Phương trình parapolic liên kết với một bài toán cauchy cho một phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
__________________________

Nguyễn Trần Quang Vinh

Chun ngành : Tốn Giải Tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THÀNH LONG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS. Nguyễn Thành Long về sự
hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn Thầy TS. Trần Minh Thuyết đã có những nhận xét, chỉ bảo, và
những góp ý hết sức quan trọng trong quá trình thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, cùng các Quý Thầy trong hội
đồng đã dành cho tôi thời gian, công sức để đọc và có những góp ý sâu sắc cho bản luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Thị Phương Ngọc đã có những nhận xét và chỉ bảo trong q
trình tơi thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn các Q Thầy Cơ thuộc Khoa Tốn – Tin học trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt
thời gian học tập tại trường.

Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học giải tích khóa 17, cũng như các anh
chị và các bạn trong nhóm xemina do các Thầy hướng dẫn tổ chức đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong
thời gian học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh An Giang, trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, Thầy
ThS. Nguyễn Đình Phùng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận
văn này.
Và cuối cùng, lời thân thương nhất tơi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi
điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này.

NGUYỄN TRẦN QUANG VINH


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

- a.e. : hầu hết.

i.e. : nghĩa là.

-    0,1 , QT     0, T  .
- C 0 [0, T ]  C [0, T ] là không gian các hàm liên tục trên đoạn [0, T ].
- D 0,T  là tập hợp các hàm số khả vi vô hạn lần và có giá compact trong  0,T  .
- D  0,T  là không gian đối ngẫu của D 0,T  hay là không gian các hàm phân bố trên  0,T  .
- L  X ;Y   { f : X  Y

f tuyến tính, liên tục}.

- X ↪ Y : phép nhúng liên tục từ không gian X vào không gian Y .

- Lp  Lp ()  {v :   

p

 | v( x) | dx  } với 1  p   .





- L  L     v :   



M : v  x   M a.e. x   .

- ||  ||X dùng để chỉ chuẩn trên không gian X.
- ||  || chuẩn trong không gian L2    .

1 neáu x  A,
- Hàm đặc trưng  A  x   
0 neáu x  A.
- Ký hiệu u (t ) , u (t )  ut (t )  u (t ) , u x (t )  u(t ) , uxx (t )  u (t ) , lần lượt để chỉ u( x, t ),

 2u
u
( x , t ) , 2 ( x, t ) .
x
x

u
( x, t ) ,

t


Chương 1
PHẦN TỔNG QUAN
 © 
Trong luận văn này, chúng tơi xét phương trình parabolic phi tuyến
t

u   u

   h ( x, t )u     x, t  u  f ( x, t )     u   k  t    u( x, )d ,
(1.1)
t x  x

0
0  x  1, 0  t  T ,
liên kết với điều kiện biên
 u
 x (0, t )  h(0, t )u (0, t )  0,

 u (1, t )  h(1, t )u (1, t )  0, 0  t  T ,
 x

(1.2)

và điều kiện đầu

u( x,0)  u0  x  , 0  x  1,

(1.3)

trong đó, các hàm số f , k , h,  , u0 và các hằng số  ,  được cho trước. Bài toán (1.1) – (1.3) có liên
quan đến bài tốn khuếch tán trong hóa học (xem [5] - [8] và các tài liệu tham khảo trong đó) mà mấu
chốt vấn đề về mặt toán học dẫn đến bài toán sau.
Cho    0,1 , ta đặt QT     0, T  , T  0. Tìm cặp hàm  u, v  thỏa bài toán sau:

u   u

 t  x  x  h ( x, t )u   F1  u, v  , 0  x  1, 0  t  T ,



 u
 (0, t )  h (0, t )u (0, t )  0, 0  t  T ,
 x
 u
 (1, t )  h (1, t )u (1, t )  0, 0  t  T ,
 x
u ( x,0)  u0 ( x ), 0  x  1,

(1.4)

 v
  F2  u, v  , 0  x  1, 0  t  T ,
 t
v ( x,0)  v0 ( x ), 0  x  1,

(1.5)

trong đó, h( x, t ), u0  x  , v0  x  cho trước, các số hạng F1  u, v  , F2  u, v  có dạng cụ thể
 F1  u , v   1  2 u  3 v   4 uv,

 F2  u , v   1   2 u  3 v,
   0,   0, i  1, 2,3.
i
 i

(1.6)


Ta xem (1.5) như là phương trình vi phân thường

 v
  3v  1  2 u, 0  x  1, 0  t  T ,
 t
 v( x,0)  v0 ( x ), 0  x  1.

