Tính chất fredholm của nửa nhóm tiến hóa

THƯ
VIỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
___________________________

Trần Thanh Hiệp

TÍNH CHẤT FREDHOLM CỦA NỬA
NHĨM TIẾN HĨA
Chun ngành

: Tốn giải tích

Mã số

: 604601

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ HỒN HĨA

TP.Hồ Chí Minh – Năm 2010


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tơi xin trân trọng kính gởi đến Thầy Lê Hồn Hóa người
đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tơi trong suốt q trình hồn thành luận văn, lịng biết ơn chân

thành và sâu sắc.
Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Q Thầy, Cơ trong và ngồi Khoa Tốn – Tin học, trường
Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí
Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian học tập và làm việc.
Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn –Tin học, Q Thầy, Cơ
thuộc Phịng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ
Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tơi
trong suốt q trình học tập.
Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 18 đã luôn
động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận văn. Vì kiến thức bản thân cịn nhiều hạn
chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cơ và sự
góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp.

Trần Thanh Hiệp


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung luận văn này không được sao chép bất kỳ luận văn nào khác
trước đây.

Học viên

Trần Thanh Hiệp


MỞ ĐẦU

Lý thuyết Fredholm (ra đời vào 1903) là lý thuyết về phương trình vi phân. Theo nghĩa hẹp,
nó liên quan đến nghiệm của phương trình tích phân Fredholm. Theo nghĩa rộng, cấu trúc trừu

tượng của lý thuyết Fredholm được thể hiện dưới dạng lý thuyết phổ của toán tử Fredholm và nhân
Fredholm trên không gian Hilbert. Và công cụ để nghiên cứu tính ổn định phổ của phương trình
truyền sóng là lý thuyết lưỡng phân.
Một họ tiến hố {U ( t ,τ )}t ≥τ , t ,τ ∈¡ liên kết với phương trình vi phân tuyến tính chỉnh,
khơng tự sinh

trên khơng gian Banach X với các hệ số tốn tử sinh ra ba toán tử

quan trọng xác định trên khơng gian các hàm nhận giá trị trong X:
(1) tốn tử vi phân G, G = − d + A ( t ) ;

(0.1)

(2) toán tử hàm số Et, ( E t u ) (τ ) = U (τ ,τ − t ) u (τ − t ) , τ ∈ ¡, t ≥ 0 ;

(0.2)

dt

(3) toán tử sai phân

Dτ

,

Dτ : ( xn )n∈¢ a ( xn − U ( n + τ , n + τ − 1) xn −1 )n∈¢ , τ ∈ [0,1) .

(0.3)

Trong khn khổ luận văn này, đầu tiên tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng

phân trong trường hợp vô hạn chiều mà khơng có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử A ( t ) .
Tiếp theo, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính đóng của miền giá trị của ba
tốn tử nêu trên.
Luận văn được trình bày theo bố cục như sau:
Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các vấn đề chính được nghiên cứu trong luận văn, đồng thời
nêu bố cục của luận văn.
Chương 1 là các kiến thức chuẩn bị cơ bản về lý thuyết Fredholm, nửa nhóm tiến hóa, lưỡng phân
lũy thừa.
Chương 2 được xây dựng gồm hệ thống các Định lý và Bổ đề dùng để chứng minh Định lý lưỡng
phân (Định lý 2.1, Định lý 2.2) trong trường hợp vơ hạn chiều mà khơng có bất kỳ ràng buộc nào
của toán tử A(t).
Chương 3 là sự nối tiếp của chương 2, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính
t
đóng của miền giá trị của các toán tử E , G, Dτ .

Cuối cùng là phần Kết luận và Tài liệu tham khảo.


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Lý thuyết Fredholm

Định nghĩa 1.1
Cho X và Y là các không gian Banach, gọi T : X → Y là tốn tử tuyến tính bị chặn, T được gọi là
Fredholm nếu:
(i) dim Ker T < ∞ ;
(ii) ImT đóng;

(iii) dim CoK er T < ∞ .( dimCoKerT = dim(Y / ImT ) ).
Khi T là ánh xạ Fredholm, chỉ số của T kí hiệu IndT là số nguyên xác định bởi:
IndT = dim KerT − co dim Im T

Tính chất 1.2
Từ định nghĩa trên và từ những kết quả cơ bản của giải tích hàm tuyến tính, tồn tại các phép chiếu
liên tục
P : X → X , Q : Y → Y thỏa: Im P = KerT ; KerQ = Im T .

Do đó,
X = KerT ⊕ KerP
Y = Im T ⊕ Im Q

Bổ đề 1.3 Cho T : X → Y là toán tử thỏa ImT chứa một khơng gian con đầy, đóng thì ImT đóng.
Bổ đề 1.4 Kí hiệu Fred ( X ,Y ) là khơng gian các tốn tử Ferdholm từ X vào Y và Fred ( X ) là tập các
toán tử Fredholm xác định trên X. Ta có Fred ( X ,Y ) là tập mở của B(X,Y) và chỉ số Fredholm là
hàm hằng trên Fred(X,Y).
Bổ đề 1.5 Cho T : X → X là tốn tử compact, khi đó I + T là Fredholm.
Bổ đề 1.6 Cho T : X → Y và S : Y → Z là các tốn tử Fredholm. Khi đó, ST : X → Z cũng là Fredholm.
Hơn nữa, Ind ( ST ) = Ind (T ) + Ind ( S ) .

Định nghĩa 1.7
Cặp Fredholm: cặp không gian con ( W,V ) trong X được gọi là cặp Fredholm nếu:
i)

α ( W,V ) = dim( W I V) < ∞

ii)

W + V : đóng

iii)

β ( W,V ) = co dim( W + V ) < ∞


Chỉ số Fredholm: Chỉ số Fredholm của cặp không gian con ( W,V ) là

ind ( W,V ) = α ( W,V ) − β ( W,V ) .
1.2

Họ tiến hố và nửa nhóm tiến hố

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là khơng gian Banach, L(X) là khơng gian các tốn tử tuyến tính bị chặn
trên X. Họ T = {T ( t )}t ≥0 ⊂ L ( X ) được gọi là nửa nhóm trên X nếu

T ( 0) = I và T ( t + s ) = T ( t ) T ( s ) với mọi t , s ≥ 0 .

Nửa nhóm T = {T ( t )}t ≥0 được gọi là bị chặn lũy thừa nếu tồn tại M ≥1 và ω > 0 sao cho

T ( t ) ≤ Meωt , ∀t ≥ 0 .

Định nghĩa 1.2.2 Toán tử P ∈ L ( X ) được gọi là phép chiếu nếu P 2 = P . Nửa nhóm T = {T ( t )}t ≥0
được gọi là lưỡng phân lũy thừa nếu tồn tại một phép chiếu P ∈ L ( X ) và hai hằng số K ≥ 1 và ν > 0
sao cho
(i) T ( t ) P = PT ( t ) , ∀t ≥ 0;
(ii) T ( t ) x ≤ Ker −ν t x , ∀ x ∈Im P và ∀ t ≥ 0 ;
(iii) T ( t ) x ≥ 1 eν t x , x ∈ KerP và ∀ t ≥ 0 ;
K

(iv) T ( t )

KerP

: KerP → KerP là một đẳng cấu ∀ t ≥ 0 .

Ví dụ: Trên X = R 2 được trang bị chuẩn

( x1 , x2 )

(

= x1 + x2 , ta định nghĩa T ( t ) : X → X như sau

)

T ( t )( x1 , x2 ) = e −t x1 , et x2 , ∀x = ( x1 , x2 ) ∈ R 2 , ∀t ≥ 0 .

