Bài giảng số 2: Ứng dụng véc tơ trong các bài toán hệ thức lượng trong tam giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (299.28 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP 
Hotline: 0989189380

Bài giảng số 2: ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CHỨNG MINH 
CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Một số hệ thức véc tơ cần nắm vững trong phần này:
 a IA b IB c IC. . . 0

 GA GB    GCO (G là trọng tâm của tam giác ABC)
 Qui tắc trung điểm, qui tắc hình bình hành

 Một số hệ thức lượng cơ bản trong tam giác
 Định lý hàm số cosin, sin

 Công thức độ dài đường trung tuyến, đường phân giác
B. CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp ABC ta ln có:

. . . 0

a IA b IB c IC    .

Từ bài toán trên ta có một số bài tốn sau.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong ABC với I là tâm đường trịn nội tiếp ABC có bán kính r , O là 
tâm đường trịn ngoại tiếp ABC có bán kính R, G là trọng tâm ABC và H là trực tâm ABC, ta có 
các đẳng thức sau:

a)

2 2 2

1
IA IB IC

bc  ca  ab  
b) OI2 R22Rr

Hệ thức gồm a) và b) được gọi là hệ thức Ơle.

c) 2 1



3 3 3 2 2 2



4
9

GI  ab bc caa b c  Rr

d) IH2 4R28Rr



a2b2c2ab bc ca 



Giải:

a) Từ .a IA b IB c IC . . 0a IA2. 2b IB2. 2c IC2. 22ab IA IB. . 2 .bc IB IC . 2ca IC IA. . 0













2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

. . . 0

a IA b IB c IC ab IA IB AB bc IB IC BC ca IA IC AC

            













2 2 2 2 2 2 2 2 2

0
IA a ab ac IB b ab bc IC c ca bc abc bca cab

            



2 2 2











. . . 0

a IA b IB c IC a b c abc a b c

        

2 2 2

. . .

a IA b IB c IC abc

     đpcm.

b) Ta có: .a IA b IB c IC . . 0



a b c OI



. a OA b OB. . c OC.
      





2 2



2 2 2



2



2 2





2 2





2 2



. 2 2 2

a b c OI a b c R ab R AB bc R BC ca R AC

           





2 2 2









a b c OI R a b c abc a b c

        

2 2 2 4 2

2
2

abc SR

OI R R R Rr

a b c p

      

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP 
Hotline: 0989189380

c) Từ .a IA b IB c IC . . 0, ta có: a IG



 GA

 

b IG GB

 

c IG GC



0



a b c GI



. a GA b GB. . c GC.

      

















2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

. . . .

a b c GI a GA b GB c GC ab GA GB AB

bc GB GC BC ca GA GC AC

        

     





2 2

















a b c GI a a b c GA b a b c GB c a b c GC abc a b c

              

2 2 2

4 4 4

. . .

9a ma 9b mb 9c mc abc
GI

a b c

  

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2
4

9 2 4 2 4 2 4

b c a a c b b a c

a b c abc

GI

a b c

         

     

      

     

 

 

 







 







2 2 2 2 2 2 3 3 3

2 2
.

9 9

a b c b a c c b a a b c abc

GI

a b c a b c a b c

      

   

     







 







2 2 2 2 2 2 3 3 3

2 2 9 2

a b c b a c c b a a b c abc abc

GI

a b c a b c

         

 

  

   

Ta có: 2a b



2c2

 

b a2c2

 

c b2a2



6abc



2ab2bc2ca



a b c



 

Và 3abc



a3b3c3

 

 ab bc ca a   2b2c2





a b c 



Do đó

2 2 2

2 3 3

4
9

ab bc ca a b c

GI        Rr.

d) Ta có:



 IHHA a

 

 IH HB b

 

  IHHC c



0

2 2 2

2 a HA. b HB. c HC. abc
IH

a b c a b c

 

  

   

Ta lại có: HA2 4R2a2, HB2 4R2b2, HC2 4R2c2 (tự chứng minh)



2 2





2 2

 

2 2



2 a 4R a b 4R b c 4R c abc

IH

a b c a b c

    

  

   

3 3 3

2 3 4

4R a b c abc abc

a b c a b c

  

  

   







2 2 2



4R 8Rr a b c ab bc ca a b c

a b c

      

  

 





2 2 2 2

4R 8Rr ab bc ca a b c

        . (đpcm)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong ABC ta ln có:

a) 3 3

 

a b c

m m m

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP 
Hotline: 0989189380

b) 2 3

 

a b c

m m m  

Giải:

Trước hết ta chứng minh bài toán tống quát sau: Với M là điểm bất kỳ trong ABC, ta ln có:

 

3 *

MA MB MC

a  b  c 

Thật vậy, ta có:

 

* . . .

