Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa tôpô và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
------------------------

Nguyễn Vũ Thanh

KHÁI NIỆM DẦY ĐẶC TRONG ĐẠI SỐ THEO
NGHĨA TÔPÔ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số
Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – Naêm 2006


LỜI CẢM ƠN
--------------Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đối với quý thầy cô trong tổ Đại số , q thầy
cơ trong Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh cùng q thầy cơ trong
tổ Đại số Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.Hồ Chí Minh đã trang bị cho tơi đầy đủ
kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết luận văn này, cùng tồn thể q thầy cơ phịng
Khoa học Cơng nghệ và Sau Đại học trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh, cùng các bạn đồng
nghiệp trường THPT Chuyên Tiền Giang đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên
cứu hồn thành chương trình khố học. Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đối
với thầy PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chỉ bảo trong q trình
xây dựng và hồn thành luận văn này.
Q trình xây dựng và hồn thành luận văn, tôi đã nhận được sự động viên và

giúp đở về tinh thần của các bạn học viên khoá 14 chuyên ngành Đại số. Tôi xin ghi nhận
nơi đây lòng biết ơn sâu sắc nhất.

Tác giả luận văn


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................2
MỤC LỤC ..............................................................................................................3
LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................8
CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ VÀNH
KHƠNG GIAO HỐN. ......................................................................................10
I.1. Modul bất khả qui trung thành . ............................................................................... 10
I.1.1. Định nghĩa : ..................................................................................................................... 10
I.1.2. Bổ đề : .............................................................................................................................. 10
I.1.3. Bổ đề : .............................................................................................................................. 10
I.1.4. Định nghĩa : ..................................................................................................................... 10
I.1.5. Định nghĩa : ..................................................................................................................... 11
I.1.6. Bổ đề Schur: .................................................................................................................... 11
I.1.7. Bổ đề : .............................................................................................................................. 11

I.2. Radical của vành ......................................................................................................... 11
I.2.1. Định nghĩa: ...................................................................................................................... 11
I.2.2. Định nghĩa : ..................................................................................................................... 12
I.2.3. Bổ đề : .............................................................................................................................. 12
I.2.4. Định lý: ............................................................................................................................ 12
I.2.5.Bổ đề: ................................................................................................................................ 12
I.2.6. Định lý: ............................................................................................................................ 12
I.2.7. Định nghĩa: ...................................................................................................................... 13

I.2.8. Định lý: ............................................................................................................................ 13
I.2.9.Định nghĩa: ....................................................................................................................... 13

I.3. Radical của một đại số: .............................................................................................. 14


I.3.1. Định nghĩa: ...................................................................................................................... 14
I.3.2. Mệnh đề: .......................................................................................................................... 14

I.4.Vành nửa đơn ............................................................................................................... 15
I.5. Vành Artin .................................................................................................................. 15
I.5.1. Định nghĩa: ...................................................................................................................... 15
I.5.2. Các ví dụ: ......................................................................................................................... 15
I.5.3. Định lý: ............................................................................................................................ 16
I.5.4. Hệ quả :........................................................................................................................... 16

I.6. Định lý dày đặc : ......................................................................................................... 16
I.6.1. Định nghĩa: ...................................................................................................................... 16
I.6.2. Định lý : ......................................................................................................................... 16
I.6.3. Định nghĩa: ...................................................................................................................... 17
I.6.4. Định lý (Định lý dày đặc) ................................................................................................ 17
I.6.5.Định lý: ............................................................................................................................. 18
I.6.6. Định lý: ............................................................................................................................ 19

I.7. Vành nguyên tố: .......................................................................................................... 20
I.7.1. Định nghĩa: ...................................................................................................................... 20
I.7.2. Bổ đề: ............................................................................................................................... 20
I.7.3. Mệnh đề: .......................................................................................................................... 20
I.7.4.Bổ đề: ................................................................................................................................ 20

I.8.Vành đơn : .................................................................................................................... 21
I.8.1. Định nghĩa: ...................................................................................................................... 21
I.8.2. Nhận xét : ........................................................................................................................ 21
I.8.3. Định lý (Wedderburn-Artin): .......................................................................................... 21

CHƯƠNG II: TÔPÔ HỮU HẠN VÀ TÔPÔ ZARISKI. ................................22
II.1.Một số khái niệm cơ bản về không gian tôpô. ......................................................... 22
II.1.1. Tôpô trên một tập hợp. Tập mở. .................................................................................... 22


II.1.2 . Tập đóng : ..................................................................................................................... 22
II.1.3 . Cơ sở của tôpô: ............................................................................................................. 23
II.1.4. Cơ sở lân cận: ............................................................................................................... 23
II.1.5 . Tôpô cảm sinh –không gian con: ................................................................................. 24
II.1.6. Bao đóng , điểm dính: ................................................................................................... 24
II.1.7. Ánh xạ liên tục: ............................................................................................................. 25
II.1.8. Tích của các khơng gian tơpơ: ...................................................................................... 26

II.2.Tơpơ hữu hạn: ............................................................................................................ 26
II.2.1.Mệnh đề:.......................................................................................................................... 26
II.2.2.Mệnh đề:.......................................................................................................................... 27
II.2.3.Mệnh đề:.......................................................................................................................... 28
II.2.4. Mệnh đề:......................................................................................................................... 28
II.2.5. Mệnh đề:......................................................................................................................... 30

II.3.Tôpô Zariski: .............................................................................................................. 30
II.3.1. Định nghĩa : .................................................................................................................. 30
II.3.2. Định nghĩa : .................................................................................................................. 31
II.3.3. Bổ đề: ............................................................................................................................. 31
II.3.4. Mệnh đề:........................................................................................................................ 31

II.3.5. Mệnh đề:........................................................................................................................ 32