Khi đó, nửa nhóm T = {T ( t )}t ≥0 là lưỡng phân lũy thừa.
Định nghĩa 1.2.3 Nếu T = {T ( t )}t ≥0 là nửa nhóm trên X và U ⊂ X là một khơng gian con tuyến tính,
U được gọi là T – bất biến nếu T ( t )U ⊂ U, ∀t ≥ 0 .
Một họ {U ( t ,τ )t ≥τ } , t ,τ ∈ J gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X được gọi là họ tiến hóa bị
chặn lũy thừa liên tục mạnh trên J nếu:
i)

Với mỗi x ∈ X , ánh xạ ( t ,τ ) a U ( t ,τ ) x liên tục với mọi t ≥τ thuộc J

ii)

sup e−ω(t −τ )U ( t ,τ ) : t ,τ ∈J , t ≥ τ < ∞ , với ω ∈ R tùy ý

{

}


iii) U ( t, t ) = I ,U ( t ,τ ) = U ( t , s )U ( s,τ ) với mọi t ≥ s ≥ τ thuộc J.
Nửa nhóm tiến hóa:

{E }
t

t ≥0

Lp ( R, X ) , 1 ≤ p < ∞

là nửa nhóm tiến hóa xác định trên khơng gian

hoặc

C0 ( R, X ) _không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại ±∞ , theo qui tắc:

( E u ) (τ ) = U (τ ,τ − t ) u (τ − t ) , τ ∈ R, t ≥ 0 .
t

Ta định nghĩa toán tử G trên Lp liên kết với nửa nhóm tiến hóa trên như sau:

( Gu)(t ) = −u '( t ) + A( t ) u ( t ) với miền xác định:
domG = W1p ∩ {u ∈ Lp : u ( t ) ∈ domA ( t )} .

(1.1)

Ta gọi G là mở rộng đóng của G.
Nửa nhóm liên hợp:
Cho { E tA} là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, khi đó, nửa nhóm liên hợp
t ≥0

{( e ) *}

trên khơng gian

tA

t≥0

Banach X* nói chung là không liên tục mạnh. Không gian con:

{

}

( )

X e = x*∈X *: etA * x − x * → 0 khi t → 0

là khơng gian con tuyến tính đóng của X* và ( etA ) * ( X e ) ⊆ X e ∀ t ≥ 0 . Thu hẹp

e tA

e

của ( etA ) * xác

định một nửa nhóm liên tục mạnh trên X e . Hơn nữa,
X e = ρ ( A ) * ( X *) ∀ λ ∈ £ \ σ ( A ) .

Chú ý 1.2.4

(

)

(

tA
tA
Từ định nghĩa của X e suy ra Ker ( I − etA ) * ⊂ X e và Ker I − e * = Ker I − e

e

)

với mỗi t ≥ 0 ;

Ker ( A * −µ ) ⊂ X e và Ker ( A * − µ ) = Ker ( Ae − µ ) với µ ∈ £ bất kỳ.
Lý thuyết lưỡng phân
Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach, J là

R− , R+

hoặc R, họ tiến hóa {U ( t ,τ )}t ≥τ được

gọi là có lưỡng phân lũy thừa { Pt }t∈ J trên J với hệ số lưỡng phân M ≥1 và α > 0 nếu

Pt , t ∈ J

, là các

phép chiếu trên X và mọi t ≥ τ ∈ J , các khẳng định sau thỏa:
i) U ( t,τ ) Pτ = PU
t ( t,τ )
ii) Thu hẹp: của toán tử U ( t,τ ) trên

K er Pτ

, U ( t ,τ )

Ker Pτ

, là toán tử khả nghịch từ

K er Pτ

iii) Thỏa các ước lượng lưỡng phân sau:
U ( t ,τ )

Im Pτ

≤ Me

− α ( t −τ )

và (U ( t ,τ )

K erPτ

)

−1

≤ Me

− α ( t −τ )

.

(1.2)

đến

K e r Pt .


Chương 2
TỐN TỬ VI PHÂN FREDHOLM VỚI HỆ SỐ KHƠNG BỊ CHẶN
Trong chương này, tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng phân trong trường
hợp vô hạn chiều mà khơng có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử A ( t ) : Định lý 2.1 và Định
lý 2.2
Định lý 2.1 Giả sử {U ( t,τ )}t ≥τ , t ,τ ∈R là một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa liên tục mạnh trên khơng
gian Banach phản xạ X, G là tốn tử sinh của nửa nhóm tiến hóa tương ứng xác định trên

Lp ( R, X ) , p ∈[1, ∞) hoặc trên C0 ( R, X ) . Khi đó: tốn tử G là Fredholm nếu và chỉ nếu tồn tại
a , b ∈ R , a ≤ b sao

cho hai điều kiện sau thỏa:

(i) Họ tiến hóa {U ( t ,τ )}t ≥τ có lưỡng phân lũy thừa {Pt − } trên ( −∞,a] và {Pt + } trên [b, ∞) .
t≤a
t ≥b
−
+
ii) Toán tử nút N ( b, a) : KerPa → KerPb , định bởi:

N ( b, a) = ( I − Pb+ )U ( b, a)

KerPa−

, là toán tử Fredholm.

Hơn nữa, nếu toán tử G là Fredholm thỏa thì
a) dim Ker G = dim Ker N(b,a);
b) codim ImG = codim Im N(b,a); ind G = ind N(b,a).
Định lý 2.2 Với các giả thiết như Định lý 2.1, toán tử G là Fredholm khi và chỉ khi hai điều kiện
sau đây thỏa:
i') Họ tiến hóa {U ( t ,τ )}t ≥τ có lưỡng phân lũy thừa {Pt − } trên
t≤a

R − và

{P }

+

t

t ≥b

trên

R+ .

ii') Cặp không gian con ( KerP0− , Im P0+ ) trong X là Fredholm.
Hơn nữa, nếu tốn tử G là Fredholm thì:
a') dim Ker G = α ( KerP0− , Im P0+ )
b’) codim Im G = β ( KerP0− , Im P0+ )
c’) ind G = ind ( KerP0− ,Im P0+ )
Ta ký hiệu:

¡+ = {t ∈ ¡ : t ≥ 0} , ¡− = {t ∈ ¡ : t ≤ 0} , ¢+ = {n ∈ ¢ : n ≥ 0} , ¢− = {n ∈ ¢ : n ≤ 0} ,

T = {λ ∈ £ : λ = 1} ; X là không gian Banach; X là không gian liên hợp; A , domA, Ker A, Im
*

A,

*

ρ ( A ) = {λ :λ ∈ £, A − λ I ∈ L ( X ) , A − λ I : song ánh} , σ ( A) ,

σfred ( A) = {λ ∈£ : λ − A không Fredholm } , và sprad(A) = sup{ λ : λ ∈σ ( A)} lần lượt là liên hợp,

miền xác định, nhân, ảnh, tập giá trị chính quy (tập giải), phổ, phổ Fredholm, và bán kính
phổ của A;

A |Y

là thu hẹp của A trên Y ⊂ X ; L( X , Y ) là không gian Banach các tốn tử

tuyến tính bị chặn từ X đến Y;

L( X ) là tập các toán tử bị chặn trên X;

Lp = Lp ( ¡, X ) , p ∈[1, +∞) là không gian Banach gồm các hàm từ X vào ¡ sao cho f

p

khả

tích Lebesgue; C0 ( ¡, X ) là không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại ±∞ ; lp ( ¢, X ) là khơng
gian Banach gồm tất cả các dãy x = ( xn ) các phần tử trong ¢ sao cho

∞

∑x
n=1

p

n

< ∞ ; c0 ( ¢, X ) là

khơng gian các dãy triệt tiêu tại ±∞ . Không gian hàm ε ( ¡) là một trong các không gian

Lp ( ¡, X ) hoặc C0 ( ¡, X ) , không gian dãy ε ( ¢) là một trong các khơng gian l p ( ¢, X ) hoặc
c0 ( ¢, X ) ,

ε ( ¡+ ) là

một

trong

các

không

Lp ( ¡ + , X )

gian

ε 0 ( ¡+ ) = C00 ( ¡+ , X ) là không gian các hàm liên tục trên

¡+

hoặc

triệt tiêu tại 0 và

∞

C0 ( ¡+ , X ) ,
, không gian

dãy ε ( ¢ + ) là một trong các khơng gian l p ( ¢+ , X ) hoặc c0 ( ¢+ , X ) , ε ([0, 2π ]) là một trong các
không gian Lp ([ 0,2π ] , X ) hoặc Cper ([ 0,2π ] , X ) - là khơng gian các hàm tuần hồn chu kỳ

[0,2π ] .

