Vài ứng dụng của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Minh Tồn

VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN
TRONG ĐẠI SỐ BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Minh Tồn

VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN
TRONG ĐẠI SỐ BANACH
Chuyên ngành : Tốn giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN ĐƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CÁM ƠN
Tôi xin được gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy khoa Toán – Tin
trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho lớp
Tốn giải tích khóa K21. Xin được cảm ơn quý thầy trong Hội đồng khoa học đã
đọc và cho những ý kiến xác đáng. Cám ơn phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi rất
nhiều trong suốt q trình học tập tại trường.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến TS. Nguyễn Văn Đông, người thầy tận tụy đã
hết lòng hướng dẫn, tạo điều kiện về mọi mặt giúp tơi hồn thành luận văn này.
Phong cách làm việc khoa học, lòng nhiệt huyết yêu nghề của thầy sẽ là hành trang
vốn quý cho chúng tôi, những người đã và đang theo nghề giáo.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cám ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................................... 3
1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến .............................................................................................. 3
1.2. Một số kiến thức về tôpô – giải tích hàm ........................................................................ 8
Chương 2. ĐẠI SỐ BANACH GIAO HỐN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND TRÊN NĨ .... 11
2.1. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand ................................................ 11
2.2. Đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử ....................................... 27
Chương 3. HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG .. 35
3.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động trên không gian các phép biến đổi Gelfand ........ 35
3.2. Định lý hàm ẩn trong đại số Banach .............................................................................. 40

3.3. Vài kết quả về biên Shilov ............................................................................................. 46
KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 55


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong các đối tượng chính của lý thuyết các đại số Banach giao
hốn là việc nghiên cứu xem khi nào có thể biểu diễn một đại số bởi một đại
số các hàm liên tục trên một không gian compact. Sự biểu diễn này tạo điều
kiện cho việc ứng dụng các kết quả của lý thuyết hàm vào lý thuyết đại số
Banach. Việc nghiên cứu các ứng dụng của giải tích phức vào lý thuyết đại
số Banach được quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như Weiner,
Lévy, Shilov, Rossi, Arens, Caderon, Hormander… Tơi chọn đề tài nhằm
tìm hiểu sâu hơn về giải tích phức và một số ứng dụng của nó trong đại số
Banach.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức và xem xét một số
ứng dụng của nó trong đại số Banach. Cụ thể luận văn trình bày lại các kết
quả sau
+ Mơ tả các biểu diễn của đại số giao hoán qua các hàm liên tục theo
biểu diễn Gelfand.
+ Chứng minh các hàm chỉnh hình nhiều biến phức tác động lên
khơng gian các biến đổi Gelfand. Đồng thời áp dụng kết quả này để chứng
minh định lý hàm ẩn đối với một đại số Banach.
+ Chứng minh rằng biên Shilov có thể được xác định bởi các điều
kiện địa phương.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các đại số Banach, các phép biến đổi Gelfand, biên Shilov, định lý
hàm ẩn, hàm chỉnh hình nhiều biến phức.


2

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn là một tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu thêm về hàm chỉnh
hình nhiều biến và ứng dụng của nó trong đại số Banach.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand
Chương 3. Hàm chỉnh hình trong đại số Banach và một số ứng dụng


3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức liên quan đến giải tích
phức nhiều biến, tơpơ, giải tích hàm được sử dụng cho các chương sau.
1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến
Định nghĩa 1.1.1
Hàm nhiều biến phức trên một tập D ⊂  n là một ánh xạ f từ D vào mặt
phẳng phức  , giá trị của hàm f tại điểm z ∈ D được kí hiệu là f ( z ) .
Định nghĩa 1.1.2
Hàm l :  n →  gọi là  − tuyến tính (tương ứng  − tuyến tính) nếu
i) l ( z + z ') = l ( z ) + l ( z '), ∀z, z ' ∈ n
ii) l (λ=
z ) λl ( z ), ∀λ ∈ , ∀z ∈  n (tương ứng ∀λ ∈ , ∀z ∈  n ) .

Hàm  − tuyến tính l :  n →  là  − tuyến tính nếu l (iz ) = il ( z ), ∀z ∈ n
Trong trường hợp l (λ=
z ) λl ( z ), ∀λ ∈ , ∀z ∈  n ta nói l là  − phản tuyến tính
Chẳng hạn hàm z → z j là  − tuyến tính, hàm z → z j là  − phản tuyến tính
Mọi hàm  − tuyến tính l :  n →  được viết duy nhất dưới dạng

l=
( z ) l '( z ) + l ''( z )
với l '( z )
=

l ( z ) − il (iz )
l ( z ) + il (iz )
, l ' là  − tuyến tính, l '' là  − phản
, l ''( z )
=
2
2

tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3
Hàm f : Ω →  , với Ω là tập mở trong  n , được gọi là  2n − khả vi
(tương ứng  n − khả vi)

tại z ∈Ω nếu tồn tại một ánh xạ  −

tuyến tính

l :  n →  (tương ứng  − tuyến tính) sao cho

f ( z + h)= f ( z ) + l (h) + ϕ (h) với

ϕ ( h)
h

→ 0 khi h → 0 .

Hàm l nếu tồn tại thì duy nhất và được gọi là  2n − đạo hàm (tương ứng

n − đạo hàm) của f tại z ký hiệu f '( z ) .


