Tác dụng của thế màn chắn lên hiệu suất của phản ứng áp xuất hạt nhân trong plasma

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lý Thị Kim Thoa
TÁC DỤNG CỦA THẾ MÀN CHẮN LÊN HIỆU SUẤT
CỦA PHẢN ỨNG ÁP SUẤT HẠT NHÂN TRONG PLASMA
Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử, hạt nhân và năng lượng cao
Mã số: 604405

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. ĐỖ XUÂN HỘI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn phịng Khoa học cơng nghệ và Sau đại học, Khoa Vật lý
trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã cho tơi có cơ hội tiếp cận những kiến thức khoa học suốt
thời gian học đại học và cao học, đồng thời đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi có thể thực hiện luận văn
này.
Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS. Đỗ Xuân Hội (ĐH Quốc tế, ĐHQG
TP.HCM) đã gợi ý cho đề tài luận văn này và đã tận tình hướng dẫn để tơi có thể hồn thành luận văn.
Nhờ Thầy mà tơi đã học được rất nhiều điều bổ ích, từ phương pháp nghiên cứu một đề tài khoa học,
phương pháp làm việc, cho đến cách trình bày một bài báo khoa học, một luận văn.
Ngồi ra, tơi cũng xin gởi lời cảm ơn thầy Lữ Thành Trung (trường ĐHSP TP.HCM) đã nhiệt
tình giúp đỡ tơi sử dụng phần mềm tin học Maple 13.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 9 năm 2010.
Học viên thực hiện

Lý Thị Kim Thoa


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................................................... 2
2T

T
2

MỤC LỤC ......................................................................................................................................................... 3
2T

T
2

Phần A. Mở Đầu ................................................................................................................................................ 5
2T

T
2

1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................................................................ 5
2T

2T

2. Mục đích đề tài nghiên cứu ........................................................................................................................ 5

2T

2T

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .............................................................................................................. 6
2T

2T

3.1. Đối tượng nghiên cứu .......................................................................................................................... 6
2T

2T

3.2. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................................................. 6
2T

2T

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu .................................................................................. 6
2T

T
2

4.1. Ý nghĩa khoa học ................................................................................................................................ 6
2T

2T

4.2. Ý nghĩa thực tiễn ................................................................................................................................. 6
2T

2T

5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................................................ 6
2T

2T

6. Cấu trúc luận văn ....................................................................................................................................... 6
2T

2T

Chương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân........................................................................................... 8
2T

T
2

1.1. Cấu trúc hạt nhân .................................................................................................................................... 8
2T

2T

1.2. Phản ứng tổng hợp hạt nhân ................................................................................................................... 9
2T

2T

1.3. Mơ hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma) ......................................................... 13
2T

T
2

1.4. Khái niệm thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm ............................................................................. 13
2T

T
2

1.4.1. Thế màn chắn ................................................................................................................................. 13
2T

2T

1.4.2. Hàm phân bố xuyên tâm ................................................................................................................. 14
2T

2T

1.4.3. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Định lí Widom .......................................... 18
2T

T
2

1.5. Hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma ................................................................................. 19

2T

T
2

Chương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc ........................................................................... 22
2T

T
2

2.1. Các kết quả gần đây của thế màn chắn .................................................................................................. 22
2T

2T

2.1.1. Mô phỏng MC cho plasma ............................................................................................................. 22
2T

2T

2.1.2. Biểu thức của thế màn chắn ............................................................................................................ 23
2T

2T

2.2 Biểu thức của thế màn chắn đề nghị ....................................................................................................... 26
2T

2T

2.2.1 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, h1 = 0.25 .................................................................................................. 26
2T

R

R

2T

2.2.2 Đa thức bậc chẵn, bậc 8, h1 tự do .................................................................................................... 29
2T

R

R

2T

2.2.3 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, h1 = 0.25................................................................................................. 33
2T

R

R

T
2

2.2.4 Đa thức bậc chẵn, bậc 12, h1 tự do .................................................................................................. 33

2T

R

R

2T

2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................................................................. 44
2T

2T

Chương 3. Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân ............................................................................. 45
2T

T
2

3.1. Giá trị của H(0) cổ điển ......................................................................................................................... 46
2T

2T

3.1.1 Một số biểu thức h 0 của các cơng trình gần đây ............................................................................... 47
2T

R

RP

P

T
2


3.1.2 Biểu thức đề nghị cho h0 ................................................................................................................. 51
2T

R

R2T

3.2. Giá trị của H(0) lượng tử ....................................................................................................................... 54
2T

2T

3.2.1 Tổng quát ........................................................................................................................................ 54
2T

2T

3.2.2 Một số cơng trình nghiên cứu liên quan đến hiệu ứng lượng tử trong phản ứng áp suất hạt nhân...... 56
2T

T
2

3.2.3. Biểu thức đề nghị cho h0 (Γ, ζ ) ...................................................................................................... 68
2T

2T

KẾT LUẬN ..................................................................................................................................................... 76
2T

T
2

Phần C. Tài liệu tham khảo .............................................................................................................................. 77
2T

2T


Phần A. Mở Đầu

1. Lí do chọn đề tài
Plasma - hay khí ion hóa - là trạng thái thứ tư của vật chất. Phần lớn vật chất trong vũ trụ tồn tại
ở trạng thái này. Trong vật lý plasma, thế màn chắn là đại lượng được nhiều nhà khoa học quan tâm,
bởi nó là một dữ liệu quan trọng để nghiên cứu hiệu suất phản ứng tổng hợp hạt nhân, sự hình thành
những chuẩn phân tử và dạng vạch phổ trong những môi trường đậm đặc, đặc biệt là môi trường
plasma. Trong những môi trường này, thế màn chắn tăng rất nhanh theo mật độ và có khuynh hướng
làm thay đổi tính chất nhiệt động lực của hệ vật lí. Trong plasma liên kết mạnh, khi khảo sát về các
phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra bên trong sao lùn trắng, sao neutron,… hàng rào thế Coulomb giữa
hai hạt nhân giảm đáng kể do hiệu ứng màn chắn của những hạt xung quanh và do đó hiệu suất phản
ứng hạt nhân phải được nhân lên với một thừa số khuếch đại tính theo thế màn chắn ở khoảng cách rất
nhỏ.