2π trên đoạn

Ta dùng hình thức in đậm để ký hiệu cho dãy, chẳng hạn,

x = ( xn )n∈¢ , xn ∈ X . Với n ∈¢ , trực chuẩn thứ n trong lp ( ¢, X ) hoặc c0 ( ¢, X ) là en = (δ nk )k∈¢ ,
với

δ nk

là hệ số Kronecker. Nếu x ∈ X thì ta ký hiệu dãy x ⊗ en = ( xk )k∈¢ bởi x ⊗en = ( xδnk )k∈¢

sao cho

xn = x

Với

và

xk = 0

Y⊂X

với k ≠ n .

và

Y* ⊂ X * ,

Y*⊥ = { x ∈ X : x, ξ = 0, ∀ ξ ∈ Y* } . Nếu

ta

ký

X = X1 ⊕ X

{

Y ⊥ = ξ ∈ X * : x, ξ = 0, ∀ x ∈Y

hiệu

và

thì ( X 1 ) = X 2⊥ và ( X 2 ) = X1⊥ .
*

2

}

*

Nếu P là một phép chiếu trên X thì P* cũng là một phép chiếu trên X* với
Im P* = ( KerP ) = ( Im P ) và KerP* = ( Im P ) = ( KerP ) * .
⊥

⊥

*

Nếu ( P, Q ) là một cặp phép chiếu trên X thì X = Im P ⊕ KerP và
X = Im Q ⊕ K erQ .

Bất kỳ một tốn tử A bị chặn trên X có thể được viết dưới dạng toán tử ma trận như sau:
 P 
A=
 A[Q
I − P

 PAQ
I − Q] = 
( I − P ) AQ

PA ( I − Q )



( I − P ) A ( I − Q )

(2.1)

Nếu A Q = P A ma trận này là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo là A|ImQ và A|KerQ .


Nếu A( ImQ) ⊆ Im P hoặc AQ = PAQ thì ta đồng nhất A|ImQ = AQ : Im Q → Im P , ta viết:
 A |ImQ
A=
 0

PA ( I − Q ) 
.
( I − P ) A |KerQ 

(2.2)

Cho toán tử sai phân D xác định trên không gian l p ( Z , X ) , p∈[1, ∞) như sau:
D : ( xn ) n∈Z a ( xn − U ( n, n − 1) xn−1 )n∈Z

Toán tử liên hợp của D là:
D*: ( ξn ) n∈Z a (ξn − U ( n + 1, n ) *ξn+1 ) n∈Z .

(2.3)

Ta có:
KerD = {( xn )n∈Z : xn = U ( n, m ) xm ; ∀m, n ∈ Z , n ≥ m} ,

(2.4)

KerD* = {(ξ n )n∈Z : ξ m = U ( n, m ) * ξ n ; ∀m, n ∈ Z , n ≥ m} .

(2.5)

Với mỗi n ∈ Z , ta định nghĩa các không gian con sau:
X n = { x ∈ X : ∃( xk )k∈Z ∈ KerD, x = xn } ,

(2.6)

X n ,∗ = {ξ ∈ X * : ∃ (ξ k )k∈Z ∈ KerD*, ξ = ξ n }.

(2.7)

X* là không gian liên hợp của X, cho các khơng gian con:
Y⊂X
Y* ⊂ X *

,

Ta kí hiệu:
Y ⊥ = {ξ ∈ X * : x, ξ = 0 ∀x ∈ Y }
Y*⊥ = { x ∈ X : x, ξ = 0∀ξ ∈ Y* }

Bổ đề 2.3 Với mọi n ∈¢ và m∈¢ , m ≤ n , các khẳng định sau thỏa:
(i)

d im X n ≤ d im K e rD < ∞

và dim Xn,* ≤ dim D* < ∞ ;

(ii) U ( n, m) X m ⊂ X n , hơn nữa, toán tử U ( n, m) |Xm : X m → X n khả nghịch;

(iii) U ( n, m) * X n,* ⊂ Xm,* , hơn nữa, toán tử U ( n, m ) *| X n ,* : X n,* → X m ,* khả nghịch;
(iv) U ( n, m) X m⊥,* ⊂ X n⊥,* và co dim X n⊥,* = dim X n,* < ∞ ; U ( n, m) * X n⊥ ⊂ X m⊥ và

co dim X n⊥ = dim Xn < ∞ ;
⊥
⊥
(v) X n ⊂ X n,* và X n,* ⊂ X n .

Chứng minh
(i) Theo định nghĩa của
(ii) Cố định

x∈X

m

Xn

và Xn,* thì D là tốn tử Fredholm.

và lấy một dãy ( xk )k∈Z ∈ KerD sao cho

x = xm

.


Từ (2.4), ta có: xn = U ( n, m) xm .
Vì ( xk )k∈Z ∈ KerD nên theo định nghĩa của
Vì

d im X n < ∞

X n thì

U ( n, m) xm ∈ X n .

nên để chứng minh toán tử U ( n, m) |X m : X m → X n khả nghịch, ta chỉ cần chứng minh

U ( n, m) |X m : X m → X n là toàn ánh là đủ.
Thật vậy,
Cố định

x∈X

m

và lấy một dãy ( xk )k∈Z ∈ KerD sao cho

x = xm

. Từ (2.4), ta có:

xn = U ( n, m) xm .
Theo định nghĩa của

X

m

, ta có

xm ∈ X

. Do đó, x = U ( n, m) xm với

m

xm ∈ X

m

và U ( n, m) |Xm : X m → X n

là một đẳng cấu.
(iii) Tương tự như (ii) bằng cách sử dụng (2.5)
⊥
(iv) Với y ∈ X m,* , ta có y, ξ = 0 với mọi ξ ∈ X m,* . Nếu η∈Xn,* thì U ( n, m) *η ∈X m,* (do (iii)) và

U ( n, m ) y,η = y,U ( n, m ) *η = 0 .
⊥
Do đó, U ( n, m) y ∈ X n,* .

Tương tự đối với U ( n, m) * .
(v) Cố định

x∈ X

n

và ξ ∈Xn,* lấy dãy ( xk )k∈Z ∈ KerD và (ξk )k∈Z ∈ KerD * sao cho

x = xn

và

ξ = ξn .

Khi

đó, theo (2.4) và (2.5), ta có:
∞ > ∑ x k , ξ k = ∑ xk , ξ k + ∑ x k , ξ k
k∈Z

k ≥n

k
= ∑ U ( k , n ) xn , ξ k + ∑ x k , U ( n , k ) * ξ n
k ≥n

= ∑ xn ,U ( k , n ) * ξ k + ∑ U ( n, k ) xk , ξ n
k ≥n

k ≥n

= ∑ xn , ξ n + ∑ xn , ξ n = ∑ x, ξ .
k ≥n

k

Do đó, x,ξ = 0 .

□

Đặt X n' ⊂ X n⊥,* là phần bù trực tiếp của không gian con hữu hạn chiều

Xn

trong X n⊥,* ,

trực tiếp của không gian con hữu hạn chiều X n⊥,* trong X. Khi đó, ta có:

X = X n⊥,* ⊕ Yn = X n ⊕ X n' ⊕ Yn , n ∈¢.

(2.8)

Ta định nghĩa khơng gian con đóng của l p ( ¢, X ) , p∈[1, ∞) hoặc c0 ( ¢, X ) :
F=

k∈Z

{( y )

n n∈¢

}

: y n ∈ X n⊥,* , n ∈ ¢ .

Bổ đề 2.4 F là D – bất biến và

D |F

là toàn ánh trên F.

(2.9)

Yn

là phần bù


⊥
⊥
⊥
Nếu yn ∈X n,* và yn−1 ∈ X n−1,* thì yn −U ( n, n −1) ∈X n,* theo (iv) của Bổ đề 2.3 và DF ⊂ F. Để chứng minh

D |F

là toàn ánh, đầu tiên ta chứng minh F ⊂ Im D . Vì D là tốn tử Fredholm nên miền giá trị của nó

đóng. Do đó, ImD là tập hợp các dãy y thỏa y,ξ = 0 với mọi dãy ξ ∈ Ker D * . Vì thế, ta chỉ cần
chứng minh rằng y ⊥ ξ với mọi dãy y = ( yn )n∈Z ∈F và ξ ∈ Ker D * .
⊥
Nếu y = ( yn )n∈Z ∈F thì yn ∈X n,* theo định nghĩa của F. Và điều khẳng định đã được chứng minh.