4

Nếu f là  2n − khả vi tại a thì ánh xạ l thỏa điều kiện của định nghĩa trên
được kí hiệu là d a f và được gọi là vi phân của f tại a .
Đặc biệt, nếu f là  2n − khả vi tại a thì

da f = ∂ a f + ∂ a f
trong đó ∂ a f là một ánh xạ  − tuyến tính và ∂ a f là một ánh xạ  − phản tuyến
tính
Ta lại có

=
da f

Bằng cách viết

∂f

n

∂f

∑ ( ∂x (a)dx + ∂y
i

i =1

i

(a )dyi )

i

zj =
x j + iy j , z j =
x j − iy j , j =
1,..., n
dz j =
dx j + idy j , d z j =
dx j − idy j , j =
1,..., n

Suy ra

dz j + d z j
dz j − d z j
, dy j
=

2
2i

dx j
=

=
da f
Khi đó

n

 ∂f

j =1



∑  ∂x

j

 dz + d z j
(a)  j

2


 ∂f
 dz − d z j

(a)  j
+


2i
 ∂y j





 



∂f
∂f
1  ∂f
1 n  ∂f
−
+
+
(
a
)
i
(
a
)
dz

(
a
)
i
(
a
)



d z j
∑ 2 ∂x
∑
j
∂y j
∂y j
2 j 1  ∂x j
=j 1 =

 j

=

=

n

n

j =1

với

∂f

∑ ∂z

(a )dz j +
j

∂f
(a)d z j
∂z j

∂f
∂f
∂f
1  ∂f
,
(a )dz j =
−i

∂z j 2  ∂x j
∂y j
j =1 ∂z j
n

∂a f = ∑






∂f
∂f
1  ∂f
∂f
,
(a)d z j =
+i

∂y j
∂ z j 2  ∂x j
j =1 ∂ z j
n

∂a f = ∑





Do tính duy nhất của sự phân tích ánh xạ d a f = ∂ a f + ∂ a f nên ∂ a f , ∂ a f là suy nhất.
Tổng quát nếu f là  2n − khả vi trên Ω thì df = ∂f + ∂ f với
n
∂f
∂f
dz j và ∂ a f =
dzj .
∑

j =1 ∂z j
j =1 ∂ z j
n

∂a f =
∑


5

Vậy hàm f là  n − khả vi tại z 0 ∈  n nếu và chỉ nếu f là  2n − khả vi tại z 0 và nó
thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann

∂f
( z 0 ) = 0, ∀j = 1,..., n , nghĩa là khi và chỉ
∂z j

khi
df ( z 0 ) = ∂f ( z 0 ) .

Định nghĩa 1.1.14
i)

Hàm f : Ω →  , Ω là mở trong  n gọi là chỉnh hình tại z nếu f là
 n − khả vi trong một lân cận của z .

ii)

Ánh xạ f : Ω →  m , Ω là mở trong  n gọi là chỉnh hình tại z nếu f j
chỉnh hình tại z , ∀j =1,..., n , ở đây f = ( f1 ,..., f m ) .

iii)

Nếu f chỉnh hình tại z ta nói

∂f
là đạo hàm riêng của f theo biến
∂z j

zj .

Định lý 1.1.5
Cho Ω là tập mở trong  n . Một ánh xạ  2n − khả vi f : Ω →  là chỉnh
hình trên Ω khi và khi nó thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann
∂f
= 0, ∀j = 1,..., n
∂z j

Ký hiệu H (Ω) là tập hợp tất cà các hàm chỉnh hình trên Ω .
Định nghĩa 1.1.6
Cho Ω là một tập mở trong  n với n ≥ 2 . Một hàm f : Ω →  được gọi là
chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình với mỗi biến khi các biến cịn lại cố
định. Điều này có nghĩa là với mọi z1ο , z2ο ,..., zοj −1 , zοj +1..., znο hàm g : V →  là hàm
zj

chỉnh hình, với

V
=

{z

j

∈  : ( z1ο , z2ο ,..., zοj −1 , z j , zοj +1..., znο ) ∈ Ω}

g ( z j ) = f ( z1ο , z2ο ,..., zοj −1 , z j , zοj +1..., znο )

 g( z j )


6

Định lý 1.1.7
Hàm f liên tục trên đa đĩa đóng P(a, r ) và chỉnh hình từng biến trên P(a, r )
thì nó được biểu diễn bởi tích phân bội Cauchy
 1 
f ( z) = 

 2π i 

n

∫ (ζ
Γ

f (ζ )d ζ 1d ζ 2 ...d ζ n
, ∀z ∈ P(a, r ) .
1 − z1 )( ζ 2 − z 2 ) ... ( ζ n − z n )

Định lý 1.1.8
Giả sử hàm f liên tục trên đa đĩa đóng P(a, r ) và chỉnh hình từng biến
trên P(a, r ) thì tại mỗi z ∈ P(a, r ) tồn tại một khai triển lũy thừa dạng
∞

f(z )= ∑ cα ( z − a )

α

α =0

 1 

với cα = 

 2π i 

n

f (ζ )d ζ

∫ (ζ − a )α

+1

và sự hội tụ của chuỗi là sự hội tụ chuẩn tắc.