CHƯƠNG III.ĐỊNH LÝ KAPLANSKY-AMITSUR: .....................................33
III.1.PI đại số trên vành giao hốn có đơn vị: ................................................................ 33
III.1.1. Định nghĩa :................................................................................................................. 33
III.1.2. Định nghĩa:................................................................................................................... 33
III.1.3. Ví dụ:............................................................................................................................. 34
III.1.4. Định nghĩa:.................................................................................................................. 34
III.2. Đại số K X  ..................................................................................................................... 34
III.2.2. Bổ đề: ........................................................................................................................... 35


III.2.3. Định nghĩa:................................................................................................................... 35
III.2.4. Bổ đề: ............................................................................................................................ 35
III.2.5. Bổ đề: ............................................................................................................................ 35

III.3. Định lí Kaplansky-Amitsur .................................................................................... 36
III.3.1.Định nghĩa:.................................................................................................................... 36
III.3.2.Bổ đề: ............................................................................................................................. 36
III.3.3.Bổ đề: ............................................................................................................................. 36
III.3.4. Bổ đề : .......................................................................................................................... 37
III.3.5 Bổ đề : ............................................................................................................................ 37
III.3.6 Bổ đề : ............................................................................................................................ 37
III.3.7. Định lý (Kaplansky-Amitsur) ...................................................................................... 38
III.3.8. Định nghĩa:.................................................................................................................. 40
III.3.9. Định lý Amitsur-Levitzki ............................................................................................. 40
III.3.10. Định lý Kaplansky- Amitsur-Levitzki. ..................................................................... 40

CHƯƠNG IV.ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG:
...............................................................................................................................41

IV.1. Định lý Formanek về đa thức tâm trên Mn(K) .................................................... 41
IV.1.1.Cho K là vành giao hoán tuỳ ý và xét Mn(K) . .............................................................. 41
IV.1.2. Định lý (Formanek) ...................................................................................................... 44
IV.1.3. Định lí Amitsur: ............................................................................................................ 47
IV.1.4.Mệnh đề: ........................................................................................................................ 47
IV.1.5. Định lý: .......................................................................................................................... 47

IV.2.Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự .............................................. 48
IV.2.1.Các radical trên đại số : ................................................................................................. 48
IV.2.3. Địa phương hóa giao hốn: ......................................................................................... 50
IV.2.3.1. Định nghĩa : ............................................................................................................... 50
IV.2.4. Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự ................................................... 51


KẾT LUẬN: .........................................................................................................55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................56


LỜI NĨI ĐẦU

-----Trong đại số khơng giao hốn có khái niệm dày đặc và “định lý dày đặc” về vành
nguyên thuỷ do Jacobson và Chevalley chứng minh làm cơ sở để chứng minh định lý
Kaplansky-Amitsur về đại số nguyên thuỷ trong PI đại số,định lý dày đặc đã đặt nền móng
trong việc xây dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở ra những hướng nghiên cứu mới trong
toán học. Tuy nhiên trong sách PI-đại số của tác giả Nathan Jacobson việc chứng minh định
lý Kaplansky-Amitsur có sử dụng kết quả: f là đa thức trong K{X}, ánh xạ (l1,l2,…,ln)  f
(l1,l2,…,ln) với li  L  End FV là liên tục trong tôpô hữu hạn và nếu f là đồng nhất thức trên tập
dày đặc trong L thì f là đồng nhất thức trên L mà khơng được trình bày và chứng minh rõ
ràng.Cũng như vậy trong chứng minh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma trận
tác giả của sách PI-đại số cũng chỉ áp dụng các tính chất của tơpơ Zariski mà khơng có

chứng minh.
Mục đích chính của luận văn là giải quyết hai vấn đề:
Thứ nhất là xây dựng không gian tôpô trên tập YX tất cả các ánh xạ từ X vào Y gọi là
tôpô hữu hạn .Gọi V là không gian vectơ trên thể  và EndV là tập tất cả các phép biến đổi
tuyến tính của V trên  ,ta sẽ chứng minh EndV là tập đóng trong khơng gian tôpô VV.Tôpô
hữu hạn trên VV cảm sinh tôpô trên End V và A tác động dày đặc trong EndV theo nghĩa
đại số khi và chỉ khi A dày đặc (trù mật) trong EndV theo nghĩa tôpô tức là :
A = End V .Sau đó chứng minh ánh xạ (l1,l2,…,ln)  f(l1,l2,…,ln) với li  L  EndV là liên tục

trong tôpô hữu hạn nhờ các ánh xạ (l,m)  l+m , (l,m)  lm , l   l (với   K ) là liên tục
trong không gian tôpô hữu hạn.Dựa vào tính chất của hàm liên tục ta suy ra rằng nếu A dày
đặc trong EndV , f là đồng nhất thức trên A thì f là đồng nhất thức trên EndV .Áp dụng kết
quả này để chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur.
Thứ hai là xây dựng tôpô Zariski trên không gian vectơ hữu hạn chiều V trên
trường vô hạn K làm cơ sở để chứng minh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma
trận mà trong sách PI-đại số của tác giả Nathan Jacobson cũng chỉ nêu ra không chứng minh
rõ.Xem K là không gian vectơ một chiều trên K với tôpô Zariski,khi đó hàm đa thức
:

V K


n

 e
i 1

i i

 f (1 , 2 ,..., n )

