Một số bài toán về poset tôpô trên một tập cố định

THƯ
VIỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
----------------------------------------

Trần Thanh Phong

MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ POSET TƠPƠ
TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH
Chun ngành: Hình học và Tơpơ
Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010


LỜI CÁM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà
Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tác
giả phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều
tài liệu và truyền đạt những kiến thức q báu trong suốt q trình thực hiện luận văn.
Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư
Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chun mơn và phương
pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học.
Chân thành cám ơn q thầy cơ phịng Khoa học Cơng nghệ và Sau đại học đã tạo

điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này.
Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã vài lần liên lạc với các nhà tốn học
nước ngồi, đặc biệt là giáo sư Offia T. Alas đã tận tình giải đáp các vấn đề liên quan. Xin
chân thành cám ơn giáo sư.
Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn
Trỗi Tỉnh Tây Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học.
Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình ln động viên và tạo mọi
điều kiện cho tơi hoàn thành luận văn này.
Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên
tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

TP. HCM tháng 8 năm 2010
Tác giả
Trần Thanh Phong


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vào năm 1936, Garnett Birkhoff đưa ra ý kiến cho rằng việc nghiên cứu tôpô là so sánh
hai tôpô khác nhau trên cùng một tập. Trong cơng trình của mình: “G. Birkhoff, On the
combination of topologies, Fund. Math. 26 (1936) 156-166”, Birkhoff mô tả rõ ràng sự so
sánh này bằng cách sắp xếp họ tất cả các tôpô trên một tập hợp cho trước và nhìn vào kết quả
được hình thành được gọi là dàn. Về bản chất, đây là sự so sánh hai tôpô, nghĩa là nếu  và

  là hai tôpô trên cùng một tập hợp cho trước thì  thơ hơn hoặc bằng với   nếu  là một
tập con của   . Đối với hai tôpô bất kì  và   trên tập hợp, có một tơpơ     (kí hiệu chính
xác hơn là     ) gọi tôpô lớn nhất được chứa trong hai tơpơ  và   , có một tôpô

    gọi là tôpô bé nhất chứa cả hai tôpô  và   . Dàn này có phần tử lớn nhất là tơpơ rời

rạc và phần tử nhỏ nhất là tơpơ thơ (tơpơ chí có tập rỗng và chính tập hợp đang xét). Dàn của
tất cả các tôpô trên một tập được gọi là dàn đầy đủ, tức là có một tơpơ lớn nhất được chứa
trong mỗi phần tử của một họ các tôpô và có một tơpơ nhỏ nhất chứa mỗi phần tử của họ các
tơpơ.
Các bài tốn về dàn các tơpơ được nhiều nhà Toán học quan tâm vào những năm 60 của
thế kỉ trước. Chẳng hạn như cơng trình của N.Smythe và C.A. Wilkins về các không gian
Hausdorff cực tiểu và compact cực đại (1963); cơng trình của Anne K. Stiener về phần bù
trong các dàn tôpô T1 , cấu trúc và phần bù trên dàn các tơpơ (1966); cơng trình của A. R.
Padmanabhan và B.V. Rao về Idean trên dàn các tôpô (1969)…Đặc biệt là vào năm 1967,
Garnett Birkhoff đã cho xuất bản quyển sách “lý thuyết dàn”. Đến năm 1975, Roland E.
Larson và Suan J. Andima đã khảo sát và tổng hợp đầy đủ về dàn của các tôpô. Do đó, cơng
trình này được nhiều nhà tốn học quan tâm, nó dùng làm tài liệu tra cứu rất hữu ích trong
q trình nghiên cứu dàn của các tơpơ.
Trong q trình nghiên cứu về dàn các tơpơ, ta thấy có khái niệm về poset (partially
ordered set) của các tôpô. Và gần đây đã có nhiều cơng trình nghiên cứu về poset của các
tơpơ. Ví như D.W. McIntyre và W.S. Watson (2004) quan tâm đến các khoảng vô hạn trong
poset của các tơpơ có số chiều 0, các tơpơ Tychonoff, các tơpơ chính quy; Offlia T. Alas và


Richard G.Wilson (2004) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên trong dàn của các tôpô T1 .
Nathan Carlson (2007) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên của poset của các tơpơ T2 .
Bài tốn về poset tơpơ được nhiều nhà tốn học quan tâm và cịn rất nhiều bài tốn mở.
Nghiên cứu các bài tốn về poset tơpơ là vấn đề mang tính thời sự. Đề tài nghiên cứu của
chúng tôi đặc biệt quan đến vấn đề này với tên đề tài là “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ POSET
TÔPÔ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH” nhằm nghiên cứu một số vấn đề được quan tâm
trong thời gian gần đây.
2. Mục đích
Nghiên cứu poset của tơpơ Hausdorff ( T2 ) trên một tập cố định.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài tốn về tơpơ dưới và tơpơ trên trong các poset của các tơpơ T2 .

Tìm các ví dụ cụ thể đối với các tơpơ dưới và tôpô trên.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Nghiên cứu và trình bày chứng minh một số bài tốn về tơpơ dưới và tơpơ trên góp
phần hồn thiện các tính chất trong poset của tôpô T2 , dàn của các tôpô T1 , dàn của các
tôpô.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận. Phần
chính của luận văn được tập trung ở chương 2, 3. Cụ thể:
Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài.
Chương 1: Nêu khái niệm poset, dàn và nhắc lại một số kiến thức về tôpô đại cương.
Chương 2: Nêu dàn của các tôpô T1 , nêu poset của các tôpô T2 , trình bày mở đầu về
tơpơ dưới và tơpơ trên trong



2

(X ) .

Chương 3: Trình bày kiến thức: một tơpơ khơng cực tiểu trong



2

( X ) thuộc CH

không phải là tôpô trên và cho các ví dụ về tơpơ trên.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau
đề tài.