(1.7)

Giải phương trình này, ta được
t


v ( x, t )  exp   3t  v0  x    exp  3   1   2u ( x, ) d 


0

t

 1

 exp   3t   exp  3t   1  v0  x    2  exp  3  u ( x, ) d 
0
 3




t
1
1  exp   3t    exp   3t  v0  x   2  exp   3  t     u( x, )d .
3
0

Đặt

A  x, t  

1
1  exp   3t   exp   3t  v0  x  ,
3 
t

B  x, t    exp   3  t     u ( x, ) d .
0

Ta viết lại F1  u, v  dưới dạng

F1  u , v   1   2 u  3  A   2 B    4 u  A   2 B 

 1  3 A    2   4 A  u   3  2   4  2 u  B

(1.8)

t

F1  u, v   f ( x, t )    x, t  u     u   k  t    u( x, )d ,

(1.9)

0

trong đó


f ( x, t )  1  3  1 1  exp   3t   exp   3t  v0  x    ,
 3

 1


1  exp   3t   exp   3t  v0  x    ,
 3


  x, t    2   4 

k  t   exp   3t  ,

t   0, T  ,

  3 2  0,   4 2  0 .
Thay F1  u, v  vào (1.4) ta thu được bài toán (1.1) – (1.3).

(1.10)

(1.11)
(1.12)
(1.13)


Bài tốn (1.1) – (1.3) có nhiều ý nghĩa trong khoa học mà nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu
trong thời gian gần đây (xem thêm [5] - [10]). Trường hợp  ( x, t )  1,   0, bài toán (1.1) – (1.3) đã
được nghiên cứu trong [3] - [4].
Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:
Chương 1: Phần mở đầu tổng quan về bài toán (1.1) – (1.3), chỉ ra các kết quả mà các tác giả khác
đã khảo sát trước đó, đồng thời nêu tóm tắt các chương mục sẽ trình bày trong luận văn.
Chương 2: Nhắc lại một số kết quả cần thiết cho việc trình bày luận văn.
Chương 3: Khảo sát về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) với các giả
thiết u0  L2 (), f  L2 (QT ), h,   L (QT ), k  H 1 (0, T ). Trong chương này chúng tôi sử dụng các
phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và
về tính compact.
Chương 4: Với điều kiện đầu u0  H 1 (),   L (QT ),   x, t   0  0, h  C1 (QT ), f  L2 (QT ),
k  H 1 (0, T ), luận văn chứng tỏ nghiệm thu được của bài tốn (1.1) – (1.3) có tính trơn tốt hơn, cụ thể

là
u  L  0, T ; H 1   L2  0, T ; H 2   C  0, T ; H 1  , ut  L2 (QT ).

Chương 5: Với điều kiện đầu u0  L2 (), u0  x   0 , a.e. x   , cùng với một số điều kiện khác,
tính khơng âm của nghiệm bài tốn (1.1) – (1.3) cũng được khảo sát.

Cuối cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.


Chương 2
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
 © 
Trong chương này chúng tơi trình bày ngắn gọn một số khơng gian hàm sử dụng trong luận văn.
Một số bổ đề, định lý quan trọng sẽ được sử dụng trong các đánh giá về sau của luận văn.
2.1. Không gian Hilbert H 1    :
Cho    0,1 , ta định nghĩa L2    là không gian Hilbert đối với tích vơ hướng
1

u, v   u  x  v  x  dx, u, v  L2    .

(2.1)

0

Ký hiệu    để chỉ chuẩn sinh bởi tích vơ hướng (2.1), nghĩa là
1

1 2
2
 u   u , u     u  x  dx  , u  L2    .
0


(2.2)

Ta định nghĩa không gian Sobolev H 1    :

H 1 ( )  {u  L2 ( ) : u x  L2 ()},

(2.3)

trong đó ux được hiểu là đạo hàm theo nghĩa phân bố.
Ta trang bị H 1    tích vô hướng
1

u, v H 1  u, v  ux , vx    [u ( x)v( x)  ux ( x)vx ( x)]dx, u, v  H 1.

(2.4)

0

Khi đó H 1  H 1 () là khơng gian Hilbert đối với tích vơ hướng (2.4). Ký hiệu ||  ||H1 để chỉ chuẩn
sinh bởi tích vơ hướng (2.4), nghĩa là
1

 v  H 1   v, v H 1

1
2
    v 2 ( x)  vx2 ( x)  dx  , v  H 1.
0


Khi đó ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.1.1 Phép nhúng H 1 ↪ C 0 () là compact và

(2.5)


 v C 0    2  v H 1 , với mọi v  H 1 .

(2.6)

Bổ đề 2.1.2 Đồng nhất không gian L2 với L2  (đối ngẫu của khơng gian L2 ). Khi đó ta có

 

H 1 ↪ L2  ( L2 ) ↪ ( H 1 ) ,

với các phép nhúng liên tục và trù mật.
2.2. Không gian Lp  0, T ; X  :
Cho X là không gian Banach thực. Ký hiệu Lp (0, T ; X ) , 1  p  , là không gian các lớp hàm tương
đương chứa hàm u : (0, T )  X sao cho
T

-

  u (t ) 

p
X

dt  , nếu 1  p  .