Tiếp theo, cố định y = ( yk )k∈Z ∈F ⊂ Im D và tìm dãy x = ( xk ) k∈Z ∈ l p ( Z , X ) sao cho D x = y hay với
mỗi n ∈ Z và mọi k ∈ N thì:
xn = U ( n, n − 1) xn −1 + yn = U ( n, n − 1) U ( n − 1, n − 2 ) xn −2 + yn −1  + yn

k −1

= ... = U ( n, n − k ) xn −k + ∑ U ( n, n − j ) yn − j .
j =0

Để chứng minh

D |F

⊥
toàn ánh trên F, ta cần chứng minh xn ∈X n,* với mỗi n ∈ Z .

Cố định ξ ∈Xn,* và lấy một dãy (ξk )k∈Z ∈ KerD* sao cho ξ

= ξn .

Theo (2.5), ta có U ( n, n − k ) *ξn = ξn−k .
⊥
Vì ( yk )k∈Z ∈F nên theo Bổ đề 2.3 (iv), ta có U ( n, n − j ) yn− j ∈ X n,* và

U ( n, n − j ) yn− j , ξ n = 0 .

Khi đó:
xn , ξ n = xn− k ,U ( n , n − k ) * ξ n +

k −1

∑ U ( n, n − j ) y
j=0

n− j

,ξn

= xn−k ,ξn−k → 0 khi k → ∞ vì xn−k → 0 khi k → ∞ .
Do đó, xn ,ξ = 0 .

□

'
Ta biết X0 là phần bù trực tiếp của

X0

⊥
trong X 0,* , xác định không gian con đóng

F0 =

Gọi

D 0 = D |F

xác định trên F với

Bổ đề 2.5 Tốn tử

D 0 khả

{( x )

n

n∈¢

F0

của F như sau:

}

∈ F : x 0 ∈ X 0' .

d o m D 0 = F0 .

nghịch trên F, nghĩa là với mỗi

( zn )n∈¢ ∈F ,

tồn tại duy nhất dãy

( xn )n∈¢ ∈F0 sao cho D ( xn )n∈¢ = ( zn )n∈¢ .
Chứng minh
Theo Bổ đề 2.4, với mỗi z = ( zn )n∈Z ∈F thì tồn tại một dãy y = ( y n )n∈Z ∈ F sao cho
Dy = z


⊥
Theo định nghĩa của F, ta có yn ∈X n,* .
⊥
Sử dụng sự phân tích X0,* = X0 ⊕ X ' , biểu diễn

Theo định nghĩa của
Đặt: x n

với

tồn tại dãy (ωn )n∈Z ∈ KerD sao cho

X0 ,

= yn − ω n , n ∈ Z

y0 = y + y ' ,

y∈X

ω0 = y

0

'
và y ' ∈X0 .

.

.

⊥
⊥
Vì yn ∈X n,* và ωn ∈X n ⊂ X n,* (theo Bổ đề 2.3) nên ta suy ra x = ( xn )n∈Z ∈F .

'
Nhưng x0 = y0 −ω0 = y0 − y = y ' ∈X0 . Do đó,

x ∈ F0 .

Vì (ωn )n∈Z ∈ KerD nên ta cũng có D x = D y = z .
Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử rằng
Theo định nghĩa của

Xn

ta có

xn ∈ X n

x ∈ F0 và

x ∈ KerD .

với mọi n ∈ Z nên

x0 ∈ X 0 .

'
Nhưng ( xn )n∈Z ∈ F0 nghĩa là x0 ∈X0 .

Vì x ∈ KerD nên theo (2.4) ta suy ra xn = U ( n,0) x0 = 0 với n ≥ 0 .
Cũng theo (2.4), ta để ý rằng 0 = x0 = U ( 0, n ) xn với n<0.
Theo Bổ đề 2.3 (ii), U ( 0, n) |Xn : X n → X 0 , n < 0 , khả nghịch và do đó

x n ∈ X n suy

ra

xn = 0

với n < 0 . □

⊥
Mệnh đề 2.6 Tồn tại một họ {Pn}n∈Z gồm các phép chiếu xác định trên X n,* sao cho sup Pn < ∞ , M>1
n∈Z

và α > 0 thỏa:
(i) Nếu n ≥ m > 0 hoặc 0 ≥ n ≥ m thì
⊥
PU
n ( n, m) x = U ( n, m) Pm x ∀ x ∈ X m,*

Với thu hẹp U ( n, m )

Im Pm

(2.10)

: Im Pm → Im Pn , ta có:
U ( n, m )

Im Pm

≤ Me

−α ( n − m )

(2.11)

'
'
⊥
'
(ii) Nếu n > 0 ≥ m và x ∈ X m ,* thì U ( n, m) Pm x = PU
n ( n,0) y0 với y0 ∈X0 là phần hợp thành của
⊥
y = U ( 0, m) x trong biểu diễn: y = y0 + y0' , y0 ∈X0 ứng với tổng trực tiếp X0,*
= X0 ⊕ X0' .

(iii) Nếu n ≥ m > 0 hoặc 0 ≥ n ≥ m thì
thu hẹp U ( n, m )

KerPm

: KerPm → KerPn là toán tử khả nghịch và

(U ( n , m )

KerPm

)

−1

≤ Me

−α (n −m )

;

(iv) Nếu n > 0 ≥ m thì tốn tử nút thu gọn N ( n, m) định bởi
N ( n, m ) = ( I − Pn )U ( n, m )

là toàn ánh với KerN ( n, m) = X m .

KerPm

: KerPm → KerPn


Chứng minh
Gọi T là tốn tử tuyến tính đóng trên F có

d o m T = F0

định bởi:

T : ( xn ) n∈Z a (U ( n, n −1) xn−1 )n∈Z thỏa

D0 = I − T

.

−1
Theo định lý phổ, toán tử ( λ I − T ) bị chặn trên F, với λ ∈ ρ (T ) .

Với mỗi λ ∈ T, gọi V ( λ ) là phép đẳng cự trên F định bởi:

( x n )n∈Z

a ( λ n xn )

n∈Z

.

Khi đó:
V ( λ −1 ) TV ( λ ) = λ −1T ,| λ |= 1

(2.12)

Do đó, σ (T ) = T.σ (T ) , nghĩa là σ (T ) bất biến.
Vì 1∈ ρ (T ) theo Bổ đề 2.5 nên σ (T ) I T = ∅ .
Xét phép chiếu Riesz: P = ( 2π i ) −1

∫ (λ − T )
λ

−1

dλ

với T xác định trên F ứng với phần σ (T ) thuộc đĩa

| | =1

đơn vị:

σ (T |ImP ) = σ (T ) I{λ ∈£ :| λ |< 1}
Ta thấy P là toán tử bị chặn trên F và

Im P ⊂ F 0

(2.13)

vì ( λ I − T )

−1

( xn )n∈Z ∈ domT = F0 với mỗi ( xn )n∈Z ∈ F

và λ ∈T .
Hơn nữa, toán tử TP xác định trên F là bị chặn trong khi PT chỉ xác định trên F0, tuy nhiên

TP ⊃ PT , nghĩa là:

TP ( xn )n∈Z = PT ( xn )n∈Z với mọi ( xn )n∈Z ∈F0 .
(2.14)
Cũng theo (2.13), sprad (T |Im P ) < 1 .
Thu hẹp

T | K er P

là một toán tử xác định trên KerP với

d o m T | K e r P = K e r P I F 0 và

σ (T |KerP ) = σ (T ) I {λ ∈ £ : λ > 1} .

Đặc biệt,
Lấy

α

T | K er P

(

khả nghịch trên KerP và sprad (T |KerP )

−1

) <1.

bất kì thỏa:

{

(

0 < α < − ln max sprad (T |Im P ) , sprad (T |KerP )

−1

)}

Do đó, tồn tại M ≥1 thỏa:

(T |Im P )

k

≤ Me−α k và ( T |KerP )

−k

≤ Me−αk , k ∈ Z+ .