là liên tục đối với tôpô Zariski và mọi tập mở khác rỗng của V thì dày đặc trong tơpơ
Zariski.Từ đó suy ra hàm đa thức triệt tiêu trên tập mở khác rỗng của V thì triệt tiêu trên
V.Áp dụng điều này để hoàn chỉnh việc xây dựng đa thức tâm trên Mn(K) bằng phương pháp
Formanek.Tiếp theo của luận văn là sử dụng đa thức tâm để chứng minh định lý PosnerRowen về đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự.
Nội dung luận văn được chia thành bốn chương như sau:
Chương I:Một số khái niệm và các định lý về vành khơng giao hốn.
Chương này chủ yếu trình bày một số khái niệm,định lý,bổ đề cơ bản đã có trong
vành khơng giao hốn nhằm làm cơ sở lý luận cho chương III và chương IV như: Rađical
Jacobson của vành,đại số,các khái niệm vành nửa đơn,vành đơn,vành nguyên thuỷ,vành
nguyên tố và mối quan hệ giữa chúng, đặc biệt là khái niệm dày đặc và định lý dày đặc mà sẽ
được sử dụng xuyên suốt trong luận văn.
Chương II:Tôpô hữu hạn và tôpô Zariski.
Chương này xây dựng một tôpô trên tập tất cả các ánh xạ từ X vào Y gọi là tôpô hữu
hạn làm cơ sở lý luận cho việc chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur trong
chương III đồng thời xây dựng tôpô Zariski trên không gian vectơ hữu hạn chiều V trên
trường vô hạn K làm cơ sở để xây dựng đa thức tâm trên đại số ma trận được trình bày ở
chương IV.
Chương III:Định lý Kaplansky-Amitsur.
Hệ thống các kiến thức cơ bản nhất về PI-đại số trên một vành giao hốn có đơn vị
và áp dụng kết quả đạt được ở chương II về tôpô hữu hạn để hoàn thiện chứng minh định lý
Kaplansky-Amitsur trên đại số nguyên thuỷ.
Chương IV:Đa thức tâm trên đại số ma trận và áp dụng.
Chương này nội dung chủ yếu là xây dựng đa thức tâm Formanek trên đại số ma trận
Mn(K) bằng việc chứng minh định lý Formanek nhờ vào tơpơ Zariski được trình bày ở
chương II và áp dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen về đại số nửa
nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự.
Chắc chắc luận văn khơng tránh khỏi sai sót.Tác giả luận văn rất mong nhận được
những đóng góp ý kiến quý báo của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.

CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ VÀNH
KHƠNG GIAO HỐN.
Trong chương này chủ yếu chúng ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản đã có trong
vành khơng giao hốn nhằm làm cơ sở lý luận cho các chương sau,do đó có một số định lý
chỉ nêu ra mà khơng phải chứng minh.
Trong chương này,kí hiệu R là vành khơng giao hốn, M là R modul phải, EndRM là
vành các R đồng cấu trên M.
I.1. Modul bất khả qui trung thành .
I.1.1. Định nghĩa :

M được gọi là R-modul trung thành nếu từ M.r = (0) suy ra r = 0.
I.1.2. Bổ đề :

Kí hiệu A(M) =rR/M.r = (0) ;ta có A(M) là ideal hai phía của R và M là R A(M ) modul trung thành.
Cho M là R-modul,aR, ánh xạ Ta:M M cho bởi mTa = ma, m M là đồng cấu nhóm
cộng.Kí hiệu E(M) là tập tất cả các đồng cấu nhóm cộng.E(M) là một vành với các phép toán
cộng,nhân các đồng cấu nhóm.
Xét ánh xạ : R  E(M)
a  Ta
Vì Ta+b = Ta+ Tb và Tab = TaTb nên  là đồng cấu vành.
Mặt khác : Ker  = A(M) nên R A(M )  Im  .
I.1.3. Bổ đề :
R

A(M )

đẳng cấu với vành con của vành E(M) .

Đặc biệt: Nếu M là R-modul trung thành thì A(M) = (0) ,khi đó  là đơn cấu và

nhúng R vào E(M) như vành con khi đồng nhất a  Ta ,aR
I.1.4. Định nghĩa :

Vành giao hoán tử của R trong M là C(M) =  fE(M) / Taf = fTa ,aR
Rõ ràng C(M) là vành con của vành E(M).Với fC(M),mM,aR ta có:


(ma)f = (mTa)f =m(Taf) =m(fTa) =(mf)Ta =(mf)a  f là R đồng cấu modul.
Vậy C(M) = EndRM .
I.1.5. Định nghĩa :

M được gọi là R-modul bất khả qui nếu MR (0) và M chỉ có hai modul con tầm thường
là (0) và M.
I.1.6. Bổ đề Schur:

Nếu M là R-modul bất khả qui thì C(M) là một thể.
I.1.7. Bổ đề :

Nếu M là R-modul bất khả qui thì M đẳng cấu với modul R/ với  là ideal phải tối đại
của R .Hơn nữa tồn tại aR sao cho x-ax  với mọi xR
( được gọi là ideal phải chính qui).Ngược lại với  là ideal phải tối đại chính qui thì R/ là
R-modul bất khả qui.
Chứng minh:
Vì M là R-modul bất khả qui nên MR  (0). S =  uM/ uR = (0) là modul con của M
và S  M nên S = (0).Do đó với m  0 thì mR  0 mà mR là modul con của M nên mR = M .
Xét ánh xạ  :R M
r  m.r
 là toàn cấu R-modul và ker =rR/mr = 0=  là ideal phải của R.
Ta có R/  M. M là bất khả qui nên R/ là modul bất khả qui do đó  là ideal phải tối
đại.Mặt khác từ mR = M , aR sao cho ma = m.Với mọi xR ta có max = mx  m(x-ax) =

0  x-ax,xR.Vậy  là ideal phải tối đại chính qui của R. Ngược lại nếu  là ideal phải
tối đại chính qui thì R/ là modul bất khả qui.
Nhận xét: Nếu R có đơn vị thì mọi ideal phải tối đại của R đều là ideal phải tối đại
chính qui.
I.2. Radical của vành
I.2.1. Định nghĩa:

Radical Jacobson của vành R,kí hiệu là J(R) là tập hợp các phần tử của R linh hoá tất cả
các modul bất khả qui trên R. Nếu R khơng có modul bất khả qui ta qui ước J(R) = R và gọi


là vành radical.Theo định nghĩa ta có J(R) =  A(M) ( giao lấy trên mọi M bất khả qui) là
ideal hai phía của R.
I.2.2. Định nghĩa :

 là ideal phải của R ,kí hiệu ( :R) =  xR/Rx   
I.2.3. Bổ đề :

a/Nếu  là ideal phải chính qui thì (:R) là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong .
b/ Nếu  là ideal phải tối đại chính qui thì A(M) = (:R) với M = R/ .
I.2.4. Định lý:

J(R) =  (:R) trong đó  chạy qua tất cả ideal phải tối đại chính qui của R và (:R)
là ideal hai phía lớn nhất của R chứa trong .
Áp dụng Bổ đề Zorn ta có bổ đề sau:
I.2.5.Bổ đề:

Nếu  là ideal phải chính qui của R (  R) thì  nằm trong một ideal phải tối đại
chính qui nào đó.
I.2.6. Định lý:

J(R) =   trong đó  chạy qua tất cả ideal phải tối đại chính qui của R. Chứng minh:
Theo định lí I.2.4 ta có J(R) =  (:R) và (:R)   nên J(R)   . Đặt T =   và lấy
xT. Ta chứng minh x tựa chính qui tức  wR sao cho :
x + w + xw = 0 .Xét tập A =xy+y/yR là ideal phải của R.
Nếu A  R thì theo bổ đề I.2.5 tồn tại ideal phải tối đại chính qui 0 chứa A
(do A là chính qui với a = -x).
Vì x T =   nên x 0  xy 0 ,yR  y = (xy+y) - xy 0, yR
 0 = R (vơ lí)
Vậy xy + y/yR= R.Với -xR , wR sao cho :
xw + w = -x  x + w + xw = 0.Nếu T J(R) thì tồn tại modul bất khả qui M sao cho T
A(M)  M.T  (0)  mM:mT (0).Mà mT là modul con của M và M là bất khả qui nên
mT = M ,khi đó tT sao cho mt = -m.Vì tT nên sR:t + s + ts = 0 mt + ms + mts = 0
 mt = 0  m = 0(vơ lí).


Vậy T J(R) T = J(R)  J(R) =   .
I.2.7. Định nghĩa:

aR được gọi là tựa chính qui phải nếu
 a/R :a + a/ + aa/ = 0.
a/ gọi là tựa nghịch đảo phải của a.Tương tự ta có định nghĩa tựa chính qui trái và tựa nghịch
đảo trái.Một ideal phải gọi là tựa chính qui phải nêú mọi phần tử của nó là tựa chính qui
phải.Như vậy J(R) là ideal phải tựa chính qui phải.
Tương tự như trong chứng minh định lí 1.2.6 phần T =    J(R) ta có kết quả sau:
I.2.8. Định lý:

J(R) là ideal phải tựa chính qui phải và chứa mọi ideal phải tựa chính qui phải,tức là J(R)
là ideal phải tựa chính qui phải tối đại duy nhất của R.Ta kí hiệu Jr(R) =  ,  chạy khắp
ideal phải tối đại chính qui phải của R và Jl(R) =  ,  chạy khắp ideal trái tối đại chính qui

trái của R.
Sau đây ta sẽ chứng minh:Jr( R) = Jl( R).
Tương tự định lí I.2.8 Jl( R) là ideal trái tựa chính qui trái tối đại duy nhất của R.Giả sử
aJr( R) vừa tựa chính qui phải vừa tựa chính qui trái,khi đó tồn tại b,c  R sao cho :
a+b+ba = 0 và a+c+ac = 0 (1) suy ra ba+bc+bac = 0 và ac+bc+bac = 0 do đó
ba = ac (2).Từ (1) và (2) suy ra b = c. Nói khác đi tựa nghịch đảo trái và phải của a trùng
nhau.
Giả sử aJr(R),a tựa chính qui phải nên a/R sao cho a + a/ + aa/ = 0 
a/ = - a – aa/ Jr(R).Với a/Jr(R) a//R: a/ + a// + a/a// = 0, a và a// lần lượt là nghịch đảo trái
,phải của a/ nên a = a//.Từ đó suy ra a/ + a + a/a = 0 tức a là tựa chính qui trái.Vậy Jr( R) là
ideal trái tựa chính qui trái nên Jr(R)  Jl(R).
Tương tự Jl(R)  Jr(R), do đó Jr(R) = Jl(R).
Nhận xét: Tựa nghịch đảo phải (trái) của a là duy nhất.Thật vậy giả sử
a +a/ +aa/ = 0 và a +a// +aa// = 0 , do a có nghịch đảo trái là a/ nên a +a/ +a/a = 0 từ đó suy ra a/
= a//.
I.2.9.Định nghĩa:

 Phần tử aR được gọi là lũy linh nếu tồn tại nN sao cho an = 0 .


 Ideal phải (trái, hai phía) của R được gọi là nil-ideal phải (trái,hai phía) nếu mọi phần tử
của nó đều lũy linh.
 Ideal phải (trái, hai phía)  của R được gọi là lũy linh nếu tồn tại mN sao cho a1a2…am
= 0 với mọi ai,tức tồn tại mN sao cho m = 0.
Nhận xét: a/Nếu  là lũy linh thì  là nil-ideal.
b/Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính qui.Thật vậy giả sử aR lũy linh khi đó
tồn tại nN sao cho an = 0.Gọi b = -a+a2-a3+…+(-1)n-1an-1 thì
a+b+ab = 0 suy ra a là tưạ chính qui phải.Tương tự a cũng là tựa chính qui trái.
c/J(R) chứa mọi nil-ideal một phía.
d/ Nếu R có ideal phải lũy linh khác (0) thì R có ideal hai phía lũy linh khác (0).

I.3. Radical của một đại số:
I.3.1. Định nghĩa:

A được gọi là đại số trên trường F nếu A thoả các điều kiện sau:
a/ A là một vành.
b / A là không gian vectơ trên trường F.
c / a,bA, F thì (ab) = (a)b = a(b).
Nếu A có đơn vị 1 thì .1 với F nằm trong tâm của A.Thật vậy ta có

(.1)a = (1.a)

= (a.1) = a(.1),aA.
I.3.2. Mệnh đề:

A là một đại số trên trường F. Khi đó radical Jacobson của đại số A trùng với radical
Jacobson của vành A.
Chứng minh:
Giả sử  là ideal phải tối đại chính qui của A thì  là vành con của A,hơn nữa  cịn là
khơng gian con của A trên F, tức F.
Thật vậy,giả sử F  thì F + =A (do  là ideal phải tối đại của A và F là ideal
phải của A).Ta có A2 = (F+)A  (F)A+A A.Vì  là chính qui nên có aA sao
cho x-ax,xA nhưng axA2   x,xA   = A (vơ lí) .
Vậy mọi ideal phải tối đại chính qui của A với tư cách là vành cũng chính là ideal phải tối
đại chính qui của A với tư cách là đại số.
Vậy Jvành(A)=Jđại số(A) .