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, luận văn trình bày lại các kiến thức tơpơ đại cương có liên quan đến
các chương sau và mở đầu về khái niệm dàn trên tập hợp. Ở đây, các định lí, các hệ quả, các
bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý
thuyết phục vụ đề tài.
1.1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp
1.1.1. Tập hợp được sắp
1.1.1.1. Thứ tự bộ phận và tập được sắp bộ phận (poset)
Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu thỏa các tính chất sau:
(i)

Phản xạ: xRx, x  X ,

(ii)

Phản đối xứng: Nếu xRy và yRx thì x  y, x , y  X ,

(iii)

Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz, x , y, z  X .

Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận R được gọi là một tập hợp được sắp bộ phận
(viết tắt là poset) và được ký hiệu (X, R).
Thứ tự bộ phận thường được ký hiệu là  và poset được ký hiệu là  X ,   .
1.1.1.2. Phần tử cực tiểu, cực đại
Cho poset  X ,   , phần tử a  X được gọi là phần tử cực tiểu nếu trong X khơng có
phần tử x nào sao cho x  a . Phần tử b  X được gọi là phần tử cực đại nếu trong X khơng

có phần tử x nào sao cho b  x .
Một poset có thể khơng có, có thể có một hoặc có nhiều phần tử cực tiểu hay cực đại.
1.1.1.3. Cận dưới, cận trên
Cho poset  X ,   , A  X .
Phần tử a  X được gọi là phần tử cận dưới của A nếu a  x với x  A .
Phần tử b  X được gọi là phần tử cận trên của A nếu x  b với x  A .
Nếu A có cận dưới thì A được gọi là bị chặn dưới. Nếu A có cận trên thì A được gọi
là bị chặn trên. Nếu A bị chặn dưới và bị chặn trên thì A được gọi là bị chặn.


1.1.1.4. Phần tử bé nhất, lớn nhất
Cho  X ,   là một poset và A  X .
Phần tử a  a  A được gọi là phần tử bé nhất (phần tử đầu tiên) của A nếu a  A và
a  x , x  A .

Phần tử b  b  A  được gọi là phần tử lớn nhất (phần tử cuối cùng) của A nếu b  A và
x  b , x  A .

1.1.1.5. Cận dưới lớn nhất, cận trên nhỏ nhất
Cho poset  X ,   , giả sử A là tập hợp con của X và A có cận dưới. Nếu tập hợp các
cận dưới của A có phần tử lớn nhất  thì  được gọi là cận dưới lớn nhất và kí hiệu là

  inf A . Nếu A có cận trên và tập hợp các cận trên của A có phần tử bé nhất  thì 
được gọi là cận trên bé nhất và ký hiệu   SupA .
1.1.1.6. Tập được sắp tốt:
Tập được sắp bộ phận  X ,   được gọi là được sắp tốt nếu mọi tập hợp con khơng rỗng
của X đều có phần tử bé nhất.
Tập hợp các số tự nhiên với quan hệ  thông thường là một tập được sắp tốt. Dựa vào
các tính chất đó của tập hợp các số tự nhiên người ta đã xây dựng một phương pháp chứng
minh được sử dụng rộng rãi, đó là phương pháp quy nạp tốn học (cịn gọi là phương pháp

quy nạp hữu hạn).
Chúng ta có thể có một phương pháp tương tự bằng cách thay tập hợp các số tự nhiên
bởi một tập hợp được sắp tốt bất kỳ. Phương pháp đó được gọi là phương pháp quy nạp siêu
hạn.
1.1.2. Tiên đề chọn
1.1.2.1. Tiên đề chọn
Giả sử  Ai  là một họ không rỗng các tập hợp khơng rỗng. Lúc đó tồn tại một ánh xạ
iI

f từ I vào  iI Ai sao cho f (i)  Ai .
1.1.2.2. Định lí ( Zermelo)
Mọi tập hợp đều có thể được sắp tốt.


1.1.2.3. Định lí (Zorn)
Giả sử ( X , ) là poset không rỗng sao cho mỗi tập hợp con được sắp tuyến tính của X
đều có cận trên (cận dưới) trong X . Lúc đó X có phần tử cực đại (cực tiểu).
1.1.3. Lực lượng của tập hợp
Cho các tập X và Y. Nếu tồn tại một đơn ánh f : X  Y thì ta viết X  Y ; nếu tồn tại
một song ánh f : X  Y thì ta viết X  Y ; nếu tồn tại một đơn ánh f : X  Y nhưng
không tồn tại một song ánh từ X lên Y thì ta viết X  Y .
Ta gọi X là lực lượng của tập X.
Hiển nhiên X  Y thì X  Y .
1.1.4. Tập đếm được
Một tập X là tập đếm được nếu X   .
Như vậy, X là tập đếm được nếu có một đơn ánh f : X   hoặc có một tồn ánh

g : Y
Mọi tập hữu hạn là đếm được. Ta kí hiệu

X  n nếu X  1,2,..., n

 0
Trong trường hợp này ta có thể hiểu X là số phần tử của X.
1.1.5. Tập có lực lượng continuum
1.1.5.1. Định nghĩa
Một tập hợp vô hạn không tương đương tập hợp các số tự nhiên được gọi là tập hợp
khơng đếm được.
1.1.5.2. Định lí
Tập hợp các điểm trên [0,1] là không đếm được.
1.1.5.3. Định nghĩa
Một tập hợp tương với tập hợp các điểm trên [0,1] là một tập hợp có lực lượng
continuum.
Kí hiệu: [0,1]  c


1.1.6. Giả thiết continuum
Những tập hợp điểm không đếm được quan trọng trên đường thẳng, trong đó có bản
thân đường thẳng đều là những tập hợp có lực lượng continuum. Một vấn đề tự nhiên được
đặt ra là: trên đường thẳng tồn tại hay không những tập hợp không đếm được là tập hợp có
lực lượng continuum, nói cách khác tồn tại hay không một tập hợp A sao cho