. . .

MA GA MB GB MC GC

VT

a GA b GB c GC

   . . .

2 2 2

. . .

3 a 3 b 3 c

MA GA MB GB MC GC

a m b m c m

  

     













4 3 4 3 4 3

. . . .

2 2 2

3 3 a 3 3 b 3 3 c

MA GA GA MB GB GB MC GC GC

a m b m c m

  

  

        













2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 MG GA GA. 3 3 MG GB GB. 3 3 MG GC. GC

a b c a b c a b c

  

  

     

     





2 2 2

3 3 GA GB GC MG GA GB GC

a b c

      

 



 

   



2 2 2





2 2 2



2 2 2 2 2 2

4 4 3

3 3. 3 3. .

9 ma mb mc 9 4 a b c 3

a b c a b c

   

  

   

Dấu “=” xảy ra

. .

3 3 3

, ,

2 a 2 b 2 c

MA GA MA GA

MB GB MB GB

MC GC MC GC

a m b m c m

 



 




  




   




   
   

    M G
a b c



 

 


Áp dụng:

a) Bất đẳng thức

 

5 được chứng minh nếu thay điểm M ở

 

* bởi G, ta có: GA GB GC 3

a  b  c 

3
3

a b c

m m m

a b c

 

    

 

 

5

 .

b) Bất đẳng thức

 

5 chứng minh bằng cách áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cơsi.
Ta có:

2 2 2
3

2 a 4

a b c

a m   
2

2 2 2

2
3

2 2 4

b

b m

a b c

b m

 



 

 

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP 
Hotline: 0989189380

2
2

2 2 2

3
2
3

2 2 4

c

c m

a b c

c m

 



 

 

 

 

 

2 2 2

3 3 3

2 2 2

3 3 3

. . .

2 2 2

a b c

VT

m m m

a m b m c m



      





2 2 2

4. . 2 3

a b c

 

 

 

Dấu “=” xảy ra abc.

*Chú ý:

 

5 cũng chứng minh trực tiếp được bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cơsi.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong mọi ABC nhọn ta ln có: 4Rma mbmc  r 4R.

Giải: 
+) Chứng minh: ma mbmc  r 4R.

Xét AMO, ta có: ma OA OM RRcosA
cos

b

m RR B, mc RRcosC





3 cos cos cos

a b c

m m m R R A B C

      

4 4 sin sin sin 4

2 2 2

a b c

A B C

m m m R R R r

       .

+) Chứng minh: mambmc 4R.
Ta có:





3 . 3 . 3 .

2 2 2

a b c

R m m m  OA GA OB GB OC GC





. . .

2 OA GA OB GB OC GC

       













. . .

2 OA GO OA OB GO OB OC GO OC

 

     

 

        





3
3

2 R GO OA OB OC

 

   

 

   



2 2



3 3

2 R OG

 

2 2 2 2 2 2

2 2

3 3

2 3 2

a b c a b c

R R

     

    

 

Ta chứng minh:

2 2 2
2
4
2

a b c

R
 

 2 2 2

sin A sin B sin C 2

   

2 2 cosAcosBcosC 2

   (đúng với mọi ABC nhọn)





a b c

R m m m R

    mambmc 4R.
Ví dụ5: Cho ABC. Tìm điểm M sao cho: 2 cos .

A

MA MB MC

nhỏ nhất.

Giải:

C
B

F
E

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP 
Hotline: 0989189380

Ta có: 2 cos .
2

A

MA MB MC 2 cos . . .

A MB AB MC AC

MA

AB AC

  

. .

2 cos .
2

A MB AB MC AC

MA

AB AC

  

   









2 cos .
2

MA AB AB MA AC AC

A
MA
AB AC
 
  
     

2 cos .
2

A AB AC

MA MA AB AC

AB AC
 

     
 
 


Đặt AB AE
AB




, AC AF
AC 




, AE  AF 1





AB AC

MA MA ME MF

AB AC
 
    
 
 

   





. .2 cos .cos ,

A

MA AI MA MA AI

   









2 cos . 1 cos ,
2

A

VT MA MA AI AB AC AB AC

        

Vậy VTmin ABAC





, 180
MA AI
MA AB
MC AC
 


 




 
 

  M A.

