Tải Phương pháp dùng lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ - Tài liệu luyện thi môn Toán khối A, B, D

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.46 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ

****

I. Một số kiến thức cần nhớ:

I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:
+ x2 y2 



x y x y

 













3 3 2 2

x  y  x y x xyy



 







4 4 2 2

x  y  x y x y x  y

…









1 2 ... 2 1

n n n n n n

x y x y x  x  y xy  y 

      

Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vơ tỉ ban đầu về dạng phương trình
tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp!

Thường thì ở các bài tốn sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau:

- Giả sử nếu ta có phương trình dạng F x 

 

0 với F x

 

xác định trên một miền D nào đó và 
ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho

lại thành



x a G x

  

0 . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn! (Việc 
xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng cơng cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức).

II. Các ví dụ minh họa:

Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví
dụ sau:

II.1. Các bài tốn mở đầu

Các bạn hãy thử sức mình với các bài tốn này trước nhé!

Bài tốn 1: Giải phương trình sau:

1 4 9 16 100

x  x  x  x  x

Bài toán 2: Giải các phương trình sau:
a) 3 x x 3 3

b) 32x 1 3 x1

c) 2x1x2 3x 1 0

d) 9



4x 1 3x 2



 x 3

II. 2. Bài tập minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình

3 2 2 2

3 x  x  8 2 x 15 (1)

Giải:

Ta dự đoán được nghiệm x 1, và ta viết lại phương trình như sau:

 

1 3



3 x2 1

 

x2 8 3

 

x2 15 4



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>





2 2

3 4 3 2 2 2

3 1 1 1

1 8 3 15 4

x x x

x x x x

  

  

     

3 4 3 2 2 2

1 1 1

1 8 3 15 4

x

x x x x

 


 

 

      



Mặt khác, ta có:

2 2 2 2

2 2

1 1

15 8 15 4 8 3

15 4 8 3

x x x x

x x

          

   

Nên phương trình thức hai vơ nghiệm.
Vậy (1) có 2 nghiệm

x



1,

x



1

Ví dụ 2: Giải phương trình sau





2 2 2 2

3x  5x 1 x  2 3 x  x1  x  3x4
(2)

Giải:
Ý tưởng:

Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm x 2 nên ta sẽ cố gắng đưa
phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử



x  2



. Ta có nhận xét rằng:



3x2  5x1

 

 3x2 3x 3



2



x 2



và



 







2 2 2 3 4 3 2

x   x  x  x
Ta đi đến lời giải như sau:

(2)





2 2 2 2

3x 5x 1 3 x x 1 x 2 x 3x 4

          





2 2

2 4 3 6

2 3 4

3 5 1 3 1

x x

x x x

x x x x

  

 

   

    









2 2

2 3

2 0

2 3 4

3 5 1 3 1

x

x x x

x x x x

 

 

   

          

 

Mặt khác, ta có:





2 2

2 3

2 3 4

3x  5x 1 3 x  x1  x   x  x

> 0 với mọi x
Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 3: Giải phương trình

2 2

2 x  7x10  x x  12x20 (3)

Giải:

Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3)

về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử



x  1



.
Ta viết lại như sau:

 

3 2 x2 7x 10



x 1



  x2 12x 20



x 2





         

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Để ý rằng hai phương trình x2 7x10



x1



0 và x212x20



x2



0 vô nghiệm nên
nhân liên hợp hai vế của (4) ta có:









2 2

18 1 16 1

7 10 1 12 20 2

x x

x x x x x x

   

       
2 2
1
9 8
(*)

7 10 1 12 20 2

x

x x x x x x





 
        


Pt (*)8 x2 7x10 9 x212x20 x 10
Đến đây ta có hai hướng giải quyết:

Hướng 1: bình phương hai vế…
Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau

2 2

8 7 10 9 12 20 10

2 7 10 12 20

x x x x x

       


     



Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được:

15 5 5

5 7 10 4 5 4

15 25 0

x

x x x x

x x

 

       
   


Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

15 5 5
1,

2
x x 

Ví dụ 4: Giải phương trình

3162x3 2 27x2 9x 1 1

    

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với:









2 2

3 3 3 3

3 3 1

162 6

27 9 1 1

162 2 2 162 2 4

x x
x
x x
x x


 
  
   

















2
2 2

3 3 3 3

2 3 1 9 3 1 3 3 1

27 9 1 1

162 2 2 162 2 4

x x x x x

x x

x x
   
  
  
