Môđun không xoắn trên vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Vân Anh

MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH
GIAO HỐN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Vân Anh

MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH
GIAO HỐN

Chun ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Trần Huyên

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn của
TS. Trần Huyên. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nội
dung từ các sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tơi xin chịu
hồn tồn trách nhiệm về luận văn của mình.


Lời cảm ơn
Trong suốt q trình học tập và hồn thành luận văn, tôi đã nhận được sự giúp
đỡ cũng như hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cơ, các đồng nghiệp và các bạn cao
học tốn K26.
Đầu tiên, tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy tâm
huyết trong giảng dạy và cũng là người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tơi trong q
trình hồn thành luận văn.
Với lịng kính trọng và biết ơn, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chân thành đến:
Các thầy cơ khoa Tốn - Tin của Trường Đại học Sư phạm TP.HCM cùng
GS.TS. Bùi Xuân Hải, GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến
thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Ban giám hiệu, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập,
hồn thành và bảo vệ luận vặn.
Các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến,
nhận xét và đánh giá luận văn.
Cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè là những người luôn
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hồn thành luận văn.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018
Trần Thị Vân Anh


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU.........................................................................................................................1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .....................................................................2
1.1 Một vài khái niệm và kết quả của lý thuyết môđun ..............................................2
1.2 Dãy khớp ...............................................................................................................5
1.3 Các hàm tử đồng điều ............................................................................................8
CHƯƠNG 2: MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN .................19
2.1 Mơđun không xoắn trên miền nguyên .................................................................19
2.2 Môđun không xoắn trên vành giao hoán .............................................................25
KẾT LUẬN ..................................................................................................................40
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................41


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
: Tập các số ngun.
: Mơđun con sinh bởi tập S .

S
Hom  X , Y 

: Tập hợp tất cả các đồng cấu môđun từ X vào Y .

F (S )

: Mơđun tự do có cơ sở là S .

A B

: Tổng trực tiếp trong của hai mơđun A và B .

X

: Mơđun tích trực tiếp của họ môđun  X i  .

i

Xi

: Môđun tổng trực tiếp của họ môđun  X i  .

X Y

: Tích tenxơ của R  mơđun phải X và R  mơđun trái Y .

f g

: Tích tenxơ của các đồng cấu R  môđun f và g .

TorRn  A, B 

: Tích xoắn n  chiều trên R của các R  môđun phải A và

R  môđun trái B .
Ext Rn  A, B 

: Tích mở rộng R  chiều trên của các R  môđun phải A và

R  môđun trái B .
Tor  A, B 

: Tích xoắn R  chiều trên của các R  môđun phải A và R  mơđun

trái B .
Ext  A, B 

: Tích mở rộng R  chiều trên của các R  môđun phải A và

R  môđun trái B .

■

: Kết thúc chứng minh.


1

MỞ ĐẦU
Khái niệm môđun không xoắn được xác định trước hết trên các miền ngun,
có một vai trị quan trọng trong lý thuyết mơđun và một số ngành tốn học khác. Việc
mở rộng khái niệm đó lên các vành tổng quát hơn là miền nguyên là điều thực sự cần
thiết. Ở đây, chúng tôi chỉ dừng lại ở mức độ xây dựng các mơđun khơng xoắn trên
vành giao hốn.
Với đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các môđun không xoắn trên miền
ngun và vành giao hốn. Ngồi phần mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày
thành hai chương:
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu các kiến thức cơ bản của lý thuyết
môđun và đại số đồng điều cần thiết cho sự trình bày các nội dung được triển khai ở
chương tiếp theo.
Chương 2: MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN

Trước hết, chúng tôi giới thiệu môđun không xoắn trên miền nguyên, trình bày
các kết quả liên quan đến khái niệm này trong mối liên hệ với khái niệm khác của lý
thuyết mơ đun như sau: mơđun con, mơđun thương, tích trực tiếp, tổng trực tiếp,
môđun xạ ảnh, môđun dẹt,...
Tiếp theo đánh giá những đặc trưng của môđun không xoắn trên miền nguyên,
đưa ra cách thể hiện khác của đặc trưng đó dưới dạng ngôn ngữ tổng quát hơn, để đưa
ra các khả năng mở rộng cho khái niệm này trên vành giao hoán.


