Tải Giáo án môn Toán lớp 12 - Giáo án lý thuyết hình học trọng tâm lớp 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.45 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHẦN 1 :HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

VẤN ĐỀ I : KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN
A. KHOẢNG CÁCH.

1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a trong không gian là độ dài đọan
thẳng MH, trong đó MH a với Ha.

2) Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài đọan MH, trong đó MH (P) với
H(P).

3) Nếu đường thẳng a // (P) thì khỏang cách từ a đến (P) là khỏang cách từ một điểm M bất kì của a
đến (P).

4) Nếu hai mặt phẳng song song thì khỏang cách giữa chúng là khỏang cách từ một điểm bất kì của
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Δ Δ 5) Hai đường thẳng chéo nhau a và b luôn luôn có đường thẳng chung . Nếu cắt a và b
lần lượt tại A và B thì độ dài đọan thẳng AB gọi là khỏang cách giữa a và b chéo nhau nói trên.
Muốn tìm khỏang cách giữa hai đường thẳng chéo nhau người ta cịn có thể:

a) Tính độ dài đoạn vng góc chung.

b) Hoặc tìm khỏang cách từ đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai và
song song với đường thẳng thứ nhất.

c) Hoặc tìm khỏang cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng đó và song song với
nhau.

B. GĨC

ϕ(0 ≤ ϕ≤ 900) 1) Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian là góc giữa hai đường thẳng cùng

đi qua một điểm tùy ý trong không gian và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

2) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vng
góc của nó trên mặt phẳng.

3) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì lần lượt vng góc với hai mặt phẳng
đó.

VẤN ĐỀ II : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1. Thể tích của khối hộp chữ nhật.

V = abc ( a, b, c là 3 kích thước)
2. Thể tích của khối lập phương.

V = a3

3. Thể tích của khối lăng trụ.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3 V = B.h ( B là diện tích của đáy )

Chú ý : Tỉ số thể tích

S
I’
C’
A’

B’
I C

VẤN ĐỀ III : DIỆN TÍCH HÌNH
TRỊN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI
TRỊN XOAY

2. π . R .l 1. Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)

π . R2. h 2. Thể tích khối trụ: V = ( h : độ dài đường cao )

π . R .l 3. Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =
1

3. π . R
2. h

4. Thể tích khối nón: V =

4 . π . R2 5. Diện tích mặt cầu: S =

4
3π . R

6. Thể tích khối cầu: V =

Phần II :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. Tọa độ điểm và véctơ :



M x;y;z







OM xi yj zk







Tọa độ điểm:



a





a ;a ;a

1 2 3





a a i a j a k



1



2



3







Tọa độ véctơ :

CÔNG THỨC :













Cho

A x y z

A

; ;

A A

, B

x y z

B

; ;

B B

, C

x y Z

C

;

C

;

C



; ;

2 3



,



; ;

2 3



a





a a a

b





b b b

ta có:

AB





x

B



x y

A

;

B



y z

A

;

B



z

A





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a b

 



a



b a

;



b a

;



b





Tổng – Hiệu hai véc tơ :
3.

k a

.





ka ka ka

;





Nhân một số với một véc tơ :

1 1

2 2

3 3

a

b

a b

a

b

a

b







 













Điều kiện hai véc tơ bằng nhau :

a

/ / b





1 2 3 1 2 3

1 2 3

; k R

a :a : a

b :b :

a

b

,

0 a kb

b

a b

 















 

 







 



Điều kiện hai véc tơ cùng phương :
6.



AB

//

AC



Điều kiện ba điểm thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng



Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước . ( k 1 )



MA k MB



.



ĐN : Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k







1 2

;

1 2

;

1 2

1

M M M

x kx

y ky

z kz

x

y

z

k

Khi đó:





;



;



2

A B A B A B

I I I

x

y

z

x

y

z

8. Toạ độ trung điểm I của đoạn AB :

8.
'
'
'

2

M I M

x

y

z























Toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua điểm I :

;

3

A B C A B C A B C

G G G

x

y

z

x





y





z





Toạ độ trọng tâm G của
tam giác ABC :

10.

