Đề thi tuyển sinh cao học và đáp án môn toán trường Đại học Xây dựng Hà Nội năm 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

bộ giáo dục và đào tạo Đề thi tuyển sinh cao học tháng 11 năm 2013
Tr-ờng Đại Học Xây Dựng Mơn tốn cao cấp − <i>Thời gian làm bài 180 phút</i>

C©u 1

<i>Cho ma trËn A =</i>


4 4

4 4


.

<i>a) Gọi f : R</i>2 _R2 <i>_{là ánh xạ tuyến tính nhận A là ma trận trong cơ sở chính tắc}</i>
của R2<i>. Tìm một cơ sở của không gian ảnh imf và không gian nhân kerf.</i>

<i>b) Gi (x, y) là dạng toàn ph-ơng trên R</i>2 <i>_{nhận A + I làm ma trận trong cơ sở}</i>
<i>chính tắc, với I là ma trận đơn vị cấp 2. Đ-a đ-ờng bậc hai</i>

<i>ω(x, y) +</i>

√
<i>2x +</i>

√

<i>2y − 8 = 0</i>

về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao. Chứng tỏ đ-ờng bậc hai là một
elip và tìm các bán trục của nó.

C©u 2

a) Tìm giới hạn lim
x0

 1

<i>x</i>2
1

<i>x arctan x</i>



<i>.</i>

<i>b) Cho hàm f (x) = (x</i>2<i>+ 2) ln(1 + x</i>2<i>). Hãy tớnh o hm f</i>(8)<i>(0).</i>

Câu 3

<i>a) Tìm cực trị của hàm sè f (x, y) = 3x</i>2 <i>− 2y</i>3<i>+ 6xy − 6x − 6y.</i>

b) TÝnh tÝch ph©n kÐp
ZZ

D

<i>dxdy</i>

p

<i>x</i>2<i>_{+ y}</i>2<i>, víi D = {(x, y) ∈ R</i>

2 <i>_{: x ≥ 1, x}</i>2<i>_{+ y}</i>2<i>_2x}.</i>

Câu 4

a) Tính tích phân đ-ờng loại hai
Z

L

<i>(sin x + 2x sin y)dx + (cos x − sin y)dy, với L là</i>

<i>cung parabol y = x</i>2 <i>nối điểm O(0; 0) víi ®iĨm A(π; π</i>2<i>), h-íng ®i tõ O tíi A.</i>

b) TÝnh tÝch ph©n suy réng
+∞
Z

2

<i>x − ln</i>2<i>x</i>

<i>x</i>2_lnk<i>_x</i> <i>dx khi giá trị k = 2. Với giá trị nào của k</i>

thì tích phân hội tụ.

Câu 5

<i>a) Giải ph-ơng trình vi phân y</i>00<i>_{+ 2y}</i>0<i>_{3y = 2 3x.}</i>

b) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa

X

n=1

<i>x</i>n

<i>n</i>2<i>_{+ n}.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đáp án và thang điểm Môn toán

Câu 1 (2 đ)

(1 đ)

<i>a) Giả hệ AX = 0. Suy ra cơ sở của kerf là {u = (1, 1)}. . . .</i> <b>0,5 đ</b>
<i>Cơ sở của imf là {v = (1, −1)}. . . .</i> <b>0,5 ®</b>

(1 ®)

<i>b) Các giá trị riêng của A + I =</i>


5 4

4 5



<i>lần l-ợt bằng 1</i> <i>= 1, 2</i> <i>= 9. Cơ sở trực</i>

<i>chuẩn t-ơng ứng là v1</i> = (1
2<i>,</i>

1

2<i>), v2</i> = (
1
√

2<i>,</i>
−1
√

2) . . . <b>0,5 ®</b>

Phép đổi tọa độ trực chuẩn
(

<i>x =</i> √1
2<i>X +</i>

1
√

2<i>Y</i>

<i>y =</i> √1

2<i>X −</i>

1
√

2<i>Y.</i>

Suy ra elip cã ph-ơng trình là <i>(X + 1)</i>
2

9 +

<i>Y</i>2

1 <i>= 1. Bán trôc a = 3, b = 1.</i> . . . <b>0,5 đ</b>

Câu 2 (2 đ)

(1,0 )

<i>a) Quy ng v thay VCB t-ơng đ-ơng arctan x ∼ x khi x → 0, ta có L =</i>
lim

x→0

<i>arctan x − x</i>

<i>x</i>3 . . . <b>0,5 đ</b>

<i>Sử dụng quy tắc LHospital, suy ra L = lim</i>
x→0

1
1+x2 − 1

<i>3x</i>2 = lim_x→0

<i>−x</i>2
<i>(1 + x</i>2<i>_)3x</i>2 =

−1

3 <i>. . .</i> <b>0,5 ®</b>

(1 ®)

<i>b) Sư dơng khai triĨn Mac-laurin hµm ln(1 + x</i>2<i>) = x</i>2−<i>x</i>
4

2 +

<i>x</i>6

3 −

<i>x</i>8

4 <i>+ o(x</i>
8

<i>).</i> <b>0,5 ®</b>

<i>Suy ra f (x) = · · · + (</i>1
3 − 2 ·

1
4<i>)x</i>

8<i>_{+ o(x}</i>8<i>_{). VËy f}</i>(8)_{(0) =} 8!