Có nhiều kết quả đã đạt được trong những năm gần đây khi tính thế màn chắn trong plasma, đặc
biệt là các mô phỏng Monte Carlo cho ta các giá trị đủ chính xác đối với những khoảng cách khá lớn
giữa các ion. Nhưng đối với những khoảng cách nhỏ, rất quan trọng trong việc tính hiệu suất của phản
ứng hạt nhân ta khơng có kết quả với độ chính xác tương tự, như vậy ta phải dùng phương pháp khác
để tìm thế màn chắn này. Nếu ta xác định được thế màn chắn với khoảng cách gần bằng không thì ta
có thể đánh giá được hiệu suất của phản ứng hạt nhân. Một số cơng trình nghiên cứu gần đây cũng đã
cung cấp các biểu thức giải tích của thế màn chắn ở khoảng cách gần không . Với sự gợi ý của thầy TS.
Đỗ Xuân Hội, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là “Tác dụng của thế màn chắn lên hiệu suất
của phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma”.
2. Mục đích đề tài nghiên cứu
Trong phản ứng tổng hợp hạt nhân, hạt nhân phải có một năng lượng đủ lớn để thắng hàng rào
thế Coulomb giữa hai hạt nhân. Nhưng hàng rào thế Coulomb giữa hai hạt nhân sẽ giảm do ảnh hưởng
của hạt xung quanh, và giảm rất nhanh nếu mật độ mơi trường lớn, do đó q trình tổng hợp hạt nhân
diễn ra dễ dàng hơn, dẫn đến hiệu suất phản ứng tăng. Đề tài này nhằm mục đích tìm hiểu về ảnh
hưởng của những hạt xung quanh lên hiệu suất của phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma đậm đặc.
Mục tiêu cụ thể của đề tài này là xây dựng một hệ thức giải tích cho hệ số khuếch đại của hiệu suất
phản ứng áp suất hạt nhân trong môi trường plasma đậm đặc.


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
- Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc.
- Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Môi trường plasma đậm đặc trong một số thiên thể như sao Lùn trắng, sao Neutron,...
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
4.1. Ý nghĩa khoa học
- Đề tài đề xuất biểu thức giải tích thế màn chắn cho mơi trường plasma đậm đặc.
- Xây dựng công thức cho hệ số khuếch đại của hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân.
4.2. Ý nghĩa thực tiễn

Đề tài này có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành vật lý có học các mơn Vật
Lý Thống Kê hay Phản Ứng Hạt Nhân, để có cơ hội đào sâu những kiến thức liên quan đến tương tác
hệ nhiều hạt, ứng dụng của phân bố thống kê chính tắc, hiệu suất của phản ứng tổng hợp hạt nhân. Khi
thực hiện đề tài tơi có cơ hội tham khảo một số phần mềm tin học, học cách xử lí dữ liệu, và phương
pháp nghiên cứu khoa học.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp lý thuyết:
- Nghiên cứu lý thuyết về thế màn chắn và định lí Widom để xây dựng biểu thức của thế màn chắn.
- Bằng cách sử dụng phần mềm tin học Maple 13 xử lí dữ liệu của mơ phỏng Monte Carlo.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn được trình bày theo thứ tự sau:
Chương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân. Mơ hình khảo sát : Dành cho việc
nhắc lại các kiến thức cơ sở vế cấu trúc hạt nhân và phản ứng tổng hợp hạt nhân, trong đó có giới thiệu
về phản ứng áp suất hạt nhân. Tiếp theo ta xét mơ hình plasma một thành phần (OCP_One Component
Plasma) và các đại lượng có liên quan như thế màn chắn, hàm phân bố xuyên tâm, hiệu suất phản ứng
áp suất hạt nhân.


Chương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc : Trình bày các kết quả gần
đây của thế màn chắn cũng như biểu thức của thế màn chắn đề nghị bởi tác giả luận văn.
Chương 3. Hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân : Khảo sát các biểu thức của hệ
số khuếch đại đề nghị bởi các cơng trình quốc tế gần đây nhất và đề nghị các công thức mới cho hệ số
này cho các mơ hình OCP cổ điển cũng như lượng tử.
Nội dung của phần cuối cùng dành cho kết luận chung của luận văn.


Phần B. Nội Dung Luận Văn
Chương 1. Tổng quan về phản ứng áp suất hạt nhân.