2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1.1 Một vài khái niệm và kết quả của lý thuyết môđun
Mục này giới thiệu một vài khái niệm và kết quả về lý thuyết mơđun cần thiết cho các
trình bày về sau.
1.1.1 Mơđun tự do
Cho môđun X , tập S  X được gọi là hệ sinh của X nếu S  X . Nói cách khác, S
là hệ sinh của X nếu với bất kỳ phần tử x  X thì
x  r1s1  r2 s2  ...  rn sn

với r1 , r2 ,..., rn  R và s1 ,s2 ,...,s n  S , tức x biểu thị được dưới dạng tổ hợp tuyến tính
của S .
Tập hợp S  X được gọi là độc lập tuyến tính nếu phần tử 0  X chỉ có một cách biểu
thị dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S , là tổ hợp tuyến tính tầm thường với tất cả các
hệ tử đều bằng 0 . Nói cách khác, S là độc lập tuyến tính nếu r1s1  r2 s2  ...  rn sn  0
thì r1  r2  ...  rn  0 .
Khi S  X không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính. Một hệ sinh S
của môđun X đồng thời là hệ độc lập tuyến tính được gọi là cơ sở của mơđun X .
Định nghĩa 1.1.1.1. ([1], trang 48) Mơđun X có cơ sở là môđun tự do.
Định lý 1.1.1.2. ([1],Định lý , trang 48) Tập S  {si }iI các phần tử của môđun X là

cơ sở của X khi và chỉ khi mỗi phần tử x  X chỉ có một cách biểu thị tuyến tính qua
S.

Nghĩa là với mọi phần tử x  X thì cách biểu thị x  r1s1  r2 s2  ...  rn sn với
r1 , r2 ,..., rn  R và s1 , s2 ,..., sn  S là duy nhất.

Định lý 1.1.1.3. ([1], Định lý 2, trang 49) Nếu f : X  Y là đẳng cấu môđun và X là
môđun tự do thì Y cũng là mơđun tự do. Hơn nữa, nếu S là cơ sở của X thì f ( S ) là
cơ sở của Y .
Định lý 1.1.1.4. ([1],Định lý 3, trang 49) Tổng trực tiếp của các môđun tự do là
môđun tự do.


3

Định lý 1.1.1.5. ([1],Định lý 4, trang 51)

R  môđun X là tự do khi và chỉ khi

X đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R .
Định lý 1.1.1.6. ([1],Định lý 6, trang 53) Mỗi môđun X đẳng cấu với mơđun thương
của mơđun tự do nào đó.
Ta xét mơđun tự do F ( X ) sinh bởi tập X . Khi đó ánh xạ đồng nhất 1X : X  X có thể
mở rộng tới đồng cấu  : F ( X )  X hiển nhiên  là toàn cấu và do đó X  F (X) ker  .
Định lý 1.1.1.7. ([1], Định lý 7, trang 53) Môđun con của mơđun tự do trên vành
chính là mơđun tự do.
1.1.2. Môđun xạ ảnh
Định nghĩa 1.1.2.1. ([1], trang 72) Môđun P được gọi là mơđun xạ ảnh nếu với mọi
tồn cấu  : B  C , mỗi đồng cấu f : P  C , tồn tại một đồng cấu  : P  B , sao cho
f   .

Định lý 1.1.2.2. ([1], Định lý 1, trang 73) Mỗi môđun tự do X đều là môđun xạ ảnh.
Định lý 1.1.2.3. ([1],Định lý 2, trang73) Tổng trực tiếp của họ môđun P   Pi là xạ
iI

ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần Pi là xạ ảnh.
Định lý 1.1.2.4. ([1], Định lý 4, trang 76) Khi R là vành chính, mơđun P là xạ ảnh
khi và chỉ khi P là môđun tự do.
1.1.3. Môđun nội xạ
Định nghĩa 1.1.3.1. ([1], trang 77) Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu với mọi
đơn cấu  : A  B , mỗi đồng cấu f : A  J , tồn tại một đồng cấu f : B  J , sao cho
f  f.

Bởi  là đơn cấu nên ta có thể xem A  B , do vậy f có thể xem như là sự mở rộng
của f trên B . Vì lý do đó có khi người ta xem môđun nội xạ J là môđun cho phép sự
mở rộng của bất kỳ đồng cấu f : A  J thành đồng cấu f : B  J , trên mỗi môđun
B  A.

Định lý 1.1.3.2. ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baer) R  môđun J là nội xạ
khi và chỉ khi với bất kỳ Iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f : I  J , luôn luôn tồn
tại phần tử q  J sao cho với mọi   I , ta có: f ( )   q .


4

Nói cách khác mọi đồng cấu f : I  J đều có thể mở rộng được tới đồng cấu
f :R  J .

Định lý 1.1.3.3. ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp của họ mơđun J   J k là
kK

nội xạ khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần J k là nội xạ.
1.1.4. Môđun chia được
Định nghĩa 1.1.4.1. ([1], trang 58) Cho R là miền ngun và X là R  mơđun. Khi
đó X là môđun chia được nếu với mọi x  X và mọi   R * thì ln có y  X sao cho
x  y.

Khi R là vành giao hoán có đơn vị thì tích hai phần tử khác 0 có thể bằng 0. Định
nghĩa mơđun chia được trên vành giao hoán ta sẽ loại đi tất cả các phần tử là ước của 0
như sau:
Cho R là vành giao hốn và   R . Linh hóa tử ký hiệu là r    được xác định bởi
r       R :   0 .

