Tải Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 Sở GD&ĐT Hải Dương năm học 2016 - 2017 - Đề thi học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán lớp 10 có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (162.39 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017

MƠN THI: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 05/4/2017
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + 1 - m2 (1), (m là tham số).

1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác KAB vng tại K, trong đó K(2; -2)

2) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.
Câu II (3,0 điểm)

2 4

1 1

3
x y y x xy

x
x xy y

   




  



 1) Giải hệ phương trình

2 2

( x 3 x1)(x  x 4x3) 2 x2) Giải phương trình

3) Giải bất phương trình (x2 - 3x + 2)(x2 - 12x + 32) ≤ 4x2
Câu III (3,0 điểm)

1
3
AN  AD

G
BK

BC 1) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CD; N là

điểm thuộc cạnh AD sao cho . Gọi là trọng tâm tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC
tại K. Tính tỉ số .

, ,

BC a CA b AB c   ABC a2 b2 2c2

  tanAtanC 2 tanB2) Cho tam giác ABC

khơng có góc vng và có các cạnh . Chứng minh rằng nếu tam giácthỏa mãn và thì tam
giác ABC đều.

Oxy ABC C AB x 2y0 I



4;2



9
4;

2
M  

  BC A B C B, , 3) Trong mặt phẳng tọa độ , cho

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

AB, điểm thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm biết điểm có tung độ là số nguyên.
Câu IV (1,0 điểm)

Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm
bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần
dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha
cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng

mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số
phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.

Câu V (1,0 điểm) 
, ,

a b cCho các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

ab bc ca

P

a ab bc b bc ca c ca ab

  

     

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

THPT – NĂM HỌC 2016 - 2017
MƠN: TỐN

(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu
I.1

2 2( 1) 1 2 (1)

y x  m x  m Cho hàm số (m là tham số).

A B KAB K (2; 2)K  Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục
hoành tại hai điểm phân biệtsao cho tam giácvuông tại , trong đó .

2 2( 1) 1 2 0 2 2( 1) 2 1 0

x m x m x m x m

            Phương trình

hồnh độ giao điểm (2) 0,25

A B ' 0 (m 1)2 m2 1 0 2m 2 0 m 1

              Đồ thị

hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương

trình (2) có hai nghiệm phân biệt . 0,25

1, 2

x x Gọi các nghiệm của phương trình (2) là .

A B A x( ;0), ( ;0)1 B x2 KA (x1 2;2),KB (x2  2;2)

 

Tọa độ các giao
điểm là ; .

0,25

1 2 1 2 1 2

. 0 ( 2)( 2) 4 0 2( ) 8 0

KAKB KA KB   x  x     x x  x x  
 

2 1 2.2( 1) 8 0 2 4 3 0 1

3
m

m m m m

m



           



 .

m   m 1m 3Kết hợp điều kiện , ta được , . 0,25
Câu

I.2

mTìm giá trị của để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.

2 2( 1) 1 2 2 2( 1) ( 1)2 ( 1)2 1 2

y x  m x  m  y x  m x m  m   m

( 1) 2 2

y x m m

      . 0,25

2 2

y m

   . 0,25

" " x m 12m 2Dấu xảy ra khi . Giá trị lớn nhất của hàm số là . 0,25

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu
II.1

2 4 (1)

1 1

3 (2)
x y y x xy

x
x xy y

   




  



 Giải hệ phương trình

0, 0

x y Điều kiện .

xy
2 1
4
x
x y
  

Chia hai vế của (1) cho ta có phương trình .

0,25

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 4

1 1 1

x x

x

x xy y x x y y x x y y x

x

x y x

     
              
     
 
 
      
   
0,25

2 1 4 1 1 1 1

4 2

1 1

1 1 1 1 1 1 2

4 4

x x x

x y x x y x

x x

x y

x y x x y x

  
      
     
   
 
 
    
 
  
 
    
          
       
      

    Ta có hệ

0,25

2
1

2 2 1 0

1
1 1

1 1 2 2 1

x x x

x
x
y
x y
x y


    
  
 
     
   
   


 .
0,25
Câu

II.2









2 2

3 1 4 3 2

x  x x  x  x  x

Giải phương trình 
1

x  x 1 x 3 x 1 0Điều kiện . Với .





























