Một số tính chất của môđun đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Hùng Vương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Hùng Vương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Chun ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành luận văn này, tơi đã nhận được sự giúp đỡ của rất nhiều người. Đầu tiên
tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Tuấn Nam, người thầy đã chỉ bảo tận tình
trong quá trình giảng dạy cũng như trong quá trình hướng dẫn, giúp tơi vượt qua những khó
khăn để hồn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các q Thầy, Cơ đã tận tình giảng dạy cho tơi trong
suốt quá trình học cao học. Những kiến thức quý báu này sẽ làm hành trang cho quá trình
học tập và nghiên cứu sau này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tơi muốn tỏ lịng biết ơn gia đình tơi, bạn bè tơi, những người đã giúp đỡ,
động viên tơi trong suốt khóa học này.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013
BÙI HÙNG VƯƠNG

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
KÍ HIỆU ....................................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ................................................................... 7
1.1. Hàm tử dẫn xuất trái...................................................................................................... 7
1.2. Giới hạn nghịch ............................................................................................................. 9
1.3. Đầy đủ của môđun ...................................................................................................... 11

1.4. Bao nội xạ ................................................................................................................... 13
1.5. Đối Ngẫu Matlis .......................................................................................................... 14
1.6. Phức Koszul ................................................................................................................ 15
1.7. Phạm trù ∗ 𝓜(𝑹)....................................................................................................... 17

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG ................................................................................................................... 19
2.1. Hàm tử dẫn xuất của hàm tử đầy đủ I-adic ................................................................ 19

2.2. Môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul ...................................... 21
2.3. Đồng điều địa phương của môđun Artin .................................................................... 35

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG PHÂN BẬC ............................................................................................. 49
3.1. ∗ Giới hạn nghịch ....................................................................................................... 49
3.2. Đầy đủ ∗ adic của môđun ........................................................................................... 52

3.3. Phức Koszul trong phạm trù ∗ 𝓜𝑹 ........................................................................... 56
3.4. Môđun đồng điều địa phương phân bậc ..................................................................... 58

3.5. Môđun đồng điều địa phương phân bậc và môđun đồng điều Koszul ...................... 61
3.6. Đồng điều địa phương phân bậc của môđun Artin .................................................... 69

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 78

2


KÍ HIỆU

ℕ

𝑅

vành giao hốn có đơn vị.

Hom𝑅 (𝑀, 𝑁)
End𝑅 (𝑀, 𝑀)

tập hợp tất cả các 𝑅-đồng cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑁.

tập hợp tất cả các 𝑅-tự đồng cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑀.

tập các số tự nhiên 0, 1, 2,….

ℳ (𝑅 )

phạm trù các R-mơđun và R-đồng cấu.

Ann𝑅 (𝑀)

linh hóa tử của môđun 𝑀.

∗

phạm trù các R-môđun phân bậc và R-đồng cấu thuần nhất.

ℳ (𝑅 )

∗

lim𝑀𝑖 , ∗lim𝑀𝑖
⟵
𝑖

⟵

lim𝑀𝑖 , lim𝑀𝑖
⟵
𝑖

⟵

giới hạn nghịch của hệ nghịch các môđun {𝑀𝑖 }.
∗

giới hạn nghịch của hệ nghịch các môđun phân bậc {𝑀𝑖 }.

lim𝑀𝑖 , lim𝑀𝑖

giới hạn thuận của hệ thuận các môđun {𝑀𝑖 }.

𝑅�

đầy đủ của vành 𝑅.

∧ 𝐼 , ∧ 𝐼 (− )

hàm tử đầy đủ 𝐼-adic.

⟶
𝑖

�
𝑀

⟶

∧𝐼 (𝑀)

đầy đủ của môđun 𝑀.

đầy đủ 𝐼-adic của môđun 𝑀.

𝐿𝐼𝑖

hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∧𝐼 .

𝐻𝑖𝐼 (𝑀)

môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo iđêan 𝐼.

𝐻𝐼𝑖 (𝑀)
∗

∧𝐼 (𝑀)

∗

∧𝐼 , ∗∧𝐼 (−)

∗ 𝐼
𝐿𝑖

𝐻𝑖𝐼 (𝑀)

∗

môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của 𝑀 theo iđêan 𝐼.
đầy đủ 𝐼- ∗ adic của môđun phân bậc 𝑀.

hàm tử đầy đủ 𝐼- ∗ adic

hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∗∧𝐼 .

môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 của môđun phân bậc 𝑀
theo iđêan 𝐼.

𝐾∘ (𝑥)

phức Koszul của vành 𝑅 theo dãy 𝑥 = (𝑥1 , … 𝑥𝑟 ).

𝐻𝑖 (𝑥)

môđun đồng điều Koszul thứ 𝑖 của phức 𝐾∘ (𝑥).

𝐾∘ (𝑥; 𝑀)
𝐻𝑖 (𝑥; 𝑀)
𝑥

𝐻𝑖 (𝑀)

phức Koszul của môđun 𝑀 theo dãy 𝑥 = (𝑥1 , … 𝑥𝑟 ).

môđun đồng điều Koszul thứ 𝑖 của phức 𝐾∘ (𝑥; 𝑀).

môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của 𝑀 theo dãy 𝑥.
3


𝐸(𝑀)

bao nội xạ của môđun 𝑀.

dim 𝑀

chiều Krull của môđun 𝑀.

𝐷(𝑀)

Ndim 𝑀

Ass𝑅 (𝑀)

Coass𝑅 (𝑀)

đối ngẫu Matlis của môđun 𝑀.
chiều Noether của môđun 𝑀.

tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với môđun 𝑀.

tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun 𝑀.

4


MỞ ĐẦU
Lý thuyết về đối đồng điều địa phương là một cơng cụ quan trọng trong hình học đại số
và ngày càng có nhiều ứng dụng trong đại số giao hốn. Do đó nhiều nhà tốn học trên thế
giới đã tìm cách xây dựng một lý thuyết khác, xem như là đối ngẫu với lý thuyết này. Vấn
đề này đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974), Greenlees – May (1992),
Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman (1999),…Tuy nhiên các kết quả còn hạn chế và
chủ yếu nghiên cứu trên lớp các mơđun Artin vì giới hạn ngược không khớp phải trên phạm
trù các môđun.
Năm 1999-2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã đưa ra một định nghĩa của
môđun đồng điều địa phương và chứng minh được nhiều kết quả cho lớp môđun Artin, hơn
nữa các tác giả còn mở rộng và phát triển lý thuyết đồng điều địa phương cho lớp các
mơđun Compact tuyến tính, là lớp môđun rất rộng chứa lớp môđun Artin.
Luận văn này sẽ tập trung nghiên cứu về các tính chất của môđun đồng điều địa phương,
đặc biệt trên lớp các môđun Artin. Nội dung luận văn được tham khảo trực tiếp từ bài báo
của Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam: “The I-adic completion and local homology for
Artinian modules” [8]. Trên cơ sở chứng minh chi tiết các vấn đề được nêu ra trong bài báo
và nghiên cứu các tính chất này cho đồng điều địa phương phân bậc, xem như là khái niệm
đối ngẫu với đối đồng điều địa phương phân bậc.
Luận văn được trình bày thành ba chương. Chương một chúng ta sẽ trình bày một số
kiến thức được trang bị dùng đến cho hai chương sau, như: hàm tử dẫn xuất trái, giới hạn
nghịch, đầy đủ của một môđun, bao nội xạ, đối ngẫu Matlis, phức Koszul, phạm trù các
mơđun phân bậc. Chương hai trình bày các tính chất của môđun đồng điều địa phương. Cụ
thể như sau:
Trong phần 2.1 của chương hai chúng ta sẽ trình bày về hàm tử dẫn xuất trái của hàm tử

đầy I-adic, ∧𝐼 (−). Do hàm tử này không khớp trái nên ta sẽ xét mối quan hệ của nó với

hàm tử dẫn xuất trái 𝐿𝐼0 (−).

Phần 2.2 trình bày mối liên hệ giữa môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều

Koszul. Trước tiên định nghĩa môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo
iđêan 𝐼 , ký hiệu 𝐻𝑖𝐼 (𝑀), được xác định bởi

𝐻𝑖𝐼 (𝑀) = limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀).
⟵
𝑡

5


Khi đó {𝐻𝑖𝐼 (−)}𝑖≥0 là một dãy nối dương từ phạm trù ℳ (𝑅 ) vào chính nó. Sau đó chỉ ra
mối liên hệ giữa 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) và 𝐿𝐼𝑖 (𝑀), chứng minh một số tính chất của mơđun 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) như

tính I-tách và cơng thức tính dựa vào đối ngẫu Matlis. Cuối cùng chỉ ra đẳng cấu tự nhiên
giữa môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul.
Tới phần 2.3, chính là trọng tâm của chương này, sẽ trình bày một số tính chất về mơđun

đồng điều địa phương cho lớp các môđun Artin. Trước hết là đẳng cấu tự nhiên giữa 𝐻𝑖𝐼 (−)
và 𝐿𝐼𝑖 (−) cho lớp môđun này. Dựa vào đẳng cấu này chúng ta sẽ có dãy khớp dài các

môđun đồng điều địa phương đối với dãy khớp ngắn các mơđun Artin. Tiếp theo là tính chất
∧𝐼 -acyclic và đặc trưng về đồng điều địa phương của môđun Artin I-tách. Đưa ra định lý

“Flat base change theorem” cho môđun đồng điều địa phương. Cuối cùng xét tính Artin và

Noether, tính triệt tiêu và khơng triệt tiêu của mơđun đồng điều địa phương.

Cuối cùng chương 3 trình bày một số tính chất cơ bản của mơđun đồng điều địa phương
phân bậc. Môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 của môđun phân bậc 𝑀 theo iđêan 𝐼
, ký hiệu ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀), được xác định bởi

𝐻𝑖𝐼 (𝑀) = ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀).

∗

⟵
𝑡

Trong phạm vi luận văn chỉ mới tập trung nghiên cứu và chứng minh một số tính chất
được chuyển từ tính chất của mơđun đồng điều địa phương qua. Vẫn cịn nhiều tính chất đặc
trưng về phân bậc chưa được nhắc đến.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng trong q trình làm luận văn nhưng do kiến thức còn
hạn hẹp nên chắc rằng luận văn vẫn khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự
góp ý của Q Thầy Cơ, bạn đọc,... để nội dung của luận văn được hoàn chỉnh hơn.