   













2
2 2

3 3 3 3

2 9 3 1 3

3 1 0

27 9 1 1

162 2 2 162 2 4

x x x

x
x x
x x
 
 
 
     
  

   
 
 

Xét phương trình:









2 2

3 3 3 3

2 9 3 1 3

27 9 1 1

162 2 2 162 2 4

x x x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>









2 3 3

3 3 3 3

2 9 3 1 3

162 2

162 2 2 162 2 4

x x x

x

x x

 

 



   

Ta đặt a3162x32 suy ra:

1 4 1 2

2 3 1 2 3 1 1

3 3 2

a

x a x

x a x a

 

          

 

 

1
3

2 3

a

x x

   

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất

1
3
x 

Ví dụ 5: (Olympic 30/4 Đề nghị)

Giải phương trình sau: x212 5 3  x x25

Giải:

Đk:
5
3
x 

Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Như vậy phương trình đã cho có thể phân tích

được về dạng



x 2

  

Q x 0!
Phương trình đã cho tương đương với:

2 12 4 3 6 2 5 3

x    x  x  





2 2

4 4

3 2

12 4 5 3

x x

x

x x

 

   

   





2 2 2 2 3 0

12 4 5 3

x x

x

x x

   

      

   

 

2 2

3 0(*)

12 4 5 3

x

x x





  

   

    



Do 2 2 2 2

1 1 2 2

12 4 5 3 12 4 5 3

x x

x x x x

 

   

        nên pt (*) vơ nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 6: Giải phương trình

2 2 2 2

3x  7x 3 x  2 3x  5x 1 x  3x4

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với

2 2 2 2

3x  5x 1 3x  7x 3 x  2 x  3x4 0

Bằng cách nhân liên hợp, ta có:





2 2 2 2 3 2 0

3 5 1 3 7 3 2 3 4

x

x x x x x x x

 

   

        

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Do 2 2 2 2

2 3

3x  5x 1 3x  7x3 x  2 x  3x4 nên phương trình có nghiệm duy nhất x =

2.

Ví dụ 7: Giải phương trình

2
3

5x1 9 x 2x 3x1

Giải:

ĐK:

1
5

x 

Phương trình đã cho tương đương với:
2
3

5x1 2  9 x 2 2 x 3x 5









2 3



 



5 1 1

1 2 5

5 1 2 9 2 9 4

x x

x x x

 

    

     











2 3

5 1

1 2 5 0

5 1 2 9 2 9 4

x x

x x x

 

 

    

   

   

 

 









2 3

5 5 1 5 1

1 2 0

5 1 2 9 2 9 4

x

x x

x x x

 

 

 

    

   

   

 

 

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.

Ví dụ 8: Giải phương trình

3 3 1 8 3 2

x  x   x

Giải:

Đk:

2 6 2 6

3 x 3

  

Ở bài này, khó là ở chỗ ta khơng thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phương trình để dùng lượng liên
hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của công nghệ là chiếc máy tính Casio fx570 Es thì mọi chuyện
có vẻ dễ dàng hơn!

Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là:

1 0,6180339887...; 2 1,618033989...

x  x  sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B.

Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay khơng bằng cách tình A + B và AB,
ta thu được kết quả “đẹp” sau:

A B





1,

AB



1

Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình: X2 X 1 0

Và từ đây, ta có thể dự đốn được x2 x1 chính là nhân tử của pt! 

Ta viết pt đã cho lại thành:





3 3 1 8 3 2 0

x  x  px q   x px q 













 

2 2

8 3

3 1 0 2

8 3

px q x

x x px q

x px q

  

      

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>









2 2 2

3 2 8

3 1 0

8 3

p x pqx q

x p x q

x px q

   

      

  

Đến đây, để xuất hiện nhân tử x2 x1thì









2 3 2 2 2 8 2 1

p  x  pqx q   x  x

với là một

hệ số. Chọn  = 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó (2) trở thành:
2

2 1 4 0

8 3 2

x x

 

   

  





1 1 0

8 3 2

x x x

x x

 

      

  

 

Xét

 

8 3 2

f x   x   x

ta có:

 

3 2

' 1

8 3
x
f x

x


 



3 2

'( ) 0 1

3
8 3

x

f x x

x



     


Ta có bảng biến thiên:

 

6 4 6
3

f x 

 

kết hợp với

2 6
3

x  0

 

6 4 6

f x 

  

 

4 4 2 6 4

1 1 1 0

3 6 4 6

8 3 2

x x

f x

x x

         



  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

2 1 0 1 5

2
x  x   x 

Ví dụ 9: Giải phương trình





2 1 2 2 2 2

x  x  x x  x

Giải:

Cũng bằng cách làm như ở Ví dụ 8 , ta phân tích được như sau:



 



2 2 7 3 2 2 2 2 2 0

x  x  x  x x  x 









2 2 7 2 3 2 2 2 0

x x x x x

        













2
2

1 1 1

2 7 0

2 2 3

x x

     

 

   

    

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1 7

x

x
  
 

 

 .