0

-

M  0 : u (t ) X  M , a.e. t  (0, T ), nếu p  .

Trên Lp (0, T ; X ), 1  p   , ta trang bị chuẩn như sau:
1

-

T
p
 u Lp (0,T ; X )     u (t ) Xp dt  , nếu 1  p  .
0


-

 u L (0,T ; X )  sup ess  u (t ) X
0  t T

 inf M  0 : u (t ) X  M , a.e. t  (0, T ) nếu p  .
Chú ý rằng nếu X  Lp () thì Lp (0, T ; X )  Lp (  (0, T )) .
Khi đó ta có các kết quả sau đây mà chứng minh có thể tìm trong Lions [11].
Bổ đề 2.2.1 Với 1  p   , thì Lp  0, T ; X  là không gian Banach.
Bổ đề 2.2.2 Gọi X  là không gian đối ngẫu của X

và

1 1
  1, 1  p   . Khi đó

p p

Lp  0, T ; X    Lp  0, T ; X   là đối ngẫu của Lp  0, T ; X  . Hơn nữa, nếu X phản xạ thì Lp  0, T ; X 
cũng phản xạ.
Bổ đề 2.2.3 L1  0, T ; X    L  0, T ; X  . Hơn nữa các không gian L1  0, T ; X  , L  0, T ; X   không



phản xạ.




2.3. Phân bố có trị vectơ:
Định nghĩa 2.3.1 Cho X là một không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D 0,T 
vào X gọi là một phân bố có giá trị trong X . Tập các hàm phân bố có giá trị trong X ký hiệu là

D  0, T ; X  .
D  0, T ; X   L  D  0, T  ; X  .

Định nghĩa 2.3.2 Cho u  D  0, T ; X  . Ta định nghĩa đạo hàm

du
theo nghĩa phân bố của u bởi công
dt

thức



du
d
,    u ,  ,   D 0, T  .
dt
dt

(2.7)

Nhận xét:
i/ Cho v  Lp  0, T ; X  . Ta làm tương ứng nó bởi ánh xạ

Tv : D  0, T   X như sau:
T

Tv ,     v  t    t  dt ,

  D  0, T  ,

(2.8)

0

thì Tv  D  0, T ; X  .
ii/ Ánh xạ v  Tv là một đơn ánh, tuyến tính từ Lp  0, T ; X  vào D  0, T ; X  . Do đó ta có thể đồng
nhất Tv  v . Khi đó ta có kết quả sau mà chúng ta có thể tham khảo trong Lions [11], Chipot [9].
Mệnh đề 2.3.3 Nếu X , Y là hai không gian Banach sao cho

X ↪ Y là phép nhúng liên tục,

thì

D  0, T ; X  ↪ D  0, T ;Y  ,

và


Lp  0, T ; X  ↪ Lp  0, T ;Y  .

Bổ đề 2.3.4 Lp  0, T ; X  ↪ D  0, T ; X  với phép nhúng liên tục.

Bổ đề 2.3.5 Nếu u  Lp  0, T ; X  và

u
 Lp  0, T ; X  , 1  p    , thì có thể đồng nhất u với một hàm
t

liên tục trên [0, T ] lấy giá trị trong X .
Bổ đề 2.3.6 (Bổ đề về tính compact của Lions)

Cho ba khơng gian Banach X 0 , X , X 1 với X 0 ↪ X ↪ X 1 là các phép nhúng liên tục sao cho:

(i)

X 0 , X 1 là phản xạ,

(ii) Phép nhúng X 0 vào X là compact.
Với 0  T  , 1  pi  , i  0,1 , ta đặt





W (0, T )  v  Lp0 (0, T ; X 0 ) : v   Lp1 (0, T ; X 1 )

Khi đó khơng gian W (0, T ) là một không gian Banach với chuẩn

 v W (0,T )  v Lp0 (0,T ; X )   v Lp1 (0,T ; X )
0

(2.9)

1

Hơn nữa, nếu 0  T  , 1  pi  , i  0, 1, thì phép nhúng W (0, T ) vào Lp0 (0, T ; X ) là compact.
2.4. Không gian H 1  a,b;V,V' 

Cho V ↪H ↪ V  các phép nhúng là liên tục, V trù mật trong H , a , b   . Ta đặt






H 1  a, b;V ,V    u  L2  0, T ;V  ut  L2  0, T ;V   .

(2.10)

Khi đó ta có các kết quả sau đây mà chứng minh có thể xem trong Chipot [9].
Định lý 2.4.1 H 1  a, b;V ,V  là không gian Hilbert với chuẩn

 u 12  u L22  0,T ;V    ut L22  0,T ;V  .