Định nghĩa 1.1.4.2. Môđun A được gọi là môđun chia được nếu với mọi   R thỏa
r    a  0 ta ln có a   A .


5

§1.2 Dãy khớp
1.2.1. Dãy khớp
1.2.1.1. Một số định nghĩa
f
g
 A 
 B 
 C 
 ... được gọi là
Dãy các đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn) ... 

khớp tại môđun B nếu imf  ker g .
Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian nếu tại nó vừa có
đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra.
Dãy các đồng cấu các R  môđun được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi mơđun
trung gian.
f
g
 A 
 B 
 C 
 0 được gọi là dãy khớp ngắn.
Dãy khớp có dạng 0 
f
g
 A 
 B 
 C 
 ... được gọi là chẻ ra tại môđun
Dãy khớp các đồng cấu ... 

B nếu imf là hạng tử trực tiếp của B , tức là tồn tại một môđun con B1 sao cho
B  imf  B1 .

Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ ra tại mọi mơđun trung gian.
Định

lý

1.2.1.2.

([1],

trang

40)

Đối

với

dãy

khớp

ngắn



0 
 A 
 B 
 C 
 0 , ba phát biểu sau đây tương đương:

i. Dãy là chẻ.
ii. Đồng cấu  có nghịch đảo trái.
iii. Đồng cấu  có nghịch đảo phải
Định lý 1.2.1.3. ([1],Định lý 3, trang 73) Đối với môđun P , ba phát biểu sau là tương
đương:
i.

P là môđun xạ ảnh.



 A 
 B 
 P 
 0 là chẻ ra.
ii. Mỗi dãy khớp 0 

iii. P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do.
Định lý 1.2.1.4. ([1],Định lý 10, trang 82) Đối với môđun J , ba phát biểu sau là
tương đương:
i.

J là môđun xạ ảnh.



 J 
 B 
 C 
 0 là chẻ ra.
ii. Mỗi dãy khớp 0 

iii. J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ nào đó.


6

1.2.2. Dãy khớp thuần khiết


 A 
 B 
 C 
 0 . Khi đó,
Bổ đề 1.2.2.1. Cho dãy khớp các R  môđun 0 

hai mệnh đề sau đây tương đương:
i.  ( A)   B   ( A) , với mọi   R .
ii. Nếu c  0 với c  C thì tồn tại b  B sao cho  (b)  c và b  0 .
Chứng minh:
Chứng minh i  ii :
Giả sử c  0 với c  C và   R , ta sẽ chứng minh tồn tại b  B sao cho  (b)  c và

b  0 . Thật vậy, vì c  C và  là toàn cấu nên tồn tại b  B sao cho  (b)  c suy ra
 (b)   (b)   c  0 nên b  ker   im nên có a  A thỏa b   (a) . Đặt
x  b   (a ) , hiển nhiên x   (a )   B nên theo i. ta có x   ( A) tức là tồn tại

a '  A sao cho b   (a ') . Đặt b0  b   (a ')  B , khi đó ta có b0  0 và  (b0 )  c .

Chứng minh ii  i :
Lấy   R , khi đó hiển nhiên ta có  ( A)   ( A)   B . Mặt khác, với mọi
x   ( A)   B thì tồn tại a  A và b  B sao cho x   ( A)   b . Đặt c   (b) , khi đó

 c   (b)   ( b)    (a )   0 nên theo ii. tồn tại b0  B sao cho  (b )  c và
0

b0  0 . Tiếp tục đặt b0 '  b  b0 ta có  (b0 ')  0 nên b0 '  ker   im nên tồn tại
a '  A thỏa b0 '   (a ') . Mà b0 '  b  x do đó x   (a ')   ( A) . Như vậy, ta có

điều phải chứng minh  ( A)   B   ( A) .■
Bây giờ ta sẽ đưa ra định nghĩa dãy khớp thuần khiết như sau:


 A 
 B 
 C 
 0 được
Định nghĩa 1.2.2.2. Dãy khớp các R  môđun 0 

gọi là dãy khớp thuần khiết nếu thỏa một trong hai điều kiện của bổ đề 1.2.2.1.
Ví dụ về dãy khớp thuần khiết:
Cho X là R  môđun và  ( X ) là mơđun con của X , khi đó ta có dãy các đồng cấu
i
p
 ( X ) 
 X 
X
0 .
R  môđun sau: 0 
 ( X ) 

Ta chứng minh dãy trên là dãy khớp thuần khiết nghĩa là  ( X )   X   ( X ) (1).
Với   0 thì hiển nhiên (1) ln đúng vì  ( X )   X   ( X )  {0} .
Với mọi x  ( X )   X với mọi   R * , khi đó:
 x  ( X )    R*:  x  0



 x   X
x0  X : x   x0


7

x0  ( X ) hiển nhiên vì tồn tại   R * sao cho ( ) x0   ( x0 )   x  0 . Do đó
x   x0   ( X ) hay  ( X )   X   ( X ) .