Ta cũng có thể giải thích theo cách khác tại sao lại tìm được lượng x2 2x 7 như sau:

Do x = -2 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho (x + 2) ta được:

2 2 2 1

x x
x x

x

 

  

 . Giả sử ta cần thêm vào hai vế của phương trình một lượng

Ax B



, khi đó ta

có:









2 2 2 1

2
x x

x x Ax B Ax B

x
 

      























2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 1 2

2 2

A x AB x B A x A B x B

x

x x Ax B

          

 



   

Khi đó, ta cần chọn A, B sao cho





2 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1

AB

A B

A A B B



 

 

    . Từ đó ta có: A = 0, B = 3.

Ví dụ 10: Giải phương trình

3 2

3 x 2x x x  4x 4 x  x1

Giải:

ĐK:   2 x 3.

Phương trình đã cho tương đương với:



3 x x 1

 

2 x x



x3 x2 4x 4

         



 



2 2 2 2

2 1 2

3 1 2

x x x x

x x x

x x x x

     

     

    



 



1 1





3 1 2

x x x

x x x x

 

        

    

 

 

1
2
x
x



  

 .

- Với bài này, việc xuất hiện thêm các đa thức chứa trị tuyệt đối tưởng chừng như sẽ gây cho ta thêm
khó khăn trong việc giải quyết. Nhưng nhờ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, bài tốn đã
được giải quyết nhanh chóng! Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các lượng trên về đúng vị trí và sử dụng pp
nhân liên hợp là đủ.

Sau đây là một số bài tốn khác:

Ví dụ 11: Giải phương trình

3 2

1 3 1 5

6
x

x x x x

x


       



Giải:

Đk: x 3

Phương trình đã cho tương đương với:



3 2











1 2 3 1 2 3 2

x

x x x x

x



          

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>









2 2

2
2 3

2 2

1 8 1 4 15 2

3 3

6
1 2

1 2 1 4

x x x x

x x

x
x

x x

     

      


 

   













2 3

2 2

3 3 3 3 2 5

3 1 3 0

6
1 2

1 2 1 4

x x x x x

x x

x
x

x x

 

    

 

         



 

   

 

 

x

  .

III. Bài tập

Giải các phương trình sau:

(1) 2x1x2 3x 1 0 ĐS: x1,x 2 2

Hướng dẫn: pt 2x1 1 x2 3x 2 0, trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x – 1.

(2) 3 2



 x 2



2x x6 ĐS:

11 3 5
3;

2
x x 

Hướng dẫn: pt 3



x 2 1



2x 6 x 6 3, sau đó trục căn thức làm xuất hiện nhân tử
chung x – 3.

(3)

2
2

1 2

1
x x x

x x

 



 ĐS:

1
2
x 

Hướng dẫn:

2
2

1 2

1 1

x x x

pt

x x

 

   

 , trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung là 2x 1.

(4) 9



4x 1 3x 2



 x 3 ĐS: x 6
Hướng dẫn: pt 9



4x1 5 4   3x 2



 x 6

(5) x 2 4 x 2x2 5x1 ĐS: x 3

Hướng dẫn: pt x 2 1  4 x1 2 x2 5x 3, trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung là x
– 3.

(6)

4 1 3 2

5
x
x  x  

ĐS: x 2

Hướng dẫn:

4 1 3 2 3 2 1

5
x
pt x    x   

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

(7) 2x216x18 x21 2 x4 ĐS:

32 513
1;

7
x x 

</div>

Tải Phương pháp dùng lượng liên hợp giải phương trình vô tỷ - Tài liệu luyện thi môn Toán khối A, B, D

<b>PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ</b>

<b>****</b>



 













 















 

 



  





 



 

 







<i>x</i>



1,

<i>x</i>



1











 









 































 





























