i> <sub>)</sub>
0
<i>x y z xyz</i>
Suy ra bđt cần chứng minh <i>x</i>2<i>y</i>2<i>z</i>22(1<i>x</i>)(1<i>y</i>)(1<i>z</i>) 2 0
0,25
0,25
0,5
0,25
2 2 2 <sub>2(</sub> <sub>) 0</sub>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x y z xyz xy yz xz</i>
(<i>x y z</i> )2 0<sub>( luôn đúng)</sub>
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi x=y=z=0, hay a=b=c.
<i>Nếu bài làm theo cách khác đáp án mà đúng thì vẫn được điểm như đáp án qui định</i>