Ngược lại, với mọi x   ( X ) thì tồn tại x0  ( X ) sao cho x   x0 . Hiển nhiên
x   X và x   ( X ) do  ( X ) là môđun con của X . Do đó, ta có  ( X )   ( X )   X .

Vậy ta có  ( X )   X   ( X ) .■
Ví dụ về dãy khớp khơng thuần khiết:
Cho dãy các đồng cấu
2
3

i
p
 
 

 môđun: 0 

Lấy x  

và   3 , khi đó  x  2 

có    

hay dãy trên khơng thuần khiết.


0.

nhưng  x  2  3   . Như vậy ta


8

§1.3 Các hàm tử đồng điều
1.3.1. Hàm tử Hom
Định nghĩa 1.3.1.1. ([1], trang 67) Xét phạm trù các R  môđun trái, mà ta vẫn ký
hiệu là Mod và môđun X  Mod . Hàm tử Hom( X , ) : Mod  Ab , từ phạm trù Mod
tới phạm trù Ab các nhóm aben đặt mỗi mơđun A  Mod tương ứng với nhóm
Hom( X , A) và

đặt

mỗi

đồng

cấu

 : AB

với

đồng

cấu

nhóm

* : Hom( X , A)  Hom( X , B) theo quy tắc * ( )   với   Hom( X , A) . Tính hàm
từ của Hom( X , ) dễ dàng kiểm tra.
Tương tự phản hàm tử Hom(, X ) : Mod  Ab từ phạm trù Mod tới phạm trù Ab các
nhóm aben đặt mỗi mơđun A  Mod tương ứng với nhóm Hom( A, X ) và đặt mỗi đồng
cấu  : A  B với đồng cấu nhóm  * : Hom( B, X )  Hom( A, X ) theo quy tắc

 * ( )   với   Hom( B, X ) . Tính phản hàm từ của Hom(, X ) dễ dàng kiểm tra.
Như vậy, với mỗi môđun X , ta có thể xác định được một hàm tử Hom( X , ) và một
phản hàm tử Hom(, X ) . Ta gọi chung các hàm tử và phản hàm tử đó là các hàm tử
Hom .

Định lý 1.3.1.2. ([1], Định lý 1, trang 68) Với mỗi môđun X và bất kỳ dãy khớp


 A 
 B 
 C 
 0 các dãy sau đây là khớp:
ngắn 0 

*
*
0 

 Hom( X , A) 
 Hom( X , B) 
 Hom( X , C )



0 
 Hom(C , X ) 
 Hom( B, X ) 
 Hom( A, X )
*

*

Định lý 1.3.1.3. ([1], Định lý 2, trang 70) Với mỗi môđun X , nếu dãy khớp ngắn


0 
 A 
 B 
 C 
 0 là chẻ thì các dãy sau đây là khớp và chẻ:

*
*
0 
 Hom( X , A) 
 Hom( X , B) 
 Hom( X , C ) 
0



0 
 Hom(C , X ) 
 Hom( B, X ) 
 Hom( A, X ) 
0
*

*

Theo đó, ta cịn có cách định nghĩa khác cho môđun xạ ảnh và môđun nội xạ.
Định nghĩa 1.3.1.4. ([1], trang 72) Môđun P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất


 A 
 B 
 C 
0
kỳ dãy khớp ngắn 0 


9

dãy các nhóm aben:
*
*
0 
 Hom( P, A) 

 Hom( P, B) 
 Hom( P, C ) 
0

là dãy khớp.
Định nghĩa 1.3.1.5. ([1], trang 76) Môđun J là môđun nội xạ khi và chỉ khi với bất


 A 
 B 
 C 
0
kỳ dãy khớp ngắn 0 

dãy các nhóm aben:


0 
 Hom(C , J ) 
 Hom( B, J ) 
 Hom( A, J ) 
0
*

*

là dãy khớp.
Mệnh đề 1.3.1.6. ([2], Bài tập 2.1, trang 34) Cho họ các môđun  X i iI và Y j  jJ ,



khi đó: Hom  X i ,  Y j    Hom  X i , Y j .
jJ
 iI
 i , j I J

1.3.2. Hàm tử mở rộng Ext
Định nghĩa 1.3.2.1. ([1], trang 146) Cho A là một R  môđun tùy ý. Ta gọi phép giải
của A là một dãy khớp các R  môđun và các đồng cấu
n
0
1
...  X n 
 X n 1 
 ... 
 X 1 
 X 0 
 A  0 (1)

Nói riêng, nếu X n là mơđun tự do (tương ứng môđun xạ ảnh) trên R , với mọi n  0
thì (1) được gọi là một phép giải tự do (tương ứng với phép giải xạ ảnh) của môđun A .
Định lý 1.3.2.2. ([1], Định lý 1, trang 147) Mọi mơđun A trên R đều có một phép giải
tự do.
Định nghĩa 1.3.2.3. ([1], trang 161) Cho A và B là các R  môđun trái và
X :...  X n1  X n  X n1  ...  X0  A  0

là phép giải xạ ảnh bất kỳ của A .
Phức thu gọn tương ứng với phép giải xạ ảnh X là
X :...  X n 1  X n  X n 1  ...  X 0  0

10

Xét dãy nửa khớp

Hom  X , B  : 0  Hom  X 0 , B  
 Hom  X 1 , B   ...