6


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm tử dẫn xuất trái
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞 là hai

phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Chúng ta xây đựng hàm tử 𝐿𝑛 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, với mọi số

nguyên 𝑛 như sau:

Với mỗi vật 𝐴 ∈ 𝒜, chọn một phép giải xạ ảnh của 𝐴
𝑑2

𝑑1

𝜀

𝑃∘ : … → 𝑃2 �⎯⎯⎯� 𝑃1 �⎯⎯⎯� 𝑃0 �⎯⎯� 𝐴 → 0.

Phức thu gọn tương ứng là (đôi khi ta dùng kí hiệu 𝑃∘ cho phức thu gọn)
𝑑2

𝑑1

𝑷∘ : … → 𝑃2 �⎯⎯⎯� 𝑃1 �⎯⎯⎯� 𝑃0 → 0.

Tác động hàm tử 𝑇 vào phức thu gọn trên ta được phức 𝑇𝑷∘ , sau đó lấy đồng điều, và định

nghĩa

(𝐿𝑛 𝑇)𝐴 = 𝐻𝑛 (𝑇𝑷∘ ) = Ker𝑇𝑑𝑛 /Im𝑇𝑑𝑛+1 .

Định nghĩa này rõ ràng không phụ thuộc vào phép giải xạ ảnh của 𝐴 ([23, 6.20]).

Khi đó 𝐿𝑛 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞 là hàm tử cộng tính và hiệp biến với mọi 𝑛 ([23, 6.17]). Hàm tử 𝐿𝑛 𝑇
được gọi là hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑛 của 𝑇.

Định lý 1.1.2 ([23, 6.27]). Cho hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞

là hai phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Nếu ta có dãy khớp ngắn trong 𝒜
𝑓

𝑔

0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0.

Khi đó chúng ta có khớp dài trong 𝒞
(𝐿𝑛+1 𝑇)𝑓

(𝐿𝑛+1 𝑇)𝑔

𝛿𝑛+1

(𝐿𝑛 𝑇)𝑓

(𝐿𝑛 𝑇)𝑔

… �⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐵 �⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 �⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐴 �⎯⎯⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐵 �⎯⎯⎯� …
(𝐿1 𝑇)𝑔

𝛿1

(𝐿0 𝑇)𝑓

(𝐿0 𝑇)𝑔

… �⎯⎯⎯� (𝐿1 𝑇)𝐶 → (𝐿0 𝑇)𝐴 �⎯⎯⎯� (𝐿0 𝑇)𝐵 �⎯⎯⎯� (𝐿0 𝑇)𝐶 → 0.

Chú ý là các đồng cấu nối 𝛿𝑛+1 : (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 → (𝐿𝑛 𝑇)𝐴, 𝑛 ≥ 0 có tính chất tự nhiên; nghĩa là,

nếu dãy khớp ngắn 0 → 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ → 0 trong 𝒜 làm biểu đồ giao hoán
0→𝐴→𝐵 →𝐶 →0
↓
↓
↓
0 → 𝐴′ → 𝐵′ → 𝐶′ → 0

Thì biểu đồ sau giao hoán

𝛿

(𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 �⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐴
↓

7

↓


𝛿′

(𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 ′ �⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐴′ .

Hệ quả 1.1.3 ([23, 6.28]). Nếu 𝑇: ℳ(𝑅) ⟶ ℳ(𝑅 ′ ) là hàm tử cộng tính và hiệp biến thì

hàm tử 𝐿0 𝑇 là khớp phải.

Hơn nữa nếu như có thêm giả thuyết 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞 là hàm tử cộng tính, hiệp biến và khớp

phải thì 𝑇 đẳng cấu tự nhiên với 𝐿0 𝑇 ([23, 6.29]).

Định nghĩa 1.1.4. Cho 𝒜, 𝒞 là phạm trù Abel. Dãy các hàm tử cộng tính, hiệp biến

{𝑇𝑛 : 𝒜 ⟶ 𝒞}𝑛≥0 được gọi là dãy nối dương, nếu với mỗi dãy khớp ngắn trong 𝒜, 0 → 𝐴
𝛿𝑛+1

→ 𝐵 → 𝐶 → 0, tồn tại các đồng cấu nối 𝑇𝑛+1 (𝐶 ) �⎯� 𝑇𝑛 (𝐴) sao cho phức
𝛿𝑛+1

… → 𝑇𝑛+1 (𝐵) → 𝑇𝑛+1 (𝐶 ) �⎯� 𝑇𝑛 (𝐴) → 𝑇𝑛 (𝐵) → ⋯
𝛿1

… → 𝑇1 (𝐶 ) → 𝑇0 (𝐴) → 𝑇0 (𝐵) → 𝑇0 (𝐶 ) → 0

tồn tại và các đồng cấu nối này có tính chất tự nhiên.

Dãy {𝑇𝑛 }𝑛≥0 được gọi là dãy nối dương mạnh nếu như có thêm điều kiện phức trên là

khớp.

Đồng cấu 𝑓: {𝑇𝑛 }𝑛≥0 → {𝐻𝑛 }𝑛≥0 của hai dãy nối dương là dãy các phép biến đổi tự nhiên

𝑓𝑛 : 𝑇𝑛 → 𝐻𝑛 với 𝑛 ≥ 0, thỏa với mỗi dãy khớp ngắn 0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0 thì biểu đồ sau
giao hoán

𝛿

𝑓𝑛+1 (𝐶)

𝑇𝑛+1 (𝐶 ) �⎯⎯⎯⎯� 𝑇𝑛 (𝐴)
𝛿

𝑓𝑛 (𝐴)

𝐻𝑛+1 (𝐶 ) �⎯⎯⎯⎯� 𝐻𝑛 (𝐴).

Định lý 1.1.5 ([23, 6.36]). Cho 𝒜, 𝒞 là phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Nếu

{𝑇𝑛 }𝑛≥0 , {𝐻𝑛 }𝑛≥0 là dãy nối dương mạnh từ 𝒜 ⟶ 𝒞, với 𝐻𝑛 (𝑃) = 0 cho mọi vật xạ ảnh 𝑃

và 𝑛 ≥ 1, và nếu 𝑓0 : 𝑇0 → 𝐻0 là biến đổi tự nhiên, thì tồn tại duy nhất đồng cấu 𝑓: {𝑇𝑛 } →
{𝐻𝑛 }. Hơn nữa nếu 𝑓0 là đẳng cấu tự nhiên thì 𝑓𝑛 là đẳng cấu tự nhiên với mọi 𝑛 ≥ 0.

Hệ quả 1.1.6. Cho hai hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇, 𝐻: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞 là hai

phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Nếu hai hàm tử 𝑇 và 𝐻 là đẳng cấu tự nhiên; 𝐿𝑛 𝐻 (𝑃) =
0 cho mọi vật xạ ảnh 𝑃 và 𝑛 ≥ 1, khi đó tồn tại đẳng cấu giữa hai dãy nối dương mạnh
{𝐿𝑛 𝑇}𝑛≥0 và {𝐿𝑛 𝐻 }𝑛≥0 .

8


1.2. Giới hạn nghịch
Trong phần này các môđun được xét trên vành 𝑅 và các họ môđun đều được chỉ số bởi

tập số tự nhiên ℕ. Những trường hợp khác sẽ được nói rõ.

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử {𝑀𝑖 }𝑖∈ℕ là họ các R-môđun và với mỗi cặp 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ , 𝑖 ≤ 𝑗, tồn

tại đồng cấu R-môđun 𝜃𝑗𝑖 : 𝑀𝑗 → 𝑀𝑖 . Khi đó họ (𝑀𝑖 )𝑖∈ℕ cùng với họ đồng cấu (𝜃𝑗𝑖 )𝑗≥𝑖 được
gọi là một hệ nghịch nếu các điều kiện sau thỏa:

(i) 𝜃𝑖𝑖 : 𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 là ánh xạ đồng nhất, ∀𝑖 ∈ ℕ.
(ii) Với mọi 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 thì 𝜃𝑘𝑖 = 𝜃𝑗𝑖 ∘ 𝜃𝑘𝑗 .

Khi đó chúng ta có thể kí hiệu hệ nghịch này là �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 �. Đôi khi là {𝑀𝑖 } (khi không cần

nhắc đến vai trò của các đồng cấu 𝜃𝑗𝑖 ). Nếu mọi 𝜃𝑗𝑖 là tồn cấu thì hệ nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � được
gọi là hệ nghịch toàn cấu.

Định nghĩa 1.2.2. Cho hệ nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 �. Tập con của tích trực tiếp ∏𝑖∈ℕ 𝑀𝑖 gồm tất cả

các phần tử (𝑥𝑖 )𝑖∈ℕ thỏa mãn 𝜃𝑗𝑖 (𝑥𝑗 ) = 𝑥𝑖 , với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ , 𝑖 ≤ 𝑗 lập thành 𝑅-môđun con

của ∏𝑖∈ℕ 𝑀𝑖 . Ta gọi môđun này là giới hạn nghịch của hệ nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � và được kí hiệu

là lim𝑀𝑖 hay đơn giản là lim𝑀𝑖 .
⟵
𝑖

⟵

Chú ý 1.2.3. Giả sử �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � là một hệ nghịch, ta xét họ {𝜃𝑖+1 : 𝑀𝑖+1 → 𝑀𝑖 }𝑖∈ℕ , là con của

họ �𝜃𝑗𝑖 �𝑗≥𝑖 . Nếu như không nhắc đến các ánh xạ đồng nhất 𝜃𝑖𝑖 : 𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 , ∀𝑖 ∈ ℕ, thì hệ

nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � đơi khi được kí hiệu là {𝑀𝑖 , 𝜃𝑖 }. Khi đó với ∀𝑗 > 𝑖, 𝜃𝑗𝑖 = 𝜃𝑖+1 ∘ ⋯ ∘ 𝜃𝑗 .