(2.15)


⊥
Tiếp theo ta chứng minh tồn tại một họ các phép chiếu {P} xác định trên X n,* thỏa sup Pn < ∞ và
n∈Z

P = diag [ Pn ] ,
n∈Z

nghĩa là với mỗi ( xn )n∈Z ∈F , ta có:

P ( xn )n∈Z = ( Pn xn ) n∈Z .
Thật vậy, từ (2.12) và biểu thức tích phân P ta suy ra V ( λ −1 ) PV ( λ ) = P với mọi λ ∈T .
Vì P giao hoán với mọi họ {V ( λ ) : λ = 1} nên P là toán tử chéo, nghĩa là P = diag [ Pn ].

n∈Z

Các toán tử Pn được xác định như sau:
⊥
Cố định x ∈Xn,* và định nghĩa

Pn x

như là phần tử thứ n của dãy P( x ⊗en ) .

Chú ý rằng sup Pn = P < ∞ .
n∈ Z

⊥
Cố định m∈ Z , lấy tùy ý x ∈ X m ,* và đặt

Chú ý rằng

x ∈ F0 và

x ∈ X 0' . Nếu

x ∈ F0

x = x ⊗ em

.

thì từ (2.14) suy ra:

TPx = U ( m +1, m) Pm x ⊗ em+1 = PTx = Pm+1U ( m +1, m) x ⊕ em+1
'
Do đó, nếu x ∈ X 0 thì U ( m +1, m) Pm x = Pm+1U( m +1, m) x .

Nếu

n > m

thì U ( n, m) = U ( n, m +1)U ( m + 1, m) .

Điều này suy ra (2.10)
Với

x = x ⊗ em

j
, ta thấy rằng T x = U ( m + j, m) x ⊗ em+ j ∈F0 , j = 0,1,.., n − m với n ≥ m > 0 hoặc

'
0 > n ≥ m hoặc n = 0 ≥ m và U ( 0, m) x ∈X 0 .

Khi đó, (2.15) suy ra (2.11) và (i) trong Mệnh đề 2.6 được chứng minh.
Bổ đề 2.7 Các khẳng định sau thỏa:
X n ⊂ K erPn

với n ≤ 0 và

X

n

⊂ Im Pn

với n > 0 .

(2.16)

Chứng minh
Theo (2.6) và (2.4), nếu

x∈ X

n

thì tồn tại một dãy ( xn ) n∈Z ∈ l p ( Z , X ) thỏa

xn = U ( n, m) xm với mọi n ≥ m ∈ Z .
Ta thấy: P ( xn ) n∈Z ∈ Im P ⊂ F0 ∀n ∈ N.
k
Nếu ( yn )n∈Z = T ( Pn xn )n∈Z , với yn = yn ( k ) thì yn = U ( n, n − k ) Pn−k xn−k .

Từ (2.10), ta có: nếu n − k > 0 hoặc 0 ≥ n thì

yn = U ( n, n − k ) Pn−k xn−k = PU
n ( n, n − k ) xn−k .
Nhưng ( xn )n∈Z ∈ KerD và do đó U ( n, n − k ) xn−k = xn . Vì vậy,

x = xn

và

y n = Pn x n

với n > k hoặc 0 ≥ n .

(2.17)

Theo (2.15), ta thấy:

lim ( yn )n∈Z
k→∞

lp

= lim T k ( Pn xn ) n∈Z
k→∞

lp

=0.

Từ (2.17), ta có:

( yn )n∈Z
Vì thế,

Pn x n = 0

, nghĩa là

X n ⊂ K e rPn

p
lp

= ∑ yn ≥ ∑ yn
p

n∈Z

n≤0

T | K er P

= ∑ Pn xn .
p

n≤0

với n ≤ 0 .

(( I − P ) x )

Để chứng minh ý thứ hai của (2.16), ta chú ý rằng
Vì

p

n

n n∈Z

∈ KerP .

khả nghịch trên KerP và bất đẳng thức thứ hai của (2.15) thỏa nên với mỗi k ∈ N , tồn tại

một dãy ( yn )n∈Z ∈F0 I KerP , với yn = yn ( k ) sao cho
T k ( yn )n∈Z = ( ( I − Pn ) xn )n∈Z và
lim ( lim yn ) n∈Z
k →∞

lp

= lim ( T |KerP )

−k

k →∞

(( I − P ) x )
n

n n∈Z
lp

=0

(2.18)

Sử dụng đẳng thức xn = U ( n, m) xm và (2.10), ta thấy nếu n − k > 0 hoặc nếu 0 ≥ n nên phần tử thứ n
của dãy T k ( yn )n∈Z = ( ( I − Pn ) xn )n∈Z bằng

U ( n, n − k ) yn−k = ( I − Pn )U ( n, n − k ) xn−k

= U ( n, n − k )( I − Pn−k ) xn−k

Mặt khác, yn−k − ( I − Pn−k ) xn−k ∈ KerU ( n, n − k ) .
Suy ra:

yn−k − ( I − Pn−k ) xn−k = 0 với n > k .
(2.19)
Ta viết:

( yn )n∈Z

p
lp

= ( yn−k ) n∈Z

p
lp

≥ ∑ yn−k
n>k

Từ (2.18) suy ra: ( I − Pn ) xn = 0 , nghĩa là,

p

= ∑ ( I − Pn−k ) xn−k
n>k

X n ⊂ K erPn , n > 0

p

= ∑ ( I − Pn ) xn
n>0

.

Ta biết ( yn )n∈Z ∈KerP và do đó yn−k − ( I − Pn−k ) xn−k ∈ KerPn−k , n > k .
Vì thế, ta chỉ cần kiểm tra KerU ( n + k , n) I KerPn = {0} , ∀n > k, ∀k > 0 là đủ.
Nếu n > 0 và x ∈ KerU ( n + k , n ) I KerPn thì dãy

x = x ⊗ e n ∈ K e rP I F0

.

Với j ∈ N , ta có T j x = U ( n + j, n) x ⊗en+ j . Do đó, T k x = 0 vì U ( u + k, n) x = 0 .
Từ bất đẳng thức trong (2.15), ta suy ra:

p


0 = T k x ≥ M −1e−αk x l = M −1eαk x
lp

p

Do đó, (2.19) đã được chứng minh và ta đã chứng minh xong kết luận của (2.16) và Bổ đề 2.7.
Để chứng minh (ii) trong Mệnh đề 2.6, trước hết ta xét n = 1 và m = 0 . Chúng ta có thể áp dụng
'
(2.14) đối với dãy ( xn )n∈Z = x ⊗e0 chỉ khi x ∈ X 0 và nhận được:
'
U (1,0) P0 x = PU
1 (1,0) x với x ∈ X 0 . Điều này suy ra: nếu n > m = 0 thì
'
U ( n,0) P0 x = PU
n ( n,0) x với mọi x ∈ X 0 .

(2.20)

Tiếp theo, ta xét trường hợp n > 0 ≥ m :
'
⊥
Cố định x ∈ X m ,* và đặt y = y0 + y0 , với

Ta biết:

P0 y 0 = 0

y0 ∈ X 0

'
'
và y0 ∈X0 .

theo (2.16)

Khi đó, từ (2.20), ta kết luận :
U ( n, m ) Pm x = U ( n,0 ) P0 ( y0 + y0' ) = U ( n,0 ) P0 y0' = PU
( n,0 ) y0' .
n

Để chứng minh (iii) của Mệnh đề (2.10), ta để ý rằng theo bất đẳng thức thứ hai trong (2.15) ta có:

(T |KerP ) ( xn )n∈Z
−k

F

≤ Me−αk ( xn ) n∈Z .
F

j
Vì T ( xn ) n∈Z ∈ KerP I F0 với j = 0,1,..., k − 1 , nên ta có:

T k ( x n )n∈Z

F

≥ M − 1eα k

( xn )n∈Z F .

Đặc biệt:

T j ( x ⊗ em ) = U ( n + j, m) x ⊗ em+ j ∈F0 nếu và chỉ nếu m > 0 hoặc m + j < 0 hoặc m = − j và
U ( 0, − j ) x ∈ X 0' .
Điều này suy ra:
U ( m + k , m ) x ≥ M −1eα k x nếu một trong ba điều kiện sau được thỏa:

a) m > 0 , k ∈ Z + , x ∈ K er Pm ;
b) m < 0, k = 0,1, ..., − m , x ∈ K erPm ;
'
c) m = 0, k ∈ Z+ , x ∈X0 I KerP0 .