...  Hom  X n , B  
 Hom  X n 1 , B   ...

Trong đó các đồng cấu   Hom   , i  , với i là tự đồng cấu đồng nhất của mơđun B .





Với mỗi số ngun dương n , nhóm đối đồng điều H n Hom  X , B  được gọi là tích
mở rộng n  chiều trên R của các môđun A và B đã cho và được ký hiệu là
Ext Rn  A, B  .

Khi vành R đã được chỉ rõ, ta sử dụng ký hiệu đơn giản hơn Ext n  A, B  .
Với n  1 , ta dùng ký hiệu Ext  A, B  và gọi nó là tích mở rộng của các môđun A và

B.
Trường hợp n  0 , ta có Ext 0  A, B   Ker  0  với  0 : Hom  X 0 , B   Hom  X 1 , B  .
Định lý 1.3.2.4. ([1],Định lý 1, trang 163) Nếu mơđun trái A là xạ ảnh thì
Ext n  A, B   0 với mọi số dương n và với mọi R  môđun trái B .

Định lý 1.3.2.5. ([1],Định lý 2, trang 163) Nếu B là R  mơđun trái nội xạ thì
Ext n  A, B   0 với mọi số nguyên dương n và mọi R  môđun trái A .

Định lý 1.3.2.6. ([1],Định lý 3, trang 164) Cho A và B là các R  môđun trái tùy ý,
f
g
0  M 
 P 
A0

là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó P là môđun trái xạ ảnh trên R . Khi đó ta có:
Ext n  A, B   Ext n 1  M , B  , n  1,

Ext  A, B   Co ker  Hom  f , i   .

Định lý 1.3.2.7. ([1], Định lý 4, trang 167)Tích mở rộng n  chiều Ext n là hàm tử của
hai biến, phản biến theo biến thứ nhất và hiệp biến theo biến thứ hai. Nói riêng,
Ext n  , B  (tương ứng Ext n  A,   ) là các hàm tử phản biến (tương ứng hiệp biến) từ


11

phạm trù các môđun và các đồng cấu tới phạm trù Ab các nhóm aben, với mọi mơđun

A (tương ứng với mọi môđun B ).
Định lý 1.3.2.8. ([1],Định lý 5, trang 168) Nếu A là môđun phải trên vành R và
f
g
0  B ' 
 B 
 B ''  0

là một dãy khớp ngắn các môđun trái trên R , thì ta có một dãy khớp
 
 

0  Hom  A, B ' 
 Hom  A, B  
 Hom  A, B '' 
 Ext  A, B '
Hom i , f

Hom i , g

f
g

 ...  Ext n  A, B ' 
 Ext n  A, B  
 Ext n  A, B '' 
 Ext n1  A, B '  ...
*

*

Định lý 1.3.2.9. ([1], Định lý 6, trang 168) Nếu B là môđun trái trên R và
f
g
0  A ' 
 A 
 A''  0

là dãy khớp ngắn những môđun phải trên R thì ta có dãy khớp
 
 

0  Hom  A '', B  
 Hom  A, B  
 Hom  A ', B  
 Ext  A '', B 
Hom g ,i

Hom f ,i

g
f

 ...  Ext n  A '', B  
 Ext n  A, B  
 Ext n  A ', B  
 Ext n1  A '', B   ...
*

*

Mệnh đề 1.3.2.10. ([3], Định lý 2.2.2.12., trang 21) Cho R là miền nguyên, X là





môđun chia được khi và chỉ khi Ext R  R , X  0 với mỗi   R .

Mệnh đề 1.3.2.11. ([3], Định lý 2.2.1a.8., trang 25) Cho R là vành giao hốn có đơn





vị, X là mơđun chia được khi và chỉ khi Ext R  R , X  0 với mọi  ,  không là
ước thực sự của 0.
1.3.3. Hàm tử Tenxơ
Định nghĩa 1.3.3.1. ([1], trang 84) Cho R là vành có đơn vị, X R và RY lần lượt là
các R  môđun phải và R  mơđun trái, G là nhóm aben. Ánh xạ  : X  Y  G được
gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa:
i.  là song cộng tính, tức là:

 ( x1  x2 , y)   ( x1 , y)   ( x2 , y)


12

 ( x, y1  y2 )   ( x, y1 )   ( x, y2 )
Với mọi x, x1 , x2  X và mọi y, y1 , y2 Y .
ii.  là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên X và Y , tức là:

 ( xr , y )   ( x, ry )
với mọi r  R và mọi x  X , y  Y .
Định nghĩa 1.3.3.2. ([1], trang 85) Cho X R và RY là các môđun phải và mơđun trái
trên cùng vành hệ tử R . Tích tenxơ của các mơđun X và Y là các nhóm aben mà ta sẽ
ký hiệu là X  Y , sao cho có ánh xạ song tuyến tính  : X  Y  X  Y có tính chất phổ
dụng đối với bất kỳ ánh xạ song tuyến tính  : X  Y  G , tức là với mỗi ánh xạ song
tuyến tính  đó, tồn tại và duy nhất đồng cấu f : X  Y  G thỏa mãn:   f  .