(2.11)

Định lý 2.4.2 Lấy u  H 1  a, b;V ,V  , thì có thể đồng nhất u với một hàm liên tục trên  a , b  lấy giá
trị trong H . Hơn nữa

H 1  a, b;V ,V   ↪ C  a, b ; H  .

Định lý 2.4.3 Nếu u  H 1  a , b;V ,V  , thì với mọi v  V

d
 u  , v   ut  , v
dt

trong D  0, T  .

(2.12)

2.5. Một số định lý quan trọng:
Định lý 2.5.1 Cho  là tập mở bị chặn trong  n và f m , f  Lp    , 1  p   , sao cho
 f m Lp   C  const  , m  

 f m  f a.e. 

Khi đó f m  f yếu trong Lp    .
Chứng minh định lý 2.5.1 có thể xem trong Lions [11], trang 12.
Định lý 2.5.2 Cho  mở, bị chặn của  n có biên đủ trơn. Cho u  H 1 thì u  

u 

u u
 H 1,
2

u u
 H 1 . Hơn nữa
2
u 
u
  u  0
, i  1,..., n
xi
xi

(2.13)

u 
u
, i  1,..., n
  u  0
xi
xi

(2.14)

với   u  0  ,   u  0  lần lượt là hàm đặc trưng của tập

u  0   x   : u  x   0 .

u  0   x   : u  x   0 ,


Hai định lý biểu diễn dưới đây rất thông dụng và có trong hầu hết các sách, chẳng hạn xem Lions
[11], Chipot [9].
Định lý 2.5.3 (Định lý biểu diễn Riesz – Fréchet)
Cho H là không gian Hilbert, H  là khơng gian đối ngẫu của H .
Khi đó, mọi   H  thì tồn tại duy nhất f  H sao cho

 , v   f , v  , v  H ,

(2.15)

trong đó   ,   là tích vơ hướng của H.
Định lý 2.5.4 (Định lý Lax – Milgram)
Cho H là một không gian Hilbert thực. Giả sử a  u, v  là một song tuyến tính trên H sao cho
(i) a là liên tục, i.e. tồn tại một hằng số C  0 sao cho

a  u , v   C  u H  v H ,

(2.16)

u , v  H ,

(ii) a là cưỡng bức, i.e. tồn tại hằng số   0

a  u , u     u  2H , u  H .

(2.17)

(Ký hiệu    H là chuẩn trong H ứng với tích vơ hướng   ,   )
Khi đó với mọi f  H , có duy nhất u  H

a  u, v    f , v, v  H .

(2.18)

Định lý 2.5.5 (Định lý Ascoli – Arzela)
Cho T  0 , ký hiệu X  C  0, T  ;  m  là không gian Banach các hàm liên tục f : 0, T    m đối
với chuẩn
m

f

X

 sup

 f t  ,
j

f   f1 ,..., f m   X .

t[0,T ] j 1

Định lý Ascoli – Arzela
Giả sử Y  X thỏa:
i) Y bị chặn đều, tức là M  0 : f  X  M , f  Y .
ii) Y liên tục đồng bậc (đẳng liên tục), tức là
m

  0,   0 : t , t   0, T  , t  t    thì sup  f j  t   f j  t    .
f Y

j 1

Khi đó Y compact tương đối trong X .
Định lý 2.5.6 (Định lý Schauder)
Cho X là một tập lồi, đóng, khác trống và bị chặn trong không gian Banach E và T là một ánh xạ
compact từ X vào X. Khi đó T có một điểm bất động trong X.


Định lý 2.5.7 (Bất đẳng thức Gronwall)
Giả sử f :  0, T    là hàm khả tích, không âm trên  0,T  và thỏa bất đẳng thức
t

f  t   C1  C2  f   d , a.e. t  0, T  ,
0

trong đó C1 , C2 là các hằng số khơng âm. Khi đó

f  t   C1 exp  C2t  , a.e. t  0, T  .


Chương 3
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
 © 
Với mỗi T  (0, T * ] , T *   cố định, bài tốn đặt ra:
Tìm u sao cho
t

u   u

   h( x, t )u     x, t  u  f ( x, t )     u   k  t    u ( x, )d ,
t x  x

0

(3.1)

0  x  1, 0  t  T ,
 u
 x (0, t )  h(0, t )u (0, t )  0,

 u (1, t )  h(1, t )u (1, t )  0, 0  t  T ,
 x

(3.2)

u( x,0)  u0  x  , 0  x  1.

(3.3)

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (3.1)
- (3.3). Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng
với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact.
Ta thành lập các giả thiết
(A1)

u0  L2    ,

(A2)

h,   L QT * ,

(A3)

f  L2 QT * ,

(A4)

k  H 1  0, T *  ,  ,  là hằng số dương.