I.4.Vành nửa đơn
I.4.1.Định nghĩa: R được gọi là vành nửa đơn nếu J(R) = (0).
I.4.2.Định lý: R là một vành thì R J (R) là vành nửa đơn.

I.4.3. Định lý:
Nếu A là ideal hai phía của R thì J(A) = A  J(R).
I.4.4. Hệ quả : Nếu R là vành nửa đơn thì mọi ideal của R cũng nửa đơn.
Chú ý : Kết quả định lý I.4.3 khơng cịn đúng nếu A là ideal một phía .
Chẳng hạn lấy R là vành ma trận vuông cấp 2 trên trường F. R là vành nửa đơn nên J(R)
=(0).
 





0  

  ,   F  là ideal phải của R và x  
  J ( A) với F
Lấy A= 
0 0 
 0 0 


vì x2

 0  

0  
   F  là nil ideal phải của A J(A)  (0) .Do đó
  (0)  x lũy linh và 
= 
0 0 

 0 0 

2

J(A)  A  J(R).
I.4.4. Định lý:
Kí hiệu Rn là vành các ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó J(Rn) = (J( R))n
I.5. Vành Artin
I.5.1. Định nghĩa:

Vành R gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác  các ideal phải đều có phần tử tối tiểu
.Ta thường gọi vành Artin phải là vành Artin.
Một vành là vành Artin khi và chỉ khi mọi dãy giảm các ideal phải của R
1  2 … m … đều dừng , tức  n N sao cho n = n+1 =…
I.5.2. Các ví dụ:

- Trường , thể và các vành hữu hạn đều là vành Artin.
- Vành các ma trận vuông cấp n trên một thể là vành Artin.
- Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin.
- Đại số hữu hạn chiều trên một trường là đại số Artin.
- Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin, nên vành thương của vành Artin là vành
Artin.


I.5.3. Định lý:

Nếu R là vành Artin thì J(R) là ideal lũy linh.
I.5.4. Hệ quả :

Nếu R là vành Artin thì mọi nil ideal (phải , trái , hai phía) của R là lũy linh.

Thật vậy vì mọi nil-ideal đều nằm trong J(R), mà J(R) là lũy linh nên nil-ideal cũng
lũy linh.
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh một định lí quan trọng được áp dụng nhiều sau này
do Jacobson và Chevalley đưa ra đó là định lí dày đặc.
I.6. Định lý dày đặc :
I.6.1. Định nghĩa:

Vành R được gọi là vành nguyên thuỷ nếu nó có modul bất khả qui trung thành.
Nhận xét : 1/Nếu M là R modul bất khả qui và A(M)=xR/Mx = 0  thì R A(M ) là vành
nguyên thủy (bổ đề I.1.2).Đặc biệt nếu  là ideal phải tối đại chính qui của R và nếu M =
R

R
 thì (  : R) là vành nguyên thủy.

2) Nếu R là vành nguyên thuỷ và M là R-modul bất khả qui trung thành thì
M  R , tức R có ideal phải tối đại chính qui và A(M) = (0).



Khi đó ánh xạ  : R  E(M ) là đơn cấu nên có thể nhúng R vào
a  Ta

E(M) như vành con (theo bổ đề I.1.3)
3/Vành nguyên thuỷ là vành nửa đơn vì tồn tại  là ideal phải tối đại chính qui và
(:R) = (0)  J(R) = (:R) = (0) (theo định lí I.2.4).
I.6.2. Định lý :

R là vành nguyên thuỷ khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính qui  của R sao
cho (:R) = (0). Khi đó R là vành nửa đơn và nếu R giao hoán có đơn vị thì R là một trường .

Thật vậy nếu R là vành ngun thuỷ giao hốn thì (:R) =  = (0) là ideal tối đại
RR

(0)

là một trường .

* Giả sử R là vành nguyên thuỷ và M là modul bất khả qui trung thành .Gọi


 = C(M) là giao hoán tử của R trong M , theo bổ đề Schur (bổ đề I.1.6)  là một thể . Khi
đó M là một khơng gian vectơ trên  với phép nhân ngoài  : M    M  (m, )  m.  (m)
trong đó  : M  M thuộc  = C(M) =EndRM.
I.6.3. Định nghĩa:

Vành R được gọi là tác động dày đặc trên M ( hoặc R gọi là dày đặc trên M) nếu với mọi n
và v1,v2,…,vn trong M là hệ độc lập tuyến tính trên  và bất kì n phần tử w1,w2,…,wn trong
M thì tồn tại rR sao cho wi = vi.r (i =1,2,…,n)
Chú ý : Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều trên  và R tác động trung thành và dày
đặc trên M thì R= End  M  n ( với n = dim  M ).
n là vành các ma trận vuông cấp n trên .
Thật vậy :Nếu M là R-modul trung thành thì R nhúng vào E(M) như vành con nếu đồng nhất
r  Tr :MM với (m)Tr = mr.
 ta có:(m)Tr = m(Tr) = m(Tr) = (mTr) Tr  End  M  R  End  M . Ngược lại ,
giả sử v1,…,vn là cơ sở của M trên  và f  End  M.
Do R dày đặc trên M nên  rR sao cho (vi)f = vi.r (i =1,2,…,n) 
(vi)f= (vi)Tr  f =Tr  rR  End  M  R. Vậy R= End  M  n.
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh định lý quan trọng làm cơ sở cho việc chứng minh định lý
Kaplasky-Amitsur sau này ,đó là định lý dày đặc.Định lý này được chứng minh với khái
niệm dày đặc theo nghĩa đại số.Sau này chúng ta sẽ xây dựng một tôpô để khái niệm dày đặc

trong đại số sẽ trùng với sự dày đặc theo nghĩa tôpô và một số tính chất để hồn thiện việc
chứng minh định lý Kaplasky-Amitsur.
I.6.4. Định lý (Định lý dày đặc)

R là vành nguyên thuỷ và M là R-modul bất khả qui trung thành . Nếu
 = C(M) thì R dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên .
Chứng minh :
Để chứng minh R dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên  ta chứng minh rằng
với V là không gian vectơ con hữu hạn chiều của M trên  và mM \ V ta tìm được rR với
V.r = (0) nhưng m.r 0.