 A
Quá trình tìm câu trả lời cho câu hỏi đã dẫn đến giả thiết sau đây thường được gọi là giả
thiết continuum:
Không tồn tại một tập hợp A sao cho:

 A
Định lí Cantor: Giả sử X là một tập hợp bất kì. Lúc đó
X  P( X )

1.1.7. Mở đầu về dàn (Lattice) trên tập hợp
1.1.7.1. Dàn
Một poset được gọi là dàn nếu hai phần tử bất kì trong tập hợp có một cận trên nhỏ nhất
và có một cận dưới lớn nhất. Trong đó:
Cận trên nhỏ nhất của a, b  a  b

(cái hợp của a và b )

Cận dưới lớn nhất là a, b  a  b

(cái giao của a và b )

Kí hiệu dàn với quan hệ thứ tự  là: ( L , )
1.1.7.2. Ví dụ
Xét poset (, ) ; ở đó  là số tự nhiên và  là quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng. Cho

a, b   , ta có:
Cận trên nhỏ nhất của a, b  a  b  Max (a, b) và
Cận dưới lớn nhất là a, b  a  b  Min(a, b )
Do đó: (, ) là dàn.
1.1.7.3. Một số thuật ngữ và kí hiệu của dàn
Dàn được gọi là đầy đủ nếu như bất kỳ tập con nào của nó cũng có một cận trên nhỏ
nhất và có một cận dưới lớn.


( L , ) được gọi là dàn đối ngẫu của ( L , ) .
( A, ) được gọi là con của dàn ( L , ) nếu A  L và các cái hợp và cái giao hữu hạn

được bảo toàn. ( A, ) được gọi là con đầy đủ của dàn ( L , ) cái hợp và cái giao bất kỳ được

bảo tồn.
Cách nói “ a phủ b” trong dàn ( L , ) hàm ý rằng b  a và b  c  a thì b  c hoặc

c  a.
Phần tử hay tập hợp nhỏ nhất của dàn được ký hiệu là O và phần tử hay tập hợp lớn
nhất được ký hiệu là I.
Một nguyên tử là một phần tử phủ phần tử nhỏ nhất. Dàn được gọi là nguyên tử nếu mọi
phần tử ngồi O đều có thể được biểu diễn dưới dạng cái hợp của các nguyên tử.
Phản nguyên tử là một phần tử được phủ trong I. Dàn được gọi là phản nguyên tử nếu
mọi phần tử khác I đều có thể được biểu diễn dưới dạng cái giao của các phần tử phản
nguyên tử.
Phần tử a được gọi là phụ bù của b trong dàn nếu a  b  O và a  b  I . Dàn được gọi
là được phụ bù nếu mọi phần tử đều có ít nhất một phần tử phụ bù của mình và được gọi là
được phụ bù duy nhất nếu như mọi phần tử đều có một phần tử phụ bù.
Dàn

được

gọi

phân

là

phối

nếu

a  ( b  c )  (a  b )  (a  c )

và

a  (b  c)  (a  b)  (a  c) , với mọi a, b, c trong dàn.
Một dàn được gọi modular nếu a  c thì a  (b  c)  (a  b)  c .
Một dàn được gọi là nữa-modular trên khi và chỉ khi với hai phần tử phân biệt a và b
trong L sao cho a và b đều phủ c thì a  b phủ cả hai phần tử a và b . Một dàn được gọi
là nữa modular dưới khi và chỉ khi với hai phần tử phân biệt a và b trong L sao cho a và

b đều được phủ trong c thì a  b được phủ trong cả hai phần tử a và b .
Nếu L là dàn nguyên tử đầy đủ với A là tập hợp các nguyên tử thì L được gọi là cao
(tall)

khi

và

chỉ

khi

với

mọi

P  A,

ở

đó





p   a aP ,

a a  A, a  p  B P  B  A, a, b  B vàc  a  b thì c  B
Một ánh xạ từ dàn L vào dàn K được gọi là đồng cấu dàn nếu nó bảo tồn hữu hạn cái
giao và cái hợp. Ánh xạ nói trên được gọi là đồng cấu đầy đủ nếu nó bảo tồn cái hợp và cái
giao bất kì. Một đẳng cấu dàn là một đồng cấu dàn 1-1.
Một dàn ( L , ) được gọi là tự đối ngẫu nếu nó đẳng cấu dàn với ( L , ) .


1.2. Không gian mêtric
1.2.1. Không gian mêtric
Cho X là một tập. Một hàm d : X 2   là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i)

d  x, y   0; d  x, y   0  x  y;

(ii)

d  x, y   d  y , x  ;

(iii)

d  x, z   d  x, y   d  y, z  , x, y, z  X .

Không gian mêtric  X , d  là một tập X cùng với một mêtric d trên X.

Nếu

 X ,d 

là một khơng gian mêtric thì mỗi x  X gọi là một điểm và với mọi

x, y  X ta gọi d  x, y  là khoảng cách từ x đến y.

1.2.2. Khoảng cách
Cho A, B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X.
Đặt d ( A, B )  inf d ( x, y )
x A, yB

Ta gọi số thực d(A, B) này là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B.
Nếu A = {a} thì ta viết d(A, B) = d(a, B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B.
Nếu A  B   thì d(A, B) = 0, nhưng điều ngược lại nói chung khơng đúng.
1.2.3. Khơng gian mêtric tích
Cho  X , d X  và  Y , dY  là hai không gian mêtric tùy ý.

X Y 

 x, y x  X , y  Y  là tích Descartes của X và Y.