 

 

Định lý 3.1
Giả sử rằng các giả thiết (A1) – (A4) đúng. Khi đó, tồn tại hằng số T  (0, T * ] sao cho bài tốn (3.1) (3.3) có duy nhất một nghiệm yếu
u  L  0, T ; L2   L2  0, T ; H 1  , ut  L2 (0, T ;( H 1 ) ) .

Tức, u là nghiệm của bài toán biến phân
t
d
u  t  , v  a  t ; u (t ), v    f (t ), v     u   k  t    u   d , v
dt
0

trong D  0, T  , v  H 1 ,

(3.4)


u (0)  u0 ,

(3.5)

trong đó a  t ; u , v   u  h(t )u , v    t  u , v .
Chứng minh định lý 3.1
Trước hết ta có bổ đề sau liên quan đến dạng song tuyến tính a.
Bổ đề 3.2
Tồn tại ba hằng số M ,  ,   0 , sao cho
(i) a  t ; u , v   M  u H 1  v H 1 , u , v  H 1 , a.e. t   0, T  ,

(3.6)

(ii) a  t ; u, u     u 2    u H2 1 ,  u  H 1 , a.e. t   0, T  .

(3.7)

Chứng minh bổ đề 3.2
Chứng minh (i). u , v  H 1 , a.e. t   0, T  , ta có
a  t ; u , v    u  v    h L Q  u  v     L

 
T*

Q 

 u  v 

T*



  h  
  
1  u H 1  u H 1
L Q * 
L Q * 
T
T


 M  u H 1  v H 1 .

(3.8)

Chứng minh (ii). u , v  H 1 , a.e. t   0, T  , ta có
a  t ; u , u    u  2   h L

  u 2   h  
L

Q 
T*

 u  u     L Q  u 2

 

T*


 1

 u 2   u  2      
 u 2

L
Q
QT *   2


*
2
T


   u H2 1   u 2 ,
trong đó


  1   h L

Q 


  1   h L

Q  2

2

2





,

(3.9)

T*



1

h

T*

Chọn   0 sao cho   1 

L


2

Q 

  
L

T*

h
L

Q 
T*

Bổ đề 3.2 được chứng minh.
Chứng minh định lý 3.1 gồm các bước

Q 

.

T*

 0 , và do đó   0.

(3.10)


Bước 1: Xấp xỉ Galerkin.
Lấy một cơ sở w j  đếm được của H 1 . Ta tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin của bài toán (3.1) - (3.3)
dưới dạng

m

um (t )   cmj  t  w j ,

(3.11)

j 1

trong đó, cmj  t  là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường sau

um  t  , w j   a  t ; um (t ), w j    f (t ), w j 

(3.12)
t

    um  t    k  t    um ( )d , w j ,
0

0
cmj  0   cmj
, um  0   u0 m , 1  j  m ,
m

0
u0 m   cmj
w j  u0 mạnh trong L2 , khi m   .

(3.13)

j 1

Ta sẽ kiểm tra hệ (3.12) - (3.13) có nghiệm um trên  0, Tm  .
Bằng cách thay (3.11) vào (3.12), ta được
m

m

i 1

i 1

 cmi  t  wi , w j    cmi  t  a t; wi , w j 

(3.14)
t

  f (t ), w j      um  t    k  t    um   d , w j .
0

Viết lại (3.14) ta được

Dcm  t   A  t  cm  t   F cm   t  ,

(3.15)

trong đó

D   dij  , i, j 1, m : dij   wi , w j  ,
A  t    aij  t   , i, j 1, m : aij  t   a  t ; wi , w j  ,
F cm   t    F j cm   t   , j 1, m :

t

Fj  cm   t    f (t ), w j      um  t    k  t    um   d , w j  ,
0

cm  t    cm1  t  ,..., cmm  t   .

Do ma trận D là khả đảo nên ta viết (3.15) lại như sau

cm  t   D 1 A  t  cm  t   D 1 F cm   t  ,
Tích phân theo t ta được

(3.16)


t
0
m

t
1

cm  t   c   D A   cm  d   D 1 F  cm    d .
0

(3.17)

0

0

, cm  t  lại lần
Để cho gọn trong việc ký hiệu, ta có thể bỏ qua chỉ số m của cmj . Ta ký hiệu cmj , cmj

lượt là c j , c0j , c  t    c1  t  ,..., cm  t   .
Khi đó (3.17) được biểu diễn thành hệ sau

c  t   U  c   t  , 0  t  T * ,

t
t

1



U
c
t
c
D
A

c

d

D 1 F  c   d .