Mơ hình khảo sát

1.1. Cấu trúc hạt nhân
Thí nghiệm tán xạ α trên nguyên tử của Rutherfor đã chứng tỏ sự tồn tại của hạt nhân. Nguyên
tử gồm hạt nhân ở bên trong và các electron chuyển động bên ngoài. Ở mức độ gần đúng nào đó hạt
nhân được xem như là chất điểm, khối lượng rất lớn gần như chiếm toàn bộ khối lượng ngun tử và
chứa tồn bộ điện tích dương của ngun tử.

m hn =m nt − Zm e ≈ m nt
Hạt nhân được cấu tạo từ các nucleon. Có hai loại nucleon:
 Proton, kí hiệu p, có khối lượng m p = 1,67262.10 −27 kg , mang điện tích +e.
 Neutron, kí hiệu n, có khối lượng m n = 1,67493.10 −27 kg , khơng mang điện.
Kí hiệu hạt nhân AZ X , trong đó A là số khối, Z là số proton, N=A-Z là số neutron.
Lực liên kết giữa các nucleon gọi là lực hạt nhân (là lực tương tác mạnh), có bán kính tác dụng
vào khoảng 1fermi= 10-15m, và khơng phụ thuộc vào điện tích của các nucleon. Muốn tách nucleon ra
P

P

khỏi hạt nhân, cần phải tốn năng lượng để thắng lực hạt nhân.
Các phép đo chính xác đã chứng tỏ rằng khối lượng m của hạt nhân

A
Z

X bao giờ cũng nhỏ hơn

tổng khối lượng của các nucleon tạo thành hạt nhân đó một lượng ∆m , gọi là độ hụt khối hạt nhân.

∆m
= [Zm p + (A − Z)m n ] − m .

(1.1)

Theo định luật bảo toàn năng lượng và hệ thức Einstein ta có năng lượng liên kết:

E lk = ∆m.c2 .

(1.2)

Năng lượng liên kết của các hạt nhân là năng lượng cần thiết để tách hạt nhân thành các nucleon
riêng biệt, nó đặc trưng cho sự bền vững của hạt nhân. Để so sánh độ bền vững của hạt nhân, người ta
đưa ra khái niệm năng lượng liên kết riêng: ε =
vững.

E lk
, năng lượng liên kết riêng càng lớn thì càng bền
A


Elk/A (MeV/nucleon)

Hình 1.1 Đồ thị sự phụ thuộc của năng lượng liên kết riêng theo số khối
A của hạt nhân.
1.2. Phản ứng tổng hợp hạt nhân
Phản ứng tổng hợp hạt nhân là quá trình hai hạt nhân nhẹ được tổng hợp để tạo thành một nhân
mới nặng hơn, đồng thời nó giải phóng một năng lượng.

X1 + X2 → X3 + X 4 hoặc X1 (x 2 ,x 4 )X3 .

(1.3)

Quá trình này bị cản trở bởi lực đẩy Coulomb, vì nó có tác dụng ngăn cản hai hạt tiến đến đủ
gần để lọt vào vùng tác dụng của lực hút hạt nhân và “tổng hợp” với nhau, độ cao của hàng rào thế
Coulomb phụ thuộc vào điện tích và bán kính của hai hạt nhân tương tác. Dựa vào đồ thị sự phụ thuộc
của năng lượng liên kết riêng theo số khối A của hạt nhân ta thấy, năng lượng liên kết trung bình trên
một nucleon tăng theo số khối A trong miền A bé, nên khi tổng hợp hai hạt nhân rất nhẹ thành một hạt
nhân nặng hơn thì một năng lượng A ( ε − ε ) được giải phóng, trong đó A là số khối tổng cộng của các
hạt nhân được tổng hợp, ε là năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon đối với các hạt nhân
trước phản ứng, còn ε là năng lượng liên kết trung bình trên một nucleon đối với các hạt nhân sau
phản ứng.
Điều kiện xảy ra phản ứng tổng hợp hạt nhân:
Các hạt nhân phải có động năng đủ lớn để chúng vượt hàng rào thế Coulomb và tiến lại gần
nhau với khoảng cách nhỏ hơn 3.10 −15 m . Khi đó lực hạt nhân sẽ có tác dụng và phản ứng xảy ra.


V
Coulomb potential
Ecoul ~ Z1Z2 (MeV)
r0

r

nuclear well

Hình 1.2 Đồ thị hàng rào thế Coulomb.
Năm 1957 J. D. Lawson chứng minh được rằng để đốt cháy và duy trì mơi trường plasma ổn
định thì nồng độ plasma n (hạt/m3), thời gian nhốt plasma τ (s) và nhiệt độ plasma T (K) phải thoả
P

P

mãn bất đẳng thức :

nτ T ≥ 5.1021 keV.s / m 3 .

(1.4)

Điều kiện (1.4) được gọi là tiêu chuẩn Lawson.
Theo (1.4), nhiệt độ Mặt Trời vào khoảng T=1010K thì xảy ra phản ứng tổng hợp hạt nhân. Tuy
P

P

nhiên, trong thực tế nhiệt độ Mặt Trời chỉ vào khoảng T=107K, do đó, phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy
P

P

ra phải dưới điều kiện có hiệu ứng đường ngầm lượng tử.
Trong những thiên thể có mật độ vật chất cao như sao lùn trắng (khoảng 1010 g cm-3) hay sao
P

P

P

P

neutron (khoảng 1013 g cm-3) thì phản ứng tổng hợp hạt nhân đóng vai trị quan trọng. Theo Salpeter và
P