Thật vậy giả sử tìm được r như thế, m.r 0 và M là bất khả qui nên mr.R=M, do đó
m’M , sR:mrs = m’ và Vrs = (0).
Lấy v1,v2,…,vnM độc lập tuyến tính trên  và w1,w2,…,wnM tuỳ ý.Gọi Vi
(i =1,2,…,n) là không gian con của M sinh bởi v1,v2,…,vi-1,vi+1,…,vn.
Vì viVi nên  tiR : vi.ti= wi và Viti = (0) (ở đây ti = rs ở trên)
Đặt t = t1+t2+…+tn thì ta có vit = wi (i = 1,2,…,n) nên R dày đặc trên M.
Giả sử V là không gian con hữu hạn chiều của M trên  và mM\V. Ta chứng minh rằng tìm
được rR sao cho Vr = (0) nhưng mr 0. Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo số chiều của
V trên .
. DimV = 0  V  0

m  0, m  V , r  R : mr  0 (do mR = M rR:mr0)

. Gọi V=V0+ với dimV0 = dimV-1, V0 .Theo giả thiết qui nạp nếu đặt
A(V0) = x  R / V0 x  (0) thì y V0  rA(V0) sao cho yr 0 yA(V0)0. Tương đương
điều này là :rA(V0) mà yr = 0  yV0 tức là nếu m.A(V0)=(0) thì mV0.
Ta có A(V0) là ideal phải của R , vì   V0 nên . A(V0 )  (0) .Mặt khác . A(V0 ) là modul
con của M bất khả qui nên .A(V0) = M.

Giả sử phản chứng rằng với mM\V mà Vr =(0) thì kéo theo mr = 0, ta tìm sự mâu
thuẫn.
Ta định nghĩa f:MM như sau: Với xM = A(V0) thì x = a với aA(V0) ta đặt f(x) =
ma .Giả sử x = a = a’  (a-a’) = 0  a-a’ linh hoá V0 và linh hoá  nên a-a’ linh hoá
V  V(a-a’) = (0)  m(a-a’) = 0 
ma = ma’ f(a) = f(a’) do đó f được định nghĩa tốt . Rõ ràng fE(M), hơn nữa nếu
x= a với aA(V0) mà A(V0) là ideal phải của R nên arA(V0),rR, khi đó xr = (a).r =
(ar)  f(xr) = m(ar) = (ma)r = f(x).r  fEndRM = .
Do đó với aA(V0) ta có ma = f(a) = f().a  (m-f()).a = 0 , aA(V0) (mf())A(V0) = 0  m-fV0 (theo giả thiết qui nạp)  mV0+ = V (vô lý). Định lý đã
được chứng minh.
Sau đây ta sẽ xét chiều ngược lại của định lí dày đặc.
I.6.5.Định lý:

Nếu V là không gian vectơ trên thể D và R là vành con của vành End DV thỏa điều kiện :
với v 0 ,vV và V tồn tại rR sao cho


 = v.r thì R là vành nguyên thủy.
Chứng minh: V là R modul với phép nhân ngoài: V.R  V
(v,r)  (v)r
V là R modul bất khả qui vì với 0  V1 là modul con của V ta có V1R V1
 v  0 ,vV1,V:rR: = vrV1  V=V1  V là R modul bất khả qui.Hơn nữa R 
E(V) nên V là R modul bất khả qui trung thành do đó R là vành nguyên thủy.
I.6.6. Định lý:

Nếu V là không gian vectơ trên thể D và R là vành con của vành End DV thỏa điều kiện :
Với v1,v2  V độc lập tuyến tính trên D và 1, 2 V tồn tại rR sao cho v1r = 1,v2r = 2
thì R dày đặc trong V và vành giao hoán tử của R trên V trùng với D.
Chứng minh : Theo định lý I.6.5 R là vành nguyên thủy do đó R dày đặc trong V, giao hốn
tử của R trên V là C(V)= =EndRV .Vì R  EndDV nên mọi phần tử của D giao hoán với

mọi phần tử của R nên D  .Giả sử D,nếu f\D và nếu 0vV thì v và vf độc lập
tuyến tính trên D vì nếu v và vf phụ thuộc tuyến tính thì v = vf. , D  v(1-f) = 01f = 0 
f = -1 D (vơ lí).v,vf độc lập tuyến tính trên D nên tồn tại rR:vr = 0 và (vf)r = v.Vì f
=EndRV nên (vf)r = (vr)f = 0  v = 0 (vô lí) .Vậy  = D.
Định lý dày đặc cho phép mô tả nhiều kết quả về vành nguyên thuỷ và mối quan hệ của
chúng với vành các ma trận.
I.6.7.Định lý :
Nếu R là vành nguyên thuỷ thì đối với thể  = C(M) hoặc R đẳng cấu với n vành các ma
trận vuông cấp n trên  hoặc với mọi mN tồn tại vành con Sm của R sao cho m là ảnh
đồng cấu của Sm.
Chứng minh:
Theo định lý dày đặc R dày đặc các phép tính biến đổi tuyến tính của M trên . Nếu M hữu
hạn chiều trên  thì R  End  M   n với n  dim  M . Nếu M không hữu hạn chiều trên  ,
gọi v1,v2,…,vm,… là hệ vô hạn các vectơ độc lập tuyến tính của M trên .Đặt Vm=
v1+v2+…+vm

là không gian con của M sinh bởi các vectơ v1,v2,…vm

S m  x  R Vm x  Vm .