0



0
0


(3.18)

Bổ đề 3.3
Giả sử các giả thiết (A1) – (A4) đúng. Khi đó, tồn tại Tm  0 , Tm  T * sao cho hệ (3.18) có nghiệm
c  t    c1  t  ,..., cm  t   .

Chứng minh bổ đề 3.3
Với mỗi Tm  0 ,   0 ta đặt
X  C [0, Tm ];  m  , S  c  X :  c X   ,

trong đó chuẩn
m

 c X  sup c  t  1 ,

c t  1   c j t  .

0 t Tm

j 1

Dễ thấy S là tập con lồi, đóng và bị chặn trong X .
Ta ký hiệu chuẩn tự nhiên của ma trận cấp m tương ứng với chuẩn vector  1 là:
m

Ac 1

A


sup

max
aij ,


1
1 j  m
0  cX c
1
i

1


 A   aij  , i, j  1, m.

(3.19)

i) Chứng minh U : X  X liên tục:
-

Lấy c  X , ta chứng minh U c   X :

Do aij  L1  0, T *  nên aij   c j   L1  0, Tm  . Ta suy ra
m

D 1 A   c    L1  0, Tm   .
Mặt khác
t

Fj  c  t    f (t ), w j      um  t    k  t    um   d , w j 
0

(3.20)


 g j  t   p j c   t  ,
với

g j   f (), w j  L2  0, T *   L1  0, T *  ,
t

m

p j  c   t      um  t    k  t    um   d , w j 

    k  t    ci   d  wi , w j 
i 1 0

0

m

t

t

m

   ci  t   k  t    cl   d  wi wl , w j .
i 1 l 1

0

Rõ ràng p j c     C [0, Tm ],   ↪ L1  0, Tm  .

Vậy Fj c     L1  0, Tm  , nên
m

D 1F  c    L1  0, Tm   .

(3.21)

Từ (3.18), (3.20) và (3.21) ta suy ra U c   X .
-

Chứng minh U liên tục: lấy dãy c n   X , c n   c1n ,..., cmn  sao cho c n  c trong X , tức là

 c n  c X  0 . Khi đó dãy c n  bị chặn trong X , nên tồn tại hằng số   0 sao cho  c n X   .

Đặt

 





A1  max dij , A2  max  wi w j , wl  .
i , j1, m

i , j ,l1, m

Ta có
Fj  c n   t   F j  c   t   p j  c n   t   p j  c   t 
t

m

   A1  k  t    cin    ci   d
i 1
m

0

t

m
n
i

   A2 c    ci  
i 1 l 1
m

m

   A2 ci  
i 1 l 1

n
l

 k  t    c   d
0

t
n
l

 k  t    c    c   d
l

0

  mA1  c n  c X  k L1 0,T * 2 m2 A2  c n  c X  c n X  k L1 0,T *










  c n  c X  k L1 0,T * m  A1  2 mA2  .





Do đó
F  c n   t   F  c   t   c n  c X  k L1
1

t

D
0

0,T 
*

Tm

t
1

m 2  A1  2  mA2  .

F c    d   D F  c    d 
n

1

0

1





D 1 F c n     F  c   

0



d
1

Tm

   D 1 1 F c n     F c    d

1
0

 D 1 1 Tm  c n  c X  k L1

 0,T 
*

m2  A1  2  mA2  .

Nên
t

t

n
n
1
1
 D F c    d   D F  c    d  M  c  c X  0 ,

sup

t[0,Tm ] 0

0

1

với M   D 1 1 Tm  k L1 0,T * m 2  A1  2 mA2  .





Vậy
 

 

D

1

n

F c    d 

0

D

1

F  c    d trong X.

(3.22)

0

Mặt khác
t

Tm

t

1
1
1
n
n
 D A   c  d   D A   c  d    D 1  A   1 c    c   d
1

0

0

0

1

 Tm  D 1 1 sup  A  t  1  c n  c X .
t[0,T * ]

nên
t

sup

t
1

n

 Tm  D 1 1 sup  A  t  1 c n  c

1

 D A   c  d   D A   c  d

t[0,Tm ] 0

0

t[0,T * ]

1

Vậy
 


1

n

1

 D A   c  d   D A   c  d
0

0

Từ (3.18), (3.22) và (3.23) ta suy ra
U  c n   U  c  trong X .

Vậy U : X  X liên tục.
ii) Với  , Tm được chọn thích hợp thì U : S  S

trong X.

(3.23)

X


Lấy c  S , tức  c X   , ta có
t

m

m

t

m

p j  c  t     A1  k  t    ci   d    A2 ci  t 

i 1

i 1 l 1

0

  mAT
1 m k



L1 0,T *

 k  t    c   d
l

0

2
2
  c X   m A2Tm  c X k L 0,T 
1

  A1   mA2  c X  mTm  c X k



L1 0,T *

*

,

p c   t  1   A1   mA2  c X  m 2Tm  c X  k L1 0,T * .