P

P

P

Van Horn [24] và Chugunov et al [9], các phản ứng này có thể xảy ra dưới năm chế độ khác nhau, tùy
theo sự phụ thuộc vào nhiệt độ hay vào mật độ của plasma nhiều hay ít: Ở nhiệt độ đủ cao để plasma
trở nên rất loãng, tốc độ phản ứng hạt nhân phụ thuộc chủ yếu vào nhiệt độ và loại phản ứng này được
gọi là phản ứng nhiệt hạt nhân với màn chắn yếu. Phản ứng nhiệt hạt nhân với thế màn chắn mạnh xảy
ra trong plasma đậm đặc hơn, tức là mức độ liên kết do thế Coulomb quan trọng hơn là chuyển động
nhiệt của các ion. Hai loại phản ứng trên thường được gọi vắn tắt là phản ứng nhiệt hạt nhân
(thermonuclear reactions). Khi mật độ vật chất rất lớn, tốc độ phản ứng sẽ ngày càng ít phụ thuộc vào
nhiệt độ, và hệ quả là ngay ở trong plasma có nhiệt độ rất thấp, phản ứng này vẫn có thể xảy ra. Các
phản ứng dạng này, chỉ xuất hiện ở những điều kiện cực điểm về mật độ hạt, hay mật độ khối lượng,
của môi trường plasma, được gọi là phản ứng áp suất hạt nhân (pycnonuclear reactions). Ngồi ra, cịn


tồn tại những phản ứng ở dạng trung gian, là những phản ứng áp suất hạt nhân nhưng tốc độ phản ứng
phải được tăng cường do nhiệt độ.
Ta có thể thấy rõ ảnh hưởng của mật độ vật chất cũng như của nhiệt độ lên tốc độ phản ứng hạt
nhân trên đồ thị Hình 1.3 của cơng trình [8]: Đối với phản ứng tổng hợp hai hạt nhân

20

Ne và

24

Mg

xảy ra trong một số thiên thể, kể từ các giá trị khoảng 1011 − 1012 g cm −3 của mật độ khối lượng, tốc độ
phản ứng hầu như rất ít phụ thuộc vào nhiệt độ. Theo M. Beard and M. Wiescher [7], trên đồ thị Hình
1.4, ta thấy kể từ một giá trị mật độ khối lượng ρ nào đó, tốc độ phản ứng tổng hợp là hàm tăng rất
nhanh theo ρ.

Hình 1.3 Đồ thị tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân phụ
thuộc vào mật độ khối lượng và nhiệt độ T [8].

Hình 1.4 Đồ thị tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân phụ thuộc vào
mật độ khối lượng ρ [7].


Như vậy, phản ứng áp suất hạt nhân là phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra ở mật độ lớn vào
khoảng 109 g/cm3. Trong phịng thí nghiệm, để thực hiện phản ứng áp suất hạt nhân người ta nhốt
P

P

P

P

plasma dựa trên tính quán tính của các hạt ion dưới tác dụng của tia laser hay chùm tia ion nặng, chẳng
hạn như, người ta tạo nên các viên nhiên liệu rất nhỏ chứa hỗn hợp deuterium-tritium rồi bắn từng viên
vào buồng chân khơng, khi viên này đạt đến tâm bình chân không, chiếu chùm tia laser hay chùm ion
nặng vào viên đó trong thời gian cỡ 10-11 s đến 10-9 s. Khi đó hỗn hợp deuterium-tritium nhận được
P

P

P

P

năng lượng với mật độ rất lớn trong thời gian cực ngắn, cỡ hàng chục megajoules trong 10-9 s, nó bị
P

P

nén lại với nồng độ tăng lên cỡ 1000 lần và nóng đến khoảng 108 K, phản ứng tổng hợp xảy ra trước
P

P

khi các ion kịp chuyển động dịch ra xa nhau do quán tính của chúng lớn, sự giữ bằng quán tính sẽ làm
việc với mật độ hạt lớn và trong thời gian ngắn. Trong vật lí thiên văn, phản ứng áp suất hạt nhân giữa
C-C, C-O, O-O xảy ra ở bên trong của sao lùn trắng, sao neutron,…

Hình 1.5 Phản ứng áp suất hạt
nhân thực hiện trong phịng thí
nghiệm dùng phương pháp
hãm qn tính.

Hình 1.6 Q trình phản ứng
xảy ra ở lớp vỏ của sao neuron.


1.3. Mơ hình plasma một thành phần (OCP_One Component Plasma)

Để khảo sát tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân, người ta thường sử dụng mơ hình đơn giản
nhất, là mơ hình plasma một thành phần, đó là một hệ thống kê gồm N những ion tích điện dương + Ze ,
chuyển động trong một “biển” đồng nhất NZ electron mang điện tích −e có tác dụng trung hịa điện, hệ
này có nhiệt độ T và thể tích V của bình chứa. Ví dụ, trong phản ứng đốt cháy carbon xảy ra ở sao Lùn
trắng:

12
P

C + 12C , mơ hình thích hợp là mơ hình OCP.
P

P

P

Khi đó, tất cả các đại lượng Nhiệt Động Lực có thể được tính theo tham số tương liên Γ :

( Ze )
Γ=

2

akT

,

(1.5)
1/ 3

 3 
trong đó, a là bán kính khối cầu ion, được tính theo mật độ hạt n: a = 
 .
 4π n 
Ta nhận thấy rằng tham số Γ này thể hiện mối quan hệ giữa năng lượng tương tác Coulomb
trung bình giữa hai ion

( Ze )
a

2

và năng lượng chuyển động nhiệt trung bình kT. Như vậy, tính chất của

plasma phụ thuộc vào độ lớn của tham số tương liên Γ: khi chuyển động nhiệt chiếm ưu thế, môi
trường plasma sẽ ở trạng thái lưu chất và ngược lại, nếu tương tác Coulomb chiếm ưu thế, ta sẽ có
plasma kết tinh. Giá trị ngưỡng của Γ, tại đó có sự chuyển pha từ lưu chất sang tinh thể lập phương tâm
khối (bcc) được đánh giá vào cỡ : Γ m =
172 [16].
 Γ < 1 : plasma loãng (bên trong Mặt Trời, ICF – hãm quán tính).
 Γ ≥ 1 : plasma đậm đặc (ruột sao Lùn trắng, vỏ sao Neutron: Γ = 10÷100).
1.4. Khái niệm thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm
1.4.1. Thế màn chắn
Đối với hệ nhiều hạt, để tính thế năng tương tác hiệu dụng giữa hai ion nào đó của hệ, ta phải
tính đến tác dụng của môi trường xung quanh, tác dụng này được đặc trưng bởi một đại lượng gọi là
thế màn chắn, kí hiệu H(R) với R là khoảng cách liên ion. Hai ion này sẽ chuyển động trong trường thế
hiệu dụng:
U=
( R)