Định nghĩa 1.3.3.3. ([1], trang 94) Cho f : X R  X 'R là đồng cấu R  môđun phải và
g : RY  RY ' là đồng cấu R  môđun trái. Xét biểu đồ sau:

X Y


X Y





X ' Y '

 '
h

 X ' Y '

Trong đó  , ' là các ánh xạ tenxơ, ánh xạ  : X  Y  X ' Y ' được cho bởi công thức:

 ( x, y )   f ( x ), g ( y )  , ( x, y )  X  Y .
Khi đó,  ' là ánh xạ song tuyến tính. Từ đó sử dụng tính chất phổ dụng của ánh xạ
tenxơ  , tồn tại và suy nhất đồng cấu h : X Y  X 'Y ' thỏa điều kiện h   ' .
Đồng cấu h được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g , ký hiệu là f  g .
Định lý 1.3.3.4. ([1],Địnhlý 3, trang 96) Cho f : X  X ' và g : Y  Y ' là các tồn cấu

R  mơđun phải và R  mơđun trái. Khi đó, tích tenxơ f  g : X  Y  X ' Y ' là tồn
cấu nhóm, đồng thời hạt nhân ker  f  g  là nhóm con của X  Y được sinh bởi các
phần tử x  y trong đó hoặc x  ker f hoặc y  ker g .

Định nghĩa 1.3.3.5. ([1], trang 99) Các hàm tử tenxơ


13

Với mỗi R  môđun phải A , ta xây dựng hàm tử  1A  A   : R Mod  Ab như sau:
Đặt mỗi vật X tương ứng với nhóm A  X .
Đặt mỗi đồng cấu  : X  Y tương ứng với đồng cấu nhóm 1A   : A  X  A  Y
Khi đó từ tính chất của tích tenxơ ta có
 1A (1X )  1A 1X  1A X , X  R Mod
 1A (  )  1A    (1A   )(1A   )   1A (  ) 1A ( )

với mọi cặp ( ,  ) mà tích xác định.
Vậy  A  A   là một hàm tử hiệp biến.
1

2
Một cách tương tự ta có  B    B : Mod R  Ab là hàm tử hiệp biến.

Định lý 1.3.3.6. ([1],Định lý 4, trang 100) Các hàm tử tenxơ  A    và    B  là các
hàm tử khớp về bên phải.
Cho A là R  môđun phải, B là R  môđun trái và dãy khớp các R  mơđun:


0 
 X 
 Y 
 Z 
0

thì các dãy sau là khớp:
1 
1
A  X 
 A  Y 
 A  Z 
0

 1
 1
X  B 
 Y  B 
 Z  B 
0

Định lý 1.3.3.7. ([1],Định lý 5, trang 101) Các hàm tử tenxơ  A    và    B  bảo
tồn tính khớp chẻ cho các dãy khớp ngắn và chẻ.


 X 
 Y 
 Z 
 0 là chẻ thì dãy
Giả sử dãy 0 
1 
1
0 
 A  X 
 A  Y 
 A  Z 

0

 1
 1
0 
 X  B 
 Y  B 
 Z  B 
0

là khớp chẻ.


14

Định lý 1.3.3.8. ([1],Định lý 2, trang 90) Cho họ  X t tI là họ các R  môđun phải và

Yk kK

là họ các R  môđun trái. Khi đó ta có

 X    Y  
tI

t

k

kK



(t,k)IK

 X t  Yk 

Định nghĩa 1.3.3.9. ([1], trang 101) R  môđun A được gọi là môđun dẹt nếu hàm tử
( A  ) là hàm tử khớp. Nói cách khác A là môđun dẹt nếu với mỗi dãy khớp ngắn

các R  môđun:


0 
 X 
 Y 
 Z 
0

dãy các nhóm tenxơ sau đây là khớp:
1A  
1A 
0 
 A  X 
 A  Y 
 A  Z 
0 .