Như vậy

lim 𝑀𝑖 = {(𝑥𝑖 )|𝜃𝑖+1 (𝑥𝑖+1 ) = 𝑥𝑖 , ∀𝑖 ≥ 0}.
⟵

Mệnh đề 1.2.4 ([2, C.2, 4.3]). Cho hệ nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 �, khi đó tồn tại giới hạn nghịch

lim𝑀𝑖 . Xét họ R-đồng cấu {𝑓𝑖 }𝑖∈ℕ , với 𝑓𝑖 ∶ lim𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 là phép chiếu xuống
⟵

⟵

thành phần thứ 𝑖. Khi đó các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) 𝑓𝑖 = 𝜃𝑗𝑖 ∘ 𝑓𝑗 , với mọi 𝑗 ≥ 𝑖.

(ii) Nếu tồn tại R-môđun 𝑀′ và họ các R-đồng cấu {𝑔𝑖 }𝑖∈ℕ , 𝑔𝑖 : 𝑀′ → 𝑀𝑖 , cũng thỏa

điều kiện trên, tức là 𝑔𝑖 = 𝜃𝑗𝑖 ∘ 𝑔𝑗 , ∀𝑗 ≥ 𝑖, thì tồn tại duy nhất R-đồng cấu 𝜆: 𝑀′ → lim𝑀𝑖
⟵

sao cho 𝑔𝑖 = 𝑓𝑖 ∘ 𝜆, ∀𝑖 ∈ 𝐼.

Ví dụ 1.2.5. Cho mơđun 𝑀 và dãy giảm các môđun con

𝑀 = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ … ⊇ 𝑀𝑛 ⊇ …
9


Khi đó họ {𝑀𝑛 }𝑛∈ℕ cùng với họ các phép nhúng (𝜃𝑛 : 𝑀𝑛 → 𝑀𝑛−1 )𝑛∈ℕ∗ lập thành một hệ
nghịch và chúng ta có lim𝑀𝑛 ≅ ⋂∞
𝑖=0 𝑀𝑖 .

⟵

Định nghĩa 1.2.6. Cho �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 �, �𝑁𝑖 , 𝜑𝑗𝑖 �, �𝑃𝑖 , 𝜓𝑗𝑖 � là các hệ nghịch, đồng cấu �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � ⟶

�𝑁𝑖 , 𝜑𝑗𝑖 � là tập hợp các R-đồng cấu 𝑓𝑖 : 𝑀𝑖 ⟶ 𝑁𝑖 , với 𝑖 ∈ ℕ, sao cho với mỗi 𝑗 ≥ 𝑖 thì biểu
đồ sau giao hốn

𝑓𝑗

𝑀𝑗 �⎯⎯⎯⎯� 𝑁𝑗

𝜃𝑗𝑖

𝑓𝑖

𝜑𝑗𝑖

𝑀𝑖 �⎯⎯⎯⎯� 𝑁𝑖

ta kí hiệu đồng cấu này là {𝑓𝑖 }.
Dãy đồng cấu các hệ nghịch

{𝑓𝑖 }

{𝑔𝑖 }

0 → �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � �⎯⎯⎯� �𝑁𝑖 , 𝜑𝑗𝑖 � �⎯⎯⎯� �𝑃𝑖 , 𝜓𝑗𝑖 � → 0

được gọi là khớp nếu với mỗi 𝑖 ∈ ℕ dãy sau là khớp
𝑓𝑖

𝑔𝑖

0 → 𝑀𝑖 �⎯⎯⎯⎯� 𝑁𝑖 �⎯⎯⎯⎯� 𝑃𝑖 → 0.

Định lý 1.2.7 ([2, C.2, 4.6]). Cho dãy khớp các hệ nghịch
{𝑓𝑖 }

{𝑔𝑖 }

0 → �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � �⎯⎯⎯� �𝑁𝑖 , 𝜑𝑗𝑖 � �⎯⎯⎯� �𝑃𝑖 , 𝜓𝑗𝑖 � → 0.

Khi đó dãy sau là khớp

0 → lim 𝑀𝑖 ⟶ lim 𝑁𝑖 ⟶ lim 𝑃𝑖 ,
⟵

⟵

với các đồng cấu nối được kí hiệu là

⟵

lim 𝑓𝑖 : lim 𝑀𝑖 → lim 𝑁𝑖 ; lim 𝑔𝑖 : lim 𝑁𝑖 → lim 𝑃𝑖 .
⟵

⟵

⟵

⟵

⟵

⟵

Vậy lim chỉ bảo tồn tính khớp trái. Để tìm điều kiện cho lim khớp về bên phải chúng ta
⟵

⟵

đưa ra định nghĩa sau: hệ nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � được gọi là thỏa điều kiện Mittag – Leffer (M-L)
nếu với mỗi 𝑖 ∈ ℕ, họ dãy giảm �𝜃𝑗𝑖 �𝑀𝑗 � ⊆ 𝑀𝑖 �𝑗 ≥ 𝑖� các mơ đun con của 𝑀𝑖 là dừng. Nói

một cách khác là với mỗi 𝑖 ∈ 𝐼 tồn tại 𝑗0 ≥ 𝑖 sao cho với mọi 𝑗 ′ , 𝑗 ′′ ≥ 𝑗0 thì 𝜃𝑗 ′𝑖 �𝑀𝑗 ′ � =

𝜃𝑗 ′′𝑖 �𝑀𝑗 ′′ �.

Nhận xét. Nếu với mọi 𝑖 ≥ 𝑗 đồng cấu 𝜃𝑗𝑖 : 𝑀𝑗 → 𝑀𝑖 là toàn cấu, hoặc với mỗi 𝑖 ∈ ℕ tồn

tại 𝑗0 ≥ 𝑖 sao cho với mọi 𝑗 ≥ 𝑗0 , 𝜃𝑗𝑖 �𝑀𝑗 � = 0, thì �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � thỏa M-L. Hệ nghịch các
môđun Artin hiển nhiên thỏa M-L.

Mệnh đề 1.2.8 ([12, II, pro.9.1]). Cho dãy khớp các hệ nghịch
10


Khi đó

{𝑓𝑖 }

{𝑔𝑖 }

0 → �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � �⎯⎯⎯� �𝑁𝑖 , 𝜑𝑗𝑖 � �⎯⎯⎯� �𝑃𝑖 , 𝜓𝑗𝑖 � → 0.
(i) Nếu �𝑁𝑖 , 𝜑𝑗𝑖 � thỏa M-L thì �𝑃𝑖 , 𝜓𝑗𝑖 � cũng thỏa.

(ii) Nếu �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � thỏa M-L thì dãy sau là khớp
lim 𝑓𝑖
⟵

lim 𝑔𝑖
⟵

0 → lim 𝑀𝑖 �⎯⎯⎯� lim 𝑁𝑖 �⎯⎯⎯� lim 𝑃𝑖 → 0.
⟵

⟵

⟵

Trên tập tích Đề-các ℕ × ℕ ta xét quan hệ thứ tự cảm sinh: với (𝑖, 𝑖 ′ ), (𝑗, 𝑗 ′ ) ∈ ℕ × ℕ, thì
′

′ ′

(𝑖, 𝑖 ′ ) ≤ (𝑗, 𝑗 ′ ) khi và chỉ khi 𝑖 ≤ 𝑗, 𝑖 ′ ≤ 𝑗 ′ . Cho hệ nghịch các môđun �𝑀𝑖𝑖 , 𝜃𝑗𝑖𝑗 𝑖 � trên tập
′

ℕ × ℕ. Giới hạn nghịch của hệ này được kí hiệu là lim𝑀𝑖𝑖 .
′

⟵
𝑖,𝑖 ′

𝑗′𝑖′

Bổ đề 1.2.9 ([4, Prop. 4]) Cho �𝑀𝑖𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � là hệ nghịch các mơđun trên tập tích Đề-các

ℕ × ℕ. Ta có đẳng cấu

′

′

lim𝑀𝑖𝑖 ≅ lim(lim𝑀𝑖𝑖 ).
⟵
𝑖,𝑖 ′

⟵
𝑖′

Từ bổ đề trên ta có ngay hệ quả trực tiếp sau.
′

𝑗′𝑖′

⟵
𝑖

Hệ quả 1.2.10. Cho �𝑀𝑖𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � là hệ nghịch các môđun trên tập ℕ × ℕ. Khi đó

′

′

lim(lim𝑀𝑖𝑖 ) ≅ lim(lim𝑀𝑖𝑖 ).
⟵
𝑖′

⟵
𝑖

⟵
𝑖

⟵
𝑖′

1.3. Đầy đủ của môđun
Trong phần này chúng ta xét các môđun trên vành 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅.

Định nghĩa 1.3.1. (đầy đủ của môđun) Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử {𝑀𝑛 }𝑛∈ℕ là một lọc các

môđun con của 𝑀. Khi đó họ {𝑀⁄𝑀𝑛 }𝑛∈ℕ cùng với họ các tồn cấu chính tắc {𝜃𝑛 : 𝑀/𝑀𝑛

→ 𝑀/𝑀𝑛−1 }𝑛∈ℕ∗ là một hệ nghịch và giới hạn nghịch của hệ này được gọi là đầy đủ của
� , vậy 𝑀
� = lim𝑀/𝑀𝑛 .
mơđun 𝑀. Kí hiệu là 𝑀
⟵

� với Ker𝑓 = ⋂𝑛 𝑀𝑛 .
Ta có đồng cấu tự nhiên 𝑓: 𝑀 → 𝑀

Khái niệm đầy đủ này có liên quan trong tơ pơ, do đó chúng ta sẽ có một cách miêu tả
khác cho khái niệm đầy đủ của một môđun.

Một dãy các phần tử {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ của 𝑅-môđun 𝑀 được gọi là dãy Cauchy trong 𝑀 nếu như

với mọi 𝑡 ∈ ℕ đều tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑚, 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥𝑚 − 𝑥𝑛 ∈ 𝑀𝑡 . Chúng ta xét

quan hệ tương đương sau: đối với các dãy Cauchy trong 𝑀, {𝑥𝑛 }~{𝑦𝑛 } nếu như với mỗi
11


𝑡 ∈ ℕ đều tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ∈ 𝑀𝑡 . Gọi 𝑀∗ là tập hợp tất cả
� . Đặt biệt 𝑅∗ ≅ 𝑅�
các dãy Cauchy trong 𝑀 theo quan hệ tương đương trên, khi đó 𝑀∗ ≅ 𝑀

([1, C.2, 4.3]).