Đặt  : S m  End Vm

và gọi


x x

Vm

 là tồn cấu do tính dày đặc, thật vậy với x1 End Vm có tạo ảnh xR thoả

vix= vi x1  x V = x1 (với i =1,2,…m). Ker  Wm  x  S m / Vm x  (0) thì Sm W   m . Vậy m
m
m
là ảnh đồng cấu của Sm.
Sau đây ta sẽ giới thiệu một lớp các vành chứa lớp các vành nguyên thủy,
đó là vành nguyên tố.
I.7. Vành nguyên tố:
I.7.1. Định nghĩa:

Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu aRb = (0) (a,bR) thì a = 0 hoặc b = 0
I.7.2. Bổ đề:

Vành R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
1)
Linh hoá phải của ideal phải khác 0 của R bằng (0).
2)
Linh hoá trái của ideal trái khác 0 của R bằng (0).
3)
Nếu A,B là ideal của R và AB=(0) thì A=(0) hoặc B=(0).
I.7.3. Mệnh đề:

Vành nguyên thuỷ là vành nguyên tố .
Chứng minh : Giả sử  (0) là ideal phải của vành nguyên thuỷ R và a = (0) ta chứng
minh a = 0.
Vì R nguyên thuỷ nên tồn tại M là R modul bất khả qui trung thành. Vì từ
Mx = 0  x= 0 nên M(0).M là modul con của M nên M = M. Từ đó suy ra Ma = Ma
= (0)  a = 0. Vậy R là vành nguyên tố.
Nhận xét:Chiều ngược lại của mệnh đề I.7.3 không đúng,chẳng hạn với K là một trường








i 0



R=K[[x]]=  f ( x)   ai xi / ai  K  là vành chính nên R là vành nguyên tố .Ideal x sinh bởi x
là ideal tối đại duy nhất vì f ( x)  x thì khả nghịch trong R do đó R là vành địa phương và J(
R)= x  (0) .R không là vành nửa đơn nên R không là vành nguyên thuỷ.
I.7.4.Bổ đề:

Phần tử khác 0 trong tâm của vành nguyên tố R khơng là ước của 0 trong R.Từ đó
nếu tâm Z của vành nguyên tố R có đơn vị là khác 0 thì Z là một miền nguyên.


I.8.Vành đơn :
I.8.1. Định nghĩa:

Vành R gọi là vành đơn nếu R2(0) và R khơng có ideal nào khác ngồi (0) và R .Một thể
là một vành đơn.
I.8.2. Nhận xét :

a/ Vành R đơn và Artin thì R là nửa đơn.
Thật vậy J(R) là ideal lũy linh (định lý I.5.3) Vì R đơn nên R2= R suy ra R khơng lũy linh, do
đó J(R)= (0).Vậy R nửa đơn.
b/ Vành đơn có đơn vị là vành nửa đơn .

Thật vậy nếu R có đơn vị thì trong R tồn tại ideal phải tối đại chính qui  nên tồn tại modul
bất khả qui R   J ( R)  R  J ( R)  (0) (do R đơn ).
Vậy R nửa đơn.
c/ Vành R vừa đơn vừa nửa đơn thì R là vành nguyên thuỷ. Thật vậy R nửa đơn nên J(R)
= (0), do đó trong R tồn tại ideal phải tối đại chính qui .
Mà (:R) là ideal hai phía chứa trong  nên (:R) = (0) (do R đơn), suy ra R là vành nguyên
thuỷ ( theo định lý I.6.2).
I.8.3. Định lý (Wedderburn-Artin):

Nếu R là vành đơn Artin thì R đẳng cấu với Dn là vành các ma trận vuông cấp n trên
một thể D.Hơn nữa n là duy nhất và D tồn tại duy nhất sai khác một đẳng cấu.Ngược lại với
thể D bất kì , Dn là vành đơn Artin.
Để làm rõ khái niệm dày đặc trong đại số theo nghĩa tôpô,trong chương II tiếp theo sẽ
trình bày tơpơ hữu hạn và tơpơ Zariski.


CHƯƠNG II: TÔPÔ HỮU HẠN VÀ TÔPÔ ZARISKI.
II.1.Một số khái niệm cơ bản về không gian tôpô.
II.1.1. Tôpô trên một tập hợp. Tập mở.

II.1.1.1. Định nghĩa:
Cho tập X  , ký hiệu (X) là họ tất cả các tập con của X.
a) Một họ  các tập con của X (  (X)) gọi là một tôpô trên X nếu:
i)
ii)

Tập hợp X và tập rỗng  thuộc .
Hợp của một số tuỳ ý các tập thuộc

Gi  ( iI) 

G

i

 là tập thuộc  :

 .

iI

iii)

Giao của hữu hạn tập thuộc  là tập thuộc :
n

GK   (k  1,2,..., n)   GK  
K 1

b) Cặp (X, ) với  là tôpô trên X gọi là không gian tôpô; mỗi tập G gọi là tập mở
đối với  hay -mở.
II.1.1.2. Ví dụ:
a) Trên mỗi tập X   luôn tồn tại các tôpô :
- Tôpô thô   , X 
- Tôpô rời rạc  = (X)
b) Cho tập vô hạn X. Ta định nghĩa họ  như sau:
G khi và chỉ khi G =  hoặc X \ G hữu hạn . Họ  là một tơpơ gọi là tơpơ bù hữu
hạn.
II.1.2 . Tập đóng :

Tập hợp dạng X \ G với G gọi là đóng đối với  hay -đóng.
Vậy: F đóng  X \ F mở. Khi đó ta có:
i)

X ,  là các tập đóng.

ii)

Fi là tập đóng với mọi iI thì

F

i

là tập đóng.

iI

iii)

Fk là tập đóng với k =1,2,…,n thì

n

F

K

k 1

là tập đóng.