( Ze )
R

2

− H ( R) ,

( Ze ) ,
R
hoặc nếu tính theo đơn vị r = và
a
a
2

(1.6)


ta viết :

1
− H (r ) .
r

U (r )=

(1.7)

1.4.2. Hàm phân bố xuyên tâm
Xác suất tương tác (contact probability) giữa hai ion cho bởi hàm phân bố xuyên tâm, được định
nghĩa như sau :

Nếu gọi u(r ij ) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong N ion của plasma, thế năng toàn
R

R

phần của hệ là:
N
 

U ≡ U(r1 , r2 ,..., rn ) =
∑ u(rij )

(1.8)

i< j









Xác suất tìm thấy ion 1 trong thể tích nguyên tố dr1 tại vị trí r1 , ion 2 trong dr2 tại vị trí r2 ,…,




ion N ở trong drN tại vị trí rN khơng phụ thuộc vận tốc mỗi hạt là:

1
  
exp [ − βU ] dr1dr2 ...drN
Q

(1.9)

với Q là tích phân cấu hình (tích phân trạng thái):
=
Q

 



∫ exp [ −βU ] dr dr ...dr
1

2

N

V







Xác suất để ion 1 được tìm thấy trong thể tích ngun tố dr1 tại vị trí r1 , hạt 2 trong dr2 tại vị trí



r2 ,…hạt n trong drn tại vị trí rn là:

   1

   
P ( n ) ( r1 ,..., rn )=
dr1...drn
 ∫ exp [ − βU ] drn +1...drN  dr1...drn
Q V


⇒ P(

n)







1
QV



( r1 ,..., rn ) =∫ exp [ − βU ] drn+1...drN







(1.10)



Ta gọi ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn là xác suất để có một ion nào đó (khơng nhất thiết là ion 1) được tìm








thấy trong thể tích nguyên tố dr1 tại vị trí r1 , ion khác thứ hai trong dr2 tại vị trí r2 …ion khác thứ n




trong drn tại vị trí rn .












1
N!

   
×  ∫ exp [ − βU ] drn +1...drN  dr1...drn
( N − n)! Q V


ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn =

ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) =

N!


P ( n ) ( r1 ,..., rn ) .
( N − n)!



(1.11)



Từ định nghĩa trên thì ρ (1) ( r1 ) dr1 là xác suất để một trong những ion của hệ được tìm thấy trong










thể tích ngun tố dr1 và vì mọi điểm r1 trong thể tích V tương đương nhau ( ρ (1) ( r1 ) dr1 độc lập với r1 )
nên:


1
N

1)
ρ (1) dr=
ρ (=
= ρ .
1
∫
VV
V

 

(1.12)

 





Ta chú ý rằng ρ ( 2) ( r1 , r2 ) dr1dr2 là xác suất để một ion ở trong dr1 và một ion khác ở trong dr2 , và
do ρ ( 2) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r 12 giữa hai ion nên:
R

R

 

ρ ( 2) ( r1 , r2 ) = ρ ( 2) ( r12 )
 

( )  
dr ∫ ρ ( ) ( r )=
dr
∫ ρ ( r , r ) dr=
2

và

N ( N − 1) .

2

1

2

1

2

12

V

12

(1.13)

V



Vì sự phân bố các ion trong plasma là hồn toàn ngẫu nhiên, xác suất để ion thứ i nằm trong dri ,
i=1,2,3,…,n là:

 
dr1 dr2 drn
1


  
n
n
...
= P ( ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn và P ( ) = n
V
V V
V

nên (1.11) trở thành:
=
ρ (n)

1
N!
N!
=
ρn n
.
n
V ( N − n)!
N ( N − n)!



(1.14)





Ta thấy ρ (1) ( r1 ) dr1 là xác suất để một ion của hệ được tìm thấy trong thể tích ngun tố dr1 tại




vị trí r1 . Nếu xác suất này độc lập với xác suất tìm thấy ion thứ hai trong thể tích nguyên tố dr2 tại vị trí




r2 ,…, với xác suất tìm thấy ion thứ n trong drn tại vị trí rn thì ta có xác suất để 1 ion ở trong dr1 , một


ion khác ở trong dr2 ,…, một ion khác thứ n ở trong drn là:




















ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn =  ρ (1) ( r1 ) dr1   ρ (1) ( r2 ) dr2  ...  ρ (1) ( rn ) drn 

(1.15)

Ngược lại khi có sự tương quan giữa 1 ion này và một ion khác tức là n xác suất trên không độc




lập với nhau, vậy ta sẽ đưa vào hàm g ( n ) ( r1 ,..., rn ) vì hàm này cho biết mức độ mà ρ ( n ) lệch khỏi giá trị




của nó khi các xác suất ρ (1) ( ri ) dri độc lập với nhau. Hàm g ( n ) được định nghĩa như sau:














ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) = ρ (1) ( r1 ) ρ (1) ( r2 ) ...ρ (1) ( rn ) g ( n ) ( r1 ,..., rn )

(1.16)



Mọi điểm ri trong thể tích V đều tương đương nhau trong plasma lưu chất, tức là:






ρ (1) ( r1 )= ρ (1) ( r2 )= ...= ρ (1) ( rn )= ρ

(1.16) được viết lại:








ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) = ρ n g ( n ) ( r1 ,..., rn )

với ρ =

N
V

(1.17)

là mật độ ion trong plasma.