Dãy Cauchy {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ trong 𝑀 được gọi là hội tụ về 𝑥 ∈ 𝑀 nếu với mọi 𝑡 ∈ ℕ đều tồn

tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥𝑛 − 𝑥 ∈ 𝑀𝑡 . Môđun 𝑀 được gọi là môđun đầy đủ

� . Đặc biệt vành 𝑅 được gọi là vành
nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑀 đều hội tụ, hay 𝑀 ≅ 𝑀
đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑅 đều hội tụ, hay 𝑅 ≅ 𝑅� .

� được gọi là đầy đủ 𝐼-adic
Chú ý 1.3.2. Khi lọc {𝑀𝑛 }𝑛∈ℕ là lọc {𝐼𝑛 𝑀}𝑛∈ℕ thì mơđun 𝑀

của mơđun 𝑀, trong trường hợp này ta sẽ kí hiệu là ∧𝐼 (𝑀). Vậy
∧𝐼 (𝑀) = lim𝑀/𝐼𝑛 𝑀.
⟵

Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh ∧𝐼 là hàm tử từ phạm trù ℳ (𝑅 ) vào chính nó.

Với 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-mơđun, 𝑓: 𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu. Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ, xác định 𝑅-đồng cấu

𝑓𝑛 : 𝑀/𝐼𝑛 𝑀 → 𝑁/𝐼𝑛 𝑁 như sau: 𝑥 + 𝐼𝑛 𝑀 ∈ 𝑀/𝐼𝑛 𝑀 thì 𝑓𝑛 (𝑥 + 𝐼𝑛 𝑀) = 𝑓 (𝑥) + 𝐼𝑛 𝑁 . Khi đó
∏𝑛∈ℕ 𝑓𝑛 : ∏𝑛∈ℕ 𝑀/𝐼𝑛 𝑀 → ∏𝑛∈ℕ 𝑁/𝐼𝑛 𝑁 cảm sinh 𝑅-đồng cấu ∧𝐼 (𝑓) : ∧𝐼 (𝑀) →∧𝐼 (𝑁).
Nếu 𝑓, 𝑔: 𝑀 → 𝑁 là các 𝑅-đồng cấu thì ∧𝐼 (𝑓 + 𝑔) =∧𝐼 (𝑓) +∧𝐼 (𝑔).

Như vậy ∧𝐼 (−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅-mơđun vào chính

nó. Chúng ta sẽ xét sự bảo toàn dãy khớp của hàm tử này.

Chúng ta đã biết nếu 𝐽 là ideal của 𝑅 thì 𝑅/𝐽⨂𝑅 𝑀 ≅ 𝑀/𝐽𝑀, do đó với bất kì 𝑛 ∈ ℕ ta có

𝑅/𝐼𝑛 ⨂𝑅 𝑀 ≅ 𝑀/𝐼𝑛 𝑀. Kí hiệu 𝑇𝐼 (𝑀) = lim(𝑅/𝐼𝑛 ⨂𝑅 𝑀). Như vậy
⟵

∧𝐼 (𝑀) = lim𝑀/𝐼𝑛 𝑀 ≅ lim(𝑅/𝐼𝑛 ⨂𝑅 𝑀) = 𝑇𝐼 (𝑀).
⟵

⟵

Dễ dàng kiểm tra được 𝑇𝐼 (−) là hàm tử hiệp biến, cộng tính và đẳng cấu ở trên là tự nhiên

hay có đẳng cấu tự nhiên giữa các hàm tử 𝑇𝐼 (−) và ∧𝐼 (−). Do tích tenxơ không khớp trái,

giới hạn nghịch không khớp phải nên nói chung ∧𝐼 (−) khơng là khớp trái, cũng khơng là
khớp phải. Nhưng nếu thêm giả thuyết 𝑅 là vành Noether và chỉ xét phạm trù các 𝑅-môđun
hữu hạn sinh thì ∧𝐼 (−) là hàm tử khớp.

Bổ đề 1.3.3. ([1, C.2, 4.8]) Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử {𝑀𝑛 }𝑛∈ℕ, {𝑁𝑛 }𝑛∈ℕ là lọc các

môđun con của 𝑀. Nếu với mỗi 𝑀𝑛 tồn tại 𝑁𝑚 sao cho 𝑁𝑚 ⊆ 𝑀𝑛 và ngược lại, với mỗi 𝑁𝑚
tồn tại 𝑀𝑛 sao cho 𝑀𝑛 ⊆ 𝑁𝑚 thì lim𝑀/𝑀𝑛 ≅ lim𝑀/𝑁𝑛 .
⟵

⟵

Hệ quả 1.3.4. Cho 𝑅 là vành Noether, 𝑁 là môđun con của mơđun hữu hạn sinh 𝑀. Khi

đó chúng ta có lọc {𝐼𝑛 𝑁} và {𝐼𝑛 𝑀 ∩ 𝑁} của môđun 𝑁, hơn nữa
12


𝑛

lim𝑁/(𝐼𝑛 𝑀 ∩ 𝑁) ≅ lim𝑁/𝐼𝑛 𝑁.
⟵

⟵

𝑛

Chứng minh. Với mỗi 𝐼 𝑀 ∩ 𝑁, hiển nhiên 𝐼 𝑁 ⊆ 𝐼𝑛 𝑀 ∩ 𝑁. Ngược lại, từ định lý Artin-

Rees thì tồn tại số nguyên 𝑘 ≥ 0 thỏa 𝐼𝑚+𝑘 𝑀 ∩ 𝑁 = 𝐼𝑚 (𝐼𝑘 𝑀 ∩ 𝑁) với 𝑚 ∈ ℕ, do đó

𝐼𝑚+𝑘 𝑀 ∩ 𝑁 ⊆ 𝐼𝑚 𝑁. Theo Bổ đề 1.3.3 ta có điều phải chứng minh. Hơn nữa, vì 𝐼 𝑛 𝑁 ⊆
𝐼𝑛 𝑀 ∩ 𝑁 nên đẳng cấu 𝑓: lim𝑁/𝐼𝑛 𝑁 → lim𝑁/(𝐼𝑛 𝑀 ∩ 𝑁) xác định bởi 𝑓 (𝑥𝑖 + 𝐼𝑛 𝑁) =
⟵

(𝑥𝑖 + 𝐼𝑛 𝑀 ∩ 𝑁).

⟵

Định lý 1.3.5. Giả sử chúng ta có dãy khớp ngắn các R-mơđun hữu hạn sinh
𝑓

∎

𝑔

0 → 𝑁 �⎯⎯� 𝑀 �⎯⎯� 𝑃 → 0.

Khi đó dãy sau là khớp

∧𝐼 (𝑓)

∧𝐼 (𝑔)

0 →∧𝐼 (𝑁) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃) → 0.

Chứng minh. Đặt 𝑁 ′ = 𝑓(𝑁) ⊆ 𝑀, ta có dãy khớp các hệ nghịch

0 → {𝑁 ′ /(𝑁 ′ ∩ 𝐼𝑛 𝑀)} → {𝑀/𝐼𝑛 𝑀 } → {𝑃/𝐼𝑛 𝑃} → 0.

Do {𝑁 ′ /(𝑁 ′ ∩ 𝐼𝑛 𝑀)} là hệ nghịch các toàn cấu, nên chúng ta có dãy khớp sau
∧𝐼 (𝑔)

0 → lim𝑁 ′ /(𝑁 ′ ∩ 𝐼𝑛 𝑀) →∧𝐼 (𝑀) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃) → 0.
⟵

Mặt khác lim𝑁 ′ /𝐼𝑛 𝑁 ′ ≅ lim𝑁 ′ /(𝑁 ′ ∩ 𝐼𝑛 𝑀) (Hệ quả 1.3.4), nên có dãy khớp
⟵

⟵

∧𝐼 (𝑖)

∧𝐼 (𝑔)

0 →∧𝐼 (𝑁 ′ ) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃) → 0.

Cuối cùng, do 𝑁/𝐼𝑛 𝑁 → 𝑁 ′ /𝐼𝑛 𝑁 ′ là đẳng cấu nên lim𝑁/𝐼𝑛 𝑁 ≅ lim𝑁 ′ /𝐼𝑛 𝑁 ′ ; hơn nữa
⟵

∧𝐼 (𝑖)

∧𝐼 (𝑓)

lim𝑁/𝐼𝑛 𝑁 → lim𝑁 ′ /𝐼𝑛 𝑁 ′ �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) = ∧𝐼 (𝑁) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) .
⟵

⟵

⟵

Chú ý 1.3.6. Chúng ta có ∧𝐼 (𝑀) cịn là ∧𝐼 (𝑅 )-mơđun với phép nhân ngồi

∎

∧𝐼 ( 𝑅 ) × ∧ 𝐼 ( 𝑀 ) → ∧ 𝐼 ( 𝑀 )

1.4. Bao nội xạ

�(𝑎𝑛 + 𝐼𝑛 ), (𝑥𝑛 + 𝐼𝑛 𝑀)� ↦ (𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝐼𝑛 𝑀).

Định nghĩa 1.4.1. Cho 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸 là các 𝑅-môđun. Môđun 𝐸 được gọi là mở rộng cốt

yếu của 𝑀 nếu 𝐸 ′ ∩ 𝑀 ≠ 0 với mỗi môđun con 𝐸 ′ khác không của 𝐸. Một mở rộng cốt yếu
𝐸 ⊇ 𝑀 được gọi là tối đại nếu như 𝐸 khơng có mở rộng cốt yếu thực sự nào. Khi đó 𝐸

được gọi là mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀 (Cho 𝑀 ⊆ 𝑁 là các 𝑅-mơđun, khi đó ln tồn tại
mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀 [26, 3.1.3]).

13


Định nghĩa 1.4.2. Cho 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸 là các 𝑅-môđun. Môđun 𝐸 được gọi là bao nội xạ của

𝑀 nếu 𝐸 là môđun nội xạ và 𝐸 là một mở rộng cốt yếu của 𝑀. Khi đó ta ký hiệu 𝐸 =
𝐸𝑅 (𝑀) hoặc đơn giản là 𝐸(𝑀) ([26, 3.1.5] chỉ ra rằng với mọi môđun 𝑀 luôn tồn tại bao

nội xạ của 𝑀, sai khác nhau một đẳng cấu).