Đặt d   x1 , y1  ,  x2 , y2    d X  x1 , x2   dY  y1 , y2  ,   x1 , x2  ,  y1 , y2   X  Y
Khi đó d là một mêtric trên X  Y .
Không gian mêtric  X  Y , d  được gọi là khơng gian mêtric tích của hai khơng gian
mêtric X và Y.
1.3. Không gian tôpô
1.3.1. Tôpô. Không gian tôpô
1.3.1.1. Cho một tập X. Một họ  các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các

điều kiện sau:


(i)

X và  thuộc  ;

(ii)

Hợp của tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ;

(iii)

Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc  .

1.3.1.2. Ví dụ
1. Với mọi tập X,  (X) là một tôpô trên X, gọi là tôpô rời rạc. Tập X cùng với tôpô rời
rạc gọi là không gian rời rạc.
2. Với mỗi tập X, họ , X  là một tôpô trên X, gọi là tôpô tầm thường hay tôpô phi rời
rạc. Tập X với tôpô tầm thường gọi là không gian tầm thường.
3. Với mọi không gian mêtric (X,d), họ các tập mở theo mêtric d là một tôpô trên X.
Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d. Không gian mêtric X luôn được coi là không gian
tôpô với tôpô sinh bởi mêtric.
Tôpô sinh bởi mêtric thông thường trên  gọi là tôpô thông thường.
4. Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập  và tất cả các tập con G của X có X \ G đếm
được, là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô Zariski.
5. Với mọi tập không đếm được X, họ bao gồm tập  và tất cả các tập con G của X có

X \ G đếm được, là một tơpơ trên X.
1.3.2. Cơ sở

1.3.2.1. Cơ sở
Cho  là một tôpô trên X. Một họ  của  gọi là một cơ sở của  nếu mọi tập thuộc 
đều bằng hợp của một họ các tập thuộc  . Nói cách khác, họ con  của  là cơ sở của 
nếu mọi G  mọi x  G tồn tại V   sao cho x V  G .
Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tơpơ của nó có một cơ
sở đếm được.
1.3.2.2. Ví dụ
1. Tơpơ thơng thường trên  có cơ sở là họ tất cả các khoảng  a , b  với a, b là số hữu
tỉ, a < b. Như vậy  với tôpô thông thường thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai.

 1
2. Trong không gian mêtric, họ tất cả các hình cầu mở B  x,  , x  X , n   là một cơ
 n
sở.


1.3.3. Lân cận, cơ sở lân cận
1.3.3.1. Lân cận
Cho X là một không gian tôpô và x  X . Tập con V của X được gọi là một lân cận của
điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x  G  V . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V là lân
cận mở của x.
1.3.3.2. Cơ sở lân cận
Một họ x các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều
tồn tại lân cận Ux sao cho U  V.
Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x  X đều
có một cơ sở lân cận đếm được.
1.3.3.3. Ví dụ
1.  a, b 

 a  b  là lân cận của một điểm tùy ý của  a, b  trên đường thẳng thực.

2. Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x.
3. Trong không gian mêtric, tại mỗi điểm x, họ các hình cầu mở tâm x, bán kính

1
,n  N là cơ sở lân cận của x. Như vậy mọi không gian mêtric đều thỏa mãn tiên đề đếm
n
được thứ nhất.
4. Trong không gian rời rạc, tập một điểm  x là cơ sở lân cận của điểm x.
1.3.4 Phần trong và bao đóng
Cho X là một khơng gian tơpơ và A là tập con của X.
Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu là IntA .
Từ định nghĩa ta có: IntA là tập mở lớn nhất chứa trong A; A  B thì IntA  IntB và A
mở nếu và chỉ nếu A  IntA .
Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là ClA . Từ định
nghĩa ta có ClA là tập đóng nhỏ nhất chứa A; A  B thì Cl A  ClB và A đóng nếu và chỉ
nếu A  Cl A .
Tập con D gọi là trù mật trong X nếu ClD  X . Không gian X gọi là khả li nếu nó có
một tập con đếm được trù mật.
Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu IntCl A   .


1.3.5. Ánh xạ liên tục
1.3.5.1. Định nghĩa
Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X  Y được gọi là liên tục tại x  X
nếu mọi lân cận V của f  x  trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho

f U   V .
Một ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi xX.
1.3.5.2. Định lí

Nếu f : X  Y và g : Y  Z là các ánh xạ liên tục thì g  f liên tục.
1.3.5.3. Định lí
Với mọi ánh xạ f : X  Y , các điều kiện sau đây là tương đương.
a ) f liên tục;

b) f 1  G  mở trong X với mọi tập G mở trong Y ;
c ) f 1  G  mở trong X với mọi tập G thuộc một cơ sở của Y ;

d ) f 1  G  mở trong X với mọi tập G thuộc một tiền cơ sở của Y ;
e) f  ClA   Clf ( A) với mọi tập con A của X .
1.3.6. So sánh hai tôpô
1.3.6.1. Định nghĩa
Cho hai tôpô  1 và  2 trên cùng một tập hợp X , ta bảo  1 là mịn hơn  2 (hay  2 là thô
hơn  1 ) nếu, kí hiệu X i là tập hợp X với tôpô  i  i  1,2  , ánh xạ đồng nhất X 1  X 2 là
liên tục. Nếu ngoài ra  1   2 ta bảo  1 là chặt chẽ mịn hơn  2 (và  2 là chặt chẽ thô hơn  1 ).
Ta kí hiệu X 1  X 2 , X 1  X 2 và X 1  X 2 để chỉ rằng tôpô trên X 2 là trùng với tôpô trên X 1 ,
tôpô trên X 2 là mịn hơn hay trùng với tôpô trên X 1 và tôpô trên X 2 là chặt chẽ mịn hơn trên

X 1.
Hai tôpô mà cái này mịn hơn cái kia là so sánh được với nhau.
1.3.6.2. Định lí
Cho hai tơpơ  1 và  2 trên cùng một tập hợp X , các khẳng định sau đây là tương
đương.