2 2
2 2
2 2

3 1 4 3 2

3 1 4 3 3 1 2 3 1

4 3 . 3 1

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

      

             

        0,25

2 3 ( 3)( 1) 1 0

 x  x x  x x  x x 



 



0 3 0

1 0

x x

x x x x

x x
   
       
  

0,25
2 2

0 0 1 13

3 0 3

3 3 0

x x

x x x x x

x x x x

 

  

           

    

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 2

0 0 1 5

1 0 1

1 1 0

x x

x x x x x

x x x x

 

  

           

    

  0,25

Câu
II.3

2 2 2

(x  3x2)(x 12x32) 4 x Giải bất phương trình (1)



 





 





 



2 2 2

2 2

2 2 2

( 3 2)( 12 32) 4

1 2 4 8 4 2 4 1 8 4

6 8 9 8 4 (2)

x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x

    

           

      0,25

x  Xét , thay vào bất phương trình (2) khơng thỏa mãn. 0,25
2

x x 0Xét , chia hai vế của (2) cho ta được bất phương trình



2 6 8

 

2 9 8



8 8

. 4 6 9 4

x x x x

x x

x x x x

       

         

   



t 6

 

t 9



4 t2 15t 54 4 t2 15t 50 0 5 t 10

             
8
t x
x
 
Đ
ặt , có bất phương trình .

0,25

8 5 8 0

5 0

5 10

8 10 10 8

0 5 17 5 17

x x x

x

x x x

t
x x
x x
x x
  
  
   
 
 


       

  
     
   


 
 

5 17 x 5 17

    

0,25

Câu

III.1 ABCD M CD N AD

1
3
AN  AD

G BMN AG BC K
BK

BC Cho hình bình

hành . Gọi là trung điểm cạnh ; là điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là
trọng tâm tam giác , đường thẳng cắt tại . Tính tỉ số .









1 1 5 1

3 2 6 2

5 1 3 4

6 2 2 3

1 4

2 9

AG AN AM AB

AD AD AC AB AD AC AB

AD AB AD AB AB AD

AG AB AD

  
      
     
  

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
      
     
  
0,25

BK xBC  AK AB BK AB xBC AB x AD

        
        
        
        
        
        
        
        
        

        
        
        
        
        

Đặt 0,25

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1 4 4

2 9 2 9

2
1

8
4

9
9

m m

AK mAG AB xAD m AB AD AB x AD AB AD

m m

m x

x

 

         

 





 



 

   



  




       

         

Ba điểm thẳng hàng nên

0,25

8 8

9 9

BK

BK BC

BC
    

0,25
Câu

III.2

ABC BC a CA b AB c ,  ,  ABC a2 b2 2c2

  tanAtanC 2 tanB
ABCCho tam giác khơng có góc vng và có các cạnh . Chứng minh

rằng nếu tam giácthỏa mãn và thì tam giác đều.



2 2 2





2 2 2



tanB abc , tanC abc

R c a b R a b c

 

   





2 2 2 2 2 2

sin 2

tan

cos

2
a

A R abc

A

b c a

A R b c a

bc

  

   

0,25



2 2 2





2 2 2





2 2 2



tanA tanC 2.tanB abc abc 2. abc

R b c a R a b c R a c b

     

     

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

b c a a b c a c b

  

      .