Mệnh đề 1.4.3 ([26, 3.1]). Đối với các 𝑅-môđun 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸, các phát biểu sau là tương

đương:

(i) 𝐸 là mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀.

(ii) 𝐸 là bao nội xạ của 𝑀.

(iii) 𝐸 là môđun nội xạ tối tiểu chứa 𝑀.

Mệnh đề 1.4.4 ([18, 3.7]). Cho (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether. Khi đó

1.5. Đối Ngẫu Matlis

End𝑅 (𝐸(𝑅/𝔪)) ≅ ∧𝐼 (𝑅 ).

Trong phần này chúng ta xét (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether.

Định nghĩa 1.5.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Đối ngẫu Matlis của môđun 𝑀 là môđun
𝐷 (𝑀) = Hom𝑅 (𝑀, 𝐸(𝑅/𝔪)).

Sau đây chúng ta giới thiệu một số tính chất sẽ được sử dụng trong phần sau.
Bổ đề 1.5.2 ([26, 3.4.2]). Với mọi mơđun 𝑀 chúng ta có

Ann(𝐷(𝑀)) = Ann(𝑀).

Bổ đề 1.5.3 ([26, 3.4.11, 3.4.12]). Cho 𝑀 là 𝑅-mơđun. Khi đó
(i) Nếu 𝑀 là mơđun Noether, thì 𝐷(𝑀) là mơđun Artin.

(ii) Nếu (𝑅, 𝔪) là vành đầy đủ thì 𝐷(𝑀) là môđun Noether khi và chỉ khi 𝑀 là

môđun Artin.

Bổ đề 1.5.4 ([26, 3.4.7], [18, 4.2, 4.3],). Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Khi đó
(i) Nếu 𝑀 là mơđun Noether, thì 𝐷(𝐷(𝑀)) ≅ ∧𝔪 (𝑀).
(ii) Nếu 𝑀 là mơđun Artin, thì 𝐷(𝐷(𝑀)) ≅ 𝑀.

Bổ đề 1.5.5 ([26, 3.4.14]). Cho 𝑀 và 𝑁 là 𝑅-mơđun. Khi đó với mọi 𝑖 ≥ 0
(i) 𝐷(Tor𝑖𝑅 (𝑁; 𝑀)) ≅ Ext 𝑖𝑅 (𝑁; 𝐷(𝑀)).

(ii) Nếu 𝑁 là môđun hữu hạn sinh, thì 𝐷(Ext 𝑖𝑅 (𝑁; 𝑀)) ≅ Tor𝑖𝑅 (𝑁; 𝐷(𝑀)).

Bổ đề 1.5.6 ([23, 5.26]). Cho (𝑁𝑡 ) là hệ thuận của các 𝑅-mơđun. Khi đó
𝐷(lim𝑁𝑡 ) ≅ lim𝐷(𝑁𝑡 ).
⟶
𝑡

14

⟵
𝑡


1.6. Phức Koszul
Định nghĩa 1.6.1. Cho 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) là dãy các phần tử bất kì của vành 𝑅. Với mỗi số

nguyên 𝑝 thỏa 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛, ta xét tập hợp tất cả các phần tử 𝛼 = �𝑖1 , … , 𝑖𝑝 �, 1 ≤ 𝑖1 < ⋯ <
𝑖𝑝 ≤ 𝑛, là dãy tăng các số nguyên. Định nghĩa 𝐾𝑝 (𝑥) là 𝑅-mơđun tự do có cơ sở là tập

(𝑒𝛼 ), tập hợp các phần tử bất kì được chỉ số bởi tập hợp ở trên, nghĩa là 𝐾𝑝 (𝑥) = ⨁𝛼 𝑅𝑒𝛼 .

Phần tử 𝑒𝛼 sẽ được kí hiệu là 𝑒𝑖1…𝑖𝑝 . Đặt 𝐾0 (𝑥) = 𝑅. Định nghĩa đồng cấu 𝑅-môđun

𝑝
𝑑𝑝 : 𝐾𝑝 (𝑥) ⟶ 𝐾𝑝−1 (𝑥) cho bởi 𝑑𝑝 �𝑒𝑖1 …𝑖𝑝 � = ∑𝑗=1(−1)𝑗−1 𝑥𝑖𝑗 𝑒𝑖1…𝚤�𝚥…𝑖𝑝 với bất kì 𝛼 =

�𝑖1 , … , 𝑖𝑝 � và 𝚤�𝚥 có nghĩa là vắng mặt 𝑖𝑗 trong dãy tăng các số nguyên. Rõ ràng 𝑑𝑝−1 ∘ 𝑑𝑝 =

0, do đó có phức hữu hạn sau

𝑑𝑛

𝑑1

𝐾∘ (𝑥): 0 → 𝐾𝑛 (𝑥) �⎯⎯⎯� 𝐾𝑛−1 (𝑥) → ⋯ → 𝐾1 (𝑥) �⎯⎯⎯� 𝐾0 (𝑥) → 0,

của các môđun tự do hữu hạn sinh. Phức này được gọi là phức Koszul của 𝑅 theo 𝑥. Môđun

đồng điều thứ 𝑝 của phức được ký hiệu là 𝐻𝑝 (𝑥).
𝑛
Chú ý số phần tử sinh của 𝐾𝑝 (𝑥) là �𝑝�.

Định nghĩa 1.6.2. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun và 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) là dãy các phần tử bất kì của

vành 𝑅. Định nghĩa 𝐾∘ (𝑥, 𝑀) là phức 𝐾∘ (𝑥)⨂𝑅 𝑀, được gọi là phức Koszul của 𝑀 theo 𝑥.

Môđun đồng điều thứ 𝑝 của phức được ký hiệu là 𝐻𝑝 (𝑥, 𝑀), còn được gọi là môđun đồng
điều Koszul thứ 𝑝.

Chúng ta dễ dàng kiểm tra được

𝐻0 (𝑥, 𝑀) ≅ 𝑀/𝑥𝑀 = 𝑀/(𝑥1 𝑀 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑀),

𝐻𝑛 (𝑥, 𝑀) ≅ {𝑚 ∈ 𝑀: 𝑥𝑖 𝑚 = 0, ∀𝑖} = �0:𝑀 𝑥�.

Do 𝑅𝑘 ⨂𝑅 𝑀 ≅ 𝑀𝑘 nên phần tử thuộc 𝐾𝑝 (𝑥)⨂𝑅 𝑀 sẽ có dạng
�

1≤𝑖1 <⋯<𝑖𝑝 ≤𝑛

𝑚𝑖1 …𝑖𝑝 𝑒𝑖1…𝑖𝑝 .

Định nghĩa 1.6.3. Cho 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) là dãy các phần tử bất kì của vành 𝑅. Với mỗi số

nguyên 𝑡 ≥ 1, đặt 𝑥(𝑡) = (𝑥1𝑡 , … , 𝑥𝑛𝑡 ). Khi đó 𝐾∘ (𝑥(𝑡)) là phức Koszul của 𝑅 theo dãy 𝑥(𝑡)
và các đồng cấu của phức được kí hiệu là 𝑑𝑝𝑡 , 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛. Với 𝑘 ≥ 𝑡, ta xác định đồng cấu

𝜃𝑝𝑘,𝑡 : 𝐾𝑝 (𝑥(𝑘)) ⟶ 𝐾𝑝 (𝑥(𝑡)) cho bởi

𝜃𝑝𝑘,𝑡 �𝑒𝑖1…𝑖𝑝 � = 𝑥𝑖𝑘−𝑡
… 𝑥𝑖𝑘−𝑡
𝑒𝑖1…𝑖𝑝 .
1
𝑝
15


Khi đó �𝐾𝑝 (𝑥(𝑡)), 𝜃𝑝𝑘,𝑡 � là một hệ nghịch, dẫn tới �𝐻𝑝 (𝑥(𝑡)), 𝐻𝑝 (𝜃∘𝑘,𝑡 )� cũng là một hệ

nghịch, với mọi 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛. Tương tự như cách xác định trên chúng ta xây dựng hệ nghịch
�𝐾𝑝 (𝑥(𝑘), 𝑀), (𝜃𝑝𝑘,𝑡 , 𝑀)�, với các đồng cấu

(𝜃𝑝𝑘,𝑡 , 𝑀): 𝐾𝑝 (𝑥(𝑘), 𝑀) ⟶ 𝐾𝑝 (𝑥(𝑡), 𝑀)

�∑1≤𝑖1 <⋯<𝑖𝑝 ≤𝑛 𝑚𝑖1 …𝑖𝑝 𝑒𝑖1…𝑖𝑝 � ⟼ ∑1≤𝑖1<⋯<𝑖𝑝≤𝑛 𝑥𝑖𝑘−𝑡
… 𝑥𝑖𝑘−𝑡
𝑚𝑖1…𝑖𝑝 𝑒𝑖1…𝑖𝑝 .
1
𝑝

Do đó tồn tại hệ nghịch �𝐻𝑝 (𝑥(𝑡), 𝑀), 𝐻𝑝 (𝜃∘𝑘,𝑡 , 𝑀)�. Giới hạn của hệ nghịch này được gọi
𝑥

là môđun đồng điều địa phương thứ 𝑝 của 𝑀 theo dãy 𝑥, được ký hiệu là 𝐻𝑝 (𝑀). Như vậy
𝑥

𝑥

𝐻𝑝 (𝑀) = lim𝐻𝑝 (𝑥(𝑡), 𝑀). Chú ý rằng 𝐻𝑝 (−), 𝑝 ≥ 0, là hàm tử cộng tính và hiệp biến
⟵
𝑡

trong phạm trù ℳ(𝑅).

Bổ đề 1.6.4 ([26, 4.3.3]). Cho 𝑅 là vành Noether và số nguyên 𝑡 ≥ 0. Khi đó tồn tại số

nguyên 𝑘0 > 𝑡 sao cho với mọi 𝑘 ≥ 𝑘0 thì

𝐻𝑝 (𝜃∘𝑘,𝑡 ): 𝐻𝑝 (𝑥(𝑘)) ⟶ 𝐻𝑝 (𝑥(𝑡))

là đồng cấu không với mọi 𝑝 ≥ 0.