a)  1 mịn hơn  2 ;
b) Với mọi x  X , mọi lân cận của x trong  2 là một lân cận của x trong  1 ;
c) Mọi tập con mở của X trong  2 là mở trong  1.
1.3.7. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phơi
1.3.7.1. Định nghĩa phép đồng phơi

Cho X , Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X  Y được gọi là một phép đồng phôi
hay ánh xạ tôpô nếu f là song ánh, liên tục và f 1 liên tục.
1.3.7.2. Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng
Cho X, Y là các khơng gian tôpô.
Ánh xạ f : X  Y được gọi là mở (hay ánh xạ mở) nếu mọi tập G mở trong X thì

f  G  mở trong Y .
Ánh xạ f : X  Y được gọi là đóng (hay ánh xạ đóng) nếu mọi tập F đóng trong X
thì f  F  đóng trong Y .
Nếu f : X  Y là một đơn ánh và f : X  f  X  là một phép đồng phơi thì f gọi là
một phép nhúng đồng phơi từ X vào Y .
1.3.7.3. Định lí
Cho f : X  Y là song ánh liên tục. Khi đó các điều kiện sau là tương đương.

(a) f là phép đồng phôi;

b  f

c

là ánh xạ mở;

f là ánh xạ đóng.

1.4. Sự hội tụ
1.4.1. Lọc và cơ sở
1.4.1.1. Lọc
Giả sử X là một tập hợp. Một lọc trên X là một họ con không rỗng  các các tập con
của X sao cho
F1. Mọi tập con của X chứa một tập thuộc  cũng thuộc  .

F2. Giao của mỗi họ hữu hạn các tập thuộc  cũng thuộc  .


F3. Mọi tập thuộc  đều không rỗng.
1.4.1.2. Cơ sở
Giả sử  là một lọc trên X . Một họ  các tập con của X được gọi là cơ sở của  nếu
(1)   
(2) Với mọi tập V  , tồn tại một tập W   saoc cho W  V .
Ta cũng nói rằng lọc các tập  sinh nên lọc  hoặc lọc  sinh bởi họ  .
1.4.3. Siêu lọc
Họ các lọc trên một tập khơng rỗng X có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. Lọc
cực đại này được gọi là một siêu lọc. Như vậy, mỗi lọc  trên một tập X đều tồn tại một
siêu lọc trên X chứa  .
1.4.4. Điểm giới hạn, hội tụ
Giả sử ( X , ) là không gian tôpô,  là một lọc trên X . Điểm x  X được gọi là điểm
giới hạn của lọc  và lọc được gọi là hội tụ đến tới x nếu lân cận lọc  ( x ) tại x được
chứa trong lọc  . Nếu  là một cơ sở lọc trên X thì x  X được gọi là điểm giới hạn của

 và ta cũng nói cơ sở lọc  hội tụ tới x nếu lọc được sinh bởi  hội tụ tới x .
1.4.5. Điểm dính, bao dính
Cho X là một không gian tôpô,  là một lọc trên X . Một điểm x được gọi là điểm
dính của lọc  nếu x là điểm dính của mọi tập thuộc  . Bao dính của  , kí hiệu là

Adh , là tập hợp tất cả các điểm dính của  , do đó Adh   ClA .
A

Nếu  là một cơ sở của một lọc trên X , thì x được gọi là một điểm dính của  nếu nó
là điểm dính của lọc sinh bởi cơ sở  . Bao dính của  , kí hiệu là Adh là tập hợp tất cả
các điểm dính của nó.
1.5. Tiên đề tách

Không gian tôpô X gọi là T0 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X
đều có một lân cận của x khơng chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x.
Không gian tôpô X gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X
đều có một lân cận của x khơng chứa y và một lân cận của y không chứa x.
Không gian tôpô X gọi là T2 - không gian (hay không gian Hausdorff ) nếu hai điểm x, y
khác nhau bất kỳ thuộc X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U  V   .


Không gian tôpô X gọi là T3 - không gian (hay khơng gian chính qui) nếu X là T1- khơng
gian và với mọi tập con đóng F của X khơng chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho

x U , F  V và U  V   .
Không gian tôpô X gọi là T 1 - khơng gian (hay khơng gian hồn tồn chính qui) nếu X
3

2

là T1 - khơng gian và với mọi x  X , mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại một
hàm liên tục f : X   0,1 sao cho f(x)=0 và f(y)=1 với mọi y  F .
Khơng gian hồn tồn chính qui gọi là khơng gian Tikhonov.
Khơng gian tơpơ X gọi là T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1không gian và hai tập con đóng A, B bất kì khơng giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và
V sao cho A  U , B  V và U  V   .
Ta gọi T0 , T1 , T2, T3 , T 1 , T4 là các tiên đề tách.
3

2

Nhận xét. T j - không gian  Ti - không gian với j  i.
1.6. Không gian compact
1.6.1. Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn:

Cho X là không gian tôpô, tập A  X. Một họ {V} I các tập con của X được gọi là một
phủ của A nếu A 

 V

 I

Khi đó:
- Nếu V là tập mở, I thì {V}I được gọi là một phủ mở của A.
- {V }I là một phủ của A cũng có thể nói A được phủ bởi họ {V}I
- Nếu I là tập hữu hạn thì {V}I được gọi là một phủ hữu hạn của A.
1.6.2. Định nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn:
Cho X là không gian tôpô, tập A  X và {V}I là một phủ của A. Nếu

J  I mà

{V}J cũng là một phủ của A thì {V}J được gọi là một phủ con của {V}I . Nếu tập J
hữu hạn thì {V}J được gọi là phủ con hữu hạn của {V}I
1.6.3. Định nghĩa không gian compact:
Một không gian tôpô được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của nó đều có
chứa phủ con hữu hạn.


Tập con A của không gian tôpô (X, ) được gọi là tập compact nếu (A, A) là một không
gian compact, với A là tôpô cảm sinh bởi tôpô  trong X.
Một cách tương đương:
Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A đều
có chứa phủ con hữu hạn.
Nhận xét:
- Hợp của hữu hạn các tập compact của một không gian tôpô là tập compact.