Từ (1.11) và (1.17) ta rút ra mối quan hệ giữa P(n) và g(n) như sau:
P

P

P

P






ρ n g ( n ) ( r1 ,..., rn ) =

N!


P ( n ) ( r1 ,..., rn )
( N − n)!

(1.18)

thế kết quả của P(n) từ (1.10) ta có:
P

P

 U  





ρ n g ( n ) ( r1 ,..., rn ) =

∫ exp − kT  dr

n +1

N! V
( N − n)!


...drN

.

Q

(1.19)

Bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là vấn đề liên quan tới việc mở rộng các vạch
quang phổ, đều cần nghiên cứu việc có hay khơng sự tương tác giữa các ion với các ion lân cận gần
nhất. Hay nói cách khác, cần biết xác suất để hai ion, ký hiệu 1 và 2, có điện tích Z, cách nhau khoảng
 



r 12 bất chấp sự có mặt của các ion ở các vị trí ri , xác suất này là P ( 2) ( r1 , r2 ) .
R

R

Từ (1.19) ta có:
 U  

ρ g
2

( 2)

 
( r1 , r2 ) =



∫ exp − kT  dr ...dr

N! V

( N − 2)!

3

N

Q

.

(1.20)

Cuối cùng ta thu được hàm phân bố xuyên tâm:
=
ρ 2 g ( r12 )

N ( N − 1)
 U   
exp  −  dr3 ...drN
∫
Q
 kT 
V

(1.21)

với N đủ lớn.
=
g ( r12 )

V2
 U   
exp  −  dr3 ...drN .
∫
QV
 kT 

(1.22)

 
Bằng cách chuẩn hoá xác suất g(r2 − r1 )d3 r2 / V ta có được:
 
g(r2 − r1 ) =
e −βu12

(1.23)

Sự hiểu biết giá trị hàm phân bố xuyên tâm đóng vai trị quan trọng trong việc khảo sát thống kê
của plasma, vì một phần là hàm này (cùng với trung bình phần dư của năng lượng tự do) là đại lượng
được tính tốn trực tiếp từ phương pháp Monte-Carlo và trong vật lý lưu chất, g(r) có thể đo trực tiếp từ
những thí nghiệm tán xạ neutron, các tính chất nhiệt động lực đều có thể tính được từ những tích phân
tính trên hàm g(r) này.


Hình 1.7 Đồ thị hàm phân bố xuyên tâm của lưu chất
Ar từ kết quả tán xạ neutron [6].
Dựa vào Hình 1.7, ta có thể thấy tính chất phân bố các hạt qua sự biến thiên của hàm phân bố xuyên
tâm g(r) theo r thu được từ kết quả của thí nghiệm tán xạ neutron trên Argon ở thể lỏng, các cực trị
nhọn chỉ ra vị trí của các hạt kế cận. Các mô phỏng Monte Carlo (MC) gần đây đối với mơ hình plasma
OCP cũng cho những kết quả tương tự, có thể thấy trên Hình 1.8, qua đây ta cũng nhận thấy rằng hàm

phân bố xuyên tâm g(r) giảm nhanh theo r và tăng theo Г của biên độ cực đại đầu tiên, điều này có ý
nghĩa rằng đối với những plasma có tham số tương liên lớn, sự ổn định của các vị trí của các ion kế cận
càng lớn, plasma có tính chất gần vật rắn hơn.


Hình 1.8. Đồ thị dao động của g(r) với Γ =5, 10, 20, 40, 80, 160 cho bởi
mô phỏng MC [11], đường liền nét ứng với Γ =1 .

1.4.3. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Định lí Widom
Khi tính đến ảnh hưởng mơi trường xung quanh trong plasma ta phải thay thế u 12 trong biểu
R

R

thức (1.23) bằng thế năng hiệu dụng
U=
( R)

khi đó (1.23) trở thành:

( Ze )

2

R

g( R) = e -βU ( R ) .

− H ( R)

(1.24)
(1.25)

Hay ta có thể viết liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm như sau:
 1

g=
(r ) exp  −Γ  − H (r )  

 r

H (r )=

suy ra:

1 ln g (r )
.
+
r
Γ

(1.26)
(1.27)

Vào năm 1963, Widom đã xác định dạng của thế màn chắn trong lưu chất, được gọi là định lí
Widom [25]:


“Trong lưu chất hay trong tinh thể, thế màn chắn là hàm chẵn, theo khoảng cách giữa hai ion
hay hai nguyên tử và trong vùng bán kính hội tụ, được biểu thị bởi một đa thức luân phiên đổi dấu”.

Dạng triển khai của thế màn chắn theo định lý Widom:
H (r ) = h0 − h1r 2 + h2 r 4 − ... + ( −1) hi r 2i
i

H (=
r)

hay

∑ ( −1) h r
i

i

i ≥0

2i

(1.28)

.