𝑓

𝑔

Định lý 1.6.5 ([27, 2.2]). Cho dãy khớp ngắn các 𝑅-môđun 0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0. Khi đó,

chúng ta có dãy khớp dài của các hệ nghịch môđun đồng điều Koszul
𝑡
�𝑔𝑝+1
�

𝑡
�𝛿𝑝+1
�

… → �𝐻𝑝+1 �𝑥(𝑡 ); 𝐵�� �⎯⎯⎯� �𝐻𝑝+1 �𝑥(𝑡 ); 𝐶�� �⎯⎯⎯� �𝐻𝑝 �𝑥(𝑡 ); 𝐴�� → ⋯
�𝛿1𝑡 �

�𝑓0𝑡 �

�𝑓0𝑡 �

… → �𝐻1 �𝑥(𝑡 ); 𝐶�� �⎯� �𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐴�� �⎯� �𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐵�� �⎯� �𝐻0 �𝑥(𝑡 ); 𝐶�� → 0.

Đặc biệt,nếu như 𝐴, 𝐵, 𝐶 là các mơđun Artin thì có dãy khớp dài sau
…⟶
𝑥

𝑥

𝑥

𝐻𝑝 (𝑔) 𝑥
𝐻𝑝 (𝑓) 𝑥
𝑥
𝐻𝑝 (𝐴) �⎯⎯� 𝐻𝑝 (𝐵) �⎯⎯� 𝐻𝑝 (𝐶 )
𝑥

𝐻1 (𝛿)

𝑥

⟶⋯

𝐻0 (𝑔) 𝑥
𝐻0 (𝑓) 𝑥
𝑥
… �⎯⎯� 𝐻0 (𝐴) �⎯⎯� 𝐻0 (𝐵) �⎯⎯� 𝐻0 (𝐶 )

→ 0.

Chú ý 1.6.6. Với bất kì số nguyên 𝑝 ≥ 0, do 𝐻𝑝 (𝑥(𝑡), −) là hàm tử cộng tính và hiệp
𝑥

biến nên ta có thể kiểm tra được 𝐻𝑝 (−) cũng là hàm tử cộng tính và hiệp biến từ phạm trù
𝑥

ℳ(𝑅) vào chính nó. Mặt khác các đồng cấu nối 𝐻𝑝 (𝛿 ) có tính chất tự nhiên, do đó
𝑥

�𝐻𝑝 (−)�

𝑝≥0

là dãy nối dương.

16


1.7. Phạm trù ∗𝓜(𝑹)

Định nghĩa 1.7.1. Một vành phân bậc 𝑅 là vành 𝑅 với phân tích 𝑅 = ⨁𝑖∈ℤ 𝑅𝑖 như là tổng

trực tiếp các ℤ-môđun sao cho 𝑅𝑖 𝑅𝑗 ⊆ 𝑅𝑖+𝑗 với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℤ. Sự phân bậc này được gọi là

ℤ-phân bậc (về sau ta xét sự phân bậc là ℕ phân bậc, có thể xem là ℤ-phân bậc với các
phân bậc âm là 0).

Cho 𝑅 là vành phân bậc, một 𝑅-môđun phân bậc 𝑀 là mơđun 𝑀 với sự phân tích

𝑀 = ⨁𝑖∈ℤ 𝑀𝑖 như là tổng trực tiếp các ℤ-môđun thỏa 𝑅𝑖 𝑀𝑗 ⊆ 𝑀𝑖+𝑗 với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℤ.

Có thể gọi 𝑀𝑖 là thành phần thuần nhất bậc 𝑖 (hoặc phân bậc) của 𝑀. Đơi khi ta cịn kí

hiệu (𝑀)𝑖 = 𝑀𝑖 .

Phần tử 𝑥 ∈ 𝑀𝑖 được gọi là phần tử thuần nhất thứ 𝑖 (hoặc bậc 𝑖 ). Bậc của 𝑥 được ký

hiệu là deg 𝑥. Một phần tử 𝑥 ∈ 𝑀 sẽ có duy nhất một phân tích 𝑥 = ∑𝑖 𝑥𝑖 như là tổng của

các phần tử thuần nhất 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑖 . Phần tử 𝑥𝑖 được gọi là thành phần thuần nhất của 𝑥.

Chú ý là 𝑅0 là vành với đơn vị 1 ∈ 𝑅0 , các thành phần 𝑀𝑖 là 𝑅0 -mơđun, và do đó

𝑀 = ⨁𝑖∈ℤ 𝑀𝑖 như là tổng trực tiếp các 𝑅0 -môđun.
∗

Định nghĩa 1.7.2. Cho 𝑅 là vành phân bậc. Phạm trù các 𝑅-môđun phân bậc, ký hiệu

ℳ (𝑅), với các vật là 𝑅-môđun phân bậc. Cấu xạ 𝑓: 𝑀 → 𝑁 trong ∗ℳ (𝑅) là đồng cấu 𝑅-

môđun thỏa 𝑓(𝑀𝑖 ) ⊆ 𝑁𝑖 với mọi 𝑖 ∈ ℤ. Đồng cấu 𝑅-môđun là cấu xạ trong ∗ℳ (𝑅) sẽ được

gọi là đồng cấu thuần nhất. Nếu hai môđun phân bậc 𝑀 và 𝑁 đẳng cấu với nhau trong
phạm trù ∗ℳ (𝑅) thì ta ký hiệu 𝑀 ∗≅ 𝑁.

Cho 𝑀 là 𝑅-mơđun phân bậc, 𝑁 là môđun con của 𝑀. 𝑁 được gọi là môđun con phân bậc

của 𝑀 nếu phép nhúng 𝑖: 𝑁 ↪ 𝑀 là cấu xạ trong phạm trù ∗ℳ (𝑅). Chú ý là định nghĩa này
tương đương với 𝑁 = ⨁𝑖∈ℤ (𝑁 ∩ 𝑀𝑖 ), hoặc 𝑁 được sinh bởi các phần tử thuần nhất trong

𝑀, hoặc nếu 𝑥 ∈ 𝑁 có sự phân tích thành các phần tử thuần nhất trong 𝑀, 𝑥 = ∑𝑖 𝑥𝑖 , thì

𝑥𝑖 ∈ 𝑁. Khi 𝑁 là mơđun con phân bậc của 𝑀 thì mơđun thương 𝑀/𝑁 là là 𝑅-mơđun phân
bậc với 𝑀/𝑁 = ⨁𝑖∈ℤ (𝑀𝑖 + 𝑁)/𝑁, hơn nữa phép chiếu 𝑝: 𝑀 → 𝑀/𝑁 là thuần nhất. Nếu

𝑓: 𝑀 → 𝑁 là cấu xạ trong ∗ℳ (𝑅) thì Ker𝑓, Im𝑓 là 𝑅-mơđun phân bậc.
Chúng ta có thể kiểm tra được một số kết quả sau:

(i) Cho (𝑀𝑖 )𝑖 là họ các 𝑅-mơđun phân bậc. Khi đó ⨁𝑖 𝑀𝑖 là 𝑅-môđun phân bậc với phân

bậc (⨁𝑖 𝑀𝑖 )𝑛 = ⨁𝑖 (𝑀𝑖 )𝑛 . Với mọi 𝑛 thì ∏𝑖(𝑀𝑖 )𝑛 là nhóm Abel con của ∏𝑖 𝑀𝑖 , khi đó có

∗
∗
thể định nghĩa ∏𝑖 𝑀𝑖 = ⨁𝑛 (∏𝑖(𝑀𝑖 )𝑛 ) là 𝑅-môđun con của ∏𝑖 𝑀𝑖 và ∏𝑖 𝑀𝑖 là môđun

phân bậc.

17


(ii) Cho 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-môđun phân bậc. Khi đó 𝑀⨂𝑅 𝑁 là 𝑅-mơđun phân bậc với

phân bậc (𝑀⨂𝑅 𝑁)𝑛 sinh bởi các phần tử tích ten xơ 𝑥⨂𝑦 trong đó 𝑥, 𝑦 là phần tử thuần

nhất và deg 𝑥 + deg 𝑦 = 𝑛. Hơn nữa 𝑀⨂𝑅 − , −⨂𝑅 𝑁 là các hàm tử khớp phải trong phạm

trù ∗ℳ (𝑅).

Định nghĩa 1.7.3. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc và với số nguyên 𝑖, định nghĩa 𝑀(𝑖) là

bản sao của 𝑅 với phân bậc �𝑀(𝑖)�𝑛 = 𝑀𝑖+𝑛 . Đồng cấu 𝑅-môđun 𝑓: 𝑀 → 𝑁 giữa các

môđun phân bậc, được gọi là thuần nhất bậc 𝑖 nếu 𝑓(𝑀𝑛 ) ⊆ 𝑁𝑖+𝑛 với mọi số nguyên 𝑛

(như vậy cấu xạ trong ∗ℳ (𝑅) là thuần nhất bậc 0). Chú ý là 𝑓 có thể xem như là đồng cấu
𝑀(𝑖) → 𝑁 trong ∗ℳ (𝑅).

Môđun phân bậc 𝐹 được gọi là mơđun tự do nếu 𝐹 có cơ sở gồm các phần tử thuần nhất.

Có thể gọi 𝐹 là mơđun ∗ tự do để nhận biết trong phạm trù ∗ℳ (𝑅).

Mệnh đề 1.7.4. Cho 𝐹 được gọi là 𝑅-môđun phân bậc. Tập 𝑆 ≠ 0 những phần tử phân

bậc của 𝐹 là cơ sở của 𝐹 khi và chỉ khi với bất kì mơđun phân bậc 𝑌, mỗi ánh xạ thuần

nhất 𝑓: 𝑆 → 𝑌, nghĩa là nếu 𝑥 ∈ 𝑆 thì deg 𝑓(𝑥) = deg 𝑥, đều có thể mở rộng tới một đồng

cấu duy nhất 𝑓̃: 𝐹 → 𝑌.

Định nghĩa 1.7.5. Môđun phân bậc 𝑃 được gọi là môđun ∗ xạ ảnh nếu 𝑃 là vật xạ ảnh

trong phạm trù ∗ℳ (𝑅). Hiển nhiên môđun ∗ tự do là môđun ∗ xạ ảnh.