Mệnh đề 1.3.3.10. ([2], Bài tập 2.22,trang 40) Mọi môđun xạ ảnh đều là môđun dẹt.
Định nghĩa 1.3.3.11. ([3], Định nghĩa ,trang 106) Đặt X   xi , i  I  là cơ sở của




môđun tự do F và Y   rji xi : j  J  là tập con của F . Nếu K là môđun con của




i

F sinh bởi Y thì ta nói rằng M  F

K

có tập sinh X và quan hệ Y . Ta cũng nói rằng

cặp  X | Y  là biểu diễn của M . Môđun là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại dãy khớp:
R m 
 R n 
 M 
0

với m, n  .
Do đó, mơđun M là hữu hạn sinh nếu nó có một biểu diễn  X | Y  trong đó là hữu
hạn. Trong khi đó, mơđun M có biểu diễn hữu hạn nếu nó có một biểu diễn mà cả X
và Y là hữu hạn.
Mệnh đề 1.3.3.12. ([3], Định lý 3.63, trang 142) Môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh khi và
chỉ khi nó là mơđun dẹt và có biểu diễn hữu hạn.
Mệnh đề 1.3.3.13. R  R A  A với mọi R  môđun trái A và BR  R  B với mọi

R  môđun B .
Chứng minh:
Để chứng minh R  R A  A ta xây dựng đồng cấu f và đồng cấu g sao cho tích fg
và gf là đồng cấu đồng nhất.


15

Bây giờ để xây dựng đồng cấu f

 A với
ta xây dựng ánh xạ  : R  A 

  (r , a )   ra . Hiển nhiên  hoàn toàn xác định. Hơn nữa  là song tuyến tính. Thật
vậy:

  (r1  r2 , a)   (r1  r2 )a  r1a  r2 a    (r1 , a)     (r2 , a)  ,
  (r , a1  a2 )   r (a1  a2 )  ra1  ra2    (r , a1 )     (r , a2 ) 

với mọi r , r1 , r2  R và mọi a, a1 , a2  A .
  (rs, a)   rsa  r ( sa)    ( r , sa) 

với mọi r , s  R và mọi a  A .
 R  A ta được
Do vậy, khi sử dụng tính chất phổ dụng của ánh xạ tenxơ  : R  A 
 A thỏa điều kiện f    giá trị của f  r  a      r , a   .
đồng cấu f : R  A 
 R  A có cơng thức g  a   1  a . Khi đó:
Đồng cấu ngược g : A 

fg  a   f  g  a    f 1  a     1, a    1.a  a
gf  r  a   g  f  r  a    g   r , a    g  ra   1  ra  r  a

với mọi a  A và r  a  R  A .
Vậy ta có điều phải chứng minh R  R A  A .■


 A 
 B 
 C 
 0 . Khi đó, hai mệnh
Mệnh đề 1.3.3.14. Cho dãy khớp 0 

đề sau tương đương:
i.  ( A)   B   ( A) với mọi   R .
1

 R  B đơn cấu.
ii. R  R  A 
R

Chứng minh:
Trước tiên, ta có
Bổ đề ([5], 12.11, trang 98): Cho ideal phải I của vành R có đơn vị và M là R-mơđun
trái. Khi đó
R  M  RM
M
I
IM
IM

Xét dãy khớp ngắn 0  I  R  R I  0 , chúng ta có được biểu đồ giao hốn với

dịng trên là khớp


16

I M  RM  R M 0
I
 I
 R

0 
 IM 
 RM 
 RM

IM

0

với các đồng cấu I : I  M  IM , i  m im . Chú ý rằng R : R  M  RM là toàn
cấu và R chứa đơn vị nên R là đẳng cấu.
Theo Kernel Cokernel Lemma thì  là đẳng cấu.

là đơn cấu
B
 A 
B
Lấy a   A  Ker , suy ra   a    B , tồn tại b  B sao cho   a    b  x . Hiển nhiên

(  ) Ta sẽ chứng minh A
x    A    B    A  ,

tức

tồn

tại

a ' A

sao

cho

x    a '  .

Suy

ra

  a     a '     a ' , mà do  là đơn cấu nên a  a '   A tức a   A   A .



 A 
B
(  ) Ngược lại nếu A

Vậy A
Lấy

B

là đơn cấu.


là đơn cấu ta chứng minh   A    B    A  .
B
 A 
B
x    A    B suy ra tồn tại a  A, b  B : x    a   b   B . Ta có do


là đơn cấu nên a   A vậy tồn tại a '  A sao cho a   a ' . Suy ra
B
 A 
B
x     a '    a '   A .

A

Hiển nhiên   A     A    B .■
1.3.4. Hàm tử Tor
Định nghĩa 1.3.4.1. ([1], trang 152) Cho A là R  môđun phải và
X :...  X n1  X n  X n1  ...  X0  A  0

là phép giải xạ ảnh bất kỳ của A .
Phức thu gọn tương ứng với phép giải xạ ảnh X là

X :...  X n 1  X n  X n 1  ...  X 0  0 .