Mặt khác

F  c   t  1  g  t  1  p c   t  1

 g  t  1   A1   mA2  c X  m 2Tm  c X  k L1 0,T * .



(3.24)



Nên
t

t

U c   t  1  c0 1   D A   c  d 
1

0

D

1

F c    d

0

1

Tm

1

Tm

 c0 1    D 1  A   1 c   1d    D 1 1 F c    1 d
1

0

0

 c0 1  Tm  D 1 1 sup  A  t  1  c X
t[0,T * ]
Tm

  D 1
1


  g  t    A   mA
1

1

2

 c X  m2Tm  c X  k L1

0



d
 0,T  
*

 c0 1  Tm  D 1 1 sup  A  t  1 
t[0,T * ]
Tm

  D 1
1


  g  t    A   mA   m T
2

1

1

2

m

  k L

1

0



d
 0,T  
*

 c0 1  Tm  D 1 1 sup  A  t  1 
t[0,T * ]

  D 1 1  g L1 0,T *   D 1 1  A1   mA2   m 2Tm2   k L1 0,T * .









Chọn  sao cho

c0 1   D 1 1  g L1

 0,T 
*




2

,

Khi đó, chọn Tm sao cho

Tm  D 1 1 sup  A  t  1    D 1 1  A1   mA2   m 2Tm2   k L1
t[0,T * ]

 0,T 
*




2

.


Với  , Tm vừa chọn như trên thì

U c t  1   ,
hay  U  c  X   .
Vậy U : S  S .
iii) Chứng minh US compact tương đối trong X
a. Do US  S , nên US bị chặn đều trong X.
b. Chứng minh US đồng liên tục.

t1 , t 2   0, Tm  , t1  t2 , c  S , ta có
t2

t2

U c   t1   U  c   t 2  1   D A   c   d   D 1 F c    d
1

1

t1

1

t1

t2

 D 1 1   g   1   A1   mA2  c X  m 2Tm  c X  k L1 0,T *  d
 
t1 

  D 1 1 sup  A  t  1  c X t1  t2
t[0,T * ]



 t1  t2  D 1 1   sup  A  t  1   A1   mA2   m 2Tm  k L1 0,T * 
 
 t[0,T * ]

(3.25)

t2

  D 1
1

 g  

1

d .

t1

Áp dụng định lý Lebesgue về tính liên tục tuyệt đối của tích phân đối với độ đo
t2

  0, 1  0 : t1 , t2   0, Tm  : t1  t2  1 thì



g   1 d 

t1



1
. (3.26)
2  D 1 1

Mặt khác


 
t1  t 2  D 1 1   sup  A  t  1   A1   mA2   m 2Tm  k L1 0,T *   ,
  2
 t[0,T * ]
khi
t1  t2 



1

2



 D 1   sup  A  t  1   A1   mA2   m 2Tm  k L1 0,T * 
 
 t[0,T * ]

  2 .(3.27)

1

Chọn   min 1 ,  2  , thì từ (3.25), (3.26) và (3.27), ta có

  0, 1  0, t1 , t2  0, Tm  : t1  t 2   thì U  c   t1   U c   t 2  1   , c  S .
Vậy US đồng liên tục.


Từ kết quả a), b) và theo định lý Ascoli – Arzela thì US là compact tương đối trong X.
Từ i), ii), iii) và theo định lý Schauder chúng ta suy ra U có điểm bất động, U c   c tức là (3.18)
có nghiệm.
Bổ đề 3.3 được chứng minh xong.
Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm.
Nhân (3.12) cho cmj  t  sau đó lấy tổng theo j  1,..., m , ta được

um  t  , um  t   a  t ; um (t ), um (t )    f (t ), u m  t 

(3.28)

t

   um  t    k  t    um ( ) d , um  t .
0

Tích phân theo biến t và sắp xếp lại ta thu được
t

t

 um  t  2 2 a  ; um ( ), um ( )  d   u0 m 2 2  f   , um   d
0

(3.29)

0

t



2    k   s  um ( s) ds, um   d
0

0



t

2  um    k   s  um ( s )ds , um   d .
0

0

Do bổ đề 3.2 (ii) ta suy ra rằng

a  t; um (t ), um (t )     um (t ) H2 1   um (t ) 2 .
Từ đó, ta suy ra
t

t

t

2 a  ; um ( ), um ( )  d  2   um ( ) 

2
H1

0

0

d  2   um ( ) 2 d .