(1.29)

Các hệ số h i có vài đặc điểm sau:
R

R

 h0 = lim H ( r ) là số khuếch đại của phản ứng tổng hợp hai hạt nhân.

r →0

 Hệ số h 1 đã được Jancovici dùng vật lý thống kê xác định giá trị chính xác và được đặt tên là hệ số
R

R

Jancovici với h 1 = 0.25, [19].
R

R

 Các hệ số còn lại phụ thuộc vào plasma là liên kết mạnh hay liên kết yếu, tức là ở trạng thái tinh thể
hay lưu chất.
Các đặc điểm trên giúp ích cho ta rất nhiều trong việc tìm lại dạng khai triển của thế màn chắn
khi so sánh với các số liệu thực nghiệm Monte-Carlo.
1.5. Hiệu suất phản ứng áp suất hạt nhân trong plasma
Nguồn năng lượng chính được bức xạ từ các sao trong vũ trụ có nguồn gốc là phản ứng tổng hợp
hạt nhân. Các phản ứng này ảnh hưởng đến quá trình tiến hóa của những thiên thể tạo bởi plasma có
mật độ khối lượng cao như sao Lùn trắng hoặc sao Neutron. Trong plasma, các hạt nhân có thể vượt
qua hàng rào thế Coulomb do hiệu ứng đường ngầm lượng tử để gây ra phản ứng tổng hợp. Hiệu suất
phản ứng hạt nhân (số phản ứng /cm3/s) giữa hạt nhân i và j được tính bởi hệ thức tổng quát:
P

Rij ( E ) =

2rijB

π (1 + δ ij ) 

P

ni n j Sij ( E ) ψ ij ( rN ) .
2

(1.30)

Trong đó :
ni và n j là mật độ hạt
2
r =
2 µij Z i Z j e 2
B
ij

Sij ( E ) : thừa số vật lí thiên văn

ψ ij ( rN ) là hàm sóng tán xạ ( rN bán kính xảy ra phản ứng hạt nhân), được mơ tả bởi phương

trình Schrodinger:


 2 d 2

+ Wij ( r ) − E  rψ ij ( r ) =
0.
−
2
 2 µij dr


(1.31)

Vì phản ứng tổng hợp hạt nhân xảy ra với khoảng cách gần bằng 0, nên

ψ=
ψ=
g (0)
ij ( rN )
ij ( 0 )
2

2

(1.32)

là hàm phân bố xuyên tâm hay xác suất gặp nhau của hai hạt nhân. Vậy, ta có:

Rij ( E ) =

2rijB
(1 + δ ij )π 

ni n j Sij ( E ) g ij (0) ,

(1.33)

với:

g (0) = e − βU12 ,

trong đó U12 là thế năng hiệu dụng.
Khi khơng có tác dụng của thế màn chắn:

U12 =

Γ
( Ze) 2
, gc=
(r ) exp(− ) .
R
r

(1.34)

Vậy, hiệu suất của phản ứng hạt nhân được viết:

R (E) =
T
ij

2rijB
(1 + δ ij )π 

ni n j Sij ( E ) g c (0) .

(1.35)

Khi có tác dụng của thế màn chắn:

( Ze) 2

=
U12
− H ( R) ,
R

 1

(r ) exp  −Γ  − H (r=
)   g c (r ) exp [ ΓH (r ) ] ;
g=

 r

(1.36)

Vậy,

Rij ( E )

2rijB
(1 + δ ij )π 

ni n j Sij ( E ) g c (0) exp[ΓH (0)] .

(1.37)

Do đó , ta có thể viết:

Rij ( E ) = RijT ( E ) f

(1.38)

=
f exp[ΓH (0)]

(1.39)

với:
được gọi là hệ số khuếch đại của phản ứng áp suất hạt nhân.


Như vậy việc tính H(0) là một vấn đề quan trọng trong việc xác định hiệu suất của phản ứng hạt
nhân, và sẽ được khảo sát ở chương 2 và chương 3. Bảng 1 là tốc độ phản ứng và hệ số khuếch đại
trong các phản ứng C-C, C-O, O-O trong sao Lùn trắng có mật độ khối lượng ρ = 4.109 g / cm3 , nhiệt
độ T = 108 K .

Phản ứng
Γ
f
R (cm-3s-1)
P

P

P

P

C-C
56.6

1023.49
10−18.69

C-O
71.9
1029.95
10−28.44

O-O
91.5
1038.34
10−40.96

Bảng 1 Giá trị tốc độ phản ứng và hệ số khuếch đại của các phản ứng trong sao lùn trắng [18].


Chương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc
Vì các mơ phỏng Monte Carlo (MC) khơng cho giá trị chính xác của thế màn ở khoảng cách liên
hạt nhân quá nhỏ, nên ta phải sử dụng các tính toán lý thuyết và các số liệu MC để thu được hệ số
khuếch đại này. Bố cục chương 2 gồm các phần sau :
Phần 2.1: Dành cho việc tham khảo một số cơng trình mới nhất liên quan H(r).
Phần 2.2: Các tính tốn thực hiện bởi tác giả luận văn, để có được biểu thức H(r) phù hợp với
các số liệu MC chính xác nhất.
2.1. Các kết quả gần đây của thế màn chắn
2.1.1. Mô phỏng MC cho plasma
Sau đây là một số cơng trình thực hiện mơ phỏng MC cho plasma một hay nhiều thành phần, sử
dụng phép tính cổ điển hoặc lượng tử:
• S. G. Brush, H. L. Sahlin, and E. Teller (1966).
• J. P. Hansen (1973).
• G. S. Stringfellow, H. E. DeWitt, and W. L. Slattery (1990).