4 ;

4

A B C D A B C d A B C D

K K k

x

y

z

x





y





z





Toạ độ
trọng tâm K của tứ diện ABCD :

11.

a b a b

.



1 1



a b

2 2



a b

3 3

 

Tích vơ hướng của hai véc tơ :

12.

2 2 2

1 2 3

a





a



a



a

Độ dài véc tơ :

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>



B A





B A





B A



AB





AB



x



x



y



y



z



z

14. Góc giữa hai véc tơ :

 

a b

,



0;







 











.

cos

.

a b

 

 

Gọi

Lưu ý: Góc giữa hai véc tơ thường dùng để tính số đo góc tam giác .

b

a.

0 a









 

b



15. Điều kiện hai véc tơ vng góc :

Cơng thức về tích có hướng và tích hỗn tạp

, ,

a b c

  







a b c

  

, .







0

1/ đồng phẳng

, ,

a b c

  







a b c

, .







0   

2/ không đồng phẳng







AB AC AD

,





.



0  



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



3/ A,B,C,D đồng phẳng







AB AC AD

,





.



0   

4/ ABCD là tứ diện

1 ,

2

ABC

S





AB AC







 

5/ Diện tích tam giác ABC :

,

.

'

V





AB AC AA







  

6/ Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’:

1 ,

.

6

ABCD

V





AB AC AD







  

7/ Thể tích tứ diện ABCD :

Chú ý:

† Một số điểm đặc biệt :

   1. M Ox M( x;0;0 ) , M Oy M( 0;y;0 ) , M Oz M( 0;0;z )
   2.M OxyM( x;y;0 ), M Oxz M( x;0;z ), M Oyz M( 0;y;z)

II. Mặt phẳng :





x y z

; ;

0 0











; ;

n

A B C

Định lý : Mpqua điểm và nhận làm VTPT





0









0









0





0 A x x

B y y

C z z

có phương trình tổng qt là :

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>



k 



0;0;1





MpOxy có phương trình : z = 0 có VTPT


j 



0;1;0





MpOxz có phương trình : y = 0 có VTPT


i 



1;0;0





MpOyz có phương trình : x = 0 có VTPT



A a



;0;0 , 0; ;0 , 0;0;



B



b



C



c , ,



a b c 

0 



1 x y z

a b c

Định lý :mặt phẳng chắn các trục

Ox , Oy , Oz lần lượt tại với có pttq là :

III. Đường thẳng:



x y z

; ;

0 0











; ;

2 3

a

a a a

0 1

0 2

0 3

x x

a t

y y

a t

z z

a t















  





Định lý: Đường thẳng d đi qua điểm Mvà nhận

làm VTCP có phương trình tham số là : t R

0 0 0

1 2 3

x x

y y

z z

a





1, ,2 3 0

a a a  và phương trình chính tắc là : ()

Chú ý:

0 









 



x t

y

z



i 



1;0;0



0 









 



x

y t

z



j 



0;1;0



0 









 



x

y

z t

k 





0;0;1



Trục Ox có phương trình có VTCP

, Trục Oy có phương trình có VTCP , Trục Oz có phương trình có VTCP

IV. Vị trí tương đối của đường thẳng - mặt phẳng:
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng



















1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

:

0 :

0 A x B y C z D

Cho hai mặt phẳng





1







2





A B C

1

:

1

:

1



A B C

2

:

2

:

2TH1 : cắt





1







2









1 1 1 1

2 2 2 2

A

B

C

D

A

B

C

D

TH2 : song song





1









2







1 1 1 1

2 2 2 2

A

B

C

D

A

B

C

D

TH3 :

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

 

d









; ;

2 3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>



d











; ;

2 3

b

b b b

Đường thẳng có VTCP và qua điểm B

 

d



d





//

a



, .