6 <i>.</i> . . . <b>0,5 đ</b>

Câu 3 (2 đ)

(1 đ)

a) Điểm dừng là nghiệm của hệ ph-ơng trình
(

<i>f</i>0

x<i>= 6x + 6y − 6 = 0</i>

<i>f</i>0

y <i>= −6y</i>

2<i>_{+ 6x − 6 = 0.}</i>

<i>HƯ cã c¸c nghiƯm x1</i> <i>= 1, y1</i> <i>= 0 vµ x2</i> <i>= 2, y2</i> <i>= −1.</i>

<i>Hµm cã 2 ®iĨm dõng M1(1, 0), M2(2, −1).</i> . . . <b>0,5 ®</b>

<i>Ma trận các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f là A =</i>


6 6

<i>6 −12y</i>


<i>.</i>

XÐt vi ph©n cấp 2 tại các điểm dừng ta có kết luận:

<i>ã Tại M1</i> hàm khơng đạt cực trị.

<i>• Tại M2, d</i>2<i>f (M</i>2) xác định d-ơng, hàm đạt cực tiểu, fCT <i>= f (M2</i>) = −4. . . <b>0,5 đ</b>

(1 ®)

b) §æi biÕn
(

<i>x = r cos ϕ</i>
<i>y = r sin ϕ</i> <i>D</i>

0

: 1

<i>cos ϕ</i> <i>≤ r ≤ 2 cos ϕ,</i>
<i>−π</i>

4 <i>≤ ϕ ≤</i>

<i>π</i>

4<i>. . . .</i> <b>0,5 ®</b>

<i>VËy I =</i>

π
4

R

−π
4

<i>dϕ</i>

2 cos ϕ_R

1
cos ϕ

=

π
4

R

−π
4

<i>(2 cos ϕ −</i>_{cos ϕ}1 <i>)dϕ = 2</i>

√

2 − 2 ln(
√

<i>2 + 1). . . .</i> <b>0,5 ®</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(1 ®)

<i>a) I =</i>
π
R

0

<i>(sin x + 2x cos x) dx. . . .</i> <b>0,5 ®</b>

<i>Tính đúng tích phân I = − cos x|</i>π
0 +

π
R

0

<i>2xd(sin x) = 2 + 2x sin x</i>π
0 − 2

π
R

0

<i>sin xdx = −2.</i>

<b>0,5 ®</b>

(1 ®)

<i>b) I(k) =</i>
+∞_R

2

<i>x − ln</i>2<i>x</i>
<i>x</i>2_lnk

<i>x</i> <i>dx =</i>

+∞_R

2

<i>dx</i>
<i>x ln</i>k<i>x</i> −

+∞_R

2

<i>dx</i>
<i>x</i>2_lnk−2

<i>x. Víi k = 2 th× I =</i>

1
ln 2 −
1

2<i>. . . .</i> <b>0,5 đ</b>

<i>Tích phân thứ 1 hội tụ khi và chØ khi k > 1 v×</i>
+∞_R

2

<i>dx</i>
<i>x ln</i>k<i>x</i> =

ln−k+1<i>x</i>

<i>−k + 1</i> |
+

2 <i>, (k 6= 1). Tích phân</i>

thứ 2 luôn hội tơ v× limx→∞
1

<i>x</i>2_lnk−2

<i>x</i>

1

<i>x</i>23

= limx→∞ 1

<i>x</i>12 lnk−2<i>x</i>

<i>= 0. Suy ra</i> 1

<i>x</i>2_lnk−2

<i>x</i> <i><</i>

1

<i>x</i>23

víi

<i>x đủ lớn.</i> . . . <b>0,5 đ</b>

C©u 5 (2 đ)

(1 đ)

<i>a) Nghiệm ph-ơng trình thuần nhất y</i>00<i>+ 2y</i>0<i> 3y = 0, ¯y = C</i>1<i>e</i>x<i>+ C2e</i>−3x. . . <b>0,5 đ</b>
<i>Nghiệm riêng của ph-ơng trình không thuần nhất y</i>00<i>+ 2y</i>0<i> 3y = 2 − 3x lµ y</i>∗<i>_{= x.}</i>

<i>VËy nghiƯm tỉng qu¸t y = x + C1e</i>x<i>_{+ C2}_e</i>−3x_. _{. . . .} <b>0,5 đ</b>

(1 đ)

<i>b) Bán kính hội tụ R = lim</i>
n→∞

<i>|an</i>|

<i>|an</i>+ 1| = limn→∞

<i>n</i>2<i>_{+ n}</i>

<i>(n + 1)</i>2<i>_{+ n + 1}</i> <i>= 1. Do chuỗi</i>

P

n=1
1

<i>n</i>2<i>_{+ n}</i>
<i>hi t nờn chui ó cho hội tụ tại x = ±1. Miền hội tụ X = [−1; 1]. . . .</i> <b>0,5 đ</b>

Ta cã
∞
P
n=1

<i>x</i>n
<i>n</i>2<i>_{+ n}</i> =

∞
P
n=1

<i>x</i>n

<i>n</i> −

∞
P
n=1

<i>x</i>n

<i>n + 1</i> <i>= − ln(1 − x) +</i>

<i>x + ln(1 − x)</i>

<i>x</i> <i>.</i>

<i>VËy S(x) = 1 +</i> <i>(1 − x) ln(1 − x)</i>

</div>

<!--links-->