Nghĩa là là phức có được bằng cách thay A bởi môđun 0 trong phép giải xạ ảnh X của

A . Với mỗi R  môđun trái B , chúng ta có dãy nửa khớp
*
*
X  B :... 
 X n 1  B 
 X n  B 
 X n 1  B 
 ... 
 X0  B 
0 ,

trong đó  * là tích tenxơ của đồng cấu  và tự đồng cấu đồng nhất i của môđun B .
Với mỗi n  0 , ta định nghĩa H n  X  B  là tích xoắn n  chiều trên R của các môđun

A và B và ký hiệu là TornR (A, B) . Khi vành R đã được chỉ rõ chúng ta sẽ viết gọn là
Torn (A, B) .


17

Trong trường hợp n  1 , chúng ta sử dựng ký hiệu Tor (A, B) . Và gọi nó là tích xoắn
trên R của mơđun A và B đã cho.
Cịn khi n  0 thì Tor0 (A, B)  A B .
Định lý 1.3.4.2. ([1],Định lý 2, trang 155) Nếu A hay B là mơđun xạ ảnh thì
Torn (A, B)  0, n  1 .

Định lý 1.3.4.3. ([1],Định lý 3, trang 156) Cho A là R  môđun phải và
f
g
0 
 M 
 P 
 A 
0

là dãy khớp ngắn tùy ý trong đó P là mơđun phải xạ ảnh. Khi đó, ta có
Torn (A, B)  Torn1 (M, B), n  1,

Tor  A, B   Ker  f  i 

với mọi môđun trái B .
1.3.4.4. Định lý: ([1],Định lý 4, trang 159) Torn là hàm tử hiệp biến của hai biến,
n  0 . Nói riêng, Torn  , B  (tương ứng Torn  A,   ) là hàm tử hiệp biến từ phạm trù
Mod R (tương ứng phạm trù

R

Mod ) tới phạm trù Ab , với mọi môđun trái B (tương

ứng với mọi môđun phải A ).
Định lý 1.3.4.5. ([1],Định lý 5, trang 160) Với mọi R  môđun phải A và mọi dãy
khớp ngắn bất kỳ các R  môđun trái:
f
g
0 
 B ' 

 B 
 B '' 
0

ta có dãy khớp
f*
g*

...  Torn  A, B ' 
 Torn  A, B  
 Torn  A, B ''  
 Torn 1 (A, B')

i f
ig
 ...  Tor  A, B '' 
 A  B ' 
 A  B 
A  B ''  0

trong đó f*  Torn  i, f  , g*  Torn  i, g  .
Tương tự ta cũng có định lý sau


18

Định lý 1.3.4.6. ([1], Định lý 6, trang 161) Với mọi R  môđun trái B và mọi dãy
khớp ngắn
f
g

0 
 A' 
 A 
 A'' 
0

của các R  mơđun phải, ta có dãy khớp
f*
g*

...  Torn  A ', B  
 Torn  A, B  
 Torn  A '', B  
 Torn 1 (A', B)

f i
g i
 ...  Tor  A '', B  
 A ' B 
 A  B 
A '' B  0


19

CHƯƠNG 2: MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN
§2.1 Mơđun không xoắn trên miền nguyên
Khái niệm về các môđun không xoắn được xem xét trước tiên cho các R  môđun với

R là miền nguyên. Cho môđun X là môđun trên miền nguyên R .

Định nghĩa 2.1.1. Phần tử x  X được gọi là phần tử xoắn nếu tồn tại   R \ 0 mà

x  0 .
Phần tử x  X được gọi là phần tử không xoắn nếu với mọi   R \ 0 thì  x  0 .
Như vậy, phần tử x  X là phần tử xoắn khi và chỉ khi tập linh hóa tử
N ( x)  {  R: x  0} là một Iđêan khác 0 của R .

Chứng minh:
i. 0  N ( x) nên N ( x )   .
ii. Với mọi 1; 2  N ( x) thì 1 x  2 x  0 .
Ta có (1  2 ) x  1 x  2 x  0 nên 1  2  N ( x)

12 x  0 nên 12  N ( x) .
iii. Với mọi   N ( x)   x  0 và mọi r  R

rx  r x  0 nên  r  N ( x)
Vậy N ( x ) là một Iđêan của vành R .■
Ngược lại, phần tử x  X là phần tử không xoắn khi và chỉ khi N ( x)  0 .
Từ định nghĩa 1 dễ dàng thấy rằng:
Mệnh đề 2.1.2. Tập tất cả các phần tử xoắn  ( X ) của môđun X lập thành một môđun
con của X .
Chứng minh:
i. 0   ( X ) nên  ( X )   .
ii. Với mọi x, y  ( X ) thì lần lượt tồn tại r , s  R \ 0 sao cho rx  sy  0 . Khi đó:
rs ( x  y )  rsx  rsy  s (rx)  r ( sy )  0 nên x  y  ( X ) .

iii. Với mọi x   ( X ) thì tồn tại r  R \ 0 sao cho rx  0 .
Khi đó với mọi   R thì r ( x)   (rx)  0 nên  x   ( X ) .
Vậy  ( X ) là môđun con của X .■