0 

















b

a b AB



 







: :

2 3 1

: :

2 3

, .

0 



















a a a

b b b

a b AB

  

TH1: cắt

 

d



d





 

//

a b AB



TH2: song song không cùng phương

 

d





d





a b AB

// //

  

TH3:

 

d



d









a b AB

, .







0   

TH4: , chéo nhau

 

d



d









a b AB

, .







0   

Chú ý: , đồng phẳng

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cách 1:









; ;

2 3

a

a a a



x y z

0

; ;

0 0



Cho đường thẳng d có VTCP và qua điểm A











; ;

n

A B C

Mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT



 

n a

 

.



a





n

TH1: d cắt ()   0 ()



 

n.a=0







A

mp

 













 

o o o

n.a=0

A.x +B.y +C.z +D 0

TH2: d // () 



 

n.a=0







A

mp

 











 

o o o

n.a=0

A.x +B.y +C.z +D=0

TH3: d  () 

Cách 2 : Tìm giao điểm và đưa ra kết luận





 

//

n a

Chú ý: d  ()  a1 : a2 : a3 = A : B : C

V. Khoảng cách:



1. Khoảng cách từ một điểm M đến mp ()



x y z

; ;

0 0





Cho điểm M mp() : Ax + By + Cz + D = 0



;







2 0



2 02



Ax

By

Cz

D

d M

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>



;





d M mpOxy

z

d M mpOxz



;





y

0

d M mpOyz



;





x

0 Chú ý : , ,

Các dạng khoảng cách khác :





i. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và



Phương pháp: Lấy 1 điểm M mp



d



 

,





d M



,









ii. Khoảng cách giữa đường thẳng song song mặt phẳng

 

Phương pháp: Lấy 1 điểm M đường thẳng



d





,







d M



,







2. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng



Phương pháp : Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm M trên đt





B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vuông góc đt

 



B2: H =



,



d M

 

MH

B3:





a















 

 



,

a AM

d M

a

Cơng thức: có véctơ và đi qua điểm A

Chú ý: Để tính khoảng cách từ điểm M đến trục Ox , Oy , Oz ta tìm hình chiếu vng góc H của

điểm M trên trục tương ứng và tính MH

d

2Hệ quả: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và

d

a



có véctơ và đi qua điểm A

d b























 



1 2

,

a AB

d d d

a

có véctơ và đi qua điểm B

d

23. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và

d

a



có véctơ và đi qua điểm A
2

d b



có véctơ và đi qua điểm B

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song d2 .



d d d



;





d B 



,

























  

 

1 2

, .

,

a b AB

d d d

a b

Cơng thức:

VI. Góc :





1







2



1. Góc giữa hai mặt phẳng va







0 0

,

0 ,90





 





 





 

1 2
1 2

.

cos

.

n n

 

 



Gọi





1









2





n n 

 

1

.

2

0

Hệ quả:

d

22. Góc giữa hai đường thẳng và :







0 0

,

0 ,90

d d









 





 

.

cos

.

a b

 

 

Gọi

 

d





d





a b 

.

0  

Hệ quả:







cosA= .

AB AC
A AB AC

AB AC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Chú ý : Trong tam giác ABC ta có :



3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng





d

,



0 ,90

0 0











 





 

.

sin

.

n a

 

 

Gọi

 

d



 







n a



//



Hệ quả:

VII. Mặt cầu:

ĐL1: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ; b ;c ) và bán kính R có phương trình:



x a



2



y b



2



z c



2 R2

2 2 2

R a b c  d ĐL2: Mọi phương trình có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0 đk: a2 + b2

+ c2 – d > 0 đều là phương trình mặt cầu tâm I( a ; b ; c ) và bán kính

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>





d I



;



R

TH1: cắt ( S )





d I



;



R

TH2: không cắt ( S )





d I



;



R

TH3: tiếp xúc ( S )



Thường hợp này gọi là tiếp diện

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình mặt phẳng

Phương pháp: Tìm một điểm và một véctơ pháp tuyến ( hoặc một cặp VTCP ).