Ví dụ 6: Cho ABC. Gọi G I r lần lượt là trọng tâm, tâm đường trịn nội tiếp và bán kính đường trịn , ,
nội tiếp ABC. Giả sử ha, h h , b, c ma, mb, m lần lượt là các chiều cao và trung tuyến của c ABC kẻ từ 
các đỉnh ,A B C . Chứng minh rằng: , max ; ;

a b c

m m m GI

h h h r

 

 
 
. 
Giải:

Ta có: 1 1 1 1

a b c

r  h h h (tự chứng minh)
Và .a IA b IB c IC . . 0.

Ta có: max ; ; 1
3

a b c a b c

m m m m m m

h h h h h h

   

  

   

   

2 a b c

GA GB GC

h h h

 
 
  
 
 
  
1

2 a b c

GA GB GC

h h h

  

  

1 1 1 1

2 a b c a b c

IA IB IC
GI

h h h h h h

 
      
 
  






1 1 1

. .

2 r GI 2S aIA bIB cIC
     1.

GI

r





max ; ;

a b c

m m m GI

h h h r

 

  

 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP 
Hotline: 0989189380

1. cos cos cos 3
2

A B C

2. sin2 sin2 sin2 9
4

A B C

3. a b  c 3 3R

4. cos 2 cos 2 cos 2 3
2

A B C

5. sin sin sin 3

2 2 2 2

A B C

  

6. x2y2z2 2xycosB2yzcosC2zxcosA
Giải:

Chọn e e1, 2, e3

  

là các vectơ đơn vị trên các cạnh AB BC CA . , ,



xe1 ye2 ze3



    
2 2 2

1 2 2 3 3 1

2 . 2 . 2 . 0

x y z xye e yze e zxe e

         

2 2 2

2 cos 2 cos 2 cos 0

x y z xy B yz C zx A

      

 Bất đẳng thức 6.

Thay xyz  bất đẳng thức 1. 1
Bất đẳng thức 5 được suy ra từ 1.

Ta chứng minh bất đẳng thức 2. Trước hết ta chứng minh bất đẳng
thức: cos 2 cos 2 cos 2 3

A B C  .

Chọn các vectơ đơn vị e e  1, 2, e3 nằm trên các cạnh OA OB OC , ,

(hoặc không cần chọn).

Ta xét:



OA OB OC   



2 0

2 2 2

2 . 2 . 2 . 0

OA OB OC OA OB OB OC OC OA

         

2 2 2 2

2R cos 2C 2R cos 2A 2R cos 2B 3R

    

3
cos 2 cos 2 cos 2

A B C

    

Từ đó suy ra bất đẳng thức 2.

Bất đẳng thức 4 chứng minh tương tự.

Bất đẳng thức 3 được suy ra từ bất đẳng thức 2.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho trọng tâm G của ABC. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta ln có:

2 2 2 2 2 2

. . .

MA MB MC MA GA MB GB MC GCGA GB GC .

Bài 2: Cho ABC. Tìm điểm M sao cho: MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.

C
B

e1

e2

e3

C
B

O
e1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP 
Hotline: 0989189380

Bài 3: Cho tứ giác ABCD và đường thẳng d. Tìm trên d, điểm M sao cho MA2 MB2MC2MD2
nhỏ nhất.

Bài 4: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, hai đường trung tuyến qua trung điểm hai cạnh góc

vng cắt nhau theo một góc nhọn  mà cos 4
5

  .

Bài 5: Cho đa giác đều A A1 2...A . Tìm điểm n M sao cho: MA1MA2...MAn nhỏ nhất.
Bài 6: Cho ABC. Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta có:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2
3a b c
a MA b MB c MC

a b c

  

  .
Bài 7: M là một điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong ABC ta ln có:





2 2 2 2 2

OG  MG  MA MB MC
Từ đó suy ra:

2 2 2
2 2

a b c

OG R    .

Ta có: OH3OGOH2 9OG2 9R2a2b2c2
2

GH  OG
 





2 2 2 4 2 2 2

4 4

GH OG R a b c

      .

Từ các đẳng thức trên hãy chứng minh:

a) 2IOHI b) IOOG

c) 2.IOGI d) 3IOOH

e) 2IOGH

Bài 8: Cho đường tròn tâm I nội tiếp trong ABC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt tại
, ,

</div>