0,25



c2 a2 b2

 

a2 b2 c2

 

b2 c2 a2

 

a2 c2 b2



         



2 2 2

 

2 2 2



2 b c a a b c

    













4 2 2 4 2 2 2 4 2 2

a b c c a b b a c

        



 



2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 0

a a b c c b c b

      

0,25

2 2 2 2

a b  c  a b c  Kết hợp với . Vậy tam giác ABC đều. 0,25

Câu

III.3 Oxy ABCC AB x 2y0 I



4; 2



AB

9
4;

2
M  

  BC A B C B, , Trong mặt

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

phương trình. Điểm là trung điểm cạnh , điểm thuộc đường thẳng . Tìm
tọa độ các điểm biết điểm có tung độ là số nguyên.



2 ; ,(



)



8 2 ; 4



B AB  B b b b  A  b  b AB 20 b 2

;

: 2 10 0

CI x y   Phương trình



;10 2



5 4

C CI  C c  c  CI   c

 

4 2 6 1

. 10 4 2 8 2

2 4 2 10 2

ABC

bc b c

S CI AB b c bc

bc b c


  



        

  

 0,25

11 9

4 ; 2 , 2 4;

2 2

CM   c c  MB  b b 

   

 





 

4 2 4

| 11 9 2 6 5 16 0 3

2 2

c k b

M BC k CM k MB bc b c

c k b

  




            

    



 



 



0,25

   

1 , 3 1 2

1 2

b
b

  
 

 

 Từ ( không thỏa mãn). 0,25

   

2 , 3 3



2;1 ,





6;3 ;





2;6



b

A B C

c




  



 Từ . 0,25

Câu
IV

Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích
5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh.
Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50
triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi
sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nơng trại cần trồng mỗi loại
cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết
rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.

( )

x ha y ha( )Giả sử trồng cà rốt và khoai tây.

5 x y





x



0,

y



0

Điều kiện : và

3 x



5 y

Số phân vi sinh cần dùng là: (tấn)

3 x



5 y



18

Ta có

50

75 T



x



y

Số tiền thu được là (triệu đồng).

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

,

x y

Ta cần tìm thoả mãn:

0,

0

5

3

5

18 x

y

x y

x

y





















(I)

50

75 T



x



y

sao cho đạt giá trị lớn nhất.

0,25

Oxy

d x y

1

:





5;

d

2

: 3

x



5 y



18

Trên mặt phẳng tọa độ vẽ các

đường thẳng

d

C

(5;0)

E

(0;5)

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại

điểm .

d

D

(6;0)

18 0;

5 A











Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung

tại điểm .

d

2

7 3

;

2 2

B











Đường thẳng và cắt nhau tại điểm .

OABC

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền

đa giác .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

0 x

T

y















5

250

0 x

T

y















0

270

18

5 x

T

y



















7

2 287,5

3

2 x

T

y













 





; ; ;

1,5 ha 3,5 haVậy để thu được tổng số tiền lãi cao nhất thì nơng trại trồng

cà rốt và khoai tây.

0,25

Câu

V

, ,

a b cCho các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

ab bc ca

P

a ab bc b bc ca c ca ab

  

     

1 1 1

P

a c b a c b

b a c b a c

  

      x 3 a;y 3 b;z 3 c

b c a

  

. Đặt

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3 3 3 3 3 3

1 1 1

P

x z y x z y

  

      x y z, , xyz 1 Ta có với dương

và .





3 3 ( ) ( )2 ( ) 3 3 1 1 ( )

x y  x y x y xy  x y xy  x y    x y xy

3 3

1 ( ) ( )

1 1

1 ( )

x y x y xy xyz xy x y z

x y xy x y z

        

 

   

0,25

3 3

1 1

1 ( )

y z  yz x y z  3 3

1 1

1 ( )

z x  xz x y z  Tương tự ;

1 1 1 1

( ) ( ) ( )

P

xy x y z yz x y z zx x y z xyz

    

     

0,25

" " x   y z 1 a b c  Dấu xảy ra khi .

P 1Vậy giá trị lớn nhất của là . 0,25

</div>

Tải Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 Sở GD&ĐT Hải Dương năm học 2016 - 2017 - Đề thi học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán lớp 10 có đáp án

















<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>















 





 

 

 





 

 

 





 





 





 





































 

 

 





 





















 

 