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình mặt đường thẳng

Phương pháp : Tìm một điểm và một véctơ chỉ phương (hoặc một cặp VTPT) .

VẤN ĐỀ 3: Hình chiếu – Đối xứng.



Dạng 1: Hình chiếu vng góc của điểm M trên mặt phẳng



Phương pháp: Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm M trên mp



B1: Lập đường thẳng d qua điểm M và vng góc mp





B2: H = d



Chú ý: Điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp



M’ cũng đối xứng với điểm M qua điểm H



/
/

2

H M
M

x

y

z























Dạng 2: Hình chiếu vng góc của điểm M trên đường thẳng d

Phương pháp: Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm M trên đt d



B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vng góc đt d





B2: H = d

Đặc biệt : Cho điểm M (x;y; z) ta có:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

---M trên trục Oy có tọa độ là ( 0;y;0 )
---M trên trục Oz có tọa độ là ( 0;0;z )
+Hình chiếu vng góc của điểm M trên Mp(Oxy) có tọa độ là (x;y;0 )
---M trên Mp(Oxz) có tọa độ là (x;0;z )
---M trên Mp(Oyz) có tọa độ là (0;y;z )
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox có tọa độ là M’( x;-y;-z )
---M qua trục Oy có tọa độ là M’( -x;y;-z )
---M qua trục Oz có tọa độ là M’( -x;-y;z )
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua Mp(Oxy) có tọa độ là M’(x;y;-z)
---M qua Mp(Oxz) có tọa độ là M’(x;-y;z)
--- M qua Mp(Oyz) có tọa độ là M’(-x;y;z)
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc O có tọa độ là M’( -x;-y;-z )



Dạng 3: Hình chiếu vng góc của đường thẳng d xuống mặt phẳng



Phương pháp: Gọi d’ là hình chiếu vng góc của đtd xuống mp



B1: Tìm giao điểm I của đt d và mp



B2 : Lấy 1 điểm A đường thẳng d và tìm hình chiếu H của A trên mp
KL : Đt d’ qua hai điểm I và A .

0 1

0 2

0 3















  



x x

a t

y y

a t

z z

a t

Đặt biệt: Hình chiếu vng góc của đường thẳng d :

0 1

0 2

0 













 



x x

a t

y y

a t

z

trên mặt phẳng tọa độ Oxy có pt là :

0 1

0 3

0 











  



x x

a t

y

z z

a t

trên mặt phẳng tọa độ Oxz có pt là :

0 2

0 3

0 











  



x

y y

a t

z z

a t

trên mặt phẳng tọa độ Oyz có pt là :

d

2VẤN ĐỀ 4: Đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và



d



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>



d b



có véctơ và qua điểm B



d

2Phương pháp : Gọi là đường vng góc chung của và

u





B1: Gọi là VTCP của đường vng góc chung

d

 







 



u







a b

,







 

Vì





B2: Lập mặt phẳng chứa và d1




a u

,



 

qua điểm A và có cặp VTCP



d

2B3: Tìm giao điểm I của với

 u



KL: Đường vng góc chung qua điểm I và có VTCP

VẤN ĐỀ 5: Lập đường thẳng cắt đường thẳng cho trước và thỏa điều kiện khác .



d

2Dạng 1: Lập đường thẳng qua điểm M và cắt hai đường thẳng ,

Phương pháp:



B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và chứa đường thẳng d1 .



d

2B2: Tìm giao điểm I của với





Đường thẳng qua hai điểm M và I



d



B3: So sánh VTCP của và VTCP của đường thẳng Kết luận .



d

2Dạng 2: Lập đường thẳng qua điểm M , vng góc đường thẳng và cắt đường thẳng

Phương pháp:



B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vng góc đường thẳng d1 .



d

2B2: Tìm giao điểm I của với





Đường thẳng qua hai điểm M và I



Dạng 3 : Lập đường thẳng qua điểm M , vng góc và cắt đường thẳng d

Phương pháp:



B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vng góc đường thẳng d .



d

B2: Tìm giao điểm I của với

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>



Dạng 4 : Lập đường thẳng qua điểm M , song song mặt phẳng ( P ) và cắt đường thẳng d

Phương pháp:



B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và song song mặt phẳng ( P )



d

B2: Tìm giao điểm I của với .