- Cho X là không gian compact, Y là khơng gian tơpơ thì phép chiếu

Y : X  Y  Y

là ánh xạ đóng.
1.6.4. Định lý:
a) Tập con đóng của khơng gian compact là tập compact.
b) Tập con compact của khơng gian compact là tập đóng.
c) Không gian compact, Hausdorff là không gian chuẩn tắc.
d) Cho ánh xạ f : X  Y liên tục và A là tập con compact trong X. Thì f(A) là tập con
compact trong Y.
e) Nếu f : X  Y là song ánh liên tục, X là compact và Y là Hausodrff thì f là phép đồng
phơi.
1.6.5. Khơng gian compact địa phương
1.6.5.1. Định nghĩa
Không gian tôpô X được gọi là compact địa phương nếu điểm x  X có một lân cận
compact.
1.6.5.2. Ví dụ
1. Khơng gian compact tùy ý.
2. Khơng gian rời rạc tùy ý.
3.  n
Chú ý : Nếu X là không gian compact địa phương và A  X thì khơng nhất thiết khơng gian
con A là compact địa phương. Chẳng hạn,  là compact địa phương và    nhưng
không gian con  không là compact địa phương.
1.6.5.3. Định lý 1


Cho X là một không gian Hausdorff compact địa phương. Khi đó
a) Mọi x  X và mọi lân cận mở U của x , tồn tại một lân cận compact  của x sao
cho   U .

b) Mọi tập compact K của X và mọi tập mở U chứa K , tồn tại một tập mở V sao
cho K  V  V  U và V là tập compact.
1.6.5.2. Định lý 2
Không gian Hausdorff compact địa phương là hồn tồn chính quy.
1.6.6. Compact hóa
Các khơng gian compact là những khơng gian tơpơ quan trọng nhất. Vì vậy một vấn đề
lý thuyết được đặt ra là: cho một khơng gian khơng compact X, có hay khơng một khơng
gian compact Y sao cho X là một không gian con trù mật khắp nơi trong Y?
1.6.6.1. Định nghĩa:
Cho không gian X không compact. Không gian compact Y cùng với ánh xạ h : X  Y
sao cho h là phép đồng phôi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một
compact hóa của khơng gian X.
Chú thích:
Ánh xạ h : X  Y (với X, Y là các không gian) được gọi là phép nhúng X vào Y nếu h : X
 h(X) là phép đồng phơi.
1.6.6.2. Compact hóa Alexanderov:
Compact hóa Alexanderov là compact hóa đơn giản nhất một khơng gian khơng
compact X bằng một điểm. Ta xây dựng như sau:
i) Thêm vào X một điểm tùy ý không thuộc X mà ta ký hiệu là .
ii) Xác định trên Y := X  {} một họ  = {U  Y  U là tập mở trong X hoặc Y \ U là
tập con đóng và compact của X}. Thì  là tôpô trên Y.
iii) Ta ký hiệu: X * = (Y,  ).
Hiển nhiên ánh xạ nhúng i: X  X * là phép nhúng.
1.6.6.3. Định lý:
a) Nếu X không compact thì (X *, i) là compact hóa của X.


b) Đường thẳng thực mở rộng     {,  } với ánh xạ nhúng i :    là một
compact hóa của đường thẳng thực .

1.6.7. Không gian compact đếm được
1.6.7.1 Định nghĩa
Không gian tôpô X được gọi là compact đếm được nếu mỗi phủ mở đếm được của X có
chứa phủ con hữu hạn.
Nhận xét: Hiển nhiên mọi không gian compact đều compact đếm được.
1.6.7.2 Định lý
Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai và compact đếm được thì X là compact.
1.7. Sự mêtric hóa
1.7.1. Tơpơ sinh bởi mêtric
1.7.1.1. Hình cầu, mặt cầu
Cho không gian mêtric  X , d  , điểm x0  X và số thực r  0 .





Hình cầu mở tâm x0 bán kính r là tập B  x0 , r   x  X d ( x, x0 )  r



Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r là tập B  x0 , r   x  X d ( x, x0 )  r







Mặt cầu tâm x0 bán kính r là tập hợp B  x0 , r   x  X d ( x, x0 )  r

Hình cầu mở B(x0, r) được gọi là r- lân cận của điểm x0 trong không gian mêtric  X , d  .
1.7.1.2. Tôpô sinh bởi mêtric
Cho không gian mêtric (X, d). Ta xác định trong  X , d  một tập hợp  các tập con của X
như sau:
 = {U  X  xU, r > 0 sao cho B(x, r)  U}.
Thì  là một tơpơ trên X. Tôpô  xác định như trên gọi là tôpô sinh ra bởi mêtric d trên
X, các phần tử thuộc  được gọi là các tập mở trong  X , d  .
1.7.2. Khơng gian mêtric hóa
1.7.2.1. Định nghĩa


Khơng gian tơpơ X gọi là khơng gian mêtric hóa nếu trên X có một mêtric d sao cho
tơpơ sinh bởi mêtric d trùng với tôpô xuất phát trên X.
1.7.2.2. Ví dụ
Mọi khơng gian rời rạc đều là khơng gian mêtric hóa (bởi mêtric rời rạc)
1.7.3. Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc
1.5.3.1. Họ  các tập con của không gian tôpô được gọi là hữu hạn địa phương khi và chỉ khi
mỗi điểm của khơng gian có một lân cận chỉ cắt một số hữu hạn các phần tử của họ 
Họ  là  -hữu hạn địa phương khi và chỉ khi nó là hợp của một số hữu hạn các họ con
hữu hạn địa phương
1.7.3.2. Họ  các tập con của không gian tôpô được gọi là rời rạc nếu mỗi điểm của khơng
gian có một lân cận cắt nhiều nhất một phần tử của họ . Như vậy, một họ rời rạc là hữu hạn
địa phương.
Họ  là  -rời rạc khi và chỉ khi nó là hợp của một số hữu hạn các họ con rời rạc.
1.7.4. Cái mịn
1.7.4.1. Định nghĩa
Phủ  của tập hợp X được gọi là cái mịn của phủ  khi và chỉ khi mỗi phần tử của phủ
 được chứa trong phần tử nào đó của phủ .
1.7.4.2. Ví dụ
Trong khơng gian mêtric họ tất cả các hình cầu mở bán kính một nửa là cái mịn của họ

tất cả hình cầu mở bán kính một đơn vị.