II.1.3 . Cơ sở của tôpô:

II.1.3.1. Định nghĩa: Cho tôpô  trên X. Họ B gọi là cơ sở của  nếu :
B   và mỗi G , G là hợp của một họ các tập con của B.
G ,  B’ B: G =  B
BB

II.1.3.2. Ví dụ:
Họ các khoảng mở là cơ sở của các tôpô thông thường của R.

a)

b) Họ các khoảng mở hữu hạn với đầu mút hữu tỉ là cơ sở của tôpô thông thường của R.
II.1.3.3. Định lý : Họ B   là cơ sở của tôpô  khi và chỉ khi nó có tính chất: G,
xG, BB :xB  G.
II.1.3.4. Định lý : Họ B các tập con của X là cơ sở của một tôpô trên X khi và chỉ khi có
hai tính chất sau :
X=  B .

i)

BB

B1,B2 B,xB1B2,B B :B B1B2

ii)

II.1.4. Cơ sở lân cận:

II.1.4.1. Định nghĩa: Cho không gian tôpô (X,) . Tập V  X gọi là một lân cận của x
nếu G  : x  G  V . Họ tất cả các lân cận của x ghi là Ux.
II.1.4.2. Mệnh đề: Họ Ux có các tính chất :
i)

V Ux thì xV

ii)

Nếu V1,V2  Ux thì V1V2 Ux

iii)

Nếu V Ux và V U thì U Ux

iv)

 V Ux ,W Ux sao cho W V và W Uy,yW.
II.1.4.3. Định lý :
Tập G là tập mở khi và chỉ khi G là lân cận của mọi điểm của nó.
II.1.4.4. Định nghĩa : Họ con B x Ux gọi là một cơ sở lân cận của x nếu:
V Ux,W B x:W V



1
1
Ví dụ :Họ B x=  x  , x   : n    là một cơ sở lân cận của x trong tôpô thông thường



của R.

n

n




II.1.4.5. Định lý :
1) Cho không gian tôpô X và với mỗi xX ta có B x là một cơ sở lân cận của x. Khi đó :
i)

xV với mọi V B x

ii)

V1,V2 B x,V B x:V V1V2.

iii)

V B x,W B x:yW,U B y:U V.

2) Ngược lại nếu với mỗi xX được gắn với họ B x các tập con của X thoả mãn i) , ii), iii)
thì tồn tại duy nhất một tôpô trên X nhận B x là cơ sở lân cận của x.
II.1.5 . Tôpô cảm sinh –không gian con:

II.1.5.1. Định nghĩa:

Cho không gian tôpô (X, ) và tập A X.
Họ A= G  A : G    là một tôpô trên A gọi là tôpô cảm sinh của  trên A. Không gian tôpô
(A, A) gọi là khơng gian tơpơ con của (X, )
Ví dụ : Nếu  là tôpô rời rạc trên X và A X thì A là tơpơ rời rạc trên A.
II.1.5.2. Mệnh đề:
Giả sử A là tôpô cảm sinh của  trên A . Khi đó :
i)

D là A-mở  G là -mở:D = GA

ii)

D là A-đóng F là -đóng :D = FA

iii)

D là A-lân cận của a VUa:D = AV

II.1.6. Bao đóng , điểm dính:

II.1.6.1. Định nghĩa: Cho A X
a) Điểm x gọi là điểm dính của tập A nếu VUx thì VA 
b) Tập tất cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, kí hiệu là A .
Hiển nhiên: A A
II.1.6.2. Định lý :
i)

A là tập đóng nhỏ nhất chứa A.

ii)

A là tập đóng khi và chỉ khi A = A .

Hệ quả:
i)

A B  A  B

ii)

A A


A B  A  B

iii)

II.1.6.3.Định nghĩa:
Tập B A gọi là trù mật ( dày đặc) trong A nếu B  A
Ví dụ: Q trù mật trong R
II.1.7. Ánh xạ liên tục:

II.1.7.1. Định nghĩa:
Cho các không gian tôpô (X,T),(Y,S) và ánh xạ f: XY.
a) Ta

nói

f

liên

nếu: V  U f ( a )

thì

tục

tại

aX

nếu

:

V  U f ( a ) , W  U a : f (W )  V

hoặc

f 1 (V )  U a .

b) Nếu f liên tục tại mọi điểm của X thì ta nói f liên tục trên X.
II.1.7.2. Mệnh đề:
Cho các không gian tôpô X,Y,Z. Nếu ánh xạ f:XY liên tục tại a, ánh xạ g:YZ liên
tục tại b = f(a) thì ánh xạ hợp g0f :XZ liên tục tại a.
II.1.7.3 Định lý : Cho các không gian tôpô X,Y và ánh xạ f:XY, các mệnh đề sau là
tương đương:
1) f liên tục trên X
2) A  X : f ( A )  f ( A)

3) f-1(B) là tập đóng với mọi B đóng .
4) f-1(B) là tập mở với mọi B mở.
Chứng minh:
1)2)

Xét tuỳ ý y= f(x)f( A ), x A . Ta có : VUy ta có f-1(V) Ux

 f 1 (V )  A   (vì x  A )  V  f ( A)    y  f ( A) . Vậy f ( A )  f ( A)

2)3)

Xét tập đóng BY, đặt A=f-1(B), ta chứng minh A đóng .Từ 2) suy ra

f ( A )  f ( A)  f ( f 1 ( B))  B  B  f 1 ( f ( A ))  f 1 ( B)  A  A  A  A .

Vậy A đóng .
3)4) B mở Y\B đóng  f 1 (Y \ B)  X \ f 1 ( B) đóng  f 1 ( B) mở.
4)1) Xét xX tuỳ ý. Giả sử V là lân cận của f(x) , khi đó tồn taị G mở trong Y sao cho
f(x)GV suy ra f-1(V) chứa tập mở f-1(G) chứa x và do đó
f-1(V) là lân cận của x. Vậy f liên tục tại x.
Hệ quả: Để có 1) chỉ cần có 4) đúng cho mọi B thuộc một cơ sở của tôpô trên Y.