Định nghĩa 1.7.6. Môđun phân bậc 𝐹 được gọi là môđun ∗ phẳng nếu 𝐹⨂𝑅 − , −⨂𝑅 𝐹 là

các hàm tử khớp trong phạm trù ∗ℳ (𝑅). Hiển nhiên môđun ∗ xạ ảnh là môđun ∗ phẳng.

Chúng ta thấy phạm trù ∗ℳ (𝑅) là đủ xạ ảnh, nghĩa là mọi môđun phân bậc 𝑀 đều là ảnh

tồn cấu thuần nhất của một mơđun ∗ tự do 𝐹 nào đó. Như vậy sẽ tồn tại phép giải ∗ tự do

hay ∗ xạ ảnh trong phạm trù ∗ℳ (𝑅). Để xây dựng các môđun đồng điều địa phương trong

phạm trù này ta cần các kết quả so sánh về phép giải ∗ xạ ảnh và những kết quả về đồng

điều nói chung đối với phạm trù ∗ℳ (𝑅). Các kết quả này sẽ tương tự như trong phạm trù

ℳ(𝑅), chỉ khác là ta kiểm tra được các đồng cấu là thuần nhất. Vậy chúng ta cũng có các
khái niệm về hàm tử dẫn xuất trái, dãy nối dương, dãy nối dương mạnh,…

18


CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG
2.1. Hàm tử dẫn xuất của hàm tử đầy đủ I-adic
Trong phần này chúng ta xét các môđun trên vành 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅. Các trường hợp

khác sẽ được nói rõ.

Định nghĩa 2.1.1. Chúng ta đã biết ∧𝐼 (−) là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm

trù các 𝑅-mơđun và 𝑅-đồng cấu vào chính nó. Với 𝑀 là 𝑅-mơđun, ta ký hiệu 𝐿𝐼𝑖 (𝑀) là
môđun dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∧𝐼 (𝑀).

Chú ý 2.1.2. (i) Hàm tử ∧𝐼 không là khớp trái và cũng không là khớp phải nên 𝐿𝐼0 ≠ ∧𝐼 .

Tuy nhiên, 𝐿𝐼0 là hàm tử khớp phải và các hàm tử dẫn xuất trái với 𝑖 > 0 của nó giống với
của ∧𝐼 .

Xét phép giải xạ ảnh 𝑃∘ của mơđun 𝑀. Khi đó có phức
∧𝐼 (𝑓1 )

∧𝐼 (𝑓0 )

∧𝐼 (𝑃∘ ): … →∧𝐼 (𝑃1 ) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃0 ) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) → 0,

và 𝐿𝐼0 (𝑀) = ∧𝐼 (𝑃0 )/Im ∧𝐼 (𝑓1 ). Đặt 𝑁 = 𝑓1 (𝑃1 ), chúng ta có dãy khớp ngắn sau
𝑖

𝑓0

0 → 𝑁 �⎯� 𝑃0 �⎯⎯� 𝑀 → 0.

Khi đó chúng ta có dãy (không nhất thiết khớp)
∧𝐼 (𝑖)

∧𝐼 (𝑓0 )

∧𝐼 (𝑁) �⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃0 ) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) → 0,

với ∧𝐼 (𝑓0 ) là toàn cấu và Im ∧𝐼 (𝑓1 ) = Im ∧𝐼 (𝑖) ⊆ Ker ∧𝐼 (𝑓0 ). Chúng ta có ∧𝐼 (𝑀) ≅
∧𝐼 (𝑃0 )/Ker ∧𝐼 (𝑓0 ). Do đó tồn tại tồn cấu tự nhiên 𝜑𝑀 : 𝐿𝐼0 (𝑀) →∧𝐼 (𝑀). Vậy nếu 𝑀 là

mơđun xạ ảnh thì 𝜑𝑀 là đẳng cấu tự nhiên.

(ii) Hai ideal 𝐼 và 𝐽 được gọi là tương đương căn nếu tồn tại số dương 𝑛 và 𝑚 sao cho

𝐼𝑛 ⊆ 𝐽 và 𝐽𝑚 ⊆ 𝐼. Nếu hai ideal 𝐼 và 𝐽 là tương đương căn thì theo Bổ đề 1.3.3 ∧𝐼 (𝑀) ≅
∧𝐽 (𝑀), với mọi môđun 𝑀. Hơn nữa đây là đẳng cấu tự nhiên. Thật vậy, giả sử có đồng

cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑁. Theo Bổ đề 1.3.3 đẳng cấu ℎ𝑀 : ∧𝐼 (𝑀) → ∧𝐽 (𝑀) xác định bởi ℎ𝑀 (𝑥𝑡 +

𝐼𝑡 𝑀) = (𝑥𝑡+𝑛 + 𝐽𝑡 𝑀), tương tự cho đẳng cấu ℎ𝑁 : ∧𝐼 (𝑁) → ∧𝐽 (𝑁). Do đó kiểm tra được
biểu đồ sau giao hốn

ℎ𝑀

∧𝐼 (𝑓)

∧𝐼 (𝑀) �� ∧𝐽 (𝑀)
∧𝐼 (𝑓)

19


ℎ𝑁

∧𝐼 (𝑁) �� ∧𝐽 (𝑁)

Như vậy tồn tại đẳng cấu tự nhiên giữa các hàm tử ∧𝐼 (−) và ∧𝐽 (−). Do đó theo Hệ quả
𝐽

1.5.6 thì 𝐿𝐼𝑖 (−) đẳng cấu tự nhiên với 𝐿𝑖 (−), với mọi 𝑖 ≥ 0.

(iii) Giả sử 𝑅 là vành Noether và 𝑀 là 𝑅-mơđun hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại phép giải tự

do của môđun 𝑀 mà các thành phần môđun tự do này là hữu hạn sinh. Do ∧𝐼 là hàm tử

khớp trong phạm trù các 𝑅-môđun hữu hạn sinh, nên 𝐿𝐼𝑖 (𝑀) = 0, với mọi 𝑖 ≥ 0 và do đó

𝐿𝐼0 (𝑀) = ∧𝐼 (𝑀).

(iv) Có đẳng cấu tự nhiên ∧𝐼 (𝑀) = lim𝑀/𝐼𝑛 𝑀 ≅ lim(𝑅/𝐼𝑛 ⨂𝑅 𝑀) = 𝑇𝐼 (𝑀). Do

𝐿𝐼𝑛 (𝑃)

⟵

⟵

= 0 cho mọi môđun xạ ảnh 𝑃 và 𝑛 ≥ 1, nên theo Hệ quả 1.1.6 thì tồn tại phép biến

đổi đẳng cấu tự nhiên các dãy hàm tử {𝐿𝑛 𝑇𝐼 }𝑛≥0 , và {𝐿𝐼𝑛 }𝑛≥0 . Như vậy các hàm tử 𝐿𝐼𝑖 đôi khi

xem như là các hàm tử 𝐿𝑖 𝑇𝐼 , hay các mơđun 𝐿𝐼𝑖 (𝑀) có thể xem như là mơđun dẫn xuất trái
thứ 𝑖 của 𝑇𝐼 (𝑀).

Định lý 2.1.3. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử rằng lọc {𝐼 𝑛 𝑀}𝑛∈ℕ là “dừng”, nghĩa là tồn tại

số nguyên dương 𝑛 sao cho 𝐼𝑡 𝑀 = 𝐼𝑛 𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛. Khi đó tồn cấu tự nhiên
𝜑𝑀 : 𝐿𝐼0 (𝑀) →∧𝐼 (𝑀) là đẳng cấu.

𝑓

𝑔

Chứng minh. Xét dãy khớp ngắn 0 → 𝑁 → 𝑃 → 𝑀 → 0, với 𝑃 là mơđun xạ ảnh. Khi đó

có các phức sau
𝑓𝑡

∧𝐼 (𝑓)

𝑔𝑡

∧𝐼 (𝑔)

𝑁/𝐼𝑡 𝑁 �⎯⎯� 𝑃/𝐼𝑡 𝑃 �⎯⎯� 𝑀/𝐼𝑡 𝑀 → 0, ∧𝐼 (𝑁) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) → 0.

Theo Chú ý 2.1.2 (i) thì chỉ cần chứng minh Im ∧𝐼 (𝑓) = Ker ∧𝐼 (𝑔) là đủ. Đặt 𝐾𝑡 = Ker𝑔𝑡

và có thể xem 𝑁 như là mơđun con của 𝑃. Khi đó 𝐾𝑡 = (𝑁 + 𝐼𝑡 𝑃)/𝐼𝑡 𝑃 ≅ 𝑁/(𝐼𝑡 𝑃 ∩ 𝑁),

hơn nữa (𝐾𝑡 ) là hệ nghịch tồn cấu. Mặt khác có dãy khớp
{ 𝑖𝑡 }

{𝑔𝑡}

0 → {𝐾𝑡 } �⎯⎯⎯⎯⎯� {𝑃/𝐼𝑡 𝑃} �⎯⎯⎯⎯⎯⎯� {𝑀/𝐼𝑡 𝑀} → 0,

do đó theo Mệnh đề 1.2.8 chúng ta có dãy khớp
lim𝑖𝑡

∧𝐼 (𝑔)

⟵

0 → lim𝐾𝑡 �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) → 0.
⟵

Với các đồng cấu chính tắc ℎ𝑡 : 𝑁/𝐼𝑡 𝑁 → 𝑁/(𝐼𝑡 𝑃 ∩ 𝑁) ≅ 𝐾𝑡 , chúng ta có đồng cấu chính
tắc ℎ ∶ ∧𝐼 (𝑁) → lim𝐾𝑡 . Do biểu đồ giao hoán
⟵

∧𝐼 (𝑓)

∧𝐼 (𝑁) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃)
ℎ

20

lim𝑖𝑡
⟵


lim𝐾𝑡
⟵

nên nếu ℎ là tồn cấu thì Im ∧𝐼 (𝑓) = Im(lim𝑖𝑡 ) = Ker ∧𝐼 (𝑔). Do đó chỉ cần chứng minh
⟵

ℎ tồn cấu. Vì ℎ𝑡 tồn cấu nên đặt 𝐻𝑡 = Kerℎ𝑡 thì 𝐻𝑡 ≅ 𝐼𝑡 𝑃 ∩ 𝑁/𝐼𝑡 𝑁, và {𝐻𝑡 } là hệ nghịch

với các đồng cấu 𝜋𝑡𝑘 cảm sinh từ đồng cấu của hệ {𝑁/𝐼𝑡 𝑁}.