CHƯƠNG 2: DÀN CỦA CÁC TÔPÔ, DÀN CỦA CÁC TÔPÔ T1, POSET
CỦA CÁC TƠPƠ T2 TRÊN TẬP HỢP.
Kí hiệu: £(X), £1(X),



2

( X ) tương ứng là dàn của các tôpô, dàn của các tôpô T1, poset

của các tôpô T2 trên tập hợp X . Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu dàn của các tôpô,
dàn của các tôpô T1 và poset của các tôpô T2. Đối với £(X), £1(X), chúng tôi phát biểu lại
trong [13] và không chứng minh. Mục đích của chúng tơi sẽ nghiên cứu tơpơ dưới và tơpơ
trên trong



2

( X ) . Từ đó, đưa ra bài tốn mở và nó sẽ được giải đáp ở chương sau. Cụ thể

như sau:

2.1. Dàn của các tôpô
2.1.1. Dàn của các tôpô





Cho X là một tập hợp, lấy £( X )    là một tôpô trên X . Khi đó, £(X) là một dàn
theo tính bao hàm tập hợp. Phần tử nhỏ nhất là tôpô phi rời rạc (indiscrete) và phần tử lớn
nhất là tôpô rời rạc. Cận trên nhỏ nhất của hai tôpô  và   là tôpô sinh bởi

G  G G  , G   , cận dưới lớn nhất là tôpô     .
Nhận xét: £(X) là một dàn đầy đủ.
2.1.2. Các tính chất nguyên tử và phản nguyên tử.
£(X) là một dàn nguyên tử, các nguyên tử là các tơpơ có dạng , G, X  , trong đó
  G  X . Nếu X  n thì £(X) chứa 2n  2 nguyên tử. Nếu X là vơ hạn thì £(X) chứa

2

X

ngun tử.
Nếu  là một siêu lọc trên

X và x  X

sao cho x  , khi đó tơpơ

 ( x,  )  G x  G hay G    gọi là siêu tôpô.
£(X) là một dàn phản nguyên tử. Các phản nguyên tử là các siêu tôpô. Nếu X  n thì
£(X) chứa n(n  1) phản nguyên tử. Nếu X là vơ hạn thì £(X) chứa 2 2
2.1.3. Lực lượng của £(X)

X

phản nguyên tử.


X

Nếu X là tập vơ hạn thì £( X )  2 2 .
Nếu X  1,2,3,4,5,6 hoặc 7 thì £( X )  1, 4, 29, 355, 6.942, 209.527 hoặc 9.535.241.
Nếu X  n  1 thì 2n  £( X )  2n ( n1)
2.1.4. Cấu trúc dàn bất thường
Nếu X  2 thì £( X ) là dàn không phân phối, không modular và cũng không phải là
nửa modular trên hay dưới.
Nếu X  3 thì £( X ) không tự đối.
£( X ) là dàn cao khi và chỉ chi X là hữu hạn.

2.1.4. Phép nhúng trong £(X)
Đối với dàn L bất kì thì sẽ tồn tại tập hợp X sao cho L có thể nhúng vào trong £( X ) .
2.1.5. Các cấu xạ trong £(X)
Nếu X  2 thì £( X ) có các đồng cấu dàn bình thường. Nói cách khác, bất kì đồng cấu
dàn nào của £( X ) vào một dàn L có thể là đẳng cấu dàn hoặc L chỉ chứa một phần tử.
Nếu X chỉ chứa một hoặc hai phần tử hoặc X là vơ hạn thì nhóm tự đẳng cấu dàn của
£( X ) là đẳng cấu với nhóm đối xứng trên X . Nếu X là hữu hạn hoặc chứa nhiều hơn hai

phần tử thì nhóm tự đẳng cấu dàn của £( X ) là đẳng cấu với tích trực tiếp của nhóm đối xứng
trên X với nhóm hai phần tử.
Nếu  là một phản nguyên tử trong £( X ) thì  là T1 khi và chỉ khi  khơng có phần tử
phụ bù cực đại trong £( X ) .
2.1.7. Phần phụ bù trong £(X)
£( X ) là dàn được phụ bù.

Nếu X là vô hạn thì mọi tơpơ trong £( X ) khác tơpơ rời rạc và tơpơ phi rời rạc có ít
nhất là X phần tử phụ bù trong £( X ) .
Nếu X là vơ hạn thì tồn tại một tập con của £( X ) có lực lượng là X sao cho hai phần
tử bất kì của tập con đó là phụ bù của nhau.
2.2. Dàn của các tôpô T1 trên tập X (£ 1(X))


Nghiên cứu sâu chuyên sâu về £1 ( X ) chỉ ra rằng dàn này có cấu trúc khác với £( X ) .
2.2.1 Dàn của các tôpô T1
Cho

£1 ( X )

là

tập

hợp

tất

cả

các

tơpơ

T1

trên

X

và

cho



G G  X , X \ G là hữu hạn  , X . Khi đó, £ ( X ) là dàn con đầy đủ của £( X ) . Phần tử
1

nhỏ nhất trong £1 ( X ) là tôpô đối hữu hạn (cofinite)  và phần tử lớn nhất là tơpơ rời rạc.
2.2.2. Các tính chất ngun tử và phản ngun tử
£1(X) có ngun tử nhưng khơng phải là dàn nguyên tử. Các nguyên tử là các tơpơ có
dạng    x .

 là một phản nguyên tử trong £1 ( X ) khi và chỉ khi   {G x  G hay G   } , ở đó
x  X và  là một siêu lọc khơng chính tắc trên X .
£1 ( X ) là một dàn phản nguyên tử.
2.2.3. Lực lượng của £1(X)
X

£1 ( X )  1 nếu X tập hữu hạn và £1 ( X )  2 2 nếu X là tập vô hạn.
2.2.4. Sự phụ bù trong £1(X)

£1 ( X ) là dàn không được phụ bù.
2.2.5. Tính modular của £1(X)

£1 ( X ) khơng có tính modular và do đó khơng có tính phân phân phối.