Γ

Giả sử Ω ⊂  n và Ω ' ⊂  m là hai miền (mở và liên thông). Các biến trong Ω

được viết z = ( z1 ,..., zn ) , các biến trong Ω ' được viết w = ( w1 ,..., wn ) . Một ánh xạ
G : Ω → Ω ' được mô tả bởi m hàm

=
w1 g=
g m ( z1 ,..., zn )
1 ( z1 ,..., z n ),..., wm

Ánh xạ G được gọi là ánh xạ chỉnh hình nếu m hàm g1 ,..., g m là các hàm chỉnh hình
trên Ω . Nếu f ( w) = f ( w1 ,..., wm ) là hàm nào đó xác định trên Ω ' thì hợp thành
f ( G ( z ) ) khi đó là một hàm trên Ω .

Định lý 1.1.9
Nếu f ( w) là hàm chỉnh hình theo từng biến trên Ω ' và G : Ω → Ω ' là một
ánh xạ chỉnh hình thì hợp thành f ( G ( z ) ) là một hàm chỉnh hình.
Định lý 1.1.10 (nguyên lý đồng nhất)
Nếu

f,g

là các hàm chỉnh hình trong một miền

f ( z ) − g ( z ) = 0, ∀z ∈ U , U mở khác rỗng, U ⊂ D , thì f (=
z ) g ( z ), ∀z ∈ D

D ⊂ n

và

7

Định lí 1.1.11 (ngun lý mơđun cực đại)
Nếu f chỉnh hình theo từng biến trên miền D ⊂  n và nếu có một điểm a ∈ D
sao cho f ( z ) ≤ f (a) với mọi z trong một lân cận mở nào đó của a thì
f=
( z ) f (a ), ∀z ∈ D

Định lí 1.1.12 (định lý Liouville)
Nếu f chỉnh hình và bị chặn trên  n thì f = const .
Định lý 1.1.13 (định lý hàm ẩn)
Cho f j ( w, z ), j = 1,..., m là các hàm chỉnh hình trong lân cận của ( w0 , z 0 ) trong
 m ×  n với ( w, z ) = ( w1 ,..., wm , z1 ,..., zn ) . Giả sử rằng

0
f j ( w0 , z=
j 1,..., m và
) 0,=

det(∂f j / ∂wk ) mj ,k =1 ≠ 0 tại điểm ( w0 , z 0 ) . Khi đó hệ phương trình f j ( w,=
z ) 0,=
j 1,..., m

xác định duy nhất một hàm chỉnh hình w( z ) trong lân cận của điểm z 0 thỏa mãn
w( z 0 ) = w0 .

Ta nhắc lại tập các a − điểm của một hàm chỉnh hình một biến phức trên một
miền.
Định lý 1.1.14
Cho G là một miền trong  , f : G →  là một hàm chỉnh hình khác hằng

a} mà ta gọi là các a − điểm
trên G . Khi đó, ∀a ∈  tập hợp f −1 (a) :=
{z ∈ G : f ( z) =

của f , là tập rời rạc, đóng tương đối trong G .
Đặc biêt, với K là tập compact, K ⊂ G thì mỗi tập f −1 (a) ∩ K , a ∈  là tập hữu hạn.
Dẫn đến f −1 (a) là tập không quá đếm được.
Định lý 1.1.15
Tập các khơng điểm của một hàm chỉnh hình khác hằng trong miền G là tập
con rời rạc và đóng (tương đối) trong G .
Các kiến thức trong phần này xem chứng minh chi tiết trong [4], [11].


8

1.2. Một số kiến thức về tơpơ – giải tích hàm
Định nghĩa 1.2.1
Không gian tôpô X gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới dạng
hợp của hai tập mở khác rỗng, rời nhau. Do phần bù của tập mở là tập đóng nên
khơng gian X liên thơng nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau
đây
i) X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng, khác rỗng, rời
nhau.
ii) X khơng có tập con thực sự khác rỗng vừa mở vừa đóng.
Định nghĩa 1.2.2
Khơng gian tơpơ X gọi là hồn tồn không liên thông (totally disconnected
space) nếu với mọi x, y ∈ X thì tồn tại một phân hoạch A ∪ B sao cho x ∈ A, y ∈ B .
Trong khơng gian hồn tồn khơng liên thơng, mỗi thành phần liên thơng chỉ gồm
có một điểm.
Bổ đề 1.2.3 (bổ đề Borel – Lesbesgue)

Nếu A là tập compact của không gian tơpơ X thì mọi phủ mở của A đều có
phủ con hữu hạn.
Định lý 1.2.4
Cho X là không gian compact Hausdorff hồn tồn khơng liên thơng. Khi
đó X có một cơ sở tơpơ gồm những tập vừa mở vừa đóng.
Bổ đề 1.2.5 (bổ đề Urysohn)
Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời nhau
của X . Khi đó, tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0;1] sao cho f ( x) = 0, ∀x ∈ A và


9

f ( x) = 1, ∀x ∈ B .