Do dãy khớp các hệ nghịch

{ℎ𝑡 }

{𝑗𝑡 }

0 → {𝐻𝑡 } �⎯⎯⎯⎯⎯� {𝑁/𝐼𝑡 𝑁} �⎯⎯⎯⎯� {𝐾𝑡 } → 0

nên nếu {𝐻𝑡 } thỏa M-L thì ℎ là tồn cấu (Mệnh đề 1.2.8). Theo giả thuyết tồn tại số nguyên

dương 𝑛0 sao cho 𝐼𝑡 𝑀 = 𝐼𝑛0 𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛0 , mà 𝐼𝑡 𝑀 ≅ (𝐼𝑡 𝑃 + 𝑁)/𝑁, nên 𝐼𝑡 𝑃 +

𝑁 = 𝐼 𝑛0 𝑃 + 𝑁 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛0 . Do đó với bất kì 𝑘 > 0 và với mọi 𝑡 ≥ 𝑘 + 𝑛0 , ta có

𝜋𝑡𝑘 = �(𝐼𝑡 𝑃 ∩ 𝑁) + 𝐼𝑘 𝑁�/𝐼𝑘 𝑁 = �𝑁 ∩ 𝐼𝑘 (𝐼𝑡−𝑘 𝑃 + 𝑁)�/𝐼𝑘 𝑁 = �𝑁 ∩ 𝐼𝑘 (𝐼𝑛0 𝑃 + 𝑁)�/𝐼𝑘 𝑁.

Biểu thức trên không phụ thuộc vào 𝑡, điều này chỉ ra rằng {𝐻𝑡 } thỏa M-L.

Môđun Artin hiển nhiên thỏa giả thuyết định lý trên. Do đó có hệ quả sau.

∎

Hệ quả 2.1.4. Giả sử 𝑀 là mơđun Artin. Khi đó tồn cấu tự nhiên
𝜑𝑀 : 𝐿𝐼0 (𝑀) →∧𝐼 (𝑀)

là đẳng cấu.

Hệ quả 2.1.5. Giả sử 𝑀 là 𝑅- mơđun. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(i) 𝐼𝑀 = 𝑀

(ii) 𝐿𝐼0 (𝑀 ) = 0

(iii) ∧𝐼 (𝑀) = 0

Chứng minh. (i)⟹(ii) Từ giả thuyết ta có 𝑀 = 𝐼𝑡 𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 0. Do đó theo Định lý

2.1.3 𝐿𝐼0 (𝑀) ≅ ∧𝐼 (𝑀) = lim𝑀/𝐼𝑡 𝑀 = 0.
⟵

(ii)⟹(iii) Được suy ra từ toàn cấu 𝜑𝑀 : 𝐿𝐼0 (𝑀) →∧𝐼 (𝑀).
(iii)⟹(i) Suy ra từ định nghĩa ∧𝐼 (𝑀).

2.2. Môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul

∎

Trong phần này các vành đều là vành Noether. Chúng ta chủ yếu xét các môđun trên vành
Noether 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅, những trường hợp khác sẽ được nói rõ.

Chúng ta đã biết mơđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo ideal 𝐼, ký

hiệu 𝐻𝐼𝑖 (𝑀), có thể định nghĩa bởi

𝐻𝐼𝑖 (𝑀) = limExt 𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀).
⟵
𝑡

21


Điều này gợi ý định nghĩa sau. Có thể xem như là đối ngẫu của khái niệm trên.
Định nghĩa 2.2.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀

theo iđêan 𝐼 , ký hiệu 𝐻𝑖𝐼 (𝑀), được xác định bởi

𝐻𝑖𝐼 (𝑀) = limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀).
⟵
𝑡

Định nghĩa này là đúng đắn, do {Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀)} là một hệ nghịch. Thật vậy, lấy phép giải
xạ ảnh 𝐹∘ của mơđun 𝑀. Khi đó với mọi 𝑡 ≥ 0 có phức 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ . Vì {𝑅/𝐼𝑡 , 𝜋𝑡𝑘 } là hệ

nghịch nên có biến đổi dây chuyền sau

𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝐹∘

𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ �⎯⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝐹∘ .

Do đó tồn tại đồng cấu Tor𝑖𝑅 (𝜋𝑡𝑘 , 1𝑀 ): Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑘 , 𝑀). Cũng từ hệ
nghịch {𝑅/𝐼𝑡 , 𝜋𝑡𝑘 } dẫn đến biểu đồ sau giao hoán, với 𝑡 ≥ 𝑘 ≥ 𝑙
𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝐹∘

𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝐹∘

𝜋𝑡𝑙 ⨂1𝐹∘

𝜋𝑘𝑙 ⨂1𝐹∘

𝑅/𝐼𝑙 ⨂𝐹∘

Do đó với 𝑖 ≥ 0 biểu đồ sau giao hoán (do Tor𝑖𝑅 là hàm tử)

Tor𝑅
𝑖 (𝜋𝑡𝑘 ,1𝑀 )
𝑅(
𝑡
)
Tor𝑖 𝑅/𝐼 , 𝑀 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑘 , 𝑀)

Tor𝑖𝑅 (𝜋𝑡𝑙 , 1𝑀 )

Tor𝑖𝑅 (𝜋𝑘𝑙 , 1𝑀 )

Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑙 , 𝑀)

Vậy với mọi 𝑖 ≥ 0 thì {Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀)} là một hệ nghịch.

∎

Chú ý 2.2.2. Với 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-môđun, 𝑓: 𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu. Khi đó tồn tại biến đổi

dây chuyền treo trên 𝑓, dẫn tới đổi dây chuyền treo trên 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑓
𝜋𝑡𝑘 ⨂𝑓

𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ �⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑄∘ .

Do đó tồn tại đồng cấu Tor𝑖𝑅 �1𝑅/𝐼𝑡 , 𝑓�: Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑁). Chúng ta lại có

biểu đồ giao hốn các phức sau, với các đồng cấu đã biết.
𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑄∘
↓

Khi đó biểu đồ sau giao hốn

↓

𝑅/𝐼 𝑘 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑄∘ .

Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑁)
22

↓

↓

Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑘 , 𝑀) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑘 , 𝑁).

Do đó tồn tại đồng cấu 𝐻𝑖𝐼 (𝑓): 𝐻𝑖𝐼 (𝑀) → 𝐻𝑖𝐼 (𝑁). Hơn nữa, nếu 𝑓, 𝑔: 𝑀 → 𝑁 là các 𝑅-đồng
cấu thì 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂(𝑓 + 𝑔) = 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑓 + 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑔 nên

𝐻𝑖𝐼 (𝑓 + 𝑔) = Tor𝑖𝑅 �1𝑅/𝐼𝑡 , (𝑓 + 𝑔)� = Tor𝑖𝑅 �1𝑅/𝐼𝑡 , 𝑓� + Tor𝑖𝑅 �1𝑅/𝐼𝑡 , 𝑔�
= 𝐻𝑖𝐼 (𝑓) + 𝐻𝑖𝐼 (𝑔).

Tương tự như vậy dựa vào Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , −) là hàm tử hiệp biến, có thể kiểm tra được 𝐻𝑖𝐼 (−)

là một hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các 𝑅-mơđun vào chính nó. Các hàm tử

này nói chung là không khớp. Do 𝐻0𝐼 (𝑀) ≅ lim(𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑀) nên kiểm tra được tồn tại phép

biến đổi đẳng cấu tự nhiên các hàm tử
{𝐻𝑖𝐼 (−)}𝑖≥0 thành một dãy nối dương.
𝑓

⟵
𝑡

𝐻0𝐼 (−) và ∧𝐼 (−). Bây giờ ta sẽ xây dựng

𝑔

Giả sử 0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0 là dãy khớp ngắn. Khi đó ta có biểu đồ giao hốn các phức,

với các dịng là khớp (𝐹∘ , 𝑄∘ , 𝑅∘ là phép giải xạ ảnh tương ứng)

0 → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅∘ → 0
𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝐹∘

𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝑄∘

𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝑅∘

0 → 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑅∘ → 0.

𝑅 (
Dựa vào 𝛿𝑖𝑡 : Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝐶 ) → Tor𝑖−1
𝑅/𝐼𝑡 , 𝐴), 𝑡 ≥ 0 thì biểu đồ sau giao hốn

↓
Thật

vậy,với

Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝐶 ) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝐴)
↓

Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑘 , 𝐶 ) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑘 , 𝐴).

𝑧 ∈ Ker(𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅𝑖 → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅𝑖−1 )

thì

𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝑅𝑖 (𝑧) ∈ Ker(𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑅𝑖 →

𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅𝑖−1 ). Tồn tại 𝑦 ∈ 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑄𝑖 sao cho 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑔(𝑦) = 𝑧. Do biểu đồ giao hoán nên

1𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑔 �𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝑄𝑖 (𝑦)� = 𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝑅𝑖 (𝑧). Mặt khác 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑔 �1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝜕(𝑦)� = 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝜕(𝑧) =

0 nên có 𝑥 ∈ Ker(𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹𝑖−1 → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅𝑖−2 ) thỏa 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑓 (𝑥) = 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝜕(𝑦). Vì 𝛿𝑖𝑡 (𝑧̅) =

�����������������
𝑥̅ nên Tor𝑖𝑅 (𝜋𝑡𝑘 , 1𝑁 )�𝛿𝑖𝑡 (𝑧̅)� = 𝜋
𝑡𝑘 ⨂1𝐹𝚤−1 (𝑥). Cũng do biểu đồ giao hoán nên

1𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑓 �𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝐹𝑖−1 (𝑥)� = 𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝑄𝑖−1 �1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝜕(𝑦)� = 1𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝜕 �𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝑄𝑖 (𝑦)�

hay 𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝐹𝑖 (𝑥) ∈ Ker(𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝐹𝑖−1 → 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑅𝑖−2 ). Do đó

���������������
�����������������
𝛿𝑖𝑘 �Tor𝑖𝑅 (𝜋𝑡𝑘 , 1𝐶 )(𝑧̅)� = 𝛿𝑖𝑘 �𝜋
𝑡𝑘 ⨂1𝑅𝚤 (𝑧)� = 𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝐹𝚤−1 (𝑥 ).
23