Đường thẳng qua hai điểm M và I

Dạng 5 : Lập đường thẳng  nằm trong mp( P ) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước.

Phương pháp:

B1: Tìm giao điểm A và B của d1 , d2 và mp( P )

B2:  là đường thẳng qua hai điểm A và B .

 



d

P

VẤN ĐỀ 6 : Lập đường thẳng  nằm trong mp( P ) và cách đường thẳng cho trước
một khoảng L .









; ;

2 3

a

a a a



x y z

0

; ;

0 0



Phương pháp : Cho đường thẳng d có VTCP và qua điểm A

 

P

n







A B C

; ;



Mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT



B1: Lập mặt phẳng vng góc mặt phẳng ( P ) , song song đường thẳng d và cách điểm A một

khoảng L .

   

M P  

B2: Lấy một điểm

 









; ;

2 3

a

a a a

Đường thẳng qua điểm M và có VTCP

VẤN ĐỀ 7 : Lập đường thẳng  nằm trong mp (P) và vng góc đường thẳng d cho trước tại 
giao điểm I của d và mp (P).

Phương pháp:

B1: Tìm giao điểm I của d và mp( P )

 

 







 





P

d













 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 



 

,

P d

u

n a

B2: Vì d có VTCP

 



u

Đường thẳng qua điểm I và có VTCP

VẤN ĐỀ 8: Lập phương trình mặt cầu ( S ).

 Phương pháp1: Tìm tâm và bán kính

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

B1 : Chỉ dạng

 Nếu có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc



Phương trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

 Nếu khơng có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc



Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0

B2 : Khai thác các dữ kiện để lập hệ phương trình .
VẤN ĐỀ 9: Đường trịn giao tuyến

1. Phương trình đường trịn giao tuyến:

Khi mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) ta có đường trịn giao tuyến có pt :

 

2 2 2 2

Ax+By+Cz+D=0

(x-a) +(y-b) +(z-c) =R S









1.1. Tâm của đường tròn giao tuyến:

Gọi K là tâm của đường tròn giao tuyến





K là hình chiếu vng góc của tâm I trên mặt phẳng



B1: Lập đường thẳng d qua điểm M và vng góc mp





B2: H = d

2 2

, . 0

IA IB
IA IC

AB AC AI

 








  

 


  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Chú ý: Toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thoả hệ : 
1.2. Bán kính của đường tròn giao tuyến

2 2

= R - IK

r

= R - d

2 2



I

,





hoặc

VẤN ĐỀ 10: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S).

(Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc)

Dạng 1: Tiếp diện tại điểm M thuộc (S)

Phương pháp :



IM



Tiếp diện tại điểm M vng góc IM có véctơ pháp tuyến là

Dạng 2: Tiếp diện song song mặt phẳng hoặc song song hai đường thẳng không cùng phương 
hoặc vng góc đường thẳng cho trước.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

 Phương trình của tiếp diện có dạng : Ax + By + Cz + m = 0

Tải Giáo án môn Toán lớp 12 - Giáo án lý thuyết hình học trọng tâm lớp 12

<b>PHẦN 1 :HÌNH HỌC KHƠNG GIAN</b>

<b>Phần II :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN</b>

<b>M x;y;z</b>







<b>OM xi yj zk</b>







<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b></b>

<b>a</b>





<b>a ;a ;a</b>





<b>a a i a j a k</b>