• S. Ogata, H. Iyetomi, and S. Ichimaru (1991).
• H. E. DeWitt, W. L. Slattery, and G. Chabrier (1996).
• H. E. DeWitt and W. Slattery (1998).
• L. R. Gasques et al (2005).
• B. Militzer, E. L. Pollock (2005), sử dụng phương pháp tích phân lộ trình (path integral Mone
Carlo- PIMC).
• A.I. Chugunov, H.E. DeWitt (2009), cho plasma hỗn hợp hai thành phần (binary ionic
mixtures - BIM).
Các mô phỏng MC gần đây đối với mơ hình plasma OCP cho những kết quả với độ chính xác
rất cao. Như là hàm phân bố bán kính g (r) có những giá trị với độ chính xác vào khoảng 0.2% cho

r ∈ [1,2.72] và Γ ∈ [1,160] trong [11], Hình 1.8. Như vậy ta có thể thu thập dữ liệu cho hàm phân bố
bán kính g(r) từ các mô phỏng MC và suy ra giá trị cho thế màn chắn H(r) từ hệ thức (1.27):

H (r )=

1 ln g (r )
+
r
Γ


H(r)

Hình 2.1 Đồ thị thế màn chắn được suy ra từ hệ thức (1.27) và g(r)
cung cấp bởi mô phỏng Monte Carlo của cơng trình [11], với Γ =80 .
2.1.2. Biểu thức của thế màn chắn
Dựa vào các mô phỏng MC trên, một số tác giả đã tính được hàm H(r) như sau:
Đối với plasma ở trạng thái kết tinh, biểu thức thế màn chắn với độ chính xác cao (1,5.10-7) đã
P

P

được đề nghị [5], [14]:

H R (η) = (

1

)1/3 (1.391160 - 0.258399η2 - 0.162060η4 + 0.034887η6

π 3
- 0.005789η8 + 0.000210η10 )

với η =

(2.1)

R
, và d là khoảng cách của hai ion gần nhất ở trạng thái cân bằng. Đối với tinh thể bcc,
d

d = 1.7589a .
Hệ thức giải tích (2.1) bao hàm tính đối xứng của thế màn chắn đối với khoảng cách hai ion,
tính chất đã được chứng minh cho lưu chất [25], điều này đã cho phép sử dụng tính liên tục của thế
màn chắn để tiếp tục khảo sát biểu thức giải tích của thế này đối với plasma có tham số tương liên Γ
<172 [15].
Đặc biệt là tại giá trị Γ m =
172 có xảy ra sự chuyển pha lỏng-tinh thể theo tính tốn của D. H. E.
Dubin, H. Nagara, Y. Nagara, và T. Nakamura [16].

Biểu thức thế màn chắn được đề nghị bởi [14]:

H ( r ) = 1.0521 − 0.25r 2 + 0.04392r 4 − 0.004269r 6 , r ∈ [0.0,2.0]

(2.2)

Trong biểu thức (2.2), thế màn chắn H(r) là đa thức bậc chẵn theo r và luân phiên dấu, phù hợp
với định lý Widom cho lưu chất và rất chính xác so với kết quả thực nghiệm MC [22].


Hệ số của r2 có giá trị chính xác -0.25, đúng với kết quả do Jancovici chứng minh bằng tính lý
P

P

thuyết [19].
Biểu thức thế màn chắn cho plasma có tham số tương liên 5 < Γ < 160 , cũng được đề nghị bởi
cơng trình [1] gần đây:

H (=
r)

6

∑ ( −1) h r
i

2i

i =0

5

∑ a ( ln Γ )

với các hệ số h i tính theo=
:10i hi
R

(2.3.1)

i

R

k =0

k

(2.3.2)

k

hệ số a k được cho ở Bảng 2.1.
R

R

Bảng 2.1 Hệ số ak của hệ thức (2.3.2).
h0

h2
0.939
5.23
0.15
-1.92
-0.0521
0.748
0.00723
-0.123
-0.000295 0.00714
-9.84E-06 4.63E-05
R

a0
a1
a2
a3
a4
a5
R

R

R

R

R

R

R

h3
3.85
-2.2
1.34
-0.349
0.0399
-0.0016

h4
h5
h6
-3.97
-5.91
-0.811
3.66
4.69
-0.413
-0.0349 0.0182
1.28
-0.407 -0.606 -0.591
0.0917
0.142
0.104
-0.00604 -0.00983 -0.00646

R

R

R

R

Bảng 2.2 Hệ số hi của hệ thức (2.3.1).
Г
5
10
20
40
80
160

h0
1.07416
1.08816
1.08967
1.08548
1.07993
1.07469
R

h2
0.0361264
0.0347595
0.0346911
0.0350416
0.0353654

0.0356602
R

h3
0.00257
0.00263
0.0027
0.0027
0.00264
0.002586
R

h4
h5
h6
0.000068584 1.27876E-14 8.30579E-16
0.00014923 0.0000094
0.00000031
0.000166661 1.08262E-05 3.6812E-07
0.000147507 8.2664E-06 2.8042E-07
0.000119066 5.4317E-06 0.000000195
0.000097705 3.8685E-06 0.000000178
R

R

R

Bảng 2.2 là bảng giá trị h i được tìm bằng cách tối thiểu hóa độ lệch các dữ liệu MC tương ứng
R

R

với một vài giá trị Γ của cơng trình [1]. Thế màn chắn H(r) là đa thức bậc chẵn theo r và luân phiên
dấu, phù hợp với định lý Widom, h 1 = 0.25 với mọi Г, đúng với kết quả do Jancovici chứng minh bằng
R

R

tính tốn lý thuyết. Dựa vào đồ thị sai số Hình 2.2.1 và Hình 2.2.2, ta có thể nhận xét rằng

g(r) − g MC (r) < 2.10 −3 , và ở những khoảng cách lân cận không, các mô phỏng MC không thể cho các
giá trị của g(r).


103(g(r)-gMC(r))
103(g(r)-gMC(r))
103(g(r)-gMC(r))

Γ =5

Γ =10

Γ =20

Hình 2.2.1 Đồ thị sai số 103(g(r)-gMC(r)) đối với các giá trị Γ =5, 10, 20 ,

103(g(r)-gMC(r))

103(g(r)-gMC(r))

g(r) từ cơng trình [1] so với gMC cho bởi mơ phỏng MC [11].
Γ =40

Γ =80