Tiếp theo ta chứng minh (iv) của Mệnh đề 2.6
Ta xét toán tử nút:

N (1,0) = ( I − P1 )U (1,0) |KerP0 : KerP0 → KerP1 .
Ta biết: KerN (1,0) = { x ∈ KerP0 : U (1,0) x ∈ Im P1}
Ta chứng minh: X 0 = KerN (1,0) . Thật vậy:


U (1,0)( X 0 ) = X1 ⊂ Im P1 theo Bổ đề 2.3 (ii) và (2.16), điều này suy ra X 0 ∈KerN (1,0)
Để chứng minh chiều ngược lại, ta giả sử

x ∈ K e r P0

và U (1,0) x ∈Im P1 .

'
⊥
'
Sử dụng X0,* = X0 ⊕ X0 , phân tích x = x0 + x0 . Khi đó:

U (1,0) x0' = U (1,0) x − U (1,0) x0 ∈ Im P1 vì U (1,0) x ∈ Im P1 (theo giả thuyết) và
U (1,0) x0 ∈X1 ⊂ Im P1 theo Bổ đề 2.3 (ii) và (2.16).
'
'
'
Ngoài ra, x0 ∈KerP0 I X 0 vì x0 = x − x0 và

x 0 ∈ X 0 ⊂ K er P0

x ∈ K e r P0

(theo giả thuyết) và

theo (2.16).

'
Do đó, x0 ⊗e0 ∈KerP I F0 và từ (2.15), với k ∈ N , ta có:

Nhưng theo (2.11), với U (1,0) x0 ∈ImP1 suy ra x0' = 0 và do đó
'

x = x0 ,

chứng tỏ

KerN (1,0) ⊂ X 0 .
Tiếp theo ta chứng tỏ rằng với mọi y ∈KerP1, ∃ x ∈KerP0 :( I − P1 )U (1,0) x = y .
Lấy

y ⊗ e 1 ∈ K er P

và tìm ( xn )n∈Z ∈ KerP I F0 sao cho T ( xn )n∈Z = y ⊗e1 .

'
Đặc biệt, U (1,0) x0 = y với x0 ∈KerP0 I X 0 .

Khi đó, y = ( I − P1 ) y = ( I − P1 )U (1,0) x0 và N (1,0) là toàn ánh từ

K er P0

đến

K e r P1

với

KerN (1,0) = X 0 .
Để hoàn thành chứng minh (iv) trong Mệnh đề 2.6 với n > 0 ≥ m , ta để ý rằng:

U ( n, m) = U ( n,1)U (1,0)U ( 0, m) và (2.10) suy ra:

( I − Pn )U ( n, m )( I − Pm ) = ( I − Pn )U ( n,1)( I − P1 ) N (1,0 ) ( I − P0 )U ( 0, m )( I − Pm )
Theo (iii), các toán tử trong ngoặc khả nghịch, và trong tường hợp tổng quát n > 0 ≥ m trong (iv)
suy ra từ trường hợp n = 1 và m = 0 đã được chứng minh ở trên.
Với k ≥ l , k , l ∈ ¢ , ta định nghĩa một họ tiến hóa bị chặn lũy thừa

□

{U ( k , l )}
*

k ≥l

trên X * bởi

U* ( k , l ) = U ( −l, −k ) * U, gọi D* : (ξ k ) k∈¢ a (ξ k − U * ( k , k − 1) ξ k −1 ) k∈¢ là tốn tử sai phân tương ứng.
Ta cũng định nghĩa toán tử

D#

theo qui tắc:
D# : ( ξ n )n∈¢ a (ξ n − U ( n + 1, n ) * ξn +1 )n∈¢

D#

1 1
xác định trên khơng gian lq,* = lq ( ¢, X *) , q ∈ (1, ∞) , + = 1 nếu D xác định trên l p , p ∈ (1, ∞ ) và
p q

khi đó,
D#

D# = D * .

xác định trên khơng gian c0,* = c0 ( ¢, X *) nếu D xác định trên khơng gian l1 và khi đó, ( D# ) * = D .


D#

xác định trên không gian l1,* nếu D xác định trên

Nếu j : (ξk )k∈¢ a (ξ−k )k∈¢ và tốn tử

D*

c0

và khi đó,

D# = D * .

được xác định trên cùng một khơng gian dãy như

thì

D#

D* = jD# j−1 .
Vì D là Fredholm nếu và chỉ nếu D* là Fredholm nên ta suy ra
Fredholm. Hơn nữa,

in d D * = i n d D

Áp dụng (2.4) – (2.5) cho

D*

D#

là Fredholm và do đó,

D*

là

.

và {U * ( k , l )}k ≥l và chú ý rằng U* ( k , l ) * = U ( −l, −k ) xác định trên

khơng gian phản xạ X. Khi đó, với dãy (ξk )k∈¢ và ( zk )k∈¢ từ những khơng gian dãy tương ứng, ta có:
K er D* =

{(ξ )
k

K er ( D* ) * =

k∈¢

{( z )
k

}

: ξ k = U * ( k , l )ξ l , k ≥ l ,
k ∈¢

}

: zl = U * ( k , l ) z k , k ≥ l .

(2.21)

Với K ∈ ¢ , ta giới thiệu các khơng gian con Zk ,* ⊂ X *, Zk ⊂ X như sau:

{

}

Z k ,* = ξ ∈ X * : ∃ (ξ l )l∈¢ ∈ KerD* , ξ = ξ k ,

{

Z k = z ∈ X : ∃ ( z l )l∈¢ ∈ Ker ( D* ) *, z = z k

}

(2.22)

Bổ đề 2.8
Với mỗi k ∈¢ , ta có

¢ k = X −k

và ¢k ,* = X −k,* .

Chứng minh
Theo các biểu thức (2.21) và (2.22),

z ∈ Zk

nếu và chỉ nếu

z = zk

với dãy ( zl )l∈Z thỏa

zl = U* ( k , l ) * zk = (U ( −l − k ) *) * zk = U ( −l , −k ) zk ∀k ≥ l .
Theo các biểu thức (2.4) và (2.6),

x∈X

m

nếu và chỉ nếu

x = xm

với dãy ( xn ) n∈Z thỏa

xn = U ( n, m) xm ∀n ≥ m .
Đặt

z−n = xn , n ∈ Z

, do đó:

Z k = X −k

.

Việc chứng minh Zk,* = X −k ,* là tương tự.

□

{

Áp dụng Mệnh đề 2.6 cho họ tiến hóa {U * ( k , l )}k ≥l : một lưỡng phân của họ thu hẹp U* ( k, l ) |Zl⊥

}

k ≥l

,

với k ≥ l > 0 và 0 ≥ k ≥ l giống như Bổ để 2.5 và tính chất tồn ánh của toán tử nút thu gọn tương
ứng với họ thu hẹp này. Sử dụng Bổ đề 2.8 và đặt n = − l và m = −l với n ≥ m trong ¢ , ta có các

{

kết luận sau đối với họ U ( n, m) *|X n⊥

}

n≥m

như sau:

⊥
Mệnh đề 2.9 Tồn tại một họ {Pn ,*}n∈¢ gồm các phép chiếu định nghĩa trên X n sao cho sup Pn,* < ∞

n∈¢

và các hằng số M ≥ 1, α > 0 thỏa:


(i) Nếu n ≥ m ≥ 0 hoặc 0 > n ≥ m thì

Pm,*U ( n, m) *ξ = U ( n, m) * Pn,*ξ với mọi ξ ∈Xn⊥ .
Với thu hẹp U ( n, m) *|Im Pn : Im Pn,* → Im Pm,* , ta có:
U ( n , m ) * |Im Pn ,* ≤ Me

− α ( n− m )

;

⊥
(ii) Nếu n ≥ 0 > m và ξ ∈Xn thì

U ( n, m) * Pn,*ξ = Pm,*U ( 0, m) *ς 0' ,

(2.23)

'
'
'
với ς 0 ∈ X 0,* là phần bù của ς = U ( n,0) *ξ trong sự biểu diễn ς = ς 0 ⊕ ς 0 ,ς 0 ∈ X 0,* , tương ứng với
⊥
'
tổng trực tiếp X0 = X0,* ⊕ X0,* .