£1 ( X ) vừa là nửa modular trên và vừa là nửa modular dưới.
Bất kì khoảng khơng tầm thường trong £1 ( X ) đều chứa một quan hệ phủ.
2.2.6. Phép nhúng trong £ 1(X)
Nếu L là dàn phân phối hữu hạn bất kì thì tồn tại tập X và các tôpô  và   trong

£1 ( X ) sao cho L đẳng cấu với khoảng giữa  và   .
2.2.7. Các cấu xạ trong £1(X)
Nếu X là tập hữu hạn thì nhóm các phần tử tự đẳng cấu của £1 ( X ) đẳng cấu với nhóm
đối xứng trên X .


Nếu X là tập hữu hạn thì dàn các đồng cấu đầy đủ của £1 ( X ) đẳng cấu với dàn các tập
con hữu hạn của X và tập X được xếp thứ tự theo tính bao hàm tập hợp.
2.3. Poset của các tôpô T2 trên tập hợp X
Bây giờ, chúng tôi sẽ nghiên cứu các tôpô dưới và tơpơ trên của
tìm hiểu
2.3.1.





2

2

( X ) nhưng trước hết

( X ) là gì? Và các kiến thức có liên quan. Cụ thể như sau:

( X ) và nhận xét



2.3.1.1.

2



2

( X ) là poset của tất cả các tôpô Hausdorff trên tập hợp X .

2.3.1.2. Nhận xét:



2

( X ) không phải là dàn vì cận dưới đúng khơng tồn tại. Rõ ràng tôpô rời rạc bao hàm

các tôpô T2 nhưng không có tơpơ T2 được chứa trong tất cả các tơpơ T2 cịn lại. Các tơpơ cực
tiểu trong



2

( X ) được kí hiệu là tơpơ Hausdorf cực tiểu.

2.3.2. Mở đầu về tôpô dưới và tôpô trên trong
Trong



2



2

(X)

( X ) , một “bước nhảy” có thể xảy ra giữa hai tơpơ mà trong đó khơng tơpơ

nào nằm ngặt ở khoảng giữa. Trong trường hợp này, tồn tại các tôpô    trong



2

(X )

sao cho      thì    hay    . Chúng tôi gọi  là tôpô dưới và  là tôpô trên.
Tôpô dưới và tôpô trên trong £1 ( X ) được định nghĩa tương tự và được quan tâm bởi hai nhà
toán học: Offlia T. Alat và Richard G. Wilson. Hai nhà tốn học này đưa ra một đặc điểm
mạnh của tơpơ dưới bằng cách sử dụng điểm cực đại. Một điểm p điểm cực đại của một
không gian với tôpô  nếu p không bị cô lập và khi U  và p  ClU thì U   p  .

2.3.2.1.Định nghĩa
Một tôpô Hausdorff là Hausdorff cực tiểu khi và chỉ khi nó khơng bao hàm một tơpơ
Hausdorff thơ ngặt hơn nào.
2.3.2.2. Định nghĩa
Không gian Haurdorff Y là không gian H-đóng nếu nó là tập con đóng và được nhúng
vào trong mọi không gian Hausdorff
2.3.2.3. Định nghĩa


Một khơng gian là nửa chính quy nếu các tập mở chính quy tạo thành một cơ sở. Tơpơ
được sinh bởi các tập mở chính quy của khơng gian Hausdorff

Y ,  nào đó tạo thành một

tơpơ nửa chính quy trên Y , kí hiệu là YS . Chúng tơi gọi YS là nửa chính quy hóa của  Y , 
2.3.2.4.Mệnh đề
(a) Một khơng gian là H-đóng và chính quy khi và chỉ khi nó là compact và Hausdorff.
(b) Một khơng gian là H-đóng, Urysohn, nửa chính quy khi và chỉ khi nó là compact và
Hausdorff.
(c) Nếu ( X , ) là H-đóng và U  thì cl XU là H-đóng.
(d) ( X , ) là H-đóng khi và chỉ khi Xs là H-đóng. [8]
2.3.2.5 Mệnh đề
Một tơpơ Hausdorff là Hausdorff cực tiểu khi và chỉ chi nó là H-đóng và nửa chính quy.
[8]
2.3.2.6 Định nghĩa
Giả sử tồn tại các tôpô    trong



2

( X ) sao cho      với  là một tôpô thì

   hay    . Khi đó,  là tôpô dưới và  là tôpô trên. Ta gọi     và     .
2.3.2.7. Định nghĩa
Một điểm p gọi là điểm cực đại của một không gian với tôpô  nếu p không bị cô lập
và khi U  và p  Cl U thì U   p  .
2.3.2.8. Mệnh đề
Một điểm p  X được gọi là một điểm cực đại của không gian  X ,  khi và chỉ khi vết
của một lọc lân cận mở tại p trên không gian X \  p là một siêu lọc mở. [10]
2.3.2.9. Mệnh đề
Nếu p gọi là điểm cực đại trong một tập mở U của không gian  X ,  thì p là điểm
cực đại của  X ,  .
Chứng minh