(3.30)

0

Thay (3.30) vào (3.29), ta được
t

t

 um  t   2 2   um ( ) H2 1 d   u0 m 2 2   um ( ) 2 d
0

0

t

2  f   , um   d
0

t



2    k   s  um ( s) ds, um   d
0
t

0



2  um    k   s  um ( s) ds, um   d .
0

Đặt

0

(3.31)


t

X m  t    um  t   2   um ( ) H2 1 d
2

(3.32)

0

Khi đó, (3.31) được viết lại như sau
t

t

X m  t    u0 m  2 2   um ( )  2 d  2  f   , um   d
0

(3.33)

0



t

2    k   s  um ( s )ds , um  d
0

0



t

2  um    k   s  um ( s)ds , um   d
0

0

  u 0 m  2  I1  t   I 2  t   I 3  t   I 4  t  .
Ta sẽ lần lượt đánh giá các số hạng bên phải của (3.33).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy; bất đẳng thức x  1  x 2 , x  0 , ta thu được.
Đánh giá số hạng I1(t).
t

t

I1 (t )  2   um ( ) 2 d  2  X m   d
0

0

 * t 2

 2  T   X m   d 

0


Đánh giá số hạng I2(t).
t

t

I 2 (t )  2   f   , u m   d  2   f    um    d
0

0

t

t

   f   2 d    um   2 d
0

0

t

 f  2
2

 

L Q

T*

  X m   d
0

t

 f  2
2

*

 

L Q

T*

T   X m2   d
0

Đánh giá số hạng I3(t).
t



I 3 (t )  2  d   k   s  um ( s )ds , um  
0

t

0



 2   um    d  k   s   um ( s)  ds
0

0


2


 t
   d   k   s   um ( s )  ds     um   2 d
0
0
 0
t

2



t



2

 d  k   s 
0

0

2



t

ds   um ( s )  ds    um   2 d
2

0

0

t

  2  k L22

 0,T 
*

t

T *   um ( s ) 2 ds    um   2 d

0

0

t

   2  k L22 0,T * T *  1  X m   d
 

0

 * t 2

2
2
*


    k L2 0,T * T  1  T   X m   d 
 


0

Đánh giá số hạng I4(t).


t

I 4 (t )  2  um    k   s  um ( s )ds , um   d

0

0



t

 2 2  um   , um   d  k   s   um ( s) H 1 ds
0

0



t

 2 2   um    d  k   s   um ( s) H 1 ds
2

0

0

2
t
t

 
4

 2     um    d   d   k   s   um ( s) H 1 ds  
 0
0
 
0

t


t

2
 2    um   4 d   d  k   s  ds   um ( s ) H2 1 ds 
0
0
0
0

t


t

2
4
 2     um    d   d  k   s  ds   um ( s ) H2 1 ds 
0
0
0
0


t

t

4
2
 2     u m    d   k L2 0,T *  d   um ( s) H2 1 ds 
 0 0
0


t
1
 2   X m2   d 
 k L22 0,T *
 
2
0

t

 X   d 

t
1
 2    X m2   d 
 k L22 0,T *
 
2

 0

 * t 2

 T   X m   d  
0

 



m

0

Do u0 m  u0 mạnh trong L2 , nên u0m bị chặn trong L2 , tức tồn tại hằng số C sao cho


 u0m 2  C .
Đặt

CT1*  C  2 T *   f 22

2T *   2  k L22 0,T * T *2 



 

L Q

T*

CT 2*   2  2   2  k L22



0,T *



1
  k L22 0,T * T * ,
 
2



1
T *  2 1 
 k L22 0,T *  .

 
 2

Từ các đánh giá I1(t) – I4(t), thì (3.33) được viết lại
t

X m  t   CT *  CT *   X m2   d , a.e. t  [0, T * ].
1

2

(3.34)

0

Bổ đề 3.4
3
Tồn tại một hằng số T  0 , 0  T  T * , và một hằng số CT  chỉ phụ thuộc T , sao cho

X m  t   CT  , t  0, T  , m  .
3

(3.35)

Chứng minh bổ đề 3.4
Đặt
t

Sm  t   CT *  CT *   X m2   d ,
1

2

(3.36)

0

khi đó

 S m  t   0, 0  X m  t   S m  t  , 0  t  T * , m  ,

2 2
 S m  t   CT * S m  t  ,

1
 S m  0   CT *  0.

(3.37)


1 
Chọn T  0 , sao cho T  Min T * , 1  2  , lấy tích phân hai vế (3.37)2, ta được
 CT * CT * 
1
Sm  t 



1

1

2

Sm  0 

1  TCT *CT * 
1



 tCT *  

1

CT *

2



1

CT *

1
CT 
3

 TCT * 
2

, t  [0, T ], m  .

(3.38)

Do đó ta suy ra từ (3.37) và (3.38), rằng
X m  t   S m  t   CT  , t  [0, T ], m  .
3

Bổ đề 3.4 được chứng minh xong.
Từ (3.35) ta suy ra um  bị chặn trong L  0, T ; L2   L2  0, T ; H 1  .

(3.39)