(iii) Nếu n ≥ m ≥ 0 hoặc 0 > n ≥ m thì thu hẹp U ( n, m ) *|KerPn ,* : KerPn ,* → KerPm,* là toán tử khả nghịch
và

(U ( n , m )* |

K erPn ,*

)

−1

≤ Me

−α ( n− m )

,

(2.24)

(iv) Nếu n ≥ 0 > m thì tốn tử nút thu gọn N* ( n, m) được định nghĩa như sau:
N* ( n, m ) = ( I − Pm,* )U ( n, m ) * |KerPn ,* : KerPn ,* → KerPm ,*

(2.25)

là toàn ánh với KerN* ( n, m) = X n,*.
(v) Các khẳng định sau thỏa:

X n,* ⊂ KerPn,* với n ≥ 0 và Xn,* ⊂ ImPn,* với n < 0 .

(2.26)

Tính bất biến của phần bù trực tiếp:
Từ tổng trực tiếp: X = Xn⊥,* ⊕Yn , ta suy ra:

(Yn ) * = ( X ⊥ )
n ,*

⊥

= X n,* , n ∈¢

(2.27)

Theo Bổ đề 2.3 (i), dim X n,* < ∞ và do đó Xn,* có phần bù trực tiếp trong X * .
Gọi Qn,* là một phép chiếu bị chặn trên X * thỏa ImQn,* = Xn,* .
Theo Bổ đề 2.3 (iii), ta có: U ( n, m ) * ( X n,* ) ⊆ X m ,* , n ≥ m hoặc

U ( n, m) * Qn,* = Qm,*U ( n, m) * Qn,* .
Chú ý rằng

Yn

(2.28)

⊥
là phần bù trực tiếp tùy ý của của không gian con X n,* có đối chiều hữu hạn trong X

và nói chung U ( n, m)( Ym ) ⊄ Yn . Áp dụng công thức (2.2) với P = Qm,* và Q = Qn,* với A = U ( n, m) *

trong sự phân tích X * = ImQm,* ⊕ KerQm,* và X* = ImQn,* ⊕ KerQn,* , ta sẽ đồng nhất thu hẹp
U ( n, m) *| X n,* và toán tử U ( n, m) *Qn,* : X n,* → X m,* . Đây là toán tử khả nghịch, hữu hạn chiều.

Theo (2.27) và (2.28), (U ( n, m ) * Qn,* ) * = Qn*,*U ( n, m ) Qm* ,* : Ym → Yn .
Nếu n ≥ 0 thì X n,* ⊂ KerPn,* theo (2.26) và do đó (2.24) suy ra:
U ( n, m ) * ξ ≥ M −1e

α ( n −m )

Do đó, (U ( n , m ) * Q n ,* )− 1

L ( X m ,* , X n ,* )

ξ ∀ξ ∈ X n,* .

(2.29)

≤ M e −α (n − m ) .

Lấy liên hợp (2.28) và sử dụng (2.27), ta kết luận rằng toán tử:

Qn*,*U ( n, m) = Qn*,*U ( n, m) Qm* ,* : Ym → Yn

(2.30)

khả nghịch, và

( Q U ( n, m) Q )
*
n,*

với

Yn

*
m,*

−1
L(Yn ,Ym )

≤ Me−α( n−m) , n ≥ m ≥ 0,

(2.31)

⊥
là phần bù trực tiếp của X n,* trong X.

⊥
Tiếp theo, ta đồng nhất phần bù trực tiếp của X n,* trong X, n ≥ 0 , mà U ( n, m) − bất biến. Cố định
⊥
bất kỳ sao cho X0,* ⊕Y0 = X . Với mỗi n ≥ 0 , ta định nghĩa

Wn = {U ( n, 0 ) y0 : y0 ∈Y0 } .

Bổ đề 2.10 Với mọi n ≥ m ≥ 0 trong
(i) Khơng gian con

Wn

¢+ ,

các khẳng định sau thỏa:

đóng;

⊥
(ii) X n,* ⊕ Wn = X ;

(iii) U ( n, m) Wm ⊆ Wn , n ≥ m ≥ 0 ;
(iv) Thu hẹp U ( n, m) |Wm : Wm → Wn khả nghịch và

(U ( n, m ) | )
Wm

−1

≤ Me −α ( n−m ) .

(2.32)

Chứng minh
(i) Các đẳng thức (2.30) và (2.31) với n ≥ m = 0 suy ra :
*
∀y0 ∈ Y0 : M −1eα n y0 ≤ Qn*,*U ( n,0 ) Q0,*
y0 = Qn*,* U ( n,0 ) y0

(2.33)

Do đó, U ( n,0) y0 ≥ c y0 với c >0, và (i) thỏa.

(ii) Để chứng minh X n⊥,* I Wn = {0} , ta giả sử x = U ( n,0) y0 ∈ X n⊥,* với

y 0 ∈ Y0

Vì U ( n,0) *: X n,* → X 0,* là đẳng cấu theo Bổ đề 2.3 (iii), nếu ξ0 ∈X0,* thì

.

Y0


ξ0 = U ( n,0) *ξn với ξn ∈Xn,* .
⊥
Vì x ∈Xn,* , với mỗi

ξ0 ∈ X 0

ta có:
y0 , ξ 0 = y0 ,U ( n,0 ) * ξ n = U ( n,0 ) y0 , ξ n

⊥
Do đó, y0 ∈ X 0,* I Y0 và

y0 = 0 = x

x, ξ n = 0 .

.

⊥

⊥
Để chứng minh ( Wn + X n⊥,* ) = Wn⊥ I X n ,* = {0} , ta giả sử rằng ξn ∈Wn I X n,* .

Khi đó, với mỗi

y 0 ∈ Y0

và x = U ( n,0) y0 ∈Wn , ta có:
0 = ξ n , x = ξ n ,U ( n,0 ) y0 = U ( n,0 ) * ξ n , y0 .

Do đó, U ( n,0 ) * ξn ∈ (Y0 ) .
⊥

Mặt khác, ξn ∈Xn,* và theo Bổ đề 2.3 (iii) suy ra U ( n,0) *ξn ∈ X 0,* .
Do đó, U ( n,0) *ξn = 0 và

ξn = 0

theo Bổ đề 2.3 (iii)

Vậy, ta chứng minh xong (ii).
(iii) Nếu x = U ( m,0) y0 ∈Wm thì U ( n, m) x = U ( n,0 ) y0 ∈Wn .
(iv) Theo (ii), ta có: ( Wn ) * = ( X n⊥,* ) = X n ,* .
⊥

Theo (iii), ta đang trong trường hợp khi mà U ( n, m ) * |X n ,* : X n,* → X m,* là toán tử liên hợp của toán tử

U ( n, m) |Wm : Wm → Wn .
Theo (2.29) suy ra (2.32) vì các tốn tử khả nghịch thì chuẩn của các nghịch đảo là bằng nhau. □
⊥

Ta xét tổng trực tiếp X * = X n ⊕ Yn,* , n ≤ 0 , với Yn,* là một phần bù trực tiếp bất kỳ U ( n, m) * − bất
⊥
⊥
biến của X n (có đối chiều hữu hạn) trong X * . Ta có thể đồng nhất (Yn ,* ) * = ( X n⊥ ) = X n và định

nghĩa Wn,* = {U ( 0, n ) * ξ0 ∈ Y0,*} , n ≤ 0 .
Bổ đề 2.11 Với mọi m ≤ n ≤ 0 trong

¢− ,

các khẳng định sau thỏa:

(i) Khơng gian con Wn,* đóng;
(ii) X n⊥ ⊕ Wn,* = X *;
(iii) U ( n, m) *Wn,* ⊆ Wm,* ;
(iv) thu hẹp U ( n, m) *|Wn,* : Wn ,* → Wm,* khả nghịch và

(U ( n , m )* | )
Wn ,*

Chứng minh
Ta có:

−1

≤ Me

−α ( n− m )

.

X n ⊂ K erPn , n ≤ 0

trong (2.16) và Mệnh đề 2.6 (iii) suy ra :

U ( 0, n) |Xn : X n → X 0 khả nghịch với (U ( 0, n ) | X
Với mọi phép chiếu bị chặn

Qn

trên X với

n

)

−1

≤ Meα n , n ≤ 0 .

Im Q n = X

n

, ta có:

U ( 0, n ) |X n = U ( 0, n ) Qn = Q0U ( 0, n) Qn . Qua toán tử liên hợp , (2.33), ta kết luận:
U ( 0, n ) * ξ ≥ c ξ ∀ξ ∈ Y0,* = ( X 0 ) *.