Định lý 1.2.6
Cho X là không gian compact, Y là không gian Hausdorff và f : X → Y là
một song ánh liên tục. Khi đó f là phép đồng phơi.
Định nghĩa 1.2.7
Cho

{ X α ,τ α }α∈I là một họ các không gian tôpô. Đặt

X = ∏ α ∈I X α và

π α : X → X α là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ α . Các không gian X α gọi là các

không gian tọa độ.
Ta gọi tơpơ tích trên X là tơpơ yếu nhất để tất cả các phép chiếu π α liên tục.
Tơpơ tích cịn được gọi là tôpô Tikhonov.
Định lý 1.2.8 (định lý Tikhonov)

Không gian tích X = ∏ α ∈I X α compact nếu và chỉ nếu mọi không gian tọa
độ X α là compact.
Định nghĩa 1.2.9
Giả sử F là không gian con đóng của khơng gian định chuẩn E , kí hiệu
E

F

=
{ x + F : x ∈ E} , đây là tập thương của E với quan hệ tương đương xRy nếu

( x − y ) ∈ F . Trên E

F

ta xét chuẩn x + F = inf x − y , thì E F cùng với chuẩn này
y∈F

gọi là khơng gian thương của không gian định chuẩn E theo không gian con đóng
F.

Định lý 1.2.10
Nếu là E khơng gian Banach và F là khơng gian con đóng của E thì E F là
không gian Banach.
Định lý 1.2.11 (định lý ánh xạ mở)
Mọi tồn ánh tuyến tính liên tục f đi từ không gian Banach E vào không
gian Banach F là ánh xạ mở, nghĩa là với mọi tập mở U ⊂ E , f (U ) là tập mở
trong F .

10

Định lý 1.2.12 (định lý đồ thị đóng)
Cho f là ánh xạ tuyến tính đi từ khơng gian Banach E vào khơng gian
Banach
=
Gf

F.

Khi

đó

f

liên

tục

nếu

{( x; f ( x)) ∈ E × F : x ∈ E} là tập đóng trong

và chỉ

nếu

đồ thị của

nó

F .

Định lý 1.2.13 (định lý Stone – Weierstrass)
Cho X là một khơng gian compact. Khi đó nếu đại số con A ⊂ C ( X ) chứa
các hằng và phân biệt các điểm của X thì A trù mật trong C ( X ) .
Định lý 1.2.14 (định lý Stone – Weierstrass dạng phức)
Cho X là một không gian compact và A là một đại số con của C ( X ) thỏa
mãn các tính chất
i) Chứa các hằng và phân biệt các điểm của X .
ii) f ∈ A thì f ∈ A .
Khi đó, A trù mật trong C ( X ) .
Các kiến thức phần này xem chứng minh chi tiết trong [1], [2], [7].


11

Chương 2. ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND
TRÊN NÓ
Trong chương này ta đưa ra và chỉ xét các vấn đề cơ bản nhất của đại số
Banach giao hốn có đơn vị (gọi gọn là đại số Banach) và phép biến đổi Gelfand
trên nó. Mở đầu Chương 2 là mục 2.1 giới thiệu về đại số Banach và tập hợp các
dạng tuyến tính nhân trên nó (định lý 2.1.5). Phần tiếp theo của mục này trình bày
về tập các biến đổi Gelfand của đại số Banach và mô tả mối liên hệ tập các biến đổi
Gelfand với đại số đó (định lý 2.1.7). Các định lý 2.1.16, 2.1.17 mô tả mối liên hệ
giữa các iđêan cực đại của một đại số Banach và tập tất cả các dạng tuyến tính nhân
trên đại số Banach tương ứng.
Mục 2.2 giới thiệu về đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn
phần tử thuộc một đại số Banach. Định lý 2.2.3 mô tả mối liên hệ giữa phổ nối và

các biến đổi Gelfand của hữu hạn phần tử thuộc một đại số Banach. Phần cuối của
mục này chỉ ra sự đồng phôi giữa không gian các iđêan cực đại của một đại số
Banach hữu hạn sinh với phổ nối của các phần tử sinh.
2.1. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand
Định nghĩa 2.1.1
Một đại số B trên trường số phức là một không gian vectơ trên  cùng với
một phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau:
∀λ ∈ , ∀f , g , h ∈ B

i)

f ( gh) = ( fg )h .

ii) f ( g + h) = fg + fh, ( f + g )h = fh + gh .
iii) (=
λ f ) g f=
(λ g ) λ ( fg ) .
Nếu phép nhân là giao hốn thì B được gọi là đại số phức giao hoán.
Định nghĩa 2.1.2
Một đại số B trên trường số phức được gọi là đại số Banach nếu trên B
được trang bị một chuẩn . sao cho ( B, . ) là không gian Banach và
fg ≤ f g , ∀f , g ∈ B .


12

Phần tử e ∈ B thỏa fe = ef = f , ∀f ∈ B, e = 1 được gọi là phần tử đơn vị của
B

Phần tử f ∈ B được gọi là khả nghịch trong B nếu tồn tại phần tử g ∈ B

thỏa gf= fg
= e , phần tử g được ký hiệu là g := f −1 . Ta kiểm tra được phần tử khả
nghịch và phần tử đơn vị là duy nhất.
Các ví dụ
1) Khơng gian các số phức  với các phép nhân là phép nhân các số phức theo
nghĩa thông thường là một đại số Banach giao hốn có đơn vị là 1.
2)

Cho X là không gian tôpô compact, ký hiệu C ( X ) là tập các ánh xạ liên tục

trên X nhận giá trị phức, trên C ( X ) xét chuẩn

=
f

=
f ∞ max f ( x) , với
x∈X

f ∈ C ( X ) , khi đó ( C ( X ) , . ∞ ) là một đại số Banach giao hốn có đơn vị là hàm

hằng f ( x) ≡ 1 .
3) Cho E là không gian Banach, ký hiệu B( E ) là khơng gian các tốn tử tuyến
tính liên tục đi từ E vào E . Theo kết quả giải tích hàm ta có B( E ) là không gian
Banach với =
chuẩn f sup f ( x) , f ∈ B( E ) . Trên B( E ) ta trang bị phép nhân là
x =1

phép hợp thành các tốn tử. Khi đó B( E ) là đại số Banach với phần tử đơn vị là
toán tử đồng nhất, tuy nhiên đại số Banach này khơng giao hốn.

Trong luận văn này ta chỉ nghiên cứu đại số Banach giao hốn có đơn vị.
Định nghĩa 2.1.3
i) Khơng gian vectơ con đóng A ⊂ B , A chứa đơn vị, đóng kín với phép tốn
nhân được gọi là đại số Banach con của B .
ii) Một không gian vectơ con I của B gọi là một iđêan của B nếu BI ⊂ B ,
nghĩa là gf ∈ B, ∀g ∈ B, ∀f ∈ I .
iii) Iđêan I của B gọi là iđêan thực sự nếu I ≠ B . Một iđêan thực sự J của đại
số Banach B được gọi là iđêan cực đại nếu với mội iđêan I chứa J thì
I =B.


13

Một trong những mục tiêu chính của chương này là nghiên cứu xem trong
phạm vi nào có thể biểu diễn một đại số Banach bởi đại số của những hàm liên tục
trên một không gian compact.
Giả sử K là một không gian compact và C ( K ) là đại số các hàm liên tục
nhận giá trị phức trên K .
Giả sử rằng B ∋ f → Tf ∈ C ( K ) là một biểu diễn liên tục của B , nghĩa là T
giao hoán với các phép toán đại số của B và sup Tf ≤ C f với C là hằng số nào
K

đó.
Ta lại có T ( f n ) = (Tf ) n dẫn đến Tf = (Tf ) n = T ( f n ) ≤ C f n ≤ C f , do đó
n

Tf ≤ C

1
n

f

n

1
n

≤C

1
n

f . Suy ra sup Tf ≤ lim f
n →∞

K

n

n

1
n

≤ f

(2.1.1)

Định nghĩa 2.1.4

Một dạng tuyến tính m (a linear form) trên B gọi là dạng tuyến tính nhân
(multiplicative linear functional) nếu nó liên tục, khơng đồng nhất khơng và
m( fg ) = m( f )m( g ) , ∀f , g ∈ B .

Ta ký hiệu M B là tập tất cả các dạng tuyến tính nhân trên B . Trên M B xét
tôpô là tôpô yếu nhất làm cho các ánh xạ M B ∋ m → m( f ) ∈  liên tục với mọi
f ∈B .

Nhận xét
i) Điều kiện m không đồng nhất không tương đương với m(e) = 1 .
ii) m( f ) ≠ 0 nếu f là phần tử khả nghịch. Thật vậy, từ
=
1 m=
(e) m( ff −1 )
= m( f )m( f −1 ) . Suy ra m( f ) ≠ 0 .

iii) Dạng tuyến tính nhân m là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và có chuẩn
m = 1.

Thật vậy, nếu f ∈ B và

f < 1 , với mọi λ ∈  mà λ ≥ 1 ta chứng minh

m( f ) ≠ λ . Vì λ ≥ 1 nên λ −1 f < 1 do đó e − λ −1 f khả nghịch. Áp dụng ii) ta có


14

m(e − λ −1 f ) ≠ 0 hay m( f ) ≠ λ . Điều này có nghĩa là f ∈ B và

f < 1 thì

m( f ) < 1 .

Áp dụng điều này, với mọi f ∈ B , ta có
m(

f

=
)
λ f

m( f )
< 1, ∀ λ > 1, ∀f ∈ B, f ≠ 0 .
λ f

Suy ra m( f ) < λ f , ∀ λ > 1, ∀f ∈ B, f ≠ 0 . Do đó m liên tục và m ≤ 1 (chọn
λ = 1+

1
rồi cho n → +∞ ). Mặt khác, m
= sup m( f ) ≥ m(=
e) 1 . Vậy m = 1 .
n
x =1

iv) Tơpơ được định nghĩa ở đây cịn có tên gọi là tôpô Gelfand, một cơ sở lân
cận của điểm m0 ∈ M B chính là giao hữu hạn của những lân cận dạng

{m ∈ M

B

: m( f ) − m0 ( f ) < ε } , ở đây f ∈ B và ε > 0 , tức là một họ tập có dạng

U (m, f1 ,..., f n , ε ) ={m ∈ M B : m( f i ) − m0 ( fi ) < ε , fi ∈ B, i =1,..., n, ε > 0, n ∈ N ∗ } .

Định lý 2.1.5
M B là một khơng gian compact Hausdorff.

Chứng minh
Chứng minh tính chất tách Hausdorff. Giả sử m1 , m2 ∈ M B , m1 ≠ m2 , khi đó có
f ∈ B sao cho m1 ( f ) ≠ m2 ( f ) . Xét hai tập sau:


m1 ( f ) − m2 ( f ) 
V1 =
m ∈ M B : m( f ) − m1 ( f ) <
,
2



m1 ( f ) − m2 ( f ) 
V2 =
m ∈ M B : m( f ) − m2 ( f ) <
.
2




Ta có V1 ,V2 là các tập mở lần lượt chứa m1 , m2 nhưng V1 ∩ V2 =
∅.
Chứng minh tính compact. Đặt D f =∈
{z  : z ≤ f

},

D = ∏ Df .
f ∈B

Với m ∈ M B , với mọi f ∈ B thì m( f ) ≤ f (do 2.1.1) nên m( f ) ∈ D f .
Trên D ta xét tơpơ tích, với mỗi f ta có D f là tập compact, theo định lý Tychonoff
ta có D là compact với tơpơ tích. Tơpơ tích trên D là tô pô yếu nhất làm cho các


15

phép chiếu p f tương ứng với mỗi phần tử của tập chỉ số B liên tục và mỗi phần tử
của D là một ánh xạ (có thể khơng là dạng tuyến tính nhân) m sao cho m( f ) ∈ D f ,
thì p f (m) = m( f ) . Vì vậy mỗi phần tử m ∈ M B là một phần tử đặc biệt của D và ta
có p f (m) = m( f ) . Do đó tơpơ trên M B thừa hưởng từ tơpơ tích trên D là trùng với
tôpô Gelfand. Cho nên chỉ cần chứng minh M B là tập con đóng của D là xong.Thật
vậy, với f , g ∈ B xét ánh xạ D f , g : D →  xác định như sau:
D f , g (m)= m( f + g ) − m( f ) − m( g )

Theo định nghĩa tơpơ tích thì rõ ràng là D f , g liên tục, dẫn đến D −f 1,g (0) đóng.
Một cách tương tự, với f , g ∈ B , λ ∈  xét các ánh xạ
D fg , D f ,λ , De : D → 

D=
m( fg ) − m( f )m( g )
fg ( m)
D f=
m(λ f ) − λ m( f )
, λ ( m)
De =
( m ) m (e) − 1

Ta có D fg , D f ,λ , De đều liên tục.
Ta lại có M B =



( f , g )∈B× B

D −f 1, g (0) ∩



D −fg1 (0) ∩

( f , g )∈B× B


λ

( f , )∈B×

D −f 1,λ (0) ∩ De−1 (0)

Suy ra M B là tập con đóng của D , mà D compact nên M B compact.
Từ đó với tơpơ Gelfand trên M B thì M B là compact Hausdorff . ■
Định nghĩa 2.1.6
∧

∧

i) Với f ∈ B , hàm liên tục f : M B →  xác định bởi m  f (m) := m( f )
được gọi là phép biến đổi Gelfand của f ∈ B .
ii) Ánh xạ

B → C (M B )

∧

xác định bởi f  f được gọi là biểu diễn

Gelfand
(Gelfand representation of B ) của B .


16

Bây giờ ta xét một biểu diễn liên tục bất kỳ của B . B ∋ f → Tf ∈ C ( K ) , ở
đây K là không gian compact. Bởi vì (=
Te) 2 T=
(e 2 ) Te nên hàm liên tục Te chỉ
nhận

một

trong

hai

giá

trị

0

hoặc

1.

K0 =
0} ,
{k ∈ K : (Te ) (k ) =

Đặt

K1 =
1} , do tính liên tục của Te và compact của M B nên K 0 , K1
{k ∈ K : (Te ) (k ) =

compact và rời nhau, Tf = 0 trên K 0 với mỗi f ∈ B . Do đó ta quan tâm đến sự hạn
chế của Tf trên K1 .
Với mỗi k ∈ K1 , ánh xạ B ∋ f → (Tf ) (k ) xác định một phần tử m ∈ M B , mà ta
ký hiệu là ϕ (k ) . Do định nghĩa tôpô trên M B và tính liên tục của Tf với mỗi f ∈ B

∧

kéo theo sự liên tục của ϕ . Vì Tf = f  ϕ trên K1 , nên ta có sự mô tả đầy đủ mọi
biểu diễn của B bởi các hàm liên tục theo các biểu diễn Gelfand.
∧

Đặt
B
=

{

}

∧

∧

f : f ∈ B , khi đó B là đại số con của đại số Banach C ( M B ) ,

C ( M B ) là đại số các hàm nhận giá trị phức liên tục trên M B .

Định lý 2.1.7
∧

Đại số B chứa các hằng và tách các điểm của M B . Biểu diễn Gelfand
∧

∧

∧

∧

=
f
sup f (m) ≤ f .
f  f là một đồng cấu của B lên B thỏa mãn
MB

m∈M B

Chứng minh
∧

∧

Ta có e ∈ B nên e(m) = m(e) = 1, ∀m ∈ M B , suy ra ( λ e )(m) = m(λ e) = λ , ∀λ ∈  .
∧

∧

Từ đó suy ra B chứa các hàm hằng ( λ e ) .
∧

Chứng minh B tách các điểm của M B . Thật vậy, với m1 , m2 ∈ M B mà
∧

∧

∧

( f ) m2 ( f ), ∀f ∈ B , suy ra m1 = m2 . Do đó B tách các
f (=
m1 ) f (m2 ), ∀f ∈ B ⇔ m1=

điểm của M B .
∧

∧

Ta kiểm tra được biểu diễn Gelfand f  f là một đồng cấu của B lên B .


17

∧

Ngồi ra, ∀m ∈ M B ta có f (m) = m( f ) ≤ m f = f .
∧

∧

=
f
sup f (m) ≤ f .■

Suy ra

MB

m∈M B

Định nghĩa 2.1.8
Cho f ∈ B , B là một đại số Banach giao hốn có đơn vị. Phổ của f , ký
hiệu là σ B ( f ) là tập tất cả các giá trị λ ∈  sao cho f − λ e không khả nghịch.
Định lý 2.1.9
Với mỗi f ∈ B , ta có
i) =
σB( f )

{

}

∧

f ( m) : m ∈ M B .

ii) Ta gọi bán kính phổ của phần tử f ∈ B là rB ( f ) , được xác định bởi
∧

rB ( f )= sup { λ : λ ∈ σ B ( f )}= sup f (m) . Khi đó rB ( f ) = lim f n
n →∞

m∈M B

Chứng minh
i)

Ta chứng minh

{

1
n

.

}

∧

f (m) : m ∈ M B ⊂ σ B ( f ) . Thật vậy, nếu λ ∉ σ B ( f ) suy ra

e . Khi đó với mọi m ∈ M B thì
f − λ e khả nghịch nên có g ∈ B sao cho g ( f − λ e ) =

{

}

∧
∧
∧
m ( g ( f − λ e ) ) = m(e) = 1 hay g (m)  f (m) − λ  =
1 . Suy ra λ ∉ f (m) : m ∈ M B .



{

Vậy

}

∧

f ( m) : m ∈ M B ⊂ σ B ( f ) .

Để tiếp tục chứng minh định lý 2.1.9 ta cần dùng đến các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.10
Nếu g −1 tồn tại thì ( g − λ h )

{λ ∈  : λ

}

g −1h < 1 .

−1

tồn tại và liên tục theo λ trong đĩa


18

Nếu ω là tập con, mở, compact tương đối của đĩa này, được bao bởi hữu hạn
các cung thuộc lớp C1 thì

∫ ω ( g − λh)

−1

∂

ϕ (λ ) d λ =
0 , trong đó ϕ là hàm chỉnh hình

trong ω và thuộc lớp C1 (ω ) .
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh nếu f < 1 thì ( e − f )

−1

chất của đại số Banach f n ≤ f , và f < 1 nên chuỗi
n

tồn tại. Thật vậy, do tính
∞

∑f

n

hội tụ tuyệt đối, ký

n =0

∞

hiệu tổng này là s := ∑ f n . Ta lại có
n =0

e − f n +1 = ( e − f ) ( e + f + ... + f n ) = ( e + f + ... + f n ) ( e − f ) .

Trong đẳng thức này cho n → +∞ và chú ý rằng khi đó f n → 0 , ta được
∞

e=
( e − f ) s =s ( e − f ) . Suy ra phần tử khả nghịch của ( e − f ) là s = ∑ f n .
n =0

Giả sử g −1 tồn tại, đặt g −1h = H , khi đó chuỗi

∞

∑λ

n

H n hội tụ chuẩn tắc trong

n =0

{

}

đĩa λ ∈  : λ g −1h < 1 . Áp dụng ý kết quả trên, ta có

∞

∑λ

n

n
H=

(e − λ H )

−1

n =0

∞

Do đó I (λ ) = g −1 ∑ λ n H n tồn tại và hội tụ chuẩn tắc trong đĩa này.
n =0

Ta lại có I (λ ) ( g − λ=
h ) I (λ ) g ( e − λ g −1=
h ) I (λ ) g ( e − λ H
=
) e.
I (λ=
)

Suy ra

−1
( g − λh) .

 −1 ∞ n n 
λ H ϕ (λ )d λ= 0 .■
∫∂ω ( g − λ h ) ϕ (λ )d λ= ∫∂ω I (λ )ϕ (λ )d λ= ∫∂ω  g ∑
n =0

−1

Vậy
Bổ đề 2.1.11
Nếu
(2.1.11)

(e − λ f )

−1

tồn tại khi

λ ≤R

thì

Rn f

n

≤ sup ( e − λ f )

λ =R

−1

,n ≥ 0


19

Chứng minh
Từ bổ đề 2.1.10 ta có tích phân

1
−1
( e − λ f ) λ − n−1d λ không phụ thuộc
∫
=
r
λ
2π i

vào r khi 0 < r ≤ R , và khi r f < 1 ta thấy tích phân này bằng f n bằng cách lấy
∞

tích phân trên chuỗi khai triển. Ta có ( e − λ f ) =
∑ λ n f n , nên
−1

n =0

fn =
fn ≤

Suy ra

1
2π

1
 ∞ k k  − n −1
∑ λ f λ d λ .
2π i ∫ λ = r  k =0

∫λ ( e − λ f )

λ − n −1d λ ≤ sup ( e − λ f )

−1

=r

−1

λ =R

⋅

1
.■
Rn

Bổ đề 2.1.12
Khơng có phần tử f ∈ B nào mà có tập phổ là tập rỗng, nghĩa là
σ B ( f ) ≠ ∅, ∀f ∈ B .

Chứng minh
Nếu f ∈ B mà σ B ( f ) = ∅ thì ( e − λ f ) tồn tại với mọi λ ∈  . Ta lại có
−1

(e − λ f )

−1

=
−λ −1 f −1 ( e − λ −1 f −1 ) .
−1

(e − λ f )

Suy ra

−1

≤ λ −1 f −1

nghĩa là

−1

f −1 )

−1

( )
−1

=
O λ ,

( )=0.

lim O λ

λ →∞

(e − λ
−1

Điều này lại mâu thuẫn với ( 2.1.11) khi n = 0 .■
Bổ đề 2.1.13 (Gelfand – Mazur)
Nếu B là một trường thì B đẳng cấu, đẳng cự với trường số phức  .
Chứng minh
Từ bổ đề 2.1.12 với mỗi f ∈ B có λ ∈  sao cho f − λ e không khả nghịch.
Ta lại có B là một trường và ( f − λ e ) ∈ B nên dẫn đến f − λ e =
0 hay f = λ e .
Giả sử tồn tại λ1 , λ2 sao cho f − λ1e =f − λ2 e nên

0 . Suy ra
( λ1 − λ2 ) e =

λ1 = λ2 . Vậy với mỗi f ∈ B có duy nhất một λ f ∈  sao cho f = λ f e . Do đó
B=
{ f =λ f e : e ∈ B, λ f ∈ } .


20

Xét ánh xa: Φ : B →  , xác định bởi f = λ f e  λ . Khi đó, Φ là đẳng cấu
nên B ≅  . Mặt khác, f= λ f e= λ f , ∀f ∈ B , nên B đẳng cự với trường số phức
 .■

Bổ đề 2.1.14
Nếu I là iđêan cực đại của B thì I đóng và khi đó B I đẳng cấu với trường
số phức.
Để chứng minh ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.15
Ký hiệu G ( B) là tập các phần tử khả nghịch trong B , khi đó
i) G ( B) là một nhóm nhân với phép tốn nhân trong đại số Banach B .
ii) G ( B) là tập mở trong B và ánh xạ G ( B) ∋ f → f −1 ∈ G ( B) thì liên tục.
Chứng minh
i) Chứng minh G ( B) là một nhóm nhân.
Thật vậy, từ định nghĩa đại số Banach B ta suy ra phép nhân trên G ( B) là kết hợp,
giao hoán. Hơn nữa phần tử đơn vị e ∈ G ( B) và ff −1 = f −1 f = e, ∀f ∈ G ( B) . Vậy
G ( B ) là nhóm nhân.
∞

ii) Thật vậy, với f ∈ B mà f < 1 ta chứng minh được w = ∑ f k là phần tử
k =0

khả nghịch của e − f . Do đó, với g ∈ B mà e − g < 1 , ta viết g =e − (e − g ) áp dụng

bước trên ta có g khả nghịch, và =
g −1

∞

∑ (e − g )

k

.

k =0

(

Lấy bất kỳ f 0 ∈ G ( B) , ta chứng minh B f 0 ; f 0−1

−1

) ⊂ G(B) . Với f ∈ B ( f ; f ) , ta
0

−1 −1
0

có f = f 0 f 0−1 f nên e − f 0−1 f = f 0−1 f 0 − f 0−1 f = f 0−1 ( f 0 − f ) ≤ f 0−1 f 0 − f < 1 , vì vậy
f 0−1 f khả nghịch và phần tử khả nghịch đó là

(f

−1
0

f=
)
−1

∞

∑ (1 − f
k =0

−1
0

f ) . Từ đó suy ra
k


21

và f −1
f khả nghịch
=

∞

∑  f
k =0

−1
0

k

( f 0 − f )  f 0−1 , vậy f ∈ G ( B ) . Từ đó ta có G ( B ) là tập

mở trong B .
Chứng minh ánh xạ liên tục. Lấy bất kỳ f 0 ∈ G ( B) , và dãy ( f n )n hội tụ về f 0 ,
khi n đủ lớn thì f n − f 0 < f 0−1
∞

−1

. Ta có
∞

 f 0−1 ( f 0 − f n )  f 0−1 ≤ ∑  f 0−1 f 0 − f n 
∑


=
k 0=
k 0
f n−1 − f 0−1 ≤

k

k

n →∞
→ 0 .■
f 0−1 

Chứng minh bổ đề 2.1.14
Đầu tiên ta chứng minh I đóng. Áp dụng kết quả bổ đề 2.1.15 trên, do I là
iđêan cực đại nên I không chứa phần tử khả nghịch, ta có I ⊂ B \ G ( B) , mà G ( B)
mở nên B \ G ( B) đóng. Do vậy I ⊂ I ⊂ B \ G ( B) , ta lại có I ≠ B do e ∈ G ( B) . Mà I
là iđêan cực đại nên I = I , hay I đóng. Theo kết quả đại số thì nếu I là iđêan cực
đại của B thì B I là một trường, do đó nó đẳng cấu với trường số phức theo bổ đề
2.1.13 .■
Định lý 2.1.16
Ký hiệu:

M B là tập tất cả dạng tuyến tính nhân từ B vào  .
∆ B là tập các iđêan cực đại của B .

Khi đó, ánh xạ A : M B → ∆ B xác định bởi A(m) := ker m là một song ánh.
Kết quả của định lý này ta cho ta sự tương ứng một một giữa không gian các
iđêan cực đại với khơng gian các dạng tuyến tính nhân, do đó M B cịn được gọi là
khơng gian các iđêan cực đại của đại số Banach B .
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh với mỗi m ∈ M B thì ker m là một iđêan cực đại, tức
là chứng minh B ker m là một trường, nghĩa là phần tử f + ker m khả nghịch trong