Điều này suy ra (i).
Các chứng minh (ii) – (iv) tương tự như Bổ đề 2.10

□

Định lý 2.12 Cho X là không gian Banach phản xạ, toán tử D là Fredholm trên l p ( Z , X ) , p∈[1, ∞)
hoặc trên c0 ( Z, X ) , khi đó, họ tiến hóa rời rạc {U ( n, m)}n≥m , n, m ∈Z có lưỡng phân lũy thừa

{P }

+
n n ≥0

trên

Z+

và { Pn− }n≤0 trên

Z− .

Chứng minh
Với n > 0 :
Theo Mệnh đề 2.6 và Bổ đề 2.10 (ii) ta có:

X = X n⊥,* ⊕ Wn = Im Pn ⊕ KerPn ⊕ Wn , n > 0 .
+
Gọi Pn là phép chiếu trên X với

ImPn+ = ImPn và KerPn+ = KerPn ⊕ Wn, n > 0

(2.34)

+
+
Với n ≥ m > 0 : nếu x ∈ Im Pm thì U ( n, m) x ∈ Im Pn theo (2.10).
+
Nếu x = y + z ∈ KerPm với

y ∈ K e rPm , z ∈ W m

, thì

U ( n, m) x = U ( n, m) y + U ( n, m) z ∈ KerPn+ theo (2.10) và Bổ đề 2.10 (iii). Điều này suy ra:
U ( n, m) Pm+ = Pn+U ( n, m) với n ≥ m > 0 .
Từ (2.11) ta có:

U ( n, m) |ImP+ = U ( n, m) |ImPm ≤ Me−α( n−m) , n ≥ m > 0 .
m

Ma trận biểu diễn (2.2) của toán tử

A = U ( n, m ) |KerP +
m

trong

KerPm+ = KerPm ⊕ Wm

và

KerPn+ = KerPn+ ⊕ Wn có dạng chéo (theo (2.10) và Bổ đề 2.10 (iii)) với các ma trận con chéo hóa
khả nghịch U ( n, m) |KerPm và U ( n, m) |Wm .
Khi đó, tốn tử U ( n, m) |KerPm khả nghịch và nghịch đảo của nó thỏa Mệnh đề 2.6 (iii)
Toán tử U ( n, m) |Wm thỏa (2.27)


(

Do đó, ta có: U ( n , m ) |K erP

+
m

)

−1

≤ Me

−α ( n − m )

với n ≥ m > 0 .

Tiếp theo, ta xét n = 0 :
'
Ta biết X0 là phầ bù trực tiếp của

X0

⊥
trong X 0,* , và

X 0 ⊂ K erP0

⊥
theo (2.16) và KerP0 ⊂ X 0,* theo

Mệnh đề 2.6
Ta ký hiệu:

X% 0 = X0' I KerP0 .
Với mỗi

x ∈ K e r P0

'
⊥
'
, sử dụng sự biểu diễn tổng trực tiếp X0,* = X0 ⊕ X0 , ta viết: x = x0 + x0 với duy nhất

x0 ∈X 0 , x0' ∈X0' .
'
'
Khi đó, x0 = x − x0 ∈ KerP0 và do đó x0 ∈X% 0 .

Do đó, X%0 là phần bù trực tiếp của

X0

trong

K er P0 ,

nghĩa là X0 ⊕ X% 0 = KerP0 .

Ta chứng minh:

U (1,0) : X% 0 → KerP1 là một đẳng cấu.
Thật vậy, nếu
y ∈ K e r P0

x ∈ K e r P1

(2.35)

thì theo tính tồn ánh của tốn tử nút N (1,0) , từ Mệnh đề 2.6 (iv), tồn tại

thỏa N (1,0) y = ( I − P1 )U (1,0) y = x .

Dùng tổng trực tiếp KerP0 = X 0 ⊕ X% 0 để viết

y = y 0 + y% 0

với y0 ∈X 0 , y%0 ∈X% 0 .

Vì KerN (1,0) = X 0 nên ta có:

x = N (1,0) y = N (1,0) y%0 = ( I − P1 )U (1,0) y%0 .
Vì y%0 ∈X% 0 ⊂ KerP0 nên ta có: P0 y% 0

= 0

'
Nhưng y%0 ∈X% 0 ⊂ X0 và (2.20) nên suy ra:

%
0 = U (1,0) P0 y%0 = PU
1 (1,0) y0 .
Do đó, U (1,0) y%0 ∈ KerP1 và U (1,0) y%0 = ( I − P1 )U (1,0) y%0 = x .
Do đó, U (1,0) : X% 0 → KerP1 là toàn ánh.
Tiếp theo, nếu U (1,0) y%0 = 0 với y%0 ∈X% 0 ⊂ KerP0 , thì N (1,0) y%0 = 0 .
Vì KerN (1,0) = X 0 nên theo Mệnh đề 2.6, ta có

y% 0 ∈ X 0

và do đó,

X 0 I X% 0 = {0} .
Ta chứng minh xong (2.35)
+
Định nghĩa một phép chiếu P0 trên X như sau:

y% 0 = 0

vì


ImP0+ = ImP0 ⊕ X0 và KerP0+ = Y0 ⊕ X% 0

(2.36)

+
+
⊥
Sao cho X = ImP0 ⊕ KerP0 theo (2.8) và X 0,* = KerP0 ⊕ Im P0 theo Mệnh đề 2.6

Theo (2.34), ta biết:

ImP1+ = ImP1 và KerP1+ = W1 ⊕ KerP1 .
Chú ý rằng, theo Bổ đề 2.3 (ii) và (2.16), ta có: U (1,0)( X 0 ) = X1 ⊂ Im P1 .
Cũng như:

U (1,0)( Im P0 ) ⊂ Im P1.

(2.37)

Thật vây, theo Mệnh đề 2.6 (ii), ta có:
Nếu

x = P0 x

thì U (1,0) x = U (1,0) P0 x = PU
1 (1,0) y0 ∈ Im P1 .
'

+
+
Do đó, U (1,0) Im P0 ⊂ Im P1 .
+

Ta cũng có: U (1,0)(Y0 ) = W1 ⊂ KerP1 theo Bổ đề 2.10 (iii) và

( )

U (1, 0 ) X% 0 = KerP1 ⊂ KerP1+ theo (2.35).
+
+
Điều này chứng tỏ U (1,0 ) ( KerP0+ ) ⊂ KerP1+ và U (1,0) P0 = P1 U (1,0) .

+
Với n ≥ 2 và x ∈ Im P0 , ta có:

U ( n,0 ) x = U ( n,1) U(1,0 ) x ≤ Me

−α ( n−1)

+
U (1,0 ) x ≤ M ' e −α n x vì U (1,0) x ∈Im P1 .

+
+
Thu hẹp U ( n,0 ) |KerP = U ( n,1) |KerP +U (1,0 ) |KerP là khả nghịch từ KerP0 đến KerPn . Thật vậy,
+
0

+
1

+
0

U ( n,1) |KerP+ : KerP1+ → KerPn+ khả nghịch theo chứng minh về tính lưỡng phân với n ≥1.
1

U (1,0 ) |KerP + : KerP0+ → KerP1+ là tổng trực tiếp của hai toán tử:
0

U (1,0) |Y0 : Y0 → W1 và U (1,0 ) |X% : X% 0 → KerP1 .
0

Toán tử đầu tiên khả nghịch theo Bổ đề 2.10 (iv) và toán tử thứ hai khả nghịch theo (2.35).

(

Ước lượng lũy thừa cho U ( n , 0 ) | K erP

+
0

)

−1

suy ra từ ước lượng cho (U ( n ,1 ) | K erP

+
1

)

−1

Với n ≤ 0 :
Đầu tiên ta xet n < 0 :
Theo Mệnh đề 2.9 và Bổ đề 2.11 (ii), ta có tổng trực tiếp

X * = X n⊥ ⊕ Wn,* = Im Pn,* ⊕ Wn,* , n < 0 .
Gọi Rn,* là phép chiếu trên X * thỏa

Im Rn,* = Im Pn,* và KerRn,* = KerPn,* ⊕ Wn,*, n < 0